Grevholm Problemens Roll

8202019 Grevholm Problemens Roll

httpslidepdfcomreaderfullgrevholm-problemens-roll 16

22 NaumlmNareN Nr 3 bull 2006

Problemens roll

Beroende paring ur vilket perspektiv man betraktar matematiken

faringr den olika inneboumlrd och betydelse Problemens betydelse i

matematikundervisningen diskuteras haumlr med internationella

utblickar och genom ett konkret exempel Vilken roll kan

problemen spela i undervisningen

Vad aumlr matematik Svaren paring den fraring-gan skiftar i houmlg grad beroende paringvem du fraringgar Elever svarar ofta att

det aumlr tal att raumlkna goumlra utraumlkningar raumlkne-regler svara raumltt geometri eller liknandeLaumlrare svarar till exempel att det aumlr moumlnsteroch strukturer att kunna beskriva sin om-vaumlrld med hjaumllp av tal och former att taumlnka

logiskt att kunna beraumlkna och uppskattaatt arbeta med storheter och saring vidare

Matematik som vetenskapVad aumlr matematik som vetenskap Den fraring-gan laringter sig inte besvaras kort och enkeltOch det finns lika maringnga olika beskriv-ningar som personer som svarar paring fraringganAndrejs Dunkels (983089983097983097983093) har beskrivit hurhan uppfattar matematiken som ett di-daktiskt aumlventyr Han skriver att det finnsen vida spridd uppfattning att matemati-ken aumlr logisk strikt steril fri fraringn kaumlnsloroch helt enkelt raumltt eller fel Detta aumlr delvissant och delvis en myt I sin polerade formkan matematiken ge den ej initierade dettaintryck Emellertid har inga delar av mate-matiken naringgonsin skapats paring det saumltt somde presenteras i forskningsartiklar och de

flesta laumlroboumlcker Sanningen aumlr att formu-leringen av en sats aumlr naringgot som sker efterdet att man upptaumlckt att i en bunt kladd-papper faktiskt naringgot har bevisats Fraringnden roumlran ndash skisser och anteckningar ndash vaumll-

jer man ut de relevanta detaljerna och pre-senterar resultatet i den omvaumlnda ordning-en mot den i vilken det skapades ndash utan attnaumlmna alla de felaktiga sparingren eller allamisstagen (s 983092983090983088 min oumlversaumlttning)

Maringnga som arbetar med matematik kankaumlnna igen naringgot i den beskrivningen Aumlrdet saring att matematiker sjaumllva betraktar pro-

dukten det avskalade resultatet av sitt arbetesom matematiken Aumlr det som presenteras iartiklar och boumlcker matematiken Eller aumlrden process som leder till dessa produkterocksaring en del av matematiken I processeningaringr daring att formulera intressanta problemeller problemomraringden och att goumlra ett arbeteinom omraringdet

Detta avskalade saumltt att presentera re-sultaten av sitt arbete leder ocksaring till attman inte avsloumljar hur matematikerns arbets-process garingr till Vilken association var detsom ledde till att jag fick en ny ideacute bort fraringndet blindsparingr jag foumlrst hamnade i Vilka till-faumllligheter eller samtal fick mig att proumlva enny infallsvinkel paring problemet Vilket varden verkligt svaringra punkten i resonemangetden som kraumlvde tid och stor intellektuell an-straumlngning Mera saumlllan ger matematikersvar paring saringdana fraringgor Att aumlven saringdana delarav skapelseprocessen aumlr av intresse ser vi av

den uppmaumlrksamhet som Simon Singh vaumlcktmed sin bok om hur Andrew Wiles loumlste Fer-mats garingta (983089983097983097983096) En intressant aspekt i denberaumlttelsen aumlr tidsperspektivet Att det skafaring ta tid att loumlsa matematiska problem inser

BARBRO GREVHOLM






problem och utveckla nya omraringden Foumlr attstuderande paring olika nivaringer ska varingga goumlra detmaringste de vara oumlvertygade om att de kan taumlnkamatematiskt (Mason m fl 983089983097983097983090) De maringstevaringga lita paring sin egen tankekraft och foumlrstaring attde kan resonera matematiskt specialiserageneralisera staumllla upp hypoteser och proumlva

dem resonera logiskt kommunicera beskri-va foumlrklara och oumlvertyga andra om att derastankegaringngar aumlr riktiga Foumlr att varingga anvaumlndasin kapacitet paring detta omraringde maringste de hafaringtt tillfaumllle att proumlva sin tankekraft och seatt den baumlr Undervisning i matematik i helautbildningssystemet maringste inneharinglla myck-et mer av tillfaumlllen att utveckla den stude-randes foumlrmaringga att resonera och taumlnka mate-matiskt

Varfoumlr ska alla laumlra sigDetta leder osoumlkt in paring fraringgan varfoumlr allaska laumlra sig matematik De maringl som sattsupp foumlr matematikundervisningen ochsaumlttet att raumlttfaumlrdiga dem har vaumlxlat medtiden Fraringgan har varit foumlremaringl foumlr en heldel forskning inom matematikens didak-tik (Niss 983090983088983088983089) Fraringn en situation daring mate-

matik endast var till foumlr en elit i samhaumlllethar vi kommit till att vi erbjuder matematik-undervisning till alla upp till och med dettionde skolaringret Bakom det maringste ligga enoumlvertygelse om att matematiken kan till-foumlra naringgot av vaumlrde foumlr alla individer ochfoumlr samhaumlllet Ett vaumlgande skaumll aumlr saumlkertatt den som proumlvat paring kraften som ligger iatt kunna taumlnka och resonera matematiskthar erfarit att den aumlr stark och maringngsidigtanvaumlndbar Den som utvecklat denna foumlr-

maringga kan ha glaumldje av den i maringnga av li-vets skeden Det kraumlvs emellertid daring att deflesta som studerar matematik faringr upplevatillfaumlllen daumlr de verkligen oumlvertygas om attmatematiken har en kraft som aumlr av vaumlrdeEtt saumltt att goumlra det aumlr att vara med om attskapa problem staumllla nya fraringgor och loumlsadem med sina matematiska foumlrmaringgor

Vad beror svaringrigheter paringVarfoumlr aumlr det daring saring svaringrt foumlr saring maringnga elev-er att laumlra sig matematik Det finns natur-ligtvis inte naringgot kort och laumltt svar paring denna

fraringga som saring maringnga brottats med Fraringgan isig aumlr en av grunderna foumlr att vi behoumlver ettforskningsfaumllt som matematikens didaktikMin hypotes aumlr att en bidragande orsak tillproblemen aumlr att matematiken som aumlmneinte ges en raumlttvisande bild i skolaumlmnet mate-matik eller ens i grundutbildningen foumlr stu-

denter Forskningen om uppfattningar ommatematik (beliefs) (Thompson 983089983097983096983097) harbelagt att baringde elever och laumlrare i skolankan uppfatta matematiken i skolan som ensamling regler man ska laumlra sig utantill ochsom ska foumlljas mekaniskt i upprepningar avstandardmetoder som foumlrevisas Den som en-bart upplevt matematiken fraringn denna aspekthar garingtt miste om de delar som aumlr aumlmnetsmest fascinerande En saringdan uppfattningfaringr ocksaring konsekvenser foumlr hur elever laumlr sigmatematik

Forskningen har ocksaring visat att laumlrare somhar en instrumentell syn paring matematikenlaumlgger upp sin undervisning paring ett annat saumlttaumln den som har en djupare foumlrstaringelse foumlr pro-cedurer och begrepp Laumlraren erbjuder genomsitt handlande i klassrummet eleverna attbygga upp en syn paring matematiken som staumlm-mer med laumlrarens Erkki Pehkonen (983090983088983088983089)pekar ut tvaring tydliga teman i Thompsons be-

skrivning av laumlraruppfattningar om matema-tik rdquoNaumlr man laumlr sig matematik aumlr vetskapoch minne det viktigasterdquo samt rdquoTaumlnkandeverkar inte ha naringgot gemensamt med mate-matikrdquo Han haumlvdar att om en laumlrare har saring-dana uppfattningar kommer den foumlrr ellersenare att oumlverfoumlras till eleverna och goumlra attde faringr liknande foumlrestaumlllningar Pehkonen tarsom exempel den elev som tycker att mate-matik bara handlar om raumlkning Elevens foumlr-staringelse aumlr ofta en foumlljd av en taumlmligen ensidig

undervisning inriktad paring raumlkning paring grund-nivaring Problem som kraumlver en form av taumlnk-ande som garingr utoumlver enkla raumlkneoperationerkan visa sig att bli ett ooumlverstigligt hinder

Forskningsresultat av detta slag indikeraratt det aumlr viktigt att laumlrare men aumlven eleverfaringr en maringngsidig bild av matematiken Daumlriingaringr att till fullo uppskatta problemens rolli matematiken

Aumlr det moumljligt att foumlraumlndraMed ett exempel som bakgrund kan vi dis-kutera om en viss foumlraumlndring vore moumljlig



25NaumlmNareN Nr 3 bull 2006

I en inledande matematikkurs paring laumlrarut-bildningen har laumlrarstuderande ett inslagdaumlr de arbetar i projektform Utgaringende fraringnnaringgon intressant situation eller fraringga i mediaska de undersoumlka vilken matematik somkan doumllja sig inom omraringdet och vilka mate-matiska modeller som kan anvaumlndas Syftet

med projektet aumlr flerfaldigt De studerandeska bland annat se om de kan anvaumlnda sinamatematikkunskaper fraringn skolan i prakti-ken och se hur matematiken kan anvaumlndasinom olika omraringden av vardagslivet I kurs-planen staringr det att studenten ska

ndash tillaumlmpa sitt matematiska kunnande fraringnskolan i sjaumllvstaumlndiga projekt som innebaumlr

problemloumlsning och kommunikation

ndash utveckla sin syn paring matematikens relationtill naturvetenskapliga arbetssaumltt och meto-der samt se exempel paring modellering

RegnmaumltarenDetta exempel handlar om arbete med envanlig regnmaumltare i metall Studenterna ut-gick fraringn en annons om regnmaumltaren ochvalde att formulera sina problem saring haumlr

ndash Hur ska regnmaumltaren dimensionerasndash Hur ska man gradera maumltstickan som

sitter inuti regnmaumltaren

Studenterna boumlrjade med att besoumlka en jaumlrn-affaumlr De maumltte diametern uppe vid myn-ningen och nere i botten av regnmaumltarensamt maumltstickan och dess gradering Daumlref-ter ringde de upp foumlretagets aumlgare och fraringga-de hur graderingen paring maumltstickan var gjordDe fick svaret att man koumlrt efter samma rit-

ning sedan 983089983097983093983088 daring den foumlrsta regnmaumltarentillverkades men att den ingenjoumlr som gjortkonstruktionen slutat foumlr laumlnge sedan Sjaumllvvisste aumlgaren inte hur man skulle garing tillvaumlgafoumlr att gradera I sin rapport skriver studen-terna

Efter det var det bara att fatta pennan ochboumlrja raumlkna Men vi maringste erkaumlnna att dettog lite tid innan vi visste hur man boumlrjaderaumlkna

Bakom denna skrivning goumlmmer sig detfaktum att naumlr studenterna inte fick naringgonhjaumllp med beraumlkningen fraringn foumlretaget foumlr-stod de inte hur de skulle gripa sig an proble-met I flera dagar gick de som katter kringhet groumlt runt mig innan de slutligen tog modtill sig och medgav att de behoumlvde hjaumllp Vikom fram till att den modell de skulle ar-beta med var att se det uppsamlade regneti den vidare cylindern vid mynningen och

beraumlkna hur houmlgt det naringr i den cylindriskabeharingllaren i regnmaumltarens nedre del De ut-gick daring fraringn att 983089 mm regn fallit och beraumlk-nade den uppsamlade volymen Daring kunde deraumlkna fram att i den nedre beharingllaren skulledet vattnet naring upp till nivaringn 983093983089 mm Det vi-sade sig staumlmma vaumll med den paring regnmaumlta-ren uppmaumltta graderingen Daumlrefter gjordede en genomgaringng av taumlnkbara felkaumlllor somparingverkar noggrannheten i maumltningen

Den foumlrsta uppgiften redovisar de inte

trots att det aumlr intressant att fundera paring hurmaumltaren ska dimensioneras Modernare mauml-tare i plast rymmer i regel en mindre totalvo-lym Min egen erfarenhet aumlr att de ofta hin-ner bli oumlverfulla om man inte har tillfaumllle attlaumlsa av maumlngden nederboumlrd varje dag Haumlrhade studenterna kunnat faring anledning attfundera oumlver hur mycket regn som normaltfaller under en viss tidsperiod och hur oftaman kan tillaringta sig att maumltaren ska faring svaumlm-

ma oumlverVad kan vi laumlra av detta exempel Debaringda studenterna behaumlrskade troligen re-dan sedan grundskolan den matematik somkraumlvs foumlr att loumlsa problemet Men att kunna




formeln foumlr cylinderns volym aumlr inte till-raumlckligt haumlr De behoumlver aumlven foumlrstaring att denmodell som ska anvaumlndas aumlr att vattnet sam-las upp i en vidare cylinder och rinner ner ien smalare cylinder En avsikt med att goumlrasaring maringste rimligen vara att utslaget foumlr 983089 mmregn ska bli stoumlrre aumln om man samlar upp

och foumlrvarar i samma cylinderDen beskrivna situationen visar att stu-

denterna kan formulera intressanta uppgifterfoumlr sig sjaumllva uppgifter som aumlr rimligt svaringraatt klara av med den matematiska kunskapde besitter Daumlremot aumlr de saring ovana att til-laumlmpa sin matematik i nya situationer att dehar svaringrt att se hur de ska garing tillvaumlga Det aumlrocksaring uppenbart att den patentloumlsning somen del obetaumlnksamma idag ger naumlmligen attleta efter laumlmplig information paring den vaumlrlds-vida vaumlven inte aumlr till naringgon vidare hjaumllp naumlrman inte vet vilken modell man ska anvaumln-da Studenterna har haumlr konstruerat ett egetproblem till sig sjaumllva och egen tankekraft aumlrnoumldvaumlndig foumlr att reda ut situationen Naumlr devaumll hade klarat ut uppgiften och laumlmnade insin skriftliga redovisning var de ganska stoltaoumlver sin prestation

Min syn paring problemens rollFoumlrst ska saumlgas att inslag som syftar till attge faumlrdighet i att loumlsa rutinproblem och foumlr-trogenhet med foumlrekommande matematiskaverktyg och modeller behoumlvs Mycket av detsom goumlrs aumlr sunt och bra Men det finns aumlvenutrymme foumlr en del nya aspekter av det slagsom jag pekar paring ovan Det aumlr rimligt attkraumlva att undervisning i matematik paring gym-nasienivaring och universitetsnivaring garingr foumlre i en

utveckling daumlr man mera betonar de ska-pande inslagen i matematik Det kanskemaringste ske till priset av att en del stoff lyftsbort ur kurserna

Det aumlr min fasta oumlvertygelse att det aumlr baumltt-re att laumlra sig matematik paring ett meningsfulltsaumltt daumlr verklig foumlrstaringelse uppnarings och goumlra detinom ett naringgot mera begraumlnsat omraringde aumln atthasta igenom en stoumlrre stoffmaumlngd och kaumln-na att man egentligen inte har foumlrstaringtt naring-

gonting paring djupet Den som faringtt uppleva atthon kan laumlra matematik med foumlrstaringelse varinggarge sig paring nya omraringden inom aumlmnet i oumlverty-gelse om att den egna kapaciteten raumlcker foumlratt laumlra aumlven daumlr Den som daumlremot bara faringtt

uppleva att hon kaumlnner sig dum och inte foumlr-staringr naringgot tar avstaringnd fraringn aumlmnet

Under min tid som laumlrare i matematikparing gymnasiet fann jag utbudet av uppgifteri de gaumlngse laumlroboumlcker naringgot foumlr begraumlnsatJag infoumlrde naringgot som jag kallade Dagensnoumlt daumlr mina elever fick moumlta problem av

lite annorlunda karaktaumlr Med Sju broar iKoumlnigsberg fick eleverna uppleva ett pro-blem som saknar loumlsning vilket aumlr en ovan-lig foumlreteelse i laumlroboumlcker Det gav mig aumlvenanledning att visa en film om Euler och hurhan bevisade att problemet saknar loumlsningDet inbjoumld aumlven till att beraumltta om hur nyaomraringden inom matematik utvecklas fraringn enkonkret problemsituation Andra problemkunde behandla Moumlbius band FibonacciEuklides algoritm Akilles och skoumlldpaddanFyrfaumlrgsproblemet Space filling curves Pas-cals triangel Tangram Fingerfaumlrdig multip-likation och saring vidare Syftet var att ge elev-erna en smak av matematik som vanligeninte tas upp inom skolans ram och paring ett saring-dant saumltt att den vaumlckte deras intresse

Fyrfaumlrgsproblemet som var aktuellt i slu-tet av 983095983088-talet daring en loumlsning presenteratsoch man gav ut ett frimaumlrke med det moti-vet fick foumlrnyad aktualitet 983090983088983088983090 daring ett nytt

bevis lagts ut paring naumltet Loumlsningen fraringn 983089983097983095983094gav upphov till omfattande diskussioner omvad som kan raumlknas som ett giltigt bevis imatematiken Genom att elever faringr kontaktmed den typen av problem kan de kanskefoumlrstaring att matematiken fortfarande aumlr ett le-vande aumlmne daumlr forskning paringgaringr

Pehkonen (983090983088983088983089) fraringgar om det finns enoptimal matematikundervisning Hans hy-potes aumlr att det av laumlraren kraumlver inneharinglls-kunskap pedagogisk inneharingllskunskap en

vaumll utvecklad syn paring matematik och flexi-bilitet En aspekt paring flexibiliteten aumlr att lauml-raren delar med sig av sin makt och bestaumlm-manderaumltt i klassrummet Foumlr mig innebaumlrdetta att eleverna faringr ta ansvar foumlr sitt egetlaumlrande bland annat att de faringr vara med ochformulera fraringgor och skapa problem i mate-matiken Daring kommer matematiken att faringen mening foumlr eleverna och de faringr tillaumlm-pa sina kunskaper i olika sammanhang De

faringr i baumlsta fall se exempel paring matematikenskraft och de faringr tillfaumllle att kommunicerasina kunskaper Problem i matematiken boumlrfaring spela denna vidare roll




LITTERATUR

Bjoumlrkqvist Ole (983090983088983088983089) Matematisk problem-loumlsning I Barbro Grevholm (red) Matema-tikdidaktik ndash ett nordiskt perspektiv LundStudentlitteratur

Dunkels Andrejs (983089983097983097983093) Mathematics as adidactical adventure International Jour-

nal for Mathematics Education Science andTechnology vol 983090983094 nr 983091 983092983089983095-983092983090983097

Grevholm Barbro (983090983088983088983090) Laumlrarutbildning ndashutbud utbildare och anordnare NCM-Rap-port 983090983088983088983090983089 Goumlteborg Nationellt Centrumfoumlr Matematikutbildning

Grevholm Barbro (983089983097983096983096) Utmaningen ndash pro-blem och tankenoumltter i matematik MalmoumlLiber

Grevholm Barbro (983089983097983096983097) Lilla utmaningenndash problem och tankenoumltter i matematik Mal-

mouml LiberMason John Burton Leone amp Stacey Kaye

(983089983097983096983090) Thinking mathematically Woking-ham Addison-Wesley Publishers

Niss Mogens (983090983088983088983089) Maringl foumlr matematik-undervisningen I Barbro Grevholm (red)Matematikdidaktik ndash ett nordiskt perspektivLund Studentlitteratur

National Council of Teachers of Mathematics(NCTM) (983089983097983096983097) Curriculum and evalua-tion standards for school mathematics Res-

ton VA Author

Pehkonen Erkki (983090983088983088983089) Laumlrares och eleversuppfattningar som en dold faktor i mate-matikundervisningen I Barbro Grevholm(red) Matematikdidaktik ndash ett nordiskt per-spektiv Lund Studentlitteratur

Singh Simon (983089983097983097983096) Fermats garingta Stock-

holm Norstedts FoumlrlagThompson Alba (983089983097983096983097) Learning to teach

mathematical problem solving Changesin Teachersrsquo conceptions and beliefs I RI Charles och E A Silver (red) The teach-ing and assessing of mathematical problemsolving Research agenda for mathematicseducation Volume 983091 Reston VA LawrenceErlbaum

Thompson Alba (983089983097983097983090) Teachersrsquo beliefs andconceptions A synthesis of research I D

Grouws (red) Handbook of research on mat-hematics teaching and learning New YorkMacmillan

Vollrath Hans-Joachim (983089983097983097983092) Reflectionson mathematical concepts as startingpoints for didactical teaching I BiehlerRolf Straumlsser Rudolf et al (red) Didac-tics of mathematics as a scientific disiplineDordrecht Kluwer Academic Publishers



























































LITTERATUR











ton VA Author
































































LITTERATUR











ton VA Author
















































LITTERATUR











ton VA Author





























LITTERATUR











ton VA Author











LITTERATUR











ton VA Author








Documents

Grevholm Problemens Roll