1

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trigonometrie

Dag 1 (hersiening vir die toets)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 2

Voorbeeld 1

Bewys dat sin 2𝑥

1+cos 2𝑥= tan 𝑥

Oplossing

LK = sin 2𝑥

1+cos 2𝑥

= 2 sin 𝑥 cos 𝑥

1+(cos2 𝑥−sin2 𝑥)

= 2 sin 𝑥 cos 𝑥

1−sin2 𝑥+cos2 𝑥

= 2 sin 𝑥 cos 𝑥

2 cos2 𝑥

= sin 𝑥

cos 𝑥

= tan 𝑥 = RK

Voorbeeld 2

Bewys dat

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 3

Voorbeeld

Bewys dat

Huiswerk Oefening 8 Bl 61 nr a) 2 b) 1 c) 1 d) 1, 2

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 4

Dag 2 - Trigonometriese grafieke

Sinus grafiek

Gewone 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 grafiek:

Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)

Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)

Draaipunte: (0𝑜 ; 0), (90𝑜; 1), (180𝑜; 0), (270𝑜 ; −1), (360𝑜; 0)

Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde)

Minimum waarde = −1 (kleinste y-waarde)

𝒚 = 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝒙

As daar ‘n getal voor die sin is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as)

Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)

Amplitude = 2 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)

Draaipunte: (0𝑜 ; 0), (90𝑜; 2), (180𝑜; 0), (270𝑜 ; −2), (360𝑜; 0)

Maksimum waarde = 2 (grootste y-waarde)

Minimum waarde = −2 (kleinste y-waarde)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 5

𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙

As daar ‘n getal voor die 𝑥 is, word die periode beinvloed. (Maw op die 𝑥-as) Dit beteken daar pas twee sin grafieke in tussen 0𝑜 en 360𝑜 .

Periode = 360𝑜

2= 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)

Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −1 (kleinste y-waarde)

𝒚 = −𝐬𝐢𝐧 𝒙

As daar ‘n getal voor die sin is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Die negatief voor die sin maak dat die grafiek onder begin. Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 6

𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 1 grafiek:

Hele sin-grafiek skuif een plek op Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0𝑜 ; 1), (90𝑜; 2), (180𝑜; 1), (270𝑜 ; 0), (360𝑜; 1) Maksimum waarde = 2 (grootste y-waarde) Minimum waarde = 0 (kleinste y-waarde)

𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝟑𝟎𝒐) grafiek:

Hele sin-grafiek skuif 30𝑜 na regs Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (30𝑜 ; 0), (120𝑜; 1), (210𝑜 ; 0), (300𝑜; −1), (390𝑜 ; 0) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −1 (kleinste y-waarde)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 7

Kosinus grafiek

Gewone 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 grafiek:

Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0𝑜 ; 1), (90𝑜; 0), (180𝑜; −1), (270𝑜 ; 0), (360𝑜; 1) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −1 (kleinste y-waarde)

𝒚 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝒙

As daar ‘n getal voor die cos is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 2 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0𝑜 ; 2), (90𝑜; 0), (180𝑜; −2), (270𝑜 ; 0), (360𝑜; 2) Maksimum waarde = 2 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −2 (kleinste y-waarde)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 8

𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙

As daar ‘n getal voor die 𝑥 is, word die periode beinvloed. (Maw op die 𝑥-as) Dit beteken daar pas twee cos grafieke in tussen 0𝑜 en 360𝑜 .

Periode = 360𝑜

2= 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)

Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −1 (kleinste y-waarde)

𝒚 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙

As daar ‘n getal voor die cos is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Die negatief voor die cos maak dat die grafiek onder begin. Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 9

𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 1

Hele cos-grafiek skuif een plek af Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0𝑜 ; 0), (90𝑜; −1), (180𝑜; −2), (270𝑜 ; −1), (360𝑜; 0) Maksimum waarde = 0 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −2 (kleinste y-waarde)

𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝟑𝟎𝒐)

Hele cos-grafiek skuif 30𝑜 na regs Periode = 360𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (30𝑜 ; 1), (12; 0), (210𝑜; −1), (300𝑜 ; 0), (390𝑜; 1) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = −1 (kleinste y-waarde)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 10

Tan grafiek

Die tan grafiek lyk anders omdat dit ‘n ‘breuk’ funksie is: tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

Onthou dat jy nie met 0 kan deel nie, so cos 𝑥 ≠ 0 Dit beteken 𝑥 ≠ 90𝑜 , 270𝑜 . As daar 𝑥-waardes is wat nie geld nie, kry jy asimptote.

Gewone 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 grafiek:

Periode = 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum – of minimum − waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (45𝑜; 1)

Asimptote by 𝑥 = 90𝑜 en 𝑥 = 270𝑜 .

𝒚 = 𝟐𝐭𝐚𝐧 𝒙

Periode = 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum – of minimum − waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (𝟒𝟓𝒐; 𝟐)

Asimptote by 𝑥 = 90𝑜 en 𝑥 = 270𝑜 .

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 11

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙

As daar ‘n getal voor die 𝑥 is, word die periode beinvloed. (Maw op die 𝑥-as) Dit beteken daar pas dubbel soveel tan grafieke in tussen 0𝑜 en 360𝑜.

Periode = 180𝑜

2= 90𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)

Amplitude = geen. Geen maksimum – of minimum − waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (𝟐𝟐, 𝟓𝒐; 𝟏)

Asimptote by 𝑥 = 45𝑜, 𝑥 = 135𝑜 , 𝑥 = 225𝑜

en 𝑥 = 315𝑜

.

𝒚 = −𝐭𝐚𝐧 𝒙

As daar ‘n getal voor die tan is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Die negatief voor die tan maak dat die grafiek onder begin. Periode = 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Die belangrike punt om te onthou: (45𝑜; −1)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 12

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 2 grafiek:

Die hele grafiek skuif 2 plekke op Periode = 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum – of minimum − waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (45𝑜; 3)

Asimptote by 𝑥 = 90𝑜 en 𝑥 = 270𝑜 .

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟑𝟎𝒐) grafiek:

Hele tan-grafiek skuif 30𝑜 na regs Periode = 180𝑜 (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum – of minimum − waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (75𝑜; 1)

Asimptote by 𝑥 = 120𝑜 en 𝑥 = 300𝑜 .

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 13

Voorbeeld

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 14

Oplossing

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 15

Voorbeeld Bepaal die maksimum en minimum waardes van:

a. 2 sin 𝜃 + 1 = 0

b. 1

3 cos2𝜃+2 sin2 𝜃= 0

Oplossing

a. 2 sin 𝜃 + 1 = 0

Maksimum = 3 Minimum = -1

b. 1

3 cos2𝜃+2 sin2 𝜃= 0

1

cos2 𝜃 + 2 cos2 𝜃 + 2 sin2 𝜃= 0

1

cos2 𝜃 + 2= 0

cos2 𝜃 se maksimum is 1 en minimum is 0 Die grafiek word twee eenhede opgeskuif, m.a.w. cos2 𝜃 + 2 se maksimum is 3 en minimum is 2

1

cos2𝜃+2= 0 se maksimum is

1

2 en die minimum is

1

3

Huiswerk

Oefening 12 Bl 73 nr b) 1, 2, 4, 5, 6, 7 ; c ; d) 2,4,6,8,10,12 e) 9,10

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 16

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 17

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 18

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 19

Dag 3 - Trigonometriese 3D~probleme

Probleme in drie dimensies (Twee vlakke)

Voorbeeld1 ‘n Toring AB staan in ‘n horisontale vlak BCD. Vanaf A is die dieptehoek na C 30,70. As BD = 70m; CD = 52m en 𝐵�̂�𝐶 = 44,80 , bereken die hoogte van die toring.

Opmerking AB, die hoogte van die toring, is ‘n sy van ‘n driehoek waarvan al drie sye onbekend is. Ons moet eers die lengte van die sy bepaal wat gemeenskaplik is aan ∆ABC (wat die verlangde hoogte bevat) en ∆CBD, ‘n horisontale driehoek wat voldoende inligting bevat om CB te kan bepaal.

Oplossing

In ∆CBD, n.a.v die cos-reël: CB2 = 702 + 522 − 2(70)(52) cos 44,80 =2 438,3... ∴ 𝐶𝐵 = 49,3

In ∆ABC: 𝐴𝐵

𝐶𝐵= tan 30,7𝑜

∴ 𝐴𝐵 = (49,3 … )tan 30,7𝑜

∴ 𝐴𝐵 = 29,3 …. ∴ Die hoogte van die toring is 29,3m. (Korrek tot 1 desimaal)

Die oppervlakte van ∆ABC = 1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

(i) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A (ii) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B (iii) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 20

Voorbeeld2 ‘n Seun staan by ‘n punt A en merk op dat die hoogtehoek na die bopunt van ‘n kerktoring x is en dat die

kerk in ‘n rigting N 𝜃𝑜 W vanaf A is. Hy loop k meter reg oos en kom dan agter dat die kerk N 𝛼𝑜 W van

hom af is. Toon aan dat die hoogte van die kerktoring cos∝ tan 𝑥

sin(𝛼−𝜃) meter bokant die grond is.

Oplossing

Die twee waarnemingspunte en die kerk se fondament is in dieselfde horisontale vlak. Die gronplan lyk soos in die skets:

�̂�1 = 90𝑜

∴ 𝐻�̂�𝐵 = 90𝑜 + 𝜃

�̂�1 = 90𝑜 − 𝛼 ∴ 𝐻 = 180𝑜 − (90𝑜 + 𝜃 + 90𝑜 − 𝛼)

= 180𝑜 − (180𝑜 + 𝜃 − 𝛼) = 180𝑜 − 180𝑜 − 𝜃 + 𝛼 = 𝛼 − 𝜃

In ∆ABH, n.a.v die sin-reël: 𝐴𝐻

sin(90𝑜 − 𝛼)=

𝑘

sin(𝛼 − 𝜃)

∴ 𝐴𝐻 = 𝑘 cos 𝛼

sin(𝛼 − 𝜃)

As die kerktoring ingevoeg word lyk die figuur so:

In ∆AHC:

𝐶𝐻

𝐴𝐻= tan 𝑥

∴ 𝐶𝐻 = AH tan 𝑥

∴ 𝐶𝐻 = 𝑘 tan 𝑥 cos 𝛼

sin(𝛼−𝜃)

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 21

Wenke vir die oplos van probleme wat driehoeke in meer as een vlak behels:

Dit gebeur dikwels dat die hoogte of lengte wat bepaal moet word, in ‘n driehoek is waar onvoldoende inligting gegee is. Dis gewoonlik moontlik om die lengte van ‘n sy te bereken wat gemeenskaplik is in hierdie driehoek en ‘n ander driehoek waarin genoeg inligting gegee is. Ons begin dan om hierdie gemeenskaplike sy se lengte te bepaal – dit is ook dikwels die lyn wat die twee vlakke verdeel.

As kompasrigting en hoogte- of dieptehoeke gegee word, trek heel eerste ‘n grondplan. In reghoekige driehoek behoort trigonometriese verhoudings (of die sin-reël) gebruik te word.

As ‘n driehoek nie reghoekig is nie, gebruik die cos-reël as twee sye en die ingeslote hoek of die drie sye gegee is – so nie, gebruik die sin-reël.

Huiswerk

Oefening 1 Bl 86 nr a, c, d

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 22

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 23

Dag 4 - Trigonometriese 3D~probleme

Toepassing van identiteite van saamgestelde hoeke in een of twee vlakke Voorbeeld 1

Bewys : Oppervlakte van ∆ABC = 𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶

2 sin 𝐴

Oplossing

Opp van ∆ABC = 1

2ab sin 𝐶 ........ (1)

Maar 𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵

∴ 𝑏 = 𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴 ........ (2)

Vervang (2) in (1): Opp van ∆ABC = 1

2a (

𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴 ) sin 𝐶

= 𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶

2 sin 𝐴

Voorbeeld 2

B, C en D is drie punte in dieselfde horisontale vlak, sodanig dat BD = CD = d en C�̂�D = x. AB is loodreg op die vlak en die hoogtehoek vanaf C na A is y.

a) Bewys: AB = 2dcosx.tany

b) As dit gegee word dat d = √2eenhede, x = 75𝑜 en y = 30𝑜, bereken AB, sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik.

Oplossing

a) In ∆BCD: 𝐶1 = 𝑥 �̂�1 = 180𝑜 − 2𝑥

𝐵𝐶

sin(1800 − 2𝑥)=

𝑑

sin 𝑥

∴ 𝐵𝐶 = 𝑑 sin(1800 − 2𝑥)

sin 𝑥

∴ 𝐵𝐶 = 𝑑 sin 2𝑥

sin 𝑥

∴ 𝐵𝐶 = 𝑑 2sin 𝑥 . cos 𝑥

sin 𝑥

∴ 𝐵𝐶 = 2𝑑 cos 𝑥 ....... (1)

Maar ∆ABC is reghoekig, dus is:

tan 𝑦 = 𝐴𝐵

𝐵𝐶

∴ 𝐴𝐵 = BC tan 𝑦 ....... (2)

Vervang (1) in (2): AB = 2dcosx.tany

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 24

b) AB = 2√2 cos 75𝑜. tan 300

= 2√2 cos(30𝑜 + 45𝑜 ). tan 300

= 2√2(tan 300)(cos300 cos 450 − sin 300 sin 45𝑜)

= 2√2 (1

√3) ⌈(

√3

2) (

√2

2) − (

1

2) (

√2

2)⌉

= 1 −1

√3

= √3−1

√3

Huiswerk

Oefening 2 bl. 89 No. a, c, d, f

Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig

Grey Kollege 25