Upload
others
View
31
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
İki Eksenli Gerilme Hali
σ1
σ2
00000
00( (
σ1 ≠ 0
σ2
σ1
σ2 ≠ 0
σ3 = 0
σ1 ≥ σ2
P
Örnek
σ2
P σ1
σ1
P
1
2
3
1
2
İki Eksenli Gerilme Hali 1
Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden birisi sıfır ise o noktadaki gerilme hali "iki eksenli gerilme hali"dir.Düzlem gerilme hali de denir.
P noktasından geçen bütün yüzeylerdeki eğik gerilme vektörleri aynı düzlem içindedir.Gerilmelerin içinde bulunduğu düzlem, asal gerilme doğrultularından birine diktir.Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırdan farklıdır.
Literatürde genellikle böyle seçilir.
I1 ≠ 0I2 ≠ 0I3 = 0
Gerilme invaryantları:
P
Kendi düzlemi içindeki kuvvetlere maruz bir levha
İki Eksenli Gerilme Hali 2
1
2
3
≡
σ1 0( (0
0
0
0
0
0
σx 0( (0
0
0
0
0
0
≡
σx τxy( (0
0
0
00
σyτyx ≡
σx' τx'y'( (0
0
0
00
σy'τy'x'
1
2
3z
x
y
1
2
x
y
3z 1
2
3z'
x'y'
τx'y'
σx'
σy'
y'
τy'x'
x'
P 1
2
τxyσx
σy
τyx
P 1
2
x
y
y'
x'
P 1
2
P 1
2
x
y
σ1
Pσ1
Pσx
1
x
y
1
2
σ2 σy
σ2 σ2σy
σ1
Pσ1
Pσx
1
x1
σ2 σ2σy
σx σy ≠ τxy2 σx' σy' ≠ τx'y'
2
2
y2 2
Behcet DAĞHAN
Literatürde genellikle z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılır.
T
I2 ≠ 0
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
İşaret kabulü
İki Eksenli Gerilme Hali 3
(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri
Herhangi bir eksen takımında
τyx = τxy
Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleri (Gerilme Tansörünün Dönüştürülmesi)Asal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
İki Eksenli Gerilme Hali 4
ΣFx' = 0 σx' (A) − σx (Acosθ) cos θ − σy (Asin θ) sin θ − τxy (Acos θ) sin θ − τyx (Asin θ) cos θ = 0
AAcosθ
Asinθ
θ
x'
θ
y'
σx (Acosθ) σx' (A)
σy (Asinθ)
τyx (Asinθ)τxy (Acosθ)
τx'y' (A)
θ
σx' − σx cos2θ − σy sin2θ − τxy cosθ sinθ − τ yx sinθ cosθ = 0
→ σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ
ΣFy' = 0 →
→
θ yerine θ+90o yazarak: σy' = σx sin2θ + σy cos2θ − 2 τxy cosθ sinθ
τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos2θ − sin2θ)
z-ekseni ve z'-ekseni,3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
(σ) =
σx' τx'y'
σy'τy'x'
x'
x
y
σx
σy
τxy
τyx
τx'y'
θθ
y'
σx'
τx'y'
σx'
σy'
τy'x'
σx τxy( σyτyx(
( ((σ' ) =
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
İki Eksenli Gerilme Hali 5
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
τx'y' = 0 − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
σy' = –– (σx + σy) − –– (σx − σy) cos 2θ − τxy sin 2θ 12
12
σx'
τx'y'
σy' =
τxy
( –– (σx + σy)12
–– (σx − σy)12 (( ( ( (cos2θ sin2θ1
1
0
−cos2θ −sin2θ
cos2θ−sin2θ
σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ
σy' = σx sin2θ + σy cos2θ − 2 τxy cosθ sinθ
τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos2θ − sin2θ)
σx'
τx'y'
σy' = (τxy
σx
σy (( ( ( (cos2θ sin2θ
cos2θsin2θ
cos2θ − sin2θ
2 cosθ sinθ
−2 cosθ sinθ
−cosθ sinθ cosθ sinθ
2 cosθ sinθ = sin2θ
sin2θ = –––––––––1 − cos2θ
2
cos2θ = –––––––––1 + cos2θ
2 }cos2θ − sin2θ = cos2θ
x
y
σx
σy
τxy
τyx
θθ
İki Eksenli Gerilme Hali 6
n
σn
τn
Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeye etki eden gerilme bileşenlerinin iç çarpım yardımıyla bulunması
F
F
a
a→
Fa
→
Fa
Fa = F • e = (F)T (e)→ →
Bir vektörün herhangi bir doğrultuya izdüşümü, vektör ile doğrultu üzerindeki birim vektörüniç çarpımı (skaler çarpımı) ile bulunabilir.Benzer şekilde, bir tansörün bir yüzeye izdüşümü de,tansör ile yüzey normali üzerindeki birim vektörüniç çarpımı ile bulunabilir.
e = cosβ i + sinβ j→ → →
Fa = F (cosθ cosβ + sinθ sinβ)
x
y
β
θ
u = cosθ i + sinθ j→ → →
F = F u = (F) = F →→
e = (e) = →
cosθ
sinθ( (
cosβ
sinβ( (
n = cosθ i + sinθ j→ → →
(F)T = F (cosθ sinθ)
σx τyx( σyτxy(
Gerilme tansörünün, yüzey normali n olan bir yüzeye izdüşümü→
cosθ
sinθ( (
n = (n) =→cosθ
sinθ( (
T (n) = T = σn + τn = (T) = =→ → →
σx' cosθ − τx'y' sinθ( (σx' sinθ + τx'y' cosθ
T = (T) = (σ) • n = (σ)T (n) =→
τyx = τxyσx cosθ + τxy sinθ( (τxy cosθ + σy sinθ(T) = =
→
σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ
τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos2θ − sin2θ)
σx'
τx'y'
→ →
σx' cosθ − τx'y' sinθ( (σx' sinθ + τx'y' cosθ
x'
y'
( (Tx
Ty
( (Tx
Ty
=
σx cosθ + τyx sinθ( (τxy cosθ + σy sinθ=}
Bir tansörünbir vektör ile iç çarpımı = bir vektör
İki Eksenli Gerilme Hali 7
x'
x
y
θ
y'
θ
x1
x2x2'
x1'
Doğrultman kosinüsleri
}θ11 = θ
θ12 = 90o − θ
θ21 = 90o + θ
θ22 = θ
Dönüştürme matrisi
Dönüştürme matrisi ortogonal bir matristir.
n21 = e2' • e1→ →
ekseniüzerindeki
birimvektör
x2'
→
x1 ekseniüzerindekibirimvektör
→
ekseni ilex1 ekseni
arasındakiaçının kosinüsü
x2'
(N) =n11( (n12
n22n21
cosθ11( (=cosθ12
cosθ22cosθ21
cosθ( (=sinθ
cosθ−sinθ
m( (=n
m−n
x2' ekseni ilex1 ekseni
arasındaki açı
İndislerin açıklaması
x' ekseni ile x ekseni arasındaki açı
x' ekseni ile y ekseni arasındaki açı
y' ekseni ile x ekseni arasındaki açı
y' ekseni ile y ekseni arasındaki açı
→
→
→
→
(N)T = (N)−1
θ21
(σ) =σx τxy( σyτyx
( σ11 σ12( σ22σ21(=
(N) =n11( (n12
n22n21
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
(σ') = (N) (σ) (N)T
σx' τx'y'
σy'τy'x'( ( σx τxy( σyτyx
(cosθ( (sinθ
cosθ−sinθ=
cosθ( (−sinθ
cosθsinθ
σx' τx'y'
σy'τy'x'( ( σx τxy( σyτyx
(m( (n
m−n=
m( (−n
mn
σx' τx'y'
σy'τy'x'( ((σ' ) =
İki Eksenli Gerilme Hali 8
veya σij' = nik njl σkl (i,j,k,l =1,2)
σij' = Σ Σ nik njl σklk=1
2
l=1
2
i = 1j = 1
σ11' = n1k n1l σkl
σ11' = n11 n11 σ11 + n11 n12 σ12 + n12 n11 σ21 + n12 n12 σ22
k = 1l = 1
k = 1l = 2
k = 2l = 1
k = 2l = 2
i = 1j = 2
σ12' = n1k n2l σkl
σ12' = n11 n21 σ11 + n11 n22 σ12 + n12 n21 σ21 + n12 n22 σ22
i = 2j = 2
σ22' = n2k n2l σkl
σ22' = n21 n21 σ11 + n21 n22 σ12 + n22 n21 σ21 + n22 n22 σ22
(i,j =1,2)
i = 2j = 1
σ21' = n2k n1l σkl
σ21' = n21 n11 σ11 + n21 n12 σ12 + n22 n11 σ21 + n22 n12 σ22
(k,l =1,2)
(k,l =1,2)
(k,l =1,2)
(k,l =1,2)
İndis notasyonu ile:
İki Eksenli Gerilme Hali 9
(σ' ) = (N) (σ) (N)T
σx' τx'y'
σy'τy'x'( ( σx τxy( σyτyx
(m( (n
m−n=
m( (−n
mn
σx'
τx'y'
σy'( m2 n2
mn−mn
=(σx
τxy
σy( (( (2mn
n2 m2 −2mn
m2 − n2
σij' = nik njl σkl
(σ) = (N)T (σ' ) (N)
σx' τx'y'
σy'τy'x'( (σx τxy( σyτyx
( m( (n
m−n=
m( (−n
mn
σx'
τx'y'
σy'(m2 n2
−mnmn
= (σx
τxy
σy( ( ( (−2mn
n2 m2 2mn
m2 −n2
σij = nik njl σkl'
(A) (A)−1
(i,j,k,l =1,2) (i,j,k,l =1,2)
} }τy'x' = τx'y' τyx = τxyτyx = τxy τy'x' = τx'y'
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
τx'y' = − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
İki Eksenli Gerilme Hali 10
Asal gerilmeler ve asal eksen doğrultuları
––– = 0dσx'
dθ} σx' = σmax
σx' = σmin
veyaσmax = σ1
σmin = σ2
σ1 ≥ σ2
(Literatürde genellikle böyle seçilir.)
− (σx − σy) sin 2θ + 2 τxy cos 2θ ––– = 0 =dσx'
dθ→ tan 2θ = –––––––
2 τxy
σx − σy
Asal eksenler ilex, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Asal gerilmenin etki ettiği yüzeyde kayma gerilmesi yoktur. Yani τx'y' = 0 } tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
Alternatif olarak:
"Döndürülen x' ekseni ne zaman asal eksen ile çakışır?" sorusuna cevap arıyoruz.
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır.
σx τxy
σyτyx( ( σx'
σy'0
0( ((σ) = ≡
x'
x
y
σx
σy
τxy
τyx
θθ
y'
σx'
σx'
σy'
nτn = τx'y' = 0
σn = σx'
σn
σn
(σ) =σ1
σ20
0( (
İki Eksenli Gerilme Hali 11
→tan 2θ = –––––––
2 τxy
σx − σy
Asal eksenler ile x-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
x
y
1
2
θ = θp1
P
σ1 σ2
σ2 σ1
1
2
θ = θp2
σ2 σ1
P
σ1 σ2
x
y
→
θ = θp1
θ = θp2
Örnekler
veya
(σx > σy)→
→(σx < σy)
x'y' x'y'
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
İki Eksenli Gerilme Hali 12
sin 2θ = –––––−τxy
R
cos 2θ = –––––––––––––R
− –– (σx − σy)12 σ2 = –– (σx + σy) − [–– (σx − σy)]2 + τxy
212
12√
σx' = σ2} _________________
tan 2θ = ––––––––––
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
sin 2θ = ––––τxy
R
cos 2θ = ––––––––––R
–– (σx − σy)12 σ1 = –– (σx + σy) + [–– (σx − σy)]2 + τxy
212
12√
σx' = σ1} _________________
− –– (σx − σy)12
VEYA
–– (σx − σy)12
τxy
σm = –– (σx + σy)12
= –– (σ1 + σ2) 12
σ1 = σm + R
σ2 = σm − R
Asal gerilmeleri,x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri
cinsinden veren bağıntılar:
–– (σx − σy)12
–––––––––– R–– (σx − σy)12
τxy
2θ
R
R tan 2θ
R cos 2θ
R sin 2θ
τxy
R = [–– (σx − σy)]2 + τxy
2√ 21
_________________
–––––––––– R–– (σx − σy)12
τxy
R
R tan 2θ
−τxy
R cos 2θ
R sin 2θ
2θ
θ = θp1
θ = θp2
θp2 = θp1 ± 90o
İki Eksenli Gerilme Hali 13
λ1 = σ1
Gerilme halinin invaryantlarıGerilme tansörünün değişmezleri
(σ) =σx' τx'y'
σy'τy'x'
σx τxy( σyτyx( ( (≡≡
σ1 0( σ20 (Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen eksenler değiştikçe o noktadaki gerilme halini gösteren tansörün bileşenleride değişir. Fakat değişmeyen bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halinin invaryantları denir.Gerilme hali, iki eksenli olduğu zaman iki tane gerilme invaryantı vardır.
Gerilme halinin invaryantlarını x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri cinsinden bulalım:
σx−λ τxy
σy−λτyx| | = 0 → λ2 − I1 λ + I2 = 0
Gerilme tansörününbirinci invaryantı
→ →
→ Bu ikinci dereceden denklemin kökleriasal gerilmeleri verir.
I1 = σx + σy I2 =σx τxy
σyτyx| |
λ2 = σ2
I1 = σ1 + σ2
I2 = | |
I1 ve I2 değerleri, eksen takımı değişse de değişmeyen değerlerdir.
= σx + σy = σx' + σy'
σx τxy
σyτyx| | = | |σ1 0
σ20
σx' τx'y'
σy'τy'x'
=
Gerilme tansörününikinci invaryantı
Asal gerilmelergerilme tansörünün özdeğerleridir.
= –– I1 (–– I1)2 − I2
12
12√
__________
+_σ1σ2
τx'y' = − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
İki Eksenli Gerilme Hali 14
Kayma gerilmesinin ekstremum değerleri ve doğrultuları
–––– = 0dτx'y'
dθ} veya
− (σx − σy) cos 2θ − 2 τxy sin 2θ –––– = 0 =dτx'y'
dθ→ tan 2θ = − –––––––
2 τxy
σx − σy
Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerin normali ilex, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
"Eksenler döndürülürken hangi yüzeyde kayma gerilmesi ekstremum olur?" sorusuna cevaparıyoruz.
Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerde normal gerilme, genellikle, sıfır değildir.Bu normal gerilmenin değeri:
σx' = σm = –– (σx + σy) = –– I112
Ortalama gerilme
→
τx'y' = (τx'y')max
τx'y' = (τx'y')min
12
İki Eksenli Gerilme Hali 15
→
x
y
1
2
θp1
P
σ2 σ1
→
θ = (θs)max
veyatan 2θ = − –––––––2 τxy
σx − σy
Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerin normali ilex-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
tan2θp tan2θs = −1
σm
2θp ± 2θs = 90o
θ = θsmin
σm
θp ± θs = 45o
τx'y' = (τx'y')max
1
2
θp1
σ1
P
σ2
x
y
P
θ = θsmax
x'
y'
x'
y'
Örnekler
θ = (θs)min
τx'y' = (τx'y')min
(τx'y')min
(τx'y')max
45o45o
P
İki Eksenli Gerilme Hali 16
cos 2θ = ––––R
sin 2θ = ––––––––––R
–– (σx − σy)12
(τx'y')min = − [–– (σx − σy)]2 + τxy21
2√} _________________
VEYA
−τxy
τx'y' = − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
tan 2θ = − –––––––––––– (σx − σy)12
τxy
cos 2θ = ––––R
sin 2θ = ––––––––––––R } (τx'y')max = [–– (σx − σy)]2 + τxy
212√
_________________
τx'y' = − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
− –– (σx − σy)12
τxy
(τx'y')min = − –– (σ1 − σ2)12
(τx'y')max = –– (σ1 − σ2)12
τx'y' = (τx'y')max
τx'y' = (τx'y')min
Kayma gerilmesinin ekstremum değerlerini, x-y eksenlerindeki gerilme bileşenlericinsinden veren bağıntılar:
Kayma gerilmesinin ekstremum değerlerini,asal gerilmeler cinsinden veren bağıntılar:
R = [–– (σx − σy)]2 + τxy21
2√_________________
2θ
R
R tan 2θ
τxy R cos 2θ
R sin 2θ
− –––––––––– R–– (σx − σy)12
τxy
− ––(σx−σy)12
2θ
R
R tan 2θ
−τxy
R cos 2θ
R sin 2θ
––(σx−σy)12
(τx'y')max = R
(τx'y')min = − R
θ = (θs)max
θ = (θs)min
(θs)max = (θs)min ± 90o
− –––––––––– R–– (σx − σy)12
τxy
İki Eksenli Gerilme Hali 17
σθθ
τ
n
Mohr çemberine mahsus işaret kabulü
σn
τn
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σx > 0τxy > 0
σy
τyx
(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri
Örnekler
σx
σy
τxy
τyx
y
σxτxy
σy > 0
τyx > 0
x
σθθ
τ
n
σn
τn
σ > 0τ < 0
σ > 0
τ > 0
Bazı kaynaklarda bunun tersi seçilir. Bu seçim keyfidir.
τ = −τxy
Mohr çemberi üzerinde bir noktaya karşılık gelen bir yüzeye etki eden gerilme bileşenleri için
σ = σx
τ = τyx
σ = σy
n
n
τ = τn
σ = σn
Mohr çemberi
x'
x
y
σx
σy
τxy
τyx
τx'y'
θθ
y'
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
τx'y' = 0 − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12σx'
İki Eksenli Gerilme Hali 18
σn
σn
τn τ < 0
Mohr çemberine mahsus işaret kabulümüze ve şekle göre bu gerilmenin işareti negatiftir.
σ = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
τ = 0 + –– (σx − σy) sin 2θ − τxy cos 2θ 12
→
→
[σ − –– (σx + σy)]2 = [–– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ]21
212
τ 2 = [–– (σx − σy) sin 2θ − τxy cos 2θ]212+
[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx − σy)]2 + τxy21
212τ = 0 → tan 2θ = –––––––
2 τxy
σx − σy
İşaret kabulüne ve şekle göre bu gerilmenin işareti pozitiftir.τ = −τx'y'
Mohr çemberi üzerinde bir noktayakarşılık gelen yüzey
→
Mohr çemberinin denklemiAsal eksenler ile x, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Mohr çemberiAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeydeki gerilme bileşenleriniasal olmayan gerilmeler cinsinden veren bağıntılar
{
→
Asal olmayan ve sabit tutulan x, y eksenleri keyfi olarak seçilebilir veya problemde verilmiş olabilir.
→- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.
Mohr çemberi nedir?
- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterilimidir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenlerdeki gerilme bileşenlerini veren grafiktir (x'-y' eksenleri döndürülen eksenlerdir).
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
R = τmax = [–– (σx − σy)]2 + τxy
2√ 2
τmin = − –– (σ1 − σ2)12
τmax = –– (σ1 − σ2)12
σm = –– (σx + σy)12
1
[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx − σy)]2 + τxy21
212
σm = –– (σ1 + σ2) 12
σ1 = –– (σx + σy) + [–– (σx − σy)]2 + τxy21
212√
σ2 = –– (σx + σy) − [–– (σx − σy)]2 + τxy21
212√
σmax = σ1 = σm + R
σmin = σ2 = σm − R
↓
θp1
θp2
↓
İki Eksenli Gerilme Hali 19
tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
θs ± θp = 45o
tan2θp tan2θs = −1
→
→
tan 2θ = − –––––––2 τxy
σx − σy
↓
(θs)max ↓
(θs)min
→
→
Mohr çemberinin denklemi
Behcet DAĞHAN
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
σx
σy
τxy
τyx
x
y
σxτxy
σy
τyx
στ < 0
x'
y' x'
y'
στ > 0
τx'y' > 0
x'
x
yτx'y'
σx'
n
σy'
σx
σy
τxy
τyx
y'
σn
τn
τy'x'
τσ
θθ
İki Eksenli Gerilme Hali 20
(σ,τ)
τn
σn
(σ = σx , τ=−τxy)
(σ = σ1 , τ=0)
(σ = σy , τ=τyx)
τ
σ
τx'y'
σx'
2θ
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
(σx' = σx , τx'y' =τxy)
(σx' ,τx'y')(σx' = σy , τx'y' =−τyx)
(σx' = σ1 , τx'y' =0)(σx' =σ2 ,τx'y' = 0)
τx'y' = −τ
σx' = σ
(σ=σ2 ,τ=0)
n
n
(σ = σm , τ=τmin)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')max)
(σ = σm , τ=τmax)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')min)
τx'y' < 0
Behcet DAĞHAN
C (σ,τ)
τn
σn
B (σ = σ1 ,τ = 0)E (σ = σ2 ,τ = 0)
D (σ = σy ,τ = τyx)
τ
σ
τx'y'
σx'
A
Dθ = 90o
τxyσx
στxy
σx
τyx
σy
τyx
σy
τxyσx
σ
τxy
σx
τyx
σy
τyx
σy
στxy
σx
τyx
σy
B
θ = 0
θ = θp1
θσ
τxy
σx
τyx
σy
C θ
σ1
θ
στxy
σx
τyx
σy
Eθ = θp2
σ2 σ
x
x'
x
x'
x'
x
x
x
x'
x'
2θ
θ = θp1
θ = θp2
İki Eksenli Gerilme Hali 21
A (σ = σx , τ=−τxy)
τ< 0
τ> 0
n
n
n
n
n
τ> 0
Behcet DAĞHAN
0 0
x
y
12
x'y'
45o
n
45ox'
x'y'
45o
=
=
= 90o
= 0
İki Eksenli Gerilme Hali 22
Kutup
n
n
_
nn
x'
x'y'
x
x'
x'
n
ny
x
x'
y'n
n
n
x
xx'
n
x'x'y'
y'
x'ny
xy'
(σx ,−τxy)
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
(σy ,τyx)τ
σ2θp1
tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
σx
σy
τxy} verilenler ise →
θp1 veya θp2
→
tan 2θ > 0σx > σy
τxy > 0→ θ > 0
0 < θ < 45o
→
x
y
1
2
θ = θp1
45o
θ = θp1
P
Behcet DAĞHAN
σ1 σ2
σ2 σ1
θ < 0
2θ < 0
İki Eksenli Gerilme Hali 23
σx > σy →
(σx ,– τxy)
(σ1 ,0)
(σy ,τyx)
τ
σ
2θp1
tan 2θ < 0σx > σy
τxy < 0→ θ < 0
– 45o < θ < 0
→1
2
θ = θp1
45o
σ2 σ1
P
σ1 σ2
Behcet DAĞHAN
θ > 0
2θ > 0
(σ2 ,0)
x
yσx
σy
τxy} verilenler ise →
→
İki Eksenli Gerilme Hali 24
tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
θp1 veya θp2
θ = θp1σx > σy →
τ
σ
2θp2
1
2
θ = θp2
45o
σ2 σ1
P
σ1 σ2
Behcet DAĞHAN
(σy ,τyx)
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
σx
σy
τxy} verilenler ise →
→
x
y
İki Eksenli Gerilme Hali 25
tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
(σx ,– τxy)
σx < σy
τxy < 00 < θ < 45o
tan 2θ > 0 → θ > 0→
θp1 veya θp2
θ = θp2σx < σy →
τ
σ2θp2
y
12
θ = θp2
45o
σ1 σ2
P
σ2 σ1
x
Behcet DAĞHAN
(σy ,τyx)
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
σx
σy
τxy} verilenler ise →
→
İki Eksenli Gerilme Hali 26
(σx ,– τxy)
tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
tan 2θ < 0σx < σy
τxy > 0→ θ < 0→
– 45o < θ < 0
θp1 veya θp2
θ = θp2σx < σy →
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
(σ,τ)
(σx ,−τxy)
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
(σm ,τmax)
(σy ,τyx)
(σm ,τmin)
τ
σ2θ
σ1 > 0
σ2 > 0
σ1
σ2
00000
00( (σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
σ3 = 0
(σ3 ,0)
İki Eksenli Gerilme Hali 27
σ1 ≥ σ2
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
(σ,τ)
(σx ,− τxy)
(σ1 , 0)(σ2 , 0)
(σm , τmax)
(σy , τyx)
(σm , τmin)
τ
2θ
σ1 > 0
σ2 < 0
σ
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
σ3 = 0
(σ3 , 0)
σ1
σ2
00000
00( (
σ1 ≥ σ2
İki Eksenli Gerilme Hali 28
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
σ
(σ,τ)
(σx ,− τxy)
(σ1 , 0)(σ2 , 0)
(σm ,τmax)
(σy , τyx)
(σm , τmin)
τ
2θ
σ1 < 0
σ2 < 0
(σ − σm)2 + τ 2 = R2
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
σ3 = 0
(σ3 , 0)
σ1
σ2
00000
00( (
İki Eksenli Gerilme Hali 29
σ1 ≥ σ2
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
x'
τx'y'
τ σθ
θ
y'
σx'
[σ − –– (σ1 + σ2)]2 + τ 2 = [–– (σ1 − σ2)]212
12
σ = –– (σ1 + σ2) + –– (σ1 − σ2) cos 2θ12
12
τ = 0 + –– (σ1 − σ2) sin 2θ12
σ1
σ2
1x
2 y
σx = σ1
τxy = 0
σy = σ2
(σ,τ)
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
τ
σ
τx'y'
σx'
2θ
σx
σy
İki Eksenli Gerilme Hali 30
θ
x-y eksenleri, asal eksenler ile çakıştırılırsa:
n
σ1
T
φ
İki Eksenli Gerilme Hali 31
Behcet DAĞHAN
Tmax
σ1
θT
1
2
σ1
σ1
σ2
θ
σ2
σ2
σ2
φ
θ = 0φ = 0
σ1
σ2
σ2
θ = 90o
φ = 0
σ1
1
2
T σ
τ
Tmin
[σ − –– (σ1 + σ2)]2 + τ 2 = [–– (σ1 − σ2)]212
12
TmaxTmin
T 2 = σ 2 + τ 2
1
2
σ = T cosφ
τ = T sinφ
σ1
T
1
2
σ2
φ
σ
τ
θ = 90o
θ = –90o
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimiAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
n
n
n
n
√ σ12 cos2 θ + σ2
2 sin2θcosφ = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
σ1 cos2 θ + σ2 sin2θ
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
τ
σ
İki Eksenli Gerilme Hali 32
θ > 0 θ = 0
θ = 90o
θ = –90o
θ = 180o
θ = –180o
θ = 90o
θ = –90o
θ = 45
o
θ = 135 o
θ = –45 o
θ = –
135
o
θ < 0θ = 0
Döndürülen yüzeyin normalinin asal eksenler ile yaptığı açının Mohr çemberi üzerindeki yerleri
(σm ,τmax)
(σm , τmin)
σ1
T
İki Eksenli Gerilme Hali 33
Behcet DAĞHAN
Tmax
σ1
σ2
θ
σ2
σ2
σ1
T σ
τ
T
θ
Tθ
θ = 0
θ = 90o
Tmax= σ1
θ = –90o
θ = 180o Tmax= σ1
Tmin = σ2
Tmin = σ2
T 2 = σ12 cos2 θ + σ2
2 sin2θ
T
Kutup
T
T
TmaxTmin
A
D
A
B
C
H
F
H
1
2
θ = 90o
θ = –90o
θ = –180o
E
F
G
D
B
C
E
G
θ = 90o
θ = –90o
θ = 0
σ1
σ2
σ2
σ11
2
Tmin
Tmax
σ1
σ2
σ2
σ1
2
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi
Polar koordinatlarda- T, ekstremum değerlerini etki ettiği yüzeye dik olduğu zaman almaktadır.- T, yüzeye dik olduğu zaman asal gerilme adını alır.- T, yüzeye dik olduğu zaman σ ya eşit olur.- σ, T nin dik bileşeni olduğu için T den büyük olamaz.Dolayısıyla:
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.
n
n
n
- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır. Üçüncüsü sıfırdır.