Giuseppe Chirico and Jorg Langowski- Brownian Dynamics Simulations of Supercoiled DNA with Bent Sequences

8/3/2019 Giuseppe Chirico and Jorg Langowski- Brownian Dynamics Simulations of Supercoiled DNA with Bent Sequences

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B i o p h y s i c a l J o u r n a l V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6 9 5 5 - 9 7 1

B r o w n i a n Dynamics S i m u l a t i o n s o f S u p e r c o i l e d DNA w i t hB e n t Sequences

G i u s e p p e C h i r i c o * a n d J o r g L a n g o w s k i #* I s t i t u t o N a z i o n a l e F i s i c a d e l l a M a t e r i a , D i p a r t i m e n t o d i F i s i c a , U n i v e r s i t a d e g l i S t u d i d i M i l a n o , 1-20133 M i l a n , I t a l y , a n d # A b t e i l u n gB i o p h y s i k d e r M a k r o m o l e k u l e ( 0 8 3 0 ) , D e u t s c h e s K r e b s f o r s c h u n g s z e n t r u m , Im Neuenheimer F e l d 2 8 0 , D -69120 H e i d e l b e r g , Germany

ABSTRACT T h e r e c e n t l y p r e s e n t e d B r o w n i a n d y n a m i c s m o d e l f o r s u p e r h e l i c a l DNA i s extended t o i n c l u d e l o c a l c u r v a t u r e

o f t h e D NA h e l i x a x i s . H e r e we a n a l y z e t h e e f f e c t o f a p e r m a n e n t bend on t h e s t r u c t u r e and d y n a m i c s o f an 1 8 7 0 - b ps u p e r h e l i x w i t h AL k = - 1 0 . F u r t h e r m o r e , we d e f i n e q u a n t i t a t i v e e x p r e s s i o n s f o r c o m p u t i n g s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s s u c h a s

l o o p p o s i t i o n s , s u p e r h e l i x d i a m e t e r , a n d p l e c t o n e m i c c o n t e n t f o r t r a j e c t o r i e s o f s u p e r h e l i c a l D N A , a n d a s s e s s t h e c o n v e r -

ge n c e t o w a r d g l o b a l e q u i l i b r i u m . Th e s t r u c t u r a l f l u c t u a t i o n s i n a n i n t e r w o u n d s u p e r h e l i x , as r e f l e c t e d i n t h e c h a n g e i n end l o o p

p o s i t i o n s , seem t o oc c u r b y d e s t r u c t i o n / c r e a t i o n o f l o o p s r a t h e r t h a n b y a s l i d i n g m o t i o n o f t h e DNA a r o u n d i t s c o n t o u r . T h e i rt i m e s c a l e i s on t h e o r d e r o f 3 0 - 1 0 0 , u s . A p e r m a n e n t b e n d c h a n g e s t h e s t r u c t u r e and t h e i n t e r n a l m o t i o n s o f t h e D NAd r a s t i c a l l y . T h e p o s i t i o n o f t h e e n d l o o p i s f i x e d a t t h e p e r m a n e n t b e n d , and t h e l o c a l m o t i o n s o f t h e c h a i n a r e enhanced n e a r

t h e l o o p s . A d i s p l a c e m e n t o f t h e b e n d f r o m t h e e n d l o o p t o a p o s i t i o n i n s i d e t h e p l e c t o n e m i c p a r t o f t h e s u p e r h e l i x r e s u l t si n t h e f o r ma t i o n o f a new l o o p a n d t h e d i s a p p e a r a n c e o f t h e o l d o n e ; we e s t i m a t e t h e t i m e i n v o l v e d i n t h i s p r o c e s s t o be a b o u t0 . 5 m s .

INTRODUCTION

T h e l o n g - r a n g e o r d e r i n g o f DNA i s d e t e r m i n e d t o a g r e a te x t e n t b y t h e i n t e r p l a y b e t w e e n t o r s i o n a l s t r e s s i n t h e DNAa n d l o c a l s t r u c t u r a l c h a n g e s s u c h a s DNA c u r v a t u r e , i n -

d u c e d b y b o u n d p r o t e i n s o r i n t r i n s i c p a r t i c u l a r s e q u e n c e s .T o r s i o n a l s t r e s s c a u s e s t h e f o l d i n g o f DNA i n t o a p l e c t o n e -m i c s u p e r h e l i x ; i n s u c h a s t r u c t u r e , i n t r a m o l e c u l a r i n t e r a c -t i o n s a r e d i f f e r e n t f r o m t h o s e i n u n s t r e s s e d DNA, a s w i t -n e s s e d b y s u p e r c o i l i n g - i n d u c e d DNA l o o p i n g ( B o r o w i e c e t

a l . , 1 9 8 7 ) a n d b y r e c e n t m o d e l c a l c u l a t i o n s ( K l e n i n e t a l . ,

1 9 9 5 ; V o l o g o d s k i i e t a l . , 1 9 9 2 ) . I t i s k n o w n t h a t DNA

s u p e r c o i l i n g i n f l u e n c e s t h e a c t i v i t y o f p r o - a n d e u k a r y o t i cp r o m o t e r s , a n d i t h a s b e e n h y p o t h e s i z e d t h a t DNA c u r v a t u r ec o u l d c o n t r o l t h e g l o b a l s t r u c t u r e o f t h e s u p e r h e l i x a n d

t h e r e f o r e m o d u l a t e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n d i s t a n t s i t e s ( K l e -n i n e t a l . , 1 9 9 5 ; K r e m e r e t a l . , 1 9 9 3 ; L a u n d o n a n d G r i f f i t h ,1 9 8 8 ; t e n H e g g e l e r - B o r d i e r e t a l . , 1 9 9 2 ; Z h a n g e t a l . , 1 9 9 4 ) .T h e e f f e c t o f b e n d s o n DNA s u p e r c o i l i n g h a s b e e n r e v i e w e d

r e c e n t l y ( Y a n g e t a l . , 1 9 9 5 ) , a n d i t h a s b e e n e m p h a s i z e d t h a tf o r D NAs l o n g e r t h a n t h e p e r s i s t e n c e l e n g t h , f l u c t u a t i o n sm u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t f o r a r e a l i s t i c d e s c r i p t i o n o f t h es t r u c t u r e d y n a m i c s ( L a n g o w s k i e t a l . , 1 9 9 6 ) . A f t e r t h e a s -s e s s m e n t o f t h e e f f e c t o f c u r v e d i n s e r t s o n t h e a v e r a g e s t a t i c

s t r u c t u r e o f s u p e r h e l i c a l DNA ( K l e n i n e t a l . , 1 9 9 5 ) , t h i sp a p e r s h o w s m o d e l c a l c u l a t i o n s f o r t h e d y n a m i c s o f s t r u c -t u r a l c h a n g e s i n s u p e r h e l i c a l DNA t h a t c o n t a i n s c u r v e d

i n s e r t s .

R e c e i v e d f o r p u b l i c a t i o n 7 M a r c h 1 9 9 6 a n d i n f i n a l f o r m 1 6 Ma y 1 9 9 6 .

A d d r e s s r e p r i n t r e q u e s t s t o D r . J o r g L a n g o w s k i , A b t e i l u n g B i o p h y s i k d e r

M a k r o m o l e k u l e ( 0 8 3 0 ) , D e u t s c h e s K r e b s f o r s c h u n g s z e n t r u m , I m N e u e n -

h e i m e r F e l d 2 8 0 , D - 6 9 1 2 0 H e i d e l b e r g , G e r m a n y . T e l . : 4 9 - 6 2 2 1 - 4 2 3 3 9 0 ;

4 9 - 6 2 2 1 - 4 2 3 3 9 1 ; j o e r g . l a n g o w s k i @ d k f z - h e i d e l b e r g . d e .

i 1 9 9 6 b y t h e B i o p h y s i c a l S o c i e t y

0 0 0 6 - 3 4 9 5 / 9 6 / 0 8 / 9 5 5 / 1 7 $ 2 . 0 0

A v a r i e t y o f m o d e l s e x i s t t h a t d e s c r i b e t h e s t r u c t u r e a n d

i n t e r n a l d y n a m i c s o f s u p e r h e l i c a l DNA ( f o r a r e v i e w , s e eS c h l i c k , 1 9 9 5 ) . Of a l l t h e s e m o d e l s , o n l y s i m u l a t i o n s t h a ti n c l u d e t h e s o l v e n t e x p l i c i t l y c a n c a l c u l a t e t h e d y n a m i c s

f r o m " f i r s t p r i n c i p l e s , " t h a t i s , u s i n g o n l y t h e k n o w n v a l u e s

f o r DNA b e n d i n g a n d t o r s i o n a l p e r s i s t e n c e l e n g t h , h y d r o -

d y n a m i c r a d i u s , a n d e l e c t r o s t a t i c i n t e r a c t i o n s . We h a v e r e -c e n t l y d e v e l o p e d a n u m e r i c a l m e t h o d t o s i m u l a t e t h e d y -n a m i c s ( a n d s t r u c t u r e ) o f s u p e r c o i l e d DNA i n a q u e o u s

s o l u t i o n b a s e d o n B r o w n i a n d y n a m i c s ( B D ) ( C h i r i c o a n d

L a n g o w s k i , 1 9 9 2 , 1 9 9 4 ) . I n t h i s p a p e r , we e x t e n d t h e p r e -v i o u s m o d e l t o s i m u l a t e i n t r i n s i c a l l y c u r v e d s e q u e n c e s a n d

e l e c t r o s t a t i c i n t r a m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s . F o r a n a l y z i n g t h et r a j e c t o r i e s c a l c u l a t e d f r o m t h e m o d e l , s o m e s t r u c t u r a l a n d

d y n a m i c p a r a m e t e r s a r e d e f i n e d a n d t h e a l g o r i t h m s f o r t h e i rc o m p u t a t i o n a r e d e s c r i b e d . I n a t h i r d p a r t , B D t r a j e c t o r i e sa r e a n a l y z e d i n t e r m s o f t h e s e p a r a m e t e r s a n d c o n c l u s i o n sa r e d r a w n a b o u t t h e e f f e c t o f c u r v e d s e q u e n c e s o n t h e g l o b a ls t r u c t u r e o f s u p e r h e l i c a l DNA a n d i t s d y n a m i c s .

METHODS

B r o w n i a n d y n a m i c s a l g o r i t h m

T h e s i m u l a t i o n o f DNA m o t i o n i n s o l u t i o n i s p e r f o r me d b y

n u m e r i c a l l y i n t e g r a t i n g t h e L a n g e v i n e q u a t i o n s ( E r m a k a n d

McCammon, 1 9 7 8 ; F i x m a n , 1 9 7 8 ) f o r a m o d e l m o l e c u l e . I nt h e m o d e l ( C h i r i c o a n d L a n g o w s k i , 1 9 9 4 ) u s e d h e r e , t h ec h a i n i s d e s c r i b e d b y a s t r i n g o f N b e a d s w i t h c e n t e r - o f -m a s s p o s i t i o n s { r } i } = 1 , N a n d t h e r o t a t i o n a l o r i e n t a t i o n o f

e a c h b e a d r e l a t i v e t o i t s e q u i l i b r i u m s t r u c t u r e i s d e s c r i b e d

b y a u n i t v e c t o r f f i x e d o n t h e b e a d a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h eb e a d - t o - b e a d d i r e c t i o n , t h e b o n d d i r e c t i o n ( A l l i s o n e t a l . ,

1 9 8 9 ) . T h e d i s c r e t e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n t h e s o l v e n t f o r

t h e b e a d p o s i t i o n s a n d f o r t h e t o r s i o n o f t h e b o d y f i x e d

9 5 5



V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

c o o r d i n a t e s ( b f c ) s y s t e m s a s s o c i a t e d w i t h t h e b e a d s a r e t h e n

( D i c k i n s o n e t a l . , 1 9 8 5 )

8 r i ( t ) = S t ; l X j ( t ) F j ( t ) 1 ( K B T ) + R i ( t )

( 1 )

' 6 4 i ( t ) = S t D r T i ( t ) I ( K B T ) + S i ( t ) ,

w h e r e D U i s t h e h y d r o d y n a m i c i n t e r a c t i o n m a t r i x ( s e e b e -l o w ) , a n d F j ( t ) a n d T i ( t ) a r e t h e f o r c e s a n d t o r q u e s a c t i n g o n

t h e b e a d s .T h e s e e q u a t i o n s a r e i t e r a t e d w i t h a t i m e s t e p S t , a n d t h e

r a n d o m d i s p l a c e m e n t s R i ( t ) a n d S 1 ( t ) a r e s a m p l e d f r o m

G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n s w i t h t h e f o l l o w i n g m o m e n t a :

( R i ( t ) ) = 0 ; ( R j ( t ) : R j ( t ) ) = 2 8 t D i i ( t )( 2 )

( S i ( t ) ) = 0 ; ( S j ( t ) S j ( t ) ) = 2 8 t D r .

T h e new f v e c t o r s a r e o b t a i n e d b y s u m m i n g t o t h e o l d fv e c t o r s t h e s o - c a l l e d d r i f t a n d t w i s t d i s p l a c e m e n t s ( A l l i s o ne t a l . , 1 9 8 9 ) :

f i ( t + & t ) = f i ( t ) + 6 t w i s t f i ( t ) + B d r f t f i ( t )( 3 )

= f 1 ( t ) + 5 # i ( t ) v i ( t ) - u # ( t ) ( 6 u f ( t ) ) ,

w h e r e t h e u n i t v e c t o r s u i ( t ) a n d v i ( t ) a r e d e f i n e d a s

u i ( t ) = ( r i + , ( t ) -

r j ( t ) ) 1 j r j + I ( t )- r i ( t ) |

( 4 )

v i ( t ) = u i ( t ) x f 1 ( t ) .

T h e DNA m o l e c u l e s s i m u l a t e d h e r e a r e c o v a l e n t l yc l o s e d , a n d p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s h a v e b ee n a s -

s u m e d : r i + N = r i a n d f i + N = f i . T h e ( 3 N X 3 N ) D i j m a t r i x

i n t h e f i r s t l i n e o f E q s . 1 a n d 2 i s t h e R o t n e - P r a g e r g e n e r -a l i z a t i o n o f t h e O s e e n t e n s o r ( R o t n e a n d P r a g e r , 1 9 6 9 ) . T h e

r o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t a r o u n d t h e l o n g a x i s o f t h e

DNA s e g m e n t i s D r = K B T I ( 4 - 7 r r q a 2 b o ) , w h e r e b o i s t h e b o n d

l e n g t h , i . e . , t h e b e a d - t o - b e a d d i s t a n c e , a n d a i s t h e b e a d

r a d i u s .T h e b e n d i n g a n d t o r s i o n a l p o t e n t i a l s a r e h a r m o n i c , a s i n

A l l i s o n e t a l . ( 1 9 8 9 ) , w i t h a d i f f e r e n t d e r i v a t i o n o f t h ec o r r e s p o n d i n g f o r c e s ( C h i r i c o a n d L a n g o w s k i , 1 9 9 4 ) . T h e

l o n g i t u d i n a l s t i f f n e s s i s t a k e n i n t o a c c o u n t b y a h a r m o n i c

s t r e t c h i n g p o t e n t i a l . T h e c o m p l e t e ' a l g o r i t h m i s t h o r o u g h l yd e s c r i b e d b y C h i r i c o a n d L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) , a n d w e r e p o r th e r e o n l y t h e p a r a m e t e r s u s e d f o r t h e s i m u l a t i o n d i s c u s s e di n t h i s w o r k a n d some s p e c i f i c c h a n g e s t o t h e i n t e r a c t i o n

p o t e n t i a l s .E a c h b o n d l e n g t h b i = r i + - r i I i s k e p t c o n s t a n t a t b o =

1 2 . 7 3 6 n m b y m e a n s o f a s t r e t c h i n g p o t e n t i a l c o r r e s p o n d i n g

t o a v a r i a n c e ( ( b i 2 ) - ( b i 2 ) 0 . 5 = 0 . 0 0 8 ( b k ) a t t h e s i m u l a t i o n

t e m p e r a t u r e T = 2 9 8 K . T h e s t r e t c h i n g p o t e n t i a l i s

K B TN

U s - 2 6 2 I ( b - b o ) 2 . ( 5 )i = O

T h i s s t r e t c h i n g p o t e n t i a l w a s c h o s e n a s a c o m p r o m i s e

b e t w e e n t h e l e n g t h o f t h e s i m u l a t i o n t i m e s t e p a n d t h e

d e v i a t i o n o f t h e c a l c u l a t e d DNA p e r s i s t e n c e l e n g t h f r o m t h et h e o r e t i c a l v a l u e ( C h i r i c o a n d L a n g o w s k i , 1 9 9 2 ) .

We u s e n o n t o u c h i n g b e a d s ( i . e . , a = 2 . 5 2 7 n m ) , a n d t h ef o r c e c o n s t a n t s w e r e r e s c a l e d a s d e s c r i b e d b y C h i r i c o a n d

L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) . T h e b e n d i n g a n d t o r s i o n a l p o t e n t i a l s a r e

K B TN

U b = 2 P 2 E ( 1 3 i - 3 o , i ) 2 ( 6 )i = O

K B T N

U t = - 22 I ( a i + y i ) ,

i = O

w h e r e { a i , P 3 i , y i } i a r e t h e E u l e r a n g l e s f o r r o t a t i n g t h e b o d y

f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m ( b f c ) o f t h e i t h b e a d i n t o t h a t o f t h e( i + I ) t h b e a d . 4 , d e t e r m i n e s t h e v a r i a n c e o f , B a n d i s r e l a t e dt o A t h r o u g h A = b o K B T / I T 2 .

T h e v a l u e s f o r t h e b e n d i n g a n d t o r s i o n a l r i g i d i t i e s a r eA = 2 * 1 0 - 1 9 e r g c m a n d C = 2 . 6 * 1 0 - 1 9 e r g c m . A i s

e q u i v a l e n t t o a d y n a m i c p e r s i s t e n c e l e n g t h P = 5 0 n m ,

c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e v i a t i o n s o f t h e c h a i n a x i s f r o m i t s

e q u i l i b r i u m v a l u e d u e t o t h e r m a l m o t i o n . O u r c a l c u l a t i o n sd i d n o t t a k e i n t o a c c o u n t t h e s t a t i c p e r s i s t e n c e l e n g t h , w h i c h

c o r r e s p o n d s t o t h e d e v i a t i o n o f t h e DNA h e l i x a x i s f r o m

s t r a i g h t e q u i l i b r i u m d u e t o s e q u e n c e v a r i a t i o n ( T r i f o n o v e ta l . , 1 9 8 7 ) . S u c h v a r i a t i o n s a r e o n l y c o n s i d e r e d f o r t h e f o r -m a t i o n o f l a r g e p e r m a n e n t b e n d s a t a s m a l l n u m b e r o f

d e f i n e d p o s i t i o n s i n t h e m o l e c u l e a n d a r e t a k e n i n t o a c c o u n t

b y t h e b e n d i n g a n g l e s P 3 , j .T h e c o n s e n s u s v a l u e o f t h e a p p a r e n t p e r s i s t e n c e l e n g t h i s

P = 5 0 n m ( H a g e r m a n , 1 9 8 8 ) . R e c e n t w o r k ( T r i f o n o v e t a l . ,

1 9 8 7 ) e s t i m a t e s t h e d y n a m i c c o n t r i b u t i o n t o 7 5 n m a n d t h e

s t a t i c o n e t o 1 5 0 n m ; t h e r e f o r e , o u r c h o i c e o f A i s a l o w e r

b o u n d . T h e v a l u e o f C = 2 . 6 * 1 0 - 1 9 e r g c m c o r r e s p o n d s t o

4 = 0 . 4 4 5 i n E q . 6 , b e c a u s e C = b 0 K B T / l 2 . T h i s v a l u e i s a n

a v e r a g e o f r e c e n t l y p u b l i s h e d d e t e r m i n a t i o n s o f C t h a t s p a n

a r a n g e o f 2 . 0 1 0 - 1 9 e r g c m ' C c 3 . 0 1 0 - 1 9 e r g c m .

T h e m a i n d i f f e r e n c e f r o m o u r p r e v i o u s w o r k ( C h i r i c o a n d

L a n g o w s k i , 1 9 9 4 ) i s t h e i n t r o d u c t i o n o f a n e w p o t e n t i a lf u n c t i o n f o r d e s c r i b i n g p e r m a n e n t c u r v a t u r e . N o n z e r o e q u i -l i b r i u m b e n d i n g a n g l e s f 3 , i i n E q . 1 a r e i n t r o d u c e d , t o g e t h e rw i t h a t h i r d p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n U k , c a l l e d h e r e a f t e r

" k i n k p o t e n t i a l . " U k i s m e a n t t o c o n s t r a i n t h e i n t r i n s i c

c u r v a t u r e t o a c h o s e n p l a n e i n t h e b f c l o c a l s y s t e m . T h e

f o r m a s s u m e d h e r e

N

U k = 2 ; 2 E ( a i - a o , ) 2 s i n 2 ( 3 o , ) ( 8 )

i = O

9 5 6 B i o p h y s i c a l J o u r n a l



D y n a m i c s o f C u r v e s i n S u p e r c o i l e d D NA

h a s a l r e a d y b e e n u s e d i n t h e BD s i m u l a t i o n o f DNA f r a g -m e n t s c o n t a i n i n g i n t r i n s i c a l l y c u r v e d s e q u e n c e s ( C o l l i n i e t

a l . , 1 9 9 5 ) . L e t u s c o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e c a s e { aai = 0 ;

I O 3 i = B O ; i = O , . . . m l } . W i t h B o s o m e c o n s t a n t v a l u e t 0 ,t h i s p a r t o f t h e c h a i n c o r r e s p o n d s t o a c u r v e d p i e c e o f DNA

c o m p o s e d o f m b o n d s i n a p l a n e . C l e a r l y i t i s n o t r e q u i r e dt h a t a l l g o 0 a n g l e s h a v e t h e s a m e c o n s t a n t v a l u e o v e r t h ec u r v e d

r e g i o n . A h e l i c a l s t r u c t u r e , f o r e x a m p l e , i s g i v e n b yt h e c a s e { a o i = A O ; o 3 j = B O ; i = 0 , . . . m } , w h e r e B o a n d

A O a r e s o m e c o n s t a n t v a l u e s = f 0 . T h e p a r a m e t e r ; t a k e s i n t oa c c o u n t t h e f l u c t u a t i o n s o f t h e c u r v e d s t r u c t u r e a r o u n d

e q u i l i b r i u m . We h a v e a r b i t r a r i l y c h o s e n ; = 0 . 1 a s a d e f a u l tv a l u e . T h i s p a r a m e t e r b y i t s e l f , n o t t a k i n g i n t o a c c o u n t t h et o r s i o n a l p o t e n t i a l , w o u l d d e t e r m i n e a v a r i a n c e o a =

; / s i n ( g 3 0 ) o f a a t t h e c u r v a t u r e p o i n t . As a n e x a m p l e , f o rb e n d i n g a n g l e s f 3 - 3 0 0 t h e c o r r e s p o n d i n g r m s v a l u e o f a

i s - 1 1 . T h e f o r c e s a n d t o r q u e s a c t i n g o n t h e b e a d s a n d t h eb f c s y s t e m s a r e e x p l i c i t l y d e r i v e d a c c o r d i n g t o t h e p r o c e -

d u r e o u t l i n e d i n t h e a p p e n d i x o f C h i r i c o a n d L a n g o w s k i

( 1 9 9 4 ) .A f o u r t h p o t e n t i a l d e s c r i b e s i n t r a m o l e c u l a r r e p u l s i o n .

T h e s e i n t e r a c t i o n s , w h i c h h a d b e e n s i mu l a t ed w i t h a t r u n -c a t e d L e n n a r d - J o n e s p o t e n t i a l i n t h e p r e v i o u s p a p e r

( C h i r i c o a n d L a n g o w s k i , 1 9 9 4 ) , a r e m a i n l y e l e c t r o s t a t i c a n d

a r e now d e s c r i b e d i n a D e b y e - H i i c k e l a p p r o x i m a t i o n ( T a n -

f o r d , 1 9 6 1 ) . M o d e l i n g t h e b o n d s a s t h i n r o d s a n d i n a n a l o g y

w i t h t h e t h e o r y d e v e l o p e d b y S t i g t e r ( 1 9 7 7 ) f o r t w o i n f i -

n i t e l y l o n g r o d s , t h e i n t r a m o l e c u l a r f o r c e b e t w e e n t w o

b o n d s i s a s s u m e d t o b e

| F | = F o b o 2 e x p ( - d m i n / K ) / ( d m i n 2 s e n 0 ) , ( 9 )

w h e r e d m i n i s t h e minimum d i s t a n c e b e t w e e n t h e t wo b o n d s ,

K= 3 nm a n d s e n = s i n ( o ) , i f > 0 . 0 1 ; 0 . 0 1 , i f '

0 . 0 1 . Th e d i s t r i b u t i o n o f t h e f o r c e over t h e f o u r b e a d s

i n v o l v e d i s made on e a c h b o n d t h r o u g h t h e l e v e r r u l e w i t h

r e s p e c t t o t h e p o i n t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e minimum d i s t a n c eb e t w e e n t h e b o n d s . T h e f o r c e i s r e p u l s i v e a n d d i r e c t e d a l o n g

t h e l i n e j o i n i n g t h e l e v e r p o i n t s . F O i s a s s u m e d t o b e 3 . 1 2

k B T b o , which yields | F |-kBTbo when dmin bJ2=6.3n m . T h i s e f f e c t i v e h e l i x d i a m e t e r c o r r e s p o n d s t o a n i o n i cs t r e n g t h o f 0 . 1 M ( R y b e n k o v e t a l . , 1 9 9 3 ) , a l t h o u g h t h ea s s u m e d s c r e e n i n g l e n g t h K w o u l d c o r r e s p o n d t o I = 0 . 0 1M. A more r i g o r o u s t r e a t m e n t o f t h e e l e c t r o s t a t i c i n t e r a c -

t i o n s (Hammermann e t a l . , m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n ) a l s oc o n f i r m s t h i s c o r r e s p o n d e n c e .

We h a d p r e v i o u s l y u s e d a h a r d - c o r e r e p u l s i v e p o t e n t i a l t o

t a k e i n t o account t h e e x c l u d e d - v o l u m e i n t e r a c t i o n s ( C h i r i c o

a n d L a n g o w s k i , 1 9 9 4 ) . T h e q u a l i t a t i v e c o n c l u s i o n s f r o m

t h o s e c a l c u l a t i o n s f o r DNA s w i t h o u t b e n t i n s e r t s , as f a r as

t h e d y n a m i c s o f s u p e r h e l i x f o r m a t i o n are c o n c e r n e d , were

t h e same as i n t h e p r e s e n t w o r k . As s h o w n b y R y b e n k o v e t

a l . ( 1 9 9 3 ) , a h a r d - c o r e r e p u l s i v e p o t e n t i a l g i v e s t h e c o r r e c t

d e p e n d e n c e o f DNA k n o t t i n g p r o b a b i l i t i e s on i o n i c s t r e n g t hf o r [ N a + ] 1 M. A t h i g h i o n i c s t r e n g t h s a r o u n d 1 M,

h o w e v e r , t h e f o r m o f t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l a t c l o s e

d i s t a n c e s m i g h t i n f l u e n c e t h e c h a i n d y n a m i c s . A s y s t e m a t i c

i n v e s t i g a t i o n o f i o n i c e f f e c t s o n t h e s u p e r h e l i x d y n a m i c s

t h r o u g h s i m u l a t i o n s a n d d y n a m i c l i g h t s c a t t e r i n g m e a s u r e -

m e n t s i s c u r r e n t l y u n d e r w a y .

T h e f o r c e s e n t e r i n g t h e b e a d s ' e q u a t i o n s o f m o t i o n ( E q s .1 a n d 2 ) a r e t h e sum o f t h e s t r e t c h i n g , b e n d i n g , t o r s i o n a l ,e l e c t r o s t a t i c , a n d k i n k f o r c e s . T h e s t r e t c h i n g a n d t o r s i o n a lf o r c e s a r e t h e s a m e i n E q s . A3 a n d A27 o f C h i r i c o a n d

L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) . T h e b e n d i n g f o r c e s a r e a s i m p l e g e n e r -a l i z a t i o n o f t h o s e r e p o r t e d i n t h e c i t e d r e f e r e n c e ( E q . A6 o f

C h i r i c o a n d L a n g o w s k i , 1 9 9 4 ) ; t h e P j i a n g l e s i n f r o n t o f t h es e c o n d t e r m o f t h e e q u a t i o n a r e c h a n g e d i n t o ( i 3 i- 1 0 , i ) .T h e e l e c t r o s t a t i c f o r c e s a r e g i v e n b y s u m m i n g E q . 9 o v e r a l l

b o n d p a i r s , a n d t h e " k i n k " f o r c e s a r e d e r i v e d f r o m t h e k i n k

p o t e n t i a l U k a s d e s c r i b e d i n t h e A p p e n d i x . T h e t o r q u e s a r et h e sum o f 1 ) t h e t o r q u e s d e r i v e d i n t h e a p p e n d i x o f C h i r i c o

a n d L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) a n d 2 ) t h e t o r q u e s d e r i v e d f r o m t h ek i n k p o t e n t i a l U k a s d e s c r i b e d i n t h e A p p e n d i x o f t h i s p a p e r .

T h e BD a l g o r i t h m s t a r t s f r o m a n i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n ( s e eb e l o w ) a n d c o m p u t e s a t e a c h s t e p t h e t r a n s l a t i o n a l a n d

r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s v i a E q s . 1 - 4 . T h e t r a j e c t o r i e s w e r e

c a l c u l a t e d o v e r 1 - 1 0 - 1 0 6 s t e p s w i t h a n i n t e g r a t i o n t i m e

s t e p o f 1 9 3 . 2 p s . I n i t i a l c o n f i g u r a t i o n s u s e d i n t h i s w o r k

w e r e 1 ) a f l a t c i r c l e , 2 ) a s t r a i g h t p l e c t o n e m i c s t r u c t u r e , o r

3 ) t h e f i n a l c o n f i g u r a t i o n o f a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n

o b t a i n e d b y a p r o c e d u r e s i m i l a r t o t h a t d e s c r i b e d b y K l e n i n

e t a l . ( 1 9 9 5 ) . I n t h e f i r s t c a s e t h e d e f i c i t l i n k i n g n u m b e r lLk

i s i n i t i a l l y u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e t w i s t i n g a n g l e s .F o r t h e s e c o n d a n d t h i r d c h o i c e s , t h e w r i t h i n g n u m b e r o f t h ec o n f o r m a t i o n i s c o m p u t e d a n d t h e t w i s t Tw = I L k - Wr i s

u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e c h a i n .

M o l e c u l a r s t r u c t u r e and d y n a m i c sI n t h i s s e c t i o n some s t r u c t u r a l a n d d y n a m i c p a r a m t e r s a r ed e f i n e d a n d t h e a l g o r i t h m s f o r t h e i r c o m p u t a t i o n a r e

d e s c r i b e d .

C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s t r u c t u r e

T h e BD s i m u l a t i o n d e s c r i b e s t h e b e h a v i o r o f m o l e c u l e s

u n d e r t h e i n f l u e n c e o f i n t e r n a l , e x t e r n a l , a n d s o l v e n t i n t e r -a c t i o n f o r c e s . We s h o w i n t h e f o l l o w i n g t h a t t h e c o n f i g u -r a t i o n o f a c i r c u l a r DNA u n d e r t o r s i o n a l s t r e s s e v o l v e s q u i t er a p i d l y i n t o a m e t a s t a b l e e n t a n g l e d s t a t e f r o m w h i c h i t i s

d i f f i c u l t t o e s c a p e , a n d f i n a l e q u i l i b r a t i o n may b e v e r y s l o w .To a s s e s s t h e t i m e s c a l e s o f t h e i n t e r n a l d y n a m i c s a n d t h ee x t e n t o f e q u i l i b r a t i o n , we h a v e t o d e v i s e s t r u c t u r a l p a r a m -

e t e r s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e i n t r a m o l e c u l a r m o t i o n s a n d f o l -l o w t h e i r d y n a m i c s t o s e e when a " s u b s t a n t i a l r e a r r a n g e -m e n t " h a s o c c u r r e d i n t h e m o l e c u l e . A s u p e r c o i l e d DNA h a s

w e l l - d e f i n e d s t r u c t u r e s l i k e " l o o p s " a n d " b r a n c h e s , " a n d a tl e a s t p a r t s o f t h e m o l e c u l e a d o p t a p l e c t o n e m i c s t r u c t u r e . I t

i s t h e r e f o r e p l a u s i b l e t o l o o k f o r t h e l o c a t i o n , s i z e , a n d

d y n a m i c s o f l o o p s a n d b r a n c h e s . We s u m m a r i z e i n t h ef o l l o w i n g t h e d e f i n i t i o n o f s o m e s t r u c t u r a l q u a n t i t i e s t h a tw i l l b e u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e s t r u c t u r e a n d d y n a m i c s o f

t h e s i m u l a t e d s u p e r c o i l e d DNA.

C h i r i c o a n d L a n g o w s k i 9 5 7



V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

A n t i p o d e p l o t

A s s u g g e s t e d b y S p r o u s e t a l . ( 1 9 9 5 ) , a s l o w l y v a r y i n g

s t r u c t u r a l q u a n t i t y i s t h e s o - c a l l e d a n t i p o d e d i s t a n c e . T h e

d i s t a n c e

d a i = I r i + N / 2 - r i l ( 1 0 )

b e t w e e n m o n o m e r s i a n d i + N / 2 , w h e r e N i s t h e t o t a l

n u m b e r o f m o n o m e r s , i s c o m p u t e d a l o n g t h e c h a i n a n d

p l o t t e d a g a i n s t i . F o r a p e r f e c t p l e c t o n e m i c DNA w i t h t w o

l o o p s , t h i s p l o t h a s a s i n u s o i d a l s h a p e w i t h l a r g e p e a k - t o -

p e a k v a r i a t i o n . I f t h e DNA c h a n g e s i t s p l e c t o n e m i c s t r u c -

t u r e a p p r e c i a b l y , b y e x t r u d i n g o t h e r l o o p s o r b y c h a n g i n g

t h e p o s i t i o n o f t h e e x i s t i n g o n e s t h r o u g h s l i t h e r i n g o f t h e

c h a i n , t h e p o s i t i o n s o r t h e n u m b e r o f t h e p e a k s i n t h e

a n t i p o d e p l o t w i l l c h a n g e d u r i n g t h e s i m u l a t i o n . W i t h i n -

c r e a s i n g s i m u l a t i o n t i m e , t h e a v e r a g e a n t i p o d e p l o t w i l l

a p p r o a c h a f l a t l i n e w h e r e t h e p e r i o d i c c h a n g e s h a v e b e e n

s m o o t h e d o u t .

L o c a l d e n s i t y

O n e i m p o r t a n t f e a t u r e o f a s u p e r c o i l e d DNA s t r u c t u r e i s

t h a t p a r t s o f t h e c h a i n t h a t a r e d i s t a n t a l o n g t h e s e q u e n c e

a p p r o a c h e a c h o t h e r i n s p a c e . E a c h monomer may t h e r e f o r eh a v e many n o n a d j a c e n t n e a r e s t n e i g h b o r s . We d e f i n e a l o c a l

n e i g h b o r d e n s i t y p i a s t h e n u m b e r o f m o n o m e r s w h o s e

d i s t a n c e f r o m t h e i t h monomer i s l e s s t h a n a r a d i u s r o . H e r e

t h i s q u a n t i t y h a s b e e n a s s u m e d t o b e r o = 1 2 n m , s i m i l a r t o

t h e s u p e r h e l i x d i a m e t e r o b s e r v e d i n c r y o e l e c t r o n m i c r o s -

c o p y ( B ed n a r e t a l . , 1 9 9 4 ) .

N e a r e s t - n e i g h b o r s m a t r i x

I n t h e d e t e r m i n a t i o n o f many s t r u c t u r a l q u a n t i t i e s i t w i l l b e

i m p o r t a n t t o know t h e n e a r e s t n e i g h b o r s o f a m o n o m e r . A s

b e f o r e , t h e j t h monomer i s a n e a r e s t n e i g h b o r o f t h e i t h

monomer i f 1 r i - r j I < r o . D u r i n g t h e c o m p u t a t i o n o f t h e

l o c a l d e n s i t y , a m a t r i x n n [ N ] [ N ] a n d a v ec t o r i n [ N ] a r e b u i l t

a s f o l l o w s :

i n [ i ] = t h e n u m b e r o f n e a r e s t n e i g h b o r s o f t h e i t h monomer

n n [ j ] = t h e i n d e x o f t h e j t h n e a r e s t n e i g h b o r

o f t h e i t h m o n o m e r ; j = 1 , . . . , i n [ i ] .

L o c a l w r i t h e

S u p e r c o i l e d DNA o b e y s t h e w e l l - k n o w n t o p o l o g i c a l t h e o -

r e m ( W h i t e , 1 9 8 9 )

L k = Tw + W r , ( 1 1 )

w h i c h s t a t e s t h a t t h e l i n k i n g n u m b e r , L k , o f t h e t w o p o l y n u -c l e o t i d e s t r a n d s e q u a l s t h e sum o f t h e t w i s t ( T w ) , w h i c h i s

t h e n u m b e r o f DNA h e l i x t u r n s a r o u n d i t s l o c a l a x i s , a n d t h e

w r i t h e ( W r ) , w h i c h i s a m e a s u r e o f t h e d e g r e e o f c o i l i n g o f

t h e DNA h e l i x a x i s i n s p a c e . Wr i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f

s e l f - c r o s s i n g s o f t h e h e l i x a x i s i n a t w o - d i m e n s i o n a l p r o -

j e c t i o n , a v e r a g e d o v e r a l l o r i e n t a t i o n s . O n e p o s s i b l e way t o

c o m p u t e Wr i s v i a t h e G a u s s i a n i n t e g r a l ( W h i t e , 1 9 8 9 ) . F o r

o u r d i s c r e t e m o d e l o f N m o n o m e r s we u s e t h e a p p r o x i m a t e

e x p r e s s i o n

Ijj

( r k -r-)Wr =4 r i -r i ) X ( r k + 1 -r k ) ' I r k - r 1 3i = O k=O

( 1 2 )

w h e r e c i r c u l a r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e u s e d , i . e . , r i + N

- r i .I f we r e s t r i c t t h e s u m i n E q . 8 t o t w o p a r t s o f t h e m o l e c u l e

t h a t a r e c r o s s i n g e a c h o t h e r i n a p l a n a r p r o j e c t i o n , t h er e s u l t i n g i n t e g r a l i s a p p r o x i m a t e l y ± 1 , t h e s i g n d e p e n d i n g

o n t h e d i r e c t i o n o f t h e c r o s s i n g . T h i s c o m e s f r o m t h e f a c t

t h a t t h e v e c t o r p r o d u c t ( r i + I - r i ) X ( r j + I - r j ) i s a p p r o x -

i m a t e l y p a r a l l e l t o t h e r i j v e c t o r j o i n i n g t w o p o i n t s o f t h e

t w o m o l e c u l a r m o i e t i e s . We c a n t h e r e f o r e d e t e c t w h e t h e r

t w o p a r t s o f t h e m o l e c u l e o f e q u a l l e n g t h 2 m , c e n t e r e d a ts e g m e n t s I a n d J , m a k e a t u r n o f a p l e c t o n e m i c s u p e r h e l i xb y c o mp u t i n g t h e l o c a l w r i t h e :

1 I + m K+m

W r ( I , K , m ) = E ( r i + I - r i )i=l-m k=K-m

( 1 3 )

( r k - r i )X ( r k + l - r r k ) - r 3 -

C a r e m u s t b e t a k e n i n t h e c h o i c e o f t h e s u m m a t i o n l e n g t h m ,

a s d i s c u s s e d l a t e r .

P l e c t o n em i c p e r c e n t a g e a n d d i a m e t e r

A p l e c t o n e m i c o r i n t e r w o u n d r e g i o n o f t h e DNA m o l e c u l e

i s d e f i n e d a s a r e g i o n w h e r e t w o p o r t i o n s o f t h e c h a i n a r e

i n t e r t w i n e d . F o r a s u i t a b l e c h o i c e o f r o , t h e n u m b e r o f

n e a r e s t n e i g h b o r s i n [ i ] o f monomer i i n a p l e c t o n e m i cr e g i o n i s e x p e c t e d t o b e > 0 . M o r e o v e r , i t may b e e x p e c t e dt h a t t h e i t h monomer a n d i t s n e a r e s t n e i g h b o r s a r e p a r t o f

t h e s a m e i n te r wo u n d r e g i o n .L e t u s a s s u m e t h a t t h e r e i s a s e q u e n c e o f m o n o m e r s { i - 1 ,

i , i + 1 } , a n d t h e c o n d i t i o n n b ( i , k ) i s t r u e i f monomer k i s a

n e a r e s t n e i g h b o r o f monomer i . We t h e n u s e t h e d e f i n i t i o n t h a t

t h e monomer i b e l o n g s t o a p l e c t o n e m i c r e g i o n i f n b ( i , k ) ,n b ( k - 1 , i + 1 ) a n d n b ( k + 1 , i - 1 ) a r e t r u e a t t h e s a m e t i m e( t h i s a l s o i m p l i e s t h a t t h e t w o i n t e r w o u n d s t r a n d s a r e r u n n i n gi n o p p o s i t e d i r e c t i o n s ) . T h e p l e c t o n e m i c p e r c e n t a g e i s t h e

p e r c e n t a g e o f t h e m o n o m e r s s a t i s f y i n g t h i s d e f i n i t i o n . T h e

i n d i c e s o f t h e m o n o m e r s t h a t b e l o n g t o a p a r t i c u l a r p l e c t o n e -m i c r e g i o n o f l e n g t h j , u p a r e s t o r e d i n a v e c t o r i s u p [ k ] ( k = 1 ,

*. I i s u p ) .T h e a v e r a g e p l e c t o n e m i c d i a m e t e r D p i s d e f i n e d a s t h e

a v e r a g e d i s t a n c e b e t w e e n e a c h o f t h e monomers b e l o n g i n g

t o p l e c t o n e m i c r e g i o n s a n d i t s c o r r e s p o n d i n g n e a r e s t n e i g h -





b o r s . T h i s d e f i n i t i o n i s d i f f e r e n t f r o m o n e u s e d e l s e w h e r e

( V o l o g o d s k i i e t a l . , 1 9 9 2 ) , w h e r e t h e s u p e r h e l i x d i a m e t e r

( D ) i s t a k e n a s t h e minimum d i s t a n c e b e t w e e n a monomer

a n d t h e r e s t o f t h e m o l e c u l e ( a v o i d i n g s o m e i m m e d i a t e l y

a d j a c e n t m o n o m e r s ) , a v e r a g e d o v e r a l l m o n o m e r s . T h i s l a s t

q u a n t i t y c a n b e c o m p u t e d f o r a n y c o n f i g u r a t i o n b u t c a n b e

s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e p l e c t o n e m i c d i a m e t e r D p ,

w h i c h d e s c r i b e s m o r e c l o s e l y t h e a c t u a l s u p e r h e l i x d i a m e t e rb u t o b v i o u s l y c a n n o t b e d e f i n e d o n n o n i n t e r wo u n d

s t r u c t u r e s .

S l i t h e r i n g m o t i o n

We d e f i n e t h e s l i t h e r i n g movement o f t h e i t h monomer a s

t h e c o m p o n e n t o f i t s m o t i o n t a n g e n t t o t h e c h a i n a t r i :

( 1 4 )

A s l i t h e r i n g t r a j e c t o r y s i ( t ) i s c o n s t r u c t e d b y s u m m i n g u p

6 s i ( t )d u r i n g t h e BD s i m u l a t i o n . L o c a l l y , t h i s m o t i o n i s a

o n e - d i m e n s i o n a l r a n d o m w a l k ; we t h e r e f o r e c o m p u t e t h e

c o r r e l a t i o n f u n c t i o n

C s , J ( t ) = ( ( s 1 ( t ) - s i ( 0 ) ) 2 ) = 2 D S ( i ) t

P o s i t i o n o f a l o o p

T h e l o o p d e t e c t i o n a l g o r i t h m u se s a c o m b i n a t i o n o f s e v e r a l

c r i t e r i a w h i c h h a s p r o v e d very e f f i c i e n t f o r DNA l e n g t h s o f

s e v e r a l k i l o b a s e s . I t i s b a s e d on t h e c o m p u t a t i o n o f t h e

n e a r e s t - n e i g h b o r s m a t r i x ( n n ) , o m i t t i n g some a d j a c e n tmonomers ( 6 l e f t a n d 6 r i g h t ) f r o m t h e c a l c u l a t i o n . I n t h i s

case t h e t i p o f t h e l o o p c o r r e s p o n d s t o a r e g i o n w h e r e n o

n e a r e s t n e i g h b o u r s are d e t e c t e d , b e c a u s e t h e l o o p c o n f o r -

m a t i o n i s e x p e c t e d t o b e r a t h e r open l o c a l l y .T h e b a s i c a l g o r i t h m c o n s i s t s i n f i r s t d e t e c t i n g t h e p o s i -

t i o n s w h e r e i n [ i ] = 0 , i . e . , w h e r e n o n e a r e s t n e i g h b o r s h a v e

b e e n d e t e c t e d . O b v i o u s l y t h i s a l g o r i t h m c a n n o t w o r k as i t i s

( i m a g i n e a f l a t c i r c l e w h e r e i n [ i ] = 0 over t h e w h o l e c h a i n ! ) ,a n d some c r o s s - c h e c k s are n e e d e d .

When a c o n t i n u o u s r e g i o n o f t h e c h a i n i s f o u n d w h e r e

i n [ i ] = 0 , t h e i n d e x , i , o f t h e monomer i n t h e c e n t e r o f t h i s

r e g i o n i s c o n s i d e r e d as a t e n t a t i v e l o o p p o s i t i o n . T h e i t h

monomer i s r e t a i n e d as t h e p o s i t i o n o f a l o o p i f t h e t wo

f o l l o w i n g c o n d i t i o n s ar e m e t .

1 ) T h e l o c a l w r i t h i n g n u m b e r W r ( i , i , m ) i s c o m p u t e d f o rm = 1 0 t o m = 1 , a n d a n i n t e g e r L S i s f o u n d s u c h t h a t

J W r ( i , i , L s ) J > 0 . 5 a n d I W r ( i , i , L s - 1 ) 1 < 0 . 5 . L S i s t a k e n as

t h e s i z e o f t h e l o o p . T h e purpose o f t h i s l a s t c o n d i t i o n c a n

b e u n d e r s t o o d b y c o n s i d e r i n g t h a t t h e l o c a l w r i t h i n g n u m b e r

i s - 0 i n t h e c l o s e v i c i n i t y o f t h e l o o p t i p b e c a u s e t h e c h a i n

i s a l m o s t f l a t .

2 ) T h e l e n g t h o f t h e i n t e r w o u n d arm a s s o c i a t e d w i t h t h el o o p i s c h e c k e d t o a v o i d t h e i n t e r p r e t a t i o n o f m i n o r e x t r u -

s i o n s o f t h e DNA c h a i n as a l o o p . A l o o p arm i s i m a g i n e d

as a p l e c t o n e m i c r e g i o n a d j a c e n t t o t h e l o o p , a n d i t s l e n g t hL A i s d e f i n e d as t h e n u m b e r o f monomers i n a p l e c t o n e m i c

r e g i o n w i t h i n a d i s t a n c e 2 L s f r o m t h e i t h monomer. T h et e n t a t i v e l o o p p o s i t i o n i n d i c a t e d b y c o n d i t i o n 1 ) i s r e t a i n e di f LA i s g r e a t e r t h a n 4 monomers ( h e r e - 50 n m ) .

C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e d y n a m i c s

T h e d y n a m i c s o f a l o n g f l e x i b l e m a c r o m o l e c u l e s u c h a s

s u p e r c o i l e d DNA h a v e a w i d e s p e c t r u m . O u r p r i m a r y a i m i n

t h i s w o r k i s t o c h a r a c t e r i z e q u a n t i t a t i v e l y t h e s l o w e s t i n t e r -

n a l d y n a m i c s , p a r t i c u l a r l y r e l a t i v e m o t i o n s o f d i s t a n t p a r t s

o f t h e m o l e c u l e t h a t may b e i m p o r t a n t f o r l o n g - r a n g e i n -

t r a m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s .

a n d o b t a i n D j ( i ) , t h e " s l i t h e r i n g d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t " o f t h e

i t h monomer.

A n t i p o d e d i s t a n c e c o r r e l a t i o n

A c c o r d i n g t o S p r o u s e t a l . ( 1 9 9 5 ) , t h e a n t i p o d e d i s t a n c e d a if o r a p a r t i c u l a r p a i r o f monomers ( i , i + N / 2 ) ( E q . 1 0 ) c a n

b e c o m p u t e d d u r i n g a s i m u l a t i o n , a n d i t s f l u c t u a t i o n s c a n b eq u a n t i f i e d t h r o u g h a c o r r e l a t i o n f u n c t i o n :

C a , i ( t ) = ( d a i ( t ) d a i ( O ) ) t . ( 1 6 )

T h e e x p e c t e d b e h a v i o r f o r t h i s f u n c t i o n i s a c o m p o s i t e

e x p o n e n t i a l d e c a y .

D i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s

R i g i d body c o m p u t a t i o n

T h e h y d r o d y n a m i c s o f a r i g i d m o l e c u l e i n s o l u t i o n c a n b e

d e s c r i b e d b y i t s t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f -f i c i e n t s , w h i c h c a n a l s o b e e x p e r i me n t a l l y d et e r mi n e d . We

compute t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s o f a p a r t i c u l a r c o n f i g u -

r a t i o n a c c o r d i n g t o G a r c i a d e l a T o r r e e t a l . ( G a r c i a d e l a

T o r r e a n d B l o o m f i e l d , 1 9 7 7 ) , b a s e d on t h e t h e o r y d e v e l o p e d

b y B r e n n e r ( 1 9 6 7 ) . F o r a c o n f i g u r a t i o n c o m p o s e d o f N

b e a d s , t h e f r i c t i o n m a t r i c e s f o r t r a n s l a t i o n a n d r o t a t i o n a n d

f o r t h e i r c o u p l i n g are c o m p u t e d f r o m t h e i n v e r s e S o f t h e3 N X 3 N s u p e r m a t r i x Q , w h o s e 3 X 3 b l o c k s a re

Q i j = i i + (1- j ) C i T i , j . ( 1 7 )

H e r e T a n d I are t h e R o t n e - P r a g e r ( 1 9 6 9 ) a n d t h e u n i t

t e n s o r s . S- ' i s c o m p u t e d b y a G a u s s - S e i d e l m e t h o d ( G a r c i a

d e l a T o r r e a n d B l o o m f i e l d , 1 9 7 7 ) , a n d a 6 X 6 f r i c t i o nm a t r i x _ i s b u i l t as a l i n e a r c o m p o s i t i o n o f t h e 3 X 3

s u b m a t r i c e s o f S - . T h e t r a n s l a t i o n a n d r o t a t i o n d i f f u s i o nm a t r i c e s ar e o b t a i n e d f r o m t h e 3 X3 b l o c k s o f kBT7- 1 , a n d

t h e i r e i g e n v a l u e s are t h e t h r e e t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a lc o e f f i c i e n t s . T h e t r a c e o f t h e t r a n s l a t i o n a l d i f f u s i o n m a t r i x

i s t h e t r a n s l a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t D t . A f u l l d e s c r i p -

t i o n o f t h e a l g o r i t h m i s g i v e n i n t h e s e c t i o n " C o m p u t a t i o n a l

p r o c e d u r e " i n t h e c i t e d r e f e r e n c e ( G a r c i a d e l a T o r r e a n d

B l o o m f i e l d , 1 9 7 7 ) . T h e program b a s e d on t h i s a l g o r i t h m

h a s b e e n t e s t e d on t h e h y d r o d y n a m i c c o e f f i c i e n t s o f r i g i d

a n d b e n t r o d s ( C o l l i n i e t a l . , 1 9 9 5 ) .

( 1 5 )

9 5 9C h i r i c o a n d L a n g o w s k i

5 s i ( t ) =( r i + , ( t ) r i - , ( t ) ) - S r i ( t ) l l r i + , ( t ) r i - , ( t ) l .



V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

C e n t e r - o f - m a s s c o r r e l a t i o n

A s e c o n d i n d ep e n de n t way o f c o m p u t i n g D t i s t h r o u g h t h ec e n t e r - o f - m a s s d i s p l a c e m en t o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l r a n d o m

w a l k :

( I R C m ( t ) - R c m ( 0 ) 1 2 ) = 6 D t t ,

- 3

? - -5( 1 8 )

w h e r e R c m ( t ) i s t h e p o s i t i o n o f t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e

m o l e c u l e a t t i m e t .

RESULTS

S i x t r a j e c t o r i e s w e r e c o m p u t ed o v e r 1 m s , s t a r t i n g f r o m

t h r e e d i f f e r e n t i n i t i a l c o n f o r m a t i o n s a s l i s t e d i n t h e M e t h o d s

s e c t i o n w i t h a n d w i t h o u t a 1 0 0 0 p e r m a n e n t b e n d . T h e b e n d

w a s s i m u l a t e d b y s e t t i n g t h e g o a n g l e s b e t w e e n f o u r c o n -

s e c u t i v e s e g m e n t s t o 2 5 0 . E i g h t m o r e t r a j e c t o r i e s w e r e c o m -

p u t e d , u p t o a t o t a l t i m e o f 0 . 2 m s . T a k e n t o g e t h e r , t h es i m u l a t i o n s t o o k m o r e t h a n 6 m o n t h s o f c p u t i m e o n a1 5 0 - M H z S G I I n d y R 4 4 0 0 . T h u s , a l t h o u g h t h e r e s u l t s p r e -

s e n t e d h e r e a r e r e p r e s e n t a t i v e f o r t h e t y p i c a l d y n a m i c b e -h a v i o r o f a DNA s u p e r h e l i x , b e t t e r s t a t i s t i c s c a n b e e x p e c t e d

f r o m p a r a l l e l i z i n g t h e s i m u l a t i o n a l g o r i t h m s . T h i s w o r k i s

c u r r e n t l y u n d e r way i n o u r g r o u p .

W r i t h i n g number e v o l u t i o n

T h e w r i t h i n g n u m b e r may b e t a k e n a s a f i r s t i n d i c a t o r o f t h eo v e r a l l s h a p e o f t h e DNA m o l e c u l e . When s t a r t i n g f r o m af l a t c i r c l e w i t h h i g h t o r s i o n a l s t r e s s ( A L k = Tw = - 1 0 ,

Wr = 0 ) , t h e w r i t h i n g n u m b e r c h a n g e s i n a b o u t 1 0 , u s

t o w a r d a v a l u e c l o s e t o e q u i l i b r i u m ( - - 5 ) . D u r i n g t h e f i r s t

m i c r o s e c o n d ,t h e c i r c l e a s s u m e s a l o c a l l y t o r o i d a l f o r m ;

t h e r m a l f l u c t u a t i o n s t h e n i n d u c e t h e n u c l e a t i o n o f e n d l o o p so f i n t e r w o u n d r e g i o n s , a n d i n g e n e r a l a b r a n c h e d i n t e r -

w o u n d c o n f o r m a t i o n i s f o r m e d i n t h i s f i r s t p h a s e . H o w e v e r ,

t h e d o m i n a n t e q u i l i b r i u m f o r m f o r a n 1 8 7 0 - b p DNA i s a n

u n b r a n c h e d i n t e r w o u n d s t r u c t u r e ( B o l e s e t a l . , 1 9 9 0 ) . T h e

r e l a x a t i o n t o w a r d t h i s f o r m i n c r e a s e s t h e w r i t h e o n l y b y a

s m a l l a m o u n t a n d i s much s l o w e r t h a n t h e i n i t i a l r e l a x a t i o n ,a s s h o w n i n F i g . 1 c .

When t h e s i m u l a t i o n i s i n i t i a t e d f r o m a s t r a i g h t i n t e r -

wound s t r u c t u r e , w h i c h i s much l e s s t o r s i o n a l l y s t r e s s e d ,t h e w r i t h i n g n u m b e r r e l a x e s a g a i n d u r i n g t h e f i r s t 1 0 l i sf r o m i t s i n i t i a l v a l u e o f - 8 t o w a r d i t s e q u i l i b r i u m o f

a p p r o x . - 6 . 5 ( F i g . I b ) . When t h e s t a r t i n g c o n f i g u r a t i o ni s s a m p l e d f r o m a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n , t h e w r i t h i n gn u m b e r d o e s n o t s h o w a n y i n d i c a t i o n o f a n i n i t i a l f a s tr e l a x a t i o n ( F i g . 1 a ) .

I n a l l t h r e e c a s e s , t h e e q u i l i b r i u m v a l u e o f Wr i s

- 6 . 5 ± 0 . 5 . No d i f f e r e n c e i s d e t e c t e d i n e i t h e r t h e e q u i l i b -r i u m v a l u e o r i t s f l u c t u a t i o n w h e n t h e p e r m a n e n t b e n d i s

i n t r o d u c e d .

D i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s

T h e t r a n s l a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t c a n b e c o m p u t e d

f r o m e a c h c o n f i g u r a t i o n i n t h e t r a j e c t o r y b y a r i g i d - b o d y

- 7

- 3

- 5

- 7

- 3

- 5

- 7

0 2 0 0 4 0 0

t i m e ( u s )6 0 0 8 0 0

FIGURE 1 T i m e e v o l u t i o n o f t h e w r i t h i n g n u m b e r f o r t h e s i m u l a t i o n ss t a r t i n g f r o m a M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f i g u r a t i o n ( a ) , a s t r a i g h t i n t e r -

w o u n d ( b ) , a n d a f l a t c i r c l e ( c ) . T h e l o w er c u r ve w a s f i t t e d b y a s u m o f t w od e c a y i n g e x p o n e n t i a l s ( s e e t e x t ) .

t r e a t m e n t ( G a r c i a d e l a T o r r e a n d B l o o m f i e l d , 1 9 7 7 ) o r

d e r i v e d b y e v a l u a t i n g t h e s l o p e o f t h e c e n t e r - o f - m a s s c o r -

r e l a t i o n f u n c t i o n ( E q . 1 8 ) . I n F i g . 2 t h i s c o r r e l a t i o n f u n c t i o ni s p l o t t e d a g a i n s t t i m e f o r s o m e t r a j e c t o r i e s , s h o w i n g a f a i r l yl i n e a r b e h a v i o r u p t o 1 0 , s . T h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t se v a l u a t e d b y t h i s m e t h o d a r e r e p o r t e d i n T a b l e 1 t o g e t h e rw i t h t h o s e o b t a i n e d f r o m t h e a v e r a g e t r a n s l a t i o n a l d i f f u s i o n

c o e f f i c i e n t c o m p u t e d b y t h e r i g i d - b o d y t r e a t m e n t o v e r e a c h

c o n f i g u r a t i o n i n t h e t r a j e c t o r y . T h e v a l u e s o b t a i n e d t h r o u g h

t h e r i g i d - b o d y t r e a t m e n t a r e a l l v e r y c l o s e t o ( 6 . 8 5 ± 0 . 2 )-

1 0 1 2 m 2 / s . T h e s l o p e s o f t h e c e n t e r o f m a s s c o r r e l a t i o nf u n c t i o n l e a d t o D t v a l u e s w i t h l a r g e r u n c e r t a i n t y a n d w i t h

a n a v e r a g e D t = ( 7 . 2 ± 0 . 7 ) - 1 0 - 1 2 m 2 / s , i n r e a s o n a b l e

a g r e e m e n t w i t h t h e r i g i d - b o d y r e s u l t . T h e r a t h e r h i g h d i s -

c r e p a n c y b e t w e e n t h e c e n t e r - o f - m a s s a n d r i g i d - b o d y r e s u l t s

f o r t h e c i r c l e ( n o b e n d ) t r a j e c t o r y m i g h t s t e m f r o m t h e f a c t

t h a t t h i s p a r t i c u l a r t r a j e c t o r y i s s t i l l q u i t e f a r f r o m g l o b a le q u i l i b r i u m a n d t h e r e i s a s y s t e m a t i c v a r i a t i o n i n t h e g l o b a lc o n f o r m a t i o n .

T h e r o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s a r e e v a l u a t e d w i t h

t h e r i g i d - b o d y t r e a t m e n t o n l y . I n g e n e r a l , two o f t h e t h r e e

e i g e n v a l u e s ( D r i , D r 2 ) a r e c l o s e t o e a c h o t h e r a n d s i g n i f i -





8 0 0

E

A

-E

c c :

; < 4 0 0 -

0 5 1 0 1 5 2 0

t i m e ( i t s )

FIGURE 2 C e n t e r o f mass c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s f o r t h r e e t r a j e c t o r i e s

s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c l e ( A ) , s t r a i g h t i n t e r w o u n d ( 0 ) , a n d M o n t e C a r l o

s a m p l e d i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n s ( E l ) .

c a n t l y s m a l l e r t h a n t h e t h i r d o n e ( D r 3 ) , i n d i c a t i n g a n ap-

p r o x i m a t e l y c y l i n d r i c a l symmetry. T h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e

r a t i o

l D r 1

- D r 2 1 I D r 3 f o r d i f f e r e n t t r a j e c t o r i e s h a v e t h e i r

m a x i m u m a t - 0 . 0 7 w i t h a t a i l up t o 0 . 2 ( d a t a n o t s h o w n ) .

A l t h o u g h t h e r o t a t i o n a l asymmetry i s n o t extreme ( s e e

b e l o w ) , we may d e f i n e a n average t u m b l i n g r o t a t i o n a l d i f -

f u s i o n c o e f f i c i e n t R t u m b ( D r l + D r 2 ) / 2 a n d a s p i n n i n g

r o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t R =D r 3 for the purpose

o f c o m p a r i n g d i f f e r e n t t r a j e c t o r i e s a n d p a r t s o f t h e same

t r a j e c t o r y .

T h e a v e r age v a l u e s o f R t u m b a n d R s p i n are r e p o r t e d i n

T a b l e 2 f o r t h e s i x t r a j e c t o r i e s s t u d i e d h e r e . T h e t r a j e c t o r i e s

s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c l e - e v e n t h o u g h t h e i n i t i a l 1 0 0 , u s

were o m i t t e d f r o m t h e c o m p u t a t i o n - s h o w R t u m b a n d R s p i nv a l u e s c l o s e r t o e a c h o t h e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s f o r

t h e s a m p l e d c o n f o r m a t i o n . T h i s r e s u l t r e f l e c t s t h e more

g l o b u l a r c o n f o r m a t i o n f o r t h e t r a j e c t o r y s t a r t i n g f r o m t h e

c i r c l e , w h i c h h a s n o t r e a c h e d t h e e q u i l i b r i u m t h a t i s more

c l o s e l y a p p r o x i m a t e d b y t h e t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g f r o m t h e

s t r a i g h t i n t e r w o u n d a n d f r o m t h e M o n t e C a r l o

c o n f o r m a t i o n .

T h e average v a l u e s over a l l s i x t r a j e c t o r i e s a re R t , L m b2 . 6 ±0 . 3 kHz a n d R s p i n = 5 . 8 0 . 5 k H z .

S u p e r h e l i x d i a m e t e r

T h e d i a me t er o f t h e i n t e r w o u n d p a r t s o f t h e c h a i n was

c o m p u t e d as d e s c r i b e d i n t h e M e t h o d s s e c t i o n . T h e d i s t r i -

b u t i o n f u n c t i o n s f o r t w o t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g f r o m s t r a i g h ti n t e r w o u n d c o n f i g u r a t i o n s a r e p l o t t e d i n F i g . 3 . T h e s e d i s -

t r i b u t i o n s h a v e a c l e a r maximum w i t h a n a p p r o x i m a t e l y

G a u s s i a n s h a p e ( s e e t h e s o l i d l i n e i n F i g . 3 ) . T h e v a l u e s o f

t h e a v e r a g e a n d t h e f l u c t u a t i o n o f t h e p l e c t o n e m i c d i a m e t e r

D P a r e s h o w n i n T a b l e 3 .

P l e c t o n e m i c c o n t e n t

T h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e r w o u n d p a r t s o f t h e c h a i n i s d e -

t a i l e d i n t h e M e t h o d s s e c t i o n . T h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s f o r

t h e p l e c t o n e m i c c o n t e n t a r e p l o t t e d i n F i g . 4 f o r t h e s i x

t r a j e c t o r i e s p r e s e n t e d h e r e . T h e i r a v e r a g e s a r e g i v e n i n

T a b l e 4 .

C o n t r a r y t o t h e c a s e o f d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s , w r i t h i n gn u m b e r , a n d s u p e r h e l i x d i a m e t e r , t h e v a l u e s o f t h e a v e r a g e

o f t h e p l e c t o n e m i c p e r c e n t a g e d e p e n d s u b s t a n t i a l l y u p o n t h e

t y p e o f t h e i n i t i a l c o n f o r m a t i o n , b u t a g a i n a r e r e l a t i v e l yi n s e n s i t i v e t o t h e p r e s e n c e o f c u r v e d i n s e r t s . An a p p r e c i a b l e

d i f f e r e n c e i s f o u n d b e t w ee n t h e s i m u l a t i o n s s t a r t i n g f r o mf l a t c i r c l e s a n d t h o s e s t a r t i n g f r o m l e s s s t r a i n e d c o n f i g u r a -t i o n s ( i n t e r w o u n d o r M o n t e C a r l o ) . I n t h e s e l a s t c a s e s

s l i g h t l y l o w e r v a l u e s a r e f o u n d f o r t h e c a s e s w i t h a p e r m a -

n e n t b e n d .

T h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a r e m o n o m o d a l , e x c e p t f o r

t h e s i m u l a t i o n r u n f r o m a Monte C a r l o s t a r t i n g c o n f i g u -

r a t i o n i n t h e p r e s e n c e o f a b e n d , w h e r e t w o p e a k s w e r e

f o u n d ( F i g . 4 a ) .

R a d i u s o f g y r a t i o n

T h e t r a j e c t o r y s t a r t e d f r o m a M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f o r -m a t i o n i n t h e a b s e n c e o f a p e r m a n e n t b e n d s h o w s a b i m o d a l

d i s t r i b u t i o n f o r R g ( d a t a n o t s h o w n ) . F o r t h e o t h e r c a s e s , t h ed i s t r i b u t i o n o f R g i s w e l l d e s c r i b e d b y a G a u s s i a n c u r v e . T h e

a v e r a g e v a l u e s ( R g ) a r e r e p o r t e d i n T a b l e 5 .

W r i t h i n g a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n

T h e w r i t h i n g n u m b e r i s a g l o b a l s t r u c t u r a l q u a n t i t y , a n d i t s

t e m p o r a l f l u c t u a t i o n s a r e r e l a t e d t o t h e g l o b a l d y n a m i c s o f

t h e s u p e r h e l i x s t r u c t u r e . To a s s e s s t h e e f f e c t o f a b e n d o n

t h e i n t e r n a l d y n a m i c s o f t h e DNA, we h a v e a n a l y z e d t h e

a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n o f t h e w r i t h i n g n u m b e r , d e f i n e d a s

G W r ( T ) - ( W r ( t ) 2 ) ( 1 9 )

w h e r e W r ( t ) i s t h e i n s t a n t a n e o u s w r i t h e o f t h e c o n f o r m a t i o n

a t t i m e t , a n d ( ) i n d i c a t e s t h e t i m e a v e r a g e . T h e a v e r a g e w a s

t a k e n a f t e r a n i n i t i a l r e l a x a t i o n p e r i o d o f 2 0 0 , u s o v e r t h er e m a i n i n g t r a j e c t o r y . A s i n g l e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n w a s

t h e n f i t t e d t o G W r ( T ) , a n d i t s r e l a x a t i o n t i m e w a s u s e d t o

c h a r a c t e r i z e t h e i n t e r n a l m o t i o n s . T a b l e 6 s h o w s t h a t t h ei n t e r n a l d y n a m i c s o f t h e s u p e r h e l i x a r e i n d e e d i n f l u e n c e d b y

l o c a l s t r u c t u r a l d i f f e r e n c e s : t h e i n i t i a l d e c a y o f t h e c o r r e l a -

t i o n f u n c t i o n f o r t h e w r i t h i n g n u m b e r i s s l o w e r when a

--




TABLE I T r a n s l a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s *

T r a j e c t o r y t y p e D t c e n t e r - o f - T r a j e c t o r y t y p e D t c e n t e r - o f -

( n o b e n d ) m a s s D t r i g i d b o d y ( + b e n d ) m a s s D t r i g i d b o d y

C i r c l e 8 . 2 ± 0 . 4 6 . 9 ± 0 . 4 C i r c l e 7 . 2 ± 0 . 3 6 . 8 5 ± 0 . 4

I n t e r w o u n d 6 . 4 ± 0 . 6 6 . 7 ± 0 . 3 5 I n t e r w o u n d 6 . 4 ± 0 . 6 6 . 6 ± 0 . 4

M o n t e C a r l o 7 . 2 ± 0 . 2 7 . 0 ± 0 . 3 M o n t e C a r l o 7 . 9 ± 0 . 6 6 . 7 ± 0 . 3

* I n 1 0 -2 m 2 / s u n i t s . E r r o r s r e p o r t e d a r e t h e u n c e r t a i n t i e s o f t h e p a r a m e t e r s i n t h e l e a s t - s q u a r e s f i t .

p e r m a n e n t b e n d i s p r e s e n t . T h e c o r r e s p o n d i n g r e l a x a t i o nt i m e s a r e o n t h e o r d e r o f 2 - 3 , u s ( T a b l e 6 ) .

K r e m e r e t a l . ( 1 9 9 3 ) o b s e r v e d a d e c r e a s e i n t h e a m p l i t u d e

o f f a s t i n t e r n a l m o t i o n s o f s u p e r h e l i c a l DNAs w i t h p e r m a -

n e n t l y b e n t i n s e r t s . T h e r e i t w a s h y p o t h e s i z e d f r o m t h e

r e s u l t s o f M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s ( K l e n i n e t a l . , 1 9 9 5 ;

K r e m e r e t a l . , 1 9 9 3 ) t h a t t h e l o c a l i z a t i o n o f t h e e n d l o o p b y

t h e b e n d l i m i t s c e r t a i n t y p e s o f i n t e r n a l m o t i o n s w h e r e t h eb e n d h a s t o b e s t r e t c h e d . T h e f i n d i n g t h a t w r i t h e f l u c t u a -t i o n s a r e s l o w e r i n t h e p r e s e n c e o f t h e b e n d i s i n a g r e e m e n t

w i t h t h i s h y p o t h e s i s .

K i n e t i c s o f l o o p m i g r a t i o n

No i n t r i s i c c u r v a t u r e

i f t h e o u t p u t o f a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n i s u s e d a s t h es t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n ( F i g s . 7 a n d 8 ) .

I n s e r t i o n o f a n i n t r i n s i c a l l y c u r v e d s e q u e n c e

I n t h r e e s i m u l a t i o n s , we i n t r o d u c e d a 1 0 0 0 p l a n a r p e r m a n e n t

b e n d d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e t r a j e c t o r y b y s e t t i n g t h ee q u i l i b r i u m b e n d i n g a n g l e s 1 3 . , i = 2 5 ° a n d a , , i = 0 0 f o r f o u rc o n s e c u t i v e s e g m e n t s i = m - 1 . . . m + 2 , w h e r e m i s

d e f i n e d a s t h e c e n t e r o f t h e b e n d . I n t h e f i r s t e x a m p l e ( F i g .

8 , b o t t o m ) , t h e b e n d w a s i n t r o d u c e d a t p o s i t i o n 3 a t t = 4 5 0, u s . T h e l o o p a t p o s i t i o n 7 w h i c h w a s a l r e a d y p r e s e n t i s

0 . 5

0 L

T h e f i r s t p a r t o f t h e t r a j e c t o r y i n F i g . 5 w a s s t a r t e d f r o m a

f l a t c i r c l e i n t h e a b s e n c e o f p e r m a n e n t b e n d s ( a t t = 4 5 0 , u s

a b e n d w a s i n s e r t e d ; s e e b e l o w ) . A s a l r e a d y s h o wn b y

C h i r i c o a n d L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) , d u r i n g t h e f i r s t 1 0 , u s t h et o r s i o n a l s t r e s s a n d t h e r m a l f l u c t u a t i o n s d r i v e p a r t s o f t h ec h a i n o u t o f t h e p l a n e ( F i g . 5 b ) T h e s e p o s i t i o n s t h e n a c t a s

n u c l e a t i o n p o i n t f o r l o o p s . A f t e r a p p r o x i m a t e l y 5 0 , u s , s o m e

l o o p s a r e a b s o r b e d i n t o o t h e r s a n d t h r e e o r f o u r l o o p sr e m a i n . D u r i n g t h e f i r s t 4 5 0 , u s we n e v e r o b s e r v e d f e w e r

t h a n t h r e e l o o p s , t h e p o s i t i o n s o f w h i c h s h i f t e d b y - 1 0

m o n o m e r s ( i . e . , 1 3 0 n m ) o v e r 2 0 0 - 3 0 0 , u s .

When s t a r t i n g f r o m a s t r a i g h t i n t e r w o u n d c o n f i g u r a t i o n( F i g s . 6 a n d 8 ) , t h e m o l e c u l e ' s i n i t i a l r e g u l a r s t r u c t u r e i s

d i s t o r t e d b y t h e r m a l m o t i o n , b u t o n l y a f t e r a p p r o x i m a t e l y3 0 0 , u s d o we s e e a s u b s t a n t i a l r e a r r a n g e m e n t i n t h e p o s i t i o no f t h e l o o p s : t h e t w o o r i g i n a l e n d l o o p s t h a t w e r e a t p o s i -t i o n s 0 a n d 2 5 h a v e s h i f t e d t o 8 a n d 2 6 , a n d a t h i r d s h o r t

l o o p i s f o r m e d a t p o s i t i o n 4 5 . A f t e r r e f o r m a t i o n o f a t w o -

l o o p s t r u c t u r e , a t h r e e - l o o p s t r u c t u r e i s f o r m e d a g a i n a t 5 7 5

, u s . T h u s , t h e d y n a m i c s o f s t r u c t u r a l r e a r r a n g e m e n t a r ec h a r a c t e r i z e d b y t h e f o r m a t i o n a n d d i s a p p e a r a n c e o f l o o p so n a t i m e s c a l e o f s e v e r a l 1 0 0 l , s . S i m i l a r b e h a v i o r i s f o u n d

TABLE 2 R o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s

S t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n D r , - D r 2 I / D r 3 R t m b ( k H z ) R . p i n ( k H z )

C i r c l e , n o b e n d . 0 7 5 ± . 0 4 3 . 1 ± 0 . 6 5 ± 0 . 9

C i r c l e + b e n d . 0 6 5 ± . 0 3 2 . 8 ± 0 . 6 5 . 5 ± 1 . 1

I n t e r w o u n d , n o b e n d . 0 6 ± . 0 5 2 . 3 ± 0 . 6 5 . 8 ± 1 . 1

I n t e r w o u n d + b e n d . 0 8 ± . 0 5 2 . 3 ± 0 . 6 5 . 8 ± 1 . 1

M o n t e - C a r l o , n o b e n d . 0 8 5 ± . 0 6 2 . 2 ± 0 . 6 6 . 4 ± 1 . 2

M o n t e - C a r l o+ b e n d

. 0 6± . 0 3 5 2 . 8 ± 0 . 5 6 . 4 ± 1 . 3

a .

0 -

1 4 1 6 1 8

p l e c t o n e m i c d i a m e t e r ( n m )

FIGURE 3 D i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s o f t h e s u p e r h e l i x d i a m e t e r f o r t h e

t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c u l a r c o n f i g u r a t i o n ( b o t t o m ) , a s t r a i g h ti n t e r w o u n d c o n f i g u r a t i o n ( m i d d l e ) a n d a M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f i g u r a -t i o n ( t o p ) . O p e n a n d f i l l e d s y m b o l s r e f e r t o t h e s i m u l a t i o n s r u n i n a b s e n c e

a n d i n p r e s e n c e o f a b e n d . S o l i d l i n e s a r e b e s t - f i t G a u s s i a n c u r v e s o f t h e

d a t a .

9 6 2 B i o p h y s i c a l J o u r n a l V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6




TABLE 3 A v e r a g e p l e c t o n e m i c d i a m e t e r

S t a r t i n g c o n f . ( D P ) ( n m ) S t a r t i n g c o n f . ( D P ) ( n m )

C i r c l e , n o b e n d 1 5 . 7 ± 1 . 7 C i r c l e + b e n d 1 6 . 0 ± 1 . 7

I n t e r w o u n d , n o b e n d 1 6 . 0 ± 1 . 0 I n t e r w o u n d + b e n d 1 6 . 0 ± 1 . 5

MC, n o b e n d 1 6 . 2 ± 1 . 5 MC + b e n d 1 5 . 7 ± 1 . 7

s t a b i l i z e d a n d s h i f t e d t o p o s i t i o n 3 w i t h i n a p p r o x i m a t e l y 5 0

, u s . O t h e r w i s e , i n t h e f o l l o w i n g 5 0 0 , u s t h e s t r u c t u r e s t a y s i n

a t h r e e - b r a n c h c o n f i g u r a t i o n .I n t h e s e c o n d e x a m p l e ( F i g . 9 , b o t t o m ) t h e s i m u l a t i o n

s t a r t s f r o m a s t r a i g h t i n t e r w o u n d s t r u c t u r e c o n t a i n i n g a 1 0 0 0

b e n d w h i c h i s c e n t e r e d a t p o s i t i o n 2 5 a n d a t t = 2 0 0 , u s

m o v e d t o p o s i t i o n 1 5 . I n t h e f i r s t 2 0 0 p . s l o o p s r e m a i n a t

p o s i t i o n s 0 a n d 2 5 , a n d a b r a n c h s t a r t s t o e x t r u d e a f t e r 1 0 0

, u s a t p o s i t i o n 4 0 . A f t e r t h e s h i f t o f t h e b e n d t o p o s i t i o n 1 5 ,a new l o o p appears t h e r e , a n d t h e l o o p i n p o s i t i o n 2 5 i s

s l o w l y ( o v e r 4 0 0 , u s ) c o a l e s c i n g w i t h t h e new one. A t t h e

same t i m e t h e l o o p a t p o s i t i o n 2 d r i f t s t o p o s i t i o n 4 0 .

I n t h e t h i r d e x a m p l e , a g a i n t h e p e r m a n e n t b e n d i s i n t r o -d u c e d a l m o s t e x a c t l y b e t w e e n two e x i s t i n g l o o p s ( F i g . 9 ,t o p ) . H e r e t h e s i m u l a t i o n s t a r t e d f r o m a n i n i t i a l M o n t e C a r l o

c o n f i g u r a t i o n w h e r e two l o o p s w e r e p r e s e n t i n 1 0 a n d 3 0 ,

0 . 0 5

0 . 0 3

0 . 0 1

0 . 0 3

0 . 0 1

0 . 0 4

Q L

0 . 0 2

0 . 0 04 0

p l e c t o n e m i c c o n t e n t %

FIGURE 4 D i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s o f t h e p l e c t o n e m i c percentage f o r t h e

t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c l e ( b o t t o m ) , a s t r a i g h t i n t e r w o u n d

c o n f i g u r a t i o n ( m i d d l e ) , a n d a M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f i g u r a t i o n ( t o p ) .

T h e s o l i d a n d d a s h e d l i n e s r e f e r , r e s p e c t i v e l y , t o t h e s i m u l a t i o n s ru n i n t h e

a b s e n c e a n d i n t h e presence o f a b e n d .

TABLE 4 A v e r a g e p l e c t o n e m i c p e r c e n t a g e

S t a r t i n g c o n f . % p l e c t o n e m i c S t a r t i n g c o n f . % p l e c t o n e m i c

C i r c l e , n o b e n d 2 9 + 1 0 C i r c l e + b e n d 2 9 ± 1 0

I n t e r w o u n d , n o b e n d 4 5 ± 1 2 I n t e r w o u n d + b e n d 4 0 ± 1 2

MC, n o b e n d 4 5 + 1 4 MC + b e n d 2 8 ± 9

a n d t h e p e r m a n e n t b e n d was i n t r o d u c e d a t p o s i t i o n 2 2 a t t =

0 , s . A t 3 0 0 , u s a l o o p i s d e t e c t e d a t p o s i t i o n 2 0 . D u r i n g t h e

d u r a t i o n o f t h i s very l o n g t r a j e c t o r y , t h e c o n f i g u r a t i o n s t a y s

t h r e e - l o o p e d most o f t h e t i m e , a n d a l t h o u g h t h e b e n d a t

p o s i t i o n 2 0 c l e a r l y l e a d s t o t h e f o r m a t i o n o f a l o o p , t h e

s t r u c t u r e n ev er c h a n g e s c o m p l e t e l y i n t o a s t r a i g h t f o r m w i t h

l o o p s a t p o s i t i o n s 2 0 a n d 4 5 .I n s u m m a r y , s t r u c t u r a l c h a n g e s i n d u c e d b y a b e n d seem

t o o cc ur on a t i m e s c a l e o f 3 0 0 - 8 0 0 , u s when t h e b e n d i s f a r

away f r o m t h e i n i t i a l l o o p p o s i t i o n , a n d i n a b o u t 5 0 , u s when

t h e d i s t a n c e over w h i c h t h e l o o p h a s t o move i s o n l y on t h e

o r d e r o f f o u r s e g m e n t s ( 1 4 0 b p ) .

DISCUSSION

Convergence o f t h e t r a j e c t o r y

An i m p o r t a n t i s s u e i n a d y n a m i c s s i m u l a t i o n o f a b i o p o l y m e r

i s t o e s t a b l i s h w h e t h e r t h e t r a j e c t o r y h a s r e a c h ed e q u i l i b r i u m .F o r r e l i a b l e c o mp u t a t i o n s o f p h y s i c a l q u a n t i t i e s a n d c o m p a r i -

s on w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s on e n e e d s a t r a j e c t o r y t h a t s a m -

p l e s a r e p r e s e n t a t i v e p a r t o f t h e c o n f i g u r a t i o n space.

T h e k i n e t i c s o f g l o b a l r e a r r a n g e m e n t c a n b e q u a n t i f i e d b y

t h e " a n t i p o d e p l o t " p r o p o s e d b y S p r o u s e t a l . ( 1 9 9 6 ) as

e x p l a i n e d i n t h e M e t h o d s s e c t i o n . When a s u b s t a n t i a l d i s -p l a c e m e n t o f t h e l o o p t i p s h a s o c c u r r e d , t h e s h a p e o f t h e p l o to f d a i versus t h e monomer i n d e x i i s e x p e c t e d t o c h a n g e

s i g n i f i c a n t l y , a n d t h e average o f t h e a n t i p o d e d i s t a n c e ( d a t )over a l o n g s i m u l a t i o n w o u l d b e i n d e p e n d e n t o f t h e i n d e x i .

I n F i g . 1 0 , t h e a n t i p o d e p l o t , ( d a i ) versus i , i s s h o w n f o r a

2 . 1 - m s t r a j e c t o r y s t a r t i n g f r o m a M o n t e C a r l o s a m p l e d

c o n f i g u r a t i o n . A maximum i s a l w a y s f o u n d a t t h e p o s i t i o n sw h e r e t h e i n i t i a l two l o o p s ar e r e s i d e n t , i . e . , p o s i t i o n s 1 0

a n d 3 0 , as c a n b e s e e n f r o m t h e l o o p p o s i t i o n s p l o t i n F i g .9 ( t o p ) . T h e a m p l i t u d e o f t h e a n t i p o d e p l o t ( d i f f e r e n c eb e t w e e n maximum a n d m i n i m u m ) c a n b e t a k e n as a mea-

sure o f t h e k i n e t i c s o f c o n v e r g e n c e t o w a r d e q u i l i b r i u m . Ast h e i n s e t i n F i g . 1 0 s h o w s , t h e r e i s a n i n i t i a l r e l a x a t i o n i n t h e

0 . 5 - m s range, b u t t h e a m p l i t u d e s e e m s t o t a k e much l o n g e r

t o r e l a x f u l l y t o z e r o .

An " e q u i l i b r i u m d y n a m i c s t a t e " ) c a n n o t b e e x p e c t e d b e f o r e

t h e i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n h a s v i s i t e d a s u f f i c i e n t n u m b e r o f

TABLE 5 R a d i u s o f g y r a t i o n

S t a r t i n g c o n f . R g ( n m ) S t a r t i n g c o n f . R g ( n m )

C i r c l e , n o b e n d 3 9 . 0 ± 3 . 6 C i r c l e + b e n d 4 1 ± 4

I n t e r w o u n d , n o b e n d 4 5 . 3 ± 5 . 7 I n t e r w o u n d + b e n d 4 6 ± 6

MC , n o b e n d 4 6 . 6 ± 5 . 6 MC + b e n d 3 9 ± 4

9 6 3h i r i c o a n d L a n g o w s k i



V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

TABLE 6 W r i t h i n g number r e l a x a t i o n t i m e s

S t a r t i n g c o n f . T w r ( A S ) S t a r t i n g c o n f . T w r ( t S )

C i r c l e , n o b e n d 0 . 7 ± 0 . 3 C i r c l e + b e n d 1 . 8 ± 0 . 4

I n t e r w o u n d , n o b e n d 2 . 7 ± 0 . 4 I n t e r w o u n d + b e n d 4 ± 0 . 4

MC , n o b en d 1 . 5 ± 0 . 3 MC + b e n d 2 . 2 ± 0 . 4

d i f f e r e n t p o s s i b l e s t a t e s a n d t h e r e f o r e h a s s u b s t a n t i a l l yc h a n g e d t h e s t r u c t u r e ( i . e . , p o s i t i o n o f t h e m a x i m a a n d m i n -

i m a ) o f i t s a n t i p o d e p l o t . F r o m t h e l o o p p o s i t i o n p l o t s ( F i g s . 8a n d 9 ) i t i s e v i d e n t t h a t g l o b a l r e a r r a n g e m e n t s o f a n 1 8 7 0 - b p

s u p e r h e l i x t a k e p l a c e o n a s c a l e o f 0 . 5 m s ; t h u s 1 - 2 ms i s o n l ya f r a c t i o n o f t h e t i m e t h a t i s n e e d e d t o r e a c h a s t a t e o f d y n a m i c

e q u i l i b r i u m . We e s t i m a t e t h a t t h e s i m u l a t i o n t i m e n e e d e d f o r

r e l i a b l e s t a t i s t i c a l a v e r a g e s w o u l d b e a t l e a s t i n t h e 1 0 - m s

r a n g e , i . e . , a n a v e r a g e o v e r 2 0 i n d e p e n d e n t c o n f i g u r a t i o n s .B e c a u s e o f t h e c p u t i m e n e e d e d ( t h i s s t u d y t o o k s e v e r a l m o n t h s

o f c o n t i n u o u s c a l c u l a t i o n o n a n S G I I n d y R 4 4 0 0 ) , t h e s i m u l a -

t i o n s r e p o r t e d h e r e c o u l d n o t b e e x t e n d e d f u r t h e r ; h o w e v e r ,

m a n y o f t h e d y n a m i c f e a t u r e s a n d t i m e s c a l e s r e p o r t e d v e r yl i k e l y h o l d a l s o f o r t h e e q u i l i b r i u m s t a t e . F o r i n s t a n c e , w h e n a

p e r m a n e n t b e n d i s d i s p l a c e d b y 1 0 m o n o m e r s , i . e . , 1 3 0 n m ( a si n F i g . 9 , b o t t t o m ) , t h e s t r u c t u r e o f a m a j o r p a r t o f t h e m o l e c u l e

c h a n g e s i n o n l y -50 , u s : t h e l o o p a t 2 5 s p l i t s i n t o t w o l o o p s a t

1 7 a n d 3 0 . O t h e r g l o b a l r e a r r a n g e m e n t s m a y t a k e l o n g e r , a s

c a n b e j u d g e d b y f o l l o w i n g t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e t u m b l i n g

r o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t ( F i g . 1 1 ) . A n e w t w o - l o o p e d

c o n f o r m a t i o n i s r e a c h e d o n l y 0 . 5 ms a f t e r t h e d i s p l a c e m e n t o f

t h e b e n d .I n t h e c a s e o f a n i n i t i a l l y f l a t c i r c l e ( A L k = T w ) , r e p r e -

s e n t i n g a n o u t - o f - e q u i l i b r i u m s t a t e w i t h l a r g e t o r s i o n a l

s t r e s s , t h e w r i t h e r e a c h e s 70% o f i t s f i n a l v a l u e ( W r ) i n

a p p r o x i m a t e l y 1 5 , u s ( F i g . 1 c ) . O n l y a f t e r - 0 . 4 - 0 . 5 ms h a s

Wr r e a c h e d i t s e q u i l i b r i u m v a l u e ( c f . t h e t w o - e x p o n e n t i a lr e l a x a t i o n i n d i c a t e d b y t h e c o n t i n u o u s l i n e i n F i g . 1 ) . T h i s

s l o w r e l a x a t i o n may b e d u e t o t h e e x t r e m e l y o u t - o f - e q u i -l i b r i u m s t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n .

F o r a s t r a i g h t i n t e r w o u n d s t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n ( F i g .1 b ) , t h e w r i t h i n g i s i n i t i a l l y o n l y s l i g h t l y o v e r e s t i m a t e d

( W r - 8 ) a n d r e a c h e s a n a p p a r e n t e q u i l i b r i u m i n o n l y

5 0 , u s , a f t e r w h i c h t h e w r i t h e f l u c t u a t e s a r o u n d Wr

- 6 . 5 ; n o s l o w r e l a x a t i o n p r o c e s s i s a p p a r e n t . I n t h e t i m e

d e p e n d e n c e o f o t h e r s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s , s u c h a s t h e

t u m b l i n g a n d s p i n n i n g r o t a t i o n a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s ,t h e i n i t i a l f a s t r e l a x a t i o n ( ' 5 0 , s ) i s e v e n more p r o -

n o u n c e d . S t i l l , o t h e r m a j o r c o n f o r m a t i o n a l c h a n g e s d ot a k e p l a c e o n s l o w e r t i m e s c a l e s ( s e e t h e c h a n g e o f R t u m bf r o m 1 . 5 kHz t o 4 kHz a t t i m e s 2 0 0 - 3 0 0 , s ) ,a l t h o u g h n o e v i d e n c e o f t h i s t r a n s i t i o n c a n b e d e t e c t e d

f r o m t h e w r i t h e p l o t . A s i m i l a r b e h a v i o r i s s e e n when t h e

s t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n i s g e n e r a t e d b y a M o n t e C a r l o

p r o c e d u r e .

A

O t i s 0 . 0 0 3 l i s 1 2 i s

1 8 p s

2

4 71 9

2 7 1 i s

3 6

2 p18

1 2 0 g s

: _ , ) +~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

4 7

O , u s 2 7 j s

27 3 7

5 % k 3

7 4 4 3 i 9 1 6

4 4 5 g s 6 4 0 g s

3 6

1 82

1 2 0 g s

4 0 3

1 2 2 5

2 3 5 g s

172 w2

1 7

3 7 3 7

7 9 0 p s 9 3 0 , s

FIGURE 5 C o n f i g u r a t i o n s f r o m t h e t r a j e c t o r y s t a r t e d from a f l a t c i r c l e i n t h e a b s e n c e o f p e r m a n e n t b e n d s . S i m u l a t i o n t i m e s a r e marked n e x t t o t h e

c o n f i g u r a t i o n , a n d l o o p p o s i t i o n s c l o s e t o t h e l o o p t i p s . ( a ) The f i r s t 120 , u s ; ( b ) t h e whole e v o l u t i o n u p t o 1 m s . At 0 . 4 5 m s a bend wa s i n t r o d u c e d a t p o s i t i o n

3 ; i t i s m a r k e d w i t h f i l l e d s p h e r e s i n t h e p l o t .

B1 4 2 4

4

4 0

3 5 0 , u s

4 0 7 0 22

3

1 0 7 0 , u s





FIGURE 6 C o n f i g u r a t i o n s f r o m t h e t r a j e c t o r y

s t a r t e d f r o m a s t r a i g h t i n t e r w o u n d c o n f o r m a t i o n i nt h e a b s e n c e o f p e r m a n e n t b e n d s . S i m u l a t i o n t i m e s

a r e m a r k e d n e x t t o t h e c o n f i g u r a t i o n , a n d l o o p

p o s i t i o n s c l o s e t o t h e l o o p t i p s .

Dependence on t h e i n i t i a l c o n f o r m a t i o nAs d e s c r i b e d a b o v e , t h e e q u i l i b r a t i o n t i m e f o r t h e c o n -

f o r m a t i o n o f 1 8 7 0 b p s u p e r h e l i c a l DNA i s o n t h e o r d e r o f

s e v e r a l h u n d r e d m i c r o s e c o n d s ; t h u s , t h e s i m u l a t i o n r e s u l t

i s e x p e c t e d t o d e p e n d o n t h e i n i t i a l c o n f o r m a t i o n f o r

s h o r t e r t r a j e c t o r i e s . H o w e v e r , m o s t o f t h e s t r u c t u r a l p a -

r a m e t e r s e v a l u a t e d i n t h e R e s u l t s s e c t i o n a r e n o t v e r y

s e n s i t i v e t o t h e i n i t i a l c o n f o r m a t i o n a f t e r t h e f i r s t 1 0 0 , u s .

T h e a v e r a g e w r i t h e i s v e r y s i m i l a r f o r a l l s i x t r a j e c t o r i e s

d i s c u s s e d a b o v e ( c f . F i g . 1 ) a n d t h e r e f o r e d o e s n o t d e -

p e n d a p p r e c i a b l y e i t h e r o n t h e i n i t i a l c o n f o r m a t i o n o r o n

t h e p r e s e n c e o f a p e r m a n e n t b e n d . T h e s a m e b e h a v i o r i s

f o u n d f o r t h e s u p e r h e l i x d i a m e t e r a n d t h e l o o p s i z e .On t h e o t h e r h a n d , t h e p l e c t o n e m i c p e r c e n t a g e d o e s s h o w a

s u b s t a n t i a l v a r i a t i o n o v e r t h e d i f f e r e n t t y p e s o f i n i t i a l c o n f o r -

m a t i o n s , r e f l e c t i n g t h e d i f f e r e n t n u m b e r o f l o o p s f o u n d i n t h e

t r a j e c t o r i e s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t w h e n c o m p a r i n g t h e

t r a j e c t o r y s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c l e w i t h t h e o t h e r s . O t h e r

s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s , s u c h a s t h e t u m b l i n g a n d s p i n n i n g d i f -

f u s i o n c o e f f i c i e n t s , a r e r e m a r k a b l y s i m i l a r f o r t h e t w o t r a j e c -

t o r i e s s t a r t i n g f r o ma

s t r a i g h ti n t e r w o u n d a n d f r o m a M o n t e

C a r l o s a m p l e d c o n f o r m a t i o n , b u t d i f f e r s u b s t a n t i a l l y b e t w e e n

t h e s e t w o t r a j e c t o r i e s a n d t h e o n e s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c l e .

A g a i n , t h i s s h o w s t h e p r e s e n c e o f l o n g r e l a x a t i o n p r o c e s s e st h a t may t a k e u p t o s e v e r a l m i l l i s e c o n d s . A f l a t c i r c l e i s i n f a c t

a n e x t r e m e l y o u t - o f - e q u i l i b r i u m s t a t e t h a t s e e m s t o t a k e m o r e

t h a n t h e 1 . 2 ms s i m u l a t e d h e r e t o r e a c h a s t a t e o f " d y n a m i c

e q u i l i b r i u m . " T h e e x i s t e n c e o f o n e s u c h s t a t e c a n n o t b e f i r m l ys t a t e d h e r e , a l t h o u g h t h e s i m i l a r i t y o f t h e s t r u c t u r a l c h a r a c t e r -

i s t i c s e v a l u a t e d a f t e r 1 ms o f s i m u l a t i o n , f o r t h e t r a j e c t o r i e s

s t a r t i n g f r o m a l m o s t " e q u i l i b r a t e d " t h o u g h f a i r l y d i f f e r e n t

s t a t e s ( i n t e r w o u n d a n d M o n t e C a r l o ) , s u p p o r t s s u c h a

h y p o t h e s i s .

C o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a

B o l e s e t a l . ( 1 9 9 0 ) c o l l e c t e d s t r u c t u r a l i n f o r m a t i o n o n

pBR322 d e r i v a t i v e s b y e l e c t r o n m i c r o s c o p y ( E M ) . T h e

s m a l l e s t p l a s m i d s t u d i e d t h e r e ( p J B 3 . 5 d ) w a s 3 4 8 0 b p l o n g ,

i . e . , t w i c e a s l a r g e a s i n o u r s i m u l a t i o n s . T h e EM s t u d i e s

4 7AW 3 1

1 0

O t s 1 4 0 s 2 4 0 g s 3 3 5 t s

FIGURE 7 Some c o n f i g u r a t i o n s a r e s h o w n f r o m

t h e t r a j e c t o r y s t a r t e d f r o m a M o n t e C a r l o s a m p l e d

c o n f o r m a t i o n i n t h e a b s e n c e o f p e r m a n e n t b e n d s .

S i mu l a t i o n t i me s a r e m a r k e d n e x t t o t h e c o n f i g u r a -t i o n , a n d l o o p p o s i t i o n s c l o s e t o t h e l o o p t i p s .

3 4

1 0

4 5 0 t s 6 6 0 t s

C ) h 2 3 8

8

2 5

8 2 0 j t s 1 0 6 0 l t s

O t s

8

2 6

3 5 0 Q t s

3

1 4 % ~ t s

2

3 2

5 7 5 F i s

4 5

2 9 0 i . s

3,5

2 0

1

6 7 0 p t s

2

26

4 8 0 r t s

3 4


1

1 0 8- W % 3 5

3 1



V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

FIGURE 8 T i m e e v o l u t i o n o f t h e l o o p p o s i t i o n s f o r

t h e t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g f r o m a f l a t c i r c l e ( b o t t o m ) ,M o n t e C a r l o s a m p l e d ( m i d d l e ) , a n d s t r a i g h t i n t e r w o u n d

( t o p ) c o n f i g u r a t i o n s . A f t e r 0 . 4 5 m s a p e r m a n e n t b e n d i n

p o s i t i o n 3 w a s i n t r o d u c e d i n t h e s i m u l a t i o n s t a r t i n g f r o m

a f l a t c i r c l e , a s i n d i c a t e d b y t h e a r r o w i n t h e b o t t o m

p a n e l .

4 0

0

C D _0c .

c-20o

0

4 0

0

C l )0

0

a - 200

._

0

4 0

0C D0

0

0

0

0

were c o n d u c t e d a t 1 0 mM i o n i c s t r e n g t h ; h e r e w e a p p r o x -

i m a t e t h e e l e c t r o s t a t i c i n t e r a c t i o n s t h r o u g h a r e p u l s i v e p o -t e n t i a l t h a t h a s t h e same e f f e c t i v e d i a m e t e r d e f f ( U ( d e f f ) =

k T ) a s m e a s u r e d f o r DNA a t 0 . 1 M s a l t , i . e . , d e f f = 6 . 3 nm.

IlI-_

_ _ - - - ~ ~ ~ ~ ~ - ------------__________________________-.mo

t ! E H S l

J J E l ~ ~ ~ ~ & RXa 1&;wiorsfr

_______ _ - _ _ - - _ _ - - _ _ - _ _ - -_- -_ - _ _ - -_ _ - -no b e n d b e n d a t 3

- - -_------n- - - - - - - -

_ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - i

-H~9-,-i._E

I

1 0 0 00 0

t i m e ( , s )

T h e a v e r a g e s u p e r h e l i c a l d e n s i t y a , t h e p l e c t o n e m i c d i a m -

e t e r D p , a n d t h e p l e c t o n e m i c p e r c e n t a g e r p f o u n d h e r e , a , =

- 0 . 6 5 ± 0 . 0 5 , D p = 1 6 + 2 n m , r p = 4 0 ± 1 2 % , c o m p u t e do v e r t h e f o u r t r a j e c t o r i e s c o r r e s p o n d i n g t o i n i t i a l i n t e r w o u n d

0

I


t-----------------------------F - I

-




5 0

r 4 00

o3 0

a )E 2 00C0

E 1 0 l

FIGURE 9 T i m e e v o l u t i o n o f t h e

l o o p p o s i t i o n s f o r t h e t r a j e c t o r i e s

s t a r t i n g f r o m s t r a i g h t i n t e r w o u n d

( t o p ) a n d M o n t e C a r l o s a m p l e d ( b o t -t o m ) c o n f i g u r a t i o n s . I n t h e t o p p a n e l a

b e n d was s e t a t p o s i t i o n 2 0 , a n d i n t h e

b o t t o m p a n e l a p e r m a n e n t b e n d i n i -

t i a l l y a t p o s i t i o n 2 5 i s m o v e d t o p o s i -

t i o n 1 5 a f t e r 0 . 2 m s .

t

5 0

: 4 00

:

030Q L

E2 00

EinIV

) 1 0 0 0 2 0 0 0

t i m e ( , u s )

b e n d a t 2 5 b e n d a t 1 5

! n ~0

0~~~~~~~~

0 2 0 0

a n d M o n t e C a r l o c o n f i g u r a t i o n s , agree r e a s o n a b l y w e l l w i t h

t h e e x p e r i m e n t a l f m d i n g s o f B o l e s e t a l . ( 1 9 9 0 ) : o f =0 . 7 2 ±

0 . 0 3 , D p =1 4 ±1 . 2 n m , a n d r p = 35-40% ( s e e E q . 1 2 a n d

f i g u r e s 11 a n d 1 2 o f B o l e s e t a l . , 1 9 9 0 ) .T h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t o f a n 1 8 6 8 - b p DNA p l a s m i d a t

n a t i v e s u p e r h e l i c a l d e n s i t y h a s b e e n d e t e r m i n e d r e c e n t l y

( S t e i n m a i e r e t a l . , m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n ) : D t =( 7 . 0 +

0 . 5 ) 1 0 - 1 2 m 2 / s . T h e t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l d i f f u s i o nc o e f f i c i e n t s f o r 1 8 7 0 - b p p l a s m i d s c a n a l s o b e p r e d i c t e d b y

e x t r a p o l a t i n g t h e l o g a r i t h m i c l a w s r e p o r t e d b y L a n g o w s k i

a n d G i e s e n ( 1 9 8 9 ) : D t =D t ( M o ) ( M / M o ) - 0 . 6 0 1 a n d R =

R ( M O ) * ( M / M o ) - 2 . 7 - 0 . 3 . By t a k i n g t h e most r e c e n t e xper-

i m e n t a l d e t e r m i n a t i o n s o f D 1 a n d R f o r pUC18 p l a s m i d

( 2 6 8 6 b p ) , D t=( 5 . 5 ± . 3 ) 1 0 - 1 2 m 2 / s , a n d R t u m b =( 1 1 +

4 0 0

t i m e ( , s )6 0 0 8 0 0

0 . 1 ) kHz ( C h i r i c o a n d B a l d i n i , 1 9 9 6 ) , on e p r e d i c t s f o r a

1 8 7 0 - b p p l a s m i d t h a t D t = ( 6 . 8 ±0 . 2 4 ) 1 0 - 1 2 m 2 / s a n d

R t u m b =( 2 . 9 ±0 . 3 ) k H z . B o t h t h e e x p e r i m e n t a l D t a n d t h e

e x t r a p o l a t e d D t a n d R v a l u e s agree very w e l l w i t h t h e

averages over a l l o f t h e t r a j e c t o r i e s r e p o r t e d h e r e , D t =

( 6 . 9 ±0 . 2 ) 1 0 - 1 2 m 2 / s a n d R t u m b = ( 2 . 6 +0 . 3 ) k H z .

I s t h e r e " l o c a l s l i t h e r i n g " ?

D i f f e r e n t t y p e s o f t r a j e c t o r y e v o l u t i o n f o r t h e a b o v e c h o i c e s o f

i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n s c a n b e s e e n i n t h e l o o p p o s i t i o n p l o t s

( F i g s . 8 a n d 9 ) . G e n e r a l f e a t u r e s o f t h e l o o p p o s i t i o n e v o l u t i o n

are 1 ) s l i t h e r i n g ( l i k e i n F i g . 8 , m i d d l e , f o r t h e l o o p o r i g i n a l l y

n o q g l l l : l[El0 n n

oE5

I=~~~ ~-. S ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 9 ~ Q E

i a , L




V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

1 6 0

1 2 0

FIGURE 1 0 A n t i p o d e d i s t a n c e a v -

e r a g ed o v er a t r a j e c t o r y s t a r t i n g f r o m

a M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f i g u r a t i o n

w i t h a b e n d a t p o s i t i o n 2 0 a f t e r 0 . 1 ,

1 . 1 , a n d 2 . 1 m s o f s i m u l a t i o n t i m e .

T h e maximum v a r i a t i o n o f t h e a n t i -

p o d e d i s t a n c e o v e r t h e c h a i n n o r m a l -i z e d t o t h e m e a n a n t i p o d e d i s t a n c e i s

s h o w n i n t h e i n s e t f o r t h e s i m u l a t i o n s

d i s c u s s e d i n t h e t e x t .

E

C

c oc t

. c o0

a )

0

c

8 0

4 0

00

a t p o s i t i o n 1 5 ) , 2 ) t h e f o r m a t i o n or d i s a p p e a r a n c e o f a l o o p

( l i k e a t p o s i t i o n s 1 5 a n d 2 5 i n t h e f i r s t 0 . 5 ms i n F i g . 8 , b o t t o m ) ,

a n d 3 ) t h e s p l i t t i n g o f on e l o o p i n t o two l o o p s ( a s f o r t h e l o o p

i n p o s i t i o n 2 5 i n F i g . 9 , b o t t o m , a f t e r 2 0 0 , u s , or t h e l o o p a t

p o s i t i o n 2 0 a f t e r 1 . 3 ms i n F i g . 9 , t o p ) .

As c a n b e seen f r o m F i g s . 8 a n d 9 , t h e e x t e n t o f s l i t h e r i n g ,i . e . , t h e c o n t i n u o u s r a n d o m m i g r a t i o n o f t h e l o o p p o s i t i o nw i t h t i m e , t y p i c a l l y i s a t most 1 0 - 1 5 monomer u n i t s ( i . e . ,

1 3 0 - 2 0 0 n m ) over 1 m s . I n F i g . 8 ( m i d d l e ) ( M o n t e C a r l o

s a m p l e d i n i t i a l c o n f o r m a t i o n ) , t h e l o o p i n p o s i t i o n 1 5 i s

f o u n d i n p o s i t i o n 8 a f t e r -500 , i s . I n t h e s i m u l a t i o n ru n

f r o m a n i n i t i a l i n t e r w o u n d c o n f i g u r a t i o n ( F i g . 8 , t o p ) , t h e

l o o p i n p o s i t i o n 0 d i f f u s e s t o p o s i t i o n 1 0 i n -4 00 , t s a n d

t h e n moves b a c k t o 0 d u r i n g t h e n e x t 4 0 0 , t s . I n t h e b o t t o m

p a n e l o f F i g . 8 , f o r t h e s i m u l a t i o n ru n f r o m a f l a t c i r c u l a r

i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n , t h e l o o p i n p o s i t i o n 3 5 d i f f u s e s u p t o

p o s i t i o n 4 5 i n t h e f i r s t 4 5 0 , u s . T h i s l a s t case i s a l s o

c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o r m a t i o n a n d d i s a p p e r a n c e o f s e v e r a l

3 00 2 0

m o n o m e r i n d e x

l o o p s i n t h e f i r s t 5 0 0 , s w h e n n o i n t r i n s i c a l l y c u r v e d

s e q u e n c e h a s b e e n i n t r o d u c e d .T h e c o n c l u s i o n i s t h a t a l t h o u g h o v e r s h o r t d i s t a n c e s s l i t h e r -

i n g m o t i o n i s f o u n d , n o e v i d e n c e i s s e e n f o r a l a r g e - s c a l es t r u c t u r a l r e a r r a n g e m e n t d u e t o s l i t h e r i n g . M a j o r r e a r r a n g e -

m e n t s o c c u r t h r o u g h t h e f o r m a t i o n a n d d i s a p p e a r a n c e o f l o o p s .

The e f f e c t o f a c u r v e d i n s e r t i o n on

t h e c o n f o r m a t i o n

T h e i n t r o d u c t i o n o f a b e n d c o m p r i s i n g 8% o f t h e c o n t o u r

l e n g t h c a n h a v e q u i t e d i f f e r e n t e f f e c t s o n t h e c o n f i g u r a t i o n a n d

o n t h e e v o l u t i o n o f t h e l o o p p o s i t i o n s v e r s u s t i m e . When a l o o pw a s p r e s e n t n e a r t h e p o s i t i o n o f t h e i n t r o d u c e d b e n d , t h e DNA

c o n f o r m a t i o n w a s s t a b i l i z e d . T h i s e f f e c t i s m o r e e v i d e n t i n t h e

c a s e w h e n t h e s t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n i s a f l a t c i r c l e . I n t h e f i r s t

p a r t o f t h e e v o l u t i o n o f t h e c h a i n t h e l o o p s a r e s l i t h e r i n g ( l o o p





4 0 L . i A * *

2 0 ~ "~

4 . 0

N

I 3 . 0

F 2 . 0

c r 1 . 0

- 5

B - 6

- 7

4 0 . 0 -

3 0 . 0

N

2 0 . 0

G r1 0 . 0 h 1 9 ^ t > ~ 2

4 02 0

40a~~~~w wD

` ' 1 . 0O 2 . 0 1

I0

- 5

-:6

- 7

2 0 0 4 0 0 6 0 0

t i m e ( g s )

- 88 0 0 0 2 0 0 4 0 0

t i m e ( t s )

6 0 0 8 0 0

FIGURE 11 S p i n n i n g R , P i n a n d t u m b l i n g R t u m b r o t a t i o n a l d i f f u s i o n co-

e f f i c i e n t s , w r i t h i n g n u m b e r W r , a n d l o o p p o s i t i o n s f o r a t r a j e c t o r y s t a r t i n g

f r o m a s t r a i g h t i n t e r w o u n d c h a i n versus t i m e . A permanent b e n d i s f i r s tp l a c e d a t p o s i t i o n 2 5 a n d moved t o p o s i t i o n 15 a f t e r 0 . 2 m s .

i n - 3 7 ) , a n d a p p e a r i n g or d i s a p p e a r i n g ( l o o p s i n -5, 1 5 , a n d

2 5 ) . T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e i n t r i n s i c a l l y c u r v e d s e q u e n c e i n

p o s i t i o n -3 g r e a t l y s t a b i l i z e s t h e l o o p i n t h e c l o s e v i c i n i t y o f

t h e b e n d , a n d i t a l s o a f f e c t s p a r t s o f t h e m o l e c u l e s t h a t ar e

w i t h i n - 1 5 0 nm o f t h e p o i n t o f t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e c u r v e d

sequence, as c a n b e s e e n b y t h e s h i f t i n p o s i t i o n o f t h e l o o p s a t

p o s i t i o n s 2 5 a n d 4 5 .T h e s t r u c t u r a l c h a n g e i n d u c e d b y t h e b e n d c a n t a k e p l a c e

over a r a t h e r l o n g t i m e . T h i s i s e v i d e n t f r o m F i g . 9 ( b o t t o m )

( i n i t i a l i n t e r w o u n d c o n f i g u r a t i o n ) , w h e r e t h e s h i f t o f t h eb e n d f r o m 1 5 t o 2 5 i n d u c e s t h e s u d d e n appearance o f a l o o p

i n t h e new p o s i t i o n o f t h e b e n d ( p o s i t i o n 1 5 ) , b u t t h e l o o p

t h a t was p r e s e n t a t p o s i t i o n 2 5 t a k e s -500 p , s t o d i s a p p e a r .F u r t h e r m o r e , t h e l o o p a t p o s i t i o n 1 s h i f t s t o p o s i t i o n 4 0

( r e s p . - 1 0 , d u e t o t h e c h a i n c l o s u r e ) a f t e r t h e d i s p l a c e m e n t

o f t h e c u r v e d s e q u e n c e. A g a i n , t h e c u r v e d s e q u e n c e i n d u c e s

c h a n g e s i n r a t h e r d i s t a n t p a r t s o f t h e m o l e c u l e ( - 3 0 0 n m ) .

L o c a l s l i t h e r i n g d i f f u s i o n o f t h e monomers

A s l i t h e r i n g d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t D s ( i ) c a n b e o b t a i n e d f r o m

t h e s l o p e o f C s 1 ( t ) vers u s t i m e ( E q . 1 5 ) ; t h i s p l o t i s l i n e a r t o

FIGURE 1 2 S p i n n i n g R , p i n a n d t u m b l i n g R t u m b r o t a t i o n a l d i f f u s i o n co -

e f f i c i e n t s , w r i t h i n g n u m b e r W r , a n d l o o p p o s i t i o n s f o r a t r a j e c t o r y s t a r t i n g

f r o m a s t r a i g h t i n t e r w o u n d c h a i n versus t i me w i t h o u t p e r m a n e n t b e n d .

g o o d a p p r o x i m a t i o n ( d a t a n o t s h o w n ) . D s ( i ) g i v e s a n e s t i -mate o f t h e average monomer d i s p l a c e i w e n t a l o n g t h e c h a i n

a x i s a n d a r o u n d a n e q u i l i b r i u m p o s i t i o n .I n F i g . 1 3 t h e v a l u es o f D s ( i ) a r e p l o t t e d versus t h e monomer

i n d e x a n d i n p a r a l l e l w i t h t h e l o o p p o s i t i o n s ( F i g . 1 3 , b o t t o m ) .A c l e a r c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e l o o p p o s i t i o n a n d t h e v a l u e o f

D s ( i ) i s f o u n d e v e r y w h e r e , a n d n o s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t b e -h a v i o r c a n b e f o u n d f o r t h e l o o p s c o r r e s p o n d i n g ( o r s t a b i l i z e d )t o a p e r m a n e n t b e n d . T h e s l i t h e r i n g B r o w n i a n m o t i o n o f a

monomer a l o n g t h e c h a i n c o r r e s p o n d s t o a f l u c t u a t i o n a r o u n di t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n a n d n o t t o s t e a d y m o t i o n a l o n g t h ec h a i n . T h e a b o v e r e s u l t s s h o w t h a t t h e i n t e r w o u n d p o r t i o n s o f

t h e c h a i n s u f f e r f e w e r p o s i t i o n f l u c t u a t i o n s a l o n g t h e h e l i x a x i st h a n t h e t i p o f t h e l o o p s . I n c i d e n t a l l y , t h e average v a l u e ( D s ) -3 0 X1 0 - 1 2 m 2 / s i s s i m i l a r t o t h e s l o p e o f t h e f a s t r e l a x a t i o nr a t e o f t h e d y n a m i c l i g h t s c a t t e r i n g a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s a t

h i g h s c a t t e r i n g v e c t o r s ( L a n g o w s k i , 1 9 8 7 ) .

CONCLU S I ONS

Th e e v o l u t i o n o f t h e s t r u c t u r e o f a n 1 8 7 0 - b p c i r c u l a r DNAw i t h Lk = - 1 0 ( i . e . , s u p e r h e l i c a l d e n s i t y a= -0 . 0 5 6 ) h a s

b e e n f o l l o w e d f o r 1 - 2 m s . T h r e e d i f f e r e n t t y p e s o f i n t i a l

z C L )

i i1 0 . 0

NI

0C L

G r

o i0

0

E

- 8 - - -

0

9 6 9h i r i c o a n d L a n g o w s k i

o 3 n n i

. .1.

I I I



V o l u m e 7 1 A u g u s t 1 9 9 6

0 2 0 4 0

m o n . po s

0 2 0 4 0

m on. po s

0 . 1 0

0 . 0 5

3 8

3 4

30

0 2 0 4 0

m on . pos

0 . 1 0

0 . 0 5

3 8

3 4

3 0

0 2 0 4 0

m on. po s

FIGURE 1 3 T h e s l i t h e r i n g d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s D , ( t h i n l i n e s ) a n d t h e

p r o b a b i l i t y o f appearance o f a l o o p ( t h i c k l i n e s ) versus t h e p o s i t i o n a l o n g

t h e c h a i n ( i . e . , t h e monomer i n d e x ) f o r t h e t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g ( a ) f r o m a

s t r a i g h t i n t e r w o u n d c o n f i g u r a t i o n w i t h o u t a n d w i t h ( b ) a b e n d , ( c ) f r o m a

M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f i g u r a t i o n w i t h o u t a n d w i t h ( d ) a b e n d , as

d e s c r i b e d i n t h e t e x t .

c o n f i g u r a t i o n w e r e u s e d : f l a t c i r c l e , s t r a i g h t i n t e r w o u n d ,

a n d M o n t e C a r l o s a m p l e d c o n f i g u r a t i o n s . S e v e r a l s t r u c t u r a l

p a r a m e t e r s ( r a d i u s o f g y r a t i o n , s u p e r h e l i x d i a m e t e r , p l e c -t o n e m i c c o n t e n t , d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s ) h a v e b e e n a v e r a g e d

over a l l t r a j e c t o r i e s , w i t h o n l y m i n o r d i f f e r e n c e s b e t w e e n

t h e t h r e e s t a r t i n g c o n f i g u r a t i o n s .We see a c e r t a i n l o c a l " s l i t h e r i n g " o f c h a i n s e g m e n t s

a l o n g t h e DNA c o n t o u r , w h i c h i s s i g n i f i c a n t l y f a s t e r a t t h e

l o o p t i p t h a n i n o t h e r p a r t s o f t h e c h a i n . H o w e v e r , m a j o r

r e a r r a n g e m e n t s o f t h e s t r u c t u r e , s u c h as c h a n g e s b e t w e e n

t h r e e - a n d t w o - l o o p e d f o r m s or d i s p l a c e m e n t s o f l o o p s over

l o n g e r d i s t a n c e s , d o n o t oc c u r b y s l i t h e r i n g , b u t b y t h e

f o r m a t i o n / d e s t r u c t i o n o f l o o p s . T h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r

s u c h processes i s on t h e o r d e r o f 0 . 5 m s , w i t h v a r i a t i o n s

ove r a t l e a s t a n o r d e r o f m a g n i t u d e .

T h e i n t r o d u c t i o n o f a p e r m a n e n t b e n d ( a m o u n t i n g t o 8 %

o f t h e c o n t o u r l e n g t h ) i n a p o s i t i o n a l o n g t h e c h a i n c l o s e t o

a n e x i s t i n g l o o p s e e m s t o i n d u c e a s t a b i l i z a t i o n o f t h e

s t r u c t u r e . H o w e v e r , i f t h e p e r m a n e n t b e n d i s i n t r o d u c e d f a r

f r o m a n y e x i s t i n g l o o p , i t may t a k e 0 . 5 t o 1 ms f o r t h e

s t r u c t u r e t o c h a n g e a c c o r d i n g t o t h i s e x t e r n a l p e r t u r b a t i o n .

T h e i n s e r t i o n o f a b e n d a l s o a f f e c t s t h e g l o b a l c h a i n d y n a m -

i c s , a s s e e n i n t h e a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n o f t h e w r i t h e . T h e

e f f e c t o f a p e r m a n e n t b e n d o n t h e i n t e r n a l m o t i o n s o f

s u p e r h e l i c a l DNA h a s f i r s t b e e n o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y b y

K r e m e r e t a l . ( 1 9 9 3 ) .T h e s i m u l a t i o n t i m e o f 1 - 2 ms t h a t c o u l d b e a c h i e v e d

h e r e i s o n l y a f r a c t i o n o f t h e t i m e n e c e s s a r y f o r t h e m o l e c u l e

t o v i s i t a s u b s t a n t i a l p o r t i o n o f t h e c o n f i g u r a t i o n s p a c e , a n dt h e r e f o r e s o m e o f o u r r e s u l t s m u s t b e i n t e r p r e t e d o n a

q u a l i t a t i v e b a s i s . S t a t i s t i c a l l y s o u n d p r e d i c t i o n s o f r e l a x -a t i o n t i m e s , a r m l e n g t h s , e t c . , w i l l h a v e t o b e b a s e d o n much

l a r g e r e n s e m b l e s t h a t c u r r e n t l y c a n o n l y b e o b t a i n e d o n

p a r a l l e l c o m p u t e r s . O u r r e s u l t s , h o w e v e r , s h o w t h e p o s s i -b i l i t y o f s i m u l a t i n g t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e s t r u c t u r e o f a

DNA m o l e c u l e o f r e l a t i v e l y l a r g e s i z e a n d t h e r es p o n s e o f

t h i s m o l e c u l e t o e x t e r n a l p e r t u r b a t i o n s , e . g . , a b e n d i n d u c e d

b y a D N A - p r o t e i n i n t e r a c t i o n .

APPENDIX: FORCES AN D TORQUES FROM THEKINK POTENTIAL

T h e f o r c e s a n d t o r q u e s a r e d e r i v e d f r o m t h e k i n k p o t e n t i a l b y t h e g e n e r a lm e t h o d o u t l i n e d b y C h i r i c o a n d L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) . T h e c h a n g e i n U k u p o n

a n i n f i n i t e s i m a l c h a n g e i n t h e E u l e r a n g l e s i s g i v e n b y

K B T N ( a - - a 0 , ) 2sin( / 0 , i )8 U k 2 E s i n ( ) s i n ( / i ) & o s ( a i ) (pi)U k = - ~ 2 _ _ s i n ( a , ) s i n ( 3 )

( A 1 )

By s u b s t i t u t i n g E q s . 1 6 a n d 1 8 o f C h i r i c o a n d L a n g o w s k i ( 1 9 9 4 ) f o r t h e

c h a n g e i n c o s ( a , ) i n t o E q . A l , o n e f i n d s

KBT N( 8 r i + 2 8 r i +

6 U k = 2 iJ b i

-b h i b i + 1 1

h i - c o s ( f 3 i h i + c o S ( P 3 i ) p j h . in ( o l ) ) ( A 2 )

K B TN

2 I 64i(ai i - o ) s i n ( i ) ,i = O

w h e r e

( a i-a o , i )

s i n ( a i )( A 3 )

I b i l i s t h e i t h b o n d l e n g t h a n d

A i = s i n ( Q i ) f i + c o s ( Q 3 i ) c o s ( a j ) u i -c o s ( a i ) u i + 1 .

By m a k i n g t h e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n

s i n 2 ( , B o , i )

s i n 2 ( i 3 )

( A 4 )

( A 5 )

0 . 1 0

a L 0 . 0 5

3 8

c oc v J

E 3 4

x3 0

0 . 1 0

L 0 . 0 5

3 8c n

E 3 4'0

x

" 3 0




C h i r i c o a n d L a n g o w s k i D y n a m i c s o f C u r v e s i n S u p e r c o i l e d D NA 9 7 1

i n f i r s t p a r t o f E q . A 2 , a n d b y s i m p l e i n d e x a l g e b r a , o n e c a n w r i t e

N N

S U k =- E F i - 5 r i -8 j T j , ( A 6 )i = o i = (

w h e r e

F j = 2 ( l b t r - _ - l b 1 c o s ( f b i ) ± l b i l( A 7 )

a n d

T = K B T ( j - a t j 0 ) s i n ( P j , B 0 ) . ( A 8 )

We t h a n k K a t a l i n T 6 t h a n d G e r o Wedemann f o r c r i t i c a l r e a d i n g o f t h em a n u s c r i p t .

P a r t o f t h i s w o r k h a s b e e n s u p p o r t e d b y g r a n t s o f t h e D e u t s c h e F o r s c h u n g s -

g e m e i n s c h a f t ( L a 5 0 0 / 4 - 2 ) a n d N A T O (CRG 9 1 0 2 3 9 ) t o J L .

REFERENCES

A l l i s o n , S . A . , R . A u s t i n , a n d M. H o g a n . 1 9 8 9 . B e n d i n g a n d t w i s t i n gd y n a m i c s o f s h o r t l i n e a r D N A s - a n a l y s i s o f t h e t r i p l e t a n i s o t r o p y d e c a yo f a 2 0 9 - b a s e p a i r f r a g m e n t b y B r o w n i a n s i m u l a t i o n . J . C h e m . P h y s .9 0 : 3 8 4 3 - 3 8 5 4 .

B e d n a r , J . , P . F u r r e r , A . S t a s i a k , J . D u b o c h e t , E . H . E g e l m a n , a n d A . D .

B a t e s . 1 9 9 4 . T h e t w i s t , w r i t h e a n d o v e r a l l s h a p e o f s u p e r h e l i c a l DNAc h a n g e d u r i n g c o u n t e r i o n - i n d u c e d t r a n s i t i o n f r o m a l o o s e l y t o a t i g h t l yi n t e r w o u n d s u p e r h e l i x . P o s s i b l e i m p l i c a t i o n s f o r DNA s t r u c t u r e i n v i v o .J . M o l . B i o l . 2 3 5 : 8 2 5 - 8 4 7 .

B o l e s , T . C . , J . H . W h i t e , a n d N . R . C o z z a r e l l i . 1 9 9 0 . S t r u c t u r e o f

p l e c t o n e m i c a l l y s u p e r c o i l e d DNA. J . M o l . B i o l . 2 1 3 : 9 3 1 - 9 5 1 .

B o r o w i e c , J . A . , L . Z h a n g , S . S a s s e - D w i g h t , a n d J . D . G r a l l a . 1 9 8 7 . DNA

s u p e r c o i l i n g p r o m o t e s f o r m a t i o n o f a b e n t r e p r e s s i o n l o o p i n l a c DNA.J . M o l . B i o l . 1 9 6 : 1 0 1 - 1 1 1 .

B r e n n e r , H . 1 9 6 7 . C o u p l i n g b e t w e e n t h e t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a lB r o w n i a n m o t i o n s o f r i g i d p a r t i c l e s o f a r b i t r a r y s h a p e . J . C o l l o i d I n t e r -f a c e S c i . 2 3 : 3 6 1 - 4 0 7 .

C h i r i c o , G . , a n d G . B a l d i n i . 1 9 9 6 . R o t a t i o n a l d i f f u s i o n a n d i n t e r n a l m o -t i o n s o f c i r c u l a r DNA: p o l a r i z e d p h o t o n c o r r e l a t i o n s p e c t r o s c o p y .J . C h e m . P h y s . 1 0 4 : 6 0 0 9 - 6 0 1 9 .

C h i r i c o , G . , a n d J . L a n g o w s k i . 1 9 9 2 . C a l c u l a t i n g h y d r o d y n a m i c p r o p e r t i e so f DNA t h r o u g h a s e c o n d - o r d e r B r o w n i a n d y n a m i c s a l g o r i t h m . M a c r o -m o l e c u l e s . 2 5 : 7 6 9 - 7 7 5 .

C h i r i c o , G . , a n d J . L a n g o w s k i . 1 9 9 4 . K i n e t i c s o f DNA s u p e r c o i l i n g s t u d i e db y B r o wn i a n d y n a m i c s s i m u l a t i o n . B i o p o l y m e r s . 3 4 : 4 1 5 - 4 3 3 .

C o l l i n i , M . , G . C h i r i c o , G . B a l d i n i , a n d M . E . B i a n c h i . 1 9 9 5 . C o n f o r m a t i o no f s h o r t DNA f r a g me n t s b y m o d u l a t e d f l u o r e s c e n c e p o l a r i z a t i o n a n i s o t -

r o p y . B i o p o l y m e r s . 3 6 : 2 1 1 - 2 2 5 .D i c k i n s o n , E . , S . A . A l l i s o n , a n d J . A . McCammon. 1 9 8 5 . J . C h e m . S o c .

F a r a d a y T r a n s . 2 . 8 1 : 5 9 1 - 6 0 1 .

E r m a k , D . L . , a n d J . A . McCammon. 1 9 7 8 . B r o w n i a n d y n a m i c s w i t h

h y d r o d y n a m i c i n t e r a c t i o n s . J . C h e m . P h y s . 6 9 : 1 3 5 2 - 1 3 5 9 .

F i x m a n , M . 1 9 7 8 . S i m u l a t i o n o f p o l y m e r d y n a m i c s . 1 . G e n e r a l t h e o r y .J . C h e m . P h y s . 6 9 : 1 5 2 7 - 1 5 3 7 .

G a r c i a d e l a T o r r e , J . , a n d V . A . B l o o mf i el d . 1 9 7 7 . H y d r o d y n a m i c p r o p -

e r t i e s o f m a c r o m o l e c u l a r c o m p l e x e s . I . T r a n s l a t i o n . B i o p o l y m e r s . 1 6 :1 7 4 7 - 1 7 6 3 .

H a g e r m a n , P . J . 1 9 8 8 . F l e x i b i l i t y o f DNA. A n n u . R e v . B i o p h y s . B i o p h y s .

C h e m . 1 7 : 2 6 5 - 2 8 6 .

K l e n i n , K . , M . D . F r a n k - K a m e n e t s k i i , a n d J . L a n g o w s k i . 1 9 9 5 . M o d u l a t i o no f i n t r a m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s i n s u p e r h e l i c a l DNA b y c u r v e d s e q u e n c e s .

A M o n t e - C a r l o s i m u l a t i o n s t u d y . B i o p h y s . J . 6 8 : 8 1 - 8 8 .

K r e m e r , W . , K . K l e n i n , S . D i e k m a n n , a n d J . L a n g o w s k i . 1 9 9 3 . DNAc u r v a t u r e i n f l u e n c e s t h e i n t e r n a l m o t i o n o f s u p e r h e l i c a l DNA. EMBO J .

1 2 : 4 4 0 7 - 4 4 1 2 .

L a n g o w s k i , J . 1 9 8 7 . S a l t e f f e c t s o n i n t e r n a l m o t i o n s o f s u p e r h e l i c a l a n d

l i n e a r pUC8 DNA. B i o p h y s . C h e m . 2 7 : 2 6 3 - 2 7 1 .

L a n g o w s k i , J . , a n d U . G i e se n . 1 9 8 9 . C o n f i g u r a t i o n a l a n d d y n a m i c p r o p -

e r t i e s o f d i f f e r e n t l e n g t h s u p e r h e l i c a l D N A s m e a s u r e d b y d y n a m i c l i g h ts c a t t e r i n g . B i o p h y s . C h e m . 3 4 : 9 - 1 8 .

L a n g o w s k i , J . , W. K . O l s o n , S . C . P e d e r s e n , I . T o b i a s , T . P . W e s t c o t t , a n d

Y . Y a n g . 1 9 9 6 . DNA s u p e r c o i l i n g , l o c a l i z e d b e n d i n g a n d t h e r m a l f l u c -t u a t i o n s . T r e n d s B i o c h e m . S c i . 2 1 : 5 0 .

L a u n d o n , C . H . , a n d J . D . G r i f f i t h . 1 9 8 8 . C u r v e d h e l i x s e g m e n t s c a n

u n i q u e l y o r i e n t t h e t o p o l o g y o f s u p e r t w i s t e d DNA. C e l l . 5 2 : 5 4 5 - 5 4 9 .

R o t n e , J . , a n d S . P r a g e r . 1 9 6 9 . V a r i a t i o n a l t r e a t m e n t o f h y d r o d y n a m i ci n t e r a c t i o n i n p o l y m e r s . J . C h e m . P h y s . 5 0 : 4 8 3 1 - 4 8 3 7 .

R y b e n k o v , V . V . , N . R . C o z z a r e l l i , a n d A . V . V o l o g o d s k i i . 1 9 9 3 . P r o b a -

b i l i t y o f DNA k n o t t i n g a n d t h e e f f e c t i v e d i a me te r o f t h e DNA d o u b l e

h e l i x . P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U S A . 9 0 : 5 3 0 7 - 5 3 1 1 .

S c h l i c k , T . 1 9 9 5 . M o d e l i n g s u p e r h e l i c a l DNA: r e c e n t a n a l y t i c a l a n d d y -

n a m i c a p p r o a c h e s . C u r r . O p i n . S t r u c t . B i o l . 5 : 2 4 5 - 2 6 2 .

S p r o u s , D . , a n d S . C . H a r v e y . 1 9 9 6 . A c t i o n a t a d i s t a n c e i n s u p e r c o i l e dDNA: e f f e c t o f s e q u e n c e o n s l i t h e r , b r a n c h i n g , a n d i n t r a m o l e c u l a rc o n c e n t r a t i o n . B i o p h y s . J . 6 8 : A 1 0 1 .

S t i g t e r , D . 1 9 7 7 . I n t e r a c t i o n s o f h i g h l y c h a r g e d c o l l o i d a l c y l i n d e r s w i t h

a p p l i c a t i o n s t o d o u b l e s t r a n d e d DNA. B i o p o l y m e r s . 1 6 : 1 4 3 5 - 1 4 4 8 .

T a n f o r d , C . 1 9 6 1 . P h y s i c a l C h e m i s t r y o f M a c r o m o l e c u l e s . W i l e y , Ne w Y o r k .

t e n H e g g e l e r - B o r d i e r , B . , W. W a h l i , M. A d r i a n , A . S t a s i a k , a n d J .D u b o c h e t . 1 9 9 2 . T h e a p i c a l l o c a l i z a t i o n o f t r a n s c r i b i n g RNA p o l y -

m e r a s e s o n s u p e r c o i l e d DNA p r e v e n t s t h e i r r o t a t i o n a r o u n d t h e t e m p l a t e .EMBO J . 1 1 : 6 6 7 - 6 7 2 .

T r i f o n o v , E . N . , R . K . - Z . T a n , a n d S . C . H a r v e y . 1 9 8 7 . S t a t i c p e r s i s t e n c el e n g t h o f DNA. I n DNA B e n d i n g a n d C u r v a t u r e . W. K . O l s o n , M . H .

S a r m a , a n d M . S u n d a r a l i n g a m , e d i t o r s . A d e n i n e P r e s s , A l b a n y .

V o l o g o d s k i i , A . V . , S . D . L e v e n e , K . V . K l e n i n , M . D . F r a n k - K a m e n e t s k i i ,a n d N . R . C o z z a r e l l i . 1 9 9 2 . C o n f o r m a t i o n a l a n d t h e r m o d y n a m i c p r o p -

e r t i e s o f s u p e r c o i l e d DNA. J . M o l . B i o l . 2 2 7 : 1 2 2 4 - 1 2 4 3 .

W h i t e , J . H . 1 9 8 9 . An i n t r o d u c t i o n t o t h e g e o m e t r y a n d t o p o l o g y o f DNAs t r u c t u r e . I n M a t h e m a t i c a l M e t h o d s f o r DNA S e q u e n c e s . M . S . W a t e r -

m a n , e d i t o r . CRC P r e s s , B o c a R a t o n .

Y a n g , Y . , T . P . W e s t c o t t , S . C . P e d e r s e n , I . T o b i a s , a n d W. K . O l s o n . 1 9 9 5 .

E f f e c t s o f l o c a l i z e d b e n d i n g o n DNA s u p e r c o i l i n g . T r e n d s B i o c h e m . S c i .2 0 : 3 1 3 - 3 1 9 .

Z h a n g , P . S . , I . T o b i a s , a n d W. K . O l s o n . 1 9 9 4 . C o m p u t e r s i mu l a t i o n o fp r o t e i n - i n d u c e d s t r u c t u r a l c h a n g e s i n c l o s e d c i r c u l a r DNA. J . M o l . B i o l .2 4 2 : 2 7 1 - 2 9 0 . ( 9 )

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Giuseppe Chirico and Jorg Langowski- Brownian Dynamics Simulations of Supercoiled DNA with Bent Sequences