Grafų tyrimas (tęsinys). Ciklai

Šiuo atveju

{{d, f}, {e, f}, {g, f},{e,g}}

ir

{{d, f}, {e, f}, {g, f}}

yra skiriančiosios aibės, bet kirpis - tik antroji aibė (žr. brėžinį)

a b

c d

e f

g h

i

a b

c d

e f

g h

i

a b

c d

e f

g h

i

Jums jau yra pažįstami loginiai uždaviniai: nupiešti figūrą neatitraukiant pieštuko nuo popieriaus ir nebrėžiant atkarpos dukart.

Kai kurie iš šių grafų negali būti nubrėžti tokiu būdu (pvz., a, b ir d), o kai kuriuos galima nubrėžti taip, kad pradžia ir pabaiga sutaptų (pvz., f ir g)

Grafo ciklas, einantis per visas grafo briaunas, vadinamas Oilerio ciklu. Grafą, turintį Oilerio ciklą, vadina Oilerio grafu.

Jei visų grafo viršūnių laipsniai yra nemažesni už 2, tai grafas turi bent vieną ciklą.

Jungusis neorientuotas grafas turi Oilerio ciklą tada ir tik tada, kai visų grafo viršūnių laipsniai yra lyginiai skaičiai.

Jei lygiai dviejų viršūnių laipsniai yra nelyginiai skaičiai, tai egzistuoja Oilerio kelias. Jis eina per visas briaunas, o jo pradžia ir pabaiga yra viršūnėse, kurių laipsniai nelyginiai.

4 nelyginiai, nėra nei Oilerio ciklo, nei Oilerio kelio 2 nelyginiai, yra

Oilerio kelias

visi lyginiai, yra Oilerio ciklas

a b

c d

e f

g

h

Sukonstruokime Oilerio ciklą. Pirma įsitikiname, kad jis egzistuoja, t.y. visų viršūnių laipsniai yra lyginiai skaičiai.

Pradedame viršūnėje a, einame, pvz., į b; imame {a, b}, ji nėra siejančioji, taigi galime ją šalinti

a b

c d

e f

g

h

Gretimos yra c, d ir h,Imame, pvz., {b, h}, ji nėra siejančioji, taigi galime ją šalinti

a b

c d

e f

g

h

Briauna {h, f} yra siejančioji, bet kitų variantų nėra, šaliname ją

a b

c d

e f

g

h

Gretimos yra d, e, g. Einame į e, briauna {f, e}

a b

c d

e f

g

h

Gretimos yra c, d, g. Einame į c, briauna {e, c}

a b

c d

e f

g

h

Į a eiti negalime, taigi einame, pvz., į d, briauna {c, d}

a b

c d

e f

g

h

Einame į e briauna {d, e}

a b

c d

e f

g

h

Ciklą nesunkiai užbaigiame, likusios briaunos gali būti praeitos vieninteliu būdu

Hamiltono grafas

Hamiltono keliu (ciklu) vadinama paprastoji atviroji (uždaroji) grandinė, einanti per visas grafo viršūnes.

Grafas, turintis Hamiltono ciklą, vadinamas Hamiltono grafu.

Tai nėra būtina sąlyga, tik pakankama: grafas, kurio visų viršūnių laipsniai lygūs 2 (paprastasis ciklas) yra ir Oilerio, ir Hamiltono grafas.

Briauninis grafas

Oilerio grafo briauninis grafas turi ir Oilerio, ir Hamiltono ciklą.

Hamiltono grafo briauninis grafas irgi yra Hamiltono grafas.

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

3

1 2

9

8

4

5

67

Viso briaunų yra 9.Atidedame 9 viršūnes

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 1.Jos kaimynės: 2,3,5 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 2.Jos kaimynės: 1,3,4. 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 3.Jos kaimynės: 1, 2, 4, 5 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 4.Jos kaimynės: 2, 3, 5, 6, 7 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 5.Jos kaimynės: 1, 3, 4, 6, 7 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 6.Jos kaimynės: 4, 5, 7, 9 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 7.Jos kaimynės: 4, 5, 6, 8, 9 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Imkime briauną 8.Jos kaimynės: 7, 9 3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Pradinis grafas turėjo 9 briaunas, t.y. m = 9. Patikrinsime, ar teisinga formulė

3

1 2

9

8

4

5

67

a b

c d

e f

g

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas

a b

c d

e f

g

1

2 3 5

4 7 8

9

6

Įstatome pradinio grafo viršūnių laipsnius į formulę: (4+9+9+16+4+9+1)/2-9 = 17

3

1 2

9

8

4

5

67

Skaičiuojame briauninio grafo briaunų skaičių:(3+3+4+5+5+4+5+2+3)/2 = 17

a b

c d

e f

g

Pavyzdžiui,{a, d, g} – iš vidaus stabilus poaibis;{b, f} – iš išorės stabilus poaibis.

Vidinio stabilumo skaičius – maksimalaus iš vidaus stabilaus poaibio dydis.

Išorinio stabilumo skaičius – minimalaus iš išorės stabilaus poaibio dydis. Vidinio stabilumo skaičius: 3;

Išorinio stabilumo skaičius: 2.

a b

c d

e f

g

Vidinio stabilumo skaičius: 3;Išorinio stabilumo skaičius: 2.

Stabiliųjų poaibių pavyzdžiai

Aštuonių valdovių uždavinys: šachmatų lentoje reikia išdėstyti kuo daugiau valdovių taip, kad jos nekirstų viena kitos.

Penkių valdovių uždavinys: šachmatų lentoje reikia išdėstyti kuo mažiau valdovių taip, kad jos kirstų visus šachmatų lentos langelius.

Ats.: 1;2;6;1.

Užduotys kartojimui

Ats.: 3

Ats.: 6; 8; 4; 5; 2; 2.