Giovanazzi Gualtiero L.S.E 1 Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x

Dispense di Dispense di Matematica:Matematica:

dalle Relazionidalle Relazionialle Funzionialle Funzioni

Giovanazzi Gualtiero L.S.EGiovanazzi Gualtiero L.S.E 11

Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y

Relazione come predicatoRelazione come predicato

La coppia ordinata (x,y) soddisfa la relazione Rx R y oppure (x,y) R

Se xX e yY soddisfano il predicato p(x,y)

x R y p(x,y)

x R y p(x,y)altrimenti




Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y

Relazione: OsservazioneRelazione: Osservazione

Una relazione R è ben definita solo quandosono ben determinati i due insiemi X, Y




YX

Relazione: Relazione: DominioDominio e e CodominioCodominio

Sottoinsieme di X da cui parteALMENO UNA freccia

Sottoinsieme di Y in cui arrivaALMENO UNA freccia

DOMINIO CODOMINIO

R




a b c d

1

23

45

X x Y

X

Y

Relazione: GraficoRelazione: Grafico

RX a

b

c

d

Y1

5

3

24

(a,1)R(a,4)R

(c,1)R

(c,4)R(c,3)R

(b,5)R G = graf R == { (x,y): (x,y)XxY (x,y)R }

XxY




Relazione: GraficoRelazione: Grafico

X x Y

X

Y

RX a

bcd

Y1

532

4

R = G XxY

X x Y

X

Y

RX a

bcd

Y1

532

4

(x,y) R (x,y) G




Y

R

X

Relazione - Relazione - FunzioneFunzione

Dati due insiemi non vuoti X e Y, dicesiFUNZIONE o APPLICAZIONE di X in Y

una relazione R di X e Y che soddisfi la seguente condizione

xX y Y : (x,y) R

Parte più diuna freccia

Parteuna e una sola

freccia

NON parte alcuna freccia

Da un elemento di X:




X guforagno

formicamucca

cavallouomo

Y12

34

68

xR y sex ha per numero di zampe y

X MoliseLombardia

Piemonte Veneto

T.A.A.Sicilia

YBolzano

Verona

CuneoTorino

AnconaTrento

xR y sex è una regione contenente y

Relazione – Relazione – Funzione: Funzione: EsempioEsempio

X x Y

123468

X

Y

u g m c f r

X x Y

BZVRTOCNTNAN

X

Y

L MV T S P

Quale delle seguenti relazioni è una FUNZIONE?

xXy Y :(x,y) R




Funzioni NumericheFunzioni Numeriche

Noi ci occuperemo esclusivamente di

funzioni reali (Y )di variabili reali (X )

Classificazione delle funzioni:

Una funzione f: X Y si dicenumerica

se A e B sono insiemi numerici.

Algebriche Trascendenti

423x3xf(x) Razionali intere 4(x)3(x)f(x) tgsinGoniometriche

x3

423xf(x)Razionali fratte x)3f(x) (

3logLogaritmiche

x3f(x) Irrazionali x3f(x) Esponenziali

In generale sono trascendenti tutte le funzioni che non sono algebriche




suriettiva: tutti gli elementi di Y sono immagine di almeno un X

Funzioni ClassificazioneFunzioni Classificazione

X Y

iniettiva: gli elementi di Y sono immagini al più di un solo elemento di X

X Y

biiettiva: ogni elemento di Y è immagine di uno e uno solo elemento di X (corrispondenza biunivoca)

X Y

Un’applicazione chiamasi

f(X)=Y

se x1 x2

f(x1)f( x2 )oppure

se f(x1) =f( x2 ) x1 = x2




Funzione SURIETTIVA: Funzione SURIETTIVA: EsempioEsempio

xX y Y : (x,y) R

X guforagno

formicamucca

cavallouomo

Y2

4

68

x R y sex ha per numero di zampe y

X x Y

X

Y

u g m c f r

2

4

6

8

1. Verifichiamo che R sia una funzione

Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce

SI

Da ogni xX esce una e una sola freccia Non compaiono punti posti verticalmente

f (X) = Y

2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA

Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce Ad ogni yY arriva almeno una freccia

Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti.

SI




Funzione INIETTIVA: Funzione INIETTIVA: EsempioEsempio

xX y Y : (x,y) R

X x Y

X

Y

F

I

E

M

P O R



SI


se f (x1) = f (x2) x1 = x2

oppurese x1 x2 f (x1) f

(x2)

2. Verifichiamo che f sia INIETTIVA


Ad ogni yY arriva NON più di una freccia Ad ogni valore Y corrisponde NON più di

un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

SI

X Penna

Raspa

Oliatore

Y

x R y sex è utilizzato da y

Insegnante

Meccanico

Falegname

Elettricista




Funzione BIIETTIVA: Funzione BIIETTIVA: EsempioEsempio

X x Y

X

Y

O A B

P

S

T


f (x1)= f (x2) x1=x2 o x1x2 f (x1) f (x2)


Ad ogni yY arriva NON più di una freccia Ad ogni valore Y corrisponde NON più di


SI

X Oro

Bronzo

Argento

Y

x R y sex è la medaglia per y

Primo

Secondo

Terzo

f (X) = Y


Ad ogni yY arriva almeno una freccia Ad ogni valore Y corrisponde almeno un

punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti.

SI

xX y Y : (x,y) R


SI




Funzione (y =) f(x) = xFunzione (y =) f(x) = x22

X x Y

X

Y


f (x1)= f (x2) x1=x2 o x1x2 f (x1) f (x2)


Ad ogni yY arriva al più una freccia Ad ogni valore Y corrisponde NON più di


NO

f (X) = Y




NO

xX y Y : (x,y) R


SIx R y se x2 è y

X- …

-5-3.5

0-1.2

1.23.5

5+ …

Y- …-5

-3.5

0-1.2

1.44 12.25

25+ …




x R y se x2 è y

X- …

-5-3.5

0-1.2

1.23.5

5+ …

Y+0

1.44

12.25

25

+ …

0

Funzione (y =) f(x) = xFunzione (y =) f(x) = x22

X x Y

X

Y

f (x1)= f (x2) x1=x2 o x1x2 f (x1) f (x2)


Ad ogni yY arriva al più una freccia Ad ogni valore Y corrisponde NON più di


NO

f (X) = Y




SI


xX y Y : (x,y) R


SI




Insieme Dominio - Insieme CodominioInsieme Dominio - Insieme Codominio

funzioni reali di variabili reali

f : A B

A geometricamente situato sull’asse x

f(A) B geometricamente situato sull’asse y




Insieme di Esistenza di una FunzioneInsieme di Esistenza di una Funzione

L’insieme di esistenza di una funzioneè il dominio più ampio possibile

x1

2lnf(x)

x 1+x >02/(1+x) > 0Campo d’esistenza

423x3xf(x) x Campo d’esistenza

43xf(x) x x3+40Campo d’esistenza




Funzione InversaFunzione Inversa

Sia f un’applicazione biiettiva tra A e B,si definisce applicazione inversa di f, l’applicazione f -1 tra B e A tale che

f -1(b) = f -1(f(a)) = a

BA

a bf

b = f(a)

f -1

f -1(b) = f -1( f(a) ) = a

Noto , grafico di f, ’, grafico di di f-1 è il simmetrico di rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

x

y

O

’




Funzioni MonotòneFunzioni Monotòne

x

y

O x1 x2

Scegliamo arbitrariamente

due punti.SE

f(x1) < f(x2)f dicesi

crescente

f(x1) > f(x2)f dicesi

decrescente

x

y

O x1 x2

Scegliamo arbitrariamente

due punti.SE

f(x1) f(x2)f dicesi

non decrescente

f(x1) f(x2)f dicesi

noncrescente




Funzioni Pari - Funzioni DispariFunzioni Pari - Funzioni Dispari

x

y

O x-x

f(x)

x

y

O x

-x

f(x) = f(-x) f dicesi Pari

f(x) = x2

f(x) = cos(x)f(x) = | x |

f(x) = -f(-x) f dicesi Dispari

f(x) = xf(x) = sin(x)f(x) = tg(x)

f(x)

-f(x)=f(-x)




Funzioni PeriodicheFunzioni Periodiche

Se T t.c. x f(x+T) = f(x)

f dicesi Periodicadi periodo T

f(x) = sin(x) : sin(x+k·2) = sin(x) f(x) = cos(x) : cos(x+k·2) = cos(x) f(x) = tg(x) : tg(x+k·) = tg(x)

x

y

O

x1 x2=(x1+T)

T




Funzioni LimitateFunzioni Limitate

Sel’insieme

f(A) è

la funzioney=f(x)dicesi

f : A() B ()

Limitato superiormenteLimitato inferiormente

Limitato

Limitata superiormente

LimitataLimitata inferiormente

Limitata: l,L : aA lf(a) L

Limitata superiormente: L : aA f(a) L

Limitata inferiormente: l : aA f(a) l





Se l’insiemef(A)

è dotato di

la funzioney = f(x)

è dotata di

Massimo

minimo

Massimo assoluto

minimo assoluto

Se Mmax Ax

f M è detto

Massimo Assoluto

f : A() B ()

max f(A) = 1

y = f(1) = 1 è dotata di Massimo Assoluto

Se mmin Ax

f m è detto

minimo Assoluto

min f(A) = 0

y = f(0) = 0 è dotata di minimo Assoluto





Si chiama estremo superiore (estremo inferiore) di fl’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme f(A)

f : A() B ()

Una funzione può possedere il sup (inf) nell’insieme A senza che questo sia un massimo (minimo) assoluto:

f(x) = 1/x in A = (0,)

inf f = 0non min f

infatti f(x)>0




Funzioni particolari: le SuccessioniFunzioni particolari: le Successioni

Si chiama successione di numeri reali nn’applicazione di N0 in

f: n f(n) = an

1 f(n) = a1 2 f(n) = a2

...n 1/n : {1, 1/2, 1/3, … 1/n, …}

Una successione{an}

si dice

crescentenon decrescente

decrescentenon crescente

se nN

an < an+1

an an+1

an > an+1

an an+1

successioni monotòne

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