Geometría y Física

GEOMETRA Y FSICA,CARA Y CRUZ DE UNA MISMA MONEDA?

PEDRO LUIS GARCA PREZ

Real Academia de Ciencias y Universidad de Salamanca

INTRODUCCIN

Desde los griegos a la actualidad, a lo largo de ms deveinticinco siglos de historia, nunca se ha puesto en dudaque la ciencia es el resultado de la interrelacin de treselementos bsicos: la realidad o conjunto de los denomi-nados hechos objetivos; la observacin de los mismos me-diante la experimentacin; y la teora, que construida apartir del ms preciado de los dones del hombre, el pen-samiento, trata de proporcionar una visin racional de loshechos. Sin estos tres elementos no slo es imposible laciencia, sino, ms an, el que se pueda hablar de algo ex-terno a nosotros con sentido. Son dichos elementos el im-plcito punto de partida de toda consideracin sobre elmundo que nos rodea, siendo su explicitacin en cadaparcela concreta del saber el destino ltimo del conoci-miento cientfico.

Bajo esta concepcin, la matemtica, al considerarsecomo un tpico producto del pensamiento, independien-te de toda experiencia, tal y como es entendida desde lavisin axiomtica, debera ser diferente de las dems cien-cias, por cuanto sus conceptos, proposiciones y resulta-dos no se refieren a la realidad. Sin embargo, y esto es loque a lo sumo se admite desde esa visin, al estar nor-malmente inspirados sus principios bsicos en alguna par-cela de la realidad, esta disciplina tendra que tener algntipo de relacin con las otras ciencias, cuya aclaracin encada caso concreto se presenta como una cuestin funda-mental.

El caso ms claro al respecto es la geometra, la ms ra-cionalmente pura de las doctrinas matemticas, despusde la aritmtica, pero tambin de las ms enraizadas en larealidad desde sus mismos comienzos. Recurdese quegeometra es la medida del terreno en su acepcin origi-nal. De hecho, la geometra eucldea fue hasta comienzosdel siglo XX el marco espacial nico en el que se desenvolvila fsica, considerndose por tal motivo a esta doctrinacomo el captulo cero de esta ciencia.

El descubrimiento a fines del siglo XIX de geometrasdistintas de la eucldea, unido a la revisin de los fun-damentos de la fsica iniciada por Einstein a principios

Albert Einstein (1879-1955).

del XX, tuvieron como principal consecuencia la crecien-te absorcin de la fsica por la geometra. La rgida dis-tincin entre conceptos geomtricos y fsicos de la etapaanterior se fue difuminando cada vez ms a costa del sa-crificio del marco euclidiano de la fsica. De este modo sellega, casi con el nico recurso del pensamiento, a uno delos ms grandes descubrimientos de la ciencia moderna,la relatividad general, con la que se hace realidad uno delos mayores deseos de todos los tiempos: la identidad en-tre fsica y geometra. Con ello culmina un largo periodode desarrollo de la geometra diferencial y de la fsica teri-ca que, iniciado en el siglo XVII con la aplicacin del clculoinfinitesimal a la geometra, tuvo a la gravitacin newto-niana y al electromagnetismo de Maxwell como sus msseeras doctrinas.

Fuera de esa maravillosa sntesis, cuyo dominio naturalde aplicacin es el mundo macroscpico, queda la fsicacuntica, autntica asignatura pendiente de los ltimos

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Sir Isaac Newton (1643-1727).

James Clerk Maxwell (1831-1879).

cien aos en lo que a su formulacin terica se refiere.Con la incorporacin de nuevos y sorprendentes hechos,slo accesibles a travs de una experimentacin cada vezms agresiva y sofisticada, la fundamentacin de esta nue-va rama de la fsica a cargo de una impresionante nmi-

na de cultivadores (Bhr, Schrdinger, Heisenberg, Di-rac, Von Neumann, Feynman, Gellman, etc.) no ha lle-gado, ni mucho menos, al nivel de comprensin alcanza-do en el dominio clsico tan esplndidamente coronadopor la teora de la relatividad. No es de extraar, pues,que tras la euforia de ms de cuarenta aos que produjola formulacin analtico-funcional de la mecnica cun-tica, se despertase un inters creciente por la geometriza-cin de las nuevas ideas con objeto de comprenderlas me-jor y de relacionarlas con la mentalidad anterior, tarea estaa la que se han dedicado muchos esfuerzos en los ltimostreinta aos.

ste es, a grandes rasgos, el marco general en el que voya situar esta conferencia sobre geometra y fsica de la ter-cera edicin del Programa de Promocin de la CulturaCientfica de la Real Academia de Ciencias, con la quedeseo, sobre todo, poner de manifiesto en el mbito con-creto de estas dos ciencias, algunos aspectos de ese grantema de siempre, que es: el de la naturaleza de las mate-mticas en relacin con el resto de las ciencias.

Con este objetivo en mente, empezar con unos brevescomentarios sobre la geometra eucldea, desde su con-cepcin original a su formulacin analtica, destacandocomo principal aportacin de la primera el llamado m-todo axiomtico, y de la segunda el concepto de sistema dereferencia, con lo que se consigue por primera vez una ca-racterizacin terica de la idea de observacin en geome-tra. En este escenario es, precisamente, donde se desa-rrolla la fsica clsica, tema al que dedicar algunas palabras.As llegamos a la tercera parte de la exposicin, donde sedescribe la concepcin moderna de la geometra, estable-cida por Flix Klein en 1872 en su famoso Programa deErlangen, a la vez que mostramos la cara fsica del nuevopunto de vista representada por la teora de la relatividadespecial propuesta por Einstein en 1905. La extensin deestas ideas a la fsica de campos a propsito de la relati-vidad general, y su encaje natural en la geometra dife-rencial sern tratados a continuacin. Por ltimo, me re-ferir a las sorprendentes relaciones descubiertas en losltimos treinta aos entre la geometra y la fsica cunti-ca, que estn siendo tan beneficiosas para la matemticapura como esperanzadoras para una mejor comprensindel mundo microscpico.

D E LA GEOMETRA EUCLDEA A LA GEOMETRA

ANALTICA: QU ES OBSERVAR?

No hay geometra terica antes de los griegos. Las ma-temticas egipcia, mesopotmica y babilnica no pasaronde ser un simple compendio de observaciones empricasde una serie de hechos geomtricos, aritmticos y hasta al-gebraicos, con una finalidad esencialmente prctica. Paralos hombres de esas culturas no existi nunca la necesidadde una explicacin terica de los hechos, sentimiento esteque aparece por primera vez en Grecia y que constituye elprincipal motor de su grandiosa cultura.

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Flix Christian Klein (1849-1925).

Con los griegos, la geometra se convirti en una deli-cada construccin mental que, plasmada en los famososElementos de Euclides, fue la principal referencia mate-mtica hasta la invencin del clculo infinitesimal, con-tinuando con una destacada presencia en los siglos pos-teriores. As, por ejemplo, en el prlogo de la primeratraduccin inglesa de esta obra en 1570, Billingsley es-cribe: Sin el estudio diligente de los Elementos de Eucli-des, es imposible adquirir un conocimiento perfecto de lageometra, y consecuentemente de las otras ciencias ma-temticas. Y Bonnycastle, en el prefacio de su edicin delos Elementos, dice, ya finalizando el siglo XVIII: De to-dos los trabajos de la antigedad que han sido transmitidoshasta el presente, ninguno es tan universal y estimado comolos Elementos de geometra de Euclides.

La principal aportacin de la visin griega de la geometraRe, sin duda alguna, la axiomtica. Segn este mtodo, quems tarde se extendi a otras ciencias, los hechos geomtri-cos se presentan bajo la forma de ciertos enunciados (los teo-remas), deducibles a partir de unas relaciones primitivas (losaxiomas) que ligan entre s a unos objetos primitivos (punto,recta, plano...). La palabra primitivo significa que tanto a losobjetos como a los axiomas no hay que darles ningn signi-ficado intuitivo o experimental previo. Se trata de una seriede enunciados iniciales que constituyen una especie de de-finicin implcita de los objetos primitivos a la vez que lasreglas de juego para generar toda la doctrina por aplicacindel razonamiento lgico. El nico requisito que deben cum-plir los axiomas es el de ser independientes y no contradic-torios entre s; lo primero, para evitar redundancias, y lo se-gundo, para que la teora sea consistente.

No cabe, ciertamente, mayor esfuerzo de abstraccinpara construir la geometra desde semejante punto de vis-

ta, habida cuenta del directo enraizamiento de los axiomasen la realidad ms inmediata. Ello explica que aunque losgriegos lograran plasmar lo esencial de la doctrina, stano se vio totalmente exenta de algunos procesos encu-biertos cuya clarificacin definitiva no se alcanza hastaprincipios del siglo XX con la axiomatizacin llevada acabo por Hilbert en sus famosos fundamentos de lageometra.

Y si es fcilmente entendible tal esfuerzo mental paramantener separado del razonamiento lgico la constanteintuicin visual de los hechos que tratan de explicarse, nolo es menos la dificultad que comporta el aspecto mtricode la doctrina, por apuntar directamente a uno de los con-ceptos ms problemticos de la historia de las matemti-cas: los nmeros.

Los nicos nmeros admitidos por los griegos eran losnmeros naturales (1, 2, 3, 4,...), identificndose lo quehoy da conocemos como nmeros reales (positivos) conciertas cantidades geomtricas, tales como, segmentos delnea, ngulos, reas, volmenes, etc., que recibieron elnombre genrico de magnitudes. Mediante los denomi-nados axiomas de congruencia, las magnitudes de una mis-ma clase podan compararse por su tamao (menor, igualo mayor), as como sumarse y restarse (la ms pequea dela ms grande). Mientras que el proceso de formacinde algunas magnitudes a partir de otras, tales como la ob-tencin de un rea a partir de dos segmentos de lnea o deun volumen a partir de un segmento de lnea y un rea,podan interpretarse como una especie de multiplicacinde magnitudes cuyo resultado era una magnitud de dife-rente clase.

Resulta fascinante ver cmo a partir de este plantea-miento puede construirse una impecable teora de la me-dida (de reas y volmenes), y tambin establecerse elconcepto de proporcin, base de la teora de la seme-janza.

La admiracin y el respeto por el punto de vista antiguopersisti incluso en el tiempo de Descartes, considerndose

David Hilbert (1862-1943).

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Euclides de Alejandra (325 a. C. - 26b

la aplicacin del lgebra a la geometra eucldea establecidapor el genial filsofo como la principal aportacin de steal desarrollo de la geometra. En particular, con la eleccinde un segmento de lnea como unidad, Descartes logr de-finir para los segmentos de lnea las operaciones usualesde la aritmtica, paso decisivo hacia una nueva visin delconcepto de nmero. En efecto, con Descartes y los desu generacin (Pascal, Fermat, Desargues, etc.) se cae enla cuenta, por primera vez, del carcter abstracto de losnmeros, desligados de su ropaje geomtrico en tanto quemagnitudes euclidianas. Y aunque la formulacin riguro-sa del nuevo concepto tuvo que esperar dos siglos ms,hasta que en 1872 Dedekind defini los nmeros realesmediante la nocin de cortadura en el campo de los n-meros racionales, puede decirse que el espritu de los nue-vos nmeros estaba ya totalmente captado en el siglo XVII.Con ello se entra plenamente en la modernidad, de la manode los nuevos nmeros, del concepto de funcin y delinvento del clculo infinitesimal.

Y es en este ambiente donde nace la geometra anal-tica, que fue concebida y desarrollada, esencialmente, taly como nos ha sido transmitida.

Dados tres ejes perpendiculares entre s y elegido unsegmento de lnea como unidad, se puede establecer unacorrespondencia biunvoca entre los puntos y las ternas denmeros reales, los planos y las ecuaciones lineales en tres in-cgnitas, las rectas y los pares de ecuaciones lineales, etc. Sur-ge as como concepto fundamental, previo a todo lo de-ms, el concepto de espacio (o conjunto de los puntoscaracterizados por sus tres coordenadas numricas). La vi-

sin griega del Cosmos como una coleccin de figurasgeomtricas sumergidas en la nada, cede su lugar a una ideadel Universo como espacio infinito, en el cual lo accesiblea nuestros sentidos pasa a ser ahora un conjunto de obje-tos analticos inmersos en el espacio. Por otra parte, conla introduccin de la funcin medida que permite asignara cada objeto (medible) un nmero real (su medida) seproduce un cambio radical en el planteamiento griego delas cuestiones mtricas. Con palabras de S. S. Chern:

Fue Descartes quien en el siglo XVII revolucion la geo-metra usando coordenadas. Como dijo Hermann Weyl, laintroduccin de los nmeros como coordenadas fue un actode violencia. Desde entonces, figura y nmero, como n-gel y diablo, se disputan el alma de todo gemetra.

Y si revolucionaria fue la nueva caracterizacin tericade la geometra, no lo es menos la nueva concepcin delhecho de observar trado por ella. Si para un griego la ob-servacin de la realidad no es ms que las acciones lleva-das a cabo por un sujeto pensante que, desde fuera de la geo-metra, trata de entender sta tericamente, con el nuevoplanteamiento observador y sistema de referencia son unamisma cosa. De este modo, la idea de observacin se in-corpora conceptualmente a la geometra misma, apare-ciendo el nmero y todo lo que de l se deriva como ele-mentos esenciales de ella. Lo que de la geometra se observadesde un sistema de referencia es ahora un mundo anal-tico que tiene poco que ver con la visin griega de estaciencia. La idea de medicin y clculo constituye la prin-

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cipal preocupacin de la nueva investigacin geomtrica,hecho que coincide, precisamente, con el que inspira a lafsica que nace en esa poca y que, como no poda ser deotra manera, se concibe y desarrolla en ese oportuno marcogeomtrico.

LA FSICA EN SU CONCEPCIN TRADICIONAL

En un famoso discurso pronunciado por Helmholtz en1869, se deca refirindose a esta ciencia:

El fin de la fsica es hallar los movimientos que sirven debase a todos los cambios y descubrir las fuerzas propulsorasde esos movimientos; en suma, convertirse en mecnica.

Nada ms expresivo que esta frase para resumir lo queha sido la fsica clsica desde su aparicin en el siglo XVIIhasta su ocaso en el XIX.

Situada en el espacio de la geometra eucldea, de la queusa a su conveniencia todos sus conceptos y resultados ycon un manejo de la nocin de tiempo deliberadamente in-genuo (lo que se mide con un reloj), la fsica clsica seocupa, esencialmente, de las leyes que rigen la variacinrespecto del tiempo de las funciones representativas de laspartculasy de los campos. Estas leyes, que se expresan porecuaciones diferenciales ordinarias en la variable tiempopara las partculas, y por ecuaciones en derivadas parcia-les en las variables de espacio y de tiempo para los cam-pos, alcanzaron su cnit en las dos grandes teoras de eseperiodo: la gravitacin newtoniana y el electromagnetis-

mo de Maxwell. La primera, en la que se describe el mo-vimiento de los astros por efecto de las fuerzas derivadasdel campo gravitatorio producido por ellos; y la segunda,en la que se trata, anlogamente, el movimiento de laspartculas elctricas en el campo electromagntico queellas generan.

En torno a estas dos teoras se fueron desarrollando otrasnuevas doctrinas (elasticidad, hidrodinmica, termologay transmisin del calor, electrodinmica de los medioscontinuos, etc.) que, por una parte, las complementarony, por otra, extendieron su mtodo a otros fenmenos f-sicos con un xito notable tanto desde el punto de vistaterico como aplicado. Es este el gran momento de lafsica matemtica del XVIII y principios del XIX (Euler,D'AIambert, Lagrange, Laplace, Fourier, etc.), que ya nose contenta con una explicacin racional de los hechossino que trata, adems, de incidir matemticamente sobreellos para controlarlos y sacarles un beneficio prctico.Nace as lo que hoy da entendemos por matemticaaplicada.

Como se ve, bajo esta concepcin, el marco geomtri-co y la fsica que en l se desenvuelve estn perfectamen-te diferenciados. El tiempo es un parmetro externo al es-pacio eucldeo tridimensional en el que las dos nocionesfsicas fundamentales (las partculas y los campos) evolu-cionan al transcurrir aqul. Puede decirse que toda teorafsica est basada, segn este planteamiento, en una espe-cie de combinacin (G) + (F), de una parte geomtrica(G), y de una parte fsica (F), donde la primera est rgi-damente fijada por la geometra eucldea, mientras que lasegunda vara de una doctrina a otra, considerndose todolo referente a ella como la fsica propiamente dicha de ladoctrina en cuestin.

Rene Descartes (1 596-1650). Cari Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

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Y es en relacin con esta parte fsica donde desempeaun papel decisivo la as llamada mecnica analtica. Esta-blecida por Lagtange en 1788, siguiendo las pautas delclculo de variaciones introducido por Euler unos aosantes, su principal hallazgo no es tanto la caracterizacinde los movimientos de un sistema fsico como solucionesde un problema de extremos para una cierta funcional,como el haber descubierto un procedimiento cannicopara definir las nociones mecnicas fundamentales (ecua-ciones de movimiento o de campo, estados, magnitudesdinmicas, etc.) a partir del concepto de accin. Este pro-cedimiento que, entre otras cosas, zanj una vieja polmicaen torno a lo que deba entenderse por dar una explica-cin mecanicista de un fenmeno fsico, se convirti mstarde, con Hamilton y Jacobi, en el fundamento de lo queen la actualidad se conoce como una estructura mecnica,concepto este que constituye uno de los pilares bsicos dela fsica terica contempornea.

stos son, a nuestro juicio, los aspectos ms destacablesde la fsica clsica en relacin con el tema que nos ocupa.La consideracin de esta ciencia a fines del siglo XIX como

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

un edificio casi perfecto y acabado dio lugar a innumera-bles afirmaciones, un tanto exageradas y entusiastas, como,por ejemplo, la que se atribuye al famoso fsico y mate-mtico ingls William Thomson, ms conocido comolord Kelvin, quien en 1898 lleg a decir:

Hoy la fsica forma, esencialmente, un conjunto perfec-tamente armonioso, un conjunto prcticamente acabado!

Por fortuna, estamos en esos momentos a las puertasdel siglo XX, a punto de aparecer las teoras de la relativi-

dad y de los quanta, con las que se produjo, como es sa-bido, una nueva revolucin de esta ciencia en la quetodava, recin iniciado el siglo XXI, nos encontramosplenamente inmersos.

EL GRAN SALTO O LA RELATIVIDAD ESPECIAL COMO

GEOMETRA EN SENTIDO DE KLEIN

Tras la invencin de la geometra analtica, la geometraantigua basada en la axiomtica sigui desarrollndose ha-biendo incorporado los aspectos ms caractersticos de la

William Thomson, lord Kelvin (1824-1907).

nueva mentalidad, tales como: el espacio como conjuntode los puntos, el concepto de funcin numrica para lascuestiones mtricas, la idea de transformacin, etc. Am-bas geometras se convirtieron desde entonces en sendosmtodos para tratar la nica realidad geomtrica existen-te -la geometra eucldea-, pasando a denominarse: geo-metra analtica y geometra sinttica, respectivamente.Una doctrina clave en ese desarrollo fue la que se llam des-de principios del siglo XIX: geometra proyectiva, cuya lar-ga y brillante historia a lo largo de ese siglo culmin en lanueva concepcin de la geometra, establecida por FlixKlein en 1872 en su famoso Programa de Erlangen.

El marco histrico en el que se sita el nuevo plantea-miento fue el siguiente:

En los ptimeros aos del siglo XIX, la geometra pro-yectiva se puso de actualidad con la publicacin de la Geo-metra descriptiva de G. Monge, director de la EscuelaPolitcnica de Pars. Uno de sus discpulos, Poncelet, es-pecialmente atrado por la parte sinttica de la geometradesarrollada por Monge, se convirti en el fundador de lageometra proyectiva con su libro Tratado de las propie-

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tades proyectivas de las figuras, que bas en el concepto detransformacin proyectiva. Lo que Poncelet observa esque estas transformaciones no conservan las propiedadesusuales de la geometra eucldea, y distingue dichas pro-piedades, denominadas mtricas, de aquellas que perma-necen invariantes por las transformaciones proyectivas,que l llam propiedades descriptivas. Sin embargo, no sealcanzar una exposicin clara y natural de esta cuestinhasta la publicacin de la obra de Cayley, quien conside-ra al espacio eucldeo como un parte de un espacio msamplio (el espacio proyectivo), consistente en aadir alprimero un plano ms (el plano del infinito), al cual dotade una cnica no degenerada imaginaria (el absoluto).A partir de aqu, las propiedades de la geometra eucldealas caracteriza como aquellas que permanecen invarian-tes por las transformaciones proyectivas que dejan fijo elabsoluto (las semejanzas). Fue tal el entusiasmo que pro-dujo en Cayley este descubrimiento, que le hizo exclamaral final de su memoria: la geometra eucldea es una par-te de la geometra proyectiva (...) la geometra proyectivaes toda la geometra.

Por otro lado, hacia 1860, hicieron su aparicin las ideasde grupo y de invarianza, limitadas al principio al do-minio en el que fueron introducidas por sus creadores,Cauchy y Galois, esto es: a los grupos de permutacionesde un conjunto finito de objetos. Pero pronto se ve quelos distintos tipos de transformaciones de la geometraproyectiva tienen estructura de grupo respecto de la com-posicin de transformaciones, apareciendo, en particular,los teoremas de la geometra eucldea como la expresin

de relaciones idnticas entre invariantes o covariantes delgrupo de las semejanzas.

Estas ideas adquieren una forma clara y definitiva conFlix Klein, quien descubre en la estructura de grupo detransformaciones la verdadera esencia de toda doctrinageomtrica, enunciando por fin su famosa definicinde geometra como:

El conjunto de los invariantes respecto de un grupo detransformaciones.

Gaspard Monge (1746-1818).

Arthur Cayley (1821-1895).

Con este nuevo y revolucionario punto de vista se con-sigue una clasificacin estructural de los diferentes teore-mas de la geometra a partir de los grupos correspon-dientes, constituyndose cada clase de teoremas en unageometra diferente: la geometra proyectiva, basada en elgrupo de las proyectividades; la geometra eucldea, enel de las semejanzas; e incluso, las geometras de Lobat-chewski-Bolyai y de Gauss-Riemann, recin descubiertaspor motivaciones de tipo axiomtico, quedaron engloba-das en el nuevo punto de vista al considerarse los gruposde transformaciones proyectivas que dejan invariantes a uncierto tipo de cudricas en el espacio de los planos del es-pacio proyectivo. De este modo, la nocin de geometrallega a tan alto grado de generalidad que, unida a la teo-ra de invariantes desarrollada en su seno, permiti en eldominio de la geometra clsica construir todos los inva-riantes y todas sus relaciones de un modo sistemtico. Des-de ese momento, la geometra clsica se convierte en unedificio prcticamente acabado, dejando de ser ya una in-vestigacin de vanguardia.

Pero volviendo a la idea originaria de Klein, veamoscmo sta se refleja en la interpretacin analtica de la geo-metra.

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Dado un sistema de referencia de la geometra definidapor un grupo de transformaciones, se observa que todos losdems se obtienen aplicando a ste todas las transforma-ciones del grupo, lo cual permite establecer, para cada pa-reja de sistemas de referencia, una correspondencia o cam-bio de coordenadas entre las representaciones analticasdefinidas por ambos sistemas, satisfaciendo tres condicio-nes naturales (de identidad, invertibilidad y transitividad),que no son otra cosa que la traduccin a los sistemas de re-ferencia de los axiomas de grupo. Dar una geometra deKlein resulta equivalente ahora a fijar una familia de siste-mas de referencia en el sentido anterior, donde las nocionesgeomtricas se traducen en expresiones analticas que soncomunicables entre los diferentes miembros de la familiamediante los cambios de coordenadas correspondientes.En otras palabras: nocin geomtrica es toda expresinanaltica que es vista de la misma forma por todos los obser-vadores. La idea de comunicacin entre los diferentes miem-bros de una familia de observadores se convierte as en elrasgo caracterstico de la nueva geometra analtica.

Y es precisamente as como la concepcin kleiniana dela geometra entra en la fsica de la mano de Einstein,donde nocin geomtrica es sinnimo de concepto fsicoy donde la definicin de geometra se corresponde con elfamoso principio de relatividad.

Desde este punto de vista, la mecnica de Newton noes otra cosa que la geometra asociada a los sistemas gali-leanos, que son aquellos que identifican al espacio-tiempocon las cuaternas (x, y , z, i) de nmeros reales, de talmodo que las ecuaciones de Newton se expresan en suforma analtica usual. El grupo correspondiente es el de Ga-lileo, siendo el espacio y el tiempo conceptos fsicos al tra-

tarse de sendos invariantes numricos asociados a lasparejas de puntos. Por el contrario, la velocidad de la luzvara al pasar de un sistema galileano a otro o, dicho de otromodo, las ecuaciones de Maxwell, base del electromag-netismo, no son invariantes respecto del grupo de Galileo.Estas ecuaciones, s que son invariantes, en cambio, res-pecto de otro grupo descubierto por el fsico holandsH. A. Lorentz unos aos antes, mediante el cual aparece otrafamilia de observadores para el espacio-tiempo: los siste-mas lorentzianos. La historia es a partir de aqu bastante bienconocida y no vamos a insistir en ella: decisin de Eins-tein de sustituir el grupo de Galileo por el de Lorentz parafundar la mecnica, donde ahora la constancia de la ve-locidad de la luz s que es un concepto fsico, dejando deserlo en cambio los de espacio y tiempo; propuesta de nue-vas ecuaciones para fundar la dinmica con el resultado deun sustancial cambio en el concepto de energa, etc.

As, la relatividad especial no slo queda comprendiday desmitificada, sino que al lado de la mecnica de New-ton y de las otras geometras clsicas constituye un ejem-plo ms de geometra en el nuevo sentido. Hecho queconstituye un salto gigantesco respecto de la concepcintradicional de la fsica, por cuanto que son los propiosfenmenos objeto de estudio los que configuran la geo-metra en cuyo seno adquirirn sentido. Realidad observa-cin y teora, los tres elementos bsicos del conocimientocientfico, adquieren en este caso un significado claro ypreciso dentro de la propia geometra que ellos generan.La combinacin (G) + (F) de geometra eucldea y de con-ceptos fsicos propiamente dichos de la etapa anterior pasaa convertirse ahora en una pura geometra (G), que ya noser eucldea en general, sino lo que le corresponda segn

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Evanste Galois (1811-1832).

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Galileo Galilei (1564-1642).

su grupo de transformaciones o, equivalentemente, la fa-milia de observadores desde los cuales se mira.

GEOMETRA DIFERENCIAL Y FSICA DE CAMPOS

Ahondando un poco ms en la idea anterior, lo que seobserva en los ejemplos ms simples de geometra (porejemplo, la geometra eucldea, la mecnica newtoniana ola relatividad especial) es que los cambios de coordenadas en-tre los sistemas de referencia que definen a esas geometrasvienen dados por ciertas funciones lineales de IR" en IR"para un cierto n (n = 3 para la geometra eucldea y n 4para la mecnica newtoniana y la relatividad especial).Ello sugiere ampliar estas familias, aadindoles otros sis-temas de referencia cuyos cambios de coordenadas con lafamilia inicial sean funciones con un mayor grado de ar-bitrariedad. Se obtendra as una nueva geometra, que alposeer una familia de observadores ms amplia o, equi-valentemente, un grupo de transformaciones ms gran-de, tendra menos invariantes o conceptos geomtricosque la de partida, convirtindose por tal motivo en unageometra ms general.

Y si es este el proceso en una direccin; es decir, algo ascomo un paso de una geometra lineal a una geometra nolineal, no podra definirse algn tipo de proceso al re-vs?, o dicho de otro modo: sera posible caracterizar dealguna forma este tipo de geometras no lineales, y resca-tar despus las geometras lineales a partir de ellas? Porotra parte, no representaran estas nuevas geometras elverdadero estatus de la doctrina y, acaso tambin, el mar-

co ms adecuado para desarrollar la fsica? Si el descubri-miento de Klein fue esencialmente metodolgico al ponerde manifiesto que toda realidad geomtrica (o fsica) slopuede explicarse en el seno de una geometra modelada pordicha realidad, parece razonable tratar de recorrer el caminoal revs, sentando las bases conceptuales mnimas sobre lasque debera definirse la problemtica general de estas dosciencias.

Nos situamos as en un tercer nivel en la concepcin dela geometra que, descubierto e iniciado su estudio siste-mtico por el genio conceptual de Riemann, pas a con-vertirse en el siglo recin acabado en uno de los ms gran-des logros de la matemtica contempornea: la geometrade variedades. Y es de nuevo de la mano de Einstein comolas nuevas ideas penetran en la fsica, conduciendo estavez a otro de los grandes descubrimientos del siglo XX: larelatividad general.

El marco en el que se plantea la nueva concepcin noes otro que una generalizacin natural de la geometraanaltica, donde los sistemas de referencia no estn defi-nidos ya sobre la totalidad del espacio, y donde se permi-te a los cambios de coordenadas que vengan dados porfunciones reales de cierto tipo general. Con ms preci-sin: se considera sobre un conjunto dado M(el espacio)una familia 'F= {{S, U)} (los sistemas de referencia loca-les), donde cada uno de ellos es una correspondencia biu-nvoca, 5,, de un subconjunto 7, de Ai (el dominio del sis-tema de referencia) sobre un conjunto abierto de W(n: ladimensin del espacio), de tal manera que: la coleccin dedominios {U} cubre M; para cada pareja (5,-, U) y (Sj, Lf)de miembros de 'F, la aplicacin 5, o S'1 (el cambio de co-ordenadas) viene definida por n funciones reales de unacierta clase (por ejemplo: continuas, diferenciables, ana-lticas, etc.) y donde, por ltimo, la familia '^se suponemaximalen el sentido de no estar contenida en ningunaotra familia verificando las condiciones anteriores. Se lle-ga as, bajo el ms puro estilo cartesiano, al concepto ge-neral de iwrzVrfW(topolgica, diferenciable, analtica, etc.,segn la naturaleza de las funciones que definen los cam-bios de coordenadas) con un nmero arbitrario, n, dedimensiones.

El nuevo concepto permiti englobar a todos los tipos deespacios geomtricos conocidos hasta entonces (las curvas ysuperficies del espacio eucldeo ordinario, el espacio pro-yectivo, el conjunto de las configuraciones de un sistemamecnico, etc.), y tambin proporcion la caracterizacingeomtrica del espacio-tiempo como una variedad diferen-ciable de dimensin 4, en la cual se desarrollar la fsica:

Las leyes generales de la Naturaleza tienen que expresar-se por ecuaciones que sean vlidas en todos los sistemas decoordenadas, esto es, que sean covariantes respecto a cual-quier sustitucin, generalmente covariante (Einstein, 1915).

Con este planteamiento, la idea originaria de Riemannconsisti, esencialmente, en fundar la geometra sobre unavariedad dada en un lgebra de funciones y no en un gru-

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po de transformaciones. Centrndonos en el caso diferen-ciable, que es el que ms interesa en fsica, el dato bsicopara construir una geometra sobre una variedad diferen-ciable Mes, segn Riemann, el lgebra A de las funcionesreales sobre Men las que se transforman las funciones di-ferenciables sobre IR" por cualquier sistema de referenciade la familia que define a la variedad. Todos los demsconceptos deben construirse a partir del lgebra de funcio-nes, exclusivamente. En particular, el grupo de la nueva geo-metra que, en el caso que nos ocupa, viene caracterizadocomo el seudogrupo, G, de las transformaciones locales in-vertibles de Mque dejan invariante al lgebra: el denomi-nado grupo de los difeomorfismos locales de la variedad.

Esta idea no debe de extraarnos dado el inters de Rie-mann por la teora de funciones, en la que la nocin devariedad constituye el sustrato espacial necesario para en-tender la multiformidad &c las funciones analticas segnsu original punto de vista. A este respecto, es oportuno in-dicar aqu que fue Klein el primero en desarrollar una

Georg Friednch Bernhard Riemann (1826-1866).

idea ms libre de las superficies de Riemann, al conside-rar este concepto no tanto como un recurso tcnico conorigen en las funciones objeto de estudio, como al revs:el mbito espacial indispensable en el que las funciones de-ben asentarse. As lo expresa H. Weyl en la introduccinde su famoso libro El concepto de superficie de Riemannque, publicado en 1913, constituye un puente clave en-tre la teora de funciones del siglo XIX y la moderna defi-nicin de variedad diferenciable.

Y ya en posesin del nuevo marco geomtrico (varie-dad diferenciable y grupo de sus difeomorfismos locales)en el que se desea construir la geometra o, en el caso delespacio-tiempo, desarrollar la fsica: cules son, ahora,los objetivos concretos de estas dos ciencias? La nueva geo-

metra, denominada geometra diferencial, se ocupa delestudio de los llamados objetos geomtricos sobre una va-riedad diferenciable, mientras que la nueva fsica puede de-cirse, siguiendo a Einstein, que tiene como principal ob-jetivo el estudio de los campos sobre el espacio-tiempo. Lacoincidencia de partida no puede ser mayor si se tieneen cuenta la identificacin que a su vez hizo Einstein de loscampos fsicos con los tensores que, como se sabe, sonlos objetos geomtricos ms simples de los que estn do-tadas las variedades diferenciables.

Si en su versin analtica originaria (fines del siglo XIXy principios del XX: Riemann, Christofel, Ricci-Curbas-tro, Levi-Civita, etc.), los tensores son conjuntos de fun-ciones localmente definidas sobre la variedad que se trans-forman de un determinado modo por los cambios decoordenadas; con su caracterizacin intrnseca a partirdel lgebra de funciones se inaugura, a principios de losaos cincuenta, el lenguaje moderno de esta disciplina. Esla conocida formulacin sin coordenadas de la geometradiferencial, con la que se logra plasmar por fin la prescrip-cin de Riemann de definir todos los conceptos sobre unavariedad a partir de su lgebra de funciones.

El punto de partida del nuevo lenguaje es la caracte-rizacin del espacio tangente Tx{Ad) en un punto xde unavariedad diferenciable M, como el espacio vectorial realde las derivaciones del lgebra de funciones diferencia-bles, A, en los nmeros reales, y la subsiguiente dobleversin del concepto de campo de vectores como unaasignacin (diferenciable) a cada punto xde la variedadde un vector tangente, Dx, en dicho punto, o, equiva-lentemente, como una derivacin, D, del lgebra A en smisma. De este modo, el conjunto de los campos de vec-tores se identifica con el y-mdulo x(M) de los opera-dores diferenciales lineales de primer orden homogneosactuando sobre el lgebra de funciones (localmente,

con las expresiones de la forma D V f'(x) ope-

rando sobre las funciones). A partir de aqu, los tensorespueden identificarse con las aplicaciones y4-multilinealessobre el y4-mdulo X-^0- As, por ejemplo, una mtri-ca de Riemann es una aplicacin g: %(Af) x x(M) ~> A,bilineal, simtrica y definido-positiva (localmente,

g = 2_! Sj (x) dx dXj , donde es el producto tensorial,

para todo campo de vectores D /, f ( alo).

De un modo similar, pueden introducirse las formas di-ferenciales con su producto natural (el producto exterior A)y los diferentes operadores diferenciales (derivadas deLie, diferencial exterior, derivadas covariantes, etc.), conlos que se completa todo el entramado tensorial sobre unavariedad diferenciable.

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El objetivo principal de la geometra diferencial es aho-ra fcil de enunciar:

Sobre los tensores y, en general, sobre los objetos geomtri-cos de una variedad diferenciable, acta de un modo naturalsu grupo de difeomorfismos locales, produciendo un pro-blema de clasificacin: dos objetos geomtricos son localmenteequivalentes si existe un difeomorfismo local que transforma unoen otro. La geometra diferencial puede decirse que tienecomo su ms genuino objetivo resolver este problema de cla-sificacin para los diferentes objetos geomtricos. Y es aqudonde la maquinaria tensorial interviene en toda su extensinproporcionando los invariantes adecuados y la tcnica precisapara abordar este problema. Ms concretamente, el concep-to bsico de la doctrina es el de operador tensorial natural ocon terminologa ms clsica, invariante tensorial sobre lafamilia de objetos geomtricos considerada, el cual vienedefinido como una correspondencia, T, que asigna a cadaobjeto, g de la familia un tensor, T{g), de tal manera que paratodo difeomorfismo local, X, se verifica iT{g) = T(ig).

Con este problema general como objetivo es como na-ci la geometra diferencial como doctrina independiente,empezando con el estudio particular de un primer objetogeomtrico notable: las mtricas de Riemann.

Introducido este concepto en 1854 por Riemann en sufamosa memoria Sobre las hiptesis que estn en la base dela geometra, representa la culminacin de un cuarto de si-glo de frtil desarrollo de la geometra diferencial de cur-vas y superficies del espacio eucldeo ordinario que tuvoa Gauss como su mxima figura. Si las Disquisiciones ge-nerales acerca de las superficies curvas, publicadas por Gaussen 1827, significaron el despegue de la geometra dife-rencial del clculo, con la introduccin de los espacios deRiemann puede decirse que la geometra diferencial entraen mayora de edad. Y es, sobre todo, el modo como se llevel estudio de los nuevos espacios lo que permiti concretarel principal objetivo de esta nueva doctrina.

Dos conceptos fundamentales que Riemann introduceen su clebre memoria son: las curvas geodsicas y el ten-sor de curvatura. Mientras que las primeras van a ser las l-neas rectas de la nueva geometra, el segundo constituye elinvariante tensorial bsico del que estn dotadas las m-tricas. De hecho, el descubrimiento y el uso que se hacede este invariante es, sin duda alguna, la aportacin msrelevante de la geometra riemanniana.

Con ms precisin: Riemann define para cada mtrica,g= (g,j{x)) un tensor 1-contravariante 2-covariante,Curv g= (R'jM (x)), el tensor de curvatura de la mtrica,cuyas componentes, R'-]k (x) dependen de las componen-tes de la mtrica, g(x), hasta sus segundas derivadas, ydonde la asignacin g Curv ges un invariante tensorialen el sentido anteriormente apuntado; esto es, para tododifeomorfismo local, X, se verifica xCurv g= Curv Xg.

Este tensor constituye el concepto clave de la geometrariemanniana en el marco de la problemtica general de lageometra diferencial que hemos enunciado antes. En par-ticular, proporciona una medida de la desviacin de la eu-clicidaden el siguiente sentido: Curv g 0 es la condicin

necesaria y suficiente para que una mtrica de Riemannsea localmente eucldea, esto es: que exista un sistema decoordenadas locales (x) respecto del cual:

Este resultado es, ciertamente, modlico, entre otras,por las siguientes razones:

Resuelve del modo ms simple posible el problema deequivalencia local para las mtricas de Riemann con ten-sor de curvatura nulo: slo existe una clase de equivalenciade dichas mtricas, las eucldeas. Permite rescatar la geometraeucldea desde la geometra diferencial, al caracterizar elgrupo eucldeo como el subgrupo de los difeomorfismosque dejan invariante la mtrica. Por otra parte, las geo-dsicas correspondientes son, como caba esperar, las rec-tas euclideanas. Con un entusiasmo parecido al que lehizo exclamar a Cayley su famosa frase en cuanto a la re-lacin entre las geometras eucldea y proyectiva, podra-mos decir ahora: la geometra eucldea es una parte de lageometra diferencial (...) la geometra diferencial es todala geometra. Por ltimo, introduce un elemento nuevoen geometra, esto es: la definicin de ciertos objetos geo-mtricos como soluciones de un sistema de ecuacionesdiferenciales; en nuestro caso, el sistema de ecuaciones enderivadas parciales de segundo orden:

RM**M'^ dx ' dx dxm= 0

de incgnita una mtrica.Siguiendo en esta lnea, y pasando ahora a la fsica, si

se consideran mtricas no singulares con un ndice deinercia arbitrario, el resultado anterior es igualmentevlido. En particular, en el caso del espacio-tiempo, M4,y de las mtricas no singulares de ndice de inercia 3 (lasmtricas de Lorentz) se tiene tambin que la anulacindel tensor de curvatura es una condicin necesaria y su-ficiente para que existan sistemas de coordenadas locales{x, y, z, i) respecto de los cuales la mtrica se expresa dela forma:

g= dx1 + dy1 + dz1 c2 dt1

Se rescata as la relatividad especial a partir de las m-tricas de Lorentz sobre el espacio-tiempo, exactamenteigual a como se hizo para obtener la geometra eucldeaa partir de las mtricas de Riemann. Esta mtrica seudo-eucldea es la tan celebrada mtrica de Minkowski, mien-tras que los sistemas de coordenadas locales (x, y, z, t)anteriores son los sistemas inerciales. Por otra parte, elgrupo inhomogneo de Lorentz, base de la relatividadespecial, viene caracterizado, anlogamente, como el sub-grupo de los difeomorfismos del espacio-tiempo que

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dejan invariante la mtrica de Minkowski. sta es laestructura geomtrica precisa de la relatividad especial,donde el electromagnetismo clsico adquiere su verda-dero sentido.

En efecto, la clase de tensores que definen un campoelectromagntico son las 2-formas, F, satisfaciendo las ecua-ciones de Maxwell:

dF= 0 , divf F= 0

donde des la diferencial exterior y divf la divergencia res-pecto de la mtrica.

Si en un sistema de coordenadas locales (x, y, z, t) elnmero de componentes de Fes justo el que se necesitapara describrir el campo en cuestin:

F- HJx f\dy- Hydx A dz + Hjy A dz + Exdx A dt ++ ydy A dt + Ezdz A dt

donde (Ex, Ey, E) y (Hx, Hy, Hz) se interpretan como uncampo elctrico y un campo magntico en el sistema decoordenadas considerado), las ecuaciones de campo an-teriores son las ms sencillas en la incgnita i7 que satis-facen la condicin de invarianza Lorentz.

Esta observacin tan simple ilustra muy bien la enormerigidez que tiene la teora tensorial a la hora de identificarlos campos fsicos y sus correspondientes ecuaciones decampo con los tensores y sus posibles ecuaciones tenso-riales invariantes. Sin embargo, esta rigidez en la eleccinde una teora de campos no encuentra su explicacin natu-ral hasta que la doctrina no se formula variacionalmente.Con ello, volvemos a hablar de este importante tema alque ya nos referimos al comienzo de nuestra exposicin.

Como se dijo entonces, lo esencial del formalismo va-riacional en fsica es que proporciona una caracterizacincannica de las nociones bsicas de un sistema fsico apartir del concepto de accin. Constituye, ciertamente,la estructura fundamental de la fsica en el marco geo-mtrico que corresponda. No es de extraar, pues, quehaya trascendido el mbito concreto en el que naci en elsiglo XVIII con Lagrange y, ms esencialmente, en el XIXcon Hamilton y Jacobi, y se haya adaptado de forma tanadmirable a la relatividad y a las teoras cunticas. Un des-cubrimiento clave en este desarrollo lo constituye la ca-racterizacin que hizo E. Noether de las magnitudes di-nmicas de un sistema fsico y de sus correspondientesleyes de conservacin a partir de las simetras del sistema.Concluido este trabajo poco despus de que Hilbert pro-pusiera su formulacin variacional de la relatividad gene-ral, ha sido sin duda alguna uno de los resultados que msprofundamente han influido en la fsica del siglo XX. Enparticular, la introduccin del concepto de tensor de im-pulso-energa de un campo en el marco de la teora de larelatividad especial, a partir de la invarianza de la lagran-giana por el subgrupo de las traslaciones del espacio-tiem-po, ha sido un resultado clave en el desarrollo de la de-nominada fsica relativista de campos.

En electromagnetismo, la accin es la funcional:

L:F^(F,F)gvol(g)

donde (F, F)% es el cuadrado escalar del campo electro-magntico, F, respecto de la mtrica de Minkowski g, yvol(g), es el elemento de volumen asociado a dicha mtrica.

Sometiendo a la funcional L a las variaciones i7 F+ tdA(A 1-forma arbitraria) que preservan la ligadura defini-da por el primer grupo de ecuaciones de Maxwell,dF= 0, se obtiene el segundo grupo de dichas ecuaciones,divfi

7= 0, como ecuaciones de Euler de este problema va-riacional.

El tensor de impulso-energa correspondientes es:

donde g~x es la mtrica contravariada, F\y F2 son las ex-presiones 1-covariante 1-contravariante y 2-contravariantede F, respectivamente, y el indica contraccin tensorial.

En cuanto a la ley de conservacin de este tensor, se ex-presa como:

dlvJ(F) = 0

para cada solucin .Fde las ecuaciones de Maxwell.El ambiente era, como se ve, ms que favorable para

que la relatividad general pudiese aparecer en cualquiermomento. Desde un principio, Einstein asoci la arbi-trariedad de un sistema de coordenadas al concepto deaceleracin, y sta al de gravedad:

Puede concebirse que este principio (el de relatividad es-pecial) sea tambin vlido para sistemas con aceleracin re-lativa uno respecto de otro? (Einstein, 1907).

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928).

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Si se consideran dos sistemas de referencia, uno en re-poso en un campo gravitatorio constante, y el otro bajouna aceleracin constante con respecto al primero, enton-ces: bajo la base de nuestra experiencia real, no hay raznpara suponer que los dos sistemas puedan distinguirse unode otro en forma alguna. Debemos por ello suponer unaequivalencia fsica completa entre el campo gravitatorio yla correspondiente aceleracin del sistema de referencia(Einstein, 1907).

Gregorio Rcc-Curbastro (1853-1925).

TullioLevi-Civita (1873-1941).

Desde luego, el proceso que condujo a Einstein a su fa-mosa teora de la gravitacin, publicada en 1915, no fueen modo alguno lineal, habiendo ensayado el genial fsi-co diferentes posibilidades, empezando por una de ellasconcebida todava en el marco de la teora de la relativi-dad especial. Tras varios aos de profunda reflexin a lolargo de los cuales aprendi de su amigo Marcel Grossmanen Zurich la geometra riemanniana y el clculo tensorialde Ricci y Levi-Civita, Einstein dio por fin el gran pasoidentificando el campo gravitatorio con una clase de m-tricas lorentzianas ms generales que la de Minkowski, la

cual, en particular, supuso que define un espacio-tiempo,vaco de gravitacin. Esto le permiti describir el movi-miento de los astros como las geodsicas de dichas m-tricas, las cuales a su vez caracteriz mediante las ecua-ciones de campo: Ricci(g) = 0, donde Ricci() = (Rj(x)) esel invariante tensorial que se obtiene del tensor de curva-tura Curvg= (RA(x)) mediante el proceso de contraccin

tensorial R,jM= ^RUjW-

Convertido plenamente a la dialctica riemanniana, lasrazones que da Einstein en su clebre memoria de 1915para las dos caracterizaciones anteriores no pueden serms simples:

Si en el caso minkowskiano (espacio-tiempo vaco degravitacin) la trayectoria de un punto material es unarecta de acuerdo con el principio de inercia, es naturalidentificar dichas trayectorias, en el caso general, con lasgeodsicas de la mtrica que define el campo gravitato-rio. Por otra parte, a la hora de elegir unas ecuaciones decampo ms dbiles que la anulacin del tensor de curva-tura (cuyas soluciones son, como se ha visto, la clase de m-tricas de Minkowski), Einstein se vio conducido casi un-vocamente a la anulacin del tensor de Ricci; esto es, alsistema de ecuaciones en derivadas parciales de segundoorden invariantes, del mismo nmero de ecuaciones queincgnitas y con una dependencia lineal de las derivadasde segundo orden.

Lo ms significativo de estas dos caracterizaciones esque, por primera vez en la historia de la fsica, se llega aunas leyes de esta ciencia de un modo puramente espe-culativo, sin apelar en lo ms mnimo a la experiencia, ylo que es ms sorprendente an, con una confirmacin aposteriori por parte de la naturaleza tan clara y convincentecomo nunca se habra esperado.

Con una diferencia de das, Hilbert propuso la formu-lacin variacional de la relatividad general, obteniendo lasecuaciones de campo de esta teora como ecuaciones de Eu-ler de la lagrangiana definida por la curvatura escalar de

la mtrica R,, ^ R (,?) Es este el momento en que los/

ms grandes matemticos de la poca se interesan por eltema, convirtiendo a la Universidad de Gttingen en elcentro indiscutible de las nuevas ideas: E. Noether publi-ca los teoremas que llevan su nombre mediante los cua-les resuelve el problema de la conservacin de la energalocal en relatividad general; Einstein generaliza sus ecua-ciones de campo para incluir el campo material que esfuente del gravitatorio; se inician los intentos para dar unateora unificada de la gravitacin y el electromagnetis-mo, etc. Especialmente importante es esto ltimo, porcuanto que fue, entre otras cosas, la principal motivacinde la teora de conexiones, doctrina sta de las ms cen-trales de la geometra diferencial del siglo XX.

En efecto, lo que pusieron de manifiesto dichos inten-tos hacia una tal teora unificada, iniciados en 1919 porH. Weyl y a los que Einstein dedic la mayor parte de sus

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Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955).

esfuerzos, hasta su muerte en 1955, es que la nocin fun-damental sobre la que deba basarse la geometra rieman-niana para estar de acuerdo con la Naturaleza era la dedesplazamiento paralelo infinitesimal de un vector. Segn esteconcepto, debido originariamente a Levi-Civita, toda m-trica lleva asociada de un modo natural una isometraentre los espacios (mtricos) tangentes a cada pareja depuntos de la variedad dependiendo nicamente delcamino que los une. Es la denominada conexin de Levi-Civita asociada a la mtrica, que es de la que en realidaddependen los conceptos geomtricos fundamentales deuna variedad riemanniana (geodsicas, tensor de curva-tura, etc.).

La definicin general de conexin lineal, sin referenciaya a una mtrica, no se hizo esperar. Y aunque las diferentesteoras del campo unificado que fueron proponindosefracasaron en aquello que inicialmente pretendan, con-siguieron en cambio algo tan importante como el haberdescubierto las variedades a conexin lineal, el ms signi-ficativo avance en geometra diferencial desde el tiempode Riemann.

Y es, en esta ocasin, donde, al revs, la dialctica fsi-ca marca el camino por donde habra de ir la geometra.

Las diferentes versiones propuestas fueron finalmenteenglobadas a partir de 1922 en la sntesis realizada porE. Cartan, con la cual empiezan por fin a comprendersetodas las limitaciones anteriores, atravesando la geome-tra diferencial por uno de sus periodos ms fecundos.

La idea de Cartan fue extremadamente original y abriotra va de penetracin de los grupos y de las ideas klei-nianas en la geometra diferencial. Si a cada punto xde unavariedad, M, se le asocia una geometra, X*, todas ellasisomorfas a una cierta geometra de Klein, X, dar una co-nexin asociada a esa geometra es establecer un isomor-

fismo entre las geometras en cada pareja de puntos de-pendiente del camino que los une. Estos isomorfismosconstituyen el ltimo sustrato de la idea de desplazamientoparalelo, convirtiendo a la geometra diferencial en el es-tudio de las redes de interconexiones entre las geometraslocales en cada pareja de puntos, las cuales aparecen ascomo una primera aproximacin de la verdadera geome-tra de la variedad. Con la reconstruccin de esta idea me-diante los espacios fibrados, introducidos por Ehresmany Whitney entre 1937 y 1939 en el contexto topolgico,se entra ya en la etapa de fundamentacin y globalizacinde la geometra diferencial, la cual, por una parte, dirigesu principal atencin hacia los problemas globales, y porotra, abre su cada vez ms amplio marco conceptual a lasnuevas exigencias de la fsica terica.

El nuevo concepto, bsico hoy da en geometra y fsi-ca, es fcil de describir:

Un espacio fibrado (diferenciable) consiste en poner encada punto, x, de una variedad diferenciable, M, algntipo de espacio, Ex, todos ellos isomorfos a una ciertavariedad diferenciable, TV, de tal modo que la coleccin

E = U Ex de dichos espacios sea a su vez una variedad di-ferenciable (ocalmente de la forma UXX N, donde -esun cierto entorno de cada punto x), y donde la proyeccinnatural n : E> Mes tambin diferenciable. De este modonos encontramos con un tipo de variedad constituida porfibras, donde cada una de ellas consiste en el espacio quese ha puesto en cada punto de la variedad de partida que,por tal motivo, se denomina variedad base.

Una nocin fundamental asociada a este concepto es lade seccin del fibrado, esto es: una aplicacin diferencia-ble s: /- E(U: abierto de M) tal que n s= identidad.

EeJoseph Cartan (1869-1951).

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Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947).

Tales secciones son los nuevos objetos que se definen so-bre las variedades o, correspondientemente, la versin msgeneral que puede darse de un campo fsico.

En particular, la geometra diferencial y la fsica einste-niana estn basadas en los fibrados cuyas secciones sonlos campos tensoriales, los cuales tienen, como vimos, lapropiedad fundamental de que los difeomorfismos loca-les de la variedad base actan de modo natural sobre sussecciones o, lo que es lo mismo, dichos difeomorfismospueden levantarse al espacio fibrado como difeomorfis-mos del mismo, transformando fibras en fibras.

Y es precisamente esta propiedad, en la que esencial-mente se basa la geometra diferencial y la fsica de cam-pos, la que en la dcada de los setenta es tomada como prin-cipio bsico para establecer el marco categorial preciso dela geometra diferencial. En efecto, en una serie de traba-

Nels Henrik David Bohr (1885-1962).

jos fundamentales: Nijenhuis (1972), Kirillov (1977), Pa-lais-Terng (1977), Epstein-Thurston (1979), etc., se defi-nen los fibrados naturales como aquellos que incorporan asu propia definicin dicha propiedad de levantamiento delos difeomorfismos locales de la variedad base, consiguin-dose una clasificacin completa de dichos fibrados, as comode los operadores naturalesque pueden definirse entre ellos.

De este modo, la identidad de conceptos y de plantea-mientos que hemos ido destacando entre la geometra yla fsica se convierte, tras esta categorizacin, en un hechoclaro y manifiesto, alcanzando estas dos doctrinas en eldominio considerado un grado de coincidencia tal quejustificara ya de sobra el ttulo dado a esta conferencia, in-cluso sin su interrogante.

HACIA UNA GEOMETRIZACIN DE LAS TEORAS

CUNTICAS?

El otro gran descubrimiento que vino a perturbar esa ar-moniosa y acabada fsica que en 1898 proclamaba lordKelvin, fue el de los fenmenos cunticos, cuyo primer cen-tenario se cumpli en diciembre de 2000. Si la relatividadfue el ltimo acto de reflexin del pensamiento clsico, lafsica cuntica por el contrario empez prcticamente des-de cero con una serie de hechos nuevos, inexplicablesdesde la fsica clsica pero incuestionables desde el puntode vista experimental. Hechos, por otra parte, que fue-ron accesibles gracias a una experimentacin cada vez msagresiva y sofisticada, donde por primera vez la interaccinentre observador y objeto observado produce unos cambiosen el sistema que se observa que ya no son asumibles porlos errores inherentes a los aparatos de medida.

Como era de esperar, los primeros intentos para expli-car tales hechos no pasaron de ser una coleccin de reglasms o menos ad hoc que, ingeniosamente superpuestas alas doctrinas clsicas, introdujeron una primera ordenacinen la abundante literatura experimental que se iba pro-duciendo. As es como, de hecho, nace la fsica cunticaen 1900, cuando Max Planck soslay las contradiccionesobservadas en la distribucin de energa entre los oscila-dores que componen el llamado cuerpo negro, postulandola famosa constante h que lleva su nombre y suponien-do que un oscilador de frecuencia ^slo puede tener ener-gas que sean mltiplos de \\v. De un modo anlogo, en1905, Einstein explic el efecto fotoelctrico, descubiertoen 1899 por J. J. Thompson y P. Lenard. Y en 1913,N. Bohr, imponiendo restricciones cunticas al momentoangular del electrn que gira alrededor del ncleo en el mo-delo del tomo de hidrgeno propuesto en 1911 porRutherford, obtuvo una interesante frmula que relacio-na las lneas espectrales de la radicacin emitida por esteelemento qumico (cuando es adecuadamente excitado) conla estructura atmica del mismo. Esta idea fue ms tardeextendida a otros tomos ms complejos, logrndose unaordenacin de la espectroscopia impensable unos aos an-tes. Con todo ello, sin embargo, este tipo de explicacio-

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nes, aparte de no proporcionar un procedimiento gene-ral para obtener las reglas de cuantificacin, era muy difcilde conciliar con las teoras clsicas que les servan desoporte, como, por ejemplo, la de la estabilidad de lasrbitas de Bohr, en franca contradiccin con la electro-dinmica.

Por fin, en 1925, Schrdinger (inspirado en los traba-jos de L. de Broglie) y Heisenberg descubrieron de modoindependiente reglas de cuantificacin generales que, enlos cinco aos siguientes, gracias a los esfuerzos combi-nados de ambos y de Dirac, Bohr, Born, Jordn, Von Neu-mann y otros, condujo al establecimiento de lo que des-de entonces se conoce como mecnica cuntica que, entreotras cosas: tena a la mecnica clsica como caso lmite(para grandes masas y distancias), implicaba la existenciade reglas de cuantificacin bien definidas, explicaba la es-tabilidad de las rbitas de Bohr y tambin el modo comola materia y la radicacin podan ser a la vez campos y par-tculas.

El precio de tal fundamentacin fue grande en aquelmomento debido al profundo cambio que supuso en lasnociones de estado y de observable clsicos. En efecto, el mo-delo de sistema mecnico que postula la nueva fsica es elde un espacio de Hilbert complejo de dimensin infini-ta, Jt, donde los estados se identifican con los subespaciosde dimensin 1 de .7/ y los observables con sus operadoresautoadjuntos. Dado un observable A y un estado , elresultado de la medida de A en J no es ya un nmero realsino una medida de probabilidad sobre la recta real,E >, donde itf. es el proyector asociado a A y alsubconjunto boleriano E de la recta real segn un teore-ma clsico de descomposicin espectral, (]) es un repre-sentante de mdulo unidad de y < , > denota el pro-ducto escalar de Jl. Por otra parte, se da como dato delsistema, igual que en fsica clsica, un observable de especialinters, la energa o hamiltoniana caracterizndose la evo-lucin temporal de los estados o de los observables por el

Werner Karl Heisenberg (1901-1976), a la derecha, junto a PaulAdren Maurice Drac (1902-1984).

grupo uniparamtrico e '"' generado por H de acuerdocon otro resultado clsico (el teorema de Stone). En cuan-to a la relacin entre la nueva mecnica y la clsica hay quebuscarla en la vieja formulacin de Poisson de la mecni-ca hamiltoniana, y en un proceso nuevo denominadocuantificacin.

La nueva fsica sigui teniendo entre sus principales ob-jetivos explicar qu son las partculas y cules son los cam-pos producidos por ellas, as como describir las interac-ciones que se producen entre ambos. A este respecto, hayque hacer notar que desde el descubrimiento del electrnpor J. J. Thompson en 1897, las partculas dejaron de sersimples puntos materiales para convertirse en entidadesms complejas, estrechamente ligadas a la experimentacinque permite detectarlas; y en cuanto a los campos, decir quea los tradicionalmente existentes (el gravitatorio y el elec-tromagntico), se sumaron dos ms, los campos fuerte ydbil, que rigen la fsica del ncleo atmico y la desinte-gracin (3, respectivamente. Este ambicioso programa, en-caminado a dar una teora unificada de las partculas ele-mentales y de los cuatro tipos de fuerzas existentes en lanaturaleza, cristaliz en la famosa teora cuntica de cam-pos que, basada en una sofisticada unificacin de las no-ciones de partcula y de campo y con un uso sistemticode las representaciones de grupos como tcnica clasifica-toria, ha ido configurando a lo largo de ms de cuarentaaos una teora de las partculas elementales razonable-mente comprensible. Sin embargo, y dejando aparte elconsiderable nmero de problemas que han ido presen-tndose (divergencias ultravioleta, anomalas, etc.) muydifciles de manejar matemticamente, dos cuestiones b-sicas siguen sin tener una explicacin convincente hastala fecha, a saber: cul es el ltimo nivel de elementalidaden las partculas y cmo conciliar la relatividad general conla mecnica cuntica; la primera, dependiendo de la cadavez mayor potencia de los aceleradores empleados en laexperimentacin, y la segunda, de un carcter ms espe-culativo, cuya principal dificultad se encuentra en la di-ferencia de escalas en las que operan la gravitacin y la me-cnica cuntica.

Habiendo sido diversas reas del anlisis (teora deoperadores, C*-lgebras, representaciones infinitas de gru-pos, funciones de varias variables complejas, etc.) laprincipal tcnica matemtica de todas estas teoras, secomprende ese largo divorcio entre la geometra y lafsica cuntica del que tanto se ha hablado en el pasado.Matizando un poco ms, puede decirse que existen tresetapas bien definidas en el proceso de geometrizacin dela nueva fsica que, empezando a mitad de los aos cin-cuenta, en plena poca de formalizacin de la geometradiferencial, han llevado a las teoras cunticas a su esta-tus geomtrico actual que tan beneficioso est siendopara la fsica como para la matemtica en su ms ampliosentido.

Tratemos de mostrar lo que ha sido ms caractersticode cada una de dichas etapas.

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En la primera, que podemos situarla entre 1955 y 1970,aparecen como principales temas de inters: la mecnicasimplctica, la teora variacional de campos sobre espa-cios fibrados y el formalismo geomtrico de las teoras degauge. Se trata de una formulacin en el lenguaje de lageometra diferencial moderna, recin acuado en esosaos, de tres doctrinas consideradas esenciales para la f-sica cuntica. Principalmente tratadas por matemticoscon especial inters en sus aspectos globales, dicho trata-miento despert tambin la curiosidad de parte de la co-munidad fsica, que vea en ello una oportunidad nuevapara la aclaracin de conceptos fsicos fundamentales.

Comenzando con el primer tema, una estructura sim-plctica sobre una variedad diferenciable, M, de dimen-sin finita, viene definida por una 2-forma, Q, no singu-lar y cerrada (esto es, dQ. 0) . Se trata de una versinhemisimtrica del concepto de mtrica sobre una variedad,donde la no singularidad implica que la dimensin de stasea par, 1n, mientras que la condicin dQ = 0 permiteasegurar, segn un resultado clsico debido a Darboux,la existencia de sistemas de coordenadas localesrespecto de los cuales:

observables de un sistema cuntico, donde por represen-tacin se entiende una aplicacin R-lineal _/"_/" del lgebrade Poisson en el lgebra de los operadores autoadjuntos, tal

qJt p)

Un sistema hamiltoniano con grados de libertad pue-de caracterizarse ahora como una variedad diferenciable,M, de dimensin 2, dotada de una mtrica simplctica,Q, y de una funcin diferenciable H. Los puntos de Mseinterpretan como los estados por los que puede pasar elsistema y las funciones sobre Mcomo sus magnitudes di-nmicas u observables. La mtrica Q caracteriza la estruc-tura dinmica del sistema, mientras que la funcin / /de-fine un observable de especial inters denominado energao hamiltoniana.

Dado un observable f, el campo vectorial Dj sobre Mdefinido por la condicin 'Dj1 df{'Df = producto inte-rior respecto de Df) se denomina campo vectorial hamil-toniano correspondiente nf En particular, el campo vec-torial D,i correspondiente a la hamiltoniana H, genera ungrupo uniparamtnco de transformaciones de TV/que se in-terpreta como la evolucin temporal del sistema. Por otraparte, el producto [fi g} = Q(Df, D?) dota a los observa-bles de una estructura de lgebra de Lie real, el lgebra dePoisson, a partir de la cual, recprocamente, puede recu-perarse la mtrica simplctica.

Un problema fundamental en mecnica cuntica es aho-ra el siguiente: asociar a cada sistema clsico un sistemacuntico de tal manera que a ciertos observables clsicosse les pueda hacer corresponder observables cunticos deun modo bien definido. Es a Dirac, Weyl y Von Neu-mann a quienes se debe la formulacin precisa de esteproblema, conocido como problema de Dirac o cuantifi-cacin. De un modo ms preciso, se trata de construir re-presentaciones (irreducibles) de ciertas sublgebras del l-gebra de Poisson de un sistema clsico en el lgebra de los

que = [A =A donde [f,g]=fg-gfes el conmutador de operadores y kles un mltiplo no nulodel operador identidad.

Introducidas, a principios de los aos sesenta, las va-riedades diferenciables de dimensin infinita y las tcni-cas bsicas del anlisis global, la generalizacin de la geo-metra simplctica a este nuevo marco y su aplicacin a lateora hamiltoniana de campos no se hizo esperar. Espe-cialmente notable en esta direccin fue el programa sobrecuantificacin de campos no lineales desarrollado porI. Segal en esos aos. La idea bsica de Segal consisti enconsiderar al conjunto de las soluciones de las ecuacionesde campo como sustituto del espacio de los estados de lateora hamiltoniana, con la esperanza de poder generali-zar a esta variedad de soluciones, como se la conoce desdeentonces, los mtodos estndar de cuantificacin de los sis-temas con un nmero finito de grados de libertad. De he-cho, Segal estudi con detalle el caso de un campo esca-lar sobre el espacio-tiempo de Minkowski, definido por unacierta ecuacin en derivadas parciales hiperblica no li-neal, a cuyo conjunto de soluciones dot de una estruc-tura de variedad simplctica de dimensin infinita me-diante el propagador asociado a dicha ecuacin. Esteprograma, si bien no tuvo el xito esperado, debido fun-damentalmente a las dificultades analticas que fueronpresentndose, s aport la brillante y original idea de con-siderar como espacio natural para fundar la teora hamil-toniana de los sistemas fsicos definidos por un problema

John von Neumann (1903-1957).

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Richard Phillips Feynman (1918-1988).

variacional, al conjunto de las soluciones de sus correspon-dientes ecuaciones de Euler-Lagrange.

De este modo nos vemos conducidos al segundo temaque hemos destacado en esta etapa, esto es: la teora va-riacional de campos sobre espacios fibrados.

Definidos los fibrados de jets, j'T : J E > M {k:\xn n-mero natural), asociados a un fibrado diferenciable,71: E > M, el dato bsico para definir un problema varia-cional de orden k sobre el conjunto F(E) de las seccioneslocales de E, es una -forma y^Ti-horizontal, ., sobreJkE (n dim M), denominada densidad lagrangiana.Integrando dicha n-forma sobre la extensin k-jetde cadaseccin y considerando variaciones que preservan la es-tructura geomtrica de los espacios de jets, se definen deun modo natural la funcional y el concepto de extremaltpicos del clculo de variaciones. En particular, parak = 1, a fines de los aos sesenta se asoci cannicamen-te a cada densidad lagrangiana, ., una -forma, QL, quegeneraliza a tales problemas el invariante integral clsicode E. Cartan de la mecnica analtica (R. Hermann, P Gar-ca-A. Prez Rendn, H. Goldsmith-S. Sternberg). Dichanocin se convirti en el concepto clave del clculo devariaciones de primer orden al caracterizarse a partir delmismo todas las nociones y procesos tpicos de la teora va-riacional (extrmales, simetras y leyes de conservacin,transformacin de Legendre, ecuacin de Hamilton-Ja-cobi, etc.). Especialmente importante fue la nocin demtrica multisimplctica sobre el conjunto de las extr-males, con la que se pudo aclarar definitivamente la teo-

ra hamiltoniana de campos, que tan intensamente habasido tratada en dcadas anteriores (Caratheodory, Weyl, DeDonder, Lepage, etc.). Esta doctrina, conocida desde en-tonces como formalismo de Hamilton-Cartan del clculode variaciones sobre espacios fibrados, constituye unaimportante rea interdisciplinar cuya investigacin en mu-chos de sus aspectos (geometra multisimplctica, discre-tizaciones, reduccin lagrangiana, etc.) se encuentra anlejos de estar agotada.

Una de las principales aplicaciones de este formalismoen esos aos fue a los campos de Yang-Mills o, ms gene-ralmente, a las denominadas teoras de gauge, que tam-bin incluyen como ejemplo a la relatividad general.

Dado un campo clsico definido por un problema va-riacional cuya densidad lagrangiana, H^, depende de un cier-to objeto geomtrico, (j), tal que su grupo de simetras J/(tpicamente, un grupo de Lie de dimensin finita) dejainvariante -$,, se trata de transformar dicho problema enotro cuya densidad lagrangiana sea invariante por un gru-po de Lie, }, de dimensin infinita (grupo gauge) quetiene a J/ como subgrupo.

En relatividad general, primera teora gauge que de he-cho aparece en la historia de la fsica, es la mtrica de Min-kowski, g, /g el grupo inhomogneo de Lorentz y (/ elgrupo de los difeomorfismos del espacio-tiempo. La so-lucin en este caso del anterior problema fue la que dioEinstein, consistente en sustituir la mtrica de Minkows-ki, g, en la lagrangiana inicial -Cg(campo fuente) por unamtrica de Lorentz arbitraria (campo gravitatorio), y to-mar como lagrangiana del sistema constituido por amboscampos la suma Jg + R(g)(g(Rg: la curvatura escalar y COel elemento de volumen de la mtrica g). Como es sabi-do, dicho sistema es ya invariante por todos los difeo-morfismos y tiene como ecuaciones de Euler-Lagrange lasecuaciones de la gravitacin de Einstein acopladas con elcampo fuente inicial.

Del mismo tipo es la idea bsica que llev a Yang y Millsen 1955 a introducir los campos que llevan su nombrepara describir las interacciones fuertes en fsica nuclear. Trasinterpretar la interaccin usual de los campos cargadoselctricamente con el campo electromagntico que ellos ge-neran, como el paso de una lagrangiana, L, invariante por elgrupo unitario U{\) \elK", t e IR}, a la lagrangiana suma

-l-F dA) \ campo electromagntico de po-

tencial A, y II , la norma asociada a la mtrica deMinkowski g), la cual es invariante por el grupo gaugeG = {e2K'^x\ f(x): funcin sobre el espacio-tiempo}, dichosautores generalizaron a SU(2) y a otros grupos de sime-tras el formalismo anterior, introduciendo un nuevo cam-po de naturaleza geomtrica desconocida! Pocos aos mstarde (Kerbran-Lunc, R. Hermann, A. Prez-Rendn,Yang y Wu, etc.) dichos campos se identificaron con lasconexiones sobre un fibrado principal, inaugurndose conello uno de los ms brillantes captulos de las relaciones en-tre fsica y geometra.

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GEOMETRA Y FSICA, ;CARA Y CRUZ DE UNA MISMA MONEDA?

Con ms precisin: dado un fibrado principal/;: P> Mcon grupo estructural un grupo de Lie, G, se consideraun campo fuente definido sobre las secciones de un fibra-do vectorial asociado a /'(respecto de una representacinlineal de G) por una lagrangiana, -CA, dependiente de la co-nexin plana cannica, A, de cada trivializacin local deP, e invariante por la accin natural de G en dichas tri-vializaciones. A partir de aqu, anlogamente al procedi-miento einsteniano, se sustituye la conexin plana, A, poruna conexin arbitraria (el potencial de Yang-Mills), to-mndose como lagrangiana del sistema definido por am-

bos campos la suma41

Cu (F=Curv A: campo

de Yang-Mills de potencial A, y ||, la norma asociada alas mtricas de Minkowski y de Cartan-Killing del grupoG). Por construccin, este sistema es invariante por elgrupo gauge, ^j, de los automorfismos />-verticales del fibradoprincipal, al actuar sobre las conexiones y las seccionesdel fibrado asociado de partida del modo natural.

La segunda etapa del proceso de geometrizacin que es-tamos describiendo, podemos situarla entre 1970 y 1985.

Obtenidas las formulaciones geomtricas de las teorasfsicas antes referidas, se produce en esos aos un inespe-rado vuelco en las relaciones entre la geometra y la fsicacomparable, en cierto modo, al que tuvo lugar en el pri-mer cuarto del siglo XX en torno a las teoras de la relati-vidad y del campo unificado. Ideas y desarrollos clave delas teoras cunticas pudieron transferirse, una vezformuladas en el nuevo lenguaje, a la geometra diferen-cial, topologa, geometra algebraica, etc., produciendoresultados sorprendentes en estas disciplinas y, del otrolado, la propia fsica se vio beneficiada de ello, no slo porla interpretacin cuntica que hizo de muchos de esos re-sultados, sino tambin por haberse abierto de este modouna va de penetracin a la fsica terica de las podero-sas tcnicas empleadas en esas especialidades matem-ticas.

La Cuantificacin geomtrica, los Moduli de campos deYang-Mills sobre espacios de Riemann y las Variedades gra-duadas y supervariedades, son tres importantes doctrinas muyrepresentativas de esta segunda etapa.

Dada una variedad simplctica (M, Q) de dimensinfinita, lo que se dio en llamar a principios de los aos se-tenta Cuantificacin geomtrica, tena como principalobjetivo resolver el Problema de Diracen trminos de lageometra de la variedad. Esta doctrina, que tuvo su ori-gen en una idea de J. M. Souriau, fue establecida y de-sarrollada por B. Kostant, que la us como un instru-mento bsico de su teora de las representaciones unitariasde los grupos de Lie conexos. En particular, la determi-nacin mediante esta teora, de todas las representacio-nes unitarias de los grupos de Lie solubles de tipo I fueuno de los ms importantes resultados obtenidos poreste autor en esos aos.

Tras la realizacin de la mtrica simplctica, 2, como2-forma de curvatura de una conexin hermtica sobre

un fibrado de lnea complejo n : L M, el lgebra dePoisson de (M, Q) puede hacerse operar sobre las seccio-nes de L de tal manera que el parntesis de Poisson setransforma en el conmutador de operadores, proceso esteconocido con el nombre de precuantificacin. Tomandoahora secciones que son constantes en ciertas direccionesmediante la introduccin de una estructura adicional de-nominada polarizacin, y tensorializando dichas seccio-nes por unos nuevos objetos llamados semiformas se con-sigue un espacio de Hilbert complejo que, de este modo,est asociado cannicamente a la variedad simplcticay a la polarizacin consideradas. La cuantificacin se ob-tiene, finalmente, restringiendo el homomorfismo de pre-cuantificacin a dicho espacio de Hilbert.

Aparte de la indudable aportacin conceptual que dichadoctrina supuso para la mecnica cuntica de los sistemascon un nmero finito de grados de libertad, el principalinters de ella se halla, realmente, del lado matemtico, ha-biendo sido esta teora intensamente tratada con muy buenosresultados a lo largo de esos aos.

En otro orden de cosas, y esta vez por motivaciones dela teora cuntica de campos segn la formulacin de Feyn-mann, se mostr gran inters, tambin a principios de losaos setenta, por el estudio de un tipo particular de solu-ciones de las ecuaciones de Yang-Mills en el espacio eu-cldeo de dimensin 4 llamadas instantones o seudopar-tculasijK. Belavin, A. Polyakov, R. Jackiw, C. Rebby, etc.).Estas ecuaciones, que sobre el espacio-tiempo deMinkowski son hiperblicas, se convierten en el espacioeucldeo en elpticas, con propiedades bien diferentes

Marus Sophus Lie (1842-1899).

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Bertram Kostant (1928-).

como es sabido. De especial inters desde el punto de vistamatemtico son los resultados obtenidos por M. Atiyah,N. Hitchin e I. Singer en esos aos.

Originariamente, de lo que se trataba era de estudiar laestructura del conjunto de los mnimos de la funcionalde Yang-Mills sobre las conexiones del SU(2)-fibrado prin-cipal trivial, IR x SU(2) (IR"1 con su mtrica eucldea or-dinaria) que son asintticamente planas en un cierto sen-tido. A tal fin y teniendo en cuenta la invarianza de estafuncional por el grupo conforme de IR\ la idea clave con-sisti en ver cmo la condicin asinttica impuesta per-mita extender dicho problema a otro sobre un SU(2)-fi-brado principal no trivial sobre la esfera S4. Si -k es elsegundo nmero de Chern de P, el resultado principal deAtiyah, Hitchin y Singer afirma: que el grupo gauge de Pdeja invariante al conjunto de las conexiones de Yang-Mills minimales, siendo el conjunto de sus rbitas (el gau-ge-moduli de tales conexiones) una variedad de dimensin8k 3. Dicho resultado, en cuya demostracin se haceun uso sistemtico de los teoremas del ndice para com-plejos elpticos y de la teora de deformaciones, tuvo sor-prendentes consecuencias y aplicaciones que atrajeron laatencin de fsicos y matemticos.

As, por ejemplo, mediante la transformada twistor dePenrose las conexiones consideradas se convierten en fi-brados vectoriales complejos de rango 2 holomorfos(y, por consiguiente, algebraicos) sobre el espacio proyec-tivo Pj(C), mientras que la equivalencia gauge de cone-xiones se transforma en equivalencia algebraica de fibra-dos. De este modo se pasa del estudio de la estructura delconjunto de las soluciones de una ecuacin en derivadasparciales a un problema de clasificacin de fibrados sobreel espacio proyectivo. Tal es el tipo de resultados obtenidospor Atiyah y Ward a este respecto, mediante los cuales lateora de Yang-Mills entr brillantemente en el dominiode la geometra algebraica.

Ms sorprendente an si cabe fue el famoso teorema deDonaldson sobre 4-espacios exticos que produjo unagran conmocin en la comunidad matemtica interna-cional. En combinacin con el importante trabajo desa-rrollado con anterioridad por Freedmann, este resultadoimplica la existencia de variedades diferenciables de di-mensin 4, topolgicamente pero no diferenciablemen-te equivalentes al espacio eucldeo estndar IR4, siendon 4 la nica dimensin para la que tales espacios exis-ten. Y si sorprendente fue tal resultado, ms todava lofue la tcnica empleada para su obtencin, a saber: con-siderar el gauge-moduli de las conexiones de Yang-Mills mi-nimales sobre una variedad arbitraria de dimensin 4 comotcnica geomtrica para investigar las propiedades topo-lgicas de dichas variedades.

Finalmente, el tercer tema caracterstico de esta segun-da etapa, las variedades graduadas y supervariedades, pue-de decirse que constituye la respuesta matemtica ade-cuada a las teoras fsicas de la supersimetra y, en particular,de la supergravedad, que aparecen a fines de los aos setentay principios de los ochenta.

Como se sabe, en teora cuntica de campos hay dosclases de campos que describen los diferentes tipos de par-tculas elementales: los campos bosnicos (de espn ente-ro) y los ferminicos (de espn semientero). Los primeros,con funciones de onda simtricas, y los segundos, queobedecen aJ principio de exclusin de Pauli, y tienen comoestados funciones con valores en un lgebra de Grass-mann. Pues bien, el principio bsico de la Supersimetraconsiste en suponer que las ecuaciones de campo de lateora son invariantes por ciertas transformaciones quemezclan ambos tipos de campos o, lo que es lo mismo,intercambian entre s bosones y fermiones.

La doctrina se desarroll en dos vertientes diferentes:la teora de variedades graduadas debida a Berezin, Kos-tant y Leites, y la teora de supervariedades de Rogers,Jadczyk-Pilch, Boyer-Gitler, etc. Grosso-modo, si en las su-pervariedades se aumenta el conjunto de los puntos deuna variedad clsica, en las variedades graduadas los pun-tos son los mismos y lo que cambia es el lgebra de fun-ciones sobre la variedad.

Ambos puntos de vista incorporaron casi de inmediatola teora de campos, dando lugar a una teora de super-campos muy atractiva matemticamente y de gran apli-

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cacin fsica. En particular, la conversin de las interac-ciones tpicas de las teoras de gauge en un supercampo deYang-Mills libre, definido por una superconexin, consti-tuye uno de los mayores logros de esta doctrina, que tuvoimportantes aplicaciones en gravitacin cuntica.

Llegamos as a la tercera y ltima etapa de este procesode geometrizacin que, empezando en los primeros aosochenta, se encuentra todava en desarrollo.

Si las ideas cunticas continuaron produciendo avan-ces importantes en las doctrinas matemticas de la eta-pa anterior y en otras que se fueron sumando (nudos ylazos, teora de nmeros, etc.), la fsica terica, en pose-sin ya de un nuevo marco conceptual y de tcnicas ma-temticas muy poderosas, empieza a dar pasos de msenvergadura para abordar algunos de sus problemas debase no resueltos. En esta renovada interaccin, la fsi-ca plantea asimismo a la matemtica problemas nuevosde gran profundidad que habran sido impensables unosaos antes.

De entre los muchos y variados temas tratados en estaetapa destacan especialmente dos: la teora de cuerdas y lageometra no conmutativa, a las que dedicaremos unos bre-

ves comentarios.

Mchael Atyah (1929-).

Aunque el origen de la teora de cuerdas se encuentra enel estudio de las interacciones fuertes desarrollado a finesde los aos sesenta y en la cromodinmica cuntica deprimeros de los setenta, es a principios de la dcada de losochenta, con los trabajos de Poliakov y Witten, cuando sereconoce que esta teora poda proporcionar un marcoadecuado para una formulacin unificada de la mecni-ca cuntica y la gravitacin. Desde entonces, la teora decuerdas y su versin supersimtrica (las supercuerdas) hasido una de las doctrinas de la fsica terica que ha aca-parado ms atencin de fsicos y matemticos. Por pri-mera vez el espacio subyacente a la teora deja de ser elespacio-tiempo clsico para convertirse en una de las va-riables del problema, que ha de ser determinada por m-todos matemticos o fsicos.

En las teoras bosnicas la dimensin del Universo es 26,mientras que en la versin supersimtrica se reduce a 10(teora de supercuerdas) u 11 (teoras M y F). Y es tam-bin la estructura global del Universo la que debe sercomputada de acuerdo con la teora. As, por ejemplo, enlas denominadas teoras heterticas (con grupos de sime-tra fix&o Spin(32)) se demuestra que el Universo hade ser el producto cartesiano de una variedad de Min-kowski por una variedad de Calabi-Yau de dimensincompleja 3.

Tambin es de destacar la profunda conexin existenteentre el cmputo de las magnitudes cunticas en teorade cuerdas (funciones de particin, funciones de correla-cin, etc.) y la estructura geomtrica de las variedades demoduli de superficies de Riemann compactas.

Como se ve, la creciente sofisticacin de los objetos geo-mtricos que aparecen a lo largo de esta etapa oblig a irsustituyendo el marco espacio-temporal clsico por otrosque resultaban ms acordes con las nuevas teoras. Desdeluego, siempre se pens que no haba razn alguna parasuponer que la estructura del espacio fsico a escalas de or-den de magnitud de la constante de Planck fuese la deun continuo de cuatro dimensiones como en fsica ma-croscpica. Pero es ahora cuando por primera vez se abor-da este problema de un modo sistemtico, destacandomuy especialmente en esta direccin el ambicioso pro-grama de A. Connes sobre geometra no conmutativa, me-diante el cual parece que se est empezando a conseguiruna visin global de la fsica en la que lo clsico y lo cun-tico pueden convivir ya en una razonable armona.

El planteamiento, bien conocido por otra parte en geo-metra algebraica, se remonta a Riemann y se basa en laidea de obtener el espacio subyacente a un lgebra de fun-ciones como el espectro del lgebra.

Como ya hicimos notar, el fenmeno de la multiformi-dad e,n teora de funciones condujo al concepto de su-perficie de Riemann y poco despus a las variedades: unmarco natural para el desarrollo, entre otras doctrinas, dela geometra diferencial y de la fsica de campos. El nfa-sis riemanniano en las funciones y no en el espacio sub-yacente a las mismas fue tambin destacado a propsitode la caracterizacin de los objetos geomtricos sobre una

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variedad a partir de su lgebra de funciones. Sin embar-go, y a pesar del xito alcanzado en esos dominios, dichomarco espacial no fue capaz de albergar en su seno a doc-trinas matemticas tan fundamentales como la aritmti-ca, el lgebra o el anlisis, ni tampoco a la fsica en su glo-bal complejidad.

El nuevo punto de vista, cuyo antecedente preciso seencuentra en una adaptacin a la teora de funciones delas tcnicas desarrolladas por Dedekind para el tratamientoalgebraico de la teora de nmeros, representa un paso msen la idea central riemanniana. En efecto, en una clebrememoria de Dedekind y Weber, publicada en 1882-Teora de funciones algebraicas de una variable-, apareceplasmada por primera vez la revolucionaria idea de con-siderar como dato previo para fundar una geometra, noun espacio, considerado como un conjunto de puntos, sinoms bien una determinada estructura algebraica, a partir dela cual el espacio se construye de tal modo que los ele-mentos del lgebra inicial se convierten en funciones so-bre l mismo. Esta idea constituye, de hecho, el principalantecedente del lgebra conmutativa y de la geometra al-gebraica modernas, donde el espacio de un esquema afnviene definido como el conjunto de los ideales primos deun anillo. Y como suele ocurrir con todos los descubri-mientos grandes, el nuevo punto de vista trascendi elmbito concreto en el que naci para verlo reflejado en otrasdiferentes disciplinas (anlisis, lgebra diferencial, lgi-ca, etc.), en las que la nueva visin no slo proporcionuna aclaracin esencial de las mismas, sino lo que es msimportante an, les permiti avanzar con un renovadompetu que de otro modo no se habra producido.

ste es, a grandes rasgos, el marco conceptual en el quese cree que la fsica cuntica puede alcanzar su verdaderoestatus terico con base exclusiva en la experiencia.

Mucho se ha hablado de la dificultad para entender lasdoctrinas cunticas a lo largo del siglo que acaba de con-cluir. Pero un anlisis cuidadoso del tema muestra que elproblema no se halla tanto en el planteamiento concep-tual originario, muy estrechamente ligado a los hechosexperimentales, como en su interpretacin posterior entrminos de construcciones tericas ms propias de la vi-sin macroscpica clsica que de la realidad cuntica pro-piamente dicha. Puede decirse, que si acertada fue la ca-racterizacin matemtica inicial de los conceptos bsicosde la mecnica cuntica (las matrices de Heisenberg, porejemplo, traduccin casi literal de las series de Balmerdela espectroscopia), no se dispuso en cambio de un marcogeomtrico adecuado que explicase tal caracterizacin. Lahistoria vuelve a repetirse una vez ms, siendo esta vez lasideas espectrales las que parece que estn permitiendoavanzar al anlisis funcional y a la fsica cuntica en sus res-pectivos caminos hacia la evidencia.

Fiel a esta visin positivista de la mecnica cuntica, elpunto de partida de la teora de Connes es el lgebra delos observables de un sistema cuntico: un lgebra (no con-mutativa) de operadores de un espacio de Hilbert complejoestable por la involucin que transforma cada operador en su

adjunto. Dicha lgebra se considera la nica realidad ob-servable, siendo el objetivo fundamental de la teora en-contrar el espacio como espectro del lgebra y desarrollaren este nuevo marco (no conmutativo) todo el programade la fsica clsica (conmutativa), con la esperanza de quela doctrina resultante sea ya la fsica, sin calificativos, ca-paz de explicar unitariamente todos los hechos descu-biertos hasta ahora con independencia de la escala en laque stos se manifiestan.

Como era de esperar, el programa empieza con un an-lisis exhaustivo del caso conmutativo donde, segn la teo-ra de Gelfand, el espectro del lgebra (o conjunto de losideales maximales) es un espacio topolgico compacto cuyalgebra de funciones continuas se identifica cannica-mente con el lgebra inicial. La traduccin a este lengua-je de resultados clave de la teora de variedades (en parti-cular, los teoremas de D. Sullivan sobre orientacinKO-homolgica) permite una caracterizacin algebraicade esta teora a partir de la cual queda despejado el cami-no hacia el caso no conmutativo y su geometra corres

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