1

TallæreGrunnskolelærerutdanning 5.-10. trinn

Institutt for realfagsdidaktikk

Fakultet for humaniora og utdanningsvitenskap

Høgskolen i Vestfold

Uke 38, 2010

2

Om tallære:

“Mathematics is the queen of the sciences

and number theory is the queen of

mathematics.”

G. H. Hardy

3

Kilder

Breiteig–Venheim: Matematikk for

Lærere 1, kap. 4

Universitetsforlaget (2005)

Selvik-Tvete: Matematiske

sammenhenger – Tallære

Caspar forlag (2000)

4

Innhold

1. Delelighet

2. Primtall

3. Største felles faktor og minste felles

multiplum

4. Figurtall

5

§1. Delelighet

Alle elever i en klasse har kjøpt de fire

lærebøkene som læreren anbefalte. Antall

bøker eid av klassen er da

(antall elever) ∙ 4.

Derfor må 4 «gå opp» i antall bøker.

F.eks.: 24 elever eier 96 = 4 ∙ 24 bøker.

6

Faktorer og delelighet

Definisjon: Et heltall a er delelig med et annet heltall b

dersom a = k∙b for et heltall k.

I hverdagsspråket kunne vi si at a gjenstander kan fordeles

jevnt mellom b personer.

Vi kan også bruke følgende terminologi:

• Tallet b går opp i a. (Obs: Ikke «a går opp i b»!)

• Tallet b er faktor eller divisor i a.

• Tallet a er et multiplum av b.

7

Når går ett tall opp i et annet?

Kjent definisjon: Et heltall a kalles partall

dersom 2 er faktor i a, og oddetall ellers.

Et heltall er partall dersom dets siste siffer er

0, 2, 4, 6 eller 8;

og oddetall dersom dets siste siffer er 1, 3,

5, 7 eller 9.

Litt om delelighet

Setning: La heltall a, b og t være gitt. Da

gjelder følgende:

1. Hvis t | a og t | b, så vil t | (a + b).

2. Hvis t | a, så vil t | na for alle heltall n.

Vi skal bevise påstand (1) senere. Hele setningen

er bevist på s. 116 i Breiteig-Venheim 1.

8

Obs om terminologi

Tenk om det i en oppgave står for eksempel

«La x og y være tall slik at x < y.

Bevis at x + y < 2y.»

Meningen med en slik oppgave er ikke at man

skal velge et eksempel som x = 1 og y = 2, og

sjekke at 1 + 2 < 2∙2.

Argumentet skal gjelde alle mulige valg av x og y.

9

10

Å sjekke delelighet

(Breiteig-Venheim, s. 116-118)

Et helt tall er delelig med

• 2 dersom det siste sifferet er partall

• 4 dersom tallet dannet av de siste to

sifrene er delelig med 4

• 5 dersom det siste sifferet er 0 eller 5

11

Tverrsummer og delelighet

Definisjon: Tverrsummen til et heltall er

summen av tallets sifre.

Den alternerende tverrsummen til et heltall

er summen av tallets sifre der vi ganger

sifrene vekselvis med +1 og −1.

12

Flere tester for delelighet

Et helt tall er delelig med

• 3 dersom tverrsummen er delelig med 3

• 6 dersom det er partall og tverrsummen er

delelig med 3

• 9 dersom tverrsummen er delelig med 9

• 11 dersom den alternerende tverrsummen

er delelig med 11

Divisjon med rest

Hva gjør vi når vi deler 38 med 5?

Vi skriver 38 = 7∙5 + 3.

Her kalles 3 for resten fra divisjonen.

13

Divisjon med rest – fortsatt

Generelt, gitt heltall a og b, deler vi a på b

ved å skrive

a = qb + r

der r er et heltall mellom 0 og b−1.

(«Divisjonssetning», s. 126 Breiteig-Venheim.)

14

Bevisføring i matematikken

Før vi går videre med tallære, skal vi

diskutere rollen som bevisføring spiller i

matematikkfaget.

15

16

§2. Primtall

Definisjon: Et helt tall a kalles primtall

dersom de eneste faktorene i a er 1 og a.

Et helt tall som ikke er primtall kalles et

sammensatt tall.

(Tallet 1 betraktes hverken som primtall eller

sammensatt.)

17

Aritmetikkens fundamentalsetning

Primtallene er de hele tallene som det ikke

går an å «bryte ned» (faktorisere) videre.

Setning (Aritmetikkens fundamentalsetn.):

Hvert heltall kan faktoriseres som produkt av

primtall på én og bare én måte

(vi ser bort fra faktorenes rekkefølge).

18

Å finne primtallfaktorer

19

Å finne primtallfaktorer

20

Hvor mange primtall?

Aritmetikkens fundamentalsetningen tilsier at

ethvert heltall kan brytes ned som produkt av

primtall.

Hvor mange primtall trenger vi for å lage alle de

heltallene?

21

Setning (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall.

Bevis

La p være et vilkårlig primtall. Vi skal bevise at det finnes et primtall større enn p.

Dermed skal vi vite at det er ingen størsteprimtall, og så må det være uendelig mange primtall.

22

(bevis fortsetter)

Vi samler alle primtallene som er mindre enn eller lik p:

2, 3, 5, 7, … p

og bruker dem til å lage et nytt tall

M := (2∙3∙5∙7∙…∙p) + 1

Tallet M er ikke delelig med noe av primtallene på lista 2, 3, … p, fordi vi får en rest på 1 i hvert tilfelle.

Derfor er alle primtallfaktorene i M større enn p.

23

Eratosthenes’ såld

(Breiteig-Venheim, s. 122)

En måte å finne primtall på.

Metoden går på å «stryke» alle

sammensatte tall i et visst intervall, og da

står bare primtallene igjen.

24

Fordeling av primtallene

Primtallene fordeler seg i de hele tallene på

en svært tilfeldig måte. Her er et av de

forholdsvis få resultatene vi har om

fenomenet:

Setning: Det finnes vilkårlig lange

rekkefølger av sammensatte tall i de hele

tallene.

25

Ide bak beviset: Tenk om vi ønsker å finne fem

påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet

6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1.

Da ser vi at

6! + 2 = 722 er delelig med 2,

6! + 3 = 723 er delelig med 3,

6! + 4 = 724 er delelig med 4,

6! + 5 = 725 er delelig med 5, og

6! + 6 = 726 er delelig med 6.

Slik har vi funnet en rekkefølge med fem

påfølgende sammensatte tall.

26

Bevis

Tenk om vi ønsker å finne n påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet

(n +1)! = (n +1)∙n∙(n - 1)∙(n - 2)∙ … ∙3∙2∙1.

Da ser vi at

(n +1)! + 2 er delelig med 2,

(n +1)! + 3 er delelig med 3,

…

(n +1)! + n er delelig med n, og

(n +1)! + (n +1) er delelig med (n +1).

Slik har vi funnet en rekkefølge med nsammensatte tall.

27

§5. Sff og mfm

(altså største felles faktor og minste felles multiplum)

Johann kjøper et antall epler à 4kr og et antall bananer à 6kr. Ekspeditøren sier at det er 65kr å betale. Johann sier «Dette må være feil». Hvordan visste han det?

Hva om Johann kjøpte appelsiner à 3kr og vafler à 6kr, og blir bedt om å betale 20kr?

28

Vi oversetter til algebra:

Vi prøver å finne heltallsløsninger til

likningen

4e + 6b = 65

i det første eksempelet, og likningen

3a + 6v = 20

i det andre.

29

For at det skal være en heltallsløsning til

4e + 6b = 65, trenger vi følgende:

Alle heltall som går opp i både 4 og 6, må

også gå opp i 65.

Det er bare 1 og 2 som går opp i 4 og 6.

Men 2 går ikke opp i 65.

Derfor må ekspeditøren ha gjort feil.

30

Felles faktor og sffDefinisjon: La a og b være hele tall. En felles

faktor for a og b er et helt tall som går opp i både a og b.

En felles faktor d for a og b kalles største felles faktor for a og b dersom alle felles faktorer for a og b går opp i d.

Vi skriver sff(a,b) eller gcd(a,b).

31

For at vi skal kunne finne løsninger f.eks. til

likningen

4e + 6b = 65,

må sff(4,6) = 2 gå opp i tallet til høyre, og

det gjør det ikke.

En slik likning kalles forresten en lineær

diofantisk likning.

32

Å finne sff

En måte å finne sff(a, b) på, er å faktorisere

a og b og se på hvilke tall som går opp i

begge tall.

Med store tall er Euklids algoritme det mest

gunstige (Breiteig-Venheim, s. 128-129).

Et annet bruk for sff

33

34

Minste felles multiplum

Tenk om vi skal utføre regnestykket

Vi må finne en felles nevner for brøkene.

Det går an å gange sammen nevnerne, men dette

kan bli tungvint.

Det mest gunstige er å bruke minste felles

multiplum.

24

11

16

13

35

Definisjon: La a og b være hele tall. Et felles

multiplum for a og b er et helt tall som både a og

b går opp i.

Et felles multiplum m for a og b er minste felles

multiplum dersom m går opp i alle andre felles

multipler for a og b.

Minste felles multiplum til a og b finner man slik:

)b,a(sff

ba)b,a(mfm

§4. Figurtall

• Kvadrattall, trekanttall, rektangeltall

• Grafisk og algebraisk innfallsvinkel

• Differenstabell

• Relasjoner mellom forskjellige figurtall

36