1. Geometra Descriptiva Bloque Bsico Compilador: Arq. M. Gerardo Fernndez GuerreroLicenciatura en Diseo GrficoCONOCERSE ACEPTARSE AMARSE CUIDARSE SUPERARSE TRANSMITIR TRANSFORMAR

2. Geometra Descriptiva ndicendice1Introduccin4Objetivo general5Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 6Objetivo de aprendizaje 6Sinopsis61.1 Polgonos 61.2 Medianas, bisectrices, mediatrices71.3 Crculos inscritos y circunscritos 101.4 Elipses, parbolas e hiprparabolas111.5 Enlaces entre curvas y rectas (tangencias) 171.6 Trazo de curvas espirales271.7 Trazo de curvas cicloides28Resumen31Bibliografa 32Tema 2 Conceptos generales de la geometra tridimensionales33Objetivo de aprendizaje33Sinopsis 332.1 Definicin de geometra descriptiva342.2 Concepto de proyeccin 342.3 Tipos de proyeccin342.3.1 Montea 342.3.2 Isomtricas352.4 Espacio tridimensional y espacio de cuadrantes 362.5 Axonometra372.6 Aplicacin de la geometra tridimensional en el diseo grfico 38Resumen39Bibliografa 40Tema 3 El punto en el espacio tridimensional 41Objetivo de aprendizaje41Sinopsis 413.1 Generacin de una figura geomtrica a partir de un punto 413.2 Posicin de un punto en los cuatro cuadrantes42Resumen44Bibliografa 45Tema 4 La recta en el espacio tridimensional 46Objetivo de aprendizaje46Sinopsis 46 ndice 1 3. Geometra Descriptiva4.1 Definicin de una recta 464.2 Tipos de rectas por su posicin 474.3 Proyecciones ortogonales de la recta47Resumen 50Bibliografa51Tema 5 El plano en el espacio tridimensional52Objetivo de aprendizaje 52Sinopsis525.1 Definicin geomtrica de un plano 525.2 Tipos de planos por su posicin 535.3 Proyecciones de plano 535.4 Ubicacin de un punto sobre una superficie plana55Resumen 56Bibliografa57Tema 6 Cambio de planos de proyeccin 58Objetivo de aprendizaje 58Sinopsis586.1 Concepto de planos de proyeccin586.2 Cambio de planos aplicando a las rectas 596.2.1 longitudes reales 596.2.2 Proyeccin de rectas en un punto606.2.3 Enlaces entre curvas y rectas (tangencias)626.2.4 Magnitudes reales 636.2.5 ngulos de magnitud real64Resumen 67Bibliografa68Tema 7 Giros o rotaciones 69Objetivo de aprendizaje 69Sinopsis697.1 Concepto de rotacin697.2 Diferencias bsicas entre giro y cambio de planos de proyeccin 707.3 Rotaciones aplicadas a las rectas 707.3.1 Longitudes reales o verdaderas707.3.2 Proyeccin de rectas en un punto727.4 Rotaciones aplicadas a los planos 757.4.1 Proyecciones de planos en rectas757.4.2 Magnitudes reales o verdaderas787.4.3 Aplicacin al diseo80Resumen 81Bibliografa82ndice 2 4. Geometra DescriptivaTema 8 El Crculo83Objetivo de aprendizaje83Sinopsis 838.1 Ubicacin de un crculo en el espacio tridimensional 838.2 Proyecciones planas de un crculo en diferentes posiciones 84Resumen88Bibliografa 89Tema 9. Paralelismo90Objetivo de aprendizaje90Sinopsis 909.1 Concepto Geomtrico909.2 Paralelismo en rectas909.3 Paralelismo en planos919.4 Paralelismo entre rectas y planos929.5 Distancias mnimas entre rectas y planos 94Resumen96Bibliografa 97Tema 10. Perpendicularidad98Objetivo de aprendizaje 98Sinopsis9810.1 Concepto geomtrico y teoremas 9810.2 Perpendicularidad de rectas 9910.3 Perpendicularidad de planos 10010.4 Perpendicularidad entre rectas y planos 10210.5 Longitudes reales de distancias perpendiculares 103Resumen106Bibliografa 107 ndice3 5. Geometra DescriptivaIntroduccinLa representacin grfica del espacio, en tanto que necesaria para la definicin deldiseo, posee un origen tan antiguo como diverso en su desarrollo y aplicacin.Dado el carcter meramente introductorio de este apartado, no vamos a abundaren referencias histricas ni en citas explicativas de esta cuestin.Si admitimos que el diseo grfico tiene como principal campo de actividad elproyecto y la ejecucin de realidades espaciales, tomando al medio grfico comosu cauce de comunicacin, es fcil comprender la importancia de una slidaformacin en la correcta expresin de los pensamientos abarcados dentro de lageometra.Como parte integrante del rea de conocimiento, se puede definir a la GeometraDescriptiva como a la disciplina que, mediante la expresin grfica, es capaz deprecisar una realidad espacial de manera exhaustiva, no ambigua y nocontradictoria. As entendida, la Geometra Descriptiva tiene como fin el aportar elrigor y la exactitud necesarios al dibujo para que este sea de aplicacin en laciencia y en la tcnica. Para la consecucin de ese fin, es necesario alcanzar unacapacidad de percepcin racional del espacio, imprescindible para operargrficamente con rigor. A esta circunstancia se la ha llamado tradicionalmente "verel espacio", y constituye una cualidad del conocimiento humano que no se posee,generalmente, sin un aprendizaje previo. La Geometra Descriptiva no soloproporciona exactitud al lenguaje grfico que transmite el pensamiento deldiseador, sino que aporta el rigor espacial a ese mismo pensamientoPor qu estudiar geometra? El alumno que empieza a estudiar geometra, puedepreguntar con toda razn: Que es la geometra? Que gano con estudiarla?. Unode los beneficios de la geometra es que el estudiante adquiere un criterio alescuchar leer y pensar. Cuando estudia geometra, deja de aceptar a ciegasproposiciones e ideas y se le ensea a pensar en forma clara y critica, antes dehacer conclusiones.Otro es el adiestramiento en el uso exacto del lenguaje grfico y en la habilidadpara analizar un problema nuevo, para diferenciar sus partes cruciales y aplicar laperseverancia, originalidad y razonamiento lgico para resolver el problema.Lo que en realidad tiene importancia es alcanzar esa capacidad de pensar, depercibir y racionalizar el espacio de la que se ha hablado, con un modesto lpiz yuna hoja de papel. Esa capacidad ser, en lo sucesivo, imprescindible para elalumno en otros campos distintos de la Geometra Descriptiva.Introduccin 4 6. Geometra DescriptivaObjetivo generalAl trmino del curso el estudiante dibujar sobre papel el espacio tridimensional,resolver en dos y tres dimensiones los problemas espaciales a travs de laadecuada lectura, facilitando la expresividad por medio de proyeccionesintencionadas o teoras adecuadas. Objetivo general 5 7. Geometra DescriptivaTema 1. Conceptos bsicos de la geometra planaSubtemas1.1 Polgonos1.2 Medianas, bisectrices y mediatrices1.3 Crculos inscritos y circunscritos1.4 Elipses, parbolas e hiprbolas1.5 Enlaces entre curvas y rectas (tangencias)1.6 Trazo de curvas espirales1.7 Trazo de curvas cicloidesObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante comprender los axiomas, postulados yteoremas que rigen a la geometra plana, desarrollando capacidades dededuccin, mediante un conjunto de razonamientos.Lectura 1. Geometra plana: algunos conceptos bsicosPor: Rogero.SinopsisLa geometra es la parte de las matemticas que estudia las propiedades y lasmedidas de las figuras en el plano o en el espacio.La geometra plana nos relaciona con el estudio de todas las formas que sepresentan en el plano: puntos, rectas, semirrectas, rayos, trazos, ngulos y otros.Dentro de esta larga lista se encuentran los polgonos y la circunferencia.1.1 PolgonosLos polgonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos ados.Se clasifican en regulares, si sus lados y ngulos son iguales, e irregulares.Segn la medida de sus lados, los polgonos pueden ser regulares e irregulares.Son polgonos regulares los que tienen todos sus lados y ngulos congruentes, esdecir, tienen la misma medida. As:Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 6 8. Geometra DescriptivaAB = BC = CD = DA Todos sus ngulos miden 90.Los polgonos irregulares tienen, a lo menos, un lado con distinta medida o susngulos son diferentes. Ej:Los polgonos cncavos son aquellos que tienen alguno de sus ngulosinteriores mayor de 180.Las diagonales son las rectas que unen dos vrtices no consecutivos. Figura 12Los Tringulos son polgonos de tres lados. La suma de sus ngulos es igual a180.Se clasifican, segn sus ngulos en:Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 7 9. Geometra DescriptivaEquilteros. Si tienen tres lados igualesIssceles. Si tienen dos lados iguales.Esclenos. Si tienen tres lados desiguales. Figura 13 Figura 14Segn la magnitud relativa de sus lados en:- Acutngulos. Si tienen todos sus ngulos agudos.- Rectngulos. Si tienen un ngulo recto.- Obtusngulos. Si tienen un ngulo obtuso.La notacin del tringulo se realiza con letras maysculas para los vrtices yminsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vrtice con la del lado Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 8 10. Geometra Descriptivaopuesto. Los ngulos se nombran con las letras griegas correspondientes. (Fig.14)1.2 Medianas, bisectrices y mediatricesMedianasLas medianas son las rectas que unen los vrtices del tringulo con los puntosmedios de los lados opuestos. Se cortan en el baricentro, que es el centrogeomtrico del tringulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vrtice y 1/3 delpunto medio del lado opuesto. (Fig. 17)MediatricesLas mediatrices del tringulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en unpunto que equidista de los vrtices llamado circuncentro, que es el centro de lacircunferencia circunscrita. (Fig. 15)BisectricesLas bisectrices del tringulo se cortan en un punto notable del tringulo llamadoincentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita.(Fig. 16) Figura 15Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 9 11. Geometra Descriptiva Figura 16 Figura 171.3 Crculos inscritos y circunscritosLos polgonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posicin queocupan los primeros con respecto a la circunferencia. Es as como tenemos lassiguientes situaciones.Polgono inscrito a la circunferencia. En este caso los vrtices del polgono sonpuntos de la circunferencia y sta queda circunscrita al polgono. Los lados delpolgono son cuerdas de la circunferencia.Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 10 12. Geometra DescriptivaPolgono circunscrito a la circunferencia. Todos los lados del polgono sontangentes de la circunferencia. La circunferencia queda inscrita al polgono.1.4 Elipses, parbolas e hiprbolasLas curvas cnicas son las secciones producidas por un plano secante sobreuna superficie cnica de revolucin. (Fig. 31)Figura 31Una superficie cnica de revolucin es la generada por una recta que giraalrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.Dependiendo del ngulo que forme el plano secante con el eje de la superficiecnica, se producen las distintas curvas cnicas. (Fig. 32)Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 11 13. Geometra DescriptivaFigura 32Si el ngulo es mayor, igual o menor que el semingulo del vrtice de la superficiecnica, se producen, respectivamente, una elipse, una parbola o una hiprbola.ElipseLas elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 33)Ejes de simetra. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del ejemayor AA es 2a y el del eje menor BB 2b. El punto de interseccin de los ejes esel centro de simetra.Focos. Son dos puntos fijos F y F, situados sobre el eje mayor y simtricosrespecto al eje menor. FF es igual a 2c.Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipsey los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto esigual a 2a.Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse yradio igual al semieje mayor.Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radioigual a 2a. Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 12 14. Geometra Descriptiva Figura 33 Figura 34La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geomtrico de lospuntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, esconstante e igual al eje mayor 2a.Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:PnF + PnF = 2aPara determinar los focos F y F de una elipse conocidos los ejes, se hace centroen un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual alsemieje mayor a. La interseccin del arco con el eje mayor son los focos de laelipse. (Fig. 32)Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 13 15. Geometra DescriptivaBF + BF = 2a, como BF=BF, por estar B en un eje de simetra, resulta queBF=BF=a.Trazado de la elipse. Mtodo de los puntos.Este mtodo se basa en la definicin de la elipse.A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje mayorAA, en segmentos complementarios cuya suma es 2a.A1 + 1A = A2 + 2A = A3 + 3A = 2aEstos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto.Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A del otro, y as, con los demssegmentos. (Fig. 35)El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.Figura 35 Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 14 16. Geometra Descriptiva Figura 36Mtodo de afinidadDibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios lossemiejes de la elipse. (Fig. 36)Por los extremos de los dimetros de la circunferencia mayor trazamos paralelasal eje menor y por los extremos de los dimetros de la menor, paralelas el ejemayor.Los puntos de interseccin pertenecen a la elipse.ParbolaLa parbola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geomtrico delos puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una rectafija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parbola, se cumpleque:PnF = PndLa parbola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y portanto, slo tiene un foco y un vrtice real. La circunferencia principal tiene sucentro en el infinito y pasa por el vrtice, es pues, la recta perpendicular al ejemayor que pasa por el vrtice. La circunferencia focal es una recta que coincidecon la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vrtice equidista delfoco y de la directriz. (Fig. 37)Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 15 17. Geometra Descriptiva Figura 37 Figura 38HiprbolaLa hiprbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el lugargeomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntosfijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un punto cualquiera dela hiprbola, se cumple que:PnF - PnF = AA = 2aLa hiprbola tiene dos ejes de simetra, el eje real AA = 2a y el eje imaginario BB= 2b. Se cortan en el centro de simetra O. La circunferencia principal tiene sucentro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en F y F y r =2a.Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 16 18. Geometra DescriptivaLos focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O y r =AB. (Fig. 38)La hiprbola y la parbola, al igual que la elipse, se construyen por el mtodo delos puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.1.5 Enlaces entre curvas y rectas (tangencias)Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuandotienen un nico punto comn.En una relacin de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple que:El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.Figura 39Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que:-Sus centros estn alineados con el punto de tangencia.-La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es igual a la distancia entre sus centros. Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 17 19. Geometra DescriptivaDe las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geomtrico de loscentros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es laperpendicular a la recta en ese punto.Y que el lugar geomtrico de los centros de las circunferencias tangentes a unacircunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto detangencia.Potencia de un punto respecto a una circunferenciaSi trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia, elproducto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos deinterseccin de las rectas con la circunferencia.La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de tangenciade una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig. 40)PA x PA = PB x PB = ... = PN x PN = PTFigura 40 Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 18 20. Geometra DescriptivaFigura 41Eje Radical es el lugar geomtrico de los puntos que tienen igual potenciarespecto a dos circunferencias.El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos deinterseccin de ambas circunferencias.El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente comn a ambascircunferencias en el punto de tangencia.Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza unacircunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las trescircunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de lascircunferencias exteriores. (Fig. 41)Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres circunferencias.Se encuentra en la interseccin de los ejes radicales de las circunferenciastomadas dos a dos.La mayora de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los conceptosde lugares geomtricos, por suma y diferencia de radios, y por potencia.Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias tangentes arectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se pueden fijar trescondiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otracircunferencia. La combinacin de estas tres condiciones nos dan 10 casos, quese representan por combinacin de las iniciales P, R, y C. Cuando no se fijan lastres condiciones es necesario dar algn dato, como el radio o los puntos detangencia.Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 19 21. Geometra DescriptivaRectas tangentes a una circunferencia desde un punto exteriorCon centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia quepase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia auxiliar con lacircunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia. (Fig. 42)Esto se explica, por que al ser recto el ngulo que forman el radio y la tangente enel punto de tangencia, ste debe encontrarse en el arco capaz del ngulo rectorespecto al segmento OP.Figura 42Figura 43Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 20 22. Geometra DescriptivaRectas tangentes comunes a dos circunferenciasTrazamos una circunferencia auxiliar, concntrica con la mayor, de radio igual a ladiferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los extremos deOO y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OA y OB,determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor. Los radios quepasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con la misma recta,son paralelos. (Fig. 43)Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienenlas tangentes interiores. (Fig. 44)Figura 44Figura 45Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y una recta. Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 21 23. Geometra DescriptivaSi el dato es el radio r de las circunferencias, los centros distarn r de la recta, y r+ r r - r del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de los lugaresgeomtricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a lacircunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La interseccin deleje radical con la recta dada es centro radical de las tres circunferencias, es decir,la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. (Fig. 46) Figura 46 Figura 47Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en laperpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia tangente auna recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de laTema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 22 24. Geometra Descriptivacircunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente restamos el radio,obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)Caso PPPEl centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, se encuentraen la interseccin de las mediatrices de los segmentos formados por los puntos.(Fig. 48) Figura 48 Figura 49Caso PPRLa recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y de lacircunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical de las tres Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 23 25. Geometra Descriptivacircunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres. Trazando unarecta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia. Si llevamos elsegmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2. De esta maneratenemos tres puntos de cada solucin. (Fig. 49) Figura 50 Figura 51Caso PRRSi se dibuja el simtrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso se resuelvecomo el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 24 26. Geometra DescriptivaCaso RRRLos centros de la soluciones son los cuatro puntos de interseccin de lasbisectrices de los ngulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)Caso PPCSe traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados, cortea la circunferencia tambin dada. La recta que une los puntos de interseccin de lacircunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el eje radical de ambascircunferencias; y la recta AB, es el eje radical de las soluciones y de la auxiliar. Elpunto M, es por tanto, el centro radical de todas las circunferencias.Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M, determinan lospuntos de tangencia sobre la circunferencia.Como los puntos de tangencia estn alineados con los centros de lascircunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de lacircunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y T2 .Evidentemente, los centros de las soluciones tambin se encuentran en lamediatriz de AB. (Fig. 51)EnlacesEnlaces son las uniones armnicas por medio de tangencias entre distintasfiguras.Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dos propiedadesfundamentales de las tangencias:El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.Los centros de dos circunferencias tangentes estn alineados con el punto de tangencia.Enlace de dos rectasPara definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia. Siconocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia igual alradio, obteniendo el centro del arco en su interseccin. Los puntos de enlace sehallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas tangentes. Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 25 27. Geometra DescriptivaSi el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto detangencia a la recta, y la bisectriz del ngulo que forman, se cortan en el centro delarco. (Fig. 52) Figura 52 Figura 53Enlace de dos arcosDndonos el radio, las circunferencias concntricas de radios iguales a la suma ydiferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que los puntos deenlace estn alineados con los centros. (Fig. 53)Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 26 28. Geometra DescriptivaEnlace de arco y rectaLas paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferenciasconcntricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros. (Fig. 54)Figura 54Figura 551.6 Trazo de curvas espiralesEspiral de dos centrosCon centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un primerarco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de tangencia.Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 27 29. Geometra DescriptivaLa distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio delsegundo arco. (Fig. 58)Figura 58Figura 59Espiral de tres centrosProlongamos los lados de un tringulo equiltero cuyos vrtices son los centros dela espiral. Hacemos centro en el primer vrtice con radio igual al lado y trazamosel primer arco hasta cortar la prolongacin del primer lado. (Fig. 59) Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 28 30. Geometra Descriptiva1.7 Trazo de curvas cicloidesConstruccin del valo conociendo los ejes.El valo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferenciatangentes entre s.Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y obtenemosel punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la recta AC, el puntoF. La interseccin de la mediatriz del segmento AF con los ejes del valo, soncentros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se obtienen por simetra, y lospuntos de tangencia por interseccin de las rectas que unen los centros con losarcos. (Fig. 56)Figura 56Figura 57 Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 29 31. Geometra DescriptivaConstruccin del ovoide del que se conoce el eje menorLa mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de dimetro la magnitud dedicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de los arcos delovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de AB. (Fig. 57) Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 30 32. Geometra DescriptivaResumenConocer los principios bsicos de la geometra ayudar a los alumnos a encontrarsoluciones grficas a los problemas geomtricos, estableciendo losprocedimientos que dicta la lgica. Y as mismo ensear como es posible moverseen el espacio para definir aspectos propios de los objetos que analizamos yconstruimos.Tema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 31 33. Geometra DescriptivaBibliografa- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Wellman, Leighton. Geometra descriptiva. Espaa: Editorial Reverte, 1990.- Rogero. Trazados geomtricos bsicos- http://www.terra.es/personal/rogero/trazado/indice.htmTema 1. Conceptos bsicos de la geometra plana 32 34. Geometra DescriptivaTema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensionalSubtemas2.1 Definicin de geometra descriptiva2.2 Concepto de proyeccin2.3 Tipos de proyeccin2.3.1 Monteas2.3.2 Isomtricas2.4 Espacio tridimensional y subdivisin en cuadrantes2.5 Axonometra2.6 Aplicaciones de la geometra tridimensional en el diseo grficoObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante comprender la definicin de geometradescriptiva aplicando tipos y conceptos de proyeccin, adems de percibir elespacio tridimensional y subdivisin de cuadrantes.Lectura 2. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisComo parte integrante del rea de conocimiento, se puede decir que la GeometraDescriptiva es la disciplina que, mediante la expresin grfica, es capaz de definiruna realidad espacial de manera exhaustiva, no ambigua y no contradictoria. Estaconsideracin tanto vale para la obtencin de dicha realidad a partir de surepresentacin grfica como, a la inversa, para la expresin grfica completa derealidades preexistentes. As entendida, la Geometra Descriptiva tiene como fin elaportar el rigor y la exactitud necesarios al dibujo para que este sea de aplicacinen la ciencia y en la tcnica. Para la consecucin de ese fin de la asignatura, espreciso alcanzar una capacidad de percepcin racional del espacio, imprescindiblepara operar grficamente con rigor. A esta circunstancia se la ha llamadotradicionalmente "ver el espacio", y constituye una cualidad del conocimientohumano que no se posee, generalmente, sin un aprendizaje previo. En ocasioneseste aprendizaje no est exento de un esfuerzo, siendo los mtodos de enseanzalos procedimientos adecuados para ayudar a la superacin de tales dificultades.Tema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 33 35. Geometra Descriptiva2.1Definicin de geometra descriptivaParte de las matemticas que tiene por objeto representar en proyecciones planaslas figuras del espacio a manera de poder resolver con la ayuda de la geometraplana, los problemas en que intervienen tres dimensiones es decir representar enl las figuras de los slidos.2.2Concepto de proyeccinProyeccin. Proyectar es hacer pasar por un punto una recta imaginaria(proyectante) cuya interseccin con el plano da como resultado un punto llamadoproyeccin.2.3Tipos de proyeccin- Proyeccin cilndrica oblicua- Proyeccin cilndrica recta ortogonal- Proyeccin cnica2.3.1 MonteaEl sistema usual de proyeccin es el cilndrico recto llamado tambin ortogonal.Para servirnos de l suponemos el espacio geomtrico definido en tres sentidos:alto, ancho y alejamiento mediante tres ejes rectos OX, OY, Oz. Perpendicularesentre s que pasan por un punto comn O llamado origen, Estos tres ejesdeterminan tres planos que forman entre s ngulos rectos. Estos tres planos sereconocen con los siguientes nombres: Plano Vertical (PV) XOZ, Plano Horizontal(PH) XOY, Plano Lateral (PL) ZOY. La lnea OX en que se unen el vertical y elhorizontal se denomina LNEA DE TIERRA (LT).La montea se representa en tres proyecciones o planos y prescinde del objeto enespacio y haciendo abstraccin de l, extendemos los tres planos para verlos endos dimensiones.Conservamos el plano vertical en su lugar, en seguida separando el horizontal dellateral por la lnea OY, hacemos girar el primero sobre OX y el segundo sobre OZhasta hacerlos coplanares con el vertical, pudiendo entonces representarse lostres planos en uno solo. Se obtiene de esta manera la montea, que representa elespacio.As loa montea representa al objeto de estudio por sus proyecciones: verticalubicada en plano vertical mediante alto y ancho,; horizontal en el plano horizontalTema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 34 36. Geometra Descriptivapor ancho y alejamiento y lateral en el lateral por alejamiento y alto. Lainterseccin de los dos planos se llama lnea de tierra (LT)2.3.2 IsomtricasIsomtrica significa de medidas iguales, se necesita situar el objeto de maneraque sus aristas principales o ejes formen ngulos iguales con el plano deproyeccin. Se denomina isomtrica a las proyecciones cilndricas rectas uortogonales y permiten obtener el aspecto tridimensional del objeto en el espacio.Se representar con un eje vertical que indica las alturas y dos ejes laterales apartir del punto de origenTema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 35 37. Geometra DescriptivaEl trazo del isomtrico se har utilizando la escuadra de 30 de tal suerte que seobtengan ngulos iguales a 1202.4 Espacio tridimensional y subdivisin en cuadrantesSupuesto el espacio geomtrico, definido por tres ejes ilimitados (fig. 19) losplanos que estos determinan tambin lo sern. Hemos eliminado el plano lateralde proyeccin, conservando solo el vertical y el horizontal, que se cortan en lalnea de tierra y que extendindose en sus respectivos sentidos dividen el espacioen cuatro zonas o cuadrantes.La lnea de tierra ser en lo sucesivo origen y referencia para los planos, loscuadrantes y los datos en ellos contenidos, es para nosotros el centro del espacio.A partir de la lnea de tierra (fig. 19) el plano horizontal tendr parte delante de ellaHORIZONTAL ANTERIOR y parte detrs HORIZONTAL POSTERIOR; en tanto elvertical tendr parte arriba VERTICAL SUPERIOR y parte abajo VERTICALINFERIOR.Los cuadrantes que numeramos en sentido contrario a las manecillas del reloj sedefinen como sigue:I. Cuadrante, entre horizontal anterior y vertical superior.II.Cuadrante, entre vertical superior y horizontal posterior.III. Cuadrante, entre horizontal posterior y vertical inferior.IV.Cuadrante, entre vertical inferior y horizontal anterior. Tema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 36 38. Geometra Descriptiva2.5AxonometraPara representar las tres dimensiones que definen un cuerpo en el espacio,partimos de la siguiente base: cada dimensin estar representada por un eje;esto origina el nombre de axonomtrica, que significa representar un cuerpo en elespacio tomando como base tres ejes.Los tipos de proyeccin axonomtrica son: Proyeccin isomtrica: ngulos y proyecciones iguales Proyeccin dimtrica: dos ngulos y dos proyecciones iguales Proyeccin trimtrica: ngulos y proyecciones desigualesTema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 37 39. Geometra Descriptiva2.6 Aplicaciones de la geometra tridimensional en el diseogrficoPara los fines propuestos, la estructura de pensamiento mas difundida yapropiada, que el alumno debe conocer de sus estudios es la geometra. Cumpleesta un doble objeto, a saber sistematizar la expresin grfica hasta conseguir quesea un lenguaje racional y, simultneamente, adecuar el pensamiento espacial aformas y espacios solo definibles con auxilio de esa geometra. De igual manera,la geometra descriptiva no solo proporciona exactitud al lenguaje grfico quetransmite el pensamiento, sino que aporta el rigor espacial a ese mismopensamiento. En una escuela superior con la finalidad de la nuestra, la geometradescriptiva tendr un especfico carcter destinado al hecho de aplicacionesdentro de la carrera de diseo grfico.Tema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 38 40. Geometra DescriptivaResumenLo que en realidad tiene importancia es alcanzar esa capacidad de pensar, depercibir y racionalizar el espacio de la que se ha hablado, con un modesto lpiz yuna hoja de papel. Esa capacidad ser, en lo sucesivo, imprescindible para elestudiante de diseo grfico en otros campos distintos de la geometra descriptivaTema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 39 41. Geometra DescriptivaBibliografa- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980.Tema 2. Conceptos generales de la geometra tridimensional 40 42. Geometra DescriptivaTema 3. El punto en el espacio tridimensionalSubtemas3.1 Generacin de una figura geomtrica a partir de un punto3.2 Posicin de un punto en los cuatro cuadrantesObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante descubrir a partir del elemento primario de laforma las bases de la geometra tridimensional que se aplicarn a todo diseo.Lectura 3. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisToda forma pictrica se inicia con un punto que se pone en movimiento para darpaso al proceso creativo de todo diseo. El punto es considerado el elementoprimario de toda forma grfica.3.1 Generacin de una figura geomtrica a partir de un puntoEl punto como elemento conceptual de la forma no es visible salvo para el ojo dela mente. Aunque en realidad no existe, sentimos su presencia. Podemos percibirel punto en la interseccin de dos segmentos. Es el punto en su prolongacin elgenerador de la recta la que a su vez extendida nos generar un plano cuyarepeticin en el espacio dar como resultado un volumen.Tema 3. El punto en el espacio tridimensional 41 43. Geometra Descriptiva3.2 Posicin de un punto en los cuatro cuadrantesUn punto seala una posicin en el espacio. Tiene posicin en el plano. Senombra con una letra mayscula. Tema 3. El punto en el espacio tridimensional 42 44. Geometra DescriptivaEl punto tiene posicin en el espacio. Su representacin ms cercana es el orificioque deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemostener en cuenta que no tiene grosor.En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayscula (A)y para reconocer su posicin en los diferentes planos de proyeccin usaremos lasiguiente nomenclatura: a para la proyeccin horizontal a para la proyeccin vertical a para proyeccin lateral Tema 3. El punto en el espacio tridimensional 43 45. Geometra DescriptivaResumenUna vez asimilado el concepto de punto como elemento primario de la forma, seiniciar el proceso creativo que demanda todo proyecto de diseo.Tema 3. El punto en el espacio tridimensional 44 46. Geometra DescriptivaBibliografa- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980. Tema 3. El punto en el espacio tridimensional 45 47. Geometra DescriptivaTema 4. La recta en el espacio tridimensionalSubtemas4.1 Definicin de una recta4.2 Tipos de rectas por su posicin4.3 Proyecciones ortogonales de la rectaObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante distinguir en cualquier dibujo los diferentes tiposde rectas, su significado y su aplicacin a un problema de diseo.Lectura 4. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisExisten muchas aplicaciones en el diseo grfico que recurren al uso de las rectaslas cuales toman diversas caractersticas de acuerdo con lo que se desearepresentar. Al realizar un proyecto de diseo se tiene que conocer con todaprecisin los diferentes tipos de rectas as como su significado dentro de lageometra espacial.4.1Definicin de una rectaLa prolongacin de un punto se convierte en una lnea. Desde un punto de vistaconceptual la lnea o recta tiene longitud, direccin y una posicin en el espacio lacual queda determinada al conocer dos puntos cualesquiera de ella.Las rectas se nombran con dos letras maysculas y sobre ellas se anota susmbolo. Por ejemplo: DE, se lee recta DE.Tambin se usa una L una R, especialmente en los casos en que debandistinguirse varias rectas. Tema 4. La recta en el espacio tridimensional 46 48. Geometra Descriptiva4.2Tipos de rectas por su posicinUna recta se reconoce por su posicin en el espacio y puede ser:Horizontal:como la lnea del horizonte.Vertical:como el hilo a plomo.Oblicua: cuando es distinta a las dos anteriores.4.3Proyecciones ortogonales de la rectaRecta horizontal. En montea se proyecta como una recta paralela a la lneade tierra en la proyeccin vertical y como una recta oblicua en la proyeccinhorizontal ( fig. 37).Tema 4. La recta en el espacio tridimensional 47 49. Geometra Descriptiva Recta de punta. En montea se proyecta como un punto en la proyeccin vertical y como una recta perpendicular a la lnea de tierra en la proyeccin horizontal (fig. 38). Recta frontal. En montea se proyecta como una recta oblicua en la proyeccin vertical y como una recta paralela a la lnea de tierra en la proyeccin horizontal ( fig.39). Recta vertical. En montea se proyecta como una recta perpendicular a la lnea de tierra en proyeccin vertical y como un punto en proyeccin horizontal ( fig. 40). Tema 4. La recta en el espacio tridimensional 48 50. Geometra Descriptiva Recta de perfil. En montea se proyecta como una recta perpendicular a la lnea de tierra en ambas proyecciones; vertical y horizontal ( fig.41). Recta fronto horizontal. En montea se proyecta como una recta paralela a la lnea de tierra en ambas proyecciones; vertical y horizontal ( fig. 42).Tema 4. La recta en el espacio tridimensional 49 51. Geometra DescriptivaResumenLa asimilacin del concepto de recta, servir como herramienta para su aplicacindentro del diseo en el que el estudiante dar segn su propia propuesta uncarcter apropiado.Tema 4. La recta en el espacio tridimensional 50 52. Geometra DescriptivaBibliografa- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Ching, Francis. Arquitectura, forma espacio y orden. Mxico: Gustavo Gili,2000.- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980. Tema 4. La recta en el espacio tridimensional 51 53. Geometra DescriptivaTema 5. El plano en el espacio tridimensionalSubtemas5.1 Definicin geomtrica de un plano5.2 Tipos de planos por su posicin5.3 Proyecciones de plano5.4 Ubicacin de un punto sobre una superficie planaObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante identificar en cualquier dibujo los diferentestipos de planos y su significado, adems de dibujar correctamente los diferentestipos de planos y su aplicacin a un problema de diseo.Lectura 5. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisLa forma es una caracterstica primaria que identifica un plano. Est determinadapor el contorno de la lnea que forman las aristas del plano, de esta manera, elconocer los diferentes tipos de plano nos enriquecer para poder solidificar lasbases de toda composicin grfica.5.1 Definicin geomtrica de un planoUn plano define los lmites o fronteras de un volumen. Conceptualmenteconsiderado, tiene longitud y anchura pero no tiene profundidad. Lo ms parecidoa este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con sta, elhecho que es ilimitado y no tiene grosor.El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen unamisma direccin, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.El smbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompaado de, por lomenos, tres puntos.Tema 5. El plano en el espacio tridimensional 52 54. Geometra DescriptivaEste dibujo ser una representacin del plano ART y lo simbolizaremosP ART.Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de unalaguna, son representaciones de planos.5.2Tipos de planos por su posicinUn plano se reconoce por su posicin en el espacio y puede ser:HorizontalVerticalOblicuo5.3Proyecciones de planoPlano horizontal. En montea se representa como una recta paralela a lalnea de tierra en la proyeccin vertical y como figuras diversas en laproyeccin horizontal. ( fig.57).Tema 5. El plano en el espacio tridimensional 53 55. Geometra Descriptiva Plano de canto. En montea se representa como una recta oblicua en la proyeccin vertical y como figuras diversas en la proyeccin horizontal (fig.55). Plano vertical. En montea se representa como una recta oblicua en la proyeccin horizontal y como figuras diversas en la proyeccin vertical (fig.59). Plano de perfil. En montea se representa como una recta perpendicular en ambas proyecciones; horizontal y vertical( fig.63).Tema 5. El plano en el espacio tridimensional 54 56. Geometra DescriptivaPlano frontal. En montea se representa como una recta paralela a la lneade tierra en la proyeccin horizontal y como figuras diversas en la proyeccinvertical (fig.61).5.4Ubicacin de un punto sobre una superficie plana.Determinemos un punto del plano y dibujemos rectas que pasen por l.Recordemos que la lnea que hacemos es una representacin, porque la recta notiene grosor. Hemos obtenido este dibujo.La conclusin es la misma: "Por un punto del plano pasan infinitas rectas".Tema 5. El plano en el espacio tridimensional 55 57. Geometra DescriptivaResumenCuando se hacen visibles al ojo sobre la superficie de papel o en el espaciotridimensional, los planos se convierten en formas dotadas de caractersticas deesencia, contorno, tamao, color y textura. Al tener experiencia de estas formas ennuestro entorno hemos de ser capaces de percibir en su estructura la existenciade los planos como elementos primarios de la forma. Tema 5. El plano en el espacio tridimensional 56 58. Geometra DescriptivaBibliografa- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Ching, Francis. Arquitectura, forma espacio y orden. Mxico: Gustavo Gili,2000.- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980. Tema 5. El plano en el espacio tridimensional 57 59. Geometra DescriptivaTema 6. Cambio de planos de proyeccinSubtemas6.1 Concepto de cambio de planos de proyeccin6.2 Cambio de planos aplicado a las rectas6.2.1 Longitudes reales6.2.2 Proyeccin de rectas en un punto6.2.3 Enlaces entre curvas y rectas (tangencias)6.2.4 Magnitudes reales6.2.5 ngulos de magnitud realObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema le estudiante identificar los sistemas y posiciones msadecuadas en cada caso para un tratamiento claro y sencillo, que potencie laoperatividad del sistema, valorando los grados de concrecin geomtrica y susrepresentaciones; as mismo, seleccionar de posiciones analticas o expresivassegn los fines.Lectura 6. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisEntre los mtodos auxiliares para conocer el objeto en el espacio, se halla elcambio de planos de proyeccin, sistema que facilita la solucin a problemas queaparecen cuando los objetos por su posicin particular, respecto a los planos deproyeccin dificulta su representacin. De esta manera la figura geomtricaadquiere una nueva posicin en la nueva proyeccin que permite observarla demanera ms clara y con todas sus propiedades geomtricas.6.1 Concepto de cambio de planos de proyeccinEn este procedimiento se suponen fijos en el espacio, los objetos que representala montea y son los planos de proyeccin los que se mueven uno a uno hastalograr las posiciones relativas deseadas. Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 58 60. Geometra Descriptiva6.2 Cambio de planos aplicado a las rectas6.2.1 Longitudes realesEl procedimiento de cambio de planos tiene como objetivo principal conocer lascaractersticas reales del objeto que se observa. La caracterstica principal en elcambio de planos es conocer la longitud real de la recta en cuestin.Sea una recta cualquiera AB, hacerla horizontal para conocer su verdaderalongitud.1 Se hace cambio de horizontal (ch) con la lnea de tierra paralela a la proyeccinvertical ab de la recta dada ( fig. 151)2 Se determina nueva proyeccin horizontal a1 b1, llevando de la vertical por lospuntos ab que la determinan, proyectantes perpendiculares a la segunda lnea detierra y asignando a cada uno de ellos, el mismo alejamiento que tenan en laproyeccin horizontal inicial. Esta segunda lnea de tierra se seala con dosguiones. La nueva recta horizontal aparece ahora en verdadera longitud.Sea una recta cualquiera AB, hacerla frontal para conocer su verdadera longitud.1 se hace cambio de vertical (c v ) con la lnea de tierra paralela a la proyeccinhorizontal ab de la recta dada ( fig. 153) Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 59 61. Geometra Descriptiva2 Se determina nueva proyeccin vertical a1 b1, llevando de la horizontal por lospuntos ab que la determinan, proyectantes perpendiculares a la segunda lnea detierra y asignando a cada uno de ellos, la misma altura que tenan en la proyeccinvertical inicial. Esta segunda lnea de tierra se seala con dos guiones.La nueva recta frontal aparece ahora en verdadera longitud.6.2.2 Proyeccin de rectas en un puntoDada una recta cualquiera hacerla de punta.1 Se hace horizontal ( fig. 151)2 En la montea de la recta horizontal se hace cambio de vertical (c v) con la lneade tierra perpendicular a la proyeccin horizontal a1 b1. Esta tercera lnea de tierrase seala con tres guiones.3 Se determina nueva proyeccin vertical, en la cual habiendo una solaproyectante para toda la recta y una misma altura para los puntos que laTema 6. Cambio de planos de proyeccin 60 62. Geometra Descriptivadeterminan, se obtiene un punto a2 b2 proyeccin ntegra de la recta. Vase quela montea resultante referida a la lnea de tierra de tres guiones, es la de una rectade punta. (fig. 152)Dada una recta cualquiera hacerla vertical.1 Se hace frontal ( fig. 153)2 En la montea de la recta frontal se hace cambio de horizontal (c h) con la lneade tierra perpendicular a la proyeccin vertical a1 b1. Esta tercera lnea de tierrase seala con tres guiones.3 Se determina nueva proyeccin horizontal, en la cual habiendo una solaproyectante para toda la recta y un mismo alejamiento para los puntos que ladeterminan, se obtiene un punto a2 b2 proyeccin ntegra de la recta. Vase quela montea resultante referida a la lnea de tierra de tres guiones, es la de una rectade vertical. (fig. 154)Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 61 63. Geometra Descriptiva6.2.3 Magnitudes realesLa verdadera forma y magnitud de una figura en el espacio se adquiereconservndola fija en el espacio y cambiando los planos de proyeccin lo quepermitir conocer sus caractersticas geomtricas originales.Dado un plano cualquiera ABC hacerlo de canto (fig.155)1 Se determina una horizontal dentro del plano ed-ed.2 Mediante cambio de vertical (c v) se hace de punta esa horizontalconsiderando para el movimiento todos los puntos de la figura.3 Se determina nueva proyeccin vertical a1b1c1 trasladando a ella los puntoscon las alturas dadas en la primera, de lo cual resultan todos ellos alineados a unarecta, proyeccin ntegra del plano de canto. Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 62 64. Geometra Descriptiva6.2.4 Proyecciones de planos en una rectaDado un plano cualquiera ABC hacerlo horizontal1 Se hace de canto (fig. 155)2 En la montea obtenida para el plano de canto se hace cambio de horizontal (ch) con la lnea de tierra paralela a la proyeccin vertical a1b1c13 Se determina nueva proyeccin horizontal a2b2c2 con los alejamientosobtenidos con la montea del plano de canto con lnea de tierra de dos guiones lacual resulta en verdadera forma y magnitud. La montea final con lnea de tierracon tres guiones corresponde en consecuencia a un plano horizontal. a1b1c1.(fig 156) Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 63 65. Geometra Descriptiva6.2.5 ngulos de magnitud realConociendo de una figura plana un ngulo en las dos proyecciones, pero solo enuna la figura completa, determinar la otra proyeccin y la verdadera forma ymagnitud. Este caso se resuelve directamente por abatimientos.La proyeccin vertical abcdef, la horizontal abc. (fig. 196)1 Con el ngulo conocido abc abc determnese un eje de abatimiento, para elcaso la horizontal cl cl (fig 197) y las distancias de este a los puntos a y b que seconocen en ambas proyecciones.Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 64 66. Geometra Descriptiva2 Con esas distancias se construye en un sistema rectangular auxiliar (fig. 197)la recta que contiene los radios de abatimiento.3 Llvese ahora al sistema auxiliar (fig. 197b) las distancias del eje a todos losotros puntos, de los que solo se conoce una proyeccin, midindolas en el ejecorrespondiente en este caso el vertical y trcense las lneas de proyeccin hastaencontrar a la recta diagonal. En ella de inmediato se localizan los radios deabatimiento de esos puntos con los cuales se puede abatir toda la figura, peroproyectndolos al eje horizontal se obtendrn las distancias od, oc, of del eje deabatimiento a los puntos en la proyeccin horizontal que se desconoce.4 Las distancias obtenidas en el eje horizontal (fig 197b) se trasladan o, d, e, f enproyeccin horizontal (fig 198), sobre una perpendicular al eje a uno u otro lado del segn corresponda a esos puntos y se llevan para cada uno de ellos paralelasal eje hasta que corten a las proyectantes bajadas de sus respectivasproyecciones verticales, encontrndose as las horizontales que completan lamontea.5 Conocida toda la figura, trcese en proyeccin horizontal perpendiculares al ejepor cada uno de los puntos midindose en ellos los rayos de abatimiento que lescorresponden para determinar los puntos abatidos con los cuales se construye laverdadera forma y magnitud de la figura dada.Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 65 67. Geometra DescriptivaTema 6. Cambio de planos de proyeccin 66 68. Geometra DescriptivaResumenConocer los principios bsicos de la geometra ayudar a los alumnos a encontrarsoluciones grficas a los problemas geomtricos, estableciendo losprocedimientos que dicta la lgica. Y as mismo ensear como es posible moverseen el espacio para definir aspectos propios de los objetos que analizamos yconstruimos. Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 67 69. Geometra DescriptivaReferencias bibliogrficas- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Ching, Francis. Arquitectura, forma espacio y orden. Mxico: Gustavo Gili,2000.Bibliografa- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980.Tema 6. Cambio de planos de proyeccin 68 70. Geometra DescriptivaTema 7. Giros o rotacionesSubtemas7.1 Concepto de rotacin7.2 Diferencias bsicas entre giro y cambio de planos de proyeccin7.3 Rotaciones aplicadas a las rectas7.3.1 Longitudes reales o verdaderas7.3.2 Proyeccin de rectas en un punto7.4 Rotaciones aplicadas a los planos7.4.1 Proyecciones de planos en rectas7.4.2 Magnitudes reales o verdaderas7.4.3 Aplicacin al diseoObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante identificar los sistemas y posiciones msadecuados en cada caso, para un tratamiento claro y sencillo, que potencie laoperatividad del sistema, valorando los grados de concrecin geomtrica y susrepresentaciones. Seleccin de posiciones analticas o expresivas segn los fines.Lectura 7. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisOtro de los mtodos auxiliares para conocer el objeto en el espacio, se llamarotaciones o giros que al igual que en el cambio de planos de proyeccin facilita lasolucin a problemas que aparecen cuando los objetos por su posicin particular,respecto a los planos de proyeccin dificultan su representacin. De esta manerala figura geomtrica adquiere una nueva posicin en la nueva proyeccin quepermite observarla de manera ms clara y con todas sus propiedadesgeomtricas.7.1 Concepto de rotacinEn este procedimiento es el objeto en el espacio el que gira o rota en la monteahasta adquirir la posicin deseada y son los planos de proyeccin los quepermanecen fijos en el espacio. Tema 7. Giros o rotaciones 69 71. Geometra Descriptiva7.2 Diferencias bsicas entre giro y cambio de planos deproyeccinLa diferencia bsica entre estos dos sistemas auxiliares para conocer la verdaderaforma y magnitud de los objetos en el espacio radica en que mientras en giros sonlos objetos los que se mueven y las proyecciones las que permanecen estticasen la montea, en cambio de planos son precisamente los planos de proyeccin losque se mueven uno a uno hasta encontrar la figura deseada y el objetopermanece esttico durante el procedimiento.Ambos sistemas auxiliares nos llevarn al mismo resultado.7.3 Rotaciones aplicadas a las rectas7.3.1 Longitudes reales o verdaderasDada una recta cualquiera AB hacerla horizontal (fig 135)1 Alrededor de un eje de punta se hace girar la proyeccin vertical de la rectahasta hacerla paralela a la lnea de tierra. El eje se sita en el punto a y essuficiente girar b hasta el punto b1 en la posicin mencionada.2 Se completa la montea moviendo el punto b de la proyeccin horizontalparalelamente a la lnea de tierra hasta encontrar en b1 la proyectante bajada deb1 el punto a no se mueve por estar en el eje y as quedan determinadas lasnuevas proyecciones ab1, ab1 esta ultima de verdadera magnitud. La rectacualquiera ha quedado en posicin horizontal.Es de hacerse notar que al terminar el movimiento tenemos dos monteassobrepuestas la de una recta cualquiera AB y la de la recta horizontal A1B1aunque en todos estos movimientos supongamos que la primera desaparece paraquedar sustituida por la segunda.El eje puede situarse a conveniencia en cualesquiera de los puntos de la recta, eneste caso se ha tomado para ejemplificar el punto A pero podra haberse tomadode igual modo el B.Tema 7. Giros o rotaciones 70 72. Geometra DescriptivaDada una recta cualquiera hacerla frontal. (fig 137)1 Alrededor de un eje vertical se hace girar la proyeccin horizontal de la rectahasta hacerla paralela a la lnea de tierra, el eje se sita en el punto a y essuficiente girar b hasta el punto b1 en la posicin mencionada.2 Se completa la montea moviendo el punto b de la proyeccin verticalparalelamente a la lnea de tierra hasta encontrar en b1 la proyectante que subede b1 el punto a no se mueve por estar en el eje y as quedan determinadas lasnuevas proyecciones ab1, ab1 la primera de verdadera magnitud. La rectacualquiera ha quedado en posicin frontal.Tema 7. Giros o rotaciones 71 73. Geometra Descriptiva7.3.2 Proyeccin de rectas en un puntoDada una recta cualquiera hacerla de punta (fig 136)1 Se hace horizontal (fig 135)2 En la montea de la recta horizontal mediante eje vertical (fig 136) se hace girarla proyeccin horizontal hasta hacerla perpendicular a la lnea de tierra. El eje seapoya en a haciendo girar b1 hasta b2.3 Se determina nueva proyeccin vertical desplazando b1 hasta b2 en lareferencia de b2 con lo cual se sobrepone al punto a. El resultado final es lamontea de una recta de punta ab2 proyeccin vertical ntegra en un punto yhorizontal ab2 perpendicular a la lnea de tierra. Tema 7. Giros o rotaciones 72 74. Geometra DescriptivaDada una recta cualquiera hacerla vertical (fig 138)1 Se hace frontal (fig 137)2 En la montea de la recta frontal mediante eje de punta (fig 138) se hace girar laproyeccin vertical hasta hacerla perpendicular a la lnea de tierra. El eje seapoya en a haciendo girar b1 hasta b2.3 Se determina nueva proyeccin horizontal desplazando b1 hasta b2 en lareferencia de b2 con lo cual se sobrepone al punto a. El resultado final es la Tema 7. Giros o rotaciones 73 75. Geometra Descriptivamontea de una recta vertical ab2 proyeccin horizontal ntegra en un punto ab2 yab2 proyeccin vertical de una recta perpendicular a la lnea de tierra.Tema 7. Giros o rotaciones 74 76. Geometra Descriptiva7.4 Rotaciones aplicadas a los planos7.4.1 Proyecciones de planos en rectasDado un plano cualquiera ABC hacerlo de canto (fig.142)1 Se determina una horizontal dentro del plano cd-cd(fig 143)2 Mediante giro se hace de punta esa horizontal considerando para elmovimiento todos los puntos de la figura. La recta gira alrededor de un eje verticalen c y la figura se traslada con ella como sistema rgido, conservando su formapero cambiando de posicin.Para el traslado de la figura puede utilizarse un sistema bipolar, segn el cual unpunto se determina por sus distancias a otros dos llamados polos, en el presentecaso dichos polos sern los extremos de la recta c d, que ha girado hasta cd1pues ella es la que en realidad rige el movimiento de la figura.El punto a girando alrededor del mismo eje c, describe un crculo de radio ca, unade las dos distancias, bastar entonces medir la da y con ella como radio haciendocentro en d1, trazar un arco de circulo que corte al primero, el lugar de Tema 7. Giros o rotaciones 75 77. Geometra Descriptivainterseccin de esos crculos determina la nueva posicin a1 hasta la cual hagirado el punto a.Es de advertir que dos crculos se cortan siempre en dos puntos, de entre elloselegiremos en cada caso aquel que guarde con respecto a la recta cd1 las mismasrelaciones existentes entre a y cd. Cualquier otro punto se trasladar por el mismoprocedimiento empleando sus distancias a los polos propuestos; as para el b setomarn las distancias cb y db que apoyadas respectivamente en c y d1 secortarn en b1.3 Se determina nueva proyeccin vertical en la cual los puntos iniciales abc sedesplazan sobre paralelas a la LT, hasta encontrar en a1b1c1 las proyectantescorrespondientes a a1b1c. Estos nuevos puntos de la proyeccin verticalTema 7. Giros o rotaciones 76 78. Geometra Descriptivadeterminan una recta proyeccin ntegra del plano. Obsrvese que la montea finala1b1c a1b1c es consecuentemente la de un plano de canto (fig 143)En todos los casos las flechas indican el sentido del movimiento.Dado un plano cualquiera hacerlo vertical (fig 146)1 Se determina una frontal del plano en la montea ad ad.2 Se hace frontal esa vertical mediante giro llevando en el movimiento los demspuntos de la figura y haciendo eje de punta en a y la recta gira hasta ad1; paratrasladar la figura a su nueva posicin se usa un sistema bipolar aprovechandocomo polos los extremos a y d de la frontal que rige el movimiento.3 Se determina nueva proyeccin horizontal por el procedimiento usual enrotaciones; sta resulta ntegra en una recta oblicua respecto de LT comocorresponde a la montea de plano vertical ab1c1 ab1c1. Tema 7. Giros o rotaciones 77 79. Geometra Descriptiva7.4.2 Magnitudes reales o verdaderasDado un plano cualquiera ABC hacerlo horizontal (fig.144)1 Se hace de canto (fig. 143)2 En la montea obtenida para el plano de canto mediante eje de punta se hacegirar la proyeccin vertical ntegra en una recta hasta hacerla paralela a LT. El ejese ha situado en a1 y todos los dems puntos giran alrededor de ste hasta llegaren b2 c2d2 a la paralela a LT que pasa por l.3 Se determina nueva proyeccin horizontal desplazando los puntos b1cd1 sobreparalelas a LT hasta encontrar en b2c2d2 las proyectantes correspondientes a esegiro de la vertical resultando una proyeccin de verdadera forma y magnitud puesla montea representa ahora un plano horizontal a1b2c2 a1b2c2.Tema 7. Giros o rotaciones 78 80. Geometra DescriptivaDado un plano cualquiera ABC hacerlo frontal (fig.147)1 Se hace vertical (fig. 146)2 En la montea obtenida para el plano vertical mediante eje vertical se hace girarla proyeccin horizontal ntegra en una recta hasta hacerla paralela a LT. El eje seha situado en b1 y todos los dems puntos giran alrededor de ste hasta llegar ena2b2c2 a la paralela a LT que pasa por b1.3 Se determina nueva proyeccin vertical resultando una proyeccin deverdadera forma y magnitud pues la montea representa ahora un plano frontala2b1c2 a2b1c2. Tema 7. Giros o rotaciones 79 81. Geometra Descriptiva7.4.3 Aplicacin al diseoConociendo los principios fundamentales de giros se aplicarn para disear unempaque para un producto determinado.Dada la forma de un empaque, encontrar por medio del sistema auxiliar de giros,la verdadera forma y magnitud del mismo.El producto final deber contar con un diseo integral de geometra, diseo grficoaplicando textura, color y el uso de materiales novedosos.El ejemplo de la figura 189 se resolver segn instrucciones dadas en el precisomomento de comenzar a elaborar el ejercicio prctico.Tema 7. Giros o rotaciones 80 82. Geometra DescriptivaResumenEl sistema auxiliar de giros o rotaciones al igual que en el de cambio de planos deproyeccin permite en el moverse en el espacio para definir aspectos propios delos objetos que analizamos y construimos.Tema 7. Giros o rotaciones 81 83. Geometra DescriptivaReferencias bibliogrficas- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Ching, Francis. Arquitectura, forma espacio y orden. Mxico: Gustavo Gili,2000.Bibliografa- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980. Tema 7. Giros o rotaciones 82 84. Geometra DescriptivaTema 8. El crculoSubtemas8.1 Ubicacin de un crculo en el espacio tridimensional8.2 Proyecciones planas de un crculo en diferentes posicionesObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante aplicar correctamente el sistema deproyecciones en la figura del crculo.Lectura 8. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisEl crculo es una de las figuras bsicas en todo diseo por lo que conocer susdiferentes representaciones en el espacio tridimensional nos permitir tener unaherramienta de gran utilidad para la propuesta grfica.8.1 Ubicacin de un crculo en el espacio tridimensionalUn crculo en el espacio est determinado cuando se conocen: el plano que locontiene, un punto en l como centro y la dimensin de su radio en verdaderamagnitud.La proyeccin ortogonal de un crculo contenido en un plano oblicuo respecto al deproyeccin y en general su proyeccin cilndrica sobre cualquier plano no paralelo,es una elipse, razn por la cual el estudio de las proyecciones del crculo serelacionan ntimamente con las propiedades de la elipse (figs 236, 237) Tema 8. El crculo 83 85. Geometra Descriptiva8.2 Proyecciones planas de un crculo en diferentes posicionesa) Crculo contenido en plano horizontal (fig.234) En todos los casos son datos: el plano, el centro y el radio. Siendo esta posicin en verdadera forma y magnitud, la proyeccin horizontal resultar en un crculo igual y paralelo al del espacio; mientras la vertical es ntegra en una recta paralela a LT cuya longitud corresponde al dimetro del crculo.Tema 8. El crculo 84 86. Geometra Descriptivab) Crculo contenido en plano frontal (fig.235) En todos los casos son datos: el plano, el centro y el radio. Siendo esta posicin en verdadera forma y magnitud, la proyeccin frontal resultar en un crculo igual y paralelo al del espacio; mientras la horizontal es ntegra en una recta paralela a LT cuya longitud corresponde al dimetro del crculo.Tema 8. El crculo 85 87. Geometra DescriptivaTema 8. El crculo 86 88. Geometra DescriptivaTema 8. El crculo 87 89. Geometra DescriptivaResumenEl crculo se emplea muy a menudo para denotar una estructura formal, la manerade disponer y coordinar esta figura, permiten dentro del diseo la composicin yproduccin de proyectos muy propositivos.Tema 8. El crculo 88 90. Geometra DescriptivaReferencias bibliogrficas- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Ching, Francis. Arquitectura, forma espacio y orden. Mxico: Gustavo Gili,2000.Bibliografa- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980. Tema 8. El crculo 89 91. Geometra DescriptivaTema 9. ParalelismoSubtemas9.1 Concepto geomtrico9.2 Paralelismo de rectas9.3 Paralelismo de planos9.4 Paralelismo entre rectas y planos9.5 Distancias mnimas entre rectas y planosObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante identificar los sistemas y posiciones msadecuadas en cada caso para un tratamiento claro y sencillo, que potencie laoperatividad del sistema, valorando los grados de concrecin geomtrica y susrepresentaciones. Seleccin de posiciones analticas o expresivas segn los fines.Lectura 9. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisEn este captulo se tratar el concepto de paralelismo en montea que sepresentan en el espacio de rectas, planos o entre rectas y planos.9.1 Concepto geomtricoDos o mas objetos en el espacio son paralelos cuando todos los puntos que losaconforman estn a la misma distancia es decir estn equidistantes.9.2 Paralelismo de rectasDada una recta cualquiera por sus proyecciones ab ab, construir paralelas a ella.(fig.199). Cuando varias rectas del espacio son paralelas entre s, susproyecciones del mismo nombre tambin lo son (fig 200).Tema 9. Paralelismo 90 92. Geometra Descriptiva9.3 Paralelismode planos9.3 Paralelismo en planosDado un plano cualquiera abc abc construir otro paralelo a l (fig 205).1 Por un punto cualquiera del espacio pp, constryanse dos rectas paralelas acualquiera de las del plano; por ejemplo pd pd y pe pe paralelasrespectivamente a ab ab y cd cd; puesto que las dos rectas as construidas secortan, determinan un plano dpe dpe que resulta necesariamente paralelo alpropuesto. Tema 9. Paralelismo 91 93. Geometra Descriptiva9.4 Paralelismo entre rectas y planosConstruir un plano paralelo a una recta dada ab ab (fig 203).1 Constryase una recta tal como cd cd paralela a la dada.2 Por un punto cualquiera dd de la recta cd cd hgase pasa otra cualquiera dede. Estas dos rectas se cortan determinando un plano cde cde que es paralelo ala recta..El problema tiene infinidad de soluciones, tantas como rectas sean paralelas a laprimera y para cada una de ellas tantas como otras que las cortan. Un plano esparalelo a una recta (fig 204) cuando contiene por lo menos una recta paralela aella.Tema 9. Paralelismo 92 94. Geometra DescriptivaTema 9. Paralelismo 93 95. Geometra Descriptiva9.5 Distancias mnimas entre rectas y planosLa distancia mnima es siempre perpendicular a la(s) recta(s) y solo se encontraren donde al menos una de las rectas aparezca como un punto. Para llevar a caboesto, su visual debe ser paralela a la recta que aparece en verdadera forma ymagnitud.Sea la figura 257.1 Introduzcamos un eje vertical que pase por el punto B y alrededor de lhagamos girar la AB hasta que se site en el plano frontal que pasa por el eje.Con este giro obtendremos con las proyecciones A1B y AB, hecha frontal, cuyalongitud real entre los dos puntos se manifiesta en la segunda proyeccin.2 Si efectuamos ahora, el giro alrededor de un eje de punta que pase por el puntoB, haciendo girar la recta hasta que se site en un plano horizontal que pase por eleje, la proyeccin vertical del punto A, describir en el plano frontal un arco de Tema 9. Paralelismo 94 96. Geometra Descriptivacrculo y la mencionada proyeccin se situar en A2, como la recta resultahorizontal en esta posicin BA se manifiesta en verdadera magnitud.Tema 9. Paralelismo 95 97. Geometra DescriptivaResumenEl sistema de paralelismo de los objetos en el espacio tridimensional permite enun diseo analizar y definir la repeticin consecutiva de dichos objetos en sudimensin real.Tema 9. Paralelismo 96 98. Geometra DescriptivaReferencias bibliogrficas- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Giombini, Adrin. Geometra descriptiva. Mxico: Ed. Porrua. 1981.Bibliografa- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980. Tema 9. Paralelismo 97 99. Geometra DescriptivaTema 10. PerpendicularidadSubtemas10.1 Concepto geomtrico y teoremas10.2 Perpendicularidad de rectas10.3 Perpendicularidad de planos10.4 Perpendicularidad entre rectas y planos10.5 Longitudes reales de distancias perpendicularesObjetivo de AprendizajeAl trmino del tema el estudiante identificar los sistemas y posiciones msadecuadas en cada caso para un tratamiento claro y sencillo, que potencie laoperatividad del sistema, valorando los grados de concrecin geomtrica y susrepresentaciones. Seleccin de posiciones analticas o expresivas segn los fines.Lectura 10. Geometra descriptivaPor: Miguel de la Torre Carb.SinopsisEn este captulo se tratar el concepto de perpendicularidad en montea que sepresentan en el espacio de rectas, planos o entre rectas y planos.10.1 Concepto geomtrico y teoremasCuando dos rectas del espacio perpendiculares entre s (fig 207a, 207b ) seproyectan en un plano paralelo a una de ellas, las proyecciones de ambas rectasforman tambin entre s un ngulo recto, es decir, se proyectan comoperpendiculares. Tema 10. Perpendicularidad 98 100. Geometra DescriptivaSi dos rectas son perpendiculares en el espacio, cuando en una proyeccin unaaparezca en verdadera forma y magnitud, la otra aparecer perpendicular a laprimera.10.2 Perpendicularidad de rectasConstruir una recta perpendicular a otra dada.De esta posicin inicial, resultan infinidad de soluciones; pues basta trazar unplano perpendicular a la recta dada para que todas las rectas contenidas en lsean perpendiculares a la primera (fig 219) el plano Q de la figura es perpendiculara la recta R y todas las rectas de aqul: A, B, C, D ... resultan perpendiculares aella.Tema 10. Perpendicularidad 99 101. Geometra Descriptiva10.3 Perpendicularidad de planosUn plano es perpendicular a otro cuando contiene por lo menos una rectaperpendicular a l.Dado un plano cualquiera abc abc construir otro perpendicular a l1 Constryase una recta frontal fl fl y una horizontal hl hl del plano dado (fig 208) Tema 10. Perpendicularidad 100 102. Geometra Descriptiva2 Trcense proyecciones mp mp de una recta, de tal manera que la vertical mpsea perpendicular a la de la frontal fl y la horizontal mp lo sea a la de la horizontaldel plano hl.La recta que estas proyecciones determinan, es perpendicular a las frontales y alas horizontales del plano, por tanto lo es al plano mismo.3 Por un punto cualquiera pp de la recta pm constryase otra recta cualquierapg pg, estas rectas se cortan y determinan un plano que resuelve el problema(fig 217).Como se ve hay infinidad de soluciones posibles (fig 218) pues la primera rectapuede cortarse por infinidad de otras, formando con cada una de ellas un planoque es perpendicular al propuesto.Tema 10. Perpendicularidad 101 103. Geometra Descriptiva10.4 Perpendicularidad entre rectas y planosConstruir un plano perpendicular a una recta dada (fig 213).1 Constryase una recta horizontal en ph ph y una frontal fp fp que se corten enpp y que guarden con respecto a la recta ab ab las condiciones deperpendicularidad. Tema 10. Perpendicularidad 102 104. Geometra Descriptiva10.5 Longitudes reales de distancias perpendicularesConstruir la longitud real de distancia perpendicular entre una recta y un planodados.1 Constryase una horizontal ch ch y una frontal hf hf del plano (fig 210).2 Por el punto pp del espacio, llvense las nicas proyecciones posibles quesatisfagan respecto del plano, las condiciones de perpendicularidad, stasrepresentan una recta y slo una, que resuelve el problema (fig 211)Determnese el punto de interseccin i i de esta recta con el plano (fig 212) ladistancia pi pi entre la interseccin obtenida y el punto dado, es la de ste alTema 10. Perpendicularidad 103 105. Geometra Descriptivaplano y su verdadera magnitud podr conocerse, llevando a posicin frontal uhorizontal, el segmento de recta limitado entre ambos puntos. Tema 10. Perpendicularidad 104 106. Geometra DescriptivaTema 10. Perpendicularidad 105 107. Geometra DescriptivaResumenEl sistema de perpendicularidad al igual que el de paralelismo de los objetos en elespacio tridimensional permite en un diseo analizar y definir la repeticinconsecutiva de dichos objetos en su dimensin real.Tema 10. Perpendicularidad 106 108. Geometra DescriptivaReferencias bibliogrficas- Rodrguez, A. Elementos de geometra descriptiva. Espaa: Murcia Ed.,1992- Giombini, Adrin. Geometra descriptiva. Mxico: Ed. Porrua. 1981.Bibliografa- De la Torre, Miguel. Geometra descriptiva. Mxico: UNAM, 1980 Tema 10. Perpendicularidad 107