Geometria - Sulinet · Web viewGeometria 1. Bevezetés a geometriába A geometria a matematika legrégibb területének egyike. Igen változatos, sokszínű, és nem feltétlenül

Geometria

1. Bevezetés a geometriába

A geometria a matematika legrégibb területének egyike. Igen változatos, sokszínű, és nem feltétlenül egyszerű. A gyakorlat hozta létre - segítségével leírható a körülöttünk lévő világ (meg más is). Itt most az Euklideszi geometria kerül tárgyalásra, de megjegyzendő, hogy ezen a felépítésen kívül van másmilyen is.

1. 1. Az Euklideszi geometria axiómarendszere

Az Euklideszi geometria alapfogalmai a következők (ezeket nem definiáljuk):

pont (P, A, B, …) egyenes (e, f, …) sík (S, …) tér

Az alaprelációk pedig a következők:

illeszkedés (pont illeszkedik egy egyenesre: ) rendezés (elválasztás: APB - P elválasztja A-t és B-t) leképezés (ponthalmazok közötti hozzárendelés)

Az axiómák:

Illeszkedési axiómák:

1. Bármely két pont egy és csak egy egyenest határoz meg.2. Bármely három nem egy egyenesen lévő pont egy és csak egy síkot határoz meg, amely

illeszkedik a pontokra.3. Ha egy egyenesnek két pontja illeszkedik egy síkra, akkor minden pontja illeszkedik rá.4. Minden egyenesnek végtelen sok pontja van.5. A sík bármely pontjára a sík végtelen sok egyenese illeszkedik.6. A tér bármely pontjára végtelen sok sík illeszkedik.

Rendezési axiómák:

1. Bármely egyenes tetszőleges P pontja a tőle különböző egyenesbeli pontokat két osztályba sorolja úgy, hogy két pont akkor és csak akkor tartozik különböző osztályba, ha a P pont elválasztja őket. Minden más esetben azonos osztályba tartoznak.

2. Tetszőleges S sík tetszőleges e egyenese a nem rajta lévő síkbeli pontokat két osztályba sorolja úgy, hogy két pont akkor és csak akkor van különböző osztályban, ha a két pont egyenesének van közös pontja az e egyenessel, és ez a pont a két pontot elválasztja. Minden más esetben a pontok azonos osztályban vannak.

3. A tér tetszőleges S síkja a nem rajta lévő térbeli pontokat két osztályba sorolja úgy, hogy két pont akkor és csak akkor tartozik különböző osztályba, ha a két pont egyenesének van közös pontja az S síkkal, és az elválasztja a két pontot. Minden más esetben azonos osztályba tartoznak.

Tükrözési axiómák:

1. A tér minden síkja egyértelműen meghatároz egy transzformációt, amelyet síkra vonatkozó tükrözésnek nevezünk.

2. A síkra vonatkozó tükrözésnél az adott sík pontjai fixpontok, a síkra vonatkozó tükrözés az egyik féltér pontjaihoz a másik féltér pontjait rendeli.

3. Ha az S síkra vonatkozó tükrözés az síkot az síkba viszi, akkor az -hez szimmetrikus pontokat az -höz szimmetrikus pontokba viszi.

4. Két különböző ponthoz egyetlen olyan sík létezik, amelyre tükrözve az egyik pontot a másikat kapjuk.

5. Két egy pontból kiinduló félegyeneshez egyetlen olyan sík létezik, amelyre az egyik félegyenest tükrözve a másikat kapjuk.

Mérési axióma:

Minden szakaszhoz hozzárendelhető egy pozitív valós szám a következő tulajdonságokkal: egybevágó szakaszokhoz ugyanazt a számot rendeljük; ha egy szakaszt egy pontjával két részre osztunk, akkor a részekhez rendelt számok

összege az eredeti szakaszhoz rendelt számot adja; az egységszakasz létezése mellett minden valós számhoz bármely félegyenesen egyetlen

olyan pont van, amely a félegyenes kezdő pontjával együtt olyan szakaszt ad, amelyhez az adott valós számot rendeljük.

Párhuzamossági axióma:

Ha egy síkon adott egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont, akkor a ponton át legfeljebb egy olyan egyenes fektethető, amelynek nincs közös pontja az eredeti egyenessel.

1. 2. Fogalmak

Az előbb megadott axiómarendszer tartalmaz olyan fogalmakat, amelyeket még tisztáznunk kell. Most ezt megejtjük.

Definíció: Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van.

Definíció: Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nincs közös pontjuk.

Definíció: Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.

Definíció: Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van.

Definíció: Két sík párhuzamos, ha nincs közös egyenesük.

Definíció: Ha egy egyenesnek és egy síknak végtelen sok közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik a síkra.

Definíció: Ha egy egyenesnek és egy síknak egy közös pontja van, akkor ők metszők.

Definíció: Ha egy egyenesnek és egy síknak nincs közös pontja, akkor ők párhuzamosak.

Definíció: Egy egyenes egy pontja az egyenest két félegyenesre bontja.

Definíció: Egy egyenes két pontja közötti részét szakasznak nevezzük.

1. 3. Szögek

Definíció: Egy pontból kiinduló két félegyenes a rájuk illeszkedő síkot két részre bontja. Ezeket a részeket szögeknek nevezzük. A félegyenesek a szögszárak, a síkrészek a szögtartományok.

Definíció: Ha egy szög két szára egybeesik, a szögtartomány pedig maga a sík, akkor az a szög teljesszög.

Definíció: A szög egyik mértékegysége a fok (szögperc, szögmásodperc). 1° a teljesszög 360-ad része.

Definíció: A szögek típusai nagyságuk szerint:

nullszöghegyesszögderékszög

tompaszögegyenesszöghomorúszögteljesszög

Definíció: A 180°-nál kisebb szögek konvex szögek. A 180°-nál nagyobb szögek konkáv (nem konvex szögek).

Definíció: Az egymást 90°-ra kiegészítő szögek pótszögek.

Definíció: Az egymást 180°-ra kiegészítő szögek kiegészítő szögek (mellékszögek).

Definíció: Két szöget egyállásúnak nevezünk, ha megfelelő száraik párhuzamosak és azonos irányításúak. Az egyállású szögek egyenlők.

Definíció: Két szög váltószög, ha megfelelő száraik párhuzamosak és ellentétes irányításúak. A váltószögek egyenlők.

Definíció: Ha a váltószögek szárai egybeesnek, akkor ők csúcsszögek. Csúcsszögek is egyenlők.

Definíció: Ha két szög megfelelő szárai merőlegesek egymásra, akkor ők merőleges szárú szögek. Merőleges szárú szögek vagy egyenlők, vagy 180°-ra egészítik ki egymást.

1. 4. Hajlásszögek, távolságok

Definíció: Két metsző egyenes hajlásszöge az általuk meghatározott szögtartományok közül a kisebb.

Definíció: Ha két metsző egyenes hajlásszöge 90°, akkor a két egyenes merőleges egymásra.

Definíció: Két párhuzamos egyenes hajlásszöge 0°.

Definíció: Két kitérő egyenes hajlásszöge a velük párhuzamos, egy közös ponton átmenő két egyenes hajlásszöge.

Definíció: Ha egy egyenes illeszkedik egy síkra, vagy párhuzamos vele, akkor a hajlásszögük 0°.

Definíció: Ha egy egyenes metsz egy síkot, akkor a sík és az egyenes hajlásszöge az eredeti egyenes és a síkra eső merőleges vetületének hajlásszöge. Ha ez egy pont, akkor az egyenes merőleges a síkra.

Definíció: Két párhuzamos sík hajlásszöge 0°.

Definíció: Két metsző sík hajlásszöge a metszésvonaluk egy pontjába állított merőleges egyenesek hajlásszöge.

Definíció: Két pont távolsága az általuk meghatározott szakasz hossza.

Definíció: Egyenes és pont távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.

Definíció: Pont és sík távolsága a pont és a pontnak a síkra eső merőleges vetülete által meghatározott szakasz hossza.

Definíció: Két metsző egyenes távolsága 0.

Definíció: Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy pontjának és a másik egyenesnek a távolsága.

Definíció: Két kitérő egyenesnek a távolságán annak a szakasznak a hosszát értjük, amely a két kitérő egyenes mindegyikét metsző és mindkettőre merőleges egyenesen, a két kitérő egyenesen van.

Definíció: Metsző sík és egyenes távolsága 0.

Definíció: Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor a távolságuk az egyenes egy pontjának és a síknak a távolsága.

Definíció: Két metsző sík távolsága 0.

Definíció: Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának távolsága a másik síktól.

2. Geometriai szerkesztések

2. 1. Euklideszi szerkesztés

A geometriai szerkesztéseket körzővel, (egyélű) vonalzóval végezzük. Más eszközök nem használhatók, ha mást is megengednénk, akkor már nem euklideszi szerkesztés lenne az, amit csinálnánk.

Az euklideszi szerkesztés megengedett lépései a következők:

a) a vonalzót két adott ponthoz illesztve meghúzhatjuk a két pontra illeszkedő egyenest;b) két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük;c) adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk;d) két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk;e) egyenes és kör metszéspontját meghatározhatjuk;f) két kör metszéspontját meghatározhatjuk.

Minden más megmozdulás (például amikor derékszögű vonalzóval párhuzamosokat rajzolunk) nem euklideszi szerkesztést eredményez.

Különbség van tehát szerkesztés és rajzolás között.

2. 2. Szerkesztések menete

Egy-egy szerkesztési feladat megoldása bizonyos lépések betartásával készül. Most összefoglaljuk ezeket a lépéseket.

1. Adatok felvétele.2. Vázlatkészítés (a vázlat tartalmazza a kiindulási adatokat és a végeredményt).3. Elemzés (azon összefüggések megkeresése, amelyek segítségével a kiindulási adatokból a

végeredmény megszerkeszthető).4. A szerkesztés lépéseinek meghatározása.5. A szerkesztés technikai végrehajtása.6. A szerkesztés lépéseinek lejegyzése (indoklások).7. Diszkusszió (az adott feltételek mellett, az adatoktól függően hány megoldás létezik).

2. 3. Alapszerkesztések

1) Szakaszfelezés

Definíció: A síkon egy szakasz felezőmerőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak.

1. Felvesszük a szakaszt. 2. A szakasz két végpontja, mint középpont körül két azonos sugarú, metsző kört rajzolunk.

3. A két metszéspont meghatározza a szakaszfelező merőlegest.

2) Egyenes adott pontjába merőleges szerkesztése

1. Felvesszük az egyenest és rajta a pontot.

2. Az egyenesen felveszünk az adott ponttól ugyanolyan távol lévő két pontot.

3. A két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese a keresett egyenes.

3) Szögfelezés

Definíció: Egy konvex szög szögfelezője azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek a szög száraitól egyenlő távolságra vannak.

1. Felvesszük a szöget. 2. A szög csúcsától a szögszárakon azonos távolságra lévő pontok, mint középpontok körül egymást metsző köröket rajzolunk.

3. A szög csúcsa és a metszéspont egyértelműen meghatározza a szögfelezőt.

4) Adott távolságra lévő párhuzamos egyenes szerkesztése

1. Az egyenes egy tetszőleges pontjába merőlegest állítunk.

2. Erre az új egyenesre felmérjük a pontból az adott távolságot.

3. Az új pontba merőlegest állítunk.

5) Háromszög szerkesztése

Definíció: Egy alakzat szabadságfoka az a szám, amely megadja, hogy hány független adat kell az alakzat szerkesztéséhez.

Tétel: A háromszög szabadságfoka 3.

Néhány háromszögszerkesztést megmutatunk:

a) Adott: a, b, c

1. Felvesszük az a oldalt. 2. A szakasz két végpontjából körzőzünk b és c sugárral.

3. A két kör metszéspontja (ha van) megadja a háromszög harmadik csúcsát.

b) Adott:

1. Felvesszük az a oldalt és rajta a szöget.

2. Felmérjük az új szögszárra a b távolságot.

3. Így megkapjuk a háromszög keresett csúcsát.

c) Adott:

1. Felvesszük az a oldalt és rajta a két szöget.

2. A két új szögszár metszéspontja a háromszög harmadik csúcsa.

3. Kész a háromszög.

d)

1. Felvesszük az a oldalt és a vele párhuzamos, tőle ma távolságra lévő e egyenest.

2. Az a szakasz egyik végpontja, mint középpont körül b sugarú kört rajzolunk.

3. A párhuzamos egyenes és a kör metszéspontja(i) adják meg a harmadik csúcsot.

2. 4. Szerkesztési trükkök

Itt két trükkről emlékezünk meg, a geometriai transzformációkról külön fejezetben szólunk.

A) Ponthalmazok, mértani helyek szerkesztése

Az ilyen típusú feladatok ponthalmazok közös részét keresik.

B) Szerkesztés ábra-kiegészítéssel

Az ilyen típusú feladatoknál a szerkesztendő alakzatot ötletesen kiegészítjük (ezt-azt behúzunk,…), így olyan információkhoz jutunk, amelyek segítségével a szerkesztés elvégezhető:

3. Geometriai transzformációk

Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés), amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

Jelölés: .

Megállapodunk abban, hogy csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésekkel megadott geometriai transzformációkkal foglalkozunk. Megállapodunk abban is, hogy a geometriai transzformáció értelmezési tartomány és értékkészlete ugyanaz a ponthalmaz legyen.

Definíció: Egy geometriai transzformációnál az olyan pontot, amelynek képe önmaga, fixpontnak nevezzük.

Definíció: Az a geometriai transzformáció, amely minden ponthoz önmagát rendeli (minden pont fixpont), az identitás (identikus leképezés).

Definíció: Két (vagy több) geometriai transzformáció egymás utáni elvégzését a két (vagy több) transzformáció szorzatának nevezzük.

A következőkben nevezetes transzformációkról ejtünk szót.

3. 1. Egybevágósági transzformációk

Definíció: Egybevágósági (távolságtartó) transzformációknak nevezzük azokat a transzformációkat, amelyeknél bármely szakasz képének hossza az eredeti szakasz hosszával egyenlő.

Mi most csak a sík egybevágósági transzformációival fogunk foglalkozni, de emlékezzünk csak vissza arra, hogy az axiómáik a síkban is érvényesek.

(Megjegyzés: Az axiómák között szereplő síkra vonatkozó tükrözés a síkon az egyenesre - tengelyre - vonatkozó tükrözés. Belátható, hogy minden egybevágósági transzformáció előáll három tengelyes tükrözés szorzataként. A tengelyek egymáshoz viszonyított elhelyezkedésének megfelelően is vizsgálhatnánk, melyen transzformációk keletkezhetnek. Az egybevágósági transzformációk ilyenfajta tárgyalásától most eltekintünk.)

3. 1. 1. Az egybevágósági transzformációk típusai

Az egybevágósági transzformációk függvények, így ezeknek a függvényeknek a pontos hozzárendelési szabályát kell megadnunk.

a) Tengelyes tükrözés

Definíció: Adott egy e egyenes (tengely) és egy P pont. Ha a P pont rajta van az e egyenesen, akkor a képe önmaga ( ). Ha a P pont nem illeszkedik az e egyenesre, akkor a képe az a P' pont, amelyre a PP' szakasz felezőmerőlegese az e egyenes.

Tulajdonságok:

Kölcsönösen egyértelmű.

A tengely pontjai fixpontok. A pontnak és képének a tengelytől való távolsága megegyezik. Távolságtartó. Szögtartó. A körüljárási irány megváltozik. (Nem körüljárástartó.) A pont képének képe maga a pont. A tengely által meghatározott félsíkokat felcseréli.

b) Eltolás

Definíció: A sík egy P pontjához a P ponttól adott irányban és adott távolságra lévő P' pontot rendeljük. Az eltolást mindig egy vektorral adjuk meg: .

Tulajdonságok:

Kölcsönösen egyértelmű. Távolságtartó. Szögtartó. Párhuzamosságtartó. Körüljárástartó. Nincs fixpontja. (Kivéve ha az eltolás vektora nullvektor.)

c) Forgatás

Definíció: A pont körüli forgatásnál megadjuk a sík egy O pontját (forgatás középpontja), valamint (nagyságával és irányával) a forgatás szögét. Ha a P pont egybeesik az O ponttal, akkor képe önmaga ( ). Ha P és O különböző pontok, akkor P pont képe az a P' pont, amelyre OP = OP', és a POP' szög nagysága és iránya a forgatás szögének nagyságával és irányával megegyezik.

Tulajdonságok:

Kölcsönösen egyértelmű. Távolságtartó. Szögtartó. Körüljárástartó. A forgatás középpontja fixpont.

d) Középpontos tükrözés

Definíció: Adott a sík O pontja (a középpontos tükrözés középpontja). Egy tetszőleges P pont képe önmaga, ha P megegyezik O -val, illetve az a P' pont, amelyre O a PP' szaksz felezési pontja. (A középpontos tükrözés 180°-os elforgatás.)

Tulajdonságok:

Kölcsönösen egyértelmű. Távolságtartó. Szögtartó. Körüljárástartó. A középpontos tükrözés középpontja fixpont. A középpontra nem illeszkedő egyenes párhuzamos képével.

e) Csúsztatva tükrözés

Definíció: Egy eltolás és az eltolás irányával párhuzamos tengelyű tengelyes tükrözés szorzatát csúsztatva tükrözésnek nevezzük.

Tulajdonságok:

Kölcsönösen egyértelmű. Távolságtartó. Szögtartó. Körüljárástváltó. Nincs fixpontja.

3. 1. 3. Egybevágó alakzatok

Definíció: Két alakzatot egybevágónak mondunk, ha van olyan egybevágósági (távolságtartó) transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át.

Jele: . Például: .

Tétel: Két háromszög egybevágó, haa) oldalaik hossza páronként egyenlő.b) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők.c) egy-egy oldaluk hossza és az ezeken fekvő két szögük páronként egyenlő.d) két-két oldal hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal

szemben lévő szögek egyenlők.

Bizonyítás:

A tételt nem bizonyítjuk, elfogadjuk. A megfelelő egybevágósági transzformációkat kellene megtalálnunk.

Tétel: Két sokszög egybevágó, haa) megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza egyenlő.b) megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik páronként egyenlők.

Bizonyítás:

Nem részletezzük.

Definíció: Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzat síkjában létezik olyan tengely, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga.

Például: Négyzet, téglalap, kör rombusz, szabályos háromszög, egyenlő szárú háromszög, szimmetrikus trapéz.

Definíció: Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga.

Például: Négyzet, paralelogramma, kör, téglalap.

Definíció: Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át.

Például: Kör, négyzet.

4. A háromszögekről

A következőkben háromszögekkel kapcsolatos tételeket gyűjtünk össze. Bizonyos fogalmat is tisztázunk.

Definíció: Három, nem egy egyenesre illeszkedő pont meghatároz egy zárt töröttvonalat. Ezt a síkrészt háromszögnek nevezzük. A töröttvonalat alkotó szakaszok a háromszög oldalai, a megadott pontok a háromszög csúcsai.

4. 1. Általános háromszögekre vonatkozó tételek

Definíció: A háromszög három oldalegyenesének a háromszögön belüli hajlásszögei a háromszög belső szögei. A belső szögeket 180°-ra kiegészítő szögek a háromszög külső szögei.

Tétel: Minden háromszög belső szögeinek összege 180°.

Bizonyítás:

Készítsük el ezt az ábrát. Azaz húzzunk párhuzamost az AB oldalegyenessel a C csúcson át. A keletkező szögek -val és -val váltószögek, így egyenlők is velük. A C csúcsnál lévő három szög összege 180°-ot ad, azaz .

És ezt akartuk megmutatni…

Tétel: A háromszög egy külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

Bizonyítás:

Húzzunk párhuzamost a B csúcson át az AC oldallal. Ez az egyenes a külső szögét két másik szögre bontja. Az egyik szög és egyállású szögek, így egyenlők. A másik szög és váltószögek, így egyenlők. Így a külső szöge és összegeként előáll: .


Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°.

Bizonyítás:

Használjuk fel az előző tételt:

De tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.


Tétel: Bármely háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak.

Bizonyítás:

Tekintsük az ABC egyenlő szárú háromszöget ( ):

Az AB oldal felezőmerőlegesére (t) történő tükrözés esetén az AC oldal képe a BC oldal lesz, az AB oldal képe pedig a BA (= AB) oldal. Így az szög képe a szög lesz. Mivel a tengelyes tükrözés szögtartó, így = .

(Megjegyzés: Ha a háromszög minden oldala azonos hosszúságú, akkor is igaz a tétel.)


Következmény: Különböző oldalakkal szemben nem lehetnek azonos nagyságú szögek egy háromszögben.

Tétel: Bármely háromszögben egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak vannak.

Bizonyítás:

Indirekt bizonyítunk.

Tegyük fel, hogy az azonos nagyságú szögekkel szemben különböző hosszúságú oldalak vannak. Ekkor az oldalakkal szemben lévő szögek viszont nem lehetnének azonos nagyságúak. Ez ellentmondást eredményez. Vagyis egyenlő nagyságú szögekkel szemben egyenlő hosszú oldalak vannak.


Tétel: Bármely háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van.

Bizonyítás:

Tekintsük az alábbi ábrát: .

A C csúcsból visszamérjük az a hosszt, így kapjuk a B' pontot. A BB'C háromszög egyenlő szárú, így a B-nél és a B'-nél lévő szög megegyezik (). Az külső szöge az ABB' háromszögnek, így < . De igaz az is, hogy < . Így < .


Tétel: Bármely háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van.

Bizonyítás:

Indirekt bizonyítjuk be a tételt.

Tegyük fel, hogy a nagyobb szöggel szemben van a rövidebb oldal. Ekkor az előző tétel értelmében a rövidebb oldallal szemben lenne a kisebb szög, ami ellentmondást eredményezne.

Így a nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van.És ezt akartuk megmutatni…

Tétel: Bármely háromszögben két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. (Háromszög-egyenlőtlenség)

Bizonyítás:

Elég belátni, hogy .

Tekintsük a következő ABC háromszöget:

A C csúcsból felmértük a b hosszt a BC egyenesre, így kaptuk az ABA' háromszöget. Mivel az ACA' háromszög egyenlő szárú, így az A-nál és A'-nél lévő szögek megegyeznek (). Az AA'B háromszögben az A-nál lévő szög nagyobb, mint az A'-nél lévő szög ( ). Mivel egy háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van, így .


Definíció: A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalszakaszok felezőmerőlegesei.

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

Bizonyítás:

Készítsünk ábrát:

Az oldalfelező merőleges definíciója szerint az oldalfelező egyúttal szakaszfelező, azaz a szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon.

Így a B és C pontoktól egyenlő távol lévő pontok halmaza. Az az A és C pontoktól egyenlő távol lévő pontok halmaza, és végül az A és B pontoktól egyenlő távol lévő pontok halmaza.

Tekintsük -t és -t. Ők biztosan metszik egymást. (Különben párhuzamosak lennének, de ekkor az a és b oldalak is párhuzamosak lennének, ami lehetetlenség.) Legyen a metszéspontjuk O.

Így .

Ekkor viszont O rajta van az -n is. (Hiszen -n az A-tól és B-től egyenlő távol lévő pontok vannak, és O pont ilyen.)

Ezért O a három oldalfelezőnek közös pontja. Mivel , így az O középpontú OA sugarú kör tartalmazza a másik két csúcsot is.


Definíció: A háromszög belső szögeinek szögfelező egyeneseit röviden a háromszög szögfelezőinek nevezzük.

Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja.

Bizonyítás:

Jöjjön egy ábra:

A szögfelező definíciója szerint:

a b-től és c-től egyenlő távol lévő pontok halmaza; az a-tól és c-től egyenlő távol lévő pontok halmaza; az a-tól és b-től egyenlő távol lévő pontok halmaza.

Az és biztosan metszik egymást, a metszéspontjuk legyen O.

A szögfelezők definíciója miatt így .

Ez viszont azt jelenti, hogy O-n áthalad is. Azaz O a három szögfelező metszéspontja.

Mivel O azonos távolságra van a három oldal egyenesétől, így az O középpontú a-t érintő kör érinti a b és c oldalakat is.


Tétel: A háromszög bármely szögfelezője a csúccsal szemben lévő oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja ketté. (Szögfelezőtétel)

Bizonyítás:

Most is a legfontosabb az ábra:

Vegyük fel az ABC háromszög AB oldalegyenesén a D pontot úgy, hogy , és A elválasztja B-t és D-t. Ekkor a DAC háromszög egyenlő szárú, egy alapon fekvő szöge pedig:

.

Ekkor az szögfelezője és a DC egyenes párhuzamosak. A DBC szögre a párhuzamos szelők tétele szerint:

.

És ezt akartuk megmutatni…Tétel: Bármely háromszög egy szögfelezője és a másik két belső szög külső szögének szögfelezője egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög hozzáírt körének középpontja. (Egy háromszögnek három hozzáírt köre van.)

Bizonyítás:

Készítsünk ábrát:

A szögfelező definíciója alapján:

→ az AC és AB egyenesektől egyenlő távol lévő pontok halmaza→ az AC és CB egyenesektől egyenlő távol lévő pontok halmaza→ az AB és BC egyenesektől egyenlő távol lévő pontok halmaza

Az és metszik egymást biztosan, ez a metszéspont legyen O.

Ekkor . Ebből az következik, hogy O rajta van az szögfelezőn. Így a három szögfelező egy pontban metszi egymást, amely az oldalegyenesektől

egyenlő távol van. Így tehát az O pont egy olyan kör középpontja, amely érinti az oldalegyeneseket.


Definíció: A háromszög egy oldalához tartozó magasságvonala az oldallal szemben lévő csúcsból az oldalra bocsátott merőleges egyenes. A háromszög egy magassága a magasságvonalnak az a szakasza, amelyet a háromszög megfelelő csúcsa valamint a magasságvonal és az oldal metszéspontja határoz meg.

Tétel: A háromszög három magassága egy pontban metszi egymást. Ez a pont a magasságpont.

Bizonyítás:

Rajzoljunk!

Az ABC háromszög egy-egy oldalával párhozamosokat húzunk a harmadik csúcsponton át. Így kapjuk a PQR háromszöget. A konstrukció miatt az ABQC és ABCP négyszög paralelogramma, ezért . Ez azt jelenti, hogy C felezési pontja PQ-nak. Az merőleges AB-re, így PQ-ra is. Ez azt jelenti, hogy egyenese PQ szakaszfelező merőlegese.

Hasonló okok miatt egyenese a PR szakaszfelező merőlegese, és a QR szakaszfelező merőlegese. Így a PQR háromszög három oldalfelező merőlegese. Az oldalfelezőkről tudjuk, hogy egy pontban metszik egymást. Így az ABC háromszög magasságai is. Jelöljük ezt a pontot M-mel. Ez lesz az ABC háromszög magasságpontja.


Definíció: A háromszög két oldalának felezési pontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.

Tétel: A háromszög egy középvonala párhuzamos a harmadik oldallal és fele olyan hosszú.

Bizonyítás:

Jöhet az ábra:

Elegendő lesz egy középvonalra belátni a tétel állítását.

Tekintsük az ACB szöget:

.

Így a párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt . Hasonlóképpen , így az négyszög paralelogramma, amely szemközti oldalai egyenlők, ezért

.


Definíció: Egy háromszögben egy csúcsot a szemközti oldal felezési pontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük.

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadoló pontja (azaz a súlyvonalat 1 : 2 arányban osztja két részre).

Bizonyítás:

Húzzuk meg az ABC háromszög A és B csúcspontjából kiinduló súlyvonalait. Az szakasz a háromszög egyik középvonala, amelyről tudjuk, hogy párhuzamos a harmadik oldallal és fele olyan hosszú, azaz:

.

Jelöljük a két súlyvonal metszéspontját S-sel. Rajzoljuk meg az ABS háromszög középvonalát. Erre is igaz, hogy

.

Így . Ezért négyszög paralelogramma. Annak átlói felezik egymást, így , azaz .

A két súlyvonal metszéspontja (az S pont) a súlyvonalakat 2 : 1 arányban osztja két részre. Ez az arány bármely két súlyvonalra fennáll (hasonlóan végiggondolható), ezért a harmadik súlyvonal is áthalad S-en.


4. 2. Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek

Definíció: Az olyan háromszöget, amelynek két hegyesszöge és egy derékszöge van, derékszögű háromszögnek nevezzük. (Milyen meglepő!). A derékszöggel szemben lévő oldal az átfogó, a két hegyesszöggel szemben lévő oldalak a befogók.

Tétel: Derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege az átfogó négyzetével egyenlő. (Pitagorasz tétele)

Bizonyítás:

Az a + b oldalú négyzetbe berajzolhatunk egy-egy a2 és b2 területű négyzetet és négy a és b befogójú derékszögű háromszöget, ahol α + β = 90˚.

Az a + b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget.

Mivel α + β = 90˚, ezért a keletkezett négyszög négyzet, amelynek oldala c, így a területe c2.

Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó derékszögű háromszöget, akkor a maradék síkidomok területe megegyezik. Vagyis a2 + b2 = c2


Tétel: Ha egy háromszög két oldala négyzetének összege a harmadik oldal négyzetét adja, akkor a háromszög derékszögű. (Pitagorasz tételének megfordítása)

Bizonyítás:

Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy a háromszög nem derékszögű, mégis igaz, hogy . Ekkor felvehető egy a, b, c' oldalú derékszögű háromszög. Erre igaz a Pitagorasz-tétel, azaz . Innen Így viszont az eredeti háromszög is derékszögű, hiszen a két háromszög egybevágó.

És ezt akartuk megmutatni…Tétel: Ha egy kör két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (Thalész tétele)

Bizonyítás:

A konstrukció miatt a BOC és AOC háromszögek egyenlő szárúak, így az alapon fekvő szögek egyenlők. Az ABC háromszög belső szögeinek összege 180°. Így . Ez azt jelenti, hogy . Így a C-nél lévő szög derékszög.


Tétel: Ha egy AB szakasz valamely C pontból derékszög alatt látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja a C pont. (Thalész tételének megfordítása)

Bizonyítás:

Rajzoljunk az AB szakaszra mint átmérőre kört. A kör belső pontjaiból a szakasz tompaszög alatt látszik, a kör külső pontjaiból hegyesszög alatt (ezt tétel biztosítja, ami nem részleteztünk, de könnyen átlátható, a külső és belső szögekre kell gondolni). Így a körvonal pontjaiból az AB szakasz 90° alatt látszik. A C pontból is derékszög alatt látszik az AB szakasz, így szükségképpen a körvonal pontja a C pont.


5. A négyszögekről

Definíció: A sík négy olyan pontja, amelyek közül semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre meghatároz egy zárt töröttvonalat. Ezt a síktartományt négyszögnek nevezzük.

Definíció: A négyszög átlói a szemközti csúcsokat összekötő szakaszok.

Definíció: A négyszög középvonalai a szemközti oldalak felezési pontjait összekötő szakaszok.

Tétel: Minden négyszög belső szögeinek összege 360°.

Bizonyítás:

Ha egy csúcsból behúzzuk a négyszög egyik átlóját, akkor az két háromszögre bontja a négyszöget. Ezen háromszögek belső szögei pont a négyszög belső szögeit adják meg. Mivel minden háromszög belső szögeinek összege 180°, így a négyszög belső szögeinek összege 360°.


Definíció: Az olyan négyszögeket, amelyeknek két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszúságú, deltoidoknak nevezzük.

5. 1. Paralelogrammák

Definíció: A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.

Tétel: Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, haszemközti szögei egyenlők;bármely két szomszédos belső szög összege 180°;szemközti oldalai egyenlők;átlói felezik egymást.

Bizonyítás:

Eltekintünk a bizonyítástól.

Tétel: A paralelogramma középvonala (két szemközti oldal felezési pontját összekötő szakasz) párhuzamos a másik két oldallal, és egyenlő hosszú velük.

Bizonyítás:

Triviális, hiszen a középvonal az oldalakkal együtt egy újabb paralelogrammát alkot.

Definíció: Az olyan paralelogrammát, amelynek szomszédos szögei egyenlők (90°-osak), téglalapnak nevezzük.

Definíció: Az olyan paralelogrammát, amelynek szomszédos oldalai is egyenlők (minden oldala egyenlő hosszú), rombusznak nevezzük.

Definíció: Az olyan paralelogrammát, amelynek szögei és oldalai is egyenlő, négyzetnek nevezzük.

5. 2. Trapézok

Definíció: Az olyan négyszöget, amelynek van két párhuzamos oldala, trapéznak nevezzük.

Tétel: A trapéz középvonala a trapéz alapjainak (a párhuzamos oldalak) számtani közepe.

Bizonyítás:

Tükrözzük a trapézt egyik szárának felezési pontjára ( ), így egy paralelogrammát kapunk.

Tudjuk, hogy a paralelogramma középvonala párhuzamos a megfelelő oldalakkal, és egyenlő hosszú velük:


5. 3. Húrnégyszögek

Definíció: Az olyan négyszöget, amelynek minden oldala egy kör húrja, húrnégyszögnek nevezzük.

Tétel: Bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°. (Húrnégyszögek tétele)

Bizonyítás:

Az A és C csúcsoknál lévő szögeket fogjuk vizsgálni. Behúzzuk az AC átlót, így ezeket a szögeket két-két részre bontjuk: .

Az így kapott szögek kerületei szögek. A kerületi és középponti szögek tétele értelmében egy húrhoz tartozó középponti szög kétszerese a húrhoz tartozó bármelyik kerületei szögnek. Az így kapott középponti szögek együtt 360°-ot adnak:


Tétel: Ha egy négyszög két-két szemközti szögének összege 180°, akkor ez a négyszög húrnégyszög. (Húrnégyszögek tételének megfordítása)

Bizonyítás:

Két húr egyértelműen meghatároz egy kört. Így három négyszögpont biztosan egy körön van. A negyedik pontnak is a körvonalon kell lennie, különben a szemközti szögek összege nem lehetne 180°, és nem kapnánk konvex négyszöget.


5. 4. Érintőnégyszögek

Definíció: Az olyan négyszöget, amelynek minden oldala egy körnek érintője, érintőnégyszögnek nevezzük.

Tétel: Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszúságának összege egyenlő. (Érintőnégyszögek tétele)

Bizonyítás:

Tétel: Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.

Bizonyítás:

6. Sokszögek

Definíció: Véges sok, egy síkban lévő pont meghatároz egy zárt törött vonalat. Ez pedig egy síktartományt, amelyet sokszögnek nevezünk. A pontok a sokszög csúcsai, a szakaszok a sokszög oldalai.

Definíció: Azokat a sokszögeket nevezzük konvexnek, amelyek bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz minden pontját tartalmazzák.

Definíció: Konkáv sokszögek azok, amelyek nem minden pontpárjára igaz az, hogy összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazza a sokszög.

Definíció: Szabályos sokszögnek nevezzük azokat a sokszögeket, amelyek minden oldala és minden szöge egyenlő nagyságú.

Tétel: Az n-oldalú konvex sokszög egy csúcsából n - 3 átló húzható.

Bizonyítás:

A kiválasztott csúcsból a két szomszédos csúcsba és magába a kiválasztott csúcsba nem lehet átlót húzni.


Tétel: Az n-oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma: .

Bizonyítás:

Az előző tétel értelmében egy csúcsból összesen n - 3 átló húzható. Mivel n csúcs van, ezért ez összesen átlót jelentene, de mivel ekkor minden átlót kétszer számoltunk, ezért

valójában átló van.


Tétel: Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege .

Bizonyítás:

Ha egy csúcsból behúzzuk a többi csúcsba vezető átlót, akkor az eredeti sokszöget n - 2 háromszögre bontjuk fel. Mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, és a háromszögek belső szögei a sokszög belső szögeit adják, így az állítás valóban igaz.


Documents

Geometria - Sulinet · Web viewGeometria 1. Bevezetés a geometriába A geometria a matematika legrégibb területének egyike. Igen változatos, sokszínű, és nem feltétlenül