Upload
others
View
37
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 3 & 4
Meetkunde & Meting (2D)
ANTWOORDE
• Meetkunde van Reguitlyne
• Driehoeke: Basiese feite
• Kongruente Δe
• Gelykvormige Δe
• Vierhoeke
• Veelhoeke
Stelling van Pythagoras
Oppervlakte en Omtrek van 2D vorms
Saamgestel deur
Anne Eadie & Gretel Lampe
DIE ANTWOORD-REEKS
tel: (021) 671 0837
faks: (021) 671 2546
faxtoemail: 088 021 671 2546
www.theanswer.co.za
Antwoorde: Meetkunde van Reguitlyne
Kopiereg © Die Antwoord A1
MEETKUNDE VAN REGUITLYNE
1.1 ˆa = 43º � . . . regoorstaande øe
ˆb = ˆa . . . ooreenkomstige øe
; AB || CD
= 43º �
1.2 ˆc = 180º – (12º + 58º) . . .
= 110º �
1.3 ˆPQR = 112º . . . verwisselende øe
; PQ || SRT
â ˆd = 180º – 112º . . .
= 68º �
2. x – 9º + x – 6º + x + 15º = 360º . . .
â 3x = 360º
â x = 120º �
â Die grootste hoek = x + 15° = 135° �
3. komplementêre 3.2 360º �
4.1 ˆD + ˆF = 90º � 4.2 180º �
4.2 360º � 4.4 parallelle �
4.5 gelyk �
5. ˆ
1B (= ˆ
3B ) = 35º � . . . regoorstaande ø
e
ˆBCF = ˆ
1B . . . ooreenkomstige ø
e
; BE || CF
= 35º �
6.
ˆA = ˆ2
C . . . verwisselende øe
; AB || TC
= 43º �
ˆ
1B = ˆ
1C . . . ooreenkomstige ø
e
; AB || TC
= 65º �
ˆ
2B = 180º – ˆ
1B . . . ø
e
op 'n reguitlyn
= 115º �
7.
7.1 2x + 3x + 4x = 180º . . . øe
op 'n reguitlyn
â 9x = 180º
â x = 20º �
7.2 y (= ˆ2
Q ) = 3x . . . verwisselende øe
; PQ || RS
= 60º � . . . x = 20º in Vraag 7.1
7.3 z (= ˆ1
Q ) = 2x � . . . ooreenkomstige øe
; PQ || RS
= 40º �
8. (3x – 10º) + (x + 30º) = 180º . . .
â 4x + 20º = 180º
Trek 20º af : â 4x = 160º
Deel deur 4: â x = 40º �
9. ˆPUV = 180º – 76º . . . øe
op 'n reguitlyn
= 104º
â ˆRVW = ˆPUV
â PQ || RS � . . . ooreenkomstige øe
gelyk
ko-binne øe
supplementêr;
PS || QR
aangrensende øe
op
'n reguitlyn is saam 180º
øe
om 'n punt
is saam 360º
ko-binne øe
;
AB || CD
A
DCB
3
T
2
1 12
43°
65°
35°
A
E
CB 3
F
21
T
P Q
R Sy
1
2 3
z
2x
3x4x
Bestudeer deeglik:
'Meetkunde van Reguitlyne' (bladsy V2)
- woordeskat en feite -
en 'Nog Meetkunde van Reguitlyne' (bladsy V13)
- woordeskat en feite -
Antwoorde: Meetkunde van Reguitlyne
A2 Kopiereg © Die Antwoord
10. ˆa = 60º � . . . regoorstaande hoeke
ˆb = 35º � . . . verwisselende øe
; || lyne
ˆc = 35º � . . . basis øe
van gelykbenige Δ
ˆd = 180º – ( ˆa + ˆc ) . . . som van øe
in Δ
= 180º – (60º + 35º)
= 85º �
ˆe = ˆa – 35º . . .
= 25º �
ˆf = ( ˆb + ˆc ) . . . ooreenkomstige øe
; || lyne
= 70º �
of ˆf = ˆc + 35º . . .
= 70º �
ˆg = ˆe . . . verwisselende øe
; || lyne
= 25º �
11. x + (x + y) + y = 180º . . .
â 2x + 2y = 180º
d.w.s. â 2(x + y) = 180º
Deel deur 2: â x + y = 90º �
12. 120º + 110º + x = 2 % 180º . . .
â 230º + x = 360º
Trek 230º af : â x = 130º
buite ø van 'n Δ = die som van
die teenoorstaande binne øe
2 pare ko-binne øe
;
parallelle lyne
øe
op 'n
reguitlyn
A
C
B
120°
110°
x
NOTAS
buite ø van 'n Δ = die som van
die teenoorstaande binne øe
Antwoorde: Driehoeke
Kopiereg © Die Antwoord A3
DRIEHOEKE: BASIESE FEITE
1.1 ˆ
1T = 60º � . . . ø
e
van 'n gelyksydige Δ is almal = 60º
â ˆ2T = 120º � . . .
2. ˆ
2E + ˆ
1W = 180º – 70º . . . som van ø
e
in Δ
= 110º
Maar ˆ2E = ˆ
1W . . .
â ˆ2E (= ˆ
1W ) = 55º
â x (= ˆ2E ) = 55º � . . . verwisselende ø
e
; CS || HN
3.1 ˆ
1T = 25º � . . .
3.2 ˆ
2M = ˆP + ˆ
1T . . . buite ø van ΔMPT
= 2(25º)
= 50º �
4. 4x + 5x = 180º � . . . øe
op 'n reguitlyn
â 9x = 180º
â x = 20º
ˆEFC = ˆE + ˆD . . .
â 5x = ˆE + 3x
â ˆE = 2x
= 40º �
â Antwoord: A �
5. ˆB (= ˆC ) = x . . .
â ˆA = 180º – 2x � . . . som van øe
in Δ = 180º
6. ˆA = 110º – 50º . . .
= 60º �
â Antwoord: B �
7. In ΔABD: ˆa = ˆABD . . .
â ˆa = 1
2(180º – 72º) . . . som van ø
e
in Δ
= 1
2(108º)
= 54º �
ˆb = 72º + ˆa . . .
= 126º �
ˆc = ˆBDC . . .
ˆc = 1
2(180º – ˆb )
= 1
2(54º)
= 27º �
8.1 x = 106º – 44º . . .
= 62º
8.2 ˆa + 44º = 90º . . . som van øe
in Δ = 180º
â ˆa = 90º – 44º
= 46º �
ˆb + 28º = 44º . . .
â ˆb = 44º – 28º
= 16º �
ˆc = ˆb + 90º . . .
= 16º + 90º
= 106º �
9. x = 75º – 44º . . .
= 31º �
y = x . . . verwisselende øe
; AD || BC
= 31º �
10. ˆE = 95º – 30º . . .
= 65º �
ˆA = 180º – ˆE . . .
= 115º �
LW:
'n Binnehoek = die buiteø – die ander binneø
LW: Sien kommentaar in Vraag 6.
øe
op 'n reguitlyn is
supplementêr
AE = AW; øe
teenoor gelyke sye
in 'n gelykbenige Δ
øe
tenoor gelyke sye MT en MP
in 'n gelykbenige driehoek
buite ø van Δ
is gelyk aan
die som van die
teenoorstaande
binne øe
OF: ˆE = 5x – 3x
= 2x
øe
teenoor gelyke sye
in 'n gelykbenige Δ
buite ø van Δ = som van
teenoorstaande binne øe
øe
teenoor gelyke sye in
'n gelykbenige Δ
buiteø van Δ = som van
teenoorstaande binne øe
buiteø van ΔBDC = som van
teenoorstaande binne øe
ko-binne øe
is supplementêr
want AB || ED
buiteø van ΔDEC = som van
teenoorstaande binne øe
die basisøe
van 'n
gelykbenige Δ is gelyk
buite ø van ΔABD = die som van
die teenoorstaande binne øe
die basisøe
van 'n
gelykbenige Δ is gelyk
buiteø van Δ = som van
teenoorstaande binne øe
Dikwels, in meetkunde, is daar
verskeie moontlike metodes.
Antwoorde: Kongruente Driehoeke
A4 Kopiereg © Die Antwoord
LW: Die letters moet in die korrekte volgorde
wees sodat gelyke sye en hoeke ooreenstem.
KONGRUENTE DRIEHOEKE
(Simbool: ≡)
1.1 ΔDEF � . . . SøS
2. ΔSTV � . . . SøS
3.1 SøS � â Antwoord: C �
4. In ΔABD en ΔCDB
(1) ˆ
2B = ˆ
1D = 90º . . . gegee
(2) AD = CB . . . gegee
(3) BD is gemeen
â ΔABD h ΔCDB � . . . 90º, Sk, S(RHS)
5.1 In ΔABD en ΔACD
(1) AB = AC . . . gegee
(2) BD = CD . . . gegee
(3) AD is gemeen
â ΔABD h ΔACD � . . . SSS
5.2 â ˆ1
A = ˆ2
A . . .
d.w.s. DA halveer ˆBAC �
6. In ΔKNQ en ΔMPQ
(1) NQ = PQ . . . gegee
(2) KQ = MQ . . . gegee
(3) ˆQ is gemeen
â ΔKNQ ≡ ΔMPQ � . . . SøS
7.1 BE = BD + DE
& CD = EC + DE
Maar: BD = EC . . . gegee
â BE = CD �
7.2 In ΔABE en ΔACD
(1) BE = CD . . . bewys in Vraag 7.1
(2) ˆAEB = ˆADC . . .
(3) AE = AD . . . gegee
â ΔABE h ΔACD . . . SøS
â Antwoord: ΔACD �
8.1
In ΔMPN en ΔMTN
(1) MP = MT . . . radiusse van die sirkel
(2) MN is gemeen
(3) ˆ
2N = ˆ
1N = 90º . . . gegee dat MN ⊥ PT
â ΔMPN ≡ ΔMTN � . . . RK
â PN = NT � . . .
9.1 BC = BF + FC
& EF = CE + FC
Maar: BF = CE . . . gegee
â BC = EF �
9.2 In ΔABC en ΔDEF
(1) AB = DE . . . gegee
(2) AC = DF . . . gegee
(3) BC = EF . . . bewys in Vraag 9.1
â ΔABC ≡ ΔDEF � . . . SSS
9.3 ˆB = ˆE want hulle is ooreenkomstige hoeke van die
kongruente driehoeke in Vraag 9.2 �
9.4 ˆB en ˆE is verwisselende hoeke
& ˆB = ˆE in Vraag 9.3
â AB || ED . . . omgekeerde feit
Volgorde is belangrik by die uitleg van 'n kongruensiebewys: • Die letters moet in albei driehoeke dieselfde volgorde
hê wat met die gelyke sye en hoeke van die driehoeke
ooreenstem;
• In die feite (1), (2) en (3) moet die sye en hoeke van
die eerste driehoek eerste genoem word.
Ons moet kongruente driehoeke bewys!
*ooreenkomstige øe
van
kongruente Δe
in Vraag 5.1
* Niks te doen met
ooreenkomstige øe
op || lyne nie
øe
teenoor gelyke sye in
gelykbenige ΔADE
ooreenkomstige sye van
kongruente driehoeke
M N
K
Q
1
1 2
2
P
LW: Gee altyd
redes!
LW: Gee altyd
redes!
Sien die notas oor Kongruensie
en Gelykvormigheid op bl. A5
Let Wel:
Let noukeurig op die uitleg van 'n kongruensiebewys.
Bestudeer die
bewys noukeurig!
Antwoorde: Kongruente Driehoeke
Kopiereg © Die Antwoord A5
10.1 In ΔABD en ΔACD
(1) AB = AC . . . gegee
(2) BD = CD . . . gegee
(3) AD is gemeen
â ΔABD ≡ ΔACD � . . . SSS
10.2 In ΔABE en ΔACE
(1) AB = AC . . . gegee
(2) ˆ
1A = ˆ
2A . . .
(3) AE is gemeen
â ΔABE ≡ ΔACE � . . . SøS
10.3 ˆ
1E = ˆ
2E . . .
Maar ˆ1E + ˆ
2E = 180º . . . hoeke op 'n reguitlyn
â ˆ1E = ˆ
2E = 90º �
10.4 AE ⊥ BC � [d.w.s. AE is loodreg op BC � ]
11. Die skets met al die gelyke hoeke ingevul.
(Daar is geen gelyke sye nie)
Antwoord: D � Bewys: In ΔPTS en ΔRTQ
(1) ˆ
1P = ˆ
1R . . . verwisselende ø
e
; PS æ QR
(2) ˆ
1S = ˆ
1Q . . . verwisselende ø
e
; PS æ QR
& (3) ˆPTS = ˆRTQ . . . regoorstaande øe
â ΔPTS ||| ΔRTQ � . . . øøø
Bestudeer die (maklike) logika baie noukeurig!
ooreenkomstige øe
van
kongruente driehoeke in Vraag 10.2
ooreenkomstige hoeke in
kongruente driehoeke in Vraag 10.1
P
T
Q
S
R
1 1
1 1
Kongruensie (≡) en Gelykvormigheid (|| |)
van driehoeke
Kongruente Driehoeke . . .
het dieselfde vorm en grootte.
Al 3 hoeke en al 3 sye is gelyk.
d.w.s. ΔABC ≡ ΔPQR beteken dat
ˆA = ˆP , ˆB = ˆQ en ˆC = ˆR en AB = PQ, AC = PR en BC = QR
Let op die volgorde van die letters
Gelykvormige Driehoeke . . .
het dieselfde vorm, maar nie noodwendig dieselfde
grootte nie.
Al 3 hoeke is gelyk.
d.w.s. ΔABC ||| ΔPQR beteken dat
ˆA = ˆP , ˆB = ˆQ en ˆC = ˆR
Die sye is nie noodwendig gelyk nie, maar is eweredig:
= =
AB AC BC
PQ PR QR
Let op die volgorde van
die letters
B C
A
Q R
P
B C
A
Q R
P
Twee driehoeke is kongruent as hulle die volgende het
• 3 sye dieselfde lengte . . . SSS
• 2 sye & 'n ingeslote hoek gelyk . . . SøS
• 'n reghoek, skuinssy & 'n sy gelyk . . . RHS
• 2 hoeke en 'n sy gelyk . . . øøS
≡ beteken 'is kongruent aan'
(d.w.s. dieselfde VORM en GROOTTE ) terwyl:
||| beteken 'is gelykvormig aan'
(d.w.s. dieselfde VORM maar nie noodwendig
dieselfde GROOTTE nie)
Antwoorde: Gelykvormige Driehoeke
A6 Kopiereg © Die Antwoord
Sien die notas
oor Kongruensie en
Gelykvormigheid op bl. A5
GELYKVORMIGE ΔE
(Simbool: |||)
1.1 As ΔDEF ||| ΔKLM, d.w.s. ΔDEF is gelykvormig
aan ΔKLM,
dan is DE
KL =
EF
LM =
KM
DF � . . .
â 14
7 =
x
12 . . . ( )14 2
= =7 1 12
?
â x = 24 �
2. As ΔABC ||| ΔEDF,
dan is ( )==
AB BC
ED DF
AC
EF . . .
â =
AB 15
6 10
Vermenigvuldig met 6:
â AB = ×15 6
10
â AB = 9 cm �
3.1 In ΔPQR en ΔSTR
(1) ˆP = ˆS . . . verwisselende øe
; PQ || ST
(2) ˆQ = ˆT . . . verwisselende øe
; PQ || ST
& (3) ˆPRQ = ˆSRT . . . regoorstaande øe
â ΔPQR ||| ΔSTR � . . . øøø
3.2 â ( )==
PQ PR
ST SR
QR
TR . . .
â =
PQ 10
3 6
Vermenigvuldig met 3:
â PQ = ×10 3
6
â PQ = 5 cm �
4.1 In ΔQPN en ΔLMN
(1) ˆN is gemeen
(2) ˆ
1P = ˆM . . . ooreenkomstige øe ; QP || LM
& (3) ˆ
1Q = ˆL . . . ooreenkomstige øe ; QP || LM
â ΔQPN ||| ΔLMN . . . øøø
4.2 â ( )==
PN QP
MN LM
QN
LN . . .
â =
PN 3
16 8
Vermenigvuldig met 16:
â PN = 3 16×
2
8
â PN = 6 cm �
5.1 In ΔABD en ΔACE
(1) ˆA is gemeen
(2) ˆA DB = ˆA EC
(3) 3de
L : ˆ1
D = ˆ1E . . . som van ø
e
in Δ
â ΔABD ||| ΔACE � . . . øøø
5.2 â ( )==
BD AD
CE AE
AB
AC . . .
â =
BD 9
21 7
Vermenigvuldig met 21:
â BD = 9 21×
3
7
â BD = 27 cm �
eweredige sye van
gelykvormige driehoeke
Let op die VOLGORDE van die letters in gelykvormige Δe
:
ΔDEF | | | ΔKLM � ˆD = ˆK , ˆE = ˆL en ˆF = ˆM
en dit bepaal die eweredige sye
eweredige sye van
gelykvormige driehoeke
eweredige sye van
gelykvormige driehoeke
eweredige sye van
gelykvormige driehoeke
L
1Q
M
P
N
1
2 2
8 cm
3 cm 16 cm
A
1
B
E
C D
1
2
2
F
7 cm
21 cm
9 cm
eweredige sye van
gelykvormige driehoeke
Kies die sye waarvan jy die lengtes het!
Kies die sye waarvandie lengtes gegee word.
Kies die sye waarvan die lengtes gegee word.
Kies die sye met bekende lengtes
Antwoorde: Vierhoeke
Kopiereg © Die Antwoord A7
VIERHOEKE
1. (x + 50º) + (2x – 20º) = 180º . . .
â 3x + 30º = 180º
Trek 30º af : â 3x = 150º
Deel deur 3: â x = 50º
â ˆA = 50º + 50º = 100º
â ˆB = 180º – 100º . . . ko-binne øe
; AC || BD
= 80º �
OF: ˆC = 2(50º) – 20º = 80º
â ˆB = 80º � . . . teenoorst.øe
van 'n ||m
is gelyk
2.1 ˆEFG = 180º – 156º . . .
= 24º �
2.2 ˆ
2F = 1
2(24º) . . .
= 12º �
2.3 ˆG = 156º � . . .
3.1 ΔATD en ΔBTC �
3.2 ˆ
2A = 60º . . . ø van gelyksydige Δ
â ˆ1
A = 30º . . . ˆDAB = 90º in vierkant
â ˆ2
D + ˆ1T = 180º – 30º . . . som van ø
e
in Δ
= 150º
Maar ˆ2
D = ˆ1T . . . ø
e
teenoor gelyke sye in ΔATD
â ˆ2
D = 75º � . . . helfte van 150º
3.3 Net so: ˆ3T = 75º
en ˆ
2T = 60º . . . ø van gelyksydige ΔATB
â ˆ4T = 360º – (75º + 60º + 75º) . . .
= 360º – 210º
= 150º �
OF: ˆ1
D = 90º – 75º . . . ˆ
2D = 75º en ˆADC = 90º
= 15º
& Net so: ˆ1
C = 15º
â ˆ4T = 180º – 2(15º) . . . som van ø
e
in ΔDTC
= 180º – 30º
= 150º �
4.
ˆQRP = ˆTRS = 60º . . . øe
van gelyksydige Δe
& ˆPRT = 90º . . . ø van vierkant
â ˆQRS = 360º – (60º + 90º + 60º) . . .
= 150º
QR = PR . . . sye van gelyksydige ΔPQR
= RT . . . sye van vierkant
= RS . . . sye van gelyksydige ΔRTS
â x = ˆRSQ . . . hoeke teenoor gelyke sye in ΔQRS
= 12
(180º – 150º) . . .
= 12
(30º)
= 15º �
5. In ΔADB en ΔCBD:
ˆ
1D = ˆ
2B . . . aangrensende ø
e
; AD || BC in parallelogram
ˆ
1B = ˆ
2D . . . verwisselende ø
e
; AB || DC in parallelogram
BD = BD . . . gemene sy
â ΔADB ≡ ΔCBD . . . øøS
â AD = BC � . . .
& AB = DC �
6. D reghoek �
ko-binne øe
;
AB || CD
ko-binne øe
;
DE || GF in ruit
die hoeklyne van 'n ruit
halveer die øe
van die ruit
teenoorstaande øe
van 'n ruit
(of ||m
) is gelyk
. . . AT = AB . . . sye van gelyksydige Δ
= AD . . . sye van vierkant & Net so: BT = AB = BC
som van øe
om
'n punt = 360º
som van øe
om
'n punt = 360º
ø van gelykbenige Δ ;
som van øe
in Δ = 180º
Let Wel: Deur kongruensie te gebruik, het ons nou
net bewys dat albei pare teenoorstaande
sye van 'n parallelogram gelyk is in lengte.
As een hoek gelyk is aan 90º, dan, vanweë ko-binnehoeke
en parallelle lyne, sal die ander ook gelyk aan 90º wees.
Dus het ons 'slegs een hoek gelyk aan 90º nodig.'
ooreenkomstige sye
van kongruente Δe
C
A B
D
T
1
3
2
2
1
1
1
2
4
30°
60°
60°
60°
Q
60°
60° 60°
60°
60°
60°
W T
S
RP
x
Antwoorde: Vierhoeke
A8 Kopiereg © Die Antwoord
7.1 Iets nuuts om te ervaar!
( ˆ1
B + ˆ2
B ) + ( ˆ1
C + ˆ2
C ) = 180º
. . .
Laat ˆ1
B = ˆ2
B = x en ˆ1
C = ˆ2
C = y . . .
. . . gegee dat die hoeke halveer is
â 2x + 2y = 180º
d.w.s. 2(x + y) = 180º
Deel deur 2: â x + y = 90º
â In ΔBTC: ˆ1
B + ˆ1
C = 90º
â ˆ2T = 90º . . . som van ø
e in Δ
7.2 ΔTCP �
ˆTPC = 180º – 90º = 90º . . . hoeke op 'n reguitlyn
In ΔBCT en ΔTCB:
1) ˆ
1C = ˆ
2C (= y)
2) ˆ
2T = ˆTPC (= 90º)
3) â ˆ1
B = ˆ1T . . . 3
de ø
van Δ
â ΔBCT ||| ΔTCP � . . . øøø
7.3 â ⎞= ⎟⎠
= ⎛⎜⎝
CBT BC
TP TC
T
CP . . .
â =
BT 2TC
4 TC
Vermenigvuldig met 4:
â BT = 2 % 4
= 8 cm �
8. Antwoord: C ΔAEB ≡ ΔDEC �
In ΔAEB en ΔDEC:
1) AE = BE . . . gegee
2) EB = EC . . . gegee
3) ˆAEB = ˆDEC . . . regoorstaande øe
â ΔAEB ≡ ΔDEC . . SøS
9.
(a + i + h) + (b + g + f) + (c + d + e)
= 3 % 180º
= 540º
â Elke ø = °540
5 = 108º
â Antwoord: D �
10.
Die som van die øe
van die heksagoon
= 4 % 180º
= 720º
â Elke ø = °720
6 = 120º
â Antwoord: B �
'n Baie nuttige
tegniek in
meetkunde!
eweredige sye van
gelykvormige driehoeke
ko-binne øe ;
AB || DC in
parallelogram
bc d
e
f
gh
a
i
A
C
B
D
1
1
2
2
1
2 3
T
P
x
x
y
y
NOTAS
Kies die sye waarvan die lengtes gegee word.
Antwoorde: Stelling van Pythagoras
Kopiereg © Die Antwoord A9
STELLING VAN PYTHAGORAS
1. AC = 13 cm . . . 5 : 12 : 13 Pythagoras 'trio'
OF: In ΔABC: AC2 = AB
2 + BC
2 . . .
= 52 + 12
2
= 25 + 144
= 169
â AC = 13 cm
2.1 In ΔABC: x = 10 cm � . . .
2.2 In ΔABD: BD = 15 cm . . . Pythag 'trio': 8 : 15 : 17
â y = 15 cm – 6 cm
= 9 cm �
OF: 2.1 x2 = 8
2 + 6
2, ens.
2.2 BD2 = 17
2 – 8
2, ens.
3.1 ×TU 12
2 = 30 . . .
h × b
2 = oppervlakte van 'n Δ
Vermenigvuldig met 2: . . .
â TU % 12 = 60
Deel deur 12:
â TU = 5 cm �
3.2 TW = 13 cm . . . Pythag 'trio' 5 : 12 : 13
â Die omtrek van ΔTUW = 5 cm + 12 cm + 13 cm
= 30 cm �
4.1 Die lengte van die leer = 13 m � . . .
OF: (lengte van die leer)2
= 52 + 12
2, ens.
5. Antwoord: B 6 cm �
In ΔADC: DC = 8 cm . . . teenoorst. sye van reghoek â AD = 6 cm . . .
6.
AC2 = 15
2 = 225
& AB2 + BC
2 = 9
2 + 12
2 = 81 + 144 = 225
â AC2 = AB
2 + BC
2
â ˆB = 90° . . . die omgekeerde van die
Stelling van Pythagoras
Stell. van Pythag.; ˆB = 90º
Pythag 'trio':
3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 10
Pythag 'trio':
3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 10
*
. . . Stelling van Pythag.
Pythag 'trio':
5 : 12 : 13
OF: × TU 12
6
2
= 30
â 6 % TU = 30
Deel deur 6:
â TU = 5 cm �
NOTAS
12 m
5 m
Let Wel: By die toepassing van die Stelling van
Pythagoras is daar 'n paar baie bekende
'drietalle' wat nuttig is om te ken en gebruik
eerder as lang berekeninge. bv. 3
2 + 4
2 = 9 + 16 = 25 = 5
2
52 + 12
2 = 25 + 144 = 169 = 13
2
82 + 15
2 = 64 + 225 = 289 = 17
2
Dus is: die DRIETALLE: 3 : 4 : 5 ; 5 : 12 : 13 ; 8 : 15 : 17 en veelvoude, soos:
6 : 8 : 10
*
Hierdie som vereis die toepassing van die omgekeerde van
die Stelling van Pythagoras, d.w.s. Indien die kwadraat op een sy van 'n driehoek gelyk is
aan die som van die kwadrate op die ander twee sye,
is die hoek teenoor die eerste sy 'n regte hoek.
Antwoorde: Meting: 2D
A10 Kopiereg © Die Antwoord
METING: 2D
1.1 Radius, r = 1
2 % middellyn = 6 cm
â Oppervlakte = �r2 = 3,14 % 6
2
= 113,04 cm2 �
1.2 Die omtrek van die (volle) sirkel = 2�r
â Die 'omtrek' van die semi-sirkel = �r = 3,14 % 6
= 18,84 cm â Die omtrek van die vorm ACB
= 18,84 cm + 12 cm = 30,84 cm � . . . middellyn, AB = 12 cm
2. Die oppervlakte van 'n vierkant = s2 = (0,12)
2 = 0,0144 cm
2
â Antwoord: D �
3.1 Die omtrek van die baan
= 2 % 100 m + 2 % halfsirkels
= 200 m + 2 % 3,14 % 30 m . . .
= 388,4 m
â Aantal rondtes = 4 000 m
388,4 m = 10,298 . . .
â 11 rondtes � . . . vir 'n minimum van 4 km!
3.2 Die oppervlakte van die baan
= oppv. van reghoek + oppv. van 2 halfsirkels
= (100 % 60)m2 + �.30
2 m
2 . . . Oppv. van sirkel = �r
2
= 6 000 m2 + �.900 m
2
l 8 827,43 m2 �
4.1 In ΔAPS: PS2 = 5
2 – 2
2 . . . Stelling van Pythagoras
= 25 – 4
= 21
â PS = 21
l 4,58 m �
4.2 PT = 3 % AB = 3 % 4 m = 12 m �
4.3 'n Vlieër � . . . 2 pare aangrensende sye gelyk
4.4 Metode 1: Gebruik die formule
Die oppervlakte = 1
2 die produk van die hoeklyne
= 1
2 (PT % AB)
= 1
2 (12 % 4)
= 24 m2 �
Metode 2: Sonder die formule
Die oppervlakte = ΔPAT + ΔPBT
= 2 % ΔPAT . . .
= 21
2×
PT AS⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
= 12 m % 2 m
= 24 m2 �
5.1 In ΔABT: AT = 4 cm � . . . Pythag 'trio' : 3 : 4 : 5
OF: AT2 = 5
2 – 3
2 . . . Stelling van Pythagoras
= 25 – 9
= 16
â AT = 4 cm �
5.2 Die oppervlakte van parallelogram ABCT
= basis % hoogte
= BC % AT
= AD % 4 cm
= 12 cm % 4 cm
= 48 cm2
5.3.1 DC = AB = 5 cm . . . teenoorstaande øe van ||
m
TC = BC – BT = 12 cm – 3 cm = 9 cm
â Die omtrek van trapesium ADCT
= AD + DC + TC + AT
= 12 cm + 5 cm + 9 cm + 4 cm
= 30 cm �
Beskou noukeurig:
(0,12)2 =
212
100
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 12 12 144
100 100 10 000× = = 0,0144
Omtrek van sirkel
= 2�r
Sien hoe ΔABT skuif
(soos aangedui) :
Parallelogram ABCD = reghoek ATSD
& Oppervlakte van reghoek ATSD
= lengte % breedte
= 12 cm % 4 cm
= 48 cm2
12 cm
5 cm
3 cm
A
B T C
D
S
want die 2 Δe
is kongruent
Antwoorde: Meting: 2D
Kopiereg © Die Antwoord A11
5.3.2 Metode 1: Gebruik die formule
Die oppervlakte van trapesium ADCT
= 1
2 (som van die || sye) % die afstand tussen hulle
= 1
2(AD + TC) % AT
= 1
2(12 + 9) % 4
= 42 cm2 �
Metode 2: Sonder 'n formule
Die oppervlakte van trapesium ADCT
= Oppervlakte van ΔATC + Oppervlakte van ΔADC
= 1
2(9 % 4) +
1
2(12 % 4)
= 18 + 24
= 42 cm2 �
6. Laat die oppervlakte van die oorspronklike reghoek = ℓ % b
As die lengte verdubbel, dan sal die oppervlakte van die
vergrote reghoek = 2ℓ % b
= 2(ℓb)
â k = 2 �
7. Die omtrek van 'n sirkel, 2�r = 52 cm
â r = π
52
2 =
π
26
â Die oppervlakte van die sirkel
= �r2 = � %
⎛ ⎞⎜ ⎟π⎝ ⎠
2
26
= � % π
2
2
26
= π
226
l 215,18 cm2 � . . . korrek tot 2 desimale plekke
8.1 Die omtrek van 'n sirkel = 2�r
â Die omtrek van die kleiner sirkel
= 2 % � % 20
l 125,66 cm �
8.2 Die oppervlakte van die geskakeerde oppervlakte
= die oppervlakte van die volle sirkel – die oppervlakte
van die binneste sirkel
= �302 – �20
2
l 1 570,80 cm2 �
9.1 Die oppervlakte van die geskakeerde ring
= die oppervlakte van die volle sirkel – die oppervlakte
van die binneste ring
= �R2 – �r
2
= �(R2 – r
2) �
9.2 Oppervakte van die geskakeerde ring = �(142 – 8
2)
= 132� cm2 �
Let wel : Gee die antwoord 'in terme van �'
*
1
2. ( 9 + 12) .4, soos die formule hierbo!*
b
ℓ
4 cm
9 cm
A
T C
D12 cm
NOTAS