Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich dachy 04materialy.wb.pb.edu.pl/edwinkozniewski/files/2014/04/wyk_04.pdf · Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 4, 1–23. Geometria

Scriptiones GeometricaVolumen I (2014), No. 4, 1–23.

Geometria odwzorowan inzynierskichdachy 04

Edwin Kozniewski

Zak lad Informacji Przestrzennej

1. Obroty i k lady

Wykorzystywalismy juz pojecie obrotu przy znajdowaniu elementow wspolnych. Obrot okrelonejprostej lub p laszczyzny mia l doprowadzic te obiekty: prosta - do po lozenia czo lowego, p laszczyzne- do po lozenia rzutujacego.Obrot jest znanym przekszta lceniem okreslonym na p laszczyznie przez srodek obrotu oraz kat

obrotu lub w przestrzeni trojwymiarowej przez os obrotu i kat obrotu. W sensie geome-

Rys. 4-01: Ilustracja obrotu: i) na p laszczyznie; ii) w przestrzeni - rysunek pogladowy; iii) w rzutach

Monge’a

Edwin Kozniewski c© 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich, dachy 04

Rys. 4-02: Realizacja k ladu p laszczyzny α(A,w) poprzez sprowadzenie obrotu punktu tej p laszczyzny

do superpozycji dwoch obrotow p laskich w dwoch p laszczyznach. Jednym z nich jest k lad roznicowy

odcinka [OA]

trycznym obrot, jako przekszta lcenie, jest zbiorem par punktow. Jednak w celu wsparcianaszej wyobrazni obrot punktu wygodnie jest traktowac jako operacje fizyczna (dynamiczna).W przestrzeni, gdzie zwykle mowimy o obrocie doko la prostej (osi obrotu), kazdy punkt”obraca sie” w ”swojej” p laszczyznie, prostopad lej do osi obrotu, doko la punktu przecieciaosi obrotu z ta p laszczyzna.W rzutach Monge’a obrot naj latwiej opisuje sie, gdy os obrotu jest prostopad la do jednej zrzutni. Wowczas p laszczyzna obrotu jest rownoleg la do tej rzutni i prostopad la do drugiejrzutni. W pierwszym przypadku realizacja obrotu punktu w przestrzeni (w p laszczyznieobrotu tego punktu) jest izometryczna (niezmiennik N5) z operacja na rzutni (na rys. 4-01jest to rzutnia pozioma), w drugim - z uwagi na rzutujace po lozenie drugiej p laszczyzny (narys. 4-01 jest to p laszczyzna pionoworzutujaca) - latwe jest ”sledzenie” rzutu punktu w czasieobrotu, ktory ”porusza sie” po prostej.Obrot punktu A doko la prostej l mozemy interpretowac jako obrot p laszczyzny α(A, l) doko laprostej l. W rzucie tym (na rys. 4-01 - pionowym) odczytamy rzeczywista d lugosc promieniaobrotu punktu, gdy obracana p laszczyzna uzyska po lozenie rownoleg le do rzutni. Na rys. 4-01iii) p laszczyzna α1(l, A2) jest rownoleg la do rzutni pionowej, odcinek [OA2] jest rownoleg lydo rzutni pionowej. Wtedy odcinki [OA2], [O”A2”] sa przystajace. Jest rowniez odwrotnie.Jezeli rzut (na rys. 4.01iii) [O”A2”]) promienia obrotu (na rys. 4-01iii) [OA2]) punktu A doko la

prostej l na p laszczyzne rownoleg la do tej prostej l (na rys. 4-01iii) p laszczyzna ta jest rzutniapionowa), ma d lugosc rowna rzeczywistej d lugosci promienia (na rys. 4-01iii) OA2 = O”A2”),to p laszczyzna α(A2, l) jest rownoleg la do rzutni (na rys. 4-01iii) jest to rzutnia pionowa).Zauwazmy, ze obrot punktu A doko la prostej (osi l) jest rownowazny obrotowi p laszczyzny

E. Kozniewski: Geometria odwzorowan inzynierskich, dachy 04 3

α(A, l) doko la tej prostej.

1.1. K lad p laszczyzny

Fakt ten i powyzsza w lasnosc wykorzystamy przy wyznaczaniu tzw. k ladu p laszczyzny.K ladem p laszczyzny na wybrana rzutnie nazywac bedziemy obrot p laszczyzny doko la prostejlezacej na tej p laszczyznie o taki kat, ze p laszczyzna uzyskuje po lozenie rownoleg le do rzutni.W rzutach Monge’a sa to zwykle rzutnia pozioma lub pionowa. Praktyczny sens k ladu jest

Rys. 4-03: K lad w rzutach Monge’a p laszczyzny α okreslonej przez punkt A i prosta warstwowa w.

Os rzutow moze byc w tej konstrukcji pominieta: a÷a4) k lad roznicowy odcinka [OA]; a5) obrot

punktu A w p laszczyznie poziomej (realizowany de facto na rzutni poziomej)

taki, ze jeden z rzutow prostokatnych obroconej p laszczyzny odzwierciedla zwiazki miarowetej p laszczyzny, tj. odleg losci, katy, kszta lty figur.K lad p laszczyzny wykonywac bedziemy w oparciu o spostrzezenie dotyczace d lugosci promienia

obrotu. Rysunek 4-02 ilustruje - w ujeciu pogladowym - operacje i konstrukcje k ladu narzutnie pozioma, tj. obrotu p laszczyzny doko la dowolnej jej prostej poziomej (warstwowej) w

do po lozenia rownoleg lego do rzutni poziomej: punkt Ao - obraz obracanego punktu A musiznalezc sie na prostej prostopad lej do prostej w′ (NCH) 1 w odleg losci rownej rzeczywistejd lugosci odcinka (promienia obrotu) [OA] (N5). Rzeczywista d lugosc odcinka [OA] znajdu-jemy poprzez k lad roznicowy. Rysunki: 4-03 oraz od 4-04 do 4-05 pokazuj kolejne etapy kon-strukcji k ladu p laszczyzny w dwoch sytuacjach. W pierwszej sytuacji p laszczyzna okreslonajest na poczatku za pomoca jej prostej warstwowej i punktu nie lezacego na tej prostej (na rys.4-03 sa to: prosta w(w′, w”) i punkt A(A′, A”)). W drugiej ods lonie p laszczyzna jest okreslona

1NCH oznacza niezmiennik charakterystyczny rzutu prostokatnego, tzn. nastepujaca w lasnosc: it jezelijedno ramie kata prostego jest rownoleg le do rzutni, drugie zas nie jest prostopad le, to rzutem prostokatnymkata prostego jest kat prosty


Rys. 4-04: K lad w rzutach Monge’a p laszczyzny okreslonej przez dwie proste a(a′, a”), b(b′, b”).

Wybieramy najpierw: a1÷a2) dowolna prosta warstwowa tej p laszczyzny; a3÷a5) konstrukcje real-

izujemy analogicznie jak na rys. 4-03 (cdn)

Rys. 4-05: K lad p laszczyzny (cd): a6) k lad Ao punktu A; a7) proste ao, bo w k ladzie (rzeczywiste

po lozenie prostych, w tym kata miedzy nimi)

jest za pomoca dwoch prostych przecinajacych sie (na rys. 4-04 sa to proste a(a′, a”), b(b′, b”)).W celu dokonania k ladu wybieramy wczesniej dowolna prosta warstwowa tej p laszczyzny (rys.


4-04a÷a2), nastepnie powtarzamy konstrukcje z rys. 4-04, by na koniec narysowac proste(a, b) w k ladzie (ao, bo) (rys. 4-05a7).

2. Prostopad losc w rzutach Monge’a

Aby scharakteryzowac w rzutach Monge’a prostopad losc rozwiazmy takieZadanie 4-01. Znalezc rzuty prostej, prostopad lej do p laszczyzny rownoleg loboku, prze-

Rys. 4-06: Konstrukcja p laszczyzny prostopad lej do prostej l; b) wybieramy dowolna prosta a

prostopad la do prostej l (prosta a∗ ilustruje prostopad lsc prostej a do prostej l l⊥a∗||a); c) wybieramy

druga prosta b prostopad la do prostej l; d) prosta l jest prostopad la do p laszczyzny α(a, b)

chodzacej przez dany punkt (rys. 4-06).Za lozmy, ze dane sa rzuty [A′B′C ′D′], [A”B”C”D”] rownoleg loboku [ABCD] oraz rzuty L′,

L” punktu L. Znajdziemy rzuty l′, l” prostej l przechodzacej przez punkt L i prostopad lejdo p laszczyzny rownoleg loboku. Pamietamy, ze prosta jest protopad la do p laszczyzny wtedy

i tylko, gdy jest prostopad la do dwu prostych nierownoleg lych lezacych ne tej tej p laszczyznie

(rys. 4-06). Proste te mozemy wybrac dowolnie i w zwiazku z tym wybierzemy proste:pozioma (warstwowa) w i czo lowa c. Wyboru takiego dokonujemy z uwagi na mozliwosc wyko-rzystania niezmiennika NCH dzieki ktoremu prostoapd losc szukanej prostej l do prostych w

i c przenosi sie na rzuty. Tzn. rzut poziomy l′ prostej l jest prostopad ly do rzutu poziomegow′ (rys. 4-08a2), rzut pionowy l” jest prostopad ly do rzutu pionowego c” prostej czo lowej c

(rys. 4-09a4). Mozemy to zapisac

l⊥ω(w, c) =⇒ l′⊥′w ∧ l”⊥c”. (1)


Rys. 4-07: a) Dany jest rownoleg lobok [ABCD]([A′B′C ′D′], [A”B”C”D”]) oraz punkt L(L′, L”);

a1) wybieramy dowolna prosta warstwowa w(w”||x) p laszczyzny rownoleg loboku (cdn)

Rys. 4-08: a2) konstruujemy rzut poziomy l′ szukanej prostej l; a3) wybieramy dowolna prosta

czo lowa c(c′||x) p laszczyzny rownoleg lboku (cdn)

Jest to ciekawy wniosek ale o wiele wazniejsza by laby implikacja odwrotna, tzn., by na pod-stawie rzutow danej prostej stwierdzic czy prosta ta jest prostopad la do p laszczyzny. Otoz


Rys. 4-09: a4) konstruujemy rzut pionowy l” szukanej prostej l; a5) prosta l⊥γ(ABCD)(l′⊥w′ i

l”⊥c”)

implikacja odwrotna jest prawdziwa jesli wy laczymy przypadek, w ktorym prosta l nie jestprostopad la do osi x rzutow. W wy laczonym bowiem przypadku p laszczyzna jest rownoleg lado osi x i jej rodziny prostych warstwowych i czo lowych pokrywaja sie. Wy laczenie tego przy-padku nie jest rzecza nowa. Wszak pamietamy, ze w przypadku, gdy prosta jest prostopad lado osi rzutow pojawiaja sie k lopoty z odwzorowaniem prostej (rys. 2-06h) czy tez okresleniemprzynaleznosci punktu do prostej (rys. 3A-09b1, 3A-11, 3A-13). Zwykle w takich sytuacjachpos lugujemy sie rzutem bocznym. Ale powrocmy do charakteryzacji prostopad losci. Za lozmy,ze spe lniony jest warunek l′⊥′w ∧ l”⊥c” dla pewych prostych poziomej w i czo lowej c takich,ze ¬(w ‖ c). Wyobrazmy sobie dwie p laszczyzny: poziomorzutujaca α i pionoworzutujaca β

przechodzace przez prosta l. Zachodza wowczas rownosci: l′ = α′ i l” = β”. Prostopad loscprostej w′ do prostej l′(= α′) implikuje, wobec rownoleg losci prostych w′ i w, prostopad loscprostej w do prostej l lezacej w p laszczyznie α. Podobnie rozumujac w odniesieniu do prostej c,prostej l i p laszczyzny β wnioskujemy, ze prosta c jest prostopad la do prostej l. Zatem prostal jest rownoczesnie prostopad la do prostych w i c (z za lozenia nierownoleg lych). Mozemy wiecnapisac rownowaznosc:

l¬⊥x =⇒ l⊥ω(w, c) ⇐⇒ l′⊥′w ∧ l”⊥c”. (2)

3. Rozwiazywanie dachow

3.1. Dachy na budynkach wolnostojacych

Rozwazac bedziemy dachy utworzone z p laskich wielokatow zwanych po laciami dachowymi

przy za lozeniu, ze gorne krawedzie scian budynku tworza p laski wielokat, ktory nazywacbedziemy podstawa dachu. Rozwiazanie dachu przy danej jego podstawie polega na wyz-


naczeniu po laci tworzacych ten dach oraz katow miedzy nimi. Zgodnie z przytoczonym

Rys. 4-10: Dachy kszta ltuja krajobraz: a) budynek liceum w Augustowie (zbudowany 1922) z

dachem regularnym i rzut prostokatny szkieletu tego dachu; b) wspo lczesny dom jednorodzinny z

regularnym dachem i rzut prostokatny szkieletu tego dachu; c) wspo lczesny dom jednorodzinny z

nieregularnym dachem i rzut prostokatny szkieletu tego dachu

twierdzeniem krawedzie zetkniecia sie po laci zawieraja sie w osiach symetrii okapow, ktorenajczesciej sa dwusiecznymi katow. Dachy na budynkach wolnostojacych, tzn. nie przyle-gajacych do innych, rozwiazywac bedziemy przy dwu nastepujacych za lozeniach:• przez kazdy bok wielokata przechodzi po lac dachowa,• wszystkie po lacie okreslonego dachu tworza jednakowe katy z poziomem.Okapem po laci dachowej nazywamy krawedz p laszczyzny tej po laci z podstawa dachu. Kalenica

jest to wspolna (gorna) krawedz po laci o okapach rownoleg lych, linia narozna jest to ”wy-puk le zetkniecie sie” (krawedz) dwu po laci o nierownoleg lych okapach, linia koszowa - ”wkles lezetkniecie sie” dwu po laci o nierownoleg lych okapach. Jezeli linia narozna nie dochodzi dowierzcho lka wielokata podstawy dachu, to nazywamy ja narozem zgubnym. Kalenice i linie


Rys. 4-11: Czesciowo-regularny dach budynku Wydzia lu Ekonomicznego Universytetu w

Bia lymstoku i rzut prostokatny czesci szkieletu budynku z architektoniczna modyfikacja dachu reg-

ularnego w kierunku czesciowo regularnego dachu (a → a’ → a” → a”’). U gory fragment miasta

z budynkiem atrialnym Wydzia lu Ekonomicznego Universytetu w Bia lymstoku oraz atrialny zespo l

budynkow Wyzszego Seminarium Duchownego (fot. W. Wo lkow)

narozne zgubne tworza linie grzbietowa dachu. Przy rozwiazywaniu dachu korzystac bedziemyz nastepujacego twierdzenia geometrii: jezeli dwie p laszczyzny tworza rowne katy z rzutnia, to

rzut prostokatny krawedzi tych p laszczyzn jest osia symetrii sladow tych p laszczyzn. Przejdzmydo rozwiazania dachu, ktorego podstawe ilustruje rysunek 4-12a). Dla pe lnego okresleniadachu zadajemy jeszcze kat nachylenia po laci. Rozwiazanie, ktore zawsze rozpoczynamy odrzutu poziomego, nie zalezy od kata nachylenia po laci. Dach moze byc bardziej lub mniejstromy. Dla u latwienia rozwiazania oznaczamy kolejne po lacie numerujac okapy. Okap oz-naczamy numerem, krawedz oznaczamy para znakow opisujacych po lacie tworzace te krawedz,wierzcho lek - trojka znakow wyznaczajacych ten wierzcho lek. Wierzcho lek dachu moze bycczescia wspolna wiecej niz trzech po laci. Mamy wowczas do czynienia z pojeciem nieregu-


larnosci szkieletu dachu 2 . Dach regularny to taki, w ktorym w kazdym wierzcho lku ”spo-tykaja sie” dok ladnie trzy krawedzie i kazda po lac ma dok ladnie jeden okap. W przeciwnymprzypadku mowimy o dachu nieregularnym. Na rys. 4-10c) nieregularny dach ma trzy punktynieregularnosci, dwa z nich sa konsekwencja posiadania przez dwie po lacie po dwa okapy, trzecijest miejscem spotkania wiecej niz trzech krawedzi. Nieregularnosc dachu jest wprawdzie kat-egoria czysto geometryczna. Ale jest to w lasnosc grafu implikujaca cechy estetyczne dachu3 . Kszta lt geometryczny dachu zalezec bedzie nie tylko od kszta ltu wielokata podstawy aletakze od proporcji poszcaegolnych bokow wielokaata podstawy. Jezeli chcemy miec okreslonykszta lt dachu (lub inaczej nie chcemy by kszta lt dachu by l przypadkowy) powinnismy przyprojektowaniu budynku, na poczatku przy okreslaniu planu dokonali analizy kszta ltu dachu.Zasade rozwiania, pe lny algorytm wykonania geometrycznego projektu (dachu jako pewnejpowierzchni wielosciennej) przedstawiamy na rysunkach od 4-12 do 4-20.

Rys. 4-12: Aby rozwiazac dach: a) o podstawie wielokata (liczby oznaczaja d lugosci bokow np. w

[mm]); a1) numerujemy okapy (po lacie); prowadzimy symetralne katow; a2) oznaczajac je parami nu-

merow po laci; rozwiazanie rozpoczynamy od po laci 7: dwusieczne (7,1) i (7,6) zamykaja po lac 7; a3)

z punktu (1,7,6) prowadzimy brakujaca krawedz (6,1) jako symetralna okapow 6, 1 i zamykamy po lac

1 krawedzia (1,2); a4) z punktu (1,2,6) wychodzi brakujaca krawedz (6,2) (przed luzamy wczesniej

linie okapow 6, 2), ktora; a5) spotykajac krawedz (6,5) zamyka po lac 6 (cdn)

3.2. Dachy z sasiadami

Inna nieco kategorie stanowia dachy z ograniczeniami lub z sasiadami (rys. 4-19). Zak ladasie, ze pewne boki wielokata podstawy dachu lub ich czesci nie moga byc okapami. W rzeczy-

2Regularnosc dachu zwiazana jest z regularnoscia grafu dachu. Dla dachu regularnego daje sie sformu lowactwierdzenie Eulera.

3Jest interesujaca rzecza, ze dach regularny oparty na podstawie wieloka o bokach prostopad lych lubrownoleg lych do danego kierunku, majacy wiecej niz cztery okapy musi miec krawedzie koszowe i nieparzystaliczbe po laci. Przedstawiony na rys. 4-12a dach jest regularny ale jego okapy nie spe lniaja warunkurownoleg losci do podstawowych kierunkow na p laszczyznie. Stad nieparzysta liczba okapow.


Rys. 4-13: a6) z punktu (2,6,5) prowadzimy krawedz (5,2) jako symetralna kata miedzy okapami 5,

2 (przed luzamy wczesniej linie okapow 5, 2) i zamykamy po lac 5 pierwsza napotkana krawedzia (5,4);

a7÷a8) zamykamy po lac 2 pierwsza napotkana krawedzia (2,3), w tym samym punkcie spotykamy

krawedz (4,3) zamykamy po lac 3; a9) pogrubiamy otrzymane krawedzie szkieletu dachu. Po ustaleniu

kata nachylenia po laci ψ dach jest jednoznacznie okreslony; a10) kat ten okresla sie np. przez

ustalenie rzutu pionowego po laci 7; a11) znajdujemy rzut pionowy krawedzi (6,1) (rownoleg ly do

rzutni poziomej); a12) rzut pionowy krawedzi (6,2) (slad prostej (6,2) jest punktem przeciecia sie

okapow 6, 2); a13) rzut pionowy krawedzi (6,5) (cdn)

wistosci, w praktyce oznacza to, ze w kierunku danego odcinka (odcinkow) bokow wielokata


Rys. 4-14: a14) rzut pionowy krawedzi (1,2); a15) po laci 5; a16) krawedzi (4,2); oraz a17) po laci

3. K lad po laci 2: a18) wybieramy punkt P (P ′, P”) i os obrotu (okap 2) i prowadzimy przez P ′

prosta prostopad la do okapu 2; a19) przez punkt P ′ prosta prostopad la do tej prostej, znajdujemy

punkt O′; a20) odmierzamy wysokosc hp punktu P by znalezc k lad boczny P punktu P , ktory; a21)

laczymy z punktem O′ otrzymujac k lad promienia obrotu rP (cdn)


Rys. 4-15: a22÷a25) otrzymujemy k lad P o punktu P i krawedzi (2,3); oraz a23) krawedzi (4,2)

Rys. 4-16: Kat miedzy po laciami 4 i 5 znajdujemy konstruujac p laski kat przekroju p laszczyzna

α prostopad la do krawedzi: a2) k(k′, k′′)=(4,5); a3÷a4) wybieramy na krawedzi dowolny punkt

A(A′, A′′) (A ∈ α); i a5) prosta czo lowa c(c′, c′′); a6) rzut pionowy sladu poziomego H ′′

c (cdn)

podstawy nie moze sp lywac woda deszczowa. Na rysunku fragmenty podstawy dachu (projek-towanego budynku), gdzie nie moze sp lywac woda, zaznaczamy podwojna linia (rys. 4-18a).Linia ta oznaczac moze budynek sasiedni. By odpowiednio odprowadzic wode wprowadzamydodatkowe po lacie (a wiec i okapy) wczesniej zaznaczajac kierunek odp lywu wody. Musimy


Rys. 4-17: Znajdujemy: a7) slad poziomy Hc; a8) slad poziomy hα szukanej p laszczyzny α; a9)

szukany kat; a10÷a14) k lad tego kata

Rys. 4-18: Dach: a) z sasiadami (liczby oznaczaja d lugosci bokow np. w [mm]) rozwiazujemy;

przyjmujac a1) dodatkowe po lacie a wiec okapy I, II, III prostopadle do kierunkow odprowadzenia

wody; konstruujemy dwusieczne wszystkich katow; a2) zamykamy po lacie I, 1, 2=III; a3) prowadz-

imy krawedz (3,6); a4) zamykamy po lacie II, 4, 6; a5) krawedz (3,5) zamyka ostatnie po lacie 5,

3


Rys. 4-19: Piec rzutow dachu z rysunku 4-18, m.in. z gory (plan), z przodu (elewacja g lowna)

Rys. 4-20: Dach atrialny czyli dach z (dwoma) podworkami. Konstrukcje szkieletu dachu

sprowadzono do rozwiazania dachu nad wielokatami jednspojnymi (bez ”dziur”) poprzez a1) podzia l

wielokata podstawy; a2) na trzy podwielokaty (cdn)

wiedziec, ze woda na danej p laszczyznie sp lywa wzd luz linii spadu tej p laszczyzny, ktore saprostymi prostopad lymi do warstwic (prostych warstwowych) tej p laszczyzny. Prosta warst-wowa p laszczyzny jest kazda prosta rownoleg la do p laszczyzny poziomej. Kazdy okap jest


Rys. 4-21: Dach atrialny czyli dach z (dwoma) podworkami. Konstrukcje szkieletu dachu

sprowadzono do rozwiazania dachu nad wielokatami jednspojnymi (bez ”dziur”) poprzez: a3)

podzia l wielokata podstawy na trzy podwielokaty i rozszerzenie poprzez wyciagniecie odpowied-

nich fragmentow (operacja boolowska sumowania); a4) i rozwiazanie kazdego zwyk lego dachu; a5)

obciecie (operacja boolowska roznicy lub iloczynu ze stosownie dobranymi prostopad loscianami); a6)

po laczenie (operacja sumy) otrzymanych czesci dachu (cdn)

prosta warstwowa po laci dachowej. Woda sp lywa wiec prostopadle do okapu. Zatem majacdany kierunek sp lywu wody nowe okapy rysujemy prostopadle do tego kierunku.


Rys. 4-22: Dach atrialny czyli dach z (dwoma) podworkami. Konstrukcje szkieletu dachu sprowad-

zono do rozwiazania dachu nad wielokatem jednspojnym (bez ”dziury”): a1) poprzez przekszta lcenie

wielokata wielospojnego na jednospojny - usuniecie czesci wielokata (operacja boolowska roznicy

lub iloczynu ze stosownie dobranymi prostopad loscianami); a2) rozwiazanie zwyk lego dachu nad

wielokatem jednospojnym; a3) wstawienie ”brakujacych” czesci dachu (po laczenie - operacja sumy)

Rys. 4-23: Automatyzacja za pomoca CAD rozwiazania dachow z ograniczeniami: a) ograniczenie

indukujace dach z jednym punktem spustowym; b) ograniczenie indukujace dach z dwoma punktami

spustowymi; c) dach bez okapow z piecioma punktami spustowymi


Rys. 4-24: Rozwiazanie dachu z ograniczeniem generujacym jeden punkt spustowy: c1) rozszerze-

nie wielokata generujace jeden punkt spustowy; a2) otrzymany wielokat ma jeden bok o bardzo

ma lej (infinitezymalnej) d lugosci; a3) rozwiazanie zwyk lego dachu nad wielokatem jednospojnym;

a3) obciecie czesci uzupe lnionej czyli operacja boolowska (roznica lub iloczyn)

Rys. 4-25: Rozwiazanie dachu z ograniczeniem generujacym dach z dwoma punktami spustowymi:

b1) rozszerzenie wielokata generujace dwa punkty spustowe; b2) otrzymany wielokat ma dwa boki

o bardzo ma lej (infinitezymalnej) d lugosci; b3) rozwiazanie zwyk lego dachu nad wielokatem jed-

nospojnym; a3) obciecie czesci uzupe lnionych czyli operacja boolowska (roznica lub iloczyn)

Rozwiazujac dach o podstawie na rysunku 4-18a wprowadzamy trzy dodatkowe okapy. W celuodroznienia ich od okapow budynku wolnostojacego oznaczamy je rzymskimi cyframi (rys. 4-18a1). Prowadzimy dwusieczne wszystkich katow, ktore sa utworzone przez sasiadujace okapy,


Rys. 4-26: Rozwiazanie dachu z pe lnym ograniczeniem generujacym dach z piecioma punktami spus-

towymi: c1) rozszerzenie wielokata generujace piec punktow spustowych; c2) otrzymany wielokat

ma piec bokow o bardzo ma lej (infinitezymalnej) d lugosci; c3) rozwiazanie zwyk lego dachu nad

wielokatem jednospojnym; c4) obciecie czesci uzupe lnionych czyli operacja boolowska (roznica lub

iloczyn)

w tym rowniez okapy nowe (rys. 4-18a1). Woda bedzie odprowadzana tak jak wskazujastrza lki. Idac wzd luz wielokata podstawy dachu zgodnie ze wskazowkami zegara i rozpoczy-najac analize od najwyzej po lozonej na rysunku strza lki woda bedzie odprowadzana kolejnoprostopadle do okapow: I, 1, 2, III, 4, II, 3. Zauwazmy, ze okap III jest przed luzeniem okapu 2.Po lac 2 jest wiec identyczna z po lacia III 4 . Geometria dachow z ograniczeniami to nic innegojak geometria dachow na budynkach wolnostojacych, gdzie dowolna powierzchnie wielosciennajaka jest dach poddajemy operacji roznica (union). Dok ladniej, operacja rozwiazania dachupolega na zaprojektowaniu budynku wolnostojacego tak, by po usunieciu (odcieciu) p laszczyznamipionowymi fragmentow powierzchni i zastapieniu ich wielokatami lezacymi w tych p laszczyznachotrzymac zadany dach.W sensie geometrii elementarnej geometria dachow - to wyspecjalizowany dzia l powierzchniwielosciennych majacych interesujace w lasnosci praktyczne.

3.3. Dachy atrialne i z sasiadami rozwiazywane za pomoca CAD

Przedstawimy tu propozycje geometrycznego projektowania (rozwiazania geometrycznego)dachow z ograniczeniami, czyli z ”sasiadami”, dachow atrialnych oraz dachow budynkow zpodworkami pozwalajace wykorzystac oprogramowanie CAD do automatycznego rozwiazywanialub wspomagania rozwiazywania. Dachy z ograniczeniami konstruuje sie poprzez sprowadze-

4Mamy wiec sytuacje, w ktorej po lac posiada dwa rozne okapy. Taki dach nie da sie juz na pewnorozszerzyc do dachu regularnego budynku wolnostojacego. Przez rozszerzenie dachu rozumiec bedziemy takieuzupe lnienie wielokata podstawy, ze dach staje sie dachem budynku wolnostojacego i fragmentem tego dachujest dany dach z ograniczeniem.


Rys. 4-27: Szkielety dachow o wielokatach podstaw z rys. 4-23

nie ich (poprzez rozszerzenie wielokata podstawy) do dachow zwyk lych, tj. rozpietych nadwielokatem jednospojnym. Nastepnie do zaprojektowanych wczesniej dachow zwyk lych sto-suje sie dzia lania boolowskie. Dachy z podworkami projektuje sie rowniez na bazie wykszta l-towanych wczesniej dachow nad wielokatami jednospojnymi poprzez infinitezymalne wycieciawielokata wielospojnego. Coraz bardziej powszechne metody pos lugiwania sie programamikomputerowymi przy projektowaniu architektoniczno-budowlanym umozliwiaja, czy tez mozelepiej powiedziec wymuszaja, zupe lnie rozne od tradycyjnego, podejscie do geometrycznegorozwiazania dachu budynku graniczacego bezposrednio z innymi budynkami (tzw. dachu z”sasiadami” lub ograniczeniami) 5 lub posiadajacego ograniczenie z innych powodow, np.estetycznych. Tradycyjne rozwiazanie dachu (por. rys. 4-18a1) wymaga wprowadzeniadodatkowych po laci, a wiec okapow, by odprowadzic wode od sasiada (rys. 4-18a2) lubrownolegle do krawedzi z sasiadem (na rys. 4-18a1 kierunek ten wskazuja strza lki), co wymagaod projektanta wykonania roznych, nierzadko skomplikowanych, zabiegow. Czesto problemmusimy traktowac indywidualnie. Pomys l zaprzegniecia komputera do wykonania tej pracy,czy nawet uzycia komputera do wspomagania realizacji postawionego zadania wymaga ujedno-licenia (uczynienia uniwersalnym) algorytmu postepowania, by moc skorzystac z istniejacychprogramow lub napisac w lasne nak ladki badz autonomiczne aplikacje 6 . W proponowa-

5Przy projektowaniu dachow nalezy brac pod uwage sciany przyleg lych budynkow. Po lacie powinny byctak zaprojektowane, zeby woda nie sp lywa la na mur sasiadujacy

6Wsrod istniejacych procedur graficznych realizujacych sciety dach dla wielokata (wielokat wyt loczony)warto wymienic polecenie EXTRUDE (WYCIAGNIJ) w systemie AutoCAD wszystkich generacji, poczynajacod wersji 14. Jest rzecza interesujaca, ze odpowiednik, czy dok ladniej mowiac przodek tej funkcji - polecenieSOLEXT z pakietu AME w wersji 12 programu AutoCAD realizuje nie tylko sciety szkielet dachu, ale takzepe lny dach. Polecenie to mozna wykorzystac do konstruowania dachow, a wiec do projektowania geometriidachow w standardowej wersji programu AutoCAD. Wersja 11 tego systemu nie zawiera tej funkcji, chociazzawiera pakiet AME.

Za pomoca dostepnego na rynku programu ArCon 5.0 tego typu dachy mozna projektowac.


Rys. 4-28: Projektowanie geometrii dachu z ograniczeniami poprzez rozwiazanie dachu zwyk lego z

pozniejszymi korektami: a1) strza lki wskazuja kierunek odp lywu wody i wymuszaja istnienie nowych

okapow; a2) linie przerywane oznaczaja dodatkowe okapy; a3) wyznaczenie podstawy dachu po-

mocniczego; a4) dach pomocniczy; a5) wyznaczone po lacie odprowadzajace wode we w lasciwych

kierunkach

nej metodzie wprowadzenie dodatkowych po laci (okapow) uzyskuje sie poprzez rozszerzeniew sposob naturalny (bez wprowadzania okapow pozornych) wielokata podstawy dachu (czyliplanu budynku) (rys. 4-24a1, 4-25b1, 4-26c1). Rozwiazanie spowadza sie wiec do odpowied-niego zanurzenia dachu z ograniczeniami w dach nad wielokatem jednospojnym (rys. 4-24a1, 4-25b1, 4-26c1), rozwiazania zwyk lego (standardowego) dachu (rys. 4-24a4, 4-25b3,4-26c4) i wykonania odpowiednich operacji boolowskich. (roznica (subtract), iloczyn (inter-sect), suma (union)) (rys. 4-24a1, 4-25b1, 4-26c1). Moze sie zdarzyc, ze rozwiazanie dachu,poprawne geometrycznie, jest nie do przyjecia pod wzgledem konstrukcyjno-technologicznym.Wada polega na takim ukszta ltowaniu dachu, ze pojawia sie w nim krawedz koszowa wkles lao ma lym nachyleniu lub (co jest juz zupe lnie niedopuszczalne) rownoleg la do p laszczyznypodstawy dachu (rys. 4-29b, 4-29c). Pozioma wkles la (koszowa) kalenica lub krawedz zma lym nachyleniem, dyskwalifikuje rozwiazanie dachu z inzynierskiego punktu widzenia. Narysunku 4-29 mamy trzy rozne rozwiazania dachu o danej podstawie (rys. 4-29a). Pierwsze,poprawne rozwiazanie jest nastepstwem zastosowania metody topograficznej, ktora polega nadokonywaniu poziomego przekroju dachu i, przy okreslaniu (znajdowaniu) kolejnego nowego


Rys. 4-29: Trzy rozne rozwiazania dachu: a) nad osmiokatem; a1) rozwiazanie poprawne pod

wzgledem technologicznym; b) wadliwe technologicznie rozwiazanie jako efekt operacji boolowskiej

dwu poprawnie rozwiazanych dachow (b1); c) inn wadliwe technologicznie rozwiazanie jako efekt

operacji boolowskiej dwu poprawnie rozwiazanych dachow (c1)

wierzcho lka, badaniu czy zmieni l sie kszta lt topologiczny przekroju 7 . Funkcja SOLEXT wprogramie AutoCAD w. 12, takie rozwiazanie wyklucza, co jednak nie zwalnia projektantaod inzynierskiej weryfikacji rozwiazania.

Literatura

7Szczego lowe informacje na temat metody topograficznej znajdziemy w monografii Edwina Kozniewskiego:Geometria dachow. Teoria i zastosowania. Wydawnictwo Politechniki Bia lostockiej, Bia lystok, 2007.


[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreslna z perspektywa stosowana. WydawnictwoNaukowe PWN. Warszawa 1995.[Lew95] Z. Lewandowski: Geometria wykreslna. PWN. Warszawa 1987.[Koz07] E. Koniewski: Geometria dachow. Teoria i zastosowania. Wydawnictwo Politech-niki Bia lostockiej. Bia lystok 2007.[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrecznik geometrii wykreslnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.Warszawa 1994.[Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreslna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.

Documents

Geometria odwzorowan´ inz˙ynierskich dachy 04materialy.wb.pb.edu.pl/edwinkozniewski/files/2014/04/wyk_04.pdf · Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 4, 1–23. Geometria