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KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren – Professor Dr. Hartmut Schmeck
www.kit.edu
Grundlagen der Informatik II Tutorium 4
Miniaufgabe
* bevor es losgeht * Welche dieser Aussagen sind korrekt?
a) 𝑃 = 𝑁𝑃 b) 𝑃 ≠ 𝑁𝑃
c) 𝑃 ⊆ 𝑁𝑃 d) 𝐴 ≤𝑝𝑜𝑙 𝐵 ⇔ 𝐵 ≤𝑝𝑜𝑙 𝐴
?
Ob 𝑃 = 𝑁𝑃, ist ein offenes
Problem. d) ist Quatsch, weil ≤𝑝𝑜𝑙
eine ordnende Relation ist.
In der Arithmetik gilt ja auch nicht
𝑥 ≤ 𝑦 ⇔ 𝑦 ≤ 𝑥
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 2 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Bonusklausur
Montag, 15.01.2018, 19:30 Uhr
Inhalte der Übungsblätter 1-4 (bis Kapitel 6)
Anmeldung: bis 07.01.2018 über https://portal.wiwi.kit.edu/ys/1741/signup
3 Aufgaben. Für jede komplett richtig gelöste Aufgabe wird ein Verrechnungspunkt
in der Klausur gutgeschrieben.
Saalübung
1. Übung fand am 11.12.2017 statt
2. Übung findet am 22.01.2018 statt
Selbsttest über nuKIT
Fragen zu Kapitel 1-6 sind bereits freigeschaltet
Zugang über nuKIT-App oder Web: http://nukit.scc.kit.edu/nukit
Aufgabenpool
Die Diskussionsforen werden auch während der Weihnachtsferien betreut
Vorab…
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 3 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Bonusklausur
Montag, 15.01.2018, 19:30 Uhr
Inhalte der Übungsblätter 1-4 (bis Kapitel 6)
Anmeldung: bis 07.01.2018 über https://portal.wiwi.kit.edu/ys/1741/signup
3 Aufgaben. Für jede komplett richtig gelöste Aufgabe wird ein Verrechnungspunkt
in der Klausur gutgeschrieben.
Saalübung
1. Übung fand am 11.12.2017 statt
2. Übung findet am 22.01.2018 statt
Selbsttest über nuKIT
Fragen zu Kapitel 1-6 sind bereits freigeschaltet
Zugang über nuKIT-App oder Web: http://nukit.scc.kit.edu/nukit
Aufgabenpool
Die Diskussionsforen werden auch während der Weihnachtsferien betreut
Vorab…
Nutzen Sie das Lehrbuch
zur Klausurvorbereitung!
(Denn wir nutzen es ja auch beim
Stellen der Klausuraufgaben )
www.dasinfobuch.de
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 4 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Weitere Aufgaben zu den Themen dieses Tutoriums
Aus dem Aufgabenpool bzw. Übungsbuch: Kapitel 10-Band I: Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie (12 Aufgaben).
Kapitel 2-Band II: CMOS (10 Aufgaben)
Kapitel 3-Band II: Binary Decision Diagram (7 Aufgaben).
Kapitel 1-Band II: Schaltnetze und Schaltwerke (7 Aufgaben).
Im Lehrbuch: Kapitel 6: Berechenbarkeitstheorie
Kapitel 7: Komplexitätstheorie
Auf Übungsblatt 4 (4 erkenntnisreiche Aufgaben)
Aufgaben, die mit „für zuhause“ markiert sind: HU-4-1 bis HU-4-4
Bei Fragen oder Kommentaren zu allen Aufgaben
nutzen Sie das Q/A-Forum oder
fragen Sie Ihren Tutor.
Für die Fleißigen…
Klick
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Einführungsaufgabe: Komplexität
Wie verhalten sich die Mengen 𝑃, 𝑁𝑃, 𝑁𝑃-vollständig und 𝑁𝑃-schwer
zueinander? Geben Sie ein Beispiel für ein 𝑁𝑃-vollständiges Problem an.
Lösung:
℘(E*)
𝐿0 (semi-entsch.)
𝑷
𝑵𝑷
𝑵𝑷-v.
𝑵𝑷-
schwer
entsch.
Beispiele für 𝑁𝑃-vollständige
Probleme (nichtdeterministisch
polynomiell lösbar):
• 𝑆𝐴𝑇 (Gibt es eine erfüllende
Belegung für eine Formel?)
• 𝐶𝐿𝐼𝑄𝑈𝐸 (Gibt es einen
vollständig verbundenen
Teilgraph der Größe 𝑘?)
In 𝑃 liegen
die „gerade
so noch
praktisch
lösbaren“
Probleme
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Aufgabe 1: Komplexität
Bekanntermaßen ist das 𝑆𝐴𝑇-Problem 𝑁𝑃-vollständig. In dieser allgemeinen
Variante liegen die aussagenlogischen Formeln in beliebiger Form vor.
a) Wie hoch ist der Aufwand, wenn man die Formelstruktur in der Art einschränkt,
dass die Formeln in disjunktiver Normalform (DNF) vorliegen („DNF-SAT“)?
Hinweis: Betrachten Sie hierzu ein Beispiel in DNF.
Lösung:
Beispiel in DNF:
Der Aufwand ist linear, da nur ein einziger wahrer Konjunktionsterm impliziert,
dass die ganze Formel wahr ist. Man sucht also nur die erste Klausel in der
keine Variable sowohl negiert als auch nicht negiert auftaucht. Diese Klausel
kann man erfüllen und damit auch die ganze Formel (hier gleich die erste).
𝑥1 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥3 ∧ 𝑥′5 ∧ 𝑥1 ∧ 𝑥5 ∨ 𝑥′3 ∨ 𝑥′3 ∧ 𝑥5 ∧ 𝑥1
Klausel Literal
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 7 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Aufgabe 1: Komplexität
b) Wenn die DNF-Variante leichter ist, warum wird dann die KNF-Variante nicht
genauso leicht, indem man einfach KNF-Formeln in DNF umwandelt, um das
SAT-Problem zu lösen?
Lösung:
Die Umwandlung in DNF kann exponentiellen Aufwand haben.
Beispiel:
KNF: 𝑥1 ∨ 𝑦1 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑦2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑦3
DNF: 𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑥2 ∧ 𝑦3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑦2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑦2 ∧ 𝑦3 ∨ ⋯
𝑦1 ∧ 𝑥2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑦1 ∧ 𝑥2 ∧ 𝑦3 ∨ 𝑦1 ∧ 𝑦2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑦1 ∧ 𝑦2 ∧ 𝑦3
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 8 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Wenn ein Problem 𝐴 𝑁𝑃-vollständig ist, dann gilt für ein
beliebiges 𝑁𝑃-schweres Problem 𝐵:
𝐴 ≤ 𝑝𝑜𝑙 𝐵
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Auf ein 𝑁𝑃-schweres Problem lässt sich (nach Definition) jedes Problem aus 𝑁𝑃 in
Polynomialzeit reduzieren. Da 𝑁𝑃-vollständige Probleme eine Teilmenge von 𝑁𝑃 bilden,
gilt das insbesondere für das Problem 𝐴.
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 9 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 9 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Wenn ein Problem 𝐴 𝑁𝑃-vollständig ist, dann gilt für ein
beliebiges 𝑁𝑃-schweres Problem 𝐵:
𝐴 ≤ 𝑝𝑜𝑙 𝐵
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Auf ein 𝑁𝑃-schweres Problem lässt sich (nach Definition) jedes Problem aus 𝑁𝑃 in
Polynomialzeit reduzieren. Da 𝑁𝑃-vollständige Probleme eine Teilmenge von 𝑁𝑃 bilden,
gilt das insbesondere für das Problem 𝐴.
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
X
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 10 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Relax-Tipp zum Begriff „Reduktion“
X
Eine Reduktion „A≤B“ beschreibt keine schnellere Lösung
für A. Sie ist nur ein weiterer Lösungsweg für A über B.
Demnach meint der Begriff „Reduktion“ von A auf B, dass es
nicht „wesentlich“ schwieriger sein kann, A zu lösen als B.
Daher auch der „≤“-Operator, der meint: „A ist leichter oder
gleich schwer zu lösen wie B (im Wesentlichen)“.
Dann gilt auch umgekehrt: Wenn ich weiß, dass
es keinen Weg von Stuttgart nach Karlsruhe gibt,
dann können nicht alle Städte in Deutschland
durch Straßen miteinander verbunden sein.
So könnte man die Frage A, ob es
einen Weg von Stuttgart nach
Karlsruhe gibt, auf die Frage B
reduzieren, ob alle Städte in
Deutschland durch Straßen
miteinander verbunden sind.
!
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 11 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Einführungsaufgabe: BDD
Welchen Vorteil haben reduzierte Funktionsgraphen (z.B. Binary Decision
Diagram) gegenüber anderen Darstellungsformen für Boolesche Funktionen wie
beispielweise Wahrheitstabelle, KNF/DNF?
Lösung:
Der Platzbedarf ist häufig wesentlich geringer (im schlimmsten Fall
jedoch bei allen Varianten exponentiell).
Das Berechnen eines Funktionswertes dauert höchstens 𝑛 Schritte bei
𝑛 Eingangsvariablen.
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 12 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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a) Erzeugen Sie das BDD (Binary Decision Diagram) zu der durch folgenden
Baum gegebenen Funktion 𝑓 ∶ 𝔹3 → 𝔹:
Aufgabe 3: Binary Decision Diagram
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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a) Erzeugen Sie das BDD (Binary Decision Diagram) zu der durch folgenden
Baum gegebenen Funktion 𝑓 ∶ 𝔹3 → 𝔹:
Aufgabe 3: Binary Decision Diagram
Das BDD ist der
vollständig
reduzierte
Funktionsgraph.
Lösung:
Skript ID-8850
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 14 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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b) Lesen Sie aus dem berechneten BDD einen Booleschen Ausdruck in
disjunktiver Normalform (DNF) ab.
1. 𝑥′𝑦′𝑧′
2. 𝑥′𝑦 𝑧
3. 𝑥 𝑧
Aufgabe 3: Binary Decision Diagram
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥′𝑦′𝑧′ + 𝑥′𝑦𝑧 + 𝑥𝑧
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 15 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 15 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Ein Binary-Decision-Diagram hat immer minimale
Knotenanzahl bezogen auf die Boolesche Funktion, die es
darstellt.
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Je nach Variablenreihenfolge kann die Knotenanzahl auch für die gleiche Boolesche
Funktion unterschiedlich groß sein. Jedoch ist ein BDD bei vorgegebener
Variablenreihenfolge eindeutig.
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 16 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Ein Binary-Decision-Diagram hat immer minimale
Knotenanzahl bezogen auf die Boolesche Funktion, die es
darstellt.
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Je nach Variablenreihenfolge kann die Knotenanzahl auch für die gleiche Boolesche
Funktion unterschiedlich groß sein. Jedoch ist ein BDD bei vorgegebener
Variablenreihenfolge eindeutig.
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
X
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 17 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Einführungsaufgabe: CMOS
Welche elektronischen Bauelemente sind hier dargestellt?
Lösung: n-MOSFET p-MOSFET
Welche Bedeutung haben die Anschlüsse G, D und S?
Lösung:
G (Gate): Schaltungseingang, bestimmt ob Weg von S nach D durchlässig
S (Source): Verbindung in Richtung 𝐺𝑁𝐷
D (Drain): Verbindung in Richtung 𝑉𝐷𝐷
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 18 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Aufgabe 5: CMOS
Zeichnen Sie eine CMOS-Schaltung für die Boolesche Funktion 𝑓: 𝔹3 → 𝔹
mit: 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = (¬𝐴 ∨ ¬𝐵) ∧ ¬𝐶
GND
VDD
A
B
C
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶
1. PMOS: ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
2. PMOS: ∧ ¬𝐶
3. NMOS: ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
4. NMOS: ∧ ¬𝐶
Was würde passieren,
wenn gleichzeitig
𝑉𝐷𝐷 eine 1 und 𝐺𝑁𝐷
eine 0 an den
Ausgang leitet?
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 19 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Einführungsaufgabe: Schaltnetze
Beschreiben Sie, welche Funktionen die folgenden Schaltungen realisieren.
Lösung:
& a
b 2k+1
a
b 1 a
b & a
b 1
a
b
Welches
wichtige Gatter
fehlt hier noch?
XOR NAND AND NOR OR
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 20 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Aufgabe 6: Schaltnetz
Entwickeln Sie einen Vollsubtrahierer, der aus drei Booleschen Eingangsvariablen
𝑎, 𝑏, ü ein Differenz-Bit 𝐸 und ein Übertrags-Bit Ü berechnet. Verwenden Sie für
Ihren Vollsubtrahierer nur die Elemente OR, AND, NOT, NAND, NOR und XOR.
Hinweis: Stellen Sie 𝐸 und Ü zuerst in der Wahrheitstabelle dar, lesen Sie dann
die Boolesche Funktion ab und leiten Sie daraus das Schaltnetz ab.
Lösung:
𝑎 𝑏 ü 𝐸 Ü
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
𝐸(𝑎, 𝑏, ü) = 𝑎 ⊕ 𝑏 ⊕ ü
Ü 𝑎, 𝑏, ü = 𝑎′𝑏′ü + 𝑎′𝑏ü′ + 𝑎′𝑏ü + 𝑎𝑏ü
= 𝑎′ 𝑏′ü + 𝑏ü′ + 𝑏ü
= 𝑎′(𝑏 ⊕ ü) + 𝑏ü
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 21 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Aufgabe 6: Schaltnetz
𝐸 𝑎, 𝑏, ü = 𝑎 ⊕ 𝑏 ⊕ ü Ü 𝑎, 𝑏, ü = 𝑎′(𝑏 ⊕ ü) + 𝑏ü
Skript ID-8861
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 22 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 22 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Schaltnetze unterscheiden sich von Schaltwerken dadurch,
dass Schaltwerke rückführende Leitungen besitzen
(können), Schaltnetze aber nicht.
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
Was soll man dazu
noch mehr sagen...
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 23 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Schaltnetze unterscheiden sich von Schaltwerken dadurch,
dass Schaltwerke rückführende Leitungen besitzen
(können), Schaltnetze aber nicht.
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
X
Was soll man dazu
noch mehr sagen...
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 24 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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a) Welche Sprache 𝐿(𝐴) wird durch den endlichen
Automaten 𝐴 erkannt mit:
𝐴 = 0, 1 , 𝑠000, 𝑠001, 𝑠010, 𝑠011, 𝑠100 , 𝛿, 𝑠000, 𝑠100 ,
𝛿:
Lösung:
𝐿(𝐴) = {𝑤1111 | 𝑤 ∈ {0,1}∗}
d.h. die Sprache, die der Automat 𝐴 erkennt, besteht aus
Wörtern, die auf 1111 enden.
Aufgabe 8: Schaltwerke
Skript ID-9064
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 25 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
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b) Ergänzen Sie das unten abgebildete Schaltwerk so, dass eine 1 am
Ausgang 𝑒3 genau dann anliegt, wenn die bisher über 𝐸 erfolgte Eingabe 𝑤
Element der Sprache 𝐿(𝐴) ist.
Aufgabe 8: Schaltwerke
Hinweise:
• das Schaltwerk erhält
pro Takt 𝑇 über 𝐸 ein
Zeichen einer fort-
laufenden Eingabe 𝑤
• jeder Zustand von 𝐴
wird durch eine Kom-
bination von
Zuständen der drei
Flipflops kodiert z.B.
𝑠100:
FF0 => 0
FF1 => 0
FF2 => 1
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 26 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Lösung:
Aufgabe 8: Schaltwerke
1
0
0
0
1
0
1
1
0 1
0
0 0
0
1
0
0
0
Skript ID-9085
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 27 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 27 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Jedes Schaltwerk ist die Realisierung eines endlichen
Automaten.
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Endliche Automaten und Schaltwerke sind gegenseitig
aufeinander abbildbar.
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
Frohe
Weihnachten
und einen guten
Rutsch ins
Neues Jahr!
Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 28 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun Institut für Angewandte Informatik und Formale Beschreibungsverfahren 28 Grundlagen der Informatik II – Tutorium 4
L. König, F. Pfeiffer-Bohnen, M. Wünsche und M. Braun
Jedes Schaltwerk ist die Realisierung eines endlichen
Automaten.
□ WAHR
□ FALSCH
Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund:
Endliche Automaten und Schaltwerke sind gegenseitig
aufeinander abbildbar.
Multiple-Choice-Relax-Aufgabe
Frohe
Weihnachten
und einen guten
Rutsch ins
Neues Jahr!
X