1

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (I deo)

sin( )y a bx c

Da se najpre podsetimo osnovnog grafika funkcije y = sinx i njenih osobina.

1

-1

siny x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

Osobine: - funkcija je definisana za svako x, to jest ( , )x - skup vrednosti funkcije je interval [ 1,1] , to jest funkcija je ograničena 1 sin 1x

- sinx je periodična funkcija sa osnovnom periodom 2

- nule funkcije ( mesta gde grafik seče x osu) su 0, , 2 ...x x x ili ovo možemo zapisati , uzimajući u

obzir periodičnost kao ( 0, 1, 2,...)x k k

- maksimalne vrednosti funkcije su u 3 5

, , ,...2 2 2

to jest, možemo zapisati: 2

2x k k Z

- minimalne vrednosti funkcije su u 3 7

, , ,...2 2 2

to jest , možemo zapisati: 2

2x k k Z

- sinx raste u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2

k k

- sinx opada u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2

k k

- funkcija je pozitivna, sinx > 0 za (2 , (2 1) )x k k k Z

- funkcija je negativna, sinx < 0 za ((2 1) ,2 )x k k k Z

- grafik se zove SINUSOIDA

www.matematiranje.com

2

Trigonometrijsku funkciju sin( )y a bx c ćemo da naučimo da crtamo na dva načina. Prvi način se sastoji u tome da krenemo od početnog grafika y=sinx i da u zavisnosti od brojeva a,b i c vršimo pomeranja grafika ( naučićemo kako ) a drugi način je direktno ispitivanje tačaka ( nule funkcije, max, min...) ali za njega nam je potrebno da znamo rešavati trigonometrijske jednačine. Najpre uočite i zapišete brojeve a,b i c. Svaki od njih priča neku priču...

siny a x

Broj a koji je ispred sinusa se zove amplituda i predstavlja maksimalno rastojanje tačke grafika od x- ose. Za funkciju y=sinx je taj broj a=1 a na grafiku vidimo da je ona baš ograničena sa -1 i 1. Ako je broj ispred sinusa pozitivan , funkcija izgleda:

1

-1

siny x 222

3

2

2

3

2

0

a

-a y=asinx

x

y

Dakle, nule funkcije ostaju na svojim mestima , dok se max i min “ produže” do tačke a, odnosno –a. Ako je broj ispred sinusa negativan ,funkcija izgleda:

1

-1

siny x 222

3

2

2

3

2

0

a

-a

y=-asinx

x

y

Ovde dakle moramo voditi računa jer se grafik “ okreće”, a max i min zamene mesta i produže se do tačke a, odnosno –a.

www.matematiranje.com

3

primer 1. Nacrtati grafik funkcije siny x Ovde nam je a = -1 . To nam govori da početni grafik siny x ( koji je nacrtan na slici isprekidanom linijom) samo “ okrenemo”.

1

-1 siny x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

primer 2. Nacrtati grafik funkcije 2siny x Sada je а = 2. To znači da funkcija po y- osi ide od -2 do 2 i da se grafik ne okreće.

1

-1

2siny x

222

3

2

2

3

2

0

2

-2

x

y

primer 3. Nacrtati grafik funkcije 3

sin2

y x

Vidimo da je 3

2a . Grafik je u odnosu na početni okrenut, zbog minusa i nalazi se, gledajući po y osi ,

između 3 3

i 2 2

.

1

-1

3sin

2y x

222

32

2 3

2

0

2

-2

3

2

3

2

x

y

www.matematiranje.com

4

siny bx

Periodičnost funkcije sin( )y a bx c direktno sledi iz periodičnosti funkcije y=sinx.

Osnovni period za sin( )y a bx c se računa po formuli 2

Tb

.

Broj b se zove frekvencija ili učestalost i pokazuje koliko se celih talasa nalazi na intervalu [0,2 ]

Dakle, naš poso je da uočimo broj b, i ubacimo ga u formulu 2

Tb

da bi dobili osnovnu periodu.

primer 4. Nacrtati grafik funkcije 1

sin2

y x

Uočimo da je ovde 1

2b . Onda je

2 24

12

T T Tb

1

-11

sin2

y x

222

3

2

2

3

2

0 3 45

2

7

2

x

y

Početna funkcija y = sinx je i ovde data isprekidano. Šta se desilo sa njom? Vidimo da se ona izdužila, jer je sada perioda 4T . primer 5. Nacrtati grafik funkcije sin 2y x

Kako je 2b onda će osnovna perioda biti 2 2

T Tb

2

T

Šta će sada biti sa početnim grafikom? Pa kako je perioda samo T , on će da se “ skupi”:

1

-1 sin 2y x

222

3

2

2

32

04

34

x

y

www.matematiranje.com

5

sin( )y x c odnosno sin( )y bx c ( broj c se zove početna faza)

Opet naravno, najpre iz zadate funkcije pročitamo vrednosti za b i c. Onda odredimo vrednost za c

b.

Grafik funkcije sin( )y bx c se dobija pomeranjem grafika siny bx duž x ose i to (pazi na ovo):

i) u pozitivnom smeru ( udesno ) ako je vrednost c

b negativna

ii) u negativnom smeru ( ulevo) ako je vrednost za c

b pozitivna

primer 6. Nacrtati grafik funkcije sin( )2

y x

Ovde je a=1, b=1, c= 2

. Vrednost izraza

c

b je 2

1 2

c

b

. Šta ovo znači?

Pošto je vrednost ovog izraza pozitivna , početni grafik y = sinx pomeramo za 2

ulevo.

1

-1

sin( )2

y x

222

3

2

2

3

2

0 x

y

primer 7. Nacrtati grafik funkcije sin( )4

y x

1, 1,4 4

ca b c

b

Pomeramo grafik y = sinx za

4

udesno.

1

-1

sin( )4

y x

222

3

2

2

32

04 5

4 9

4 x

y

www.matematiranje.com

6

primer 8. Nacrtati grafik funkcije sin(2 )2

y x

Ovde je a=1, b=2 i 2

c

Perioda je : 2 2

T Tb

2

T a vrednost izraza : 2

2 4

c

b

Moramo crtati tri grafika : y=sinx ( slika 1.) pa onda y=sin2x ( slika 2.) i na kraju sin(2 )2

y x

(slika 3.)

1

-1

222

32

2

3

2

0

1

-1 sin 2y x

222

32

2

3

2

04

34

1

-1sin(2 )

2y x

222

3

2

2

3

2

04

34

y=sinx

slika 1.

slika 2.

slika 3.

x

x

x

y

y

y

Na slici 2. vidimo da se grafik sinusne funkcije “skupio” zbog periode T .

Na slici 3. je izvršeno pomeranje grafika y=sin2x za 4

udesno, jer je vrednost

c

b negativna.

Verovatno će vaš profesor tražiti od vas da sva tri grafika nanosite na jednoj slici…Mi smo namerno crtali tri slike da bi bolje razumeli…

www.matematiranje.com

7

primer 9. Nacrtati grafik funkcije 1

sin( )2 4

y x

1

1, ,2 4

a b c

Tražimo periodu: 2 2

412

T T Tb

i vrednost izraza: 24

1 4 22

c

b

Opet idu tri grafika: Na slici 1. je početni grafik y = sinx

Na slici 2. je grafik 1

sin2

y x koji dobijamo povećavajući periodu na 4

Na slici 3. je konačan grafik 1

sin( )2 4

y x

koji dobijamo kada grafik funkcije 1

sin2

y x pomerimo za 2

udesno,

jer je vrednost izraza c

b pozitivna.

1

-1

22 0 3 4

1

-1 1sin

2y x

222

32

2

3

2

0 3 45

2

7

2

1

-1 1sin( )

2 4y x

222

3

2

2

32

0 3 45

2

7

2

slika 1.

slika 2.

slika 3.

y

y

y

x

x

x

www.matematiranje.com

8

Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik sin( )y a bx c ali to pogledajte u sledećem fajlu: GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)

www.matematiranje.com