Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie · Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie Institut für Technik und ihre Didaktik 3 1. Planimetrie Unter Planimetrie (griech., Flächenmessung)

Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie


Überblick über die wichtigsten Formeln


Inhaltsverzeichnis

1. PlanimetrieDreieck, Viereck, Vieleck, Kreis

2. Stereometrie2.1. Ebenflächig begrenzte KörperWürfel, Quader, Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Polyeder

2.2. Krummflächig begrenzte KörperKreiszylinder, Kegel, Kegelstumpf, Kugel

2Institut für Technik und ihre Didaktik



1. Planimetrie

Unter Planimetrie (griech., Flächenmessung) versteht man allgemein metrische Problemstellungen der ebenen Geometrie, insbesondere die Flächeninhaltsberechnung in der Ebene.

Der Flächeninhalt einfacher Flächen in der Ebene kann aus bekannten Längenwerten berechnet werden.

Die Errechnung komplizierter Flächen wird meist über Zerlegung in Flächenstücke erreicht.



1.1. Das Dreieck

Die Eckpunkte eines Dreiecks werden im mathematischen Drehsinn mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.

Die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten erhalten die Bezeichnungen a, b und c.

Die jeweiligen Winkel zu den Eckpunkten werden α, β und γ genannt.

Die mit α1, β1 und γ1 bezeichneten Winkel sind Außenwinkel und entstehen, wenn die Dreiecksseiten über die Endpunkte hinaus verlängert werden.



1.1. Das Dreieck

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad, dadurch lassen sich Dreiecke nach der Größe der in ihnen auftretenden Winkel einteilen (stumpf-, spitz- und rechtwinklig)

Außerdem lässt sich auch Eine Einteilung hinsichtlich der Beschaffenheit der Seiten vornehmen (ungleichseitige, gleichschenklige und gleich-Seitige Dreiecke)

Übersicht über die möglichen Dreiecksarten nach Euler.

ungleichseitig gleichschenklig gleichseitig

stumpf

spitz

rechtwinklig

Pester (1989), S. 35



1.1. Das Dreieck

Sätze am Dreieck, die in der Schule behandelt werden:

- Satz des Euklid- Winkelsummensatz- Satz des Pythagoras- Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck- Kongruenzsätze- Satz des Thales- Strahlensätze- Ähnlichkeitssätze- Kreise am Dreieck: Umkreis, Inkreis, Ankreise

Flächeninhalt

Umfang

chbhahA cba2

1

2

1

2

1===

cbaU ++=



1.2. Vierecke: Quadrat

Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich• Die Diagonalen sind orthogonal• Die Diagonalen sind gleich lang

Flächeninhalt

Umfang

Diagonale

Umkreisradius

Inkreisradius

2ae =

aU 4=

²aA =

22

aru =

2

ar i =



1.2. Vierecke: Rechteck

Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich• Die Diagonalen sind gleich lang

Flächeninhalt

Umfang

Diagonale

Umkreisradius

abA =

baU 22 +=

²² bae +=

²²2

1baru +=



1.2. Vierecke: Raute oder Rhombus

Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich• Die Diagonalen sind orthogonal

Umfang

Flächeninhalt oder2

efA =

aU 4=

bhahA ba ==



1.2. Vierecke: gleichschenkliges Trapez

Eigenschaften:• Ein Gegenseitenpaar ist gleich lang• Ein Gegenseitenpaar ist parallel• Die Diagonalen sind gleich lang

Flächeninhalt

Umfang

hca

A2

+=

dcbaU +++=



1.2. Vierecke: Parallelogramm

Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich

Flächeninhalt

Umfang baU 22 +=

bhahA ba ==



1.3. Unregelmäßiges Vieleck

Ein Vieleck heißt unregelmäßig, wenn mindestens ein Winkel oder eine Seite gegenüber den anderen Winkeln und Seiten verschieden ist.

Zieht man von allen Eckpunkten Strecken zu einem beliebigen im Inneren des Vielecks gelegenen Punkt P, so erkennt man, dass die Summe W der inneren Winkel eines unregelmäßigen Vielecks bei n Ecken: W = (n-2)*180° beträgt.



1.4. Kreis

Sätze im und am Kreis, die in der Schule behandelt werden:• Satz des Thales• Umfangswinkelsatz

Durchmesser

Radius

Flächeninhalt

Länge eines Kreisbogens

Fläche Kreissektor (in Grad)

rd 2=

2

dr =

²4

² drAπ

π ==

°=

3602

απrb

πα

²360

rAs°

=



2. Stereometrie

Die Stereometrie (griech., Körpermessung) befasst sich mit geometrischen Gebilden im dreidimensionalen Raum.

Statt Stereometrie werden auch die Begriffe Raumgeometrie oder räumliche Geometrie verwendet.

Berechnung von Oberfläche bzw. Mantelfläche und Volumen



2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Würfel

Eigenschaften:• Alle Kanten sind gleich lang• Seine Flächen- und Kantenwinkel sind untereinander gleich; 90°• Die sechs quadratischen Begrenzungsflächen stoßen senkrecht aufeinander.

Volumen

Oberflächeninhalt

Flächendiagonale

Raumdiagonale

³aA =

²6aAO =

2af =

3ad =



2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Quader

Eigenschaften:Der Quader besitzt…• … sechs rechteckige Flächen, deren Winkel alle rechte Winkel sind• … zwölf Kanten, von denen jeweils vier gleiche Längen besitzen und zueinander parallel sind.

Volumen

Oberflächeninhalt

Mantelflächeninhalt

Raumdiagonale

abcV =

)(2 bcacabAO ++=

²²² cbad ++=

)(2 bcacAM +=



2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Prisma

Die angegebenen Formeln sind für jedes Prisma mit beliebiger Grundfläche gültig.

Volumen

Mantelflächeninhalt

Oberflächeninhalt

hAV eGrundfläch *=

hUA eGrundflächM *=

AAA MO += 2



2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Pyramide & Pyramidenstumpf

Eine Pyramide ist ein Polyeder, das von einem Vieleck und so vielen Dreiecken begrenzt wird, wie das Vieleck Seiten hat.

Ein Pyramidenstumpf entsteht immer, wenn eine Pyramide zwischen der Spitze und der Grundfläche durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten wird.

Volumen

Oberflächeninhalt

AhV eGrundfläch*3

1=

AAA MeGrundflächO +=

)(3

2211 AAAAh

V +++=

AAAA MO ++= 21



2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Polyeder

Unter einem regelmäßigen Polyeder oder Platonischen Körper versteht man einen Körper, der von lauter regelmäßigen und untereinander kongruenten Vielecken begrenzt wird.

Name des regelmäßigen Polyeders

Volumen Oberflächeninhalt

Tetraeder

Oktaeder

Hexaeder

Ikosaeder

Dodekaeder

212

³aV =

23

³aV =

³aV =

)53³(12

5+= aV

)5715(4

³+=

aV

3²aAo =

3²2aAo =

²6aAo =

3²5aAo =

)525(5²3 += aAo



2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kreiszylinder

Unter einem geraden Kreiszylinder versteht man einen krummflächig begrenzten Körper mit zwei konzentrischen, kongruenten und zueinander parallelen Kreisflächen als Grundflächen und einer regelmäßig gekrümmten Mantelfläche, deren Krümmung mit der Krümmung des Umfanges der Grundflächen übereinstimmt.

Volumen

Mantelfläche

Oberfläche

hrV π²=

πdhAM =

)(2 hrrAO += π



2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kegel & Kegelstumpf

Unter einem Kreiskegel versteht man einen krummflächig begrenzten Körper, dessen Grundfläche eine Kreisfläche ist und dessen gekrümmte Mantelfläche einerseits der Krümmung der Grundfläche entspricht und andererseits zu einer Spitze zusammenläuft.

Volumen

Mantelfläche

Oberfläche

hrV ²3

1=

πrsAM =

)( srrAO += π

²)²(3

2211 rrrrV ++=π

)( 21 rrsAM += π

)](²²[ 2121 rrsrrAO +++= π



2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel

Volumen Kugelschicht

Oberflächeninhalt Kugelzone

²)²3²3(6

121 hhV ++= ρρπ

hrO π2=

Bey

er (

1986

), S

. 205

f




Unter einer Kugel versteht man einen Körper, von dem jeder Punkt der Oberfläche den gleichen Abstand zum Mittelpunkt hat (Radius).

Volumen einer Kugel

Kugeloberfläche

π³3

4rV =

π²dAO =

Beyer (1986), S. 205f




Volumen Kugelsegment

Oberflächeninhalt Kugelkappe

²)²3(6

1)3²(

3

11111 hhhrhV +=−= ρππ

hrO π2=

Bey

er (

1986

), S

. 205

f




Volumen Kugelsektor

Oberflächeninhalt Kugelsektor

hrV π²3

2=

)2( ρπ += hrO

Beyer (1986), S. 205f



LiteraturverzeichnisPester, Heinz (1989). Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Leipzig: VEB Fachbuchverlag Leipzig.

Beyer, & andere. (1986). Handbuch der Mathematik. Köln: Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbH.

Müller-Philipp, S., & Gorski, H.-J. (2005). Leitfaden Geometrie (3. überarbeitete Ausg.).Wiesbaden: Vieweg.

Alle Grafiken wurden – falls nicht anders gekennzeichnet – mit Euklid DynaGeo erstellt.http://www.dynageo.de/

Anna [email protected] 2010

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