BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á

ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH

GIÁO TRÌNH

TOÁN ĐẠI SỐ

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Đà Nẵng, 2013

Toán đại số

1

Chƣơng I

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

§1-MA TRẬN

1. Khái niệm ma trận

Định nghĩa: Cho m, n là hai số nguyên dƣơng, ta gọi ma trận A cỡ m x n là một

bảng số đƣợc viết theo m hàng, n cột có dạng nhƣ sau:

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

......

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

có thể viết

11 12 1

12 22 2

1 2

...

...

......

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Trong đó: aij là phần tử của ma trận A.

i chỉ số của hàng; i = 1,m

j chỉ số của cột; j = n,1

Ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C… để đặt tên các ma trận.

Ta viết A = [aij]mxn = (aij)mxn, cách viết khác Am x n

Ví dụ 1.1. A =

654

321 là ma trận cỡ 2 x 3.

2. Các loại ma trận đặc biệt

2.1. Ma trận hàng

Ma trận cỡ 1x n đƣợc gọi là ma trận hàng.

Là ma trận có dạng: 1 2...

na a a

Ví dụ 2.1. 7513

2.2. Ma trận cột

Ma trận cỡ m x1 đƣợc gọi là ma trận cột.

Toán đại số

2

Là ma trận có dạng:

1

2

...

n

a

a

a

Ví dụ 2.2

7

5

1

3

2.3. Ma trận không

Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều bằng 0. Kí hiệu ma trận không có cỡ

m x n là: 0m x n .

Ví dụ 2.6

000

000 là ma trận không cỡ 2 x 3 viết là: 02 x3

2.4-Ma trận vuông

Là ma trận có số hàng bằng số cột: A = [aij]nxn

Có dạng:

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

......

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

gọi là ma trận vuông cấp n.

n gọi là cấp của ma trận vuông.

Ví dụ 2.3. A =

218

753

321

là ma trận vuông cấp 3.

- Các phần tử aij với i = j nằm trên cùng một đƣờng chéo gọi là đƣờng chéo chính:

a11, a22, …, ann.

- Các phần tử a1n, a2n-1, … , an1 nằm trên một đƣờng chéo gọi là đƣờng chéo phụ.

2.5. Ma trận chéo

Cho ma trận A vuông cấp n có dạng:

A =

11

22

0 ... 0

0 ... 0

..... 0

0 0 0nn

a

a

a

Toán đại số

3

aij = 0 i j gọi là ma trận chéo.

Ví dụ 2.4.

400

010

001

là ma trận chéo.

2.6. Ma trận đơn vị

- Ma trận vuông cấp n có dạng:

I =

1...00

.....

0...10

0...01

aij = 1 nếu i = j i, i = 1,n

aij = 0 nếu i j j, j = 1,n

2.7. Ma trận tam giác

- Ma trận A vuông cấp n có dạng:

A =

11 12 1

22 2

...

0 ...

.....

0 0 0

n

n

nn

a a a

a a

a

aij = 0 i > j gọi là ma trận tam giác trên.

Ví dụ 2.5.

100

230

211

- Ma trận A vuông cấp n có dạng:

A =

11

21 22

1 2

0 ... 0

... 0

.....

...n n nn

a

a a

a a a

aij = 0 i < j gọi là ma trận tam giác dƣới.

2.8. Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng

- Ma trận vuông A = [aij]nxn có các phần tử đối xứng nhau qua đƣờng chéo chính

bằng nhau thì gọi là ma trận đối xứng.

Toán đại số

4

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

......

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

aij = aji , i, j

Ví dụ 2.8.

1 2 3

2 0 4

3 4 5

A

là ma trận đối xứng

- Ma trận vuông A = [aij]nxn có các phần tử đối xứng nhau qua đƣờng chéo chính đối

nhau thì gọi là ma trận phản đối xứng.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

......

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

aij = -aji , i, j

Ví dụ 2.9 .

1 2 3

2 0 4

3 4 5

B

la ma trận phản đối xứng.

3. Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A và B gọi là hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần

tử có chỉ số tƣơng ứng bằng nhau từng đôi một.

Tức là: A = [ ]ij mxn

a ; B = [ ]ij mxn

b

A = B aij = bij i, j

Ví dụ 3.1.

02

31 =

dc

ba

a = 1, b = 3, c = -2 , d = 0.

4. Ma trận chuyển vị , ma trận đối

4.1. Ma trận chuyển vị

Toán đại số

5

- Xét ma trận A = [aij]mxn, đổi hàng thành cột và đổi cột thành hàng của ma trận A ta

đƣợc một ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A.

- Kí hiệu: At

Ví dụ 3.1. A =

752

431; A

t =

74

53

21

*TÍnh chất: (At)

t = A

Nếu At = A thì A là ma trận đối xứng.

4.2. Ma trận đối

- Ma trận đối của ma trận A = [aij]mxn là ma trận cũng cỡ với A, kí hiệu –A và có

dạng: -A = [-aij]mxn.

5. Các phép toán trên ma trận

5.1. Phép cộng ma trận

Cho hai ma trận cùng cỡ:

A = [aij]mxn

B = [bij]mxn

Tổng A + B là ma trận cỡ m x n xác định bởi: A + B = [aij + bij]mxn

Ví dụ 4.1.

521

432 +

123

014 =

152231

041342

=

604

446

* Tính chất: Cho 2 ma trận Am x n, Bm x n.

A + B = B + A (giao hoán)

(A + B) + C = A + (B + C) (Cm x n )

5.2. Nhân ma trận với một số

Cho A = [aij]mxn ; k R

Tích kA = [kaij]mxn

Ví dụ 4.2. 2

52

41 =

5.22.2

4.21.2 =

104

82

* Tính chất: Cho ma trận Am x n; Bm x n ; k, h R

k(A + B) = kA + kB

Toán đại số

6

(k + h)A = kA + hA

k(hA) = (kh)A

1.A = A

0.A = 0m xn

5.3. Phép nhân ma trận với ma trận

Xét hai ma trận: A = [aij]mxp ; B = [bij]pxi

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

p

p

m m mp

a a a

a a a

a a a

B =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

p

p

m m mp

b b b

b b b

b b b

- Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B.

- Tích AB là ma trận C = [cij]mxn có m hàng, n cột:

C =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

...

n

n

m m mn

c c c

c c c

c c c

c11 = a11b11 + a12b21 + … + a1pbp1

…..

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj =

p

1k

aikbki

Có sơ đồ sau:

Phần tử nằm ở dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A.B bằng tổng của p số hạng,

trong đó mỗi số hạng là tích của một phần tử thuộc dòng thứ i của ma trận A với phần

tử tƣơng ứng thuộc cột thứ j của ma trận B.

Ví dụ 4.3.

2

3 51 =

5.21.2

5.31.3 =

102

153

Ví dụ 4.4.

105

211

10

43

21

1 2...

i i ipa a a

1

2

....

j

j

pj

b

b

b

x x

x

Toán đại số

7

=

)1.(14.02.50.13.01.5

)1.(24)1(2.10.23).1(1.1 =

95

42

Tính chất:

Am x p(Bp x q + Cq x n) = Am x p Bp x q + Am x pCq x n

(Bm x p + Cm x p)Ap x n = Bm x pAp x n + Cm x pAp x n

Am x p(Bp x n + Cp x n) = Am x p Bp x n + Am x p Cp x n

k(Am x pBp x n) = (kAm x p) Bp x n = Am x p (kBp x n)

(Am x pBp x n)t = t

nxpB t

mxpA

Am x n.In = Am x n

In An x m = An x m

Nếu ma trận A vuông có cấp n: An.In = In An

Với n > 0 , A là ma trận vuông:

Phép nhân không giao hoán.

Ví dụ 4.5. Cho 2 ma trận A =

32

01 B =

03

21

AB =

0.32.23.31.2

0.02.13.01.1 =

411

21

BA =

3.00.32.0)1.(3

3.20.12.2)1.(1 =

03

63

6. Các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sau đây trên ma trận gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

- Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoăc một cột) với một số k 0 .

- Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho nhau.

- Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc một cột) với các phần tử tƣơng ứng

của một hàng (hoặc cột) khác sau khi nhân với cùng một số nào đó.

An =

n

A...A.A lần

Toán đại số

8

§2. -ĐỊNH THỨC

1. Định thức của ma trận vuông

1.1. Ma trận con

Xét ma trận vuông cấp n

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

Ta chú ý tới phần tử aij, bỏ đi hàng i cột j ta thu đƣợc ma trận chỉ còn n-1 hàng, n-1

cột tức là ma trận cấp n -1. Ta kí hiệu nó là Mij và gọi là ma trận con ứng với phần tử

aij.

Chẳng hạn, với

A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Ta có: M11 = 22 23

32 33

a a

a a

M12 = 21 23

31 33

a a

a a

M13 = 21 22

31 32

a a

a a

1.2. Định nghĩa

Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A), được định nghĩa:

- A là ma trận cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11

- A là ma trận vuông cấp 2: 11 11 12 12 11 22 12 21

det( ) det( ) det( )A a M a M a a a a

- A là ma trận vuông cấp n:

det(A) = (-1)1+1

a11det(M11) + (-1)1+2

a12det(M12) + …+ (-1)1 +n

a 1ndet(M1n)

- Các phần tử a11, a12, …, a1n thuộc hàng thứ 1 của ma trận A.

Kí hiệu định thức ngƣời ta dùng hai gạch đặt hai bên:

A hoặc

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

hoặc det(A)

Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n.

Ví dụ 1.1.

a) 43

21 = 1.4 – 2.3 = -2

Toán đại số

9

b)

987

654

321

= 198

65

- 2

97

64 + 3

87

54

= 1.(45 + 48) – 2(-36 - 42) + 3(32 - 35) = 240

Để tính định thức cấp 3 ngƣời ta thƣờng dùng sơ đồ sau (Quy tắc Sarrus):

= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a33-a31a22a13-a32a23a11-a33a21a12

Tích của 3 số nằm song song với đƣờng chéo chính mang dấu (+).

Tích của 3 số nằm song song với đƣờng chéo phụ mang dấu (-).

Ví dụ1.2. detA =

213

110

321

13213

10110

21321

detA = 1.1.2 + 2.1.3 + 3.0.(-1) – 3.1.3 – 1.1.(-1) – 2.0.2

detA = 2 + 6 – 0 – 9 + 1 – 0 = 0

2. Tính chất của định thức

Tính chất 1: det(At) = det(A)

Ví dụ 2.1. 43

21 = -2

42

31 = -2

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó vẫn

còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột.

Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau của một ma trận ta được một

định thức ma trận mới bằng định thức cũ đổi dấu.

Ví dụ 2.2. 43

21 = -2 ;

34

12 = 2;

21

43 = 2

Tính chất 3: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì định thức bằng

0.

Tính chất 4:

- Khai triển định thức theo hàng i:

1

1 1 2 2det ( 1) det( ) det( ) ... det( )i

i i i i in inA a M a M a M

- Khai triển định thức theo cột j:

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

=

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a

- - - + +

+

Toán đại số

10

1

1 1 2 2det ( 1) det( ) det( ) ... det( )j

j j j j nj njA a M a M a M

Ví dụ 2.3.

A =

230

101

321

Khai triển theo hàng 2:

det(A) = (-1)2+1

[-123

32 - 0

20

31 - 1

30

21] = -(-1.(-5) - 1.3) = -2

Tính chất 5: Một ma trận có một hàng (hay một cột) toàn là số 0 thì định thức

bằng 0.

Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k

thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.

Ví dụ 2.4.

A = 43

21 B =

43

42

det(B) = 2.det(A)

Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có

thể đƣa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.

Tính chất 7: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì định thức bằng 0.

Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của

hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định

thức.

D =

11 1 1

' " ' " ' "

1 1

1

... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

... ...

j n

i i ij ij in in

n nj nn

a a a

a a a a a a

a a a

Thì D = D’ + D

”

Trong đó:

D’ =

11 1 1

' ' '

1

1

... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

... ...

j n

i ij in

n nj nn

a a a

a a a

a a a

, D” =

11 1 1

" " "

1

1

... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

... ...

j n

i ij in

n nj nn

a a a

a a a

a a a

Toán đại số

11

Ví dụ 2.5. 42

31 =

22

11 +

22

21

Tính chất 9: Khi ta cộng bội k của một hàng vào một hàng khác (hay bội k của

một cột vào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thức cũ.

Ví dụ 2.6.

516

754

312

=

516

)2(37)2(15)2(24

312

=

516

130

312

Dựa vào tính chất này ta đƣa định thức về dạng định thức của ma trận tam giác trên

để việc tính định thức đơn giản hơn.

Tính chất 10:

11 12 1

22 2

11 22 331

...

0 ......

.....

0 0 ...

n

nn

nn iii

nn

a a a

a aa a a a a

a

11

21 22

11 22 331

1 2

0 ... 0

... 0...

.....

...

n

nn iii

n n nn

a

a aa a a a a

a a a

3. Các phƣơng pháp tính định thức

Cho định thức cấp n bất kỳ (n )2 :

D =

11 1 1

1

1

... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

... ...

j n

i ij in

n nj nn

a a a

a a a

a a a

Định nghĩa: Định thức của ma trận Mi j đƣợc gọi là phần bù và Ai j = ( 1)i j

ijM

đƣợc gọi là phần bù đại số của phần tử aij.

3.1. Khai triển định thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột

Cho định thức D cấp n, kí hiệu Aij là phần bù đại số của phần tử aij. Khi đó

D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... ainAin

D = a1jA1j + a2jA2j + ... anjAnj

Ví dụ 2.3.

Toán đại số

12

D =

230

101

321

Khai triển theo hàng 2:

D = a21A21 +a22A22 +a23A23

A21 = -23

32 = 5; A22 = +

20

31 = 2; A23 = -

30

21 = -3

D = -1(5) + 0(2) + (-1)(-3) = -2

3.2. Đưa định thức về dạng tam giác

Áp dụng các tính chất của định thức ta có thể đƣa định thức đã cho về dạng tam

giác:

11 12 1

22 2

11 22 331

...

0 ......

.....

0 0 ...

n

nn

nn iii

nn

a a a

a aa a a a a

a

Ta dùng các biến đổi sau:

- Nhân một hàng với một số k 0 Định thức nhân với k.

- Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu.

- Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi.

Áp dụng các biến đổi đó đƣa dần định thức về dạng định thức của ma trận tam giác

trên.

Ví dụ 3.1.

I =

162

963

510

Đổi chỗ hai hàng 1 và 2

I = -

162

510

963

Đƣa thừa số 3 ở hàng 1 ra ngoài

I = -3

162

510

321

Cộng -2 lần hàng 1 với hàng 3

Toán đại số

13

I = -3

5100

510

321

Cộng -10 lần hàng 2 với hàng 3

I = -3

5500

510

321

I = -3.1.1.-55 = 165.

§3-MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1. Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo

Gọi Mn là tập các ma trận vuông cấp n: Mn = {An}

Định nghĩa: Xét A Mn. Nếu tồn tại ma trận B Mn sao cho: AB = BA = In. Ta

nói A là khả đảo và B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Khi A có nghịch đảo

(A khả đảo) ta nói A không suy biến.

Ngƣời ta kí hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là A-1

.

Vậy: A.A-1

= A-1

.A = In.

- Ma trận nghịch đảo A-1

của ma trận A Mn nếu có thì chỉ có một mà thôi.

2. Ma trận phụ hợp

Cho ma trận A vuông cấp n, ma trận phụ hợp của A, ký hiệu PA, đƣợc xác định nhƣ

sau:

PA =

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

A A A

A A A

A A A

Trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij (i, j = 1,n ) của ma trận A.

Định lý 1: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì :

A.PA = PA .A = det(A).In

Trong đó PA là ma trận phụ hợp của A và In là ma trận đơn vị cấp n.

Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả đảo là det(A) 0 (hay ma

trận A không suy biến), và khi đó 1 1

det( )A

A PA

Vậy muốn tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ta tiến hành nhƣ sau:

Toán đại số

14

Bước 1: Tính det(A)

- Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo.

- Nếu det(A) 0 chuyển sang bƣớc 2

Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp PA của A, từ đó suy ra A-.1

Ví dụ 1.1. Cho

A =

801

352

321

det(A) = 1.5.8 + 2.3.1 + 3.2.0 - 3.5.1 -1.3.0 - 2.2.8

= 40 + 6 - 15 -32 = -1 0

A11 = (-1)1+1

80

35

= 40; A21 = (-1)2+1

80

32

= -16; A31 = (-1)3+1

35

32

= -9;

A12 = (-1)1+2

81

32

= -13; A22 = (-1)2+2

81

31

= 5; A32 = (-1)3+2

32

31

= 3;

A13 = (-1)1+3

01

52

= -5; A23 = (-1)2+3

01

21

= 2; A33 = (-1)3+3

52

21

= 1;

PA =

125

3513

91640

A-1

= 1

1

PA =

125

3513

91640

3. Tính chất

Định lí 1: Giả sử A và B Mn là hai ma trận khả đảo khi đó AB cũng là khả đảo và:

(AB)-1

= B-1

A-1

Định lí 2: Nếu A Mn khả đảo và có nghịch đảo A-1

thì:

a) A-1

cũng khả đảo và (A-1

)-1

= A

b) Am

khả đảo và: (Am

)-1

= (A-1

)m

, m nguyên > 0

Toán đại số

15

c) k 0 ta có kA cũng khả đảo và (kA)-1

= 11.A

k

Định lí 3: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có:

det(AB) = det(A)det(B)

Định lí 4:

Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho BA = I thì A khả đảo và B = A

-1.

Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho AB = I thì A khả đảo và B = A

-1.

Toán đại số

16

§4- HẠNG CỦA MA TRẬN

1. Định nghĩa

Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của tất cả các định thức con khác 0 của ma trận

A.

Kí hiệu hạng của ma trận A là r(A) hoặc rank(A) .

Chú ý: r(At) = r(A)

2. Các phƣơng pháp tìm hạng ma trận

2.1. Phương pháp theo định nghĩa

Dựa vào định nghĩa ta có thể tìm hạng của ma trận nhƣ sau:

Tính các định thức con từ cấp 2 trở lên giả sử ma trận A có 1 định thức con cấp r khác 0, tính tiếp các định thức cấp r + 1, nếu tất cả các định thức cấp r +1 đều

bằng 0 thì ta kết luận hạng của A là r còn nếu 1 định thức cấp r +1 khác 0 thì

tính tiếp các định thức cấp r + 2, nếu tất cả các đinh thức đều bằng 0 thì ta kết

luận hạng của A là r +1, còn nếu 1 định thức cấp r +2 khác 0 thì tiếp tục tính tiếp các định thức cấp r +3 nhƣ thế.

VD: Tìm hạng của ma trận

A =

1 2 3 5

3 2 4 9

1 6 8 11

Ta có định thức con cấp 2: 04- 23

21

Còn các định thức cấp 3:

1 2 3

3 2 4 0

1 6 8

;

1 2 5

3 2 9 0

1 6 11

1 3 5

3 4 9 0

1 8 11

,

2 3 5

2 4 9 0

6 8 11

Vậy mọi định thức con cấp 3 đều bằng 0.

Do đó r(A) = 2.

2.2. Hạng của ma trận bậc thang:

- Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó.

Ví dụ 2.1. A =

5000

2100

4031

B =

0000

2100

4031

Toán đại số

17

C =

600

540

321

là các ma trận bậc thang.

Ta có r(A) = 3; r(B) = 2; r(C) = 3

Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.

- Vậy muốn tìm hạng ma trận A ta tiến hành nhƣ sau:

Ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đƣa ma trận A về ma trận B có dạng ma trận bậc

thang nhƣ sau:

11 12 1 1

22 2 2

... ...

0 ... ...

... ... ... ... ... ....

0 0 ... ...

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

r n

r n

rr rn

b b b b

b b b

Bb b

bij = 0 với i > j hoặc i > r và bii 0, i = 1,r

Dễ thấy r(B) = r, nên r(A) = r

Ví dụ 2.1. Tìm hạng của ma trận

A =

2121

4112

2431

Nhân hàng thứ nhất với -2 rồi cộng với hàng thứ hai, cộng hàng 1 vào hàng 3

0550

0770

2431

Nhân hàng thứ hai với 5, hàng thứ ba nhân với 7 rồi cộng với nhau ta đƣợc hàng ba

của ma trận mới.

0000

0770

2431

Vậy hạng của ma trận A là 2 (hay r(A) =2).

Toán đại số

18

BÀI TẬP

1/ Cho

A =

43

21

11

; B =

32

23

10

; C =

14

21

32

Tính (A + B ) + C; A + (B + C); 3A;

Tìm At, B

t, C

t

2/ Hãy nhân các ma trận

a)

23

12

11

11 b)

23

12

16

53

c)

101

112

111

321

212

113

d)

01

12

13

103

112

e)

3

2

1

210

123 f) 321

3

1

2

g)

1

4

2

321

3/ Hãy thực hiện các phép tính sau:

a)

2

210

103

112

b)

3

31

12

c)

5

24

23

d)

n

10

11

e)

n

cossin

sincos

4/ Cho

A =

112

302

211

; B =

03

21

22

; C =

1

1

Hãy kiểm tra lại tính kết hợp

(AB)C = A(BC) của phép nhân ma trận

Toán đại số

19

5/ Tính các định thức cấp ba:

a)

011

101

111

b)

011

101

110

c)

631

321

111

6/ Cho:

''c''b''a

'c'b'a

cba

=

Hỏi các định thức sau:

a)

cba

''c''b''a

'c'b'a

b)

cba

'c'b'a

''c''b''a

7/ Giải phƣơng trình

641641

27931

8421

xxx1 32

= 0

8/ Tính định thức

0111

dcba

1110

1101

bằng cách khai triển nó theo hàng ba.

9/ Tính định thức

t111

z211

y121

x112

bằng cách khai triển nó theo các phần tử của cột bốn.

Toán đại số

20

10/ Tính các định thức sau:

a) 2852328423

1364713547 b)

621721342

4435431014

327427246

c)

3111

1311

1131

1113

d)

201041

10631

4321

1111

e)

3214

2143

1432

4321

f)

642781

16941

4321

1111

g)

0cb1

c0a1

ba01

1110

h)

yxyx

xyxy

yxyx

11/ Các ma trận sau có khả đảo không, nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phụ

đại số:

a)

33

12 b)

63

21 c)

112

310

112

d)

100

210

211

e)

322

101

241

12/ Giải phƣơng trình AX = B đối với ẩn là ma trận X, với

A =

132

121

111

B =

0221

2201

1111

13/ Tìm hạng của các ma trận sau:

Toán đại số

21

a) A =

28112

71524

42312

b)

1977

7115

4312

1531

c) A =

64168

52134

72834

24768

32534

14/ Xác định hạng của các ma trận sau tuỳ theo ( R):

a) A =

3314

417101

2741

213

b)

11221

1101

1111

11121

Toán đại số

22

Chƣơng II

HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

§1- KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1. Dạng tổng quát của một hệ phƣơng trình tuyến tính

Đó là một hệ m phƣơng trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

..........

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1)

Trong đó: x1, x2, ... , xn là các ẩn số.

aij là hệ số ở phƣơng trình thứ i của ẩn xj

bi là vế phải của phƣơng trình thứ i.

Khi m = n ta có một hệ vuông với n phƣơng trình, n ẩn.

Khi bi = 0 ta có một hệ thuần nhất.

Ví dụ 1.1.

1 2 3

1 2 3

2 3 4 5

3 2 7 6

x x x

x x x

Là 1 hệ phƣơng trình tuyến tính hai phƣơng trình 3 ẩn.

2. Dạng ma trận của hệ phƣơng trình tuyến tính

Xét hệ (1). Ma trận:

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

(2)

gọi là ma trận hệ số của hệ.

Ma trận: B =

1

2

...

m

b

b

b

= 1 2...

t

mb b b

gọi là ma trận cột vế phải của hệ.

Toán đại số

23

Ma trận:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...,

...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA A B

a a a b

gọi là hệ số bổ sung.

Ma trận: X =

1

2

...

n

x

x

x

= 1 2...

t

nx x x

gọi là ma trận ẩn của hệ.

Với phép nhân ma trận với ma trận hệ (1) đƣợc viết:

AX = B (3)

Đó là dạng ma trận của hệ (1).

Ví dụ: Hệ phƣơng trình:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

12 3 4 0

2 3 2 1

8 1 1

3 2 3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Ma trận hệ số:

12 1 3 4

2 3 2 1

1 8 1 1

1 3 3 2

A

Ma trận cột vế phải:

0

1

1

3

B

Ma trận hệ số mở rộng:

12 1 3 4 0

2 3 2 1 1

1 8 1 1 1

1 3 3 2 3

A

Dạng ma trận:

1

2

3

4

12 1 3 4 0

2 3 2 1 1

1 8 1 1 1

1 3 3 2 3

x

x

x

x

Toán đại số

24

§2- CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1. Hệ Cramer

Bây giờ xét hệ n phƣơng trình n ẩn số:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x + a x + ... + a x = b

a x + a x + ... + a x = b

.....

a x + a x + ... + a x = b

(4)

Với ma trận hệ số:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

(5)

là ma trận vuông cấp n.

B = 1 2...

t

nb b b

Hệ (4) đƣợc viết lại: AX = B (6)

Hệ (4) gọi là hệ Cramer nếu det(A) 0.

2. Phƣơng pháp Cramer

*Định lý Cramer

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1

B tức là:

det( )

det( )

j

j

Ax

A (7)

Trong đó A là ma trận (5), Aj là ma trận suy ra từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột vế phải B.

Chứng minh: Do det(A) 0 A có nghịch đảo.

A-1

= )Adet(

1PA

Thay (6) bởi x = A-1

b ta có: A(A-1

B) = (AA-1

)b = InB = B.

Vậy x = A-1

B là nghiệm của hệ.

x = A-1

B =

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...1

.....det( )

...

n

n

n n nn

A A A

A A A

A

A A A

1

2

...

n

b

b

b

Toán đại số

25

nghĩa là có: xj = 1 1 2 2

. . ... .

det( )

j j nj nA b A b A b

A

=

det( )

det( )

jA

A

Chứng minh sự duy nhất nghiệm.

Giả sử hệ (6) có hai nghiệm là X và Y.

Vậy :

AX = B

AY = B

Trừ hai vế cho nhau ta có: A(X-Y) = 0

Nhân 2 vế với A-1

A

-1A(X-Y) = 0

(X-Y) = 0

X =Y

Vậy hệ Cramer có nghiệm duy nhất.

Thí du 3.1. Giải hệ:

1 3

1 2 3

1 2 3

2 6

3 4 6 30

2 3 8

x x

x x x

x x x

Giải:

Ta có:

A =

321

643

201

; B =

8

30

6

Vậy: A1 =

328

6430

206

; A2 =

381

6303

261

;

A3 =

821

3043

601

det(A) = 44 0.

det(A1) = -40; det(A2) = 72; det(A3) = 152.

Ta suy ra nghiệm các hệ đã cho:

x1 = -44

40 = -

11

10 x2 =

44

72 =

11

18 x3 =

44

152 =

11

38

Toán đại số

26

3. Phƣơng pháp ma trận nghịch đảo

Để giải hệ phƣơng trình Cramer, ta có thể sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận

hệ số A bằng cách viết hệ phƣơng trình dƣới dạng ma trận: AX = B.

- Tìm ma trận A-1

.

- Nhân 2 vế của phƣơng trình ma trận trên với A-1

.

1 1 1A (AX) A B X = A B

Từ đó suy ra nghiệm của hệ Cramer đã cho.

Ví dụ: Giải hệ sau bằng phƣơng pháp sử dụng ma trận nghịch đảo:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2 9

2 3 14

3 4 7

x x x

x x x

x x x

Giải:

Ta có:

2 3 2

det( ) 1 2 3 6 0

3 4 1

A

Nên hệ đã cho là hệ Cramer. Ma trận nghịch đảo của A là:

11 21 31

1

12 22 11

13 23 33

14 5 131 1

10 4 8det( ) 6

2 1 1

A A A

A A A AA

A A A

Hệ phƣơng trình trên đƣợc viết dƣới dạng ma trận:

1 1 1( )A X B A A X A B X A B

1

2

3

14 5 13 9 21

10 4 8 14 36

2 1 1 16 2

x

x

x

4. Phƣơng pháp Gauss

Xét hệ phƣơng trình tuyến tính ở tổng quát:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

..........

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1)

Toán đại số

27

Xét ma trận hệ số và ma trận hệ số bổ sung:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

và

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...,

...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA A B

a a a b

4.1. Định lí Kronecker-Capelle

Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi: r( A ) = r(A).

Từ định lí ta có:

Hệ quả1: Hệ phƣơng trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi r(A) < r( A ).

Hệ quả 2: Nếu r(A) = r( A ) = r = n = số ẩn của HPTTT thì HPTTT có duy nhất một

nghiệm.

Hệ quả 3: Nếu r(A) = r( A ) = r < n thì HPTTT có vô số nghiệm và các thành phần

của nghiệm phụ thuộc n – r tham số tuỳ ý.

Trong trƣờng hợp r(A) = r( A ) = r < n thì các định thức con cấp r khác 0 của A gọi

là đinh thức con cấp cơ sở của A. Ta lấy trong định thức con cơ sở của A một hàng

tuỳ ý, các phần tử của hàng này là các hệ số của r ẩn trong n ẩn của HPTTT, r ẩn đó

gọi là ẩn cơ bản hay r ẩn chính; n-r ẩn còn lại gọi là các ẩn không cơ bản hay các ẩn

phụ.

Do trong ma trận A có thể có nhiều định thức con cấp r khác không nên có thể có

nhiều cách chọn các ẩn cơ bản và các ẩn không không cơ bản tƣơng ứng .

Ta áp dụng các pháp biến đổi sơ cấp sau đây trên ma trận mở rộng của hệ tƣơng ứng

với phép biến đổi tƣơng đƣơng của hệ phƣơng trình tuyến tính.

Nhân một hàng của ma trận với một một số khác 0 ứng với phép nhân một phương trình của hệ với một số khác 0, không làm thay đổi nghiệm của hệ.

Phép đổi chỗ hai hàng của ma trận ứng với phép đổi chỗ hai phương trình của hệ không làm thay đổi nghiệm của hệ.

Phép cộng công bội k của một hàng của ma trận vào một hàng khác của ma

trận ứng với phép cộng công bội k của một phương trình vào một phương

trình khác cũng không làm thay đổi nghiệm của hệ.

4.2.Phương pháp Gauss

Bước 1: Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo các hàng biến đổi ma trận mở rộng A

của HPTTT đã cho thành ma trận 1A có nhiều phần tử 0 thƣờng 1A là ma trận

bậc thang, (khi đó r( A ) = r( 1A ) và r(A) = r(A1)).

Bước 2: xảy ra 3 trƣờng hợp:

r(A) < r( A ) thì hệ phƣơng trình đã cho vô nghiệm.

Toán đại số

28

r(A) = r( A ) = n (số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất. Giải hệ phƣơng trình có ma

trận hệ số mở rộng 1A sau khi loại bỏ các hàng bằng 0.

r(A) = r( A ) = r < n (số ẩn): hệ có vô số nghiệm.

Lập hệ phƣơng trình có ma trận hệ số mở rộng 1A sau khi loại bỏ các hàng bằng 0

(có r phƣơng trình n ẩn số).

Chọn r ẩn cơ bản (có định thức lập từ r cột hệ số của các ẩn số đó, khác 0); lần

lƣợt cho n-r ẩn còn lại bởi n-r tham số tuỳ ý và tìm các ẩn cở bản theo các tham số

đó ta sẽ đƣợc nghiệm tổng quát của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ:

7x7x11x4

2x2xx3

4x3x4x2

321

321

321

A =

7114

213

342

; B =

7

2

4

;

2 4 3 4

3 1 2 2

4 11 7 7

A

Nhân hàng 1 với -3 và nhân hàng 2 với 2 rồi cộng với nhau, nhân hàng 1 với -2 rồi

cộng với hàng 3 của ma trận A ta đƣợc:

=

1130

1613100

4342

Nhân hàng 2 với 3 và nhân hàng 3 với 10 rồi cộng với nhau ta đƣợc:

=

582900

1613100

4342

x3 = 2 x2 = -1 x1 = 1.

Ví dụ 2 Giải hệ:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

5 4 3 1

2 2 0

5 3 8 1

4 9 10 5 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Ta có:

251094

11835

01212

13451

A

Toán đại số

29

Nhân hàng 1 với -1 công với hàng 2 nhân với -2 rồi cộng với hàng 3 và nhân hàng 1

với -2 cộng hàng 2 nhân -1 rồi cộng hàng 4 ta đƣợc

nhân hàng 1 với -2 rồi cộng hàng 2 bỏ hàng 3 hàng 4 ta đƣợc

276110

13451

Từ đó ta có hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ sau:

2x7x6x11

1x3x4x5x

432

4321

Chọn x1, x2 làm các ẩn cơ bản, x3, x4 làm các ẩn không cơ bản vid định thức ứng với

2 cột hệ số của x1, x2 bằng -11. Cho x3 =

x4 = với , là 2 tham số tùy ý. Khi đó ta có:

43

432

4321

x,x

x7x62x11

x3x41x5x

43

2

1

x,x11

2

11

7

11

6x

11

1

11

2

11

14x

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm có dạng tổng quát là:

;;

11

2

11

7 -

11

6- ;

11

1

11

2

11

14 với , tùy ý

Ví dụ 3. Giải và biện luận hệ phƣơng trình:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

3 2

2 3

x x ax

x x ax

x x x b

a-Hãy xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất.

00000

00000

01212

13451

Toán đại số

30

b-Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm.

c- Xác định a và b để hệ vô nghiệm.

Giải: Xét ma trận

A =

312

a13

a21

A =

b312

2a13

3a21

Ta có detA = 2a - 21

a-Điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm duy nhất là:

det(A) 0 2a - 21 0 a 2

21, b bất kì.

b-Muốn hệ có vô số nghiệm :

a = 2

21 det(A) = 0 nên r(A) < 3 vì A có định thức con

13

21

= -7 0 là định thức cấp hai nên r(A) = 2 khi a=

2

21.

Theo định lí Kronecker-Capelle muốn cho hệ có nghiệm cần

và đủ là: r( A ) = r(A) = 2.

A =

b312

22

2113

32

2121

1 1

2 2

: 2: 2

h hh h

b312

42126

62142

2 1 2

3 1 3

: 3:

h h hh h h

6b1830

1484140

62142

2 2

1:

6h h

6b1830

1610

62142

3 2 3: 3h h h

3b000

1610

62142

Vậy r( A ) = 2 nếu b = 3.

+ Nếu a = 2

21, b= 3 hệ vô số nghiệm.

+ Nếu a = 2

21 (b bất kì) hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu a = 2

21, b 3 (r( A ) = 3 r(A) = 2) thì hệ vô nghiệm.

Toán đại số

31

§3- HỆ PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

1. Định nghĩa

Hệ thuần nhất có dạng :

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0

.....

... 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

(8)

Ma trận hệ số là:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.....

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

Hệ có dạng: AX = 0 (9)

Vế phải là ma trận O cỡ nx1.

Hệ thuần nhất (8) tức là (9) luôn có nghiệm O.

x =

0

...

0

0

= 0...00t

Vì khi thay x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 vào vế phải của (8) thì các phƣơng trình đó thoả

mãn.

- Nghiệm O của hệ thuần nhất gọi là nghiệm tầm thƣờng của nó.

Định lí: Hệ thuần nhất (8) có nghiệm không tầm thƣờng khi và chỉ khi det(A) = 0.

Ví dụ 3.1. Hệ

0x4x3

0x3x2

21

21

có định thức: 43

32 = -1 0.

Nên chỉ có nghiệm tầm thƣờng x1 = 0, x2 = 0.

Hệ

0x6x4

0x3x2

21

21

Có định thức: 64

32 = 0

Nên có nghiệm không tầm thƣờng chẳng hạn x1 = 3, x2 = -2.

Toán đại số

32

Vậy:

Khi r(A) = n hệ pttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thƣờng.

Khi r(A) < n hệ pttt thuần nhất có vô số nghiệm và do đó nó có nghiệm không tầm thƣờng.

2. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phƣơng trình thuần nhất

Trong trƣờng hợp hạng của ma trận hệ số A của hệ phƣơng trình tuyến tính thuần

nhất là r(A) = r < n = số ẩn số thì ta chọn đƣợc r ẩn cơ bản x1, x2, …, xr và n - r ẩn

không cơ bản xr+1, …, xn đƣợc lấy những giá trị xác định; xr+1 =

nn2r2r1r x;;x; . Khi đó các ẩn cơ bản đƣợc biểu diễn qua các ẩn không

cơ bản và ta đƣợc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất.

Nếu ta gán cho các ẩn không cơ bản lần lƣợt các bộ giá trị

(1 ; 0 ; … ; 0);

(0 ; 1 ;0; …0);

…..

(0 ; 0; …;0 ; 1);

( n-r thành phần)

và từ đó ta có n – r nghiệm cụ thể của hệ phƣơng trình thuần nhất, các nghiệm đó

đƣợc gọi là 1 hệ nghiệm cơ bản của hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất

Ví dụ 3.2 Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phƣơng trình sau:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 2 0

3 5 2 0

3 4 14 7 5 0

2 8 3 3 0

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

Ta có r(A) = 2. Chọn một định thức cơ sở chẳng hạn D = 0521

12

x1 = 2/5x3 + 1/5x4 + 1/5x5

x2 = 19/5x3 – 8/5x4 + 7/5x5.

Gán cho các ẩn không cơ bản các bộ giá trị : 100;010;001

Ta đƣợc một hệ nghiệm cơ bản gồm 3 nghiệm:

0

0

1

5/19

5/2

G1 ;

0

1

0

5/8

5/1

G3 ;

1

0

0

5/7

5/1

G3

Toán đại số

33

BÀI TẬP

1/ Áp dụng định lý Cramer giải các hệ sau

a) 2 5 1

4 5 5

x y

x y

b)

2 4

2 3

x y

x y

c)

2 2 1

1

1

x y z

y z

x y z

d)

1

2 2

3 2 0

x y z

x y z

x y z

e)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4

3 4 2 11

3 2 4 11

x x x

x x x

x x x

f)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 5

2 3 1

2 3 11

x x x

x x x

x x x

g)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 2 6

2 2 3 8

3 2 2 4

2 3 2 8

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

h)

3 4 5

2 3 4

3 2 5 12

4 3 5 5

y z t

x z t

x y t

x y z

2/ Tìm ma trận X thoả mãn phƣơng trình

a)

12

64X

31

52

b) X

521

234

311

111

012

111

3/ Giải

a) 2 3 4

2 4

x y

y

b)

1 2 3 4

2 3 4

3 4

4

2 4 2 2

3 6

2 3 1

1

x x x x

x x x

x x

x

4/ Áp dụng phƣơng pháp Gauss giải các hệ sau

a) 1,2 0,8 2,0

1,5 0,25 4,0

x y

x y

b)

1

2 3 1

4 9 9

x y z

x y z

x y z

c)

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3

2

2 0

2 2 7 7

2 3

x x x x

x x x

x x x x

x x x

Toán đại số

34

5/ Dùng phƣơng pháp Gauss - Jordan tính ma trận nghịch đảo của

các ma trận sau:

a) A =

10

21 b) A =

100

210

321

c) A =

1000

2100

3210

7531

6/ Dùng phƣơng pháp Gauss - Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau nếu

có

a) A =

13

12 b)

232

121

211

c) A =

131

232

211

d) A =

42

21

e) A =

41

32 f) A =

96

32

g) A =

211

121

112

h) A =

124

312

023

i) A =

5062

3102

3241

1121

k) A =

1210

1321

1211

3012

7/ Với giá trị nào của a thì hệ sau đây không có nghiệm duy nhất.

a) 2 5

3 1

x y

x ay

b)

2 3

2 3 1

3 3 4

x y z

x ay z

x y z

8/ Xác định a để hệ sau có nghiệm không tầm thƣờng

a)

3 0

2 0

3 2 2 0

ax y z

x y z

x y z

b) (1 ) 2 0

2 (4 ) 0

a x y

x a y

9/ Giải các hệ sau và biện luận theo các tham số:

Toán đại số

35

a)

2

1x y z

x y z

x y z

b)

2 3

2 3

2 3

x ay a z a

x by b z b

x cy c z c

10/ Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của mỗi hệ sau:

a.

0223

0

032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b.

06543

05432

0432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

c.

0417

0453

032

023

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

d.

0327

01613114

02332

07533

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

11/ Giải và biện luận các hệ sau:

a.

1

1

1

321

321

321

kxxx

xkxx

xxkx

b.

2321

321

321 1

kkxxx

kxkxx

xxkx

c.

2321

321

321

1

1

11

kx)k(xx

kxx)k(x

xxx)k(

d.

1321

1

1

321

321

321

x)k(kxx)k(

kx)k(kxkx

kx)k(kxkx

e.

1

1

1

1

4321

4321

4321

4321

kxxxx

xkxxx

xxkxx

xxxkx

Toán đại số

36

f.

34321

24321

4321

4321 1

kkxxxx

kxkxxx

kxxkxx

xxxkx

g.

9712

76596

54364

3232

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

h.

kxxxx

xxxx

xxxx

4321

4321

4321

1147

242

12

k.

1

1

azbyx

bzabyx

zbyax

Trong đó k, a, b là các tham số

Toán đại số

37

Chƣơng III KHÔNG GIAN VECTƠ

§1. KHÔNG GIAN VECTƠ

Cho T là một trƣờng số (thực hoặc phức) và một tập E , ta định nghĩa hai phép toán hai ngôi nhƣ sau:

Phép cộng: E E E

(x, y) x + y

Kí hiệu + , nghĩa là x, y E thì x + y E

Phép nhân ngoài: T E E

(k, x) kx

Kí hiệu ., nghĩa là k T, x E thì kx E.

1. Định nghĩa

Tập E đƣợc gọi là một không gian vectơ trên trƣờng số T, nếu ta xác định đƣợc

hai phép toán cộng và nhân ngoài với một số của T trên E thoả mãn các tiên đề sau:

1) x, y E: x + y = y + x

2) x, y, z E: (x + y) + z = x + (y + z)

3) x, y E, T: (x + y) = x + y

4) , T, x E: ( x) = ( )x

5) , T, x E: ( + )x = x + x

6) Trong E tồn tại phần tử không, kí hiệu Ø sao cho: x E thì Ø + x = x + Ø = x

7) x E tồn tại phần tử đối, kí hiệu: - x sao cho: x + (- x) = Ø

8) x E, 1 T đƣợc gọi là phần tử đơn vị của T: 1.x = x

Mỗi phần tử của E đƣợc gọi là một vectơ và mỗi số thuộc T đƣợc gọi là một vô

hƣớng. Không gian vectơ còn gọi là không gian tuyến tính.

Chú ý: +) Nếu T là tập số thực thì E gọi là không gian tuyến tính thực.

+) Nếu T là tập số phức thì E gọi là không gian tuyến tính phức.

Ví dụ

1) Tập các số phức C là một không gian vectơ thực.

2) Tập P các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với phép cộng đa thức và phép

nhân một số với đa thức là một không gian vectơ thực.

Toán đại số

38

3) Tập M các ma trận cỡ m n với phần tử thực đối với phép cộng và phép nhân ma trận là một không gian vectơ thực.

4) Tập V các vectơ hình học với vectơ 0

là vectơ có môdun bằng 0 và có hƣớng tuỳ ý, ta xác định phép cộng và phép nhân ngoài trên V là một không gian vectơ thực.

5) Tập Rn là tập tất cả các bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn). Phép cộng hai

phần tử và phép nhân một phần tử với một số thực đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Nếu x = (x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn) thì:

x + y = ( x1 + y1, x2 + y2, ….., xn + yn)

x = (x1, x2, …, xn)

Với hai phép toán đó Rn là một không gian vectơ. Vectơ của R

n là vectơ (0, 0, …,0).

Vectơ đối của x là vectơ - x = (-x1, -x2, …, -xn)

2. Tính chất

1) Trong không gian vectơ E trên trƣờng số T tồn tại duy nhất một vectơ Ø sao

cho:

x E: x + Ø = x

2) Trong không gian vectơ E trên trƣờng số T với mỗi x E tồn tại phần tử đối

duy nhất của x là (- x) sao cho: x + (- x) = Ø

3) Cho E là không gian vectơ trên trƣờng số T. Khi đó k T, x E và 0 là số

0 của trƣờng T, ta có:

+) 0.u = Ø +) k.Ø = Ø

4) Cho E là không gian vectơ trên trƣờng số T. Khi đó, x E, - 1 T ta có: - 1.x =vectơ đối.

§2. KHÔNG GIAN VECTƠ CON

1. Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ tên trƣờng số T. Tập con E’ của E đƣợc gọi là một

không gian con của không gian vectơ E nếu:

i) x, y E: x + y E’

ii) x E’, T x E’

Nhận xét: E’ là một vectơ trên trƣờng số T.

Toán đại số

39

Chú ý: E’

Định lí

Cho E’ E, điều kiện cần và đủ để E’ là không gian con của E là:

, T, x, y E’ x + y E’ Ví dụ

1) A Rn . A = {(a1, a2, …, an)}

2) Tập {} có phải là không gian con của E không?

3) Không gian R3 = {(x1, x2, x3)/ xi R}. Các tập sau đây tập nào là không

gian con của R3

a) A = {x1, x2, 0} x1, x2, 0 R.

b) B = {x1, 0, 0} x1, 0 R

c) C = {x1, x2, 1} x1, x2, 1 R

4) Không gian các ma trận cỡ 2 3. Các tập ma trận sau, tập nào là không gian con?

a) A =

cbc

aba b) B =

10

01

b

b

2. Khái niệm tổ hợp tuyến tính

Cho x1, x2, …, xn là n vectơ của không gian vectơ E trên trƣờng T. Ta gọi một tổ hợp

tuyến tính của các vectơ x1, x2, …, xn là một vectơ y có dạng:

y = 1x1 + 2x2 + ….. + nxn , i T, i = 1, 2, …., n Khi đó ta nói y biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ x1, x2, …, xn.

Ví dụ 3.1: 1) Mọi vectơ xi E, i = 1, 2, …, n đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua các vectơ x1, x2, …, xn chẳng hạn:

x1 = 1.x1 + 0.x2 + … + 0.xn

2) Trong không gian R4, xét các vectơ:

a1 = (1, 2, - 1, 3)

a2 = (0, 1, 2, - 2)

a3 = ( 3, - 2, 0, 1)

Ta có x = (- 1, 9, 4, - 1) biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ đó vì:

x = 2a1 + 3a2 – a3

3. Không gian con sinh bởi một họ vectơ

Định nghĩa: Cho V là một không gian vecto.

S = { x1, x2, …, xn} là một họ vecto của V. Ta gọi tất cả các tổ hợp tuyến tính của các

vecto S là bao tuyến tính của S, kí hiệu span(S).

W= span(S) là một không gian con của V (không gian con sinh bởi họ vecto).

Toán đại số

40

§3. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

1. Khái niệm phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Xét hệ n vectơ {x1, x2, …, xn} E trên trƣờng số T.

Nếu p1x1 + p2x2 + … + pnxn =

p1 = p2 = …. = pn = 0

Thì hệ n vectơ {x1, x2, …, xn} đƣợc gọi là độc lập tuyến tính.

Ngƣợc lại nếu tồn tại một số pr 0, r {1, 2, …, n} để p1x1 + p2x2 + … + pnxn =

thì hệ n vectơ {x1, x2, …, xn} gọi là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

1) Xét hệ gồm n vectơ n chiều( gọi là các vectơ đơn vị):

e1 = (1, 0, 0, ….., 0)

e2 = (0, 1, 0, ….., 0)

……………….

en = ( 0, 0, 0, ….., 1)

Chứng tỏ hệ (e1, e2, …., en) độc lập tuyến tính?

Giải

pi T, i {1, 2, …., n} ta có:

p1e1 + p2e2 + ….. + pnen = p1(1, 0, …..,0) + p2(0, 1, ….., 0) + ….. + pn(0, 0, …, 1)

= (p1, p2, …., pn) = = (0, 0, …, 0)

p1 = p2 = …. = pn = 0

Vậy hệ đã cho độc lập tuyến tính.

2) Cho P2 là tập các đa thức bậc 2 với hệ số thực. Chứng minh rằng:

a) Họ vectơ

S = {p1(x) = 1 + 2x + 3x2, p2(x) = 2 + 3x + 4x

2, p3(x) = 3 + 5x + 7x

2}

phụ thuộc tuyến tính.

b) Họ vectơ {q1(x) = 1, q2(x) = 1 + x, q3(x) = 1 + x + x2} độc lập tuyến tính.

3) Chứng minh rằng họ

Toán đại số

41

M =

40

00',

03

00',

00

20',

00

01'

4421eeee

Độc lập tuyến tính.

2. Tính chất của hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 1: Mọi hệ con của một hệ độc lập tuyến tính đều là hệ độc lập tuyến

tính.

Hệ quả: Nếu thêm vào 1 hoặc nhiều vectơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ

mới cũng phụ thuộc tuyến tính.

Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ để một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính là có một

vectơ biểu diến tuyến tính qua các vectơ còn lại.

Hệ quả: Một hệ vectơ chứa vectơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

§4. CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

1. Hệ sinh

4.1.1 Định nghĩa: Hệ vectơ {x1, x2, …, xn} đƣợc gọi là hệ sinh của không gian

vectơ E trên trƣờng số T nếu với mọi vectơ x E, x là một tổ hợp tuyến tính của x1, x2, …, xn

Nghĩa là: x E tồn tại 1, 2 ,….. , n T sao cho:

x = 1x1 + 2x2 + ….. + nxn

1.2 Ví dụ

1) Trong không gian vectơ Rn trên trƣờng số R, hệ vectơ {e1, e2, …., en}:

e1 = (1, 0, …., 0), e2 = (0, 1, …., 0), ….., en = (0, 0, …., 1)

là hệ sinh, vì sao?

2) Trong không gian vectơ P các đa thức bậc nhỏ hơn n, họ vectơ:

p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, …., pn(x) = x

n

có phải là hệ sinh không?

3) Trong không gian vectơ Mmn trên trƣờng số R, hệ vectơ :

Toán đại số

42

A1 =

0.....000

0.....000

0..............

0....000

0....001

, A2 =

0.....000

0.....000

0..............

0....020

0....000

, ….., An =

1.....000

0.....000

0..............

0....000

0....000

có phải là hệ sinh không?

2. Cơ sở

2.1 Định nghĩa: Hệ vectơ {x1, x2, …, xn} đƣợc gọi là một cơ sở của không gian

vectơ E trên trƣờng số T nếu:

i) {x1, x2, …, xn} là 1 hệ sinh của E

ii) {x1, x2, …, xn} độc lập tuyến tính.

2.2 Ví dụ

1) Trong không gian vectơ Rn trên trƣờng số R, hệ vectơ {e1, e2, …., en} là n vectơ

độc lập tuyến tính trong R và là một hệ sinh nên hệ {e1, e2, …., en} là một cơ sở trong R

n

2) Chứng minh cơ sở chính tắc của không gian vectơ M33 trên trƣờng số R là hệ vectơ:

A1 =

000

000

001

, A2 =

000

000

010

, A3 =

000

000

100

,

A4 =

000

001

000

, A5 =

000

010

000

, A6 =

000

100

000

,

A7 =

001

000

000

, A8 =

010

000

000

, A9 =

100

000

000

2.3. Định lí

Toán đại số

43

Trong không gian vectơ E trên trƣờng T, mọi hệ cơ sở của nó đều có số vectơ

bằng nhau.

2.4. Định lí: Điều kiện cần và đủ để hệ vectơ {x1, x2, …, xn} là một cơ sở của không gian

vectơ E trên trƣờng T là mọi vectơ x thuộc E đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dƣới dạng tổ hợp tuyến tính x1, x2, …, xn

3. Số chiều của một họ vecto

3.1 Định nghĩa: Trong không gian vectơ E trên trƣờng số T, số vectơ có trong 1 cơ

sở nào đó của E đƣợc gọi là số chiều của E. Kí hiệu dim(E)

Nếu dim(E) = n hữu hạn thì ta gọi E là không gian vectơ hữu hạn chiều hay không

gian vectơ n - chiều.

Chú ý:

+ Không gian vectơ chỉ gồm một vectơ Ø đƣợc xem có số chiều bằng 0.

+ Không gian vectơ E có số vectơ trong một cơ sở là vô hạn thì không gian vectơ E

gọi là không gian vectơ vô hạn chiều.

+ dim Rn = n

+ dim M = m.n với M là không gian vectơ các ma trận Amn

+ dim P = n + 1 với P là không gian vectơ các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n.

3.2 Ví dụ

1) Trong không gian vectơ M33 trên trƣờng số R, có số vectơ trong cơ sở là 9. Vậy số

chiều của không gian vectơ M33 là 9.

2) Cho không gian vectơ P = {1, x, x2}, dim P = 3

4. Hạng của hệ vectơ

4.1. Bộ phận độc lập tuyến tính tối đại

Trong không gian vectơ E cho một hệ gồm n vectơ {x1, x2, …, xn} (1), một hệ

con của hệ (1) gồm r vectơ (r n) đƣợc gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1) nếu:

+ Hệ r vectơ độc lập tuyến tính

+ Mọi vectơ của hệ (1) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ r vectơ đó( hay mọi hệ con

của (1) có số vectơ > r thì phụ thuộc tuyến tính).

4.2. Định nghĩa hạng

Trong không gian vectơ E cho một hệ S gồm n vectơ. Số vectơ có trong 1 hệ con

độc lập tuyến tính tối đại của hệ n vectơ đó đƣợc gọi là hạng của nó. Kí hiệu r(S).

4.3. Định lí

Toán đại số

44

Trong không gian vectơ n - chiều trên trƣờng số thực R. Cho hệ vectơ bất kì S = {x1, x2, …,

xn}. Giả sử tọa độ của n vectơ đối với một cơ sở nào đó của E là:

njmiRij

,1 ;,1 ;a ;

)a,....,a,(ax

..............................

)a,....,a,(ax

)a,....,a,(ax

mn2n1nn

m222122

m121111

Khi đó hạng của hệ gồm m vectơ trên bằng hạng của ma trận:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

.....

.................

.....

.....

21

22212

12111

(cột thứ i tƣơng ứng với tọa độ của vectơ x i, i = 1, 2,…, n)

Nghĩa là: r(S) = r(A)

Vậy muốn tìm hạng của họ vectơ ta tìm hạng ma trận tạo nên bởi các vectơ đó.

4.4 Phƣơng pháp tính hạng của họ vectơ

Ví dụ Tính hạng của họ vectơ S = {x1, x2, x3, x4, x5} R3 với

x1 = (1, 2, 3), x2 = ( 2, 3, 4), x3 = (3, 5, 7), x4 = (1, 1, 1), x5 = (0, 1, 2)

Giải

Lập ma trận A tạo bởi các hệ vectơ đó:

210

111

753

432

321

A

Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đƣa ma trận A về dạng bậc thang:

1 2 2 4 5 5

1 3 3 3 4 4

1 4 4 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

22 3 4 0 1 2 0 1 2

33 5 7 0 1 2 0 0 0

1 1 1 0 1 2 0 0 0

0 1 2 0 1 2 0 0 0

h h h h h h

A h h h h h h B

h h h h h h

Toán đại số

45

Ta có r(A) = r(B) = 2 r(S) = 2

Vậy hạng của 5 vectơ trên là 2.

§5. TỌA ĐỘ CỦA VECTO TRONG CƠ SỞ

1. Khái niệm tọa độ của một vectơ trong cơ sở

Trong không gian vectơ n - chiều E trên trƣờng T cho một hệ cơ sở {e1, e2, ….,

en} và vectơ x E, khi đó tồn tại duy nhất bộ số (1, 2, …, n), i T, i = 1, 2, …, n sao cho

x = 1e1 + 2e2 + … + nen

bộ số (1, 2, …, n) đó đƣợc gọi là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở {e1, e2, …., en}.

i gọi là thành phần tọa độ thứ i của vectơ x, i = 1, 2, …, n và viết

x = (1, 2, …, n) hay x =

n

.

2

1

Định lí

Nếu E là một không gian vectơ hữu hạn chiều có dim(E) = n. Khi đó ta có:

i) Mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính có n vectơ của E đều là cơ sở của E.

ii) Nếu hệ {e1, e2, …., en} là một hệ độc lập tuyến tính của E có m < n thì ta

có thể bổ sung vào hệ này n – m vectơ nữa để nó trở thành một cơ sở của E.

2. Ma trận chuyển cơ sở

Trong không gian vectơ n chiều V, giả sử có 2 cơ sở:

1 2 1 2( , ,..., ), ' ( ' , ' ,..., ' )n nA e e e A e e e

Xét vectơ v V .

Đối với cơ sở A có 1 1 2 2 ... n nv v e v e v e , nghĩa là 1 2( ) ( , ,... )A vv v v v hay

1

2

...A

n

v

vv

v

Đối với cơ sở A’ có 1 1 2 2' ' ' ' ... ' 'n nv v e v e v e , nghĩa là ' 1 2( ) ( ' , ' ,... ' )A nv v v v hay

Toán đại số

46

1

2

'

'

'

...

'

A

n

v

vv

v

Định nghĩa ma trận chuyển cơ sở:

Ma trận P thỏa mãn: 'A A

v P v gọi là ma trận chuyểncơ sở từ A sang A’.

Định lý: Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở A sangcơ sở A’ thì:

P khả đảo (det(P) 0)

P-1

là ma trận chuyển cơ sở từ A’ sang A, 'A A

v P v .

3. Bài toán đổi cơ sở

Ví dụ: Trong R2, cho 2 cơ sở 1 2 1 2, , ' ' , 'A e e A e e với

1 2 1 2(1,0), (0,1), ' (1,1), ' (2,1)e e e e .

a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang A’.

b. Tìm (v)A’ nếu v = (7,2).

Giải:

Ta có: 1 1 2'e e e hay 1

1'

1Ae

và 2 1 2' 2e e e hay 2

2'

1Ae

Ma trận chuyển cơ sở từ A sang A’ là 1 2

1 1P

b. Ma trận chuyển cơ sở từ A’ sang A là 1

1 2

1 1P

Vì 1 27 2v e e nên 7

2Av

, nên 1

'

1 2 7 3

1 1 2 5A Av P v

.

Có thể tính trực tiếp, không thông qua ma trận chuyển cơ sở.

Toán đại số

47

BÀI TẬP CHƢƠNG

1.Cho một tập các phần tử gọi là các vectơ, hai phép tính cộng và nhân vectơ với một

số. Hãy xác định tập nào là không gian vectơ, tập nào không phải không gian vectơ

(nếu không phải thì chỉ các tiên đề mà nó thỏa mãn). a. Tập tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) với các phép tính:

(x, y, z) + (x’, y’, z’) := (x + x’, y + y’, z + z’)

k(x, y, z) := (kx, y, z)

b. Tập tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) với các phép tính:

(x, y, z) + (x’, y’, z’) := (x + x’, y + y’, z + z’)

k(x, y, z) := (0, 0, 0)

c. Tập tất cả các cặp số thực (x, y) với các phép tính:

(x, y) + (x’, y’) := (x + x’, y + y’)

k(x, y) := (2kx, 2ky)

d. Tập tất cả các cặp thực có dạng (x, y) trong đó x>0, với các phép tính thông

thƣờng trong R2.

2. Hỏi mỗi tập dƣới đây là không gian con của R3 hay không?

a. Các vectơ có dạng (a, 0, 0).

b. Các vectơ có dạng (a, 1, 0).

c. Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c. d. Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c +1.

3. Tập nào dƣới đây là không gian vectơ con của không gian M2x2 ()

a. a b

a c

b. 1

0

a

a

c. 0

0

a

b

4. Cho u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1). Hãy biểu diễn vectơ x thành tổ hợp

tuyến tính của u, v, w:

a. x = (7, -2, 15)

b. x = (0, 0, 0)

5. Các tập sau đây là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?

a. u1 = (1, 2), u2 = (-3, -6) trong R2.

a. u1 = (-1, 2), u2 = (-3, 4) trong R2.

c. v1 = (1, 2,3), v2 = (-3, -6, 7) trong R3.

d. v1 = (4,- 2,6), v2 = (6, -3, 9) trong R3.

e. v1 = (1, 2, 3), v2 = (-3, -6, 7), v3 = (-1, -2, 13) trong R3.

f. v1 = (-1, 2, 3), v2 = (-3, 9, 7), v3 = (7, 2, 1) trong R3.

g. v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (-3, -6, 7, 5), v3 = (2, 4, 6, 10), v4 = (1, 0, 0, 3) trong R4.

6. Tập nào trong P2 dƣới đây phụ thuộc tuyến tính?

a. 2

12 1e x x ,

2

22 3e x x ,

31e x

b. 2

12 3e x x ,

2

2e x ,

32 5e x

7. Tìm m để làm cho các vectơ sau đây phụ thuộc tuyến tính trong R3.

1 2 3

1 1 1 1 1 1, , , , , , , ,

2 2 2 2 2 2v m v m v m

8. Họ nào dƣới đây là cơ sở trong R2.

a. (1, 2), (-3, -6) ` b. (4, 1), (-7, 8)

c. (0, 0), (-3, -6) d. ( 2,3), (1, 0)

9. Họ nào dƣới đây là cơ sở trong R3.

a. (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) `

Toán đại số

48

b. (3, -1 , 4), (2, 5, 6) , (1, 4, 8)

c. ( 2, -3,1), (4, 1, 1), (0, -7, 1)

10. Chứng minh họ vectơ sau là cơ sở trong M2x2

1 2 3 4

1 0 0 2 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 3 0 0 4A A A A

11. Xác định số chiều của các không gian con các vectơ dạng (a, b, c, 0) của R4.

Toán đại số

49

Chƣơng I.......................................................................................................................... 1

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC ......................................................................................... 1

§1-MA TRẬN ..................................................................................................................... 1

1. Khái niệm ma trận ..................................................................................................... 1

2. Các loại ma trận đặc biệt ........................................................................................... 1

3. Ma trận bằng nhau...................................................................................................... 4

4. Ma trận chuyển vị, ma trận đối ................................................................................. 4

5. Các phép toán trên ma trận ....................................................................................... 5

6. Các phép biến đổi sơ cấp........................................................................................... 7

§2. -ĐỊNH THỨC............................................................................................................... 8

1. Định thức của ma trận vuông................................................................................... 8

2. Tính chất của định thức ............................................................................................. 9

3. Các phƣơng pháp tính định thức ............................................................................ 11

§3-MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO....................................................................................... 13

1. Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo ................................................................ 13

2. Ma trận phụ hợp ....................................................................................................... 13

3. Tính chất .................................................................................................................... 14

§4- HẠNG CỦA MA TRẬN .......................................................................................... 16

1. Định nghĩa ................................................................................................................. 16

2. Các phƣơng pháp tìm hạng ma trận ...................................................................... 16

BÀI TẬP ............................................................................................................................ 18

Chƣơng II ...................................................................................................................... 22

HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ................................................... 22

§1- KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ........................................... 22

1. Dạng tổng quát của một hệ phƣơng trình tuyến tính ........................................... 22

2. Dạng ma trận của hệ phƣơng trình tuyến tính ...................................................... 22

§2- CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ............... 24

1. Hệ Cramer ................................................................................................................. 24

2. Phƣơng pháp Cramer ............................................................................................... 24

3. Phƣơng pháp ma trận nghịch đảo ........................................................................... 26

4. Phƣơng pháp Gauss.................................................................................................. 26

§3- HỆ PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ................................................................. 31

1. Định nghĩa ................................................................................................................. 31

2. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phƣơng trình thuần nhất ............................................. 32

BÀI TẬP ......................................................................................................................... 33

Chƣơng III .................................................................................................................... 37

KHÔNG GIAN VECTƠ ............................................................................................ 37

§1. KHÔNG GIAN VECTƠ ........................................................................................... 37

1. Định nghĩa ................................................................................................................. 37

2. Tính chất .................................................................................................................... 38

§2. KHÔNG GIAN VECTƠ CON ................................................................................. 38

1. Định nghĩa ................................................................................................................. 38

2. Khái niệm tổ hợp tuyến tính ................................................................................... 39

3. Không gian con sinh bởi một họ vectơ .................................................................. 39

§3. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH ............................ 40

1. Khái niệm phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính ........................................ 40

2. Tính chất của hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ............................. 41

Toán đại số

50

§4. CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ ............................................ 41

1. Hệ sinh ....................................................................................................................... 41

2. Cơ sở .......................................................................................................................... 42

3. Số chiều của một họ vecto ...................................................................................... 43

4. Hạng của hệ vectơ .................................................................................................... 43

§5. TỌA ĐỘ CỦA VECTO TRONG CƠ SỞ ............................................................. 45

1. Khái niệm tọa độ của một vectơ trong cơ sở ......................................................... 45

2. Ma trận chuyển cơ sở ............................................................................................... 45

3. Bài toán đổi cơ sở ..................................................................................................... 46

BÀI TẬP ................................................................................................................................ 48