Gra evinskifakultetUniverzitetauBeogradu 3.9.2015. · Formulisati Lajbnicov kriterijum za konvergenciju redova. Da li se ovaj kriterijum moˇeprimenitinared

Gra�evinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.9.2015.

Zavrxni ispit iz Linearne algebre i statistike

Prezime i ime: Broj indeksa:

1. Formulisati teoremu o racionalnim nulama polinoma.

2. Napisati tri osobine determinanti (po izboru).

3. Definisati bazni minor matrice. Formulisati teoremu o baznom minoru.

4. Definisati pojam baze vektorskog prostora V .

5. Nacrtati sliku povrxi x2 + y2 + z = 0. Koja je to povrx?

6. Definisati pojam verovatno�e.




1. Formulisati osnovnu teoremu algebre.

2. Data je matrica A reda 3 i poznato je da je det(A) = α, α 6= 0. Tada je:

det(3A) =

det(AAT ) =

det(A−1) =

det(3A−7) =

Obrazlo�iti odgovore.

3. Definisati pojam linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti n vektora udatom vektorskom prostoru V nad poǉem R.

4. Napisati vektorski oblik jednaqine prave u prostoru R3. Objasniti oznakekoje se pojavǉuju u toj definiciji.

5. Nacrtati sliku povrxi x2 − y2 − z = 0. Koja je to povrx?

6. Definisati funkciju raspodele sluqajne promenǉive X. Koje su poznateosobine ove funkcije?




1. Napisati Vietove formule za polinom P (x) = ax3 + bx2 + cx + d.

2. Data je matrica A formata m × n i matrica B formata p × q. Pod kojimuslovom postoji zbir, a pod kojim proizvod ovih matrica? Pod kojim uslovompostoji i zbir i proizvod i da li tada ove matrice moraju biti invertibilne?Obrazlo�iti odgovor.

3. Dati primer vektorskog prostora nad poǉem R dimenzije 6.

4. Napisati vektorski oblik jednaqine ravni. Objasniti oznake koje se po-javǉuju u toj definiciji. Zatim na�i jednaqinu ravni koja prolazi kroz taqku(3, 4, 5) i normalna je na osu Oy.

5. Nacrtati sliku povrxi x2 + 1− y = 0. Koja je to povrx?

6. Definisati pojam uslovne verovatno�e.




1. Napisati realnu i kompleksnu faktorizaciju polinoma P (x) = (x4 − 4)2.

2. Definisati pojam determinante kvadratne matrice reda n i objasniti poj-move i oznake u toj definiciji.

3. Definisati sopstvenu vrednost i sopstveni vektor kvadratne matrice redan. Na�i sopstvene vrednosti i sopstvene vektore 0 matrice reda 3.

4. Dati su vektori −→a ,−→b i −→c u vektorskom prostoru R3. Tada je:

⟨−→a ,−→b ⟩ = 0 ⇔ . . .

−→a ×−→b =

−→0 ⇔ . . .

[−→a ,−→b ,−→c ] = 0 ⇔ . . .

5. Nacrtati sliku povrxi 3x2 + 4y2 − 2(z + 1)2 = 0. Koja je to povrx?

6. Definisati pojam diskretne sluqajne promenǉive i dati jedan primer.




1. Formulisati teoremu o racionalnim nulama polinoma.

2. Definisati pojam minora i pojam kofaktora.

3. Definisati pojam sopstvene vrednosti i sopstvenog vektora kvadratne ma-trice reda n. Na�i sopstvene vrednosti i vektore 0 matrice reda 2.

4. Definisati pojam linearnog operatora u vektorskom prostoru.

5. Nacrtati sliku povrxi x+ 4y2 = 0. Koja je to povrx?

6. Definisati pojam diskretne sluqajne promenǉive i dati jedan primer.




1. Napisati Vietove formule za polinom P (x) = 2x4 − 3x2 + 3.

2. Zaokru�iti taqna tvr�eǌa:

1. det(A+B) = detA+ detB.

2. det(AB) = detA · detB.

3. Homogen sistem linearnih jednaqina uvek ima rexeǌe.

4. Mno�eǌe matrica je komutativna operacija.

5. det(3A) = 3detA.

6. Realan vektorski prostor R3 ima beskonaqno mnogo baza.

Napomena: Sve date matrice su kvadratne reda 3.

3. Definisati pojam sopstvene vrednosti i odgovaraju�eg sopstvenog vektorakvadratne matrice. Zatim formulisati Kejli-Hamiltonovu teoremu.

4. Formulisati teoremu Koxi-Xvarc-Buǌakovskog. Potvrditi ǌeno va�eǌeza vektore u = (1, 1, 3, 0, 2) i v = (0, 3, 4, 1,−1).

5. Odrediti presek pravih p :x− 2

1=

y + 1

−2=

z

−1i q : 3x+ 2y = 4, 2x− z = 4.

6. Definisati funkciju raspodele sluqajne promenǉive X. Koje su poznateosobine ove funkcije?




1. Formulisati osnovni stav algebre.


1. (AB)T = ATBT.

2. det(A+B)C = detAC + detBC.

3. Homogen sistem AX = 0 ima netrivijalna rexeǌa akko detA 6= 0.

4. Svaka kvadratna matrica sliqna je nekoj dijagonalnoj matrici.

5. Ako je C regularna matrica, onda je det(adj(C)) = (detC)2.

6. Nekolinearni vektori ~a i ~b qine bazu vektorskog prostora R2.

Napomena: A, B i C su kvadratne matrice reda 3, X = [x y z]T.

3. Definisati pojam baze vektorskog prostora.

4. U kom me�usobnom polo�aju se nalaze prava p :x+ 2

−1=

y − 5

1=

z − 12

4i

ravan α : 3x− y + z = 1.

5. Nacrtati sliku povrxi x2 − y2 − z2 = 1. Koja je to povrx?

6. Definisati pojam matematiqkog oqekivaǌa za diskretnu sluqajnu promen-ǉivu X i za neprekidnu sluqajnu promenǉivu Y .




1. Napisati Vietove formule za polinom P (x) = x4 + 1.

2. Kada ka�emo da su matrice sliqne a kada da su ekvivalentne? Da li sliqnei ekvivalentne matrice imaju iste karakteristiqne polinome? Obrazlo�itiodgovor.

3. Formulisati teoremu o baznom minoru.

4. Napisati jednaqinu pramena ravni kroz pravu p :x+ 2

−1=

y − 5

1=

z − 12

4.

5. Nacrtati sliku povrxi 3x2 + 2z2 − y2 = 0. Koja je to povrx?

6. Formulisati Bajesovu formulu.


ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 1


1. Definisati limn→∞

an = a.

2. Definisati pojam apsolutne i uslovne konvergencije reda∞∑n=1

an.

3. Definisati prekid prve vrste. Dati primer funkcije koja ima prekid prvevrste u taqki x0 = 2.

4. Formulisati Rolovu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Ako je x0 taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x), onda je f ′(x0) = 0. Da lije ovaj iskaz taqan? Obrazlo�iti odgovor.

6. Ispitati konvergenciju nesvojstvenog integrala∫ +∞0

xe−xdx =


ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 1


1. Definisati limn→∞

xn = +∞. Dati primer takvog niza xn.

2. Za koje vrednosti parametra p ∈ R red∞∑

n=1

(−1)n

npkonvergira apsolutno, a za

koje uslovno? Obrazlo�iti odgovor.

3. Definisati graniqnu vrednost funkcije.

4. Formulisati Tejlorovu formulu sa ostatkom u Lagran�ovom obliku.

5. Da li ograniqena funkcija na nekom intervalu I mora biti i integrabilnana I? Obrazlo�iti odgovor.

6. Formula za du�inu luka krive. Primenom ove formule izraqunati obimkruga polupreqnika r.


Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1


1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji je Koxijev.

2. Formulisati Lajbnicov kriterijum. Dati primer alterniraju�eg reda kojije: a) apsolutno konvergentan b) uslovno konvergentan v) divergentan.

3. Napisati xta po definiciji znaqi limx→2

f(x) = 5.

4. Formulisati Lagran�ovu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Napisati Tejlorov polinom drugog stepena za funkciju y = xx u okolinitaqke x0 = 1.

6. Formulisati teoremu o sredǌoj vrednosti integralnog raquna.




1. Definisati supremum skupa A ⊂ R.

2. Formulisati prvi poredbeni kriterijum. Da li se ovaj kriterijum mo�eprimeniti na red

∑∞n=1

(−1)n√n2+n

? Obrazlo�iti odgovor.

3. Da li neprekidna funkcija na [0, 1] mora biti ograniqena na tom segmentu?Obrazlo�iti odgovor. Da li va�i isto ukoliko se segment [0, 1] zameni inter-valom (0, 1)?

4. Formulisati Fermaovu teoremu.

5. Napisati Maklorenov polinom drugog stepena za funkciju y = (x+ 1)ex.

6. Formulisati ǋutn - Lajbnicovu formulu.




1. Definisati pojam podniza datog niza (an).

2. Definisati kada je red∑∞

n=1 an konvergentan. Objasniti pojmove i oznake uovoj definiciji.

3. Dati primer funkcije koja ima otkloǌiv prekid u taqki x0 = −1.

4. Formulisati Koxijevu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Na�i po definiciji izvod funkcije f(x) = e−x u taqki x0 = ln 2.

6. Definisati Rimanov integral. Objasniti oznake u ovoj definiciji.




1. Formulisati teoremu o monotonom i ograniqenom nizu. Dati primer kon-vergentnog niza (an) koji nije monoton.

2. Definisati uslovno konvergentan red. Dati primer takvog reda.

3. Dati primer funkcije koja ima prekid druge vrste u taqki x0 = −2.

4. Definisati f ′(x0) i f ′′(x0).

5. Formulisati pojam stacionarne taqke i pojam lokalnog ekstremuma funkcijey = f(x). Ako je x0 taqka lokalnog ekstremuma, da li onda x0 mora biti staci-narna taqka? Obrazlo�iti odgovor.

6. Definisati nesvojstveni integral funkcije f na intervalu (−∞, a], a ∈ R.




1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev.

2. Dat je red∑∞

n=1 an, gde je an > 0.

• Navesti potreban uslov za konvergenciju reda∑∞

n=1 an. Dati primer redakoji divergira zbog neispuǌenosti ovog uslova, kao i primer divergentnogreda koji ispuǌava ovaj uslov.

• Navesti jedan dovoǉan uslov za konvergenciju reda∑∞

n=1 an. Datiprimer reda koji konvergira zbog ispuǌenosti ovog uslova.

3. Napisati xta po definiciji znaqi limx→−∞

f(x) = +∞.

4. Formulisati Bolcano - Koxijevu teoremu o neprekidnim funkcijama.

5. Data je funkcija f(x) =1

1 + x. Na�i f (n)(0) koriste�i Maklorenov polinom.

6. Definisati primitivnu funkciju funkcije f na intervalu (0, 1). Da li jeprimitivna funkcija jednoznaqno odre�ena? Obrazlo�iti odgovor.




1. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o nizovima. Pokazati kontraprimeromda u ovoj teoremi ne va�i obratno.

2. Formulisati prvi poredbeni kriterijum. Koriste�i se ovim kriterijumomobrazlo�iti zaxto je red

∑∞n=2

1lnn

divergentan a red∑∞

n=01n!

konvergentan. Dali se ovaj kriterijum mo�e primeniti na red

∑∞n=0

cosnn!

?

3. Napisati xta po Hajneovoj, a xta po Koxijevoj definiciji znaqi limx→1

f(x) = 2.

4. Formulisati Rolovu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Data je funkcija f : R → R. Da li taqka x0 ∈ R mo�e istovremeno bitilokalni ekstremum i prevojna taqka funkcije f? Obrazlo�iti odgovor.

6. Formulisati ǋutn-Lajbnicovu formulu.




1. Da li za nizove (xn) i (yn), n ∈ N, uvek va�i limn→∞

(xn + yn) = limn→∞

xn + limn→∞

yn?Obrazlo�iti odgovor.

2. Formulisati prvi poredbeni kriterijum. Dati primer reda koji konvergirai primer reda koji divergira prema ovom kriterijumu.

3. Napisati xta po Koxijevoj definiciji znaqi limx→−1

f(x) = 20.

4. Formulisati Lagran�ovu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Napisati tabliqne Maklorenove razvoje do qetvrtog stepena sa ostatkom uPeanovom obliku.

6. Na�i povrxinu elipse x2

a2+ y2

b2= 1 koriste�i odre�eni integral.




1. Obrazlo�iti navo�eǌem odgovaraju�e teoreme zaxto je limn→∞

cosn!√n

= 0.

2. Formulisati Lajbnicov kriterijum. Ako red konvergira prema ovom krite-rijumu, da li se mo�e zakǉuqiti o kom tipu konvergencije se radi (apsolutnaili uslovna)? Obrazlo�iti odgovor.

3. Napisati xta po Hajneovoj definiciji znaqi limx→−1

f(x) = 20.

4. Formulisati Bolcano - Koxijevu teoremu o neprekidnim funkcijama.


6. Formula za du�inu luka krive. Primenom ove formule izraqunati obimkruga polupreqnika r.




1. Definisati pojam podniza datog niza. Izdvojiti dva konvergentna podnizaniza an = cosn.


1.∑∞

n=1 konvergira =⇒ limn→∞

an = 0 .

2. limn→∞

an = 0 =⇒∑∞

n=1 konvergira.

3.∑∞

n=1 divergira =⇒ limn→∞

an 6= 0 .

4. limn→∞

an 6= 0 =⇒∑∞

n=1 divergira.

5.∑∞

n=1 divergira =⇒ limn→∞

an = +∞ .

3. Napisati xta po Koxijevoj definiciji znaqi limx→0

f(x) = −∞.

4. Formulisati Bolcano-Koxijevu teoremu o neprekidnim funkcijama.


6. Formulisati teoremu o sredǌoj vrednosti integralnog raquna. Primeniti

ovu teoremu na∫ 2

1

x3dx (efektivno odrediti c).




1. Formulisati Kantorov princip umetnutih odseqaka.


1. Svaki ograniqen niz ima konvergentan podniz.

2. Svaki konvergentan niz je monoton.

3. limn→∞

sinn

n= 1 .

4. limn→∞

an = 0 =⇒∑∞

n=1 konvergira.

5.∞∑n=1

(−1)n√n

uslovno konvergira.

3. Definisati otkloǌiv prekid. Dati primer funkcije koja ima otkloǌivprekid u taqki x0 = −3.

4. Formulisati Koxijevu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Napisati Maklorenov polinom n-tog stepena za funkciju f(x) =√

1 + x. Naosnovu toga odrediti f (n)(0).

6. Data je funkcija Φ(x) =

∫ x

a

f(t)dt . Formulisati dve teoreme o osobinama

ove funkcije.




1. Definisati infimum skupa A ⊂ R.

2. Formulisati Lajbnicov kriterijum. Da li se ovim kriterijumom mo�eutvrditi da li red apsolutno ili uslovno konvergira? Detaǉno obrazlo�itiodgovor.

3. Napisati po Koxijevoj definiciji graniqne vrednosti limx→0

sinxx

= 1.

4. Formulisati Fermaovu teoremu.

5. Napisati Maklorenov polinom drugog stepena za funkciju y = (x+1) ln(1−x).

6. Formulisati ǋutn - Lajbnicovu formulu.


Predispitni test iz Matematiqke analize 1


1. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o nizovima. Ilustrovati teoremujednim primerom.

2. Formulisati Rimanovu teoremu o brojnim redovima.


1. Postoji niz koji ima beskonaqno mnogo taqaka nagomilavaǌa.

2. Zbir dva divergentna reda je divergentan red.

3. arccos

(−1

2

)= −π

3.

4. 1− cosx = o(x) , x→ 0 .

5. Sve elementarne funkcije neprekidne su na svom domenu.

6. Ako je f neprekidna u x0, onda je i diferencijabilna u x0.

4. Formulisati Koxijevu teoremu o sredǌoj vrednosti. Da li funkcijaex

x2 − 3xzadovoǉava uslove ove teoreme na intervalu na [1, 2]? Obrazlo�iti odgovor.

5. Definisati konveksnost funkcije f na intervalu I.

6. Data je funkcija Φ(x) =∫ x

af(t)dt . Formulisati dve teoreme o osobinama ove

funkcije, a zatim ǋutn-Lajbnicovu formulu.




1. Definisati Koxijev niz. Da li je neki od nizova xn = n√5, yn = 5, zn = (−1)n√

n

Koxijev? Obrazlo�iti odgovor.

2. Definisati pojam apsolutno i uslovno konvergentnog reda. Ilustrovatiprimerima.



2. Ako red konvergira, onda opxti qlan reda te�i nuli.

3. arcsin(sinx) = x , za svako x ∈ R.

4. tg x = o(x) , x→ 0 .

5. Ako postoji limx→x0

f(x), onda je funkcija f neprekidna u x0.

6. Ako je f integrabilna na intervalu I, onda je ograniqena na I.

7. Nijedno od ponu�enih tvr�eǌa nije taqno.

4. Formulisati Lagran�ovu teoremu o sredǌoj vrednosti. Da li funkcijaf(x) = x − |x| zadovoǉava uslove ove teoreme na intervalu na [−1, 1]? Detaǉnoobrazlo�iti odgovor.


6. Definisati pojam integralne sume kod Rimanovog integrala, kao i pojmovedoǌe i gorǌe Darbuove sume. Objasniti uvedene oznake.




1. Formulisati Lajbnicov kriterijum za alterniraju�e redove. Dati primer reda koji nijesa pozitivnim qlanovima na koji se ovaj kriterijum ne mo�e primeniti.

2. Data je funkcija f ∶ A → B, definisana sa f(x) = sinx. Odrediti skupove A i B tako da fbude bijekcija. Da li su ovi skupovi odre�eni jednoznaqno?


1. Niz an = cos nπ2 ima 4 taqke nagomilavaǌa.

2. Red ∑∞n=1 ( 1n2 + sin 1

n) je konvergentan.

3. arcsin(12) =π3 .

4. 1 − cosx = O(x3) , x→ 0 .

5. Funkcija f(x) = x + ∣x∣ je diferencijabilna na (−1,1).

6. Ako je f ograniqena na intervalu I, onda je ona i integrabilna na I.


i

4. Formulisati Rolovu teoremu. Da li funkcija f(x) = cosx zadovoǉava uslove ove teoremena intervalu na [0, π]? Detaǉno obrazlo�iti odgovor.

5. Definisati pojmove lokalnog ekstremuma i stacionarne taqke funkcije f . Da li taqkalokalnog ekstremuma mora biti i stacionarna taqka date funkcije? Obrazlo�iti odgovor.


ii




1. Formulisati Bolcano-Vajerxtrasovu teoremu o nizovima. Ilustrovati teoremu jednimprimerom.

2. Formulisati Lajbnicov kriterijum za konvergenciju redova. Da li se ovaj kriterijummo�e primeniti na red ∑∞n=1 n−1 cosnπ? Obrazlo�iti odgovor.



2. Red ∑∞n=1 np konvergira za p < −1.

3. sin2 x = o(x) , x↦ 0 .

4. Funkcija f ∶ R↦ (−π2 ,π2 ) definisana sa f(x) = arctgx je bijekcija.

5. Sve elementarne funkcije neprekidne su na svojim domenima.

6. Ako je f ograniqena na intervalu I, onda je ona integrabilna na I.


i

4. Formulisati Rolovu teoremu o sredǌoj vrednosti. Odrediti a, b ∈ R tako da se ova teoremamo�e primeniti na funkciju f(x) = cos 2x na odseqku [a, b].

5. Definisati pojam konkavnosti funkcije. Dati primer funkcije f konkavne na svom domenu.


ii




1. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o nizovima. Koriste�i ovu teoremu, pokazati da jeniz xn = 1

n konvergentan.

2. Definisati konvergentan red. Pokazati da red ∑+∞n=0 (−23)n konvergira po definiciji.


1. Svaki konvergentan niz je ograniqen.

2. sin2 x = o(x), x↦ 0.

3. 2 sinα sinβ = cos(α − β) − cos(α + β) .

4. Funkcija f ∶ R↦ R definisana sa f(x) = ex je bijekcija.

5. Ako je funkcija f diferencijabilna na intervalu I, onda je ona integrabilna na I.

6. Ako je funkcija f neprekidna na intervalu I, onda je ona integrabilna na I.


i

4. Formulisati Koxijevu teoremu o sredǌoj vrednosti. Navesti bar jednu poznatu posle-dicu ove teoreme.


6. Formulisati ǋutn-Lajbnicovu formulu. Da li se ova formula mo�e primeniti naintegral ∫

e

1lnxdx ? Obrazlo�iti odgovor.

ii




1. Definisati pojam podniza datog niza (an). Da li svaki niz ima konvergentan podniz?Obrazlo�iti odgovor.

2. Formulisati prvi poredbeni kriterijum za konvergenciju redova. Na koje redove se mo�eprimeniti ovaj kriterijum?


1. Niz an = (−1)n cosnπ je konstantan.

2. Red ∑∞n=1(−1)nn2 je apsolutno konvergentan.

3. arccos(0) = 3π/2 .

4. Funkcije f, g ∶ R↦ R definisane sa f(x) = x2 i g(x) = x3 su bijekcije.

5. Funkcija f(x) = sgnx ima prekid prve vrste u taqki x0 = 0.

6. Ako je f diferencijabilna na intervalu I, onda je ona i neprekidna na I.


i

4. Formulisati Lagran�ovu teoremu o sredǌoj vrednosti. Primenom ove teoreme dokazatida je ∣ cosx − cos y∣ ≤ ∣x − y∣, za svako x, y ∈ R.

5. Definisati pojam konveksnosti. Dati primer funkcije f definisane i konveksne na R.

6. Formulisati ǋutn-Lajbnicovu formulu. Da li se ova formula mo�e primeniti na

integral ∫1

0lnxdx ?

ii

Documents

Gra evinskifakultetUniverzitetauBeogradu 3.9.2015. · Formulisati Lajbnicov kriterijum za konvergenciju redova. Da li se ovaj kriterijum moˇeprimenitinared