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Introducción
• El objetivo de esta plática es mostrar la relación entre el concepto de Geometría en un espacio y la noción de Grupo de Lie.
• Veremos que tales nociones son conceptos que están fuertemente relacionados.
Variedades
• En su forma mas elemental, el concepto de Geometría se construye sobre variedades diferenciables.
• El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es el dado por la gráfica de una función suave.
Ejemplos de Variedades
• También son variedades aquellos subespacios de Rn que localmente se pueden ver como gráficas de funciones suaves.
Ejemplos de Variedades
• No toda variedad es el conjunto de ceros de una función suave.
• No todo conjunto de ceros de una función suave es una variedad.
Variedades abstractas
• Más generalmente, una variedad es un espacio localmente Euclideano con cambios de coordenadas suaves. Esto permite desarrollar cálculo diferencial e integral en una variedad.
Grupos de Lie
• Un Grupo de Lie G es un espacio que es variedad y grupo a la vez, con estructuras compatibles. Es decir, las operaciones de grupo son mapeos suaves.
Grupos de Lie y Geometría
• es el grupo de transformaciones que preservan volumen en Rn.
• es el grupo de movimientos rígidos en Rn.
• es el grupo de movimientos rígidos en el espacio de Minkowski (R4,I1,3).
Geometría Esférica
• La esfera n-dimensional Sn ½ Rn+1 posee una distancia definida por:
• Podemos medir ángulos entre curvas en Sn con el producto interno de Rn.
• Las curvas más cortas son círculos máximos.• es el grupo de transformaciones de Sn que
preserva tal Geometría.
Geometría Hiperbólica
• El espacio hiperbólico n-dimensional se puede definir como:
• Posee una distancia y ángulos entre curvas definidos como antes.
• Las curvas más cortas son la intersección de Hn con planos en Rn+1 que pasan por el origen.
• es el grupo de transformaciones de Hn que preserva tal Geometría.
• Hn es definido por la condición:
Geometrías y Grupos
• Klein observó que en los ejemplos anteriores y en muchos más, la Geometría está codificada en el grupo de transformaciones que preserva sus invariantes.
• Podemos recuperar la Geometría de un espacio X si sabemos el grupo G de “isometrías” y su acción sobre X.
Geometrías de Klein
• Una Geometría de Klein es un par (G,H) de grupos de Lie con H es subgrupo cerrado de G.
• El espacio de la Geometría de Klein es X = G/H.• Los invariantes geométricos son aquellas
estructuras u objetos sobre X que sean invariantes bajo la acción de G.
Haz tangente• Si X ½ Rn es una variedad, el espacio tangente a X en un punto x0
es el subespacio afín Tx0X que mejor aproxima a X en x0.
• Para cualquier variedad X, es espacio tangente Tx0X se puede
definir mediante clases de equivalencia de los siguientes objetos en X:– Curvas.– Cartas o sistemas de coordenadas.– Operadores de orden 1.
• El haz tangente de X se define por la unión disjunta:y representa la “linealización” de X.
• El haz tangente de S1 es difeomorfo al cilindro.
Haz lineal de referencias.
• Para estudiar las propiedades del haz tangente TX, se introduce el haz lineal de referencias:
• El grupo Gl(n,R) actúa por la derecha sobre L(X) por composición de mapeos lineales.
Haz lineal de referencias.
• Las órbitas de Gl(n,R) en L(X) son precisamente las fibras de la proyección natural L(X) ! X.
• L(X) es una forma alternativa de “linealizar” a la variedad X, cuya ventaja es emplear grupos.
Haces Principales
• Un haz principal sobre X es dado por un esquema como el anterior:
• Propiedades:– H actúa sobre P con cociente X, i.e. X = P/H.– P es localmente difeomorfo a X£H bajo
difeomorfismos H-equivariantes.
Ejemplo básico de haz principal
• Si H es subgrupo cerrado de un grupo de Lie G, entonces el esquema:
define un haz principal.• Dadas las Geometrías de Klein, esto sugiere usar haces
principales para definir Geometrías en espacios más generales que los homogéneos.
Estructuras Geométricas
• Una H-Estructura Geométrica en X es una reducción suave
del haz
a un subgrupo cerrado H de Gl(n,R).
Ejemplos de Estructuras Geométricas
• Las siguientes valores de H definen las estructuras geométricas indicadas:
Ejemplo: Métricas Riemannianas
• Sea P una reducción de L(X) al subgrupo O(n). Dado L1 en la fibra de P sobre x0 el isomorfismo L1 : Rn ! Tx0
X define un
producto interno en Tx0X.
• Para cualquier otra elección L2 en la fibra sobre x0 existe A 2 O(n) tal que el siguiente diagrama conmuta.
• Por tanto, el producto interno en Tx0X no depende de la
elección de L.
Isometrías
• Todo difeomorfismo : X ! X define un difeomorfismo:
donde L esta en la fibra sobre x0.• La acción de (1) desciende a la de .• Las acciones de (1) y Gl(n, R) conmutan.
Isometrías• Dada una H-estructura P½L(X), el difeomorfismo : X ! X es una
isometría si (1)(P) = P. En tal caso, el siguiente diagrama conmuta, para cualesquiera L1,L22P en las fibras correspondientes.
• También tenemos el siguiente diagrama conmutativo:
Grupos y H-Estructuras
• Algunos problemas generales:1. Condiciones para la existencia de una H-estructura.2. Estudiar las propiedades del grupo de isometrías de
una H-estructura.3. Dada una G-acción sobre X, determinar las H-
estructuras invariantes.4. Clasificar las H-estructuras por sus propiedades.5. Determinar las H-estructuras que admiten una
conexión o invariantes similares a una conexión.• En tales problemas hay dos enfoques:
1. Fijar H y estudiar las H-estructuras.2. Considerar diferentes posibles grupos H. En este
caso, podemos fijar una G-acción sobre X.
Geometría y Sistemas Dinámicos
• Dado un grupo G, nos interesa estudiar las G-acciones (la dinámica de G) empleando estructuras geométricas.
• Opciones para G:– G compacto. Topología de G es interesante, pero la
dinámica de G-acciones es “trivial”.– G soluble. Dinámica interesante pero “relajada” en
exceso.– G semisimple sin factores compactos. Dinámica
interesante y con propiedades rígidas.
Programa de Zimmer
• Clasificar las variedades compactas X que admiten una acción de un grupo de Lie G simple no compacto.
• Conjetura: Todas las acciones son de tipo algebraico:
1. X = K\H/, G subgrupo de H, K½CH(G).2. X = G/P, P parabólico.3. Construcciones algebraicas o topológicas
(cirugía) de los ejemplos anteriores.
Grupos Simples y Superrigidez
• Enunciaremos algunos resultados que muestran que la dinámica de los grupos semisimples sin factores compactos es rígida.
• Algunas de la herramientas empleadas:– Teoría ergódica.– Geometría algebraica.– Estructuras geométricas con (algún tipo de) conexión.– Teoría de grupos algebraicos.– Teoría de representación de álgebras de Lie.– Flujo de calor y mapeos armónicos.– Geometría de foliaciones.– Geometrías de grupos discretos (gráficas de Cayley).
Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Zimmer):Sea G un grupo de Lie semisimple conexo y sin factores compactos. Si G preserva una H-estructura (H algebraico) y una medida finita sobre una variedad X, entonces existe un encaje local G ! H
Teorema (Zimmer):Sea G un grupo de Lie semisimple conexo y sin factores compactos. Si G preserva una medida finita suave sobre una variedad X, entonces G actúa localmente libre sobre X. En particular las G-órbitas en X definen una foliación.
Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Zimmer):Sea G un grupo de Lie simple conexo y no compacto. Si G preserva una métrica de Lorentz sobre una variedad compacta X, entonces G es localmente isomorfo a Sl(2,R).
Grupos Simples y Superrigidez
Teorema del Centralizador (Gromov, Candel-Quiroga):Sea G un grupo simple conexo no compacto que actúa analíticamente sobre una variedad X preservando (algún tipo de) conexión y un volumen finito. Entonces en el recubrimiento universal de X existe un grupo local G de isometrías tal que:
1. El grupo local G es 1(X)-invariante.2. La acción de G centraliza a la acción de G.3. Las G-órbitas contienen a las G-órbitas.
Teorema (Gromov, Candel-Quiroga):Con G y X como antes, existe una representación : 1(X) ! Gl(m,R) cuya imagen posee una cerradura de Zariski que contiene un grupo localmente isomorfo a G. En particular, 1(X) no es “amenable”.
Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Quiroga):Con las hipótesis anteriores, supongamos además que n0=m0, donde n0, m0 son las dimensiones de los conos nulos de X y G, resp. Entonces existe una fibración principal:
donde H es un grupo de Lie, K es compacto y es un subgrupo discreto. Es decir, hasta un recubrimiento finito tenemos
X = K\(G £ H)/
Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Quiroga):
Con las hipótesis anteriores, supongamos ahora que X es irreducible. Entonces:
• dim X ¸ dim G + dim V, donde V es un G-módulo irreducible no trivial de dimensión minimal.
• Si dim X = dim G + dim V, entonces G = SO(p,q) (hasta recubrimiento finito) y el recubrimiento universal de X es Spin(p,q+1) o Spin(p+1,q).
Este resultado concluye que la variedad X misma es esencialmente un grupo de Lie.