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Andreas Fischer Beamerfolien fur WS 2018/2019 Grundlagen Mathematik fur Fakultat Maschinenwesen Version vom 2. 11. 2018
Grundlagen Mathematik
für die Fakultät Maschinenwesen
Wintersemester 2018/2019
Diese Folien enthalten nicht alle Teile des behandelten Stoffes.
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Andreas Fischer Beamerfolien fur WS 2018/2019 Grundlagen Mathematik fur Fakultat Maschinenwesen Version vom 2. 11. 2018
Allgemeine Informationen
Vorlesender: Prof. Dr. Andreas Fischerwww.math.tu-dresden.de/~fischer
Kursassistent: Dr. Reiner Vanselowwww.math.tu-dresden.de/~vanselow
Dort finden sie (zu gegebener Zeit) u.a.
• Zuordnung der Übungsgruppen zu Zeiten und Räumen
• Übungsaufgaben (Nummern in Übungsheften) oder ggf. als PDF
• Literaturhinweise
• Angaben zur Prüfungsklausur inklusive Hilfsmittel, Zeit, Räume
• Links zu OPAL
Die Übungen beginnen in der 2. Vorlesungswoche.
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Natürliche Zahlen
N := {1, 2, 3, . . .}
Prinzip der vollständigen Induktion
Sei n0 ∈ N. Weiter bezeichne A(n) für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 eineAussage. Wenn
• A(n0) wahr ist und
• [A(k) ist wahr⇒ A(k + 1) ist wahr] für alle k ∈ N mit k ≥ n0 gilt,dann ist die Aussage A(n) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 wahr.
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Seien m,n ∈ N gegeben. Die Gleichung
n + x = m
hat nur dann eine Lösung in N, wenn n < m.
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs N wünschenswert
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Ganze Zahlen
Z := {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, . . . }
• Addition, Subtraktion und Multiplikation in Z wohldefiniert.
• Seien m,n ∈ Z gegeben. Dann hat die Gleichung
n + x = m
in Z die Lösung x := m− n.
• Die Gleichungn · x = m
hat nur dann eine Lösung in Z, wenn n Teiler von m ist.
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs Z wünschenswert
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Rationale Zahlen
Q := {q | q =a
b, a, b ∈ Z, b 6= 0, a, b teilerfremd}
• Z ⊂ Q (man betrachte b := 1).
• Addition, Subtraktion, Multiplikation in Q wohldefiniert.
• Seien p, q ∈ Q mit q 6= 0 gegeben. Dann hat die Gleichung
q · x = p
die Lösung x := pq . Also auch Division in Q wohldefiniert.
• Kein Quadrat mit Flächeninhalt 2 hat rationale Seitenlänge,d.h. die Gleichung
x2 = 2hat keine Lösung in Q.
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs Q wünschenswert
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Reelle Zahlen
R := {x | x ist unendlicher Dezimalbruch}
• Q enthält genau die periodischen Dezimalbrüche.
• Die nichtperiodischen Dezimalbrüche bilden die Menge R \Q derirrationalen Zahlen. Beispielsweise sind
√2, π, e irrational.
• Beim numerischen Rechnen mit nichtperiodischen Dezimalbrüchenbenutzt man im Allgemeinen Näherungswerte in Form endlicherDezimalbrüche. Zum Beispiel sind
1, 41 ; 1, 414 ; 1, 4142 ; 1, 41421 ; . . .
Näherungen für√
2.
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R ist nicht algebraisch abgeschlossen
Nicht jede algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat eineLösung in R.
x2 + 2x− 3 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = −3
aberx2 + 2x + 3 = 0 ⇒ keine Lösung in R
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs R wünschenswert
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Komplexe Zahlen
Definition
Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form
z := a + b i,
wobei a ∈ R Realteil von z,
b ∈ R Imaginärteil von z und
i imaginäre Einheit heißt.
Man schreibt auch Re(z) anstelle von a und Im(z) anstelle von b.Mit
C := {a + b i | a, b ∈ R}wird die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet.
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Rechenoperationen in C
Definition
Seien z = a + b i ∈ C, w = c + d i ∈ C gegeben. Dann heißt
• z + w := (a + c) + (b + d) i Summe von z und w,
• z · w := ac− bd + (bc + ad) i Produkt von z und w.
• z := a− b i heißt konjugiert komplexe Zahl zu z = a + b i.
• |z| :=√a2 + b2 heißt Betrag der komplexen Zahl z = a + b i.
Folgerungen
i2 = −1
z · z = |z|2αz = αa + (αb) i für α ∈ R
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Das Tripel (C,+, ·) ist ein Körper
• Die Operationen + und · sind kommutativ und assoziativ
• 0 := 0 + 0i ist das neutrale Element der Addition
• 1 := 1 + 0 i ist das neutrale Element der Multiplikation
• z + (−1 · z) = 0 gilt für alle z ∈ C, d.h.−z := −1 · z ist das inverse Element von z bzgl. der Addition
• z · z−1 = 1 mit z−1 :=1
z:=
z
|z|2gilt für alle z ∈ C \ {0}, d.h.
z−1 ist das inverse Element von z bzgl. der Multiplikation
• Es gelten die Distributivgesetze (z1, z2, z3 ∈ C)
z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3, (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3
Analog zu (C,+, ·) sind auch (R,+, ·) und (Q,+, ·) Körper
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Darstellung einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten
(a, b) heißen kartesische Koordinaten der Zahl z = a + b i
Damit kann z als Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebenedargestellt werden.
Schreibweise
• Anstelle von 0 + b i schreibt man kurz bi.
• Anstelle von a + 0 i schreibt man kurz a.
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Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten
(r, φ) heißen Polarkoordinaten der Zahl z = a + b i, wenn
z = r(cosφ + i sinφ) (∗)Dabei gilt r = |z|. Weiter heißt arg z := φ Argument zu z.
Dreht man in der Gaußschen Zahlenebene die positive reelle Achse umden Winkel φ entgegen dem Uhrzeigersinn, so geht sie durch (a, b).
(∗) heißt auch trigonometrische Darstellung von z
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Das Argument z ist nicht eindeutig.
Zum Beispiel führen Drehungen von z um den Winkel
φ = π/2 (Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um 90o),φ = −3π/2 (Drehung im Uhrzeigersinn um 270o),φ = π/2 + 2kπ (für jedes k ∈ Z)
zum gleichen Ergebnis.
Unter der zusätzlichen Bedingung
−π < φ ≤ π
gibt es genau ein Argument zu z. Das nennt man Hauptwert von zund bezeichnet es mit Arg z.
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Eulersche Formel
eiφ := cos φ + i sin φ
Folgerungen
Seien z ∈ C mit Argument φ und w ∈ C mit Argument ψ gegeben.Dann gilt
• z = |z|eiφ (Exponentialdarstellung von z)
• |ei φ| = 1
• z · w = |z||w|ei(φ+ψ)
• zw =|z||w|e
i(φ−ψ) w 6= 0
• zn = |z|neinφ (n-te Potenz von z, n ∈ Z)
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De Moivresche Formeln
Satz
Seien n ∈ N und z = r(cosφ + i sinφ) = rei φ gegeben.Dann gilt
zn = rn(cos(nφ) + i sin(nφ)) = rnei nφ.
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De Moivresche Formeln
SatzSeien n und w = rei φ 6= 0 gegeben. Dann hat die Gleichung
zn = w
genau n verschiedene Lösungen (n-te Wurzeln), nämlich
zk = n√r
(cos
(φ
n+
2kπ
n
)+ i sin
(φ
n+
2kπ
n
))= n√r ei
(φn + 2kπ
n
)mit k = 0, 1, . . . , n− 1 und es gilt
|zk| = n√r,
d.h. jede Lösung liegt in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Kreisum 0 mit dem Radius n
√r.
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Polynom n-ten Grades über C
Seien a0, a1, . . . , an ∈ C und n ∈ N ∪ {0} gegeben.Dann heißt die durch
pn(z) := anzn + an−1z
n−1 + · · · + a1z + a0
gegebene Abbildung pn : C→ C Polynom n-ten Grades über C und
z ∈ C heißt Nullstelle von pn, wenn pn(z) = 0 gilt.
Fundamentalsatz der Algebra
Seien n ∈ N und pn ein beliebiges Polynom über C. Dann besitzt pnmindestens eine Nullstelle in C.
⇒ C ist algebraisch abgeschlossen.
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Fundamentalsatz der Algebra(äquivalente Formulierung)
Seien n ∈ N und pn ein beliebiges Polynom über C.
Dann besitzt pn genau n Nullstellen z1, . . . , zn ∈ C von pn und es giltdie folgende Zerlegung in Linearfaktoren
pn(z) = an
n∏j=1
(z − zj).
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Seien die Nullstellen z1, . . . , zn des Polynoms pn so geordnet, dass dieersten r Nullstellen paarweise verschieden sind.Weiter bezeichne mi (i = 1, . . . , r) die Anzahl wie oft die Nullstelle ziunter den Nullstellen z1, . . . , zn vorkommt. Dann gilt m1 + · · ·+mr = nund
pn(z) = an
r∏i=1
(z − zi)mi.
Die Zahl mi heißt Vielfachheit der Nullstelle zi (i = 1, . . . , r).
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Polynome mit reellen Koeffizienten
Satz
Sei p ein Polynom mit reellen Koeffizienten.Weiter sei z∗ := a∗ + b∗ i mit b 6= 0 Nullstelle von p.
Dann ist auch z∗ := a∗ − b∗ i Nullstelle von p.
D.h. “echt” komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms treten immerpaarweise auf. Für das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ergibtsich
(z − z∗)(z − z∗) = z2 − 2a∗z + (a2∗ + b2∗)
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Horner-Schema
SatzDas Polynom p : C→ C sei gegeben durch
p(z) := anzn + · · · + a1z + a0.
Für z0 ∈ C sei das Polynom s : C→ C durch
s(z) := bnzn−1 + · · · + b2z + b1
definiert, wobei bn := an und bi := ai + bi+1z0. Dann gilt
p(z) = s(z)(z − z0) + b0, p(z0) = b0, p′(z0) = s(z0).
an an−1 an−2 . . . a1 a0+ 0 bn ∗ z0 bn−1 ∗ z0 . . . b2 ∗ z0 b1 ∗ z0
z0 ∗ bn bn−1 bn−2 . . . b1 b0 = p(z0)
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F U N K T I O N E N
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Definition
Seien A und B beliebige nichtleere Mengen. Dann heißt jede MengeR ⊆ A×B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} (binäre) Relation.
Eine Relation R ⊆ A×B heißt
• linksvollständig, wenn es zu jedem a ∈ A mindestens ein b ∈ Bgibt mit (a, b) ∈ R,
• rechtseindeutig, wenn es zu jedem a ∈ A höchstens ein b ∈ B gibtmit (a, b) ∈ R,
• Funktion, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.
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Schreibweise
Sei f ⊆ A×B eine Funktion.
• Anstelle von f schreiben wir meistens f : A→ B.
• A heißt Definitionsbereich und B Zielbereich der Funktion f .
• Anstelle des Begriffs Funktion sagt man auch Abbildung.
• In (a, b) ∈ f heißt– a Argument und– f (a) := b Funktionswert zum Argument a.
• f (a) wird auch als Bild von a unter der Abbildung f bezeichnet.
• Für C ⊆ A heißt f (C) := {f (a) | a ∈ C} Bild oder Bildmenge.
• f (A) heißt Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion f : A→ B.
• Für Y ⊆ B heißt f−1(Y ) := {a ∈ A | f (a) ∈ Y } Urbild von Y .
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DefinitionEine Funktion f : A→ B heißt
• injektiv (eineindeutig), falls
a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b)
für beliebige a, b ∈ A gilt,
• surjektiv (Abbildung auf), falls
f (A) = B,
• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Eine Funktionf : A→ B
heißt reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen, fallsA und B Teilmengen von R sind.
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Umkehrfunktion
DefinitionSei f : A→ B bijektiv. Zu jedem b ∈ B bezeichne f−1(b) das a ∈ A mitb = f (a). Die so definierte Abbildung
f−1 : B → A
heißt Umkehrfunktion, Umkehrabbildung oder inverse Funktionvon f .
Folgerungen
• Die Umkehrfunktion f−1 von f ist bijektiv.
• Die Umkehrfunktion von f−1 ist identisch zu f .
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Verkettung von Funktionen
DefinitionSeien die Funktionen f : A → B und g : C → D mit B ⊆ C gegeben.Die durch
h(a) := g(f (a)) für alle a ∈ Adefinierte Abbildung h : A → D wird als Verkettung oder Nachein-anderausführung oder Zusammensetzung der Funktionen f und gbezeichnet. Kurz schreibt man
h := g ◦ f.
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Einige elementare Eigenschaften von Funktionen
• Beschränktheit
•Monotonie
• Konvexität und Konkavität
• Gerade und ungerade Funktionen
• Periodizität
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Beschränktheit
DefinitionSei f : D → R gegeben. Dann heißt f auf der Menge M ⊆ D be-schränkt, wenn es eine reelle Zahl b ≥ 0 (Schranke) gibt, so dass
|f (x)| ≤ b für alle x ∈M.
f heißt auf M nach oben beschränkt, wenn bo ∈ R (obere Schranke)existiert, so dass
f (x) ≤ bo für alle x ∈M.
f heißt auf M nach unten beschränkt, wenn bu ∈ R (untere Schranke)existiert, so dass
f (x) ≥ bu für alle x ∈M.
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Monotonie
DefinitionSei D ⊆ R. Dann heißt f : D → R•monoton wachsende Funktion, falls
x < y ⇒ f (x) ≤ f (y),
• streng monoton wachsende Funktion, falls
x < y ⇒ f (x) < f (y),
•monoton fallende Funktion, falls
x < y ⇒ f (x) ≥ f (y),
• streng monoton fallende Funktion, falls
x < y ⇒ f (x) > f (y)
jeweils für alle x, y ∈ D gilt.
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Konvexe und konkave Funktionen
Definition
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R. Dann heißt f konvex, wenn
f (αx + (1− α)y) ≤ αf (x) + (1− α)f (y)
für alle x, y ∈ I und alle α ∈ (0, 1) gilt
Die Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist.
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Gerade und ungerade Funktionen
DefinitionSei D ⊆ R symmetrisch bezüglich 0, d.h. x ∈ D impliziert −x ∈ D füralle x ∈ D.
• gerade Funktion, falls
f (x) = f (−x) für alle x ∈ D,
• ungerade Funktion, falls
f (x) = −f (−x) für alle x ∈ D.
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Folgerung
Sei D ⊆ R symmetrisch um 0. Jede Funktion f : D → R kann als Sum-me einer geraden Funktion g : D → R und einer ungeraden Funktionu : D → R geschrieben werden.
Setzt man nämlich
g(x) :=1
2(f (x) + f (−x)), u(x) :=
1
2(f (x)− f (−x)),
so ist g gerade, u ungerade und
f (x) = g(x) + u(x) für alle x ∈ D.
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Periodische Funktionen
Definition
Eine Funktion f : R→ R heißt periodisch, falls p > 0 existiert, so dass
f (x + p) = f (x) für alle x ∈ R.
Die Zahl p heißt Periode der Funktion f .Die Periode einer Funktion f nennt man primitive Periode, falls eskeine kleinere Periode gibt.
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Elementare Funktionen
• Rationale Funktionen
• Exponential- und Logarithmusfunktion
• Potenzfunktionen
•Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
•Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
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Rationale Funktionen
DefinitionSeien p, q Polynome mit p 6≡ 0 und grad(q) ≥ 1.Dann heißt f : D → R mit
f (x) :=p(x)
q(x)für alle x ∈ D
gebrochen rationale Funktion, wobei D := {x ∈ R | q(x) 6= 0}.
Falls
• grad(q) > grad(p), so heißt f echt gebrochen,
• grad(p) ≥ grad(q), so heißt f unecht gebrochen.
Polynome werden als ganzrationale Funktionen bezeichnet.
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Exponentialfunktion
Sei a > 0 gegeben.
f (x) := ax für alle x ∈ R
Die e-Funktion
e := 2.71828 . . . Eulersche Zahl
f (x) := ex für alle x ∈ R
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Logarithmusfunktionals Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Sei 0 < a 6= 1 gegeben.
loga x := y, wobei ay = x
für alle x ∈ (0,∞)
Der natürliche Logarithmus
lnx := loge x
für alle x ∈ (0,∞)
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Potenzgesetze
ax · ay = ax+y
ax
ay= ax−y
(ax)y = ax·y
(a · b)x = ax · bx
für a > 0, b > 0, x ∈ R, y ∈ R
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Logarithmengesetze
loga(u · v) = loga u + loga v
loga(uv ) = loga u − loga v
loga(uα) = α · loga u
loga u = loga b · logb u
für 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, u > 0, v > 0, α ∈ R
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Winkelfunktionenund ihre Umkehrfunktionen (Arcusfunktionen)
Funktion umkehrbar in Umkehrfunktion Definitionsbereichder Umkehrfunktion
sin [−π2 ,π2 ] arcsin [−1, 1]
cos [0, π] arccos [−1, 1]
tan (−π2 ,π2) arctan R
cot (0, π) arccot R
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Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus Cosinus hyperbolicus
sinhx :=ex − e−x
2coshx :=
ex + e−x
2
für x ∈ R
Tangens hyperbolicus tanhx := sinhxcoshx für x ∈ R
Cotangens hyperbolicus cothx := coshxsinhx für x ∈ R \ {0}
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Hyperbel und hyperbolische Funktionen
Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten (x, y) ∈ R× R, die
x2
a2− y2
b2= 1 (Hyperbelgleichung)
genügen, wobei a > 0 und b > 0 gegeben sind.
Die Hyperbeläste lassen sich durch die Parameterdarstellungen
(x(t), y(t)) := (−a cosh t, b sinh t) −∞ < t <∞bzw.
(x(t), y(t)) := (a cosh t, b sinh t) −∞ < t <∞beschreiben.
cosh2 t− sinh2 t = 1 für alle t ∈ R
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Areafunktionensind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
Funktion Darstellung der DefinitionsbereichUmkehrfunktion der Umkehrfunktion
sinh arsinhx = ln(x +√x2 + 1
)R
cosh arcoshx = ln(x +√x2 − 1) [1,∞)
x ≥ 0
tanh artanhx = ln√
1+x1−x (−1, 1)
coth arcothx = ln√
x+1x−1 R \ [−1, 1]
x 6= 0
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Grenzwerte und Stetigkeit
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δ–Umgebung
Sei x ∈ R und δ > 0. Dann heißt die Menge
Uδ(x) := {z ∈ R | |z − x| < δ} = (x− δ, x + δ)
δ–Umgebung von x.
Innerer Punkt
x ∈ D heißt innerer Punkt der Menge D ⊆ R, wenn es ein δ > 0 gibt,so dass
Uδ(x) ⊆ D.
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Häufungspunkt
x ∈ R heißt Häufungspunkt der Menge D ⊆ R, falls in jederδ–Umgebung von x mindestens ein y ∈ D mit y 6= x enthalten ist.
Randpunkt
x ∈ R heißt Randpunkt der Menge D ⊆ R, falls in jeder δ–Umgebungvon x mindestens ein y ∈ R mit y /∈ D und mindestens ein z ∈ Denthalten ist.
Isolierter Punkt
x ∈ D heißt isolierter Punkt von D, falls es eine δ–Umgebung von xgibt, so dass
D ∩ Uδ(x) = {x}.
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Offene und abgeschlossene Mengen
D ⊆ R heißt
• offene Menge, wenn sie nur innere Punkte enthält.
• abgeschlossene Menge, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.
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Zahlenfolgen
Definition
Sei N ⊆ N ∪ {0}mit unendlich vielen Elementen.Jede Abbildung f : N → R heißt Zahlenfolge bzw. kurz Folge.
Man schreibt dafür (a1, a2, . . . , an, . . .) oder kurz
(an) oder (an)N ,
wobei an := f (n) für n ∈ N .
Enthält N nur endlich viele Elemente, so heißt (an)N endliche Folge.
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Teilfolgen
Definition
Die Folge (an)N sei durch f : N → R gegeben.Die Menge K ⊂ N enthalte unendlich viele Elemente.
Jede Abbildung f : K → R mit f (k) := ak für alle k ∈ K heißt Teilfolgeder Folge (an)N und wird durch
(ak)K oder (an`)`∈N := (an1, an2, . . . , an`, . . .)
bezeichnet, wobei n1, n2, . . . , n` . . . die Zahlen in K durchläuft.
Ist K endlich, so spricht man von einer endlichen Teilfolge.
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Grenzwert einer Zahlenfolge
DefinitionEine Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge (an)N, wennes zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N gibt, so dass
|a− an| < ε
für alle n ≥ n0 gilt. Man sagt die Folge (an)N konvergiert gegen a undschreibt
a = limn→∞
an oder an→ a für n→∞.
Nullfolge
DefinitionEine Zahlenfolge (an)N heißt Nullfolge, wenn lim
n→∞an = 0.
Analog definiert man diese und andere Begriffe für (an)N anstelle von (an)N.
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Divergente Folgen
Wenn eine Folge (an)N nicht konvergiert, dann heißt sie divergent.Falls (an)N• nicht nach oben beschränkt ist (es gibt also kein M ∈ R mit an ≤M
für alle n ∈ N), so heißt die Folge bestimmt divergent gegen∞ undman schreibt
limn→∞
an =∞,
• nicht nach unten beschränkt ist (es gibt also keinM ∈ R mit an ≥Mfür alle n ∈ N), so heißt die Folge bestimmt divergent gegen −∞und man schreibt
limn→∞
an = −∞.
In diesem Zusammenhang bezeichnet man∞ bzw. −∞ auch alsuneigentlichen Grenzwert der Folge.
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Cauchy-Folge
Definition
Eine Zahlenfolge (an)N heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0ein n0 ∈ N gibt, so dass
|an − am| < ε für alle m,n ≥ n0
gilt.
Cauchysches Konvergenzkriterium
SatzEine Zahlenfolge (an) ist genau dann konvergent, wenn (an) eineCauchy-Folge ist.
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Infimum und Supremum
Definition
Sei (an)N eine Zahlenfolge. Wenn es Zahlen a, b gibt, so dass
a ≤ an ≤ b für alle n ∈ N,so heißt (an)N beschränkt, wobei man a eine untere Schranke undb eine obere Schranke nennt.
Die größte mögliche untere Schranke heißt Infimum der Folge (an)Nund wird mit inf
n∈Nan
bezeichnet.
Die kleinste mögliche obere Schranke heißt Supremum der Folge(an)N und wird mit sup
n∈Nan
bezeichnet.
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Der Satz von Bolzano-Weierstrass
SatzJede beschränkte Zahlenfolge besitzt eine konvergente Teilfolge.
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Monotonieeigenschaften von Zahlenfolgen
Definition
Eine Zahlenfolge (an)N heißt
•monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 für alle n ∈ N,
• streng monoton wachend, wenn an < an+1 für alle n ∈ N,
•monoton fallend, wenn an ≥ an+1 für alle n ∈ N,
• streng monoton fallend, wenn an > an+1 für alle n ∈ N.
Satz zur Konvergenz monotoner Folgen
SatzEine beschränkte Zahlenfolge ist konvergent, wenn sie monotonwachsend oder monoton fallend ist.
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Gesetze zum Rechnen mit Grenzwerten
Seien (an)N, (bn)N Zahlenfolgen und α ∈ R.
Wenn limn→∞
an und limn→∞
bn in R existieren, dann gilt
• limn→∞
(an + bn) = limn→∞
an + limn→∞
bn,
• limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn,
• limn→∞
anbn
=limn→∞
an
limn→∞
bn, falls lim
n→∞bn 6= 0,
• limn→∞
(αan) = α limn→∞
an,
• an ≤ bn für alle n ∈ N ⇒ limn→∞
an ≤ limn→∞
bn.
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Die Rechengesetze gelten auch für bestimmte Kombinationenuneigentlicher Grenzwerte (mit c ∈ R):
∞ +∞ =∞, ∞ · ±∞ = ±∞, c
±∞= 0
Die Rechengesetze gelten jedoch insbesondere in folgenden Fällennicht:
′′∞−∞′′, ′′0 · ∞′′,′′∞∞′′,′′0
0
′′
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Grenzwerte von Funktionswerten
DefinitionSeien D, V ⊆ R, f : D → V , x ∈ D und y ∈ R.
Für jede Folge {xn} ⊂ D \ {x}mit limn→∞
xn = x gelte
limn→∞
f (xn) = y.
Dann heißt y Grenzwert der Funktionswerte von f für x gegen x oderkurz Grenzwert von f in x.
Wenn y Grenzwert von f in x ist, so schreibt man an Stelle von y auch
limx→x
f (x)
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DefinitionSeien D, V ⊆ R, f : D → V , x ∈ D und y ∈ R.
Für jede Folge {xn} ⊂ D ∩ (−∞, x) mit limn→∞
xn = x gelte
limn→∞
f (xn) = y.
Dann heißt y linksseitiger Grenzwert von f in x.
Gilt das für jede Folge {xn} ⊂ D ∩ (x,∞) mit limn→∞
xn = x, so heißt yrechtsseitiger Grenzwert von f in x.
Wenn y linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert von f in x ist, soschreibt man an Stelle von y auch
limx→x−0
f (x) bzw. limx→x+0
f (x)
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Falls eine der vorangegangenen Definitionen für y := −∞ bzw. y :=∞anwendbar ist, so heißt y
• uneigentlicher Grenzwert von f in x bzw.
• uneigentlicher linksseitiger Grenzwert von f in x bzw.
• uneigentlicher rechtsseitiger Grenzwert von f in x.
Für das Rechnen mit Grenzwerten lim f (x) und lim g(x) gelten analogeRechengesetze wie für Zahlenfolgen.
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Stetigkeit
DefinitionSeien D ⊆ R und a ∈ D. Eine Funktion f : D → R heißt stetig in a,wenn
limx→a
f (x) = f (a)
oder wenn a isolierter Punkt von D ist. Andernfalls heißt f unstetig ina oder nicht stetig in a.
f heißt stetig auf D, falls f in allen Punkten aus D stetig ist.
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Links- und rechtsseitige Stetigkeit
DefinitionSeien D ⊆ R und a ∈ D. Eine Funktion f : D → R heißt
• linksseitig stetig in a, wenn
limx→a−0
f (x) = f (a),
• rechtsseitig stetig in a, wenn
limx→a+0
f (x) = f (a).
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SatzSeien D ⊆ R und a ein innerer Punkt von D.Dann ist f : D → R genau dann stetig in a, wenn f in a links- undrechtsseitig stetig ist.
SatzSeien D ⊆ R. Die Funktion f : D → R ist genau dann stetig in a ∈ D,wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass
x ∈ D und |x− a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε
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Klassifikation von Unstetigkeitsstellen
Seien D ⊆ R und f : D → R.Falls f in a ∈ D unstetig ist, so heißt a
• hebbare Unstetigkeit, falls
limx→a−0
f (x) = limx→a+0
f (x) ∈ R,
• Unstetigkeitsstelle 1. Art oder Sprungstelle, falls der links- undrechtsseitige Grenzwert von f in a existieren und
limx→a−0
f (x) 6= limx→a+0
f (x),
• Unstetigkeitsstelle 2. Art, falls der links- oder rechtsseitige Grenz-wert von f in a nicht existiert.
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Unstetigkeitsstellen 2. Art
• a ist eine Polstelle, d.h.der links- oder rechtsseitige Grenzwert von f in a ist uneigentlich.
• a ist eine oszillatorische Unstetigkeit, d.h.der links- oder rechtsseitige Grenzwerte von f in a existiert nichtund es gibt b ∈ R gibt, so dass|f (x)| ≤ b <∞ für alle x in einer Umgebung von a
Auch wenn a nicht zum Definitionsbereich D gehört, verwendet man meist obigeSprechweise zur Chrakteriserung des Verhaltens von f in oder in der Nähe von a.
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Eigenschaften stetiger Funktionen
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Zwischenwertsatz
SatzSei f : [a, b] → R stetig. Weiter sei y eine beliebige Zahl zwischen f (a)und f (b). Dann gibt es mindestens ein x ∈ [a, b] mit
f (x) = y.
Eine stetige Funktion f : [a, b]→ R nimmt also alle Wertezwischen f (a) und f (b) an.
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Existenz von Nullstellen
SatzIst f : [a, b] → R stetig und gilt f (a) · f (b) < 0, so besitzt f mindestenseine Nullstelle in (a, b).
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Intervallhalbierungsverfahren
Sei f : [a, b]→ R stetig mit f (a) · f (b) < 0.
1. Wähle tol ≥ 0.Setze a0 := a, b0 := b, i := 0.
2. Wenn |ai − bi| ≤ tol, dann STOPP (Nullstelle liegt in (ai, bi)).
3. Setze x := 12(ai + bi).
4. Wenn dannf (x) · f (ai) < 0 ai+1 := ai, bi+1 := xf (x) · f (ai) > 0 ai+1 := x, bi+1 := bif (x) = 0 STOPP (x ist Nullstelle)
5. Setze i := i + 1 und gehe zu 2.
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Stetigkeit elementarer Funktionen
Die Funktionen
sin, cos, tan, cot arcsin, arccos, arctan, arccot
sinh, cosh, tanh, coth arsinh, arcosh, artanh, arcoth
ax loga x
xa a√x
sowie Polynome und gebrochen rationle Funktionen
sind stetig auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich (für jeweils zu-lässige Parameter a).
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“Vererbung” der Stetigkeit
Sind f : D → R und g : D → R stetig im Punkt a ∈ D, so sind
f + g, f − g, f · g undf
g(falls g(a) 6= 0)
auch stetig in a.
Seien f : A→ B und g : B → C gegeben.Wenn f in a ∈ A und g in f (a) ∈ B stetig sind, dann ist die verketteteFunktion
g ◦ f : A→ Cstetig in a.
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Extremalstellen
Sei D ⊆ R und f : D → R.x0 ∈ D heißt Maximalstelle von f , wenn
f (x0) ≥ f (x) für alle x ∈ D.Falls eine Maximalstelle existiert, so heißt f (x0) das Maximum von fauf D, kurz schreibt man dafür
maxx∈D
f (x).
x0 ∈ D heißt Minimalstelle von f , wenn
f (x0) ≤ f (x) für alle x ∈ D.Falls eine Minimalstelle existiert, so heißt f (x0) das Minimum von fauf D, kurz schreibt man dafür
minx∈D
f (x).
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Satz von Weierstraß
SatzSei f : [a, b] → R stetig. Dann ist f beschränkt und besitzt Maximumund Minimum, d.h. es existieren x0 ∈ [a, b] und x1 ∈ [a, b] mit
f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1) für alle x ∈ [a, b].
Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetigeFunktion nimmt dort Maximum und Minimum an.
Allgemeiner gilt:Sei D ⊂ R abgeschlossenen und beschränkt. Dann nimmt jede stetigeFunktion f : D → R auf D Maximum und Minimum an.
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Differenzierbarkeit
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Differenzenquotient
DefinitionSeien f : D → R mit D ⊆ R und x, x0 ∈ D mit x 6= x0.Dann heißt
f (x)− f (x0)
x− x0
Differenzenquotient von f bezüglich der Punkte x und x0.
Kurz schreibt man dafür auch∆y
∆x,
wobei∆y := f (x)− f (x0) und ∆x := x− x0.
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Differenzierbarkeit und Differenzialquotient
DefinitionSei f : D → R mit D ⊆ R und x0 sei innerer Punkt von D.
f heißt differenzierbar im Punkt x0, wenn der Grenzwert
limx→x0
f (x)− f (x0)
x− x0
existiert. Der Grenzwert wird dann mit
f ′(x0) oderd f
d x(x0) oder
d f
d x|x=x0
bezeichnet und Ableitung oder Differenzialquotient von f in x0 ge-nannt.
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SatzSei f : D → R mit D ⊆ R in x0 ∈ D differenzierbar.Dann ist f stetig in x0.
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DefinitionSei D ⊆ R offen und f : D → R sei in jedem Punkt von D differenzier-bar. Dann heißt f differenzierbar.
Die durch x 7→ f ′(x) definierte Abbildung f ′ : D → R heißt dann Ab-leitung von f .
Falls f ′ in x0 ∈ D stetig ist, heißt f stetig differenzierbar in x0.
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Rechts- und linksseitige Differenzierbarkeit
DefinitionSeien f : D → R mit D ⊆ R und x0 ∈ D.
Falls [x0, x0 + δ) ⊆ D für ein δ > 0 und der Grenzwert
limx→x0+0
f (x)− f (x0)
x− x0
existiert, so heißt f rechtsseitig differenzierbar in x0.
Falls (x0 − δ, x0] ⊆ D für ein δ > 0 und der Grenzwert
limx→x0−0
f (x)− f (x0)
x− x0
existiert, so heißt f linksseitig differenzierbar in x0.
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SatzEine Funktion f : D → R mit D ⊆ R ist in einem inneren Punkt x0von D genau dann differenzierbar, wenn rechts- und linksseitigerGrenzwert des Differenzenquotienten in x0 existieren und gleich sind.
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Regeln zum Differenzieren
Seien D ⊆ R offen und α ∈ R.Weiter seien f, g : D → R differenzierbar.
• (f + g)′ = f ′ + g′ Summenregel
• (α · f )′ = α · f ′
• (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ Produktregel
•(fg
)′=f ′ · g − f · g′
g2 , g(x) 6= 0 Quotientenregel
• (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g) · g′ Kettenregel
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Ableitung mittels Umkehrfunktion
SatzSei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R bijektiv und differenzierbar.Dann gilt für alle x ∈ D
(f−1)′(f (x)) · f ′(x) = 1.
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Logarithmisches Differenzieren
SatzSei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → (0,∞) differenzierbar.Dann gilt für alle x ∈ D
(ln f (x))′ =f ′(x)
f (x).
(ln f )′ heißt auch logarithmische Ableitung von f .
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Ableitung von Grundfunktionen
(xa)′ = a · xa−1 (a ∈ R, a 6= 0)
(sinx)′ = cosx
(cosx)′ = − sinx
(sinhx)′ = coshx
(coshx)′ = sinhx
(ex)′ = ex
(ax)′ = ax · ln a (a > 0)
(lnx)′ = 1x (x > 0)
(loga x)′ = 1x·ln a (x > 0, 1 6= a > 0)
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Höhere Ableitungen
DefinitionSei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R differenzierbar.Ist f ′ differenzierbar so heißt f zweimal differenzierbar und
f ′′ := (f ′)′
zweite Ableitung von f .
Ist die n-te Ableitung f (n) von f differenzierbar, dann heißt f(n + 1)-mal differenzierbar und
f (n+1) := (f (n))′
(n+1)-te Ableitung von f .
Für f (n) schreibt man auch dnfd xn
. Anstelle f (3) schreibt man f ′′′.
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DefinitionEine n-mal differenzierbare Funktion f : D → R heißt n-mal stetigdifferenzierbar, falls f (n) : D → R stetig ist.
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Lineare Approximation und Ableitung
SatzSeien D ⊆ R, x0 innerer Punkt von D und f : D → R.Dann ist f in x0 genau dann differenzierbar, wenn es g ∈ R gibt, so dass
limx→x0
f (x)− f (x0)− g · (x− x0)
x− x0= 0.
Im Falle der Differenzierbarkeit gilt
g = f ′(x0).
Die Funktion L : R→ R mit
L(x) := f (x0) + f ′(x0) · (x− x0)
heißt Linearisierung oder lineare Approximation von f in x0.
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Fehlerrechnung und -fortpflanzung
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Wie wirken sich Fehler in Eingangsdaten auf Ergebnis aus?
x Näherungswert für x
f (x) Näherungswert für f (x)
Absoluter Fehler
f (x)− f (x) ≈ f ′(x)(x− x)
Relativer Fehler
f (x)− f (x)
f (x)≈ f ′(x)(x− x)
f (x)
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Der Mittelwertsatz
SatzSei f : [a, b]→ R stetig und in (a, b) differenzierbar.Dann gibt es mindestens ein x0 ∈ (a, b) mit
f ′(x0) =f (b)− f (a)
b− a.
Folgerung (Satz von Rolle)
Zusätzlich zu den Voraussetzungen den Mittelwertsatzes sei f (a) =f (b) = 0. Dann gibt es mindestens ein x0 ∈ (a, b) mit
f ′(x0) = 0.
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Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Seien f, h : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar und es gelteh′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b).
Dann existiert ein x0 ∈ (a, b) mit
f ′(x0)
h′(x0)=f (b)− f (a)
h(b)− h(a).
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Die Regel von Bernoulli-l’Hospital
SatzSeien f, g : (a, b)→ R differenzierbar und x0 ∈ [a, b].Weiter sei g′(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b) und es gelte
limx→x0
f (x) = limx→x0
g(x) ∈ {0,∞,−∞}.
Aus
limx→x0
f ′(x)
g′(x)∈ R ∪ {−∞,∞},
folgt dann
limx→x0
f (x)
g(x)= limx→x0
f ′(x)
g′(x).
Die Aussage gilt analog, falls x→ x0 ersetzt wird durch
x→∞, x→ −∞, x→ x0 + 0 oder x→ x0 − 0.
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Der Taylorsche Satz
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Vorbereitung
SatzSeien pn : R→ R ein Polynom und x0 ∈ R.Dann gilt
pn(x) = a0 + a1(x− x0) + · · · + an(x− x0)n =
n∑k=0
ak(x− x0)k
mit
ak :=p
(k)n (x0)
k!(k = 0, 1, . . . , n).
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Das Taylorsche Polynom
DefinitionSeien D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R n-mal differenzierbar inx0 ∈ D. Dann heißt das Polynom Tn : R→ R mit
Tn(x) :=
n∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k
Taylorsches Polynom n−ten Grades zur Funktion f für die Entwick-lungsstelle x0.
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Der Taylorsche Satz
Sei D ⊆ R ein offenes Intervall. Die Funktion f : D → R sei (n+ 1)-malstetig differenzierbar. Weiter sei x0 ∈ D. Dann gibt es zu jedem x ∈ Deine Zahl θ ∈ (0, 1), so dass
f (x) = Tn(x) + Rn(x) =
n∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k + Rn(x),
wobei
Rn(x) :=f (n+1)(x0 + θ(x− x0))
(n + 1)!(x− x0)n+1
Restglied (in der LAGRANGE-Form) heißt.
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Charakterisierung von Konvexität und Monotoniebei differenzierbaren Funktionen
Sei D ⊆ R ein offenes Intervall und f : D → R zweimal differenzier-bar. Dann gilt:
f ist konvex ⇔ f ′ ist monoton wachsend ⇔ f ′′(x) ≥ 0 auf D
f ist konkav ⇔ f ′ ist monoton fallend ⇔ f ′′(x) ≤ 0 auf D
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Lokale Extremalstellen
DefinitionSeien D ⊆ R und f : D → R. Dann heißt x0 ∈ D lokale Maximalstellevon f , wenn es δ > 0 gibt, so dass
f (x0) ≥ f (x) für alle x ∈ D ∩ Uδ(x0).
x0 heißt lokale Minimalstelle von f , wenn es δ > 0 gibt, so dass
f (x0) ≤ f (x) für alle x ∈ D ∩ Uδ(x0).
Der Funktionswert f (x0) heißt dann entsprechend lokales Maximumbzw. lokales Minimum.
Statt ”lokal” sagt man auch ”relativ”.
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Notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung
SatzSeien D ⊆ R und f : D → R. Weiter sei x0 ∈ D eine lokale Extremal-stelle von f .
Falls x0 kein Randpunkt von D ist und f ′(x0) existiert, so gilt
f ′(x0) = 0.
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Notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung
SatzSeien D ⊆ R und f : D → R. Weiter sei x0 ∈ D eine lokale Extremal-stelle von f .
Falls x0 kein Randpunkt von D ist und f in einer δ-Umgebung von x0zweimal stetig differenzierbar ist, so gilt
f ′′(x0)
≥ 0, falls x0 lokale Minimalstelle,
≤ 0, falls x0 lokale Maximalstelle.
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Hinreichende Optimalitätsbedingungenfür lokale Extremalstellen
SatzSeien D ⊆ R, f : D → R und x0 innerer Punkt von D. Weiter sei-en f zweimal stetig differenzierbar in einer δ-Umgebung von x0 undf ′(x0) = 0. Dann gilt:
f ′′(x0) > 0 ⇒ x0 ist lokale Minimumstelle von f
undf ′′(x0) < 0 ⇒ x0 ist lokale Maximalstelle von f.
103
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Hinreichende Optimalitätsbedingungenfür globale Extremalstellen
SatzSeien D ⊆ R ein Intervall, f : D → R konvex und x0 ∈ D. Dann gilt:
a) Wenn x0 lokale Minimalstelle von f ist, dann ist x0 auch globale Mi-nimalstelle von f .
b) Wenn f stetig differenzierbar und f ′(x0) = 0, dann ist x0 auch glo-bale Minimalstelle von f .
104
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Fixpunkte
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Fixpunkt einer Funktion
DefinitionSeien D ⊆ R und f : D → R. Wenn x∗ ∈ D die Gleichung
x = f (x)
löst, dann heißt x∗ Fixpunkt der Funktion f .Die vorstehende Gleichung wird Fixpunktgleichung genannt.
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Banachscher Fixpunktsatz
Seien D ⊆ R und f : D → R und es gelte:
• f bildet D in sich ab, d.h. f (D) ⊆ D,•D ist abgeschlossen,• f ist kontraktiv, d.h. es gibt q < 1, so dass
|f (x)− f (y)| ≤ q|x− y| für alle x, y ∈ D.
Dann besitz f genau einen Fixpunkt x∗ ∈ D und die durch
xk+1 := f (xk)
definierte Folge (xk) konvergiert für jeden Startwert x0 ∈ D gegen denFixpunkt x∗ und es gilt
|xk − x∗| ≤qk
1− q |x1 − x0| a-priori Abschätzung,
|xk − x∗| ≤q
1− q |xk+1 − xk| a-posteriori Abschätzung.
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Das Newton-Verfahren
zur Lösung von Gleichungen (Nullstellenbestimmung)
f (x) = 0
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Newton-Verfahren
Seien D ⊆ R offen und f : D → R stetig differenzierbar.
1. Wähle x0 ∈ D. Setze k := 0.
2. Bestimme (falls möglich) xk+1 als Lösung der Gleichung
f (xk) + f ′(xk)(x− xk) = 0.
3. Setze k := k + 1 und gehe zu Schritt 2.
In einer Implementierung wird zu Beginn von Schritt 2 ein Abbruchtest verwendet.
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Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens
SatzSeien D ⊆ R offen und f : D → R stetig differenzierbar.Weiter sei x∗ ∈ D eine Nullstelle von f mit f ′(x∗) 6= 0.
Dann gibt es δ > 0, so dass das Newton-Verfahren für jeden Startpunktx0 ∈ Uδ(x∗) wohldefiniert ist und eine gegen x∗ konvergente Folge (xk)erzeugt.
Ist f ′ auch Lipschitz-stetig auf Uδ(x∗), d.h. es gibt L > 0, so dass
|f ′(x)− f ′(y)| ≤ L|x− y| für alle x, y ∈ Uδ(x∗),dann konvergiert die Folge (xk) sogar Q-quadratisch gegen x∗, d.h. esgibt C > 0 so dass
|xk+1 − x∗| ≤ C|xk − x∗|2 für k = 0, 1, 2, . . .
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Unbestimmtes Integral
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DefinitionSeien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R, F : I → R Funktionen, sodass F differenzierbar ist und
F ′ = f.
Dann heißt F Stammfunktion von f .
Die Menge aller Stammfunktionen von f wird mit∫f (x) dx
bezeichnet und heißt unbestimmtes Integral des Integranden f .Man schreibt auch ∫
f (x) dx = F (x) + C
mit einer unbestimmten Konstanten C ∈ R.
Jede stetige Funktion f : I → R besitzt eine Stammfunktion.
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Einige unbestimmte Integrale
Funktion Stammfunktionf (x) = F (x) =
xn 1n+1x
n+1 (n ∈ Z, n 6= −1)
xa 11+ax
a+1 (a ∈ R, a 6= −1, x > 0)1x ln |x| (x 6= 0)
ex ex
lnx −x + x lnx (x > 0)sinx − cosxcosx sinxsinhx coshxcoshx sinhx
11+x2 arctanx
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Integrationregeln und -techniken
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Linearität des unbestimmten Integrals
SatzSeien α, β ∈ R und f, g : I → R Funktionen, die Stammfunktionenbesitzen. Dann gilt∫
(αf (x) + βg(x)) dx = α
∫f (x) dx + β
∫g(x) dx.
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Substitutionsregel
SatzSeien I, J Intervalle, f : J → R stetig mit Stammfunktion F : J → Rund ϕ : I → Wϕ ⊆ J stetig differenzierbar.
Falls die Umkehrfunktion ϕ−1 : Wϕ→ I existiert, gilt∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C.
116
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Partielle Integration
Seien u, v : I → R stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt∫u′(x) · v(x) dx = u(x) · v(x)−
∫u(x)v′(x) dx.
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Partialbruchzerlegung undIntegration gebrochen rationaler Funktionen
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Polynome mit reellen Koeffizienten
Sei z∗ := a∗ + b∗ i mit b 6= 0 Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koef-fizienten.
Dann ist auch z∗ := a∗ − b∗ i Nullstelle dieses Polynoms.
Echt komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms treten also immerpaarweise auf.
Für das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ergibt sich derquadratische Faktor
(z − z∗)(z − z∗) = z2 − 2a∗z + (a2∗ + b2∗)
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Zerlegung eines reellen Polynomsin Linearfaktoren und quadratische Faktoren
Das Polynom q : C→ C mit q(z) :=m∑j=1
ajzj
besitze nur reelle Koeffizienten a0, . . . , am mit am 6= 0.Weiter seien x1, . . . , xr ∈ R Nullstellen von q mit den Vielfachheitenµ1, . . . , µr und (z1, z1), . . . , (zs, zs) ∈ C komplexe Nullstellenpaare vonq mit den Vielfachheiten ν1, . . . , νs.
Dann gilt µ1 + · · · + µr + 2(ν1 + · · · + νs) = m und
q(z) = am
r∏k=1
(z − xk)µks∏k=1
(z2 + αkz + βk)νk
mit αk := −2Re(zk) und βk := |zk|2.
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Partialbruchzerlegung
Sei q ein reelles Polynom vom Gradm. Weiter sei p ein reelles Polynomvom Grad n mit n < m. Dann gibt es eindeutig bestimmte Koeffizien-ten akj, bkj, ckj , so dass
p(z)q(z)
=r∑k=1
µk∑j=1
akj(z − xk)j
+s∑k=1
νk∑j=1
bkjz + ckj(z2 + αkz + βk)j
=a11
z − x1+ · · ·+ a1µ1
(z − x1)µ1+ · · ·+ ar1
z − xr + · · ·+ arµr(z − xr)µr
+b11z + c11
z2 + α1z + β1+ · · · + b1ν1
z + c1ν1
(z2 + α1z + β1)ν1+ · · ·+
+bs1z + cs1
z2 + αsz + βs+ · · · + bsνsz + csνs
(z2 + αsz + βs)νs.
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Schritte zur Partialbruchzerlegung
Gegeben seien reelles Zählerpolynom p vom Grad n und ein reellesNennerpolynom q vom Grad m.
• Falls n ≥ m, dann liefert Polynomdivision
p(z)
q(z)= g(z) +
p(z)
q(z)
Dabei ist der Grad des Polynoms g gleich n −m und der Grad desPolynoms p kleiner als m.
• Zerlegen des Nennerpolynoms q in Linearfaktoren und/oder qua-dratische Faktoren
• Aufstellen des Ansatzes für die Partialbruchzerlegung für p(z)q(z)
• Bestimmung der Koeffizienten der Partialbrüche
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Integration von Partialbrüchen
∫a
(z − ξ)µdz =
a ln |z − ξ| falls µ = 1
a1− µ(z − ξ)−µ+1 falls µ 6= 1
∫bz + c
z2 + αz + βdz =
b
2ln(z2 + αz + β) +
c− αβ2√
β − α2
4
arctanz + α
2√β − α2
4
∫bz + c
(z2 + αz + β)νdz → Formelsammlungen u. Lehrbücher
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Das bestimmte Integral
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Sei f : [a, b]→ R beschränkt.
Teilung T des Intervalls [a, b] in Teilintervalle
∆1 := [x0, x1], ∆2 := [x1, x2], . . . ,∆n := [xn−1, xn]
Schranken für Höhe der Streifenflächen
Mi := supx∈∆i
f (x) bzw. mi := infx∈∆i
f (x)
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Obere und untere Schranken für Inhalte der Streifenflächen
Mi(xi+1 − xi) bzw. mi(xi+1 − xi)
Obersumme bzw. Untersumme
O(T ) :=
n∑i=1
Mi(xi+1 − xi) bzw. U(T ) :=
n∑i=1
mi(xi+1 − xi)
Oberintegral bzw. Unterintegral
O := infTO(T ) bzw. U := sup
TU(T )
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Das Riemannsche Integral
DefinitionSei f : [a, b]→ R eine beschränkte Funktion.Dann heißt f auf [a, b] Riemann-integrierbar, falls das Unter- und dasOberintegral von f in R existieren und übereinstimmen (U = O).Der gemeinsame Wert wird bestimmtes Riemannsches Integral vonf über [a, b] genannt und mit ∫ b
af (x) dx
bezeichnet.Dabei heißen a bzw. b untere bzw. obere Integrationsgrenze,[a, b] Integrationsintervall, x Integrationsvariable und f Integrand.
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Integrierbarkeit stetiger Funktionen
SatzFalls f : [a, b] → R stetig oder stückweise stetig ist, dann ist f auf [a, b]integrierbar.
DefinitionEine Funktion f : [a, b] → R heißt stückweise stetig, wenn f für allex ∈ [a, b] mit Ausnahme endlich vieler hebbarer Unstetigkeitsstellenoder Unstetigkeitsstellen 1. Art (Sprungstellen) stetig ist.
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Mittelwertsatz der Integralrechnung
SatzSei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit∫ b
af (x) dx = f (ξ)(b− a).
Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Seien f : [a, b]→ R und g : [a, b]→ R stetig.Falls g(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b), so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit∫ b
af (x)g(x) dx = f (ξ)
∫ b
ag(x) dx.
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Rechenregeln für bestimmte Integrale
Seien f, g : [a, b] → R integrierbar sowie c ∈ (a, b) und α, β ∈ R. Danngilt:
•∫ b
a(αf (x) + βg(x)) dx = α
∫ b
af (x) dx + β
∫ b
ag(x) dx,
•
∣∣∣∣∣∫ b
af (x) dx
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a|f (x)|dx,
•∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx.
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Seien f : [a, b]→ R integrierbar und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b).Dann gilt ∫ b
af (x) dx ≥ 0.
Ist f außerdem stetig, dann gilt∫ b
af (x) dx = 0 ⇔ f = 0.
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Erster Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ist die Funktion F : [a, b]→ R mit
F (x) :=
∫ x
af (t) dt für alle x ∈ [a, b]
eine Stammfunktion von f .
Für jede andere Stammfunktion F1 von f gilt
F1(x) = F (x) + C für alle x ∈ [a, b]
mit einem passenden C > 0.
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Zweiter Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung
Sei f : [a, b]→ R stetig und F : [a, b]→ R Stammfunktion von f .Dann gilt ∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a).
Man schreibt dafür auch
F (x)|ba oder [F (x)]ba .
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Volumen und Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern
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Rotationskörper
Sei f : [a, b]→ R eine stetige Funktion.Rotiert der Funktionsgraph
{(x, f (x)) |x ∈ [a, b]}um die x−Achse, so entsteht der durch die Funktion f erzeugteRotationskörper
xyz
∣∣∣∣x ∈ [a, b], y2 + z2 ≤ f (x)2
.
Entsprechend modifizierte Definition bei Rotation um andere Achsen.
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Volumen und Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern
SatzSei f : [a, b] → R stetig. Dann besitzt der von f (bei Rotation um diex-Achse) erzeugte Rotationskörper das Volumen
V := π
∫ b
af2(x) dx.
Falls f stetig differenzierbar und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann hatder Rotationskörper den Mantelflächeninhalt
AM := 2π
∫ b
af (x)
√1 + f ′(x)2 dx.
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Parameterintegrale und ihre Differenziation
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Parameterintegral
DefinitionSeien f : [a, b]× R→ R sowie g, h : [a, b]→ R.Weiter sei f (x, ·) : R→ R für alle x ∈ [a, b] integrierbar.
Dann heißt die Funktion F : [a, b]→ R mit
F (x) :=
∫ h(x)
g(x)f (x, y) dy für x ∈ [a, b]
Parameterintegral mit dem Parameter x.
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Differenziation des ParameterintegralsLeibnizsche Regel
SatzSeien f : [a, b]× R→ R und g, h : [a, b]→ R. Weiter seien– f (x, ·) : R→ R integrierbar für alle x ∈ [a, b],– f (·, y) stetig differenzierbar für alle y ∈ R und– g, h stetig differenzierbar.
Dann ist F stetig differenzierbar mit
F ′(x) = ddx
h(x)∫g(x)
f (x, y) dy
=h(x)∫g(x)
∂ f (x,y)∂x dy + f (x, h(x))h′(x)− f (x, g(x))g′(x).
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Uneigentliche Integrale erster Art
Jeder der Grenzwerte
•∞∫af (x) dx := lim
v→∞
v∫af (x) dx,
•b∫−∞
f (x) dx := limu→−∞
b∫uf (x) dx,
•∞∫−∞
f (x) dx := limu→−∞
c∫uf (x) dx + lim
v→∞
v∫cf (x) dx
heißt (falls er in R existiert) uneigentliches Integral erster Art.
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Uneigentliche Integrale zweiter Art
Jeder der Grenzwerte
•b∫af (x) dx := lim
u→a+0
b∫uf (x) dx (mit a Polstelle von f )
•b∫af (x) dx := lim
v→b−0
v∫af (x) dx (mit b Polstelle von f )
•b∫af (x) dx := lim
u→a+0
c∫uf (x) dx + lim
v→b−0
v∫cf (x) dx
(mit a, b Polstellen von f und c ∈ (a, b))
heißt (falls er in R existiert) uneigentliches Integral zweiter Art.
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Kriterien für Konvergenz bei uneigentlichen Integralen
142
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Notwendige Bedingung
SatzSei f : I → R mit I := [a,∞) bzw. I := (−∞, b].Weiter sei f nichtnegativ und monoton fallend auf I .
Falls der Grenzwert ∫ ∞a
f (x) dx
in R existiert, dann giltlimx→∞
f (x) = 0.
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Majoranten- und Minoranten-Kriterium
Seien f, g : [a,∞)→ R stetig mit g(x) ≥ f (x) ≥ 0 auf [a,∞).Dann gilt:
•∞∫a
g(x) dx konvergiert ⇒∞∫a
f (x) dx konvergiert
(g ist konvergente Majorante von f )
•∞∫a
f (x) dx divergent ⇒∞∫a
g(x) dx divergent.
(f ist divergente Minorante von g)
Analoge Aussagen gelten für die anderen uneigentlichen Integrale.
144
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Potenzfunktionen als Majoranten
Seien f : [a,∞)→ R, g : (0, b]→ R stetig und M > 0.
• Falls α > 1 und |f (x)| ≤ M
xαfür alle x ≥ a,
dann konvergiert
∞∫a
f (x) dx.
• Falls 0 < α < 1 und |g(x)| ≤ M
xαfür alle x ∈ (0, b],
dann konvergiert
b∫0
g(x) dx.
145
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Potenzfunktionen als Minoranten
Seien f : [a,∞)→ R, g : (0, b]→ R stetig und M > 0.
• Falls α ≤ 1 und f (x) ≥ M
xαfür alle x ≥ a,
dann divergiert
∞∫a
f (x) dx.
• Falls α ≥ 1 und g(x) ≥ M
xαfür alle x ∈ (0, b],
dann divergiert
b∫0
g(x) dx.
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Absolute Konvergenz
∞∫a
|f (x)|dx konvergiert ⇒∞∫a
f (x) dx konvergiert.
Analoge Aussagen gelten für die anderen uneigentlichen Integrale.
147
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Interpolation
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Stützstellen und Stützwerte
Gegegben seien Paare
(x0, f0), (x1, f1), . . . , (xn, fn)
von paarweise verschiedenen Stützstellen xi und Stützwerten fi
Interpolationsaufgabe
Gesucht ist eine Funktion f : [x0, xn]→ R, die dieInterpolationsbedingungen
f (x0) = f0, f (x1) = f1, · · · , f (xn) = fn
erfüllt.Eine solche Funktion heißt Interpolierende oder Interpolationsfunk-tion.
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Es gibt unendlich viele Interpolierende⇒ Einschränkung erforderlich!
Polynominterpolation
SatzFür (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit paarweise verschiedenen Stützstellen gibtes genau ein Polynom p (höchstens n-ten Grades), so dass
p(xi) = fi für i = 0, . . . , n.
Dieses Polynom heißt Interpolationspolynom zu den gegebenen n+ 1Paaren aus Stützstellen und Stützwerten.
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Form des Interpolationspolynoms nach Lagrange
p(x) :=
n∑j=0
fjLj(x)
Lagrange Basispolynome
Lj(x) :=
n∏k=0,k 6=j
x− xkxj − xk
Damit gilt Lj(xi) =
{1 falls i = j,0 sonst.
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Newtonsche Form des Interpolationspolynoms
pn(x) :=b0 + b1(x−x0) + b2(x−x0)(x−x1) + · · · + bn(x−x0) · · · (x−xn−1)
Bestimmung der Koeffizienten b0, . . . , bn
mit Hilfe der Interpolationsbedingungen:
f0 = pn(x0) = b0f1 = pn(x1) = b0 + b1(x1−x0)f2 = pn(x2) = b0 + b1(x2−x0) + b2(x2−x0)(x2−x1)
...fn = pn(xn) = b0 + b1(xn−x0) + b2(xn−x0)(xn−x1) + · · ·+
+bn(xn−x0) · · · (xn−xn−1)
Gestaffeltes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung vonb0, . . . , bn
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Fehler bei Polynominterpolation
SatzSeien x0 < x1 < · · ·< xn−1 < xn und f : [x0, xn] → R (n + 1)-mal stetigdifferenzierbar. Weiter seien die Stützwerte durch
f0 := f (x0), . . . , fn := f (xn)
gegeben und pn bezeichne das zugehörige Interpolationspolynom.Dann gilt
f (x)− pn(x) =f (n+1)(ξx)
(n + 1)!(x− x0) · · · (x− xn)
für alle x ∈ [x0, xn] mit einem von x abhängigen ξx ∈ (x0, xn).
Eine Erhöhung der Stützstellenzahl führt aber nicht unbedingt zueiner Verbesserung der Approximationsgüte
max{|f (x)− pn(x)| |x ∈ [x0, xn]}.
153
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Runge-Funktion zur Interpolation
f (x) :=1
1 + (5x)2für x ∈ [−5, 5]
154
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Interpolation mit Splines
Polynom-Splines
DefinitionSeien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegebene Stützstellen.Eine Funktion s : [x0, xn] → R heißt Polynom-Spline vom Grad m,wenn s
• auf jedem Intervall [xi, xi+1] für i = 0, . . . , n − 1 ein Polynom höch-stens m-ten Grades ist und
• (m− 1)-mal stetig differenzierbar ist.
155
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Interpolation mit kubischen Polynom-Splines
SatzSeien (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegeben.Dann gibt es dazu mindestens einen Polynom-Spline s : [x0, xn] → Rvom Grad 3, der die Interpolationsbedingungen
s(xi) = fi, (i = 0, . . . , n)
erfüllt.
156
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Eindeutigkeit des kubischen Interpolationssplines
Unter geeigneten zusätzlichen Bedingungen ist der kubische Interpo-lationsspline eindeutig, so genügt z.B. eine der folgenden Randbedin-gungen:
• s′(x0) = α, s′(xn) = β mit beliebig gegebenen α, β ∈ R(vollständige Spline-Interpolation)
• s′′(x0) = s′′(xn) = 0 (natürliche Spline-Interpolation)
• s′(x0) = s′(xn), s′′(x0) = s′′(xn)(periodische Spline-Interpolation)
157
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Minimale Krümmung kubischer Interpolationssplines
SatzSeien (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegeben.Es bezeichne s einen zugehörigen kubischen Interpolationsspline undy : [x0, xn] → R eine zweimal stetig differenzierbare Interpolierende.Sowohl Interpolationsspline als auch Interpolierende mögen dieselbeder Randbedingungen erfüllen. Dann gilt∫ xn
x0
s′′(x)2 dx ≤∫ xn
x0
y′′(x)2 dx.
158
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Fehler bei Interpolation mit kubischen Polynom-Splines
SatzSeien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn und f : [x0, xn] → R viermal stetigdifferenzierbar und es liege einer der frei Fälle
• f ′(x0) = α, f ′(xn) = β (vollständige Spline-Interpolation),
• f ′′(x0) = f ′′(xn) = 0 (natürliche Spline-Interpolation) oder
• f (k)(x0) = f (k)(xn), k = 0, 1, 2 (periodische Spline-Interpolation).
vor. Mit s werde der zugehörige kubische Polynom-Spline bezeichnet.
Dann gilt für k = 0, 1, 2∫ xn
x0
(f (k)(x)− s(k)(x))2 dx ≤ xn − x0
120|f (4)(ξk)|h4−k
mit einem ξk ∈ [a, b], wobei h := max{xi+1 − xi | i = 0, . . . , n− 1}.
159
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Numerische Integration
160
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Idee zur Gewinnung von Quadraturformeln
Das bestimmte Integral
I(f ) :=
∫ b
af (x) dx
wird ersetzt durch die Näherung
Q(f ) :=
∫ b
ap(x) dx.
Dabei ist p : [a, b]→ R eine geeignete Näherung von f ,zum Beispiel ein Interpolationspolynom
161
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Beispiele für Quadraturformeln
Trapezregel
Q(f ) :=f (a) + f (b)
2(b− a)
zugehöriges Interpolationspolynom
p(x) := f (a)x− ba− b
+ f (b)x− ab− a
162
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Zusammengesetzte Trapezregel
Stützstellen
a =: x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn := b
Q(f ) := h
(1
2f (x0) + f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn−1) +
1
2f (xn)
)
163
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Äquidistante Stützstellen
a =: x0 < x1 < · · · < xn := b,
xj := a + jh für j = 0, 1, . . . , n mit h :=b− an
164
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Simpson-Formel
Q(f ) :=b− a
6
(f (a) + 4f
(a + b
2
)+ f (b)
)zugehöriges Interpolationspolynom hat Höchstgrad 2
Zusammengesetzte Simpson-Formel
äquidistante Stützstellen
Q(f ) :=h
3
(f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · · + 4f (xn−1) + f (xn)
)
165
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Fehler der zusammengesetzten Trapezregel
Sei f : [a, b] zweimal stetig differenzierbar. Die Stützstellen seien äqui-distant. Dann gibt es ξ ∈ (a, b), so dass
|I(f )−Q(f )| = |f ′′(ξ)|(b− a)h2
12.
Fehler der zusammengesetzten Simpson-Formel
Sei f : [a, b] → R viermal stetig differenzierbar. Die Stützstellen seienäquidistant. Dann gibt es ξ ∈ (a, b), so dass
|I(f )−Q(f )| = |f (4)(ξ)|(b− a)h4
180.
166
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Vektorräume
167
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Beispiele zur Motivation
Menge
R2 :=
{x =
(x1x2
)|x1, x2 ∈ R
}Addition von Elementen x,y ∈ R2(
x1x2
)+
(y1y2
):=
(x1 + y1x2 + y2
)Multiplikation eines Elements x ∈ R2 mit einem Skalar λ ∈ R
λ ·(x1x2
):=
(λx1λx2
)
168
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Menge
Πn := {p : C→ C | p ist Polynom vom Höchstgrad n}
Addition von Elementen p, q ∈ Πn
(p + q)(z) := p(z) + q(z)
Multiplikation eines Elements p ∈ Πn mit einem Skalar λ ∈ C
(λp)(z) := λp(z)
169
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MengeC[a, b] := {f : [a, b]→ R | f ist stetig}
Addition von Elementen f, g ∈ C[a, b]
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
Multiplikation eines Elements f ∈ C[a, b] mit einem Skalar λ ∈ R
(λf )(x) := λf (x)
170
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Definition eines Vektorraumes über R oder C
Sei V eine nichtleere Menge und K der Körper C oder R.
Für beliebige x,y ∈ V und λ ∈ K seien folgende Verknüpfungendefiniert:
x + y ∈ V die Addition (Summe) undλ · x ∈ V die Multiplikation mit einem Skalar aus K.
Dann heißt das Tripel (V,+, ·) Vektorraum oder linearer Raum überK und die Elemente von V heißen Vektoren, wenn nachfolgendeVektorraumaxiome gelten:
171
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Vektorraumaxiome (Teil 1)
1) Kommutativgesetz der Additionx + y = y + x für alle x,y ∈ V
2) Assoziativgesetz der Additionx + (y + z) = (x + y) + z für alle x,y, z ∈ V
3) Neutrales Element der AdditionEs gibt o ∈ V (Nullvektor), so dass
x + o = x für alle x ∈ V
4) Inverse Elemente bzgl. der AdditionZu jedem x ∈ V gibt es ein −x ∈ V , so dass
x + (−x) = o
172
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Vektorraumaxiome (Teil 2)
5) 1 ∈ K ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation, d.h.
1 · x = x für alle x ∈ V
6) Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation
λ(µ · x) = λµ · x für alle x ∈ V und alle λ, µ ∈ K
7) Erstes Distributivgesetzλ(x + y) = λx + λy für alle x,y ∈ V und alle λ ∈ K
8) Zweites Distributivgesetz(λ + µ)x = λx + µx für alle x ∈ V und alle λ, µ ∈ K
Es kann u.a. gezeigt werden, dass
• es genau ein neutrales Element der Addition gibt,• es zu jedem x ∈ V genau ein inverses Element −x gibt und• −x = (−1) · x.
173
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Linearkombination
DefinitionSeien v1, . . . ,vk Vektoren aus dem Vektorraum V über K und λ1, . . . , λkZahlen aus dem Körper K. Dann wird der Vektor
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvkals eine Linearkombination der Vektoren v1, . . . ,vk bezeichnet.
Lineare Hülle
DefinitionSeien v1, . . . ,vk Vektoren aus dem Vektorraum V über K. Dann heißt
lin(v1, . . . ,vk) := {v = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk | λ1, . . . , λk ∈ K}lineare Hülle der Vektoren v1, . . . ,vk.
174
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Lineare Abhängigkeit – Lineare Unabhängigkeit
DefinitionVektoren v1, . . . ,vk ∈ V heißen linear abhängig, wenn wenigstens ei-ner von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werdenkann.Andernfalls heißen die Vektoren v1, . . . ,vk linear unabhängig.
SatzVektoren v1, . . . ,vk ∈ V sind genau dann linear unabhängig, wenn aus
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = o
folgt, dassλ1 = λ2 = · · · = λk = 0.
175
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Dimension eines Vektorraumes
DefinitionFalls es in einem Vektorraum V höchstens n < ∞ linear unabhängigeVektoren gibt, dann heißt V endlichdimensional und n wird Dimen-sion von V genannt (in Zeichen dimV = n).
Andernfalls heißt V unendlichdimensional.
Dimension des Rn
SatzDer Vektorraum Rn hat die Dimension n.
176
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Basis
DefinitionEs sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann wird jedes n-Tupel
(v1, . . . ,vn)
von linear unabhängigen Vektoren v1, . . .vn aus V Basis desVektorraums V genannt.
SatzEs sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann sind mehr als n Vek-toren aus V immer linear abhängig.
177
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Koordinatendarstellung eines Vektors
Sei V ein Vektorraum über K. Weiter sei
(a1, . . . , an)
eine Basis von V . Dann existieren für jeden Vektor a ∈ V eindeutigbestimmte Zahlen α1, . . . , αn ∈ K, so dass
a =
n∑i=1
αiai.
Die Zahlen α1, . . . , αn heißen Koordinaten des Vektors a bezüglichder Basis (a1,. . . , an).
178
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Unterraum
DefinitionSeien V ein Vektorraum und U ⊆ V . Ist U selbst wieder einVektorraum, so heißt U Unterraum oder Teilraum von V .
179
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Skalarprodukt
Sei V ein Vektorraum über dem Körper R .Dann heißt eine Abbildung
〈·, ·〉 : V × V → R
Skalarprodukt oder inneres Produkt in V , wenn sie folgendenBedingungen für beliebige x,y, z ∈ V und λ ∈ R genügt:
• Symmetrie 〈x,y〉 = 〈y,x〉• Additivität (bzgl. des ersten Arguments)
〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉•Homogenität (bzgl. des ersten Arguments)
〈λx,y〉 = λ〈x,y〉• Positive Definitheit
x 6= o ⇔ 〈x,x〉 > 0
180
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Euklidischer Raum
DefinitionEs sei V ein Vektorraum über R und 〈·, ·〉 ein Skalarprodukt inV . Dann heißt das Paar (V, 〈·, ·〉) Euklidischer Vektorraum oderEuklidischer Raum.
Der Rn als Euklidischer Raum
Sei V := Rn der Vektorraum der reellen n-Tupel über R.Dann ist durch
〈x,y〉 := x · y :=
n∑i=1
xiyi für alle x,y ∈ Rn
ein Skalarprodukt in Rn definiert. Dieses Skalarprodukt wird auchStandardskalarprodukt in Rn genannt. Der Rn ist zusammen mit demStandardskalarprodukt ein Euklidischer Raum.
181
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Norm und Betrag eines Vektors
DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dannheißt
‖x‖ :=√〈x,x〉
Norm des Vektors x ∈ V .Falls ‖x‖ = 1, so heißt x Einheitsvektor.
Für den Rn mit dem Standardskalarprodukt wird
|x| =
√√√√ n∑i=1
x2i .
auch als Betrag des Vektors x ∈ Rn bezeichnet.
182
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Der Winkel zwischen zwei Vektoren
DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉.Für beliebige x,y ∈ V \ {o} ist der nichtorientierte Winkel ∠(x,y)zwischen x und y als eindeutige Lösung der Gleichung
cos∠(x,y) =〈x,y〉‖x‖ · ‖y‖
im Intervall [0, π] erklärt.
183
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Orthogonalität
DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉. Dannheißen Vektoren x,y ∈ V orthogonal, wenn
〈x,y〉 = 0.
184
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Orthogonales Komplement
DefinitionSei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt 〈·, ·〉. Weitersei U ein Untervektorraum von V . Dann heißt
U⊥ := {x ∈ V | 〈x,u〉 = 0 für alle u ∈ U}orthogonales Komplement von U .
(U⊥ ist selbst wieder ein Unterraum von V .)
185
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SatzSeien V ein Euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V .Dann gibt es zu jedem Vektor x ∈ V eindeutige Vektoren u ∈ U undu⊥ ∈ U⊥, so dass
x = u + u⊥.
186
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Orthogonal- und Orthonormalsysteme
Sei V ein Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Sind dieVektoren v1, . . . ,vn aus V \ {o} paarweise orthogonal, gilt also
〈vi,vj〉 = 0 (i 6= j),
so heißt (v1, . . .vn) Orthogonalsystem.
Gilt zusätzlich
‖vi‖ :=√〈vi,vi〉 = 1 (i = 1, . . . , n),
dann spricht man von einem Orthonormalsystem.
Ist (v1, . . .vn) eine Basis von V , so wird das System dann Orthogonal-basis bzw. Orthonormalbasis genannt.
187
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Orthogonalisierungsverfahren nach Schmidt
Es seien V ein Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und(v1, . . . ,vn) ein System linear unabhängiger Vektoren aus V .Weiter sei ‖ · ‖ :=
√〈·, ·〉
Setze e1 := v1‖v1‖
.
Für r := 2, . . . , n setze
er := vr −r−1∑k=1
< vr, ek > ek und er :=er‖er‖
.
Dann bildet (e1, . . . , en) ein Orthonormalsystem und es gilt
lin(e1, . . . , en) = lin(v1, . . . ,vn).
188
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Matrizen
189
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DefinitionGegeben seien die Koeffizienten
aij ∈ K für i = 1, 2, . . . ,m und j = 1, 2, . . . , n.
Dann heißt das Koeffizientenschema
A :=
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n... ... ...am1 am2 . . . amn
Matrix über K.Matrizen mit m Zeilen und n Spalten werden als m × n – Matrizenbezeichnet. Mit
Km×n
benennt man die Menge aller Matrizen dieses Typs. Ist der Typ derMatrix klar, so verwendet man auch die Kurzbezeichnung
A := (aij).
190
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Quadratische Matrizen
Eine Matrix mit genau soviel Zeilen wie Spalten heißt quadratischeMatrix. Speziell bezeichnet also
Rn×ndie Menge aller n× n – Matrizen über R.
191
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Transponierte Matrix
A :=
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n... ... ...am1 am2 . . . amn
∈ Km×n
A> :=
a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2... ... ...a1n a2n . . . amn
∈ Kn×m
A> wird als die transponierte Matrix von A bezeichnet.
192
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Symmetrische Matrizen
Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn
A = A>.
193
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Adjungierte Matrizen
Sei A = (aij) eine Matrix über C. Dann heißt
AH := A>
die zu A adjungierte Matrix, wobei A := (aij).
Selbstadjungierte Matrizen
Sei A eine Matrix über C. Dann heißt A selbstadjungiert, wenn
AH = A.
194
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Nullmatrix
Eine Matrix (aij) über K, deren Elemente aij alle gleich Null sind, heißtNullmatrix, in Zeichen O bzw. Omn ∈ Km×n.
Einheitsmatrix
Die quadratische Matrix
E := En :=
1 0 . . . 00 1 . . . 0... ... ...0 0 . . . 1
∈ Kn×n
heißt Einheitsmatrix.
195
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Kronecker-Symbol
δij :=
{1 falls i = j,0 falls i 6= j
heißt KRONECKER-Symbol.
Also gilt E = (δij).
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Hauptdiagonale
Sei A = (aij) eine n× n - Matrix.Dann bilden a11, . . . , ann die Hauptdiagonale von A.
197
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Obere und untere Dreiecksmatritzen
Eine n× n - Matrix A = (aij) heißt obere Dreiecksmatrix, falls
aij = 0 für alle i > j , also
A =
a11 a12 . . . a1,n−1 a1n
0 a22 . . . a2,n−1 a2n0 0 . . . a3,n−1 a3n... ... ... ...0 0 . . . 0 ann
Untere Dreiecksmatritzen sind analog erklärt.
198
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Addition von Matrizen
Seien A = (aij) und B = (bij) Matrizen gleichen Typs.Dann heißt die Matrix C = (cij) die Summe der Matrizen A und B,in Zeichen C := A + B, wenn
cij = aij + bij.
C hat denselben Typ wie die Matrizen A und B.
199
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Multiplikation einer Zahl mit einer Matrix
Seien λ ∈ K und A = (aij) eine Matrix über K.Dann heißt die Matrix C := (cij) das Produkt der Zahl λ mit A,in Zeichen C = λA, wenn
cij = λaij.
200
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SatzMit den Verknüpfungen– Addition von Matrizen und– Produkt einer Zahl mit einer Matrixist die Menge
Kn×nein Vektorraum über K mit der Dimension n2.
201
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Matrixmultiplikation
Es seienA = (aij) ∈ Km×p und B = (bij) ∈ Kp×n,
d.h. A besitzt genau so viele Spalten wie B Zeilen hat.Dann heißt die Matrix
C := (cij) ∈ Km×n
mit
cij :=
p∑k=1
aikbkj i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
das Produkt der Matrizen A und B, in Zeichen
C = A ·B.
202
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Merkregel für Matrixmultiplikation C = A ·B
Zeile × Spalte
Das Element cij der Produktmatrix C entsteht also durch“Multiplikation” der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.
203
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Regeln für die Matrixmultiplikation
• Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ und distributiv, d.h.
A ·B · C = (A ·B) · C = A · (B · C),
A · (B + C) = A ·B + A · C,(A + B) · C = A · C + B · C.
gilt für beliebige Matrizen A,B,C passenden Typs.
• Für beliebige Matrizen A ∈ Km×p und B ∈ Kp×n gilt
(A ·B)> = B> · A>.
• Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. i. Allg. gilt
A ·B 6= B · A.
204
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Multiplikation mit Null- und Einheitsmatrizen
SatzFür eine Matrix A mit jeweils passendem Typ gilt
• E · A = A,
• A · E = A,
•O · A = O,
• A ·O = O.
205
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Inverse Matrix
DefinitionSei A ∈ Kn×n. Wenn es eine Matrix B ∈ Kn×n mit der Eigenschaft
B · A = A ·B = E
gibt, so heißt B Inverse oder inverse Matrix von A.Für die inverse Matrix von A schreibt man dann auch
A−1.
Falls A eine inverse Matrix besitzt, so wird A invertierbar oderregulär genannt.Falls A keine Inverse besitzt, so heißt A nicht invertierbar odersingulär.
206
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Rang einer Matrix
Sei A ∈ Km×n.
• Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißtZeilenrang von A.
• Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißtSpaltenrang von A.
• Zeilenrang und Spaltenrang vonA sind gleich und werden als Rangder Matrix A bezeichnet, in Zeichen
rgA oder RangA.
•Man sagt, dass A Vollrang hat, wenn rgA = min{m,n}.• Stets gilt 0 ≤ rgA ≤ min{m,n}.
207
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Umformungen mit Rangerhaltung
Der Rang einer Matrix A über K bleibt bei
• der Vertauschung von Zeilen,
•Multiplikation einer Zeile mit λ ∈ K, λ 6= 0,
• Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile,
• Transponieren von Aunverändert.
208
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Lineare Gleichungssysteme
Ax = b
A ∈ Km×n und b ∈ Km sind gegeben.
Die Lösungsmenge L(A,b) := {x ∈ Kn |Ax = b} ist gesucht.
209
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Gaußscher AlgorithmusGegeben sei
A :=
a11 a12 · · · a1,r−1 a1r · · · a1n0 a22 · · · a2,r−1 a2r · · · a2n0 0 · · · a3,r−1 a3r · · · a3n... ... . . . ... ... ...0 0 · · · 0 arr · · · arn0 0 · · · 0 ar+1,r · · · ar+1,n... ... ... ... ...0 0 · · · 0 amr · · · amn
b :=
b1b2b3...brbr+1...bm
mit arr 6= 0
Eliminationsschritt
(Zeile i) := (Zeile i) + (Zeile r) ·(−airarr
)für i > r
210
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Ergebnis des Eliminationsschrittes
A=
a11 a12 · · · a1,r−1 a1r a1,r+1 · · · a1n0 a22 · · · a2,r−1 a2r a2,r+1 · · · a2n0 0 · · · a3,r−1 a3r a3,r+1 · · · a3n... ... . . . ... ... ... ...0 0 · · · 0 arr ar,r+1 · · · arn0 0 · · · 0 0 ar+1,r+1 · · · ar+1,n... ... ... ... ... ...0 0 · · · 0 0 amr · · · amn
b=
b1b2b3...brbr+1
...bm
Rang A = RangA
211
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Produktdarstellung des Eliminationsschrittes
lir :=−airarr
für i = r + 1, . . . ,m
Eliminationsmatrix
Lr :=
1 . . .
1lr+1,r 1... . . .lm,r 1
A = LrA
b = Lrb
212
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Spaltenpivotisierung
asr := max{|air| | i > r}Vertausche die Zeilen r und s in A und b.
Falls A invertierbar ist, dann garantiert diese Zeilenvertauschung vorjedem Eliminationsschritt dessen Durchführbarkeit (arr 6= 0).
213
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Gaußscher Algorithmusfür Gleichungssysteme mit regulärer Matrix
seien A ∈ Kn×n regulär und b ∈ Kn gegeben
(A,b) → Spaltenpivotisierungu. Eliminationsschritt → (A(1),b(1))
(A(1),b(1)) → Spaltenpivotisierungu. Eliminationsschritt → (A(2),b(2))
···(A(n−2),b(n−2)) → Spaltenpivotisierung
u. Eliminationsschritt → (A(n−1),b(n−1))
(A(n−1),b(n−1)) → Rückrechnung → x∗
214
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RückrechnungLösung eines regulären oberen Dreieckssystems
u11 u12 u13 · · · u1n0 u22 u23 · · · u2n0 0 u33 · · · u3n... ... . . . ...0 0 · · · 0 unn
x =
r1r2r3...rn
Von der letzten Gleichung an aufwärts bestimmt man nacheinanderx∗n,x
∗n−1, . . . ,x
∗1
215
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Lösung rechteckiger linearer Gleichungssysteme(bei exakter Rechnung)
• Alle vom Gaußschen Algorithmus erzeugten Gleichungssystemebesitzen dieselbe Lösungsmenge.
• A ∈ Km×n mit m > n:Gaußscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung en-det nach Rang A Eliminationsschritten
• A ∈ Km×n mit m ≤ n:Gaußscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung en-det nach min{m− 1,RangA} Eliminationsschritten.
• A ∈ Kn×n regulär:Gaußscher Algorithmus mit Zeilenpivotisierung endet nachn − 1 Eliminationsschritten und liefert ein eindeutig lösbares Glei-chungssystem mit oberer Dreiecksmatrix.
216
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LU-Faktorisierung einer regulären Matrix A ∈ Kn×n
Gaußsches Verfahren (falls ohne Pivotisierung durchführbar) liefert
A(n−1) = Ln−1Ln−2 · · ·L2L1AWegen
1 . . .1
lr+1,r 1... . . .lnr 1
1 . . .1
−lr+1,r 1... . . .−lnr 1
= E
folgt
A = L−11 L−1
2 · · ·L−1n−1A
(n−1) bzw. A = LU
mit der linken unteren Dreiecksmatrix L := L−11 L−1
2 · · ·L−1n−1
und der rechten oberen Dreiecksmatrix U := A(n−1).
217
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Lösung linearer Gleichungssysteme mittels LU-Faktorisierung
Gegeben sei Ax = b mit regulärer Matrix A ∈ Kn×n.
• Bestimme L,U , so dass A = LU Aufwand ≈ n3/3
• Bestimme z, so dass Lz = b Aufwand ≈ n2/2
• Bestimme x, so dass Ux = z Aufwand ≈ n2/2
Aufwandsgünstig für die Lösung mehrerer Gleichungssysteme mitderselben Koeffizientenmatrix A
218
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Lösbarkeit und Lösungsmengelinearer Gleichungssysteme
219
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Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme
DefinitionSeien A ∈ Km×n und b ∈ Km gegeben. Das lineare Gleichungssystem
Ax = bheißt homogen, wenn b = o.Andernfalls, wenn b 6= o , wird es inhomogen genannt.
220
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Erweiterte Koeffizientenmatrix
Die Matrix
(A|b) :=
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
... ... ... ...am1 am2 . . . amn bm
heißt erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungs-systems Ax = b.
221
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Allgemeines Lösbarkeitskriterium
SatzDas lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn
Rang (A|b) = RangA,d.h. wenn der Rang der Koeffizientenmatrix und der Rang dererweiterten Koeffizientenmatrix gleich sind.
222
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Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssystems
Sei A ∈ Km×n und bezeichne
L(A,o) := {x ∈ Kn |Ax = o}die Lösungsmenge des homogenen Systems Ax = o. Dann gilt:
• o ∈ L(A,o),
• L(A,o) ist ein Unterraum des Kn,
• dimL(A,o) = n− RangA.
223
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Lösungsmenge inhomogener linearer Gleichungssysteme
Seien A ∈ Km×n, b ∈ Km und bezeichne
L(A,b) := {x ∈ Kn |Ax = b}die Lösungsmenge des inhomogenen Systems Ax = b. Weiter seixs ∈ L(A,b) eine spezielle Lösung. Dann gilt:
L(A,b) = {xs} + L(A,o).
D.h. jede Lösung des inhomogenen Systems lässt sich als Summe auseiner speziellen Lösung des inhomogenen Systems und einer passen-den Lösung des homogenen Systems schreiben.
224
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Anzahl von Lösungen
SatzSeien A ∈ Km×n und b ∈ Km gegeben. Weiter sei das Gleichungssy-stem Ax = b lösbar.Falls
• RangA = n, dann gibt es genau eine Lösung,
• RangA < n, dann gibt es unendlich viele Lösungen.
225
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Determinanten
226
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DefinitionJeder quadratischen Matrix A = (aij) ∈ Kn×n ist durch
detA := |A| := a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n
die Zahl detA ∈ K zugeordnet. Sie heißt Determinante von A.Dabei ist Aij ∈ K die Adjunkte (oder das algebraische Komplement)des Elements aij.
227
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Adjunkte
Die Adjunkten sind für i, j ∈ {1, . . . , n} durch
Aij := (−1)i+j
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 . . . a1n... ... ... ...
ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,nai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
... ... ... ...an1 · · · an,j−1 an,j+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣definiert.Aij ist also die mit (−1)i+j multiplizierte Determinante der Matrix, dieaus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.
228
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Entwicklungssatz
Die Determinante detA der Matrix A ∈ Kn×n kann durch eine Ent-wicklung nach einer beliebigen Zeile k oder Spalte l berechnet werden.Genauer gilt
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
n∑µ=1
akµAkµ =
n∑µ=1
aµlAµl .
229
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Spaltenvektoren einer Matrix
Die Vektoren
a1 =
a11a21
...an1
, · · · , aj =
a1ja2j
...anj
, · · · , an =
a1na2n
...ann
werden als Spaltenvektoren der Matrix A = (aij) bezeichnet. Damitkann A auch in der Form
A = (a1, · · · , aj, · · · , an)
und die Determinante in der Form
det A = det(a1, · · · , aj, · · · , an)
geschrieben werden.
230
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Linearität der Determinante bezüglich einer Spalte
SatzSeien A ∈ Kn×n und λ, µ ∈ K. Dann gilt
det(a1, . . . , ai−1, λai + µbi, ai+1, . . . , an)
= λ det(a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an) +
µ det(a1, . . . , ai−1,bi, ai+1, . . . , an).
231
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Determinante bei linear abhängigen Spalten
SatzIst eine Spalte einer Matrix A ∈ Kn×n eine Linearkombination aus an-deren Spalten dieser Matrix, so verschwindet die Determinante derMatrix, d.h.
det(a1, a2, . . . , ak−1,
n∑µ=1µ6=k
λµaµ, ak+1, . . . , an) = 0.
232
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Invarianz der Determinante gegenüber Spaltenkombinationen
SatzSeien A ∈ Kn×n, λ ∈ K und i 6= k. Dann gilt
det(a1, . . . , an) = det(a1, . . . , ak−1, ak + λai, ak+1, . . . , an).
Addiert man also das λ-fache der i-ten Spalte von A zur k-ten Spaltevon A, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.
233
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Vorzeichenwechsel der Determinante bei Spaltentausch
SatzTauscht man zwei Spalten einer Matrix A miteinander, so wechselt dieDeterminante das Vorzeichen, es gilt also
det(a1, . . . , ai, . . . , ak, . . . , an)=− det(a1, . . . , ak . . . , ai, . . . , an)
234
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det A = det A>
detE = 1
det O = 0
235
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Determinante, Regularität und Rang
SatzSei A ∈ Kn×n. Dann gilt
detA 6= 0 ⇔ A ist reguär ⇔ RangA = n.
236
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Determinantenmultiplikationssatz
Seien A,B ∈ Kn×n. Dann gilt
det(A ·B) = detA · detB.
237
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Unterdeterminanten
DefinitionSei A ∈ Km×n. Eine Untermatrix von A entsteht durch Streichen vonZeilen oder Spalten der Matrix A.Die Determinante einer k × k - Untermatrix von A heißt k-reihige Un-terdeterminante von A.
SatzEine Matrix A ∈ Km×n hat genau dann den Rang p, wenn
•mindestens eine p-reihige Unterdeterminante von A nicht 0 ist und
• jede mehr als p-reihige Unterdeterminante von A verschwindet.
238
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Eigenwertprobleme
239
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DefinitionEine Zahl λ ∈ C heißt Eigenwert einer Matrix A ∈ Cn×n, wenn eseinen Vektor x ∈ Cn mit x 6= 0 gibt, so dass
A · x = λxJeder Vektor x 6= 0, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor zumEigenwert λ.
240
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Charakteristische Gleichung
SatzEine Zahl λ ∈ C ist genau dann ein Eigenwert von A ∈ Cn×n, wenn
det(A− λE) = 0.
241
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Charakteristisches Polynom
Das Polynom χA : C→ C mit
χA(t) := det(A− tE)
heißt charakteristisches Polynom der Matrix A ∈ Cn×n.
242
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Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes
Satzλ ist Eigenwert von A ⇔ χA(λ) = 0
DefinitionDie Vielfachheit m(λ) der Nullstelle λ des charakteristischenPolynoms χA einer Matrix A heißt algebraische Vielfachheit des Ei-genwertes λ der Matrix A.
SatzEs seien λ1, . . . , λp ∈ C alle paarweise verschiedenen Eigenwerte einerMatrix A ∈ Cn×n. Dann gilt
p∑i=1
m(λi) = n.
243
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Eigenraum zum Eigenwert λ
DefinitionSei λ ∈ K ein Eigenwert der Matrix A ∈ Kn×n. Dann heißt die Menge
Vλ := {x ∈ Kn |A · x = λx}Eigenraum zum Eigenwert λ.
Vλ ist ein Untervektorraum des Kn.
244
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Geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes
DefinitionSei λ ein Eigenwert der Matrix A. Dann heißt
g(λ) := dimVλ
geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ.
SatzSei λ ein Eigenwert der n–reihigen Matrix A. Dann gilt
g(λ) = n− Rang(A− λE)
sowie1 ≤ g(λ) ≤ m(λ) ≤ n.
245
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SatzGehören die Eigenvektoren x1, ...,xr zu paarweise verschiede-nen Eigenwerten λ1, ..., λr der Matrix A, dann sind sie linearunabhängig.
246
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SatzEine n–reihige Matrix A hat genau dann n linear unabhängigeEigenvektoren, wenn algebraische und geometrische Vielfachheit beijedem Eigenwert von A übereinstimmen.
247
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Ähnlichkeitstransformation von Matrizen
DefinitionEs sei A ∈ Kn×n gegeben. Weiter sei C ∈ Kn×n eine reguläre Matrix.Dann heißen die Matrizen
C−1AC und A
ähnlich zueinander bzw. durch eine Ähnlichkeitstransformationauseinander hervorgegangen.
248
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Invarianz des charakteristischen Polynoms beiÄhnlichkeitstransformation
SatzDas charakteristische Polynom χA einer Matrix A ∈ Kn×n bleibt beieiner Ähnlichkeitstransformation unverändert, d.h. für jede reguläreMatrix C ∈ Kn×n gilt
χA = χC−1AC
.
249
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Eigenwerte spezieller Matrizen
• Bei Dreiecksmatrizen sind die Diagonalelemente die Eigenwerte.
• Ist λ Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheit m(λ), sobesitzt die Matrix
A + εE
den Eigenwerte λ + ε mit der algebraischen Vielfachheit m(λ).
• Ist λ Eigenwert von A, so ist λm (m ∈ N) Eigenwert von Am.
• A und A> haben das gleiche charakteristische Polynom undsomit die gleichen Eigenwerte.
• Ist A regulär und ist λ Eigenwert von A, so ist λ−1 Eigenwert vonA−1.
250
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Symmetrische reelle Matrizen und ihre Eigenwerte
SatzSei A ∈ Rn×n symmetrisch. Dann gilt
• Alle Eigenwerte von A sind reell.
• Eigenvektoren xj,xk, die zu verschiedenen Eigenwerten λj, λk vonA gehören, stehen senkrecht aufeinander, d.h. x>j xk = 0.
• Geometrische und algebraische Vielfachheit stimmen bei jedem Ei-genwert von A überein.
251
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Orthonormalbasis
DefinitionEine Basis v1, . . . ,vn des Rn heißt Orthonormalbasis, wenn
|vi| = 1, v>i vj = 0
für alle i, j mit i 6= j gilt.
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
SatzZu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Rn×n gibt es Eigenvektorenx1, ...,xn, die eine Orthonormalbasis des Rn bilden.
252
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Diagonalisierung symmetrischer Matrizen
SatzZu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Rn×n gibt es eine reguläre MatrixQ mit
Q>AQ = diag(λ1, ..., λn).
Dabei sind λ1, ..., λn ∈ R die Eigenwerte von A. Jeder Eigenwertkommt dabei so oft vor, wie seine algebraische Vielfachheit angibt. Au-ßerdem ist Q = (q1, . . . ,qn) eine orthogonale Matrix, d.h.
Q>Q = E.
Folglich bilden die Spalten von Q eine Orthonormalbasis des Rn. DieSpalte qj von Q ist ein zu λj gehörender normierter Eigenvektor vonA.
253
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Quadratische Formen
Eine Funktion : Rn→ R mit
q(x) :=
n∑i,j=1(i≤j)
αijxixj für x := (x1, ..., xn)> ∈ Rn
heißt quadratische Form, wobei αij ∈ R für alle i, j gegeben sind.
Mit der symmetrischen Matrix A = (aij) ∈ Rn×n gegeben durch
aii := αii und aij := aji =αij2
(für i ≤ j).
kann man q(x) auch durch
q(x) = x>Ax
darstellen.
254
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Hauptachsen quadratischer Formen
Die quadratische Form q : Rn → R sei durch die symmetrische MatrixA ∈ Rn×n gegeben.Die Spalten der orthogonalen Matrix Q = (q1, . . . ,qn) aus
Q>AQ = diag(λ1, ..., λn),
also die zu den Eigenwerten λ1, ..., λn von A gehörenden orthonorma-len Eigenvektoren q1, ...,qn, bezeichnet man als Hauptachsen der qua-dratischen Form q.
Hauptachsentransformation
255
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Koordinatensysteme
Sei (c1, . . . , cn) eine Basis des Rn und u ∈ Rn. Dann heißt
(u; c1, . . . , cn)
Koordinatensystem mit dem Ursprung u.
Für einen Vektor x ∈ Rn gibt es dann stets eindeutig bestimmteα1, . . . , αn ∈ R, so dass
x = u +
n∑i=1
αici.
Die Zahlen α1, . . . αn heißen Koordinaten des Vektors x bzgl. des Ko-ordinatensystems (u, c1, . . . , cn).
256
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Quadriken
Seien A ∈ Rn×n symmetrisch, b ∈ Rn und β ∈ R. Die Menge allerx ∈ Rn mit
x>Ax + b>x + β = 0bezeichnet man als Quadrik im Rn.
Transformation von Quadriken auf Normalform
257
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Wichtige Klassen von Quadriken im R2
Normalform Bezeichnung
x2
a2 + y2
b2− 1 = 0 Ellipse mit den Halbachsen a, b
x2
a2 −y2
b2− 1 = 0 Hyperbel
x2 − 2py = 0 Parabel
258
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Kern und Bild einer Matrix
DefinitionSei A ∈ Km×n. Dann heißt
• kerA := {x ∈ Kn |Ax = o} Kern der Matrix A,
• imA := {Ax |x ∈ Kn} Bild der Matrix A.
Rangkriterium
SatzSeien A ∈ Km×n. Dann gilt
rg(A) + dim(ker(A)) = n.
259
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Geometrie im R3
260
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Seien
a =
axayaz
∈ R3, b =
bxbybz
∈ R3, c =
cxcycz
∈ R3
Das Standardskalarprodukt von a ∈ R3 und b ∈ R3 ist durch
a · b := a>b = axbx + ayby + azbz
gegeben. Der Betrag (oder die Länge) eines Vektors a ist durch
|a| :=√a · a
definiert und es gilta · b = |a||b| cos(a,b).
261
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Das Vektorprodukt
DefinitionDas Vektorprodukt oder das äußere Produkt der Vektoren a ∈ R3 undb ∈ R3 ist definiert durch
a× b :=
aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx
=
∣∣∣∣∣∣i j kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ ,| · | ist hiersymbolischzu verstehen
wobei
i :=
100
, j :=
010
, k :=
001
die kanonischen Basisvektoren des R3 bezeichnen.
262
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Eigenschaften des Vektorproduktes
• a× b ∈ R3
• a× b steht senkrecht auf a und b
• |a× b| = |a||b| sin(a,b)(= Flächeninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms)
• a× b = o gilt genau dann, wenn a,b parallel sind
• a× b = −(b× a)
• a,b und a× b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
• a× (b + c) = a× b + a× c, (a + b)× c = a× c + b× c
• (αa)× b = α(a× b) = a× (αb)
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Spatprodukt
DefinitionDie Zahl
(a,b, c) := (a× b) · cheißt Spatprodukt der Vektoren a,b, c.
Die Zahl (a,b, c) ist gleich dem Volumen des durch a,b, c aufgespann-ten Parallelotops (Spates).
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Gerade
DefinitionSeien p, r ∈ R3 gegeben. Dann heißt die Menge
G := G(p, r) := p + Rr := {p + αr |α ∈ R}Gerade mit dem Richtungsvektor r.Diese Darstellung wird auch Parameterdarstellung genannt.
Grundaufgaben
• Ermittlung einer Parameterdarstellung
• Lage von zwei Geraden zueinander
• Abstand Punkt zu Gerade, Gerade zu Gerade, Lotfußpunkte
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Ebene
DefinitionSeien p, r, s ∈ R3 gegeben mit r ∦ s. Dann heißt die Menge
E := E(p, r, s) := p + Rr + Rs := {p + αr + βs |α, β ∈ R}Ebene mit den Richtungsvektoren r und s.Diese Darstellung wird auch Parameterdarstellung genannt.
Eine Ebene E kann in parameterfreier Form durch eine Gleichung
nxx + nyy + nzz − c = 0
beschrieben werden. Dabei heißt der Vektor
n :=
nxnynz
Normalenvektor von E und ist senkrecht zu r und s.
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Grundaufgaben
• Ermittlung der Parametdarstellung bzw. parameterfreien Form
• Umwandlung der paramterfreien Darstellung in die Parameterformund umgekehrt
• Lagebeziehungen zwischen Ebenen, Punkten und Geraden
• Abstand Punkt Ebene, Lotfußpunkt
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Hessesche Normalform
Sei die Ebene E als Lösungsmenge der Gleichung
nxx + nyy + nzz − c = 0
gegeben (parameterfreie Darstellung). Dann heißt
(nxx + nyy + nzz)− c|n|
= 0
Hessesche Normalform der Ebenengleichung.
Die Zahld :=
(nxx + nyy + nzz)− c|n|
gibt den (vorzeichenbehafteten) Abstand von
xyz
zur Ebene E an.
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