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Grafici e funzioni al 1° biennio superiore
di Daniela Valenti
Struttura del semiario
• è un percorso “obbligato”? • è un percorso didatticamente
conveniente?
1. Un percorso didattico piuttosto comune nei bienni sperimentali
2. Riflessioni sul percorso:
3. Un altro percorso didattico
1. Percorso didattico “comune” 1° anno (all’inizio)
! Elementi di teoria degli insiemi: ! operazioni fra insiemi; ! prodotto cartesiano fra due insiemi; ! definizione di relazione come sottoinsieme del prodotto cartesiano.
! Definizione di funzione come particolare relazione.
! Equazioni (e sistemi) di 1° grado solo con metodi algebrici
1. Percorso didattico “comune” 2° anno
- Elementi di geometria analitica non collegati al concetto di funzione introdotto nel 1° anno: • grafici di retta e parabola; • talvolta anche iperbole e circonferenza.
- Equazioni (e sistemi) di 2° grado solo con metodi algebrici.
- Calcoli con radicali. Valore assoluto.
2. Riflessioni sul percorso
Questo percorso è “obbligatorio”?
A) Panorama sullo sviluppo storico del concetto di funzione.
B) Panorama sulle funzioni nella didattica della matematica degli ultimi 50 anni.
C) Panorama sulla didattica e sui programmi di matematica in Italia.
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
1. L’antichità " Tavole dei quadrati e delle radici quadrate
(astronomi babilonesi, 2000 a.C.) " I luoghi geometrici (gli antichi greci,
Euclide,…) " Tabulazione di funzioni empiriche (i
pitagorici, Tolomeo,…) " …
" Si trova lo studio di differenti casi di dipendenza fra due quantità.
" Non si trovano le nozioni “astratte” di quantità variabili e di funzione.
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
2. Il Medio Evo
" Grafici che rappresentano le traiettorie dei pianeti (X secolo)
" Grafici per rappresentare i dati di un esperimento di fisica (Oresme, XIV secolo)
" Si trovano solo casi concreti di dipendenza fra due quantità, definiti da una descrizione verbale o da un grafico.
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
3. Il Rinascimento
" Galileo studia la caduta libera " Viète “inventa” il calcolo letterale. " Fermat e Cartesio “inventano” la
geometria analitica, applicando l’algebra nuova alla gometria.
" Le funzioni sono descritte per mezzo di formule ed equazioni
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
4. Fermat e Cartesio Fermat (1637) «Ogni volta che due quantità incognite sono legate da un’equazione, si ha una linea che può essere retta o curva» Cartesio (1637) «Prendendo successivamente infinite diverse grandezze per la linea x, se ne troveranno altrettante infinite per la linea y e così si avrà un’infinità di diversi punti per mezzo dei quali si descrive la curva richiesta» Un’equazione in x e y stabilisce una dipendenza fra due quantità variabili.
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
5. Newton e Leibniz Newton (1676) «Le curve sono descritte non dalla giustapposizione di parti, ma dal movimento continuo dei punti … Questa genesi avviene spontaneamente e viene osservata tutti i giorni nel movimento continuo dei corpi».
Leibniz (1673) «Chiamo funzione delle linee ottenute costruendo delle rette che corrispondono a un punto fisso e a dei punti di una curva data» ??
Compare per la prima volta il termine «funzione», forse legato al verbo latino “fungor” che significa “eseguire, adempiere un compito”
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
6. Bernoulli ed Eulero Bernoulli (1718) «Definizione: si chiama funzione di una grandezza variabile una quantità composta in un modo qualunque da questa grandezza variabile e da costanti»
Eulero (1755) «Se delle quantità dipendono da altre in modo tale che dalle mutazioni di queste anche le prime subiscano delle variazioni, esse si usano chiamare funzioni di queste.»
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
7. Cauchy e Weierstrass
Cauchy (1857) «Due variabili reali o, in altri termini, due quantità algebriche variabili diconsi funzioni una dell’altra quando variano simultaneamente in modo che il valore dell’una determini il valore dell’altra». Weierstrass (1878) «Se una quantità variabile reale, che diremo y, è legata ad un’altra quantità variabile reale x, in guisa che, ad un certo valore di x, corrispondano, entro certi limiti, uno o più valori determinati per y, si dirà che y è funzione di x nel senso più generale del vocabolo e si scriverà y=f(x) »
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
8. Il gruppo Bourbaki
Dieudonné (1969) «Siano E ed F due insiemi, distinti o no. Una relazione fra una variabile x di E e una variabile y di F è detta relazione funzionale di E verso F, se, qualunque sia x in E, esiste un elemento y di F, e uno solo, che stia nella relazione considerata con x…»
Obiettivo della ricerca: risistemare tutta la matematica basandola su un unico fondamento, la teoria degli insiemi.
A) Lo sviluppo storico del concetto di funzione
9. Reazioni all’impostazione “bourbakista”
Il commento di Thom (1974) «È caratteristico che, dall’immenso sforzo di sistemazione di Bourbaki non sia uscito alcun teorema nuovo di qualche importanza»
Un eterno dilemma della matematica: scoprire nuovi risultati o sistemare logicamente i risultati noti? Bourbaki o Thom?
!
Riflessione La storia fa capire che - La geometria analitica si basa su concetti e termini “precedenti” la sistemazione bourbakista del concetto di funzione.
- Il concetto di funzione basato sugli insiemi è legato solo alla necessità di risistemare concetti e risultati che si sono sviluppati lungo molti secoli.
DUNQUE La storia non obbliga a introdurre il concetto di funzione basandosi sulla teoria degli insiemi.
Il punto di vista didattico
Introdurre il concetto di funzione basandosi sulla teoria degli insiemi è un percorso didatticamente conveniente?
Per rispondere, uno sguardo a ciò che è successo nelle scuole di altri paesi del mondo in questi ultimi cinquanta anni.
La matematica bourbakista nella scuola secondaria
Dopo il Congresso di Royaumont (1959) la matematica bourbakista viene “paracadutata” nella scuola, in base a considerazioni di questo tipo:
• la matematica è il modello di una struttura deduttiva;
• la matematica insegnata come struttura deduttiva è più facile da imparare.
La matematica bourbakista introdotta nella scuola secondaria
In Belgio I coniugi Papy L’école Décroly
In Francia I programmi rinnovati Gli IREM
Le esperienze si moltiplicano, finché diventa ufficialmente chiaro che gli esperimenti hanno tutti un esito disastroso.
La matematica bourbakista “eliminata” dalla scuola secondaria
H. Freudenthal (1987) «Fin dall’inizio gli insegnanti, ma anche i matematici, dovevano sapere che la deduttività, lungi dall’essere il punto di partenza, deve essere la conclusione di ogni attività matematica.
Chi sono stati i colpevoli di questo “assassinio della didattica della matematica”? Senza dubbio i primi responsabili sono stati i professori-professori, imponendo ai professori-alunni una matematica che essi dovevano insegnare senza comprenderne né la portata né la necessità, attributi di cui si sono tutti disinteressati. Ma i professori-alunni, che si sono sottoposti a questa dittatura, erano per questo meno responsabili? La loro situazione era simile a quella di un alunno che non capisce perché deve imparare quello che gli si insegna e, in mancanza di meglio, si sottomette. Il professore-alunno non avrebbe dovuto chiedere qual era il senso di questa matematica?
La matematica bourbakista “eliminata” dalla scuola secondaria
I programmi francesi del 1989 (età degli alunni 14-15 anni) «… I simboli ! " # sono fuori programma così come tutte le nozioni sugli insiemi, le relazioni fra insiemi e la composizione di funzioni…» I programmi francesi del 2007 (età degli alunni 16 anni) «Qualunque definizione generale del concetto di funzione e la nozione di insieme di definizione sono fuori programma».
Il punto di vista didattico
Dalle esperienze degli altri paesi possiamo ricavare un’importante indicazione:
Non è didatticamente conveniente introdurre il concetto di funzione basandosi sulla teoria degli insiemi.
E l’Italia? Non è stata “colpita dalla tempesta bourbakista” negli anni ’60. L’influenza di Emma Castelnuovo Nei programmi della scuola media unica (1963): - Uso occasionale e intuitivo degli insiemi per
classificare. - Geometria dinamica. - Funzioni e grafici a partire dalla realtà. - Alla fine della terza media operazioni fra
insiemi e logica, analogie strutturali
... E in Italia? Cosa dicono i programmi della “Scuola Media” più recenti del 2004?
Sapere Saper fare Funzioni: tabulazioni e grafici. Funzioni del tipo y=ax, y=a/x, y=ax2 e loro rappresentazione grafica. Semplici modelli di fatti sperimentali e di leggi matematiche
Utilizzare le lettere per esprimere in forma generale semplici proprietà e regolarità (numeriche, geometriche, fisiche, …) Usare coordinate cartesiane, diagrammi, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni.
TERZO ANNO
... E in Italia? Cosa dicono i programmi della “Scuola Media” del 2004?
TERZO ANNO Introduzione al pensiero razionale (da coordinare in maniera particolare con tutte le altre discipline nelle attività educative e didattiche unitarie promosse) Intuizione della nozione di insieme. Introduzione delle operazioni elementari tra essi.
Dal linguaggio naturale al linguaggio formale: le proposizioni e l’introduzione dei connettivi logici non, et, vel
... E in Italia? Cosa dicono i programmi del 1° biennio superiore fino al 2009?
Nei licei “tradizionali” i programmi sono fermi al 1944, ma richiedono di introdurre i grafici di y=ax, y=a/x, y=ax2
Nei licei “sperimentali” rimangono i programmi PNI (1985) o Brocca (1991)
Negli altri istituti situazioni molto varie, spesso sperimentazioni con programmi “tipo Brocca”
C. I programmi sperimentali Il tema “relazioni e funzioni”
PNI! BROCCA!Prodotto cartesiano; relazioni di ordine e di equivalenza; applicazioni (funzioni) e loro composizione
Insiemi ed operazioni su di essi. Prime nozioni di calcolo combinatorio
Funzioni lineari e quadratiche. Funzione x $
Leggi di composizione ed individuazione di particolari strutture. Prodotto cartesiano. ....
Equazioni e disequazioni di 1° e
2° grado. Sistemi di 1° grado. Funzioni x $ ax + b, x $ ax2 + bx + c, x $ e loro grafico
Commento ai contenuti su “relazioni e funzioni” PNI! BROCCA!
Il programma non contiene nozioni introduttive di teoria degli insiemi, già note allʼalunno.!Lʼinsegnante stabilirà un collegamento fra le nozioni logiche ed insiemistiche. !
Il docente, dopo aver riorganizzato le conoscenze sugli insiemi già acquisite dagli studenti, stabilirà opportuni collegamenti fra le nozioni logiche ed insiemistiche.
Illustrare sul piano cartesiano equazioni e disequazioni, con le relative applicazioni a vari problemi (elementi di programmazione lineare).
Il concetto di funzione consente di visualizzare leggi e fenomeni in connessione interdisciplinare con altri ambiti
Commento ai contenuti su “relazioni e funzioni” PNI! BROCCA!
Nel presentare gli argomenti tradizionali di algebra non dare carattere di teoria a semplici artifizi e non fornire classificazioni e regole distinte in situazioni in cui basta applicare semplici principi generali (es. tecniche per la risoluzione di sistemi ed equazioni).
La nozione di grafico di una funzione va illustrata anche su esempi diversi, osservando che non è necessario attendere il possesso degli strumenti del calcolo differenziale per avere un’idea qualitativa dell’andamento di funzioni definite da semplici espressioni..
Conclusioni 1. La storia non obbliga a introdurre il
concetto di funzione basandosi sulla teoria degli insiemi.
2. Non è didatticamente conveniente introdurre il concetto di funzione basandosi sulla teoria degli insiemi.
3. I programmi italiani non obbligano a introdurre il concetto di funzione basandosi sulla teoria degli insiemi, al contrario suggeriscono di “illustrare il grafico di una funzione su esempi diversi per avere un’idea qualitativa dell’andamento di funzioni...”
... E in Italia? Nei libri di testo più adottati nella scuola media e nel biennio superiore il concetto di funzione viene introdotto con le relazioni fra insiemi, con dovizia di definizioni.
E, proprio in questo campo, non mancano gli esercizi solo sulle definizioni! …
Poi ci si meraviglia se gli studenti italiani - non riescono a leggere un grafico - continuano a ripetere fino alla vecchiaia: «Al crescere di una grandezza cresce anche l’altra, perciò le grandezze sono direttamente proporzionali»
3. Proposta di un altro percorso didattico
1° anno Attività e contenuti che preparino una mentalità adatta a capire il concetto di funzione
" Studio dinamico della geometria euclidea (il perimetro di poligoni equivalenti, l’area di poligoni isoperimetrici, …)
" Geometria analitica: la retta " Equazioni, sistemi e disequazioni di 1° grado
visualizzati sul piano cartesiano " Tabelle di frequenza e diagrammi statistici
3. Proposta di un percorso didattico 2° anno Arrivare gradualmente al concetto moderno di funzione " Studio dinamico della geometria euclidea (teorema di
Pitagora, poligoni simili, …) " Geometria analitica: la circonferenza e leggi
matematiche rappresentate sul piano cartesiano
" Da una legge matematica ad una funzione " Curve, funzioni e relazioni " Radici quadrate, radicali e valore assoluto
" Trasformazioni del piano " Equazioni, sistemi e disequazioni di 2°
grado visualizzati sul piano cartesiano
Riflessioni su questo percorso
• Previene lo “scacco” su radicali e funzioni irrazionali.
• Permette di ridurre il tempo da dedicare ai radicali.
• È coerente con le Indicazioni Nazionali 2010 per i licei e con i quadri di riferimento INVALSI e PISA.
Radicali e funzioni irrazionali
y2 = x
y = x
y = ! x
" è definito solo se x % 0; " indica il numero positivo, che, elevato al quadrato,
restituisce x; " indica il numero negativo, che, elevato al quadrato,
restituisce x. ! x
Previene “errori eterni”
9 = ±3
x =
5 ± 92
In contraddizione con
9 = 3 ± 9 = ±3
Previene “errori eterni”
x2 = ±x x( )2
= x
x = ±x
Introduce nozioni coerenti
x2 = x
x( )2
= x, solo se x ! 0
x =
x, se x ! 0"x, se x < 0
I radicali come potenze ad esponente frazionario
Le proprietà dei radicali si riconducono alle proprietà delle potenze
È coerente con le recenti indicazioni nazionali e internazionali
Il percorso, largamente sperimentato con successo in questi ultimi 30 anni, sviluppa i contenuti e le competenze indicati in: - Indicazioni nazionali 2010 per i licei; - Quadro di riferimento INVALSI 2011; - Quadro di riferimento PISA 2009.
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Liceo scientifico Liceo classico
Relazioni e funzioni
Obiettivo di studio sarà il linguaggio degli insiemi e delle funzioni (dominio, composizione, inversa, ecc.), anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni e come primo passo all’introduzione del concetto di modello matematico. In particolare, lo studente apprenderà a descrivere un problema con un’equazione, una disequazione o un sistema di equazioni o disequazioni; a ottenere informazioni e ricavare le soluzioni di un modello matematico di fenomeni, anche in contesti di ricerca operativa o di teoria delle decisioni. Lo studio delle funzioni del tipo f(x) = ax + b, f(x) = ax2 + bx + c e la rappresentazione delle rette e delle parabole nel piano cartesiano consentiranno di acquisire i concetti di soluzione delle equazioni di primo e secondo grado in una incognita, delle disequazioni associate e dei sistemi di equazioni lineari in due incognite, nonché le tecniche per la loro risoluzione grafica e algebrica. Lo studente studierà le funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, le funzioni lineari a tratti, le funzioni circolari sia in un contesto strettamente matematico sia in funzione della rappresentazione e soluzione di problemi applicativi. Apprenderà gli elementi della teoria della proporzionalità diretta e inversa. Il contemporaneo studio della fisica offrirà esempi di funzioni che saranno oggetto di una specifica trattazione matematica, e i risultati di questa trattazione serviranno ad approfondire la comprensione dei fenomeni fisici e delle relative teorie. Lo studente sarà in grado di passare agevolmente da un registro di rappresentazione a un altro (numerico, grafico, funzionale), anche utilizzando strumenti informatici per la rappresentazione dei dati.
Relazioni e funzioni
Obiettivo di studio sarà il linguaggio degli insiemi e delle funzioni (dominio, composizione, inversa, ecc.), anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni e come primo passo all’introduzione del concetto di modello matematico. In particolare, lo studente apprenderà a descrivere un problema con un’equazione, una disequazione o un sistema di equazioni o disequazioni; a ottenere informazioni e ricavare le soluzioni di un modello matematico di fenomeni, anche in contesti di ricerca operativa o di teoria delle decisioni. Lo studente studierà le funzioni del tipo f(x) = ax + b, f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2 sia in termini strettamente matematici sia in funzione della descrizione e soluzione di problemi applicativi. Saprà studiare le soluzioni delle equazioni di primo grado in una incognita, delle disequazioni associate e dei sistemi di equazioni lineari in due incognite, e conoscerà le tecniche necessarie alla loro risoluzione grafica e algebrica. Apprenderà gli elementi della teoria della proporzionalità diretta e inversa. Lo studente sarà in grado di passare agevolmente da un registro di rappresentazione a un altro (numerico, grafico, funzionale), anche utilizzando strumenti informatici per la rappresentazione dei dati. !
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RELAZIONI E FUNZIONI Classificazione di oggetti, figure, numeri in base a una determinata proprietà. Equivalenze e ordinamenti. Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Ricerca di regolarità in sequenze di numeri, figure, simboli e parole. Generalizzazione di regolarità attraverso parole e espressioni algebriche. Funzioni del tipo y=ax, y=a/x e y=x2 e loro rappresentazione grafica. Rappresentazione di funzioni attraverso parole, tabelle, grafici, espressioni algebriche. Equazioni di primo grado. Rappresentazione di fatti e fenomeni attraverso tabelle, grafici ed espressioni algebriche.
Cambiamento e relazioni
[…] Per cogliere i modelli di cambiamento Stuart (1990) suggerisce di: - rappresentare i cambiamenti in una forma comprensibile; - comprendere i tipi fondamentali di cambiamento; - riconoscere particolari tipi di cambiamento quando si verificano; - applicare queste tecniche al mondo circostante; - controllare un universo in cambiamento a nostro vantaggio. La rappresentazione di Cambiamento e relazioni può avvenire in diversi modi: per mezzo dei numeri (ad esempio sotto forma di tabella), con i simboli o i grafici, con l’algebra o con la geometria. Il saper passare da un tipo di rappresentazione a un altro è estremamente importante, così come il saper comprendere le relazioni fondamentali e i tipi di cambiamento. Gli studenti dovrebbero avere consapevolezza dei concetti di crescita lineare (processo additivo), esponenziale (processo moltiplicativo), periodica e di quello di crescita logistica, almeno informalmente, in quanto caso particolare della crescita esponenziale. Gli studenti dovrebbero anche cogliere le relazioni che esistono fra tali modelli, ovvero le principali differenze fra processi lineari ed esponenziali, il fatto che crescita percentuale e crescita esponenziale siano identiche, il come e il perché la crescita logistica si verifica in situazioni sia discrete sia continue. […] Il cambiamento e le relazioni richiedono che si pensi in termini funzionali. Pensare in termini funzionali – cioè pensare alle relazioni e in termini di relazioni – è uno degli obiettivi disciplinari fondamentali dell’insegnamento della matematica […]. Per uno studente quindicenne, ciò significa, fra l’altro, possedere la nozione di tasso di variazione, di gradienti e di pendenza (sebbene non necessariamente in modo esplicito), e quella di dipendenza di una variabile da un’altra. Lo studente dovrebbe essere in grado di giudicare, anche in modo relativo, con quale velocità si verifichino certi processi. […]
!
