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Université Montpellier 2
Faculté des sciences
Département EEA
Master 2 : Robotique
2014 / 2015
Cours de Robotique 2 (UE 322)
Cours 1
Génération de trajectoires
Partie 2 : Trajectoires par interpolation
A. Chemori
LIRMM - UMR 5506
161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France
FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 2
Plan du cours (Partie 2)
1. Introduction
2. Trajectoires interpolées par lois bang-bang
Principe de base
Trajectoires à temps minimal
Exemple
3. Application à l’espace articulaire
4. Application à l’espace cartésien
A. Chemori (Cours de Robotique 2 (GMEE 322)
A. Chemori (Cours de Robotique 2 (GMEE 322) FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 3
Génération de trajectoires Introduction
On considère un mouvement qui consiste à passer par points :
: désigne le point de départ à vitesse nulle,
: celui d’arrivée à vitesse nulle,
: sont les points intermédiaires (points de passage),
à chaque point on associe une vitesse et l’instant de passage en
l’interpolation entre deux points successifs et assurant la continuité
de vitesse doit vérifier les contraintes suivantes :
Ces contraintes peuvent être satisfaites par une spline cubique ou par une lois
bang-bang
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Dans le cas d’une lois bang-bang, l’équation obtenue est la suivante :
avec
Il faut noter (contrairement au cas de point à point) que les mêmes données de
position et de vitesse et peuvent conduire, pour des
choix différents de la durée de mouvement , à des évolutions
d’accélérations différentes.
Ceci est illustré au travers l’exemple ci-dessous.
Introduction Génération de trajectoires
A. Chemori (Cours de Robotique 2 (GMEE 322) FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 5
Exemple : Interpolation par une lois bang-bang (le deuxième cas à une durée
double de celle du premier)
Introduction Génération de trajectoires
La durée du mouvement en b) est double de celle en a)
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Le mouvement complet d’interpolation du point de départ au point d’arrivée et
alors simplement construit par les m splines interpolant les couples de points
et partageant les mêmes contraintes de vitesses
et éventuellement d’accélération.
Il est nécessaire, en pratique, de déterminer les durées de mouvements en
fonctions des contraintes cinématiques de vitesses et d’accélérations
maximales
Dans le cas de mouvements interpolés, cela revient à déterminer la durée entre
chaque couple de points successifs :
satisfaisant les contraintes cinématiques
Ensuite les instants de passage sont calculé par :
La détermination des durées optimales deviendra beaucoup plus difficile à
cause de la liberté de choix des vitesses de passage qui ne sont plus imposées
nulles.
Introduction Génération de trajectoires
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Cette méthode est applicable en ligne sur un robot industriel
Elle consiste à calculer la spline pendant que la spline est réalisée
Le caractère en-ligne de la méthode est fondé sur la détermination analytique
de la durée optimisant le mouvement de à sous les
contraintes et .
Le mouvement est considéré soit positif, c.à.d :
Ou bien négatif, c.à.d :
Tout changement de direction du mouvement se fait en imposant un point
de passage à vitesse nulle
Trajectoires interpolés par loi bang-bang : Principe de base
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Dans le cas de la loi bang-bang on peut distinguer deux profils correspondant à
: Valeur du premier palier d’accélération correspondant à l’intervalle
: Valeur du deuxième palier d’accélération correspondant à l’intervalle
L’évolution de vitesse est illustrée dans le cas d’un mouvement positif
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Profil 1 Profil 2
Contraintes de vitesse Contraintes de vitesse
Mo
uve
men
t à
tem
ps
min
imal
Contraintes d’accélération Contraintes d’accélération
Mouvement positif : doit privilégier le profil 1 Le profil 2 conduira à un allongement de la durée du mouvement (voir précédemment)
Mouvement négatif : doit privilégier le profil 2 car il est le plus rapide
Q: A-t on toujours une solution optimale ? Qui satisfait les contraintes
Trajectoires à temps minimal
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
R: Le profil favorable n’est pas toujours réalisable (démonstration avec un exemple)
On considère le cas du passage du profil 1 au profil 2 (ou inversement)
correspond à une durée limite (déduite de l’équation )
Or, si la durée du mouvement d’interpolation, imposée par l’utilisateur ou par
la satisfaction des contraintes (de vitesse et d’accélération) est supérieure à
cette limite
Le profil favorable n’est pas réalisable le profil le moins favorable (profil lent) s’impose
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Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires
Exemple On considère une variable rotoïde qui doit interpoler les 10 points suivants :
Positions (en Deg) :
Vitesses associées (en Deg/s) :
On impose les contraintes suivantes sur les vitesses et accélérations :
Trajectoires obtenues :
Remarque :
Le mouvement entre les point 3 et 4 se
fait à vitesse constante grâce au choix
de vitesse de passage égale à la vitesse
maximale