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Prof. Jorge
Ângulos no triângulo
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Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante eigual a 180º.
A
C
B
r
A + B + C = 180º
+ C + = 180º
= A e = B
⇒
r // AB
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Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.
A
C
B
+ C = 180º
A + B + C = 180º
( I )
( II )
⇒
+ C = A + B + C
⇒
= A + B
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Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.
f
A
C
B
e = A + B
g
e
f = A + C
g = B + C
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Exemplo
Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.
Calcular a medida x do ângulo indicado.
B
A
D
76º 115º
C
x
y y76 + y = 115 y = 39º⇒
115 + y = x
115 + 39 = x
x = 154º⇒
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Congruência de triângulos
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Triângulos congruentes
Dois triângulos são congruentes, se e somente se, tiveremos lados dois a dois iguais e, também, ângulos internos doisa dois iguais.
AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’
A = A’ ; B = B’ e C = C’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
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Critérios de congruência
Existem alguns critérios mínimos que garantem acongruência de dois triângulos. São os casos decongruência.
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Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes doislados e o ângulo compreendido, então eles sãocongruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
L → AC = A’C’
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Exemplo
Provar que todos os pontos da mediatriz de um segmentosão eqüidistantes de seu extremos.
A
m
BM
P
L → PM = PM
A → PMA = PMB
L → MA = MB
Δ PMA = Δ PMB
⇒⇒
PA = PB
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Caso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo)
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes umlado e dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulossão congruentes.
A → A = A’
L → AB = A’B’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → B = B’
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Exemplo
Na figura, AB = AD e BC // DE. Provar que AC = AE.
B DA
A → B = D
L → AB = AD
A → CAB = EAD
Δ ABC = Δ ADE
⇒C
E
⇒
AC = AE
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Caso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo)
Se dois triângulos tem ordenadamente um lado, um ânguloe o ângulo oposto ao lado, então eles são congruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → C = C’
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Exemplo
Provar que todo ponto da bissetriz de um ângulo éeqüidistante de seus lados.
L → OP = OP
A → POA = POB
A → A = B
Δ PAO = Δ PBO
⇒
O
A
B
P
⇒
PA = PB
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Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
Se dois triângulos tem os três lados ordenadamentecongruentes, então esses triângulos são congruentes.
L → AB = A’B’
L → AC = A’C’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
L → BC = B’C’
A
C
B
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Exemplo
No triângulo ABC da figura, AB = AC e AM é a medianarelativa a BC. Provar que AM é também bissetriz interna ealtura relativas a BC.
L → AB = AC
L → AM = AM
L → BM = CM
Δ AMB = Δ AMC
⇒⇒
AM é bissetriz interna e
altura relativas a BC.
B
A
CM
