Embed Size (px)
Citation preview
1
GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (I deo)
sin( )y a bx c
Da se najpre podsetimo osnovnog grafika funkcije y = sinx i njenih osobina.
1
-1
siny x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
Osobine: - funkcija je definisana za svako x, to jest ( , )x - skup vrednosti funkcije je interval [ 1,1] , to jest funkcija je ograničena 1 sin 1x
- sinx je periodična funkcija sa osnovnom periodom 2
- nule funkcije ( mesta gde grafik seče x osu) su 0, , 2 ...x x x ili ovo možemo zapisati , uzimajući u
obzir periodičnost kao ( 0, 1, 2,...)x k k
- maksimalne vrednosti funkcije su u 3 5
, , ,...2 2 2
to jest, možemo zapisati: 2
2x k k Z
- minimalne vrednosti funkcije su u 3 7
, , ,...2 2 2
to jest , možemo zapisati: 2
2x k k Z
- sinx raste u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2
k k
- sinx opada u intervalima [ 2 , 2 ], k Z2 2
k k
- funkcija je pozitivna, sinx > 0 za (2 , (2 1) )x k k k Z
- funkcija je negativna, sinx < 0 za ((2 1) ,2 )x k k k Z
- grafik se zove SINUSOIDA
www.matematiranje.com
2
Trigonometrijsku funkciju sin( )y a bx c ćemo da naučimo da crtamo na dva načina. Prvi način se sastoji u tome da krenemo od početnog grafika y=sinx i da u zavisnosti od brojeva a,b i c vršimo pomeranja grafika ( naučićemo kako ) a drugi način je direktno ispitivanje tačaka ( nule funkcije, max, min...) ali za njega nam je potrebno da znamo rešavati trigonometrijske jednačine. Najpre uočite i zapišete brojeve a,b i c. Svaki od njih priča neku priču...
siny a x
Broj a koji je ispred sinusa se zove amplituda i predstavlja maksimalno rastojanje tačke grafika od x- ose. Za funkciju y=sinx je taj broj a=1 a na grafiku vidimo da je ona baš ograničena sa -1 i 1. Ako je broj ispred sinusa pozitivan , funkcija izgleda:
1
-1
siny x 222
3
2
2
3
2
0
a
-a y=asinx
x
y
Dakle, nule funkcije ostaju na svojim mestima , dok se max i min “ produže” do tačke a, odnosno –a. Ako je broj ispred sinusa negativan ,funkcija izgleda:
1
-1
siny x 222
3
2
2
3
2
0
a
-a
y=-asinx
x
y
Ovde dakle moramo voditi računa jer se grafik “ okreće”, a max i min zamene mesta i produže se do tačke a, odnosno –a.
www.matematiranje.com
3
primer 1. Nacrtati grafik funkcije siny x Ovde nam je a = -1 . To nam govori da početni grafik siny x ( koji je nacrtan na slici isprekidanom linijom) samo “ okrenemo”.
1
-1 siny x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
primer 2. Nacrtati grafik funkcije 2siny x Sada je а = 2. To znači da funkcija po y- osi ide od -2 do 2 i da se grafik ne okreće.
1
-1
2siny x
222
3
2
2
3
2
0
2
-2
x
y
primer 3. Nacrtati grafik funkcije 3
sin2
y x
Vidimo da je 3
2a . Grafik je u odnosu na početni okrenut, zbog minusa i nalazi se, gledajući po y osi ,
između 3 3
i 2 2
.
1
-1
3sin
2y x
222
32
2 3
2
0
2
-2
3
2
3
2
x
y
www.matematiranje.com
4
siny bx
Periodičnost funkcije sin( )y a bx c direktno sledi iz periodičnosti funkcije y=sinx.
Osnovni period za sin( )y a bx c se računa po formuli 2
Tb
.
Broj b se zove frekvencija ili učestalost i pokazuje koliko se celih talasa nalazi na intervalu [0,2 ]
Dakle, naš poso je da uočimo broj b, i ubacimo ga u formulu 2
Tb
da bi dobili osnovnu periodu.
primer 4. Nacrtati grafik funkcije 1
sin2
y x
Uočimo da je ovde 1
2b . Onda je
2 24
12
T T Tb
1
-11
sin2
y x
222
3
2
2
3
2
0 3 45
2
7
2
x
y
Početna funkcija y = sinx je i ovde data isprekidano. Šta se desilo sa njom? Vidimo da se ona izdužila, jer je sada perioda 4T . primer 5. Nacrtati grafik funkcije sin 2y x
Kako je 2b onda će osnovna perioda biti 2 2
T Tb
2
T
Šta će sada biti sa početnim grafikom? Pa kako je perioda samo T , on će da se “ skupi”:
1
-1 sin 2y x
222
3
2
2
32
04
34
x
y
www.matematiranje.com
5
sin( )y x c odnosno sin( )y bx c ( broj c se zove početna faza)
Opet naravno, najpre iz zadate funkcije pročitamo vrednosti za b i c. Onda odredimo vrednost za c
b.
Grafik funkcije sin( )y bx c se dobija pomeranjem grafika siny bx duž x ose i to (pazi na ovo):
i) u pozitivnom smeru ( udesno ) ako je vrednost c
b negativna
ii) u negativnom smeru ( ulevo) ako je vrednost za c
b pozitivna
primer 6. Nacrtati grafik funkcije sin( )2
y x
Ovde je a=1, b=1, c= 2
. Vrednost izraza
c
b je 2
1 2
c
b
. Šta ovo znači?
Pošto je vrednost ovog izraza pozitivna , početni grafik y = sinx pomeramo za 2
ulevo.
1
-1
sin( )2
y x
222
3
2
2
3
2
0 x
y
primer 7. Nacrtati grafik funkcije sin( )4
y x
1, 1,4 4
ca b c
b
Pomeramo grafik y = sinx za
4
udesno.
1
-1
sin( )4
y x
222
3
2
2
32
04 5
4 9
4 x
y
www.matematiranje.com
6
primer 8. Nacrtati grafik funkcije sin(2 )2
y x
Ovde je a=1, b=2 i 2
c
Perioda je : 2 2
T Tb
2
T a vrednost izraza : 2
2 4
c
b
Moramo crtati tri grafika : y=sinx ( slika 1.) pa onda y=sin2x ( slika 2.) i na kraju sin(2 )2
y x
(slika 3.)
1
-1
222
32
2
3
2
0
1
-1 sin 2y x
222
32
2
3
2
04
34
1
-1sin(2 )
2y x
222
3
2
2
3
2
04
34
y=sinx
slika 1.
slika 2.
slika 3.
x
x
x
y
y
y
Na slici 2. vidimo da se grafik sinusne funkcije “skupio” zbog periode T .
Na slici 3. je izvršeno pomeranje grafika y=sin2x za 4
udesno, jer je vrednost
c
b negativna.
Verovatno će vaš profesor tražiti od vas da sva tri grafika nanosite na jednoj slici…Mi smo namerno crtali tri slike da bi bolje razumeli…
www.matematiranje.com
7
primer 9. Nacrtati grafik funkcije 1
sin( )2 4
y x
1
1, ,2 4
a b c
Tražimo periodu: 2 2
412
T T Tb
i vrednost izraza: 24
1 4 22
c
b
Opet idu tri grafika: Na slici 1. je početni grafik y = sinx
Na slici 2. je grafik 1
sin2
y x koji dobijamo povećavajući periodu na 4
Na slici 3. je konačan grafik 1
sin( )2 4
y x
koji dobijamo kada grafik funkcije 1
sin2
y x pomerimo za 2
udesno,
jer je vrednost izraza c
b pozitivna.
1
-1
22 0 3 4
1
-1 1sin
2y x
222
32
2
3
2
0 3 45
2
7
2
1
-1 1sin( )
2 4y x
222
3
2
2
32
0 3 45
2
7
2
slika 1.
slika 2.
slika 3.
y
y
y
x
x
x
www.matematiranje.com
8
Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik sin( )y a bx c ali to pogledajte u sledećem fajlu: GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)
www.matematiranje.com
