Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia MecânicaDepartamento de Projeto Mecânico

Gradiente Topológico via Análise de

Sensibilidade à Mudança de Forma

na Otimização Topológica

Divisão da Apresentação

Divisão da Apresentação

Motivação Problema Elíptico de Valor no Contorno Definição do Gradiente Topológico Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma Cálculo do Gradiente Topológico via ASMF Gradiente Topológico na Elasticidade Aplicação Conclusão

Motivação

Automação dos Projetos

OTIMIZAÇÃO

DE

FORMA

PARAMETRIZAÇÃO

DA

GEOMETRIA

FORMA

ÓTIMA

OTIMIZAÇÃO

EM RELAÇÃO

AOS PARÂMETROS

OTIMIZAÇÃO

TOPOLÓGICA

NENHUMA OU

QUASE NENHUMA

SUPOSIÇÃO SOBRE

A MORFOLOGIA INICIAL

Motivação

Contribuições

Contribuições no campo da Otimização Topológica:

1. Caracterizando a topologia por uma densidade de material a ser determinada;

2. Caracterizando a morfologia de um componente por meio de um parâmetro geométrico .

Motivação

Gradiente Topológico

• Proposta de obter a topologia ótima através do cálculo do GT.

• O GT é uma função definida no domínio que fornece a sensibilidade de uma função custo ao se criar um furo no domínio.

• Cálculo do GT via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma.

PEVC

Problema Elíptico de Valor no Contorno

n

b

f

•domínio aberto e limitado N, cujo contorno =N D (N D= 0)

é suficientemente regular. •domínio está submetido a excitações f L2 (N), b L2 e com restrições

na variável primal u no contorno D.

ND

PEVC

Forma Variacional

O problema pode ser escrito na forma variacional:

Espaço das funções:

)(),( wlwua

} sobre 0 | )({ Dn wHwV

} sobre | )({ Dn guHuU

PEVC

Elementos Finitos

Maneira geral e sistemática de construir famílias de subespaços

Uhp U:

Forma final obtida em PEVC:

)(),( hphphp wlvua . VVw hphp

FuK hp

Definição do Gradiente Topológico

Gradiente Topológico

x

n

B

B

)(

)()(lim:)(

0

fxGT

Definição do Gradiente Topológico

Gradiente Topológico Modificado

x

n

B

B

)()(

)()(lim:)(

00

ff

xGT

ASMF

Análise de Sensibilidade à

Mudança de Forma

Perturbação no domínio:

Novo domínio e contorno:

Relação entre domínios (pequena perturbação):

.:),( NxxxxX

}0),,(,{ 00 e xxXxx|x N

}0),,(,{ 00 e | xxXxxx N

)(xvxx

ASMF

Função Custo

Sensibilidade da função custo:

Definição da função custo:

Derivada da função custo:

)()(

lim)( 0

00

d

d

)(),(

lim|),(0

0

uuu

d

d

),(),(:)(

udu

ASMF

Método Lagrangeano

Problema de minimização:

Uma vez que a equação de estado é satisfeita:

)(),(),(),,( plpuaupuL

d

dp

p

L

d

du

u

LL

d

d

d

dL,,

ASMF

Cálculo das Derivadas

Em uma direção:

Na outra direção:

Então:

0)(),,(,

plpua

d

dp

p

L

0 :simetria a devido

),(,),(,,

upau

upuau

ud

du

u

L

),,(),,( puL

d

pudL

ASMF

Cálculo do Lagrangeano

Utilizando-se da solução da eq. de estado e da adjunta:

Para uma vasta classe de problemas:

)(),(),(),,(),(

plpuaupuLu

d

d

vdnud

d.|),( 0

dxgvdnvnud

dTnn )(.|),( 0

GT via ASMF

Cálculo do GT via ASMF

Função custo definida nos domínios:

Considerando a transformação entre os domínios:

0

0

nvxx n

|||||| nn vnv

GT via ASMF

Forma Final do GT

O gradiente pode ser expresso da seguinte forma:

Considerando uma expansão no furo:

dxG

f

vsingu

d

d

vfxG T

n

nT )(

)(

)(lim|),(

||)(

1lim)(

'00'0

^

Bdxgf

xGB

TT

)(

)(

1lim)(

'0

^

gT

GT na Elasticidade

Formulação

Equilíbrio:

Equação Constitutiva:

sobre

sobre

sobre

em

Bn

fn

gu

bdiv

N

D

0

0

sobre

sobre

sobre

em

BnugradC

fnugradC

u

bugradCdiv

s

Ns

D

s

0)(

)(

0

0)(

GT na Elasticidade

Na Forma Variacional

Problema elíptico de valor contorno:

Descrevendo os operadores:

)(),( wlwua } sobre 0 | )({ Dn wHwV

} sobre | )({ Dn guHuU

wdfwdbwl

dwgradugradCwua ss

..)(

),(

GT na Elasticidade

Cálculo do GT

Expressão para o cálculo da sensibilidade da função custo:

Função custo (energia interna):

)(),(),(),,(),(

plpuaupuLu

d

d

),(2

1:),(

uuau

GT na Elasticidade

Cálculo do GT

Derivada do Lagrangeano:

Considerando

vdnud

d.|),( 0

nvv n

B

n Bndnvud

d.|),( 0

ubugradugradCnugradnugradCnn sss . . 2

1) .() (.

GT na Elasticidade

Cálculo do GT

Como

Da forma

Bnugrad s em 0) (C

B

ssn

B

n BdubugradugradCvBndnvud

d. .

2

1.|),( 0

ubugradugradCgBdxgvu

d

d ssT

B

Tn . . 2

1- (x) se- tem,)(|),( 0

GT na Elasticidade

Cálculo do GT

Adotando )()( )()( ' BmeasfBmeasf

^. .

2

1)(

)(

1lim)(

03

^

x

ss

B

TDT ubugradugradCBdxgBmeas

xG

Aplicação

Algoritmo

Seja a seqüência

1 Fornecer domínio inicial e a restrição;

2 Enquanto a função objetivo não for cumprida:

– encontrar as soluções direta e adjunta;

– calcular o gradiente topológico;

– criar furos;

– definir novo domínio

– incrementar K;

3 Neste ponto, espera-se estar com a topologia ótima.

)(

)(

measd: a Sujeito

:Minimize

}()(|{1 measmeas KKK

Aplicação

Exemplo

Definição do problema.

Malha Resultado

Chegou-se a forma ótima de um projeto já consagrado.

Conclusão

Conclusões

• Metodologia apresentada conduz a uma formulação bastante geral para obtenção do Gradiente Topológico;

• A formulação pode ser aplicada em casos de Condições de Dirichlet no furo (caso onde o gradiente topológico contém singularidades);

• Extensão da metodologia a outros problemas de Engenharia (Sólidos - não linearidades, Fluidos, Eletromagnetismo) é possível.