GEOMETRÍA ANALÍTICA - G. FULLER Y D. TARWATER

SPTIMA EDICIN,

anal

,

a

Gordon FuUerProfesor emrito de matemticas Texas Tech University

Dalton TarwaterProfesor de matemticas Texas Tech University

Versin en espaol deRafael Martnez Enrquez

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Con la colaboracin tcnica deAlberto Rosas Prez

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

MXICO ARGENTINA BRASil., COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAA GUATEMALA P ER PUERTO RICO VENEZUELA

Versin en espaol de la obra titulada Analityc Geometry, Seventh Edition, de Gordon Fuller y Dalton Tarwater, publicada originalmente en ingls por Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading Massachusetts, E.U.A., 1986 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

SPTIMA EDICiN,

1995

Primera reimpresin en Mxico, 1999

1995 por ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.D.R. 1999 por ADDISON WESLEY LONGMAN DE MEXICO, S.A. DE C.V. Calle Cuatro No. 25, 2 piso Fracc. Industrial Alce Blanco

53370 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

CNIEM 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o sus representantes.

oISBN 9 68 44 4

MAY

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

It.f'RESORA ROMA TOMAS VAZOUEZ No. 152 COL. SAN PEDRO IXTACALCOC P.08220 MEXICO. D. F.

2000

1 234

5

67890

03 020100 99

O

DedicatoriaGordon Fuller naci en Joshua, Texas, el 17 de enero de 1894. Se gradu en matemti cas en el West Texas State (licenciatura, 1926), y en la University of Michigan (maestra y doctorado, 1933). Despus de 12 aos de enseanza en Auburn, se incorp or a la Te xas Tech University en 1950, donde permaneci hasta su retiro en 1968. Fue autor o coau tor de libros de texto de lgebra elemental, trigonometra plana, geometra analtica y clculo. Se le recuerda como un p rofesor duro pero justo, un expositor lcido, un caballero elegante y un colega cordial. Gordon Fuller muri en Dalias, Texas, el 17 de marzo de 1985. Este texto se dedica a su memona. Tambin se dedica a su hijo, el doctor Dwain Fuller, y a mi esposa, Nancy Tarwater, . . por su paCiencia, comprenSlOn y apoyo. . ,

PrefacioEsta sptima edicin de Geometra analtica (para matemticas de preparatoria o mate mticas IV de CCH), se dise para un primer curso sobre el tema. En ella se destacan los elementos esenciales de la geometra analtica y se pone nfasis en aquellos concep tos necesarios en clculo, ya sea el clculo tradicional o el que se lleva en una c arrera enfocada a los negocios. Si bien una gran parte de la edicin anterior ha quedado intacta, esta edicin presen ta los siguientes cambios importantes. l . A las muchas aplicaciones de la geometra analtica a l a administracin, a las cien cias sociales y a las ciencias fsicas se han aadido nuevas aplicaciones en medici na, salud pblica, probabilidad, estadstica, adems de una que se refiere a los gastos de traslado que repercuten en el pago de impuestos federales. 2. Se incluye un nuevo captulo sobre ajuste de curvas, que contiene yl mtodo de m nimos cuadrados para modelos lineales y exponenciales, as como una nueva sec cin dedicada al estudio de coordenadas esfricas y cilndricas. 3. Se presentan notas histricas que brindan al lector un sentido de continuidad con el pasado.4.

Se incluye una gran variedad de temas nuevos que versan sobre funciones crecien tes y decrecientes, desigualdades lineales y polinomiales, nmeros complejos y fun ciones hiperblicas.

5. Se espera que el lector utilice algn tipo de graficador, ya sea una calculadora o un computador con capacidad de graficacin. A lo largo del texto, as como en los ejer cicios, aparecen referencias a las rutinas incluidas en el nuevo programa Explorer de Addison-Wesley, as como recomendaciones para quien utilice un graficador. Los ejercicios en los que podra usar una calculadora NO se disearon para que se recu rriera a dicha herramienta, sino para que las respuestas se obtuvieran usando "lpiz y papel" o algn tipo de graficador. Esto permite al estudiante (o profesor) decidir cul mtodo de solucin resulta apropiado. 6. A cada captulo se ha aadido un listado de trminos clave y un conjunto de ejerci cios a manera examen. Al final del libro se encuentran las respuestas de los ejerci cios pares y de todos los ejercicios que aparecen en los exmenes. El texto va acompaado de un Student s Solutions Manual, con las respuestas a los ejercicios pares, y de un Instructor s Manual, con las respuestas a todos los ejercicios. Addison-Wesley tambin ha puesto a disposicin del usuario un Graphing Calculator and Computer Graphing Laboratory Manual, que ensea el uso de varios tipos de cal culadoras y utilera de graficacin MasterGrapher -3D Grapher.v

Se dan las ms cumplidas gracias al doctor Henry PoIlack, de BeIl Labs, por sugerir el ejercicio que aparece en la seccin 3.4 y que se refiere a los gastos de reacomodo deducibles de los impuestos federales. Agradecemos tambin al doctor William Howland, de Texas Tech, la aportacin de los ejercicios sobre cnicas, as como al doctor Harold Bennet, de Texas Tech, por contribuir con las respuestas que aparecen al final del libro. Se ha contado con las sugerencias y consejos de Jerry L. Frang, de Rockford, Illinois, de Lance L. Littlejohn, de Utah Curbo, quien trabajara en Monterey High School de Lubbock, Texas. Nos entristece la muerte de tan excelente maestro. Agradecemos a los muchachos colegas y estudiantes que han sugerido mejoras al texto. Finalmente, expresamos nuestra sincera gratitud por la magnfica labor de captura realizada por la seora Pam Newton.

Lubbock, Texas

vi

estudianteBienvenido al estudio de la geometra analtica. Est en buena compaa. En los ltimos dos mil aos, millones de personas han estudiado algn aspecto de este tema. Entre ellos se encuentran muchos de los ms grandes intelectos de los tiempos histricos y moder nos. Gran parte de estos estudiantes aprendieron geometra analtica por sus valores in trnsecos. Sin embargo, justo es decir que hoy da el tema se estudia principalmente como un curso preparatorio para el clculo. Hemos tratado de mostrar, en ejemplos y ejercicios, que las ideas aqu expuestas son aplicables en muchos campos de estudio. Por desgracia es necesario estudiar clculo, o incluso otros cursos posteriores, para ver las aplicaciones en toda su profundidad. Se es pera que las diversas aplicaciones presentadas basten para indicar la amplia utilidad de estos conceptos. Se supone que el lector ha tomado cursos de lgebra, geometra y trigonometra, y se espera que pueda resolver cuadrticas por frmula y completando el cuadrado, resolver sistemas de ecuaciones y usar las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, as como algunas identidades que las incluyan. Para algunos ejercicios ser til conocer de terminantes. Se recomienda leer el texto antes de intentar resolver los ejercicios. Mientras se lee el texto, se puede usar lpiz y papel para completar los pasos faltantes en los ejemplos y para copiar teoremas y frmulas hasta aprenderlos. Se da por hecho que el estudiante tiene acceso a una calculadora que incluya las funciones trigonomtricas, log, In, ex o yx. Se espera, adems, que se cuente con algn tipo de sistema graficador, ya sea una calculadora con pantalla para grficas o un com putador con paquetera para graficar funciones. Usados en forma adecuada, estos ele mentos pueden ampliar y aumentar el entendimiento de la geometra analtica, si bien No eliminan la necesidad de conocer los principios, teoremas, frmulas y definiciones que aparecen en este texto. Es importante advertir que la posesin de una calculadora o de un computador con mltiples programas no libera al matemtico, al cientfico o al ingeniero del conocimien to de los fundamentos de la geometra analtica. Simplemente les permite mejorar su ca pacidad para tratar aplicaciones ms complicadas. El estudiante que tenga acceso a un computador de grficas se beneficiar del uso de esa capacidad para graficar muchas de las funciones de este texto. Si bien no se requiere que el estudiante use un computador, los autores sugieren a todos los estudiantes que tengan acceso a uno, que apliquen los conocimientos adquiridos aqu y que programen el computador para elaborar grficas siempre que les sea posible.

Vii

Indice general1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1

,

Conceptos fundamentales 2 Inclinacin y pt:ndiente de una recta 12 Divisin de un segmento de recta 23 Demostraciones analticas de teoremas geomtricos 30 Relaciones y funciones 35 Ecuacin de una grfica 44 Algunas funciones especiales 50 Ejercicios de repaso 59 Trminos clave 60 Examen sobre el captulo 60

2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 612.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Rectas y ecuaciones de primer grado 61 Otras formas de ecuaciones de primer grado 69 Interseccin de rectas 74 Distancia dirigida de una recta a un punto 79 Familias de rectas 86 La circunferencia 92 Familias de circunferencias 100 Traslacin de ejes 104 Ejercicios de repaso 107 Trminos clave 108 Examen sobre el captulo 108

3 CNICAS3.1 3.2 3.3 3.4 111

La parbola 112 Parbola con vrtice en (h, k) 120 Elipse 129 Hiprbola 142ix

x

NDICE

Ejercicios de repaso 152 Trminos clave 153 Examen sobre el captulo 153

4 SIMPLIFICACION DE ECUACIONES 155,

4.1 4.2 4.3 4.4

Simplificacin por traslacin 155 Rotacin de ejes 159 Simplificacin por rotaciones y traslaciones 162 Identificacin de una cnica 167 Ejercicios de repaso 172 Trminos clave 172 Examen sobre el captulo 172

5 CURVAS ALGEBRAICAS5.1 5.2 5.3 5.4 175

Polinomios 175 Ecuaciones racionales 179 Asntotas inclinadas 184 Ecuaciones irracionales 188 Ejercicios de repaso 192 Trminos clave 193 Examen sobre el captulo 193

6 FUNCIONES TRASCENDENTES6. 1 6.2 6.3 6.4 6. 5 Funciones trigonomtricas 195 La funcin exponencial 205 Logaritmos 2 10 Suma de ordenadas 216 Ecuaciones trigonomtricas 221 Ejercicios de repaso 223 Trminos clave 224 Examen sobre el captulo 224 195

7 COORDENADAS POLARES 2257. 1 Sistema de coordenadas polares 225

(ND/CE7. 2 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 230 7.3 Grficas de ecuaciones en coordenadas polares 237 7.4 Ayudas para graficar ecuaciones en coordenadas polares 241 7.5 Ecuaciones polares de rectas y circunferencias 249 7.6 Ecuaciones polares de las cnicas 253 7.7 Intersecciones de grficas en coordenadas polares 259

XI


8ECUACIONES PARAMETRICAS 2658.1 Ecuaciones paramtricas de las cnicas 266 8.2 Aplicaciones de las ecuaciones paramtricas 274,

Ejercicios de repaso 279 Trminos clave 279 Examen sobre, el captulo 280

9COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUP ERFICIES 2819.1 Coordenadas en el espacio tridimensional 281 9.2 Superficies de revolucin y superficies cudricas 291 9.3 Coordenadas clindricas y esfricas 306

Ejercicios de rep(lso 310 Trminos clave 311 Examen sobre el captulo 311

10VECTORES, P LANOS Y RECTAS 31310.1 Operaciones con vectores 314 10.2 Vectores en el espacio tridimensional 327 103Producto escalar de dos vectores 330un

10.4 Ecuacin de

plano 337

10.5 Ecuacin vectorial de una recta 342 10.6 El producto vectorial 349


xii

NDICE

11 AJUSTE DE CURVAS 359Mtodo de mnimos cuadrados 360 11.2 Modelos exponenciales 364 Ejercicios de repaso 366 T rminos clave 366 Examen sobre el captulo 36711.1

Apndice A Frmulas Apndice B Tablas

369

375 379

Respuestas a ejercicios seleccionados Indice de materias 433,

Captulo

Conee tos fundame

les

travs de varios siglos el lgebra y la geometra se han desarrollado lentamente como disciplinas matemticas distintas. En 1637 Ren Descartes matemtico y filsofo fran cs, public su obra La Gomtrie, en la cual introdujo un mecanismo para unir esas dos ramas de las matemticas. La caracterstica bsica de este nuevo proceso, ahora llamado geometra analtica, es el uso de un sistema coordenado. Por medio de sistemas coordenados, los mtodos algebraicos se pueden aplicar con rigor al estudio de la geo metra; quiz ms sobresaliente sea el beneficio que representa para el lgebra la repre sentacin grfica de ecuaciones algebraicas. Descartes contribuy notablemente a allanar el camino para alcanzar diferentes desarrollos en matemticas, ya que nos brind el mar co de referencia para la creacin del clculo. Muchos de los conceptos analizados en este libro son de origen antiguo pero no se debe caer en el error de pensar que se estudian slo por su valor histrico. Por el contra rio, estas ideas han soportado el paso del tiempo y hoy da se estudian debido a su utili dad para tratar problemas presentes (y probablemente futuros). Los temas que son slo de inters histrico y que no tienen ya ninguna utilidad casi han desaparecido como te mas de estudio. Los aspectos que se estudian en este libro tienen significativas aplicaciones en mul titud de investigaciones matemticas y en disciplinas tan diversas como astronoma, fisi ca, qumica, biologa, ingeniera, negocios, medicina, ciencias sociales, psicologa, estadstica, agricultura y economa. Sin embargo, cabe advertir a los estudiantes que si bien el conocimiento de la geometra analtica es esencial para comprender una gran can tidad de aplicaciones de las matemticas, debern profundizar mucho ms en las mate mticas para poder apreciar toda la riqueza de las aplicaciones que aparecen en este libro. Quizs el principal propsito de este estudio consista en examinar, de manera elemental, conceptos que en una situacin ms abstracta se generalizan convirtindose en poderosas herramientas matemticas.A NOTA HISTORICA Ren Descartes (1596-1650), cuando joven, prefera dormir hasta tarde y meditar encama despus de despertar. Ms tarde vag durante aos por Europa antes de asentarse en Holanda en 1628 para meditar aislado del mundo. Despus de varios aos public el

.

Discurso del mtodo, de gran importancia filosfica y matemtica, en el qu presentla geometra analtica.,

I

2

CAP(TULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1 .1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES Una recta dirigida es una recta en la cual una direccin se escoge como positiva y la direccin opuesta como negativa. Un segmento de la recta, formado por dos puntos cua lesquiera y la parte entre ellos, se llama segmento de recta dirigido. En la figura 1.1, la direccin positiva se indica con una flecha. Los puntos A y B determinan un segmen to, cuya denotacin es AB o BA. Se dice que la distancia de A a B, medida en la direc cin positiva, es positiva, y que la distancia de B a A, medida en la direccin negativa, es negativa. Estas dos distancias, cuya denotacin es AB y BA se llaman distancias diri3 Y BA gidas. Si la longitud del segmento de recta es 3, entonces AB -3. Por tanto, las distancias en un segmento de recta dirigido satisfacen la ecuacin..

=

=

AB - -BA. .

B A Figura 1.1 A B

Otro concepto relacionado con la distancia en el segmento AB es el de distancias no dirigidas entre A y B. La distancia no dirigida es la longitud del segmento que se considera positiva. Se usar la notacin lABio IBAI para indicar la medicin positiva de la distancia entre A y B, o la longitud del segmento de recta AB. En vista del anlisis anterior, se puede escribir

AB BA

=

=

IABI IBAI 3, -IAB I -IBAI= = =

=

-3.

A menudo tiene particular importancia el concepto de valor absoluto de un nme ro. Al respecto, se da la siguiente definicin.

De acuerdo con esta definicin, el valor absoluto de todo nmero distinto de cero es positivo y el valor absoluto de cero es cero. As,

151 5,=

1-5 1

=

-(-5)

=

5,

101

=

o.

1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

3

Se observa entonces que para cualquier nmero real

a,

lal

=

W

puesto que la raz cuadrada de cualquier nmero no negativo es no negativa.

Teorema 1.1 Si A, B Y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determinada por estos puntos satisface las ecuaciones

AB

+

BC

=

AC ,

AC

+

CB

=

AB,

BA-=-:'"

+

AC

=

BC.

Demostracin Si B est entre A y C, las distancias AB, BC y AC tienen el mismo signo y, obviamente, AC es igual a la suma de las otras dos distancias (Fig. l.2). Las ecuacionesse suma -BC en ambos lados de la primera y luego se usa la condicin de que -BC segunda y tercera resultan con facilidad de la primera. Para probar la segunda ecuacin,=

CB. As,

AB

=

AC - BC

=

AC

+

CB.

Figura 1.2

A

B

e

La recta numrica real Un concepto fundamental en geometra analtica es la representacin de todos los n meros reales mediante puntos en una recta dirigida. Debe advertirse que los nmeros reales estn formados por los nmeros positivos, los negativos y el cero. Para establecer la reptesentacin deseada, primero se escoge en una recta una direc cin como la positiva (a la derecha en la Fig. 1.3) Y se elige un punto O de la recta, al cual se le llama origen, para representar el nmero cero. A continuacin se marcan pun tos a las distancias 1, 2, 3, Y as sucesivamente, unidades a la derecha del origen. En tonces, los puntos as localizados representan los nmeros 1, 2, 3, etctera. De l a misma manera,.se localizan puntos a la izquierda del origen para representar los nmeros -1, -2, -3, Y as sucesivamente. Ya se han asignado 'puntos a los enteros positivos, a los enteros negativos y al entero cero. Los nmeros cuyo valor est entre dos enteros conse cutivos tienen sus puntos correspondientes entre los puritos asociados con dichos ente ros. De este modo, el nmero 21/4 corresponde al punto que se halla 21/4 unidades a la derecha del origen. En general, cualquier nmero positivo p se representa con el punto que se encuentra p unidades a la derecha del origen, y un nmero negativo q se repre senta con el punto q unidades a l a izquierda del origen. Adems, se supone que todo nmero real corresponde a un punto en la recta y, recprocamente, que todo punto en la recta corresponde a un nmero reaL Esta relacin del conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos de una recta dirigida se llama correspondencia uno a uno.

4

CAPTULO 1o I o

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.3

I -4

-

I 3

I -2

I -1

I 1

I 2

I 3

4

La recta dirigida de la figura 1.3, cuyos puntos corresponden a los nmeros reales, se llama recta numrica real. El nmero que corresponde a un punto sobre la recta se llama coordenada del punto. Puesto que los nmeros positivos corresponden a puntos en la direccin escogida como positiva a partir del origen y los nmeros negativos co rresponden a puntos en la direccin opuesta o negativa a partir del origen, entonces las coordenadas de los puntos sobre una recta numrica se consideran como distancias diri gidas a partir del origen. Por conveniencia, algunas veces se hablar de un punto como si fuera un nmero y viceversa. Por ejemplo, podra decirse "el punto 5" en lugar de "el nmero 5", y "el nmero 5" en lugar de "el punto 5".

Coordenadas rectangulares Una vez obtenida una correspondencia uno a uno entre los puntos sobre una recta y el sistema de los nmeros reales, se desarrolla un esquema para poner en correspondencia uno a uno los puntos de un plano con un conjunto de pares ordenados de los nmeros reales.

en que estn colocados y (x', y') son iguales si,

y

Observe que (3, 2) ;t= (2, 3) Y ( l , 1) (x, y) si, y slo si, x 1 Y Y = l. Se trazan una recta horizontal y una recta vertical que se crucen en el origen O (Fig. 1.4). La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. El eje x y el eje y, considerados juntos, se llaman ejes coordenados, y el plano determinado por los ejes coordenados se llama plano coordenado. El eje x, que usualmente se traza de manera horizontal, se llama eje horizontal y el eje y, eje vertical. De cada eje coordenado se hace una escala numrica real con una unidad de longitud adecuada, donde el origen sea el punto cero. Se escoge la direccin positiva hacia la derecha del eje x y hacia arriba en el eje y, como lo indican las flechas de la figura. Es muy importante que los ejes coordenados tengan denominacin. El estudiante debe acostumbrarse inmediatamente a hacerlo; bastar una flecha en la direccin positiva de cada eje. Sin embargo, en este caso tambin deber indicarse el nombre x o y de cada coordenada, como se hace en la figura 1.4 y en el resto del libro. Si P es un punto en el plano coordenado, las distancias del punto a los ejes coordenados se definen como distancias dirigidas. Esto es, la distancia al eje y es= =


5

positiva si P se encuentra a la derecha del eje y, y negativa si P est a la izquierda, y la distancia al eje x es positiva si P est arriba del eje x, y negativa si P se. halla debajo del eje x. Cada punto P del plano est asociado con un par de nmeros llamados coordena das. Las coordenadas se definen en funcin de las distancias perpendiculares de los ejes al punto.y

4 3 2 1x

(-, +)

11

(+, +)

1

-4

-3

-2

-1

o -1

1

2

3

4

(

-,

-)

111FIgura 1.4

-2 -3 -4

(+, -)

IV

Un punto cuya abscisa es x y cuya ordenada es y se denominar (x, y), en ese or den; la abscsa siempl'e se coloca primero. Por ello, las coordenadas de un punto consti tuyen un par ordenado de nmeros. Aunque un par de coordenadas determina un punto, a menudo se hace referencia a las coordenadas mismas como a un punto. Se supone que a cualquier par de nmeros reales (coordenadas) le corresponde un punto definido. Recprocamente, St'< supone que a cada punto del plano le correspon de un par definido de coordenadas. Esta relacin de puntos sobre un plano y pares de nmeros reales se llama correspondencia uno a uno. El mecanismo descrito para obte ner esta correspondencia se llama sistema de coordenadas rectangulares.

6

CAPiTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Un punto de coordenadas dadas se localiza midiendo las distancias adecuadas a partir de los ejes y marcando ese punto. Por ejemplo, si las coordenadas de un punto son ( 4, 3), la abscisa 4 significa que el punto est 4 unidades a la izquierda del eje y y la ordenada 3 (con el signo ms sobreentendido) significa que el punto se halla 3 uni dades sobre el eje x. En consecuencia, se llegar al punto yendo desde el origen 4 unidades a la izquierda sobre el eje x y despus 3 unidades hacia arriba paralelamente al eje y (Fig. 1.5).-

y

4 (-4,3)

-r

2 -

1+-4 Figura1.5

-3

,,

-2

, ,

,

,

-1

o-1 .

,

1

2

,

3

1 ,

4

, ,

x

De manera anloga, si se desea localizar los puntos (5, -3), habr que moverse 5 unidades a la derecha del origen sobre el eje x y despus 3 unidades hacia abajo (pues la ordenada es negativa), paralelamente al eje y. Se habr localizado as el punto deseado. En la figura 1.6 se tienen algunas coordenadas y se han localizado los puntos co rrespondientes.yo

"

. . . ,

.

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . . . ..... . ..

. . .

. . . . ..

. . . . . ...... .

,

..

:

.....

.

:

. .

.

. . ..

.

:.

. . . . . . . . . . . , . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

..

. . .

. .

:

.. . . .

. . .

:

.

..

. .

. .

,

.

:

. . . .

,

. .

:

. .

:

. (3 4) .... :

. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ,

. .

,

. .

.

.

.. . "

..

.

:

. . . . . . . . . . , - . .. . . . . . . . . . . . . . , .

.

. .. ..

,

.

:

..

..(-4, 2),..

. . . . . . .

. . . . . . . ..

. .

:......

:.. .

..

...

:. .

:. . . . . . . . . .. .

:

:

: ...... .

. . '

:

:

.

.

.:

: ...... O 1) ... : (. . . . ..

:: .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . " "

"

,

. . . . .

:

,

...

,

;

,

...

,

. .

:

.

,...

,

. . . . .

::

. . . . . . . . . . . . . . . . . ' .

:

. . . . .. . . . . . . . . "

. . . .. .

.

:

:

.....

:. . . . . :. . .

'

: .. .

,

:

. .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O

. .

. . .

:

x

'

:

. .

: :

:

. .

( 2t 2) .

. .

: :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. .

:

. . .

.

.

:

.....

:

.....

:.

.

..

..

:

. . . . .

.

:

.

.

.

.

.

. . . . .

..

. . . ..

. .

:

. .. . .

:.

:

:

. . ...

.

:

.. . .

Figura 1.6

. , . . . . . . . . . . . . .

. ( 5 , -5 ) ..... : ..

:

:.

. . . . .

::

..

. . .

:

:

.

.....

:

.

.....

. .

. . . .

(0 -3) ... :. . . .

.

. .

t

. . .. .

:

. . .. .

. .

:

. .

. .

. .

.. .

:

. ., ..

:::

....

:

. . . ..

:

: '...

:"

. (2t :. .

-

4). .

..

: :

..

..

::

. .

-

.

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

.

. . . . . . . ' . . . . . . . . . .... . . . .

..... . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .... . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . ... .. . . .

:

:

:

:

: .

:

.

.

.


7

Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que se numeran del 1 al IV en la figura 1.4. Las coordenadas de un punto en el primer cuadrante son positivas, lo cual se indica con (+, +) en la figura. Se indican de manera anloga los signos de las coordenadas en cada uno de los otros cuadrantes. Cuando las coordenadas de un punto no son enteros, se har una aproximacin para localizar el punto sobre la grfica. Por ejemplo, para dibujar los puntos A(1t, .fi) y B= (-./5, 31t), localizemos el punto A e n la grfica en una vecindad de (3. 1, 1.4) anlogamente el punto B cerca de (-2.2, 9.4) si se desea una mejor exactitud, la escala de ejes tiene que ser incrementada con ms precisin.

DistancIa entre dos puntos En muchos problemas se requiere conocer la distancia entre dos puntos del plano coordenado. La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de recta que los U1e, se puede calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un seg mento de recta (o una recta) se clasificar como horizontal, vertical o inclinado de pendiendo de si el segmento es paralelo al eje x, al eje y o a ningn eje. Con el fin de deducir frmulas adecuadas para encontrar la longitud de estos tipos de segmentos, se usar el concepto de segmentos dirigidos. Sean PJx, y) y P2(X 2, y) dos puntos sobre una recta horizontal, y sea A el punto donde la recta corta el eje y (Fig. 1.7). Por el teorema 1.1, se tiene que

AP

+

pp2 = AP2

=X2-XI' . De manera anloga, para la distancia vertical Q1 Q2' se tiene . -=--=' . QIQ2 = QIB + BQ2 = BQ2 - BQI = Y2 - YI'

Por consiguiente, la distancia dirigida desde un primer punto hasta un segundo punto sobre una recta horizontal es igual a la abscisa del segundo punto menos la abscisa del primero. La distancia es positiva o negativa dependiendo de si el segundo punto se en cuentra a la derecha o a la izquierda del primero. Se puede hacer un enunciado corres pondiente con respecto a un segmento vertical. En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su direccin, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas.

La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda. La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada del punto superior menos la ordenada del punto inferior.

8

CAPTULO 1


y

A(O. y)

B(x. O) FIgura 1.7 Q,(x. y,)

o

x

Si no se sabe cul punto est a la derecha del otro, se puede usar la expresin equiva lente IpI1 = IXI - .1:21 V(XI- X2) 2 (1.1)=

para la distancia no dirigida entre PI(XI, y) y P2(X2, y). De manera anloga, es la distancia entre Q(x, YI) y Q2(X, yJ Estas reglas se aplican en la figura 1.8 para encontrar las longitudes de los seg mentos de recta.

IQIQ21 = IY I - )'21 = V(YI - )'2)2

IAB 1 = 5 - 1 = 4, IEFI = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5.

ICDI = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8, ICHI = -2 (-5) = -2 + 5 = 3.-

y

C(-2.4) F(-3, 1)----

D(6,4)

t-

-

--;::

O

;t-

A(l,O)-

--

B(5,O) -.-

-

.

x

H(3. -2)

E(-3. -4) Figura 1.8.

G(3. -5)

A continuacin se consideran los puntos recta inclinada. Trace una recta que pase por

P,(xl, y) y P/x2, y) que determinan una PI y sea paralela al eje x, y una recta que

1.1


9

pase por P2 y sea paralela al eje y (Fig. 1.9). Estas dos rectas se interseean en el punto R, cuya abscisa es x2 y cuya ordenada es YI Por tanto,y

y

d

FIgura

o1.9

x

Por el teorema de Pitgoras,

(X2 - XI)2 + (Y2 - Ylf. Si d denota la longitud del segmento Pl2, se obtiene la frmula IPIP212=

(1.2)

Para encontrar la distancia entre dos puntos, se suma el cuadrado de la diferencia de las abscisas con el cuadrado de la diferencia de las ordenadas y se obtiene la raz cuadrada.

Al emplear la frmula de la distancia, uno de los puntos se puede representar con (xI' y) y el otro con (x2' y2). Esto se debe a que las dos diferencias estn elevadas al cuadrado. El cuadrado de la diferencia de los dos nmeros no cambia cuando se invier te el orden de sustraccin.

NOTA HISTORICA Pitgoras (c. 520 A.

C.)

integr una escuela para estudiar .nmeros, msica, astrono

ma y geometra. En la escuela se admitan indistintamente hombres y muj eres, y se

practicaba una extraa mezcla de religin, misticismo, poltica y matemticas. El teo

rema de Pitgoras establece que la suma de los cuadrados de los lados perpendicu lares de un tringulo rectngulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esto es, si a y b son las longitudes de los lados perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa,entonces a2 + b2=

c2

10

CAPTULO 1Ejemplo 1


A(-2, -3), B(6, 1) Y q-2, 5).

Encuentre las longitudes de los lados del tringulo (Fig. 1.10) con vrtices

y

C(-2,5) T"..

:>8(6,1)o

x

Figura

1.10

A(-2, -3)

Solucin

Las abscisas de

A y C son iguales y, por tanto, el lado AC es vertical. La lon5 (-3) 5 + 3 8, Y(6 + 2)2 + (l + 3f v80 Y(6 + 2? + (1 - 5)2 v80-

gitud del lado vertical es la diferencia de las ordenadas. Los otros lados son segmentos inclinados y sus longitudes se obtienen con la frlllula de la distancia. Se tiene, entonces,

IACI IAB I IBCI

=

=

=

=

=

=

=

=

=

4Vs, 4Vs.

Las longitudes de los lados muestran que el tringulo es issceles.

Ejercicios1. Localice los puntos A(tancias dirigidas

AB, AC, BC, CB,-7-:::

4, O), B(3, O) Y q5, O). A . --:::f-:..CA y

BA.

continuacin encuentre las dis-

2. Localice las coordenadas de los puntos Figura

A, B Y C que se sealan en la rfica de la 1.11. A continuacin encuentre las distancias I AB 1, lAC I y I CB I .y 5 4 3 A. 2 1 O 1

Figura

l. I I

C

3

4

x

EJERCICIOS

11

3. Localice los puntos A(-2, -3), B(-2, O) Y C(-2, 4), Y verifique las siguientes ecuaciones mediante sustituciQnes numricas.

""7"c A"""

j + C

=

AB ,

BA + AC

=

BC,

A j -;-;::

+

BC

=

AC.

En los ejercicios 4 a 12 localice los pares de puntos y encuente la distancia entre ellos. 4. (3,1),(7, 4) 6. (2,3),(-1, O) 8. (0,4),(-3,O) 1O. (6,3),(-1,-1) 12. (-3,-3),(2,2) En los ejercicios 13 a 16 dibuje el tringulo con los vrtices dados y encuentre las longi- . tudes de los lados. 13. A(-I,1), B(-I,4),C(3,4) 15. A(O,O),B(5,-2),C(-3,3)14.,

5. (4.137,-2.394),(-8.419,2.843)7.

(13,--4), (O,O)

9. (-1, .Ji), (3,-.Ji) 11. (3,2),(-5,1)

A(2,-1),B(4,2),C(5, O)

16. A(O,-3),B(3,O),C(0,--4)

En los ejercicios 17 a 20 dibuje el tringulo con los vrtices dados y muestre que el trin gulo es issceles. 17. A(6,2),B(2,-3),CC-2,2) 18. A(21t,2),B(O,-1),C(-21t ,2)

19. A(2.l 07,-1.549),B(2.107,6.743),C(9.167,2.597) 20. A(-2,-3),B(4,3),C(-3,4) En los ejercicios 21 a 24, dibuje el tringulo con los vrtices dados y muestre que se trata de un tringulo rectngulo. Esto es, que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes. 21. A(I,3),B( l 0, 5),C(2, 1) 23. A(O, 1),B(I, l/z), C(2, 5/z ) 22. A(- l , 1),B(6, -2),C(4, 3) 24. A(5,-2),B(l ,1),C(7,9)

25. Muestre que los puntos A(-2, O),B(2,O) Y C(O, 2-J3) son los vrtices de un trin gulo equiltero. 26. Muestre que los puntos A(--J3, 1), B(2-J3,-2) Y C(2-J3,4) son los vrtices de un tringulo equiltero. 27. Muestre que los puntos A(I,-1),B(5, 2),C(2, 6) Y D(-2, 3) son lados iguales del cuadriltero ABCD. 28. Determine si los puntos (-5, 6),(2, 5) Y (1, -2) tienen la misma distancia con res pecto a (-2,2). 29. Justifique que los puntos A(-2, 7),B(5, 4),C(-I, -10) Y D(-8, -7) son los vrtices del rectngulo ABCD.

12

CAPTULO J


Determine, usando la frmula de la distancia, si los puntos de los ejercicios 30 a 33 estn en una recta. 30. (3, 3),(0, 1),(9, 7) 31. (8.104,0.478), (-2.502, 3.766), (2.801, 2.122) 32. (-3, 1), (1, 3), (10, 8) 34. Si (x, 4) equidista de (5, -2) 35. Si (-3, y) equidista de (2, 6)Y Y

33. (-2, 2) (5, -2), (-11, 2),

(3, 4), encuentre x.

(7, -2), encuentre y.Y

36. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (-4, -2) 37. Encuentre el punto sobre el eje x que equidista de (-2, 5)Y

(3, 1).

(4, 1).

38. El rea del tringulo ABC se puede encontrar sumando las reas de los trapecios DECA y EFBC y despus restando el rea de DFBA, como en la figura 1.12. Re cuerde que el rea de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los lados para lelos por la altura. Muestre que el rea S del tringulo ABC esy

que esto es igual a la mitad del valor absoluto del determinanteX X2 x3 Y Y2 Y3

S

=

;1 [ x( Y2

- Y3) - Y( X2 - X3) + (X2Y3 - X3 Y2)JI,

1 1 1

y

Figura 1.12

o

D

E

F

x

1.2

INCLINACIN Y PENDIENTE DE UNA RECTALa inclinacin de una recta es un concepto de uso extendido en clculo y en otras reas de las matemticas. Con respecto a este concepto, se da la siguiente definicin.

1.2

INCLINACiN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

13

De acuerdo con esta definicin, la inclinacin e de una recta es tal que En la figura 1.13, la inclinacin de la recta L se indica mediante flechas curvadas. MX es el lado inicial y ML es el lado terminal.y y

00 < e < 1800,

o, en radianes,

O e < n.

L

L

o Figura 1.13

M

x

o

(J M

x

Una recta inclinada hacia la derecha tiene una pendiente positiva, pues la inclinacin es un ngulo agudo. La pendiente de una recta inclinada hacia la izquierda es negativa. Sin embargo, las rectas verticales no tienen pendiente, pues 9Qo no tene tangente. Si se conoce la inclinacin de una recta no vertical, la pendiente se puede determi nar usando una tabla de funciones trigonomtricas. Recprocamente, si se conoce la pen diente de una recta, se puede determinar su inclinacin. Sin embargo, en la mayora de los problemas conviene ms trabajar con la pendiente de una recta que con su inclinacin.Ejemplo 1 Solucin

Dibuje una recta que pase por P(2, 2) con inclinacin de 35.

Se traza una recta que pase por P y que forme un ngulo de 35 con la direc cin x positiva, como se muestra en la figura 1.14. La figura muestra tambin una recta que pasa por (--4, O) con inclinacin de 135.

14 y

CAPiTULO 1


x

Figura 1.14

Ejemplo 2

Dibuje una recta que pase por el punto P(-2, 2) con pendiente _2/3.

Solucin Hay que moverse tres unidades a la izquierda de P y despus 2 unidades ha cia arriba. La recta que pasa por el punto as localizado y por el punto dado P, tiene claramente la pendiente que se busca (Fig. 1.15). y (- 5, 4)P(-2,2)

3.-2x

Figura 1.15

Las definiciones de inclinacin y pendiente llevan de inmediato a un teorema acer ca de rectas paralelas. Si dos rectas tienen la misma pendiente, sus inclinaciones son iguales. Por geometra se sabe que son paralelas. Recprocamente, si dos rectas no ver ticales son paralelas, tendrn inclinaciones iguales y, por tanto, pendientes iguales.Teorema 1.2

Dos rectas no verticales son paralelas si, y slo si, sus pendientes son iguales.

Si se conocen las coordenadas de dos puntos sobre una recta, entonces la pendiente de la recta se puede encontrar a partir de las coordenadas dadas. Se deducir a conti nuacin una frmula para ello. Sean PI(XI ' YI) y P2(X2, y) dos puntos dados, y denote con m la pendiente. Enton ces, con referencia a la figura 1.16, se tiene

1.2 INCLINACIN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

15

m =

tan (j

=

RPPIR

.

=

Y2

-

x2 - xI

YI

y

(J

Figura 1.16

o

x

En la figura 1.17 la recta se inclina hacia la izquierda. Las cantidades Y -Y2 y x2 - x son positivas y los ngulos e y l/> son suplementarios. En consecuencia,x2 - xl YI - Y2=

tan 4>

=

-tan (j.

Por tanto,

m

=

tan

(j

_

=

X2 - Xl

YI - Y2

=

Y2 - YI

y

P2(X2, Y2)(J

Figura 1.17

o

x

Por consiguiente, las pendientes de las rectas se detenninan de la misma manera, sin importar si estn inclinadas hacia la izquierda o hacia la derecha.

16

CAPTULO 1


Teorema 1.3La pendiente m de una re.c:;ta que pasa por dos puntos dados das en el mismo orden; esto es,m =

igual a la diferencia de las ordenadas dividida entre l a diferencia de las abscisas toma

PJx " YI) y P/x2, Y2)

es

Y2

X2

-

YIXI

con

x2 --- xI +"

Con esta frmula se obtiene la pendiente si los dos puntos se hallan en una recta inclinada u horizontal. Si la recta es vertical, el denominador de la frmula se hace cero, lo cual se relaciona con el hecho de que la pen"diente vertical. Se observa, adems, que cualquiera de los dos puntos se puede representar con PI (xl'Y j, y el otro cm Plx2,y.). ya quex2 - x

Y2

- Y

_

Ejemplo 3 Dados los puntos A(-I, -1), B(5, O), C(4 , 3) y D(-2, 2) muestre que ABCD es un paralelogramo. Solucin Por las pendientes de los lados se determina si la figura es un paralelogramo.PendIente de

x - x2

Y - Y2

.

AB

=

0-(-1) 5 ( 1)_ _

=

l . 6' PendIente de BCPendIente de

=

Pendiente de

CD =

-3 2 -2_

3-0 5 4_ _

=

-3.=

4

=

6

1'

.

DA =

Los lados opuestos tienen pendientes iguales y, por tanto, ABCD es un paralelogramo.

2-(-1) (-1) -2

-3 .

Angulo entre dos rectas Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ngulos iguales, y un ngulo de un par es el suplemento de un ngulo del otro par. Se mostrar cmo encontrar una medida de cada ngulo en funcin'de las pendientes de las rectas. Si se observa la figura 1. 18 y se recuerda que el ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los ngulos interio res no adyacentes a l, se ver que 2}, que suele representarse tambin como [2, 00); el conjunto imagen es [O, )00 .

Si se considera x ( 2,00 ) Y se sustituye enf (x) = .Jx - 2 , el resultado es la raz de un nmero negativo, que no es un nmero real. x La grfica def (x) = .J - 2 es la figura 1.46.y

Figura 1.46

La grfica se muestra en la figura 1. 47.y

f(x) Ixl=

__ __________

----------. x

Figura 1.47

54

CAPTULO


def(x)= Ix + 21.Solucin

Ejemplo 3

Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de la grfica

Dominio = R, conjunto imagen = [O, 00) ; la grfica se muestra en la figura

1.48.y

__

+-

____

--.x

FIgura 1.48

son los nmero.s ra . el valor que se . . es. el x= 0.07, entoncesJ(O.07 -2]]=-1, etctera.O

La cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parbola recibe el nombre de lado recto. La longitud del lado recto se puede determinar mediante las coordena das de sus extremos. Sustituyendo a por x en la ecuacin y = 4ax, se encuentray=

2a.

3. I

LA PARBOLAy

115

(a, -2a)

I I I I I I I I I I O x

F(a, O)

FIgura

3.5

y 2 4ax aO=

F(O, a) (2a, a) x

FIgura 3.6

O

1 16

CAPTULO 3 CNICAS En el anlisis anterior, el eje x se coloc sobre la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. Si se escoge esta posicin para el eje y, se intercambiarn los papeles de xy y.Por tanto,la ecuacin de la parbola serax2=

4ay.

y x

o F(O, a)

X2 4ay a 0, est en la figura 3. 6 y cuando a < 0, en la figura 3.7. Se observa que cambiando el signo de a, la grfica, en efecto, se refleja a travs del eje x; surge as una nueva grfica que es congruente con la original. Para resumir,se hacen las siguientes afirmaciones.

Teorema 3.1

La ecuacin de una parbola con vrtice en el origen y foco en (a, O) es

y = 4axLa parbola se abre hacia la derecha si a> y se abre hacia la izquierda si a < O. La ecuacin de una parbola con vrtice en el origen y foco en (O, a) esX2 =

(3.2)

4ay

(3.3)

La parbola se abre hacia arriba si a> O Y hacia abajo si a < O.

Se pueden aplicar las ecuaciones(3.2) y(3.3) para encontrar las ecuaciones de parbolas que satisfacen condiciones especficas. Su uso se ilustra con algunos ejemplos.Ejemplo 1 Escriba la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y el foco en(O, 4). Grafique la parbola. Solucin Aqu se aplica la ecuacin(3.3). La distancia del vrtice al foco es 4 y, por tanto, a = 4. Sustituyendo este valor con a, se obtiene x2=1 6y.La grfica aparece en la Figura 3.8.

3. J

LA PARBOLA

117

y

(0,4) (8,4)

Figura

3.8

Ejemplo 2 Una parbola tiene su vrtice en el origen, su eje a lo largo del eje x y pasa por el punto (-3, 6). Encuentre su ecuacin. Solucin La ecuacin de la parbola es de la forma y 4ax. Para determinar el valor de 4a, se sustituyen las coordenadas del punto dado en esta ecuacin. As, se obtiene=

36

=

4a(-3)

y

4a

=

-12.

2 La ecuacin requerida es y - 1 2x. El foco est en (-3, O) Y el punto dado es el extremo superior del lado recto. La grfica se elabor en la figura 3.9. =

y

I I I I I I F(-3, O) I

(-3,6)

o

x

Figura

3.9

Ejemplo 3 La ecuacin de una parbola es X2 -6y. Encuentre las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y la longitud del lado recto.=

Solucin La ecuacin es de la fomla (3.3), donde a es negativa. Por ello, el foco se encuentra sobre el eje y negativo y la parbola se abre hacia abajo. A partir de la ecua cin 4a -{) se encuentra a = - 312. Por tanto, las coordenadas del foco son (O, -312 ) Y la directriz es y = 312. La longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4a, y en este=

1 1B

CAPTULO 3

CNICAS

caso es 6. El lado recto se extiende 3 unidades hacia la izquierda del foco y 3 unidades hacia la derecha. La grfica se puede esbozar mediante un trazo que pase por el vrtice y por los extremos del lado recto. Para una grfica ms precisa, podran localizarse unos cuantos puntos ms (Vase Fig. 3 .10 .) )'

,o

x

(-3.-n. .

---

Figura 3.10

Una parbola que se abre hacia arriba o hacia abajo se representa mediante la ecua cin 4 a =x2 o, de manera equivalente, cony = (1/4a)x2 Esta presentacin de la ecuacin y muestra que y es una ftmcin cuadrtica dex. Un examen de la grfica revela que la fun cin cuadrtica es una ftmcin creciente en la mitad de su dominio y decreciente en la otra mitad.Ejemplo 4 intervalo (

-00,

Muestre que la parbola x2 = -6y representa una funcin creciente en el O), el de los nmeros reales negativos.

Solucin Se debe mostrar que si XI _1/6X . Sin embargo si X O Y hacia abajo si a < O.

Se dice que las ecuaciones (3.4) y (3.5) se encuentran'en forma usual. Cuando h Y k O, aqullas se reducen a las ecuaciones ms sencillas de la seccin anterior. Si la ecuacin de una parbola est en su forma usual, su grfica puede esbozarse con rapidez. Para ello bastan el vrtice y los extremos del lado recto. Naturalmente, si se ' localizan algunos otros puntos, la precisin ser mayor. : . Se observa que cada una de las ecuaciones (3.4) y (3.5) es cuadrtica en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar de manera ms elocuente si se hacen los cuadrados indicados y se trasponen trminos .para obtenedas formas generales=

=

.

.

X2 +Dx +Ey +F

=

O,

(3.6)

122

CAPTULO 3 CNICAS

y + Dx + Ey + F=O.

(3.7)

Recprocamente, una ecuacin de la forma (3.6) o (3. 7) se puede presentar en forma usual siempre que E:;; O en (3. 6) y f):;; O en (3.7).Ejemplo 1

Dibuje la grfica de la ecuaciny + 8x- 6y + 25 =O.

Solucin La ecuacin representa una parbola pues y aparece al cuadrado y x linealmente. La grfica se puede trazar con mayor rapidez si la ecuacin se reduce a la forma usual. As, completando el cuadrado, se obtiene y - 6y+ 9 = -8x- 25 +9, (y -3)2 = -8(x + 2).

El vrtice se ubica en (-2, 3). Como 4a = -8 y a = -2, el foco est dos unidades a la izquierda del vrtice. La longitud del lado recto, igual al valor absoluto de 4a, es 8. Por consiguiente, el lado recto se extiende 4 unidades por arriba y por abajo del foco. La grfica se construye en la figura 3. 12. y

(-4,3) :

I I I I I

o

x

FIgura 3.12

Ejemplo 2

Construya la grfica de la ecuacinX2

- 6x- 12y-51 = O.

Solucin La ecuacin dada representa una parbola pues y aparece al cuadrado y x es lineal. Primero se expresa la ecuacin en forma usual. x2-6x+ 9= 1 2y+ 51 +9, (x- 3)2 = 12(y +5).

3.2

PARBOLA CON VRTICE EN (h, kj

123

El vrtice se ubica en (3, -5). Como 4a = 12, a = 3. De este modo, el foco est 3 unida des sobre el vrtice, o en (3, -2). La longitud del lado recto es 12, y por tanto las coorde nadas de sus extremos son (-3, -2) Y (9, -2). La grfica se construye en la figura 3.13.y

x

(-3, -2)

---

----

r

(3, -2)-------

(9,-2)

Figura 3.13

(3, -5)

Ejemplo 3 Una parbola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los puntos (1, 1), (2, 2) Y (-1, 5). Encuentre su ecuacin.Como el eje de la parbola es paralelo al eje y, la ecuacin debe ser cuadrtica en x y lineal en y. Por ello se comienza con la forma generalSolucinX2

+ Dx + Ey + F

=

O.

Las coordenadas de cada uno de los puntos dados deben satisfacer esta ecuacin. Susti tuyendo las coordenadas de cada punto, uno por uno, se obtiene el sistema de ecuaciones:

l + D + E +F 4 + 2D + 2E + F 1 - D + 5E + F

= = =

0, 0,O.

La solucin simultnea de estas ecuaciones es D = -2, E = -] Y F = 2. Entonces la ecua cin de la parbola es X2 - 2x - y + 2 = O. Vase la figura 3.14.y

(-1,5)

(2,2) (l, 1) o Figura 3.14x

124

CAPiTULO 3 CNICAS

SimetraSe ha observado que el eje de una parbola biseca todas las cuerdas de la parbola que son perpendiculares a los ejes. Por esta razn, se dice que una parbola es simtrica con respecto a su eje. El hecho de que muchas otras curvas posean la propiedad de simetra conduce a la siguiente:

fOllllaparte.son snntncos. , ..

con

,

La simetra de una curva con respecto a un eje coordenado o al origen es de especial inters. Por esta razn se harn las observaciones siguientes. Los puntos to al eje to

(x, y)

y

(x, -y)

son simtricos con respecto al eje x. En consecuencia, una curva es simtrica con respec

x

si para cada punto

(x, y)

de la curva, el punto

(x, -y)

tambin pertenece a la

curva. De manera anloga, una curva es simtrica con respecto al eje y si, para cada pun

(x, y)

de la curva, el punto

(-x, y)

tambin pertenece a la curva. Los puntos

(x, y)

y

(-x,

-y) son simtricos con respecto al origen. Por tanto, una curva es simtrica con res

pecto al origen si para cada punto la curva (vase la Fig.

(x,y) de la curva, el punto (-x, -y) tambin pertenece a

3.15).X2=

Es fcil comprobar, mediante su ecuacin, si una grfica es simtrica con respecto a algn eje coordenado o al origen, Considere, por ejemplo, la ecuacin se reemplaza con para cada punto-x,

4y

+

6. Si

x

no se altera la ecuacin. Esto significa que si a x se le da un valor y que tambin est en la grfica.

despus el negativo de ese valor, los valores correspondientes de y son iguales. Por ello,

(x, y) de la grfica existe el punto (-x, y)

Por tanto, la grfica es simtrica con respecto al eje y. Por otro lado, asignar valorcs a y con igual valor absoluto, uno positivo y otro negativo, conduce a diferentes valores correspondientes de

x.

En consecuencia, la grfica no es simtrica con respecto al eje

x.

De manera anloga, la grfica no es simtrica con respecto al origen. Los siguientes criterios se formulan a partir de la definicin de simetra:

l. 2. 3.

Si una ecuacin no se altera cuando Si una ecuacin no se altera cuando Si una ecuacin no se altera cuando

y se

reemplaza con -)', entonces la grficax.

de la ecuacin es simtrica con respecto al eje

x se reemplaza con -x, x sereemplaza con-x

entonces la grfica

de la ecuacin es simtrica con respecto al eje y. y y con -y, entonces la grfica de la ecuacin es simtrica con respecto al origen.

3.2 PARABOLA CON VRTICE EN

(h, kjy

125

(-x, y) _---.----." (x, y)

x

(-x, -y) ---+----4 (x, -y)

Figura

3.15

Hay tres tipos de simetras, y es fcil ver que una grfica que posee dos de las sime tras tambin posee la tercera simetra. Suponga por ejemplo que el punto (x, y) est en la grfica, la cual es simtrica tanto con respecto al eje x como al eje y. La simetra con respecto al eje y significa que el punto (-x, y) se encuentra en la grfica. Por tanto, la simetra con respecto al eje x significa que el punto (-x, -y) est en la grfica. Por tanto, la grfica es simtrica con respecto al origen. Est claro que, adems, una grfica que sea simtrica con respecto a un eje coordenado y al origen es simtrica con respecto al otro eje. La grfica de la ecuacin xy I es simtrica con respecto al origen. Esto es cierto, pues si un punto (XI' y) satisface la ecuacin dada, entonces el producto xlYI 1. En consecuencia, el producto (-x)(-YI) tambin es igual a l. La ecuacin se grafic en el ejercicio 13 de la seccin 1.5. (Reaparecer en el si. guiente captulo).= =

Ejemplo 4

Construya la grfica de la ecuacinx4-36y2=O.

Solucin Es claro que la grfica posee las tres simetras. Para obtener la grfica, pri mero se factoriza el lado izquierdo de la ecuacin dada. Se obtiene as

(X2 + 6 ) (X2 - 6y) Y X2+

=

O.

Entonces, al igualar cada factor a O se obtiene6y=

o

X2

-

6y

=

O.

Por tanto, la grfica deseada consta de dos parbolas, cada una con el vrtice en el origen, una abrindose hacia arriba y la otra hacia abajo. Se trazar la grfica de X2 6y y des pus se obtendr, por simetra, la grfica de la otra parbola. Para la parbola que se abre hacia arriba, se tiene 4a= 6 Y a 312. Por tanto, el foco est en el punto (O, 312) Y los extremos del lado recto se encuentran en (3,312) Y (-3,312). Localizando algunos otros pun tos, se puede obtener un buen dibujo. La grfica completa se muestra en la figura 3.16.= =

126

CAPTULO 3 CNICAS

y

(-3. n (-3. -n --O

( 3. ) (O. - n (3. - ; )

x

Figura 3.16

x,

- 36y2

=

O

Un proyectil(p. ej., una pelota o una bala) recorre una trayectoria que es aproxima damente una parbola(este hecho se analizar con mayor detalle en la seccin 8.2). Sin embargo,la parbola tiene una caracterstica muy importante que la hace til en una am plia variedad de aplicaciones: tiene la propiedad de reflejar o enfocar. Los dos ngulos, e y c/J en la figura 3.17, formados por una recta paralela al eje y una tangente L a la par bola en un punto,as como por la recta del foco Fal punto,son iguales. Si la parbola es una superficie reflejante, entonces los rayos de luz viajan paralelos al eje y se reflejan hacia el foco. Por ello, un paraboloide de revolucin (superficie formada al rotar una parbola alrededor de su eje) es la forma ideal para telescopios retlejantes, faros de au tomvil, antenas de radar y microondas,antenas caseras para T. V. por satlite y algunos generadores solares de electricidad.

y

------ -- ---------- x =+O

F

Figura 3.17

_

.

-

.

EJERCICIOS

127

EjerciciosEn los ejercicios 1 a 1 3 exprese la cuacin, en forma usual, de la parbola que satisface las condiciones dadas. 1 . Vrtice en (3, 2), foco en (3, 4). 2. Vrtice en (3, -2), foco en (3, -8). 3. Vrtice en (-6, -4), foco en (O, -4). = 4. Vrtice en (4, 1 ), directriz x 2. 5. Vrtice en (4, 1 ), directriz y -3.=

6. Vrtice en (4, -2), lado recto 8; se abre hacia la derecha. 7 . Vrtice en ( 1 , 2), lado recto 8; se abre hacia abajo. 8. Vrtice en (3, -2), extremos del lado recto (-2, 112), (8, 112). 9. Vrtice (2, 1 ), extremos del lado recto (-1, -5),(-1 , 7). 10. Foco en (2, -3), directriz x 6. = 1 1 . Foco en (5, O), directriz x =-l. = 12. Foco en (-2, 2), directriz y 4. 1 3. Foco en (2, O), directriz y=-3. En los ejercicios 1 4 a 27 exprese cada ecuacin en la forma usual. Indique las coordena das del vrtice, del foco y de los extremos del lado recto. Esboce la grfica. 1 4. y+8x+8=0 1 6. y2 _ 12x- 48=0 1 8. X2 +4x+ 16y +4= a 20. y2+8y+6x+ 1 6=0 22. y - 4y +8x- 28=O 24. X2 - 8x- 6y - 8 =O 26. Y- 1 2.63y-2 1 .49x+ 1 20.09=0 1 5. x2 +4y+ 8 1 7. X 2 1 9. Y- 6y - 4x+9 = O 2 1 . X2 23. X 2 25. y2+=

O

6y + 1 0x - 1 = O=

27. X2 - 12x- 16y - 60

O

En los ejercicios 28 a 32 encuentre la ecuacin de la parbola. 28. Vrtice en (3, -4), eje horizontal; pasa por (2, -5). 29. Vrtice en (- 1, -2), eje vertical; pasa por (3, 6). 30. Eje vertical; pasa por (O, O), (3, O) Y (- 1 , 4). 31. Eje horizontal; pasa por ( 1 , 1), (I, -3) Y (-2, O). 32. Eje vertical; pasa por (- 1 , O), (5, O) Y ( 1 , 8).

1 28

CAPTULO 3 CNICAS

33. Calcule las dimensiones del rectngulo de rea mxima que puede ser inscrito, con dos de sus lados a lo largo de los catetos, en un tringulo rectngulo de lados 3, 4 Y 5 unidades. 34. La ciudad de Galveston se encuentra, respecto de Corpus Christi, a 220 kilmetros en direccin este y 184 kilmetros en direccin norte. A medioda un barco zarpa de cada puerto, uno de Corpus Christi, en direccin este y con velocidad de 24km/ h, en tanto que el otro se mueve hacia el sur, de Galveston a Corpus Christi, a 16km/ h. En qu instante ocurre que la distancia entre los barcos es mnima, o lo que es lo mismo, en qu instante el cuadrado de la distancia alcanza su valor mnimo? Cun cerca estn el uno del otro en ese instante? 35. Si Y *- O, se puede demostrar que la pendiente m de la recta L, tangente a la grfica 2 de y 4ax en (x, y), es m=2a/y. Utilice este hecho para demostrar que la propiedad de refleccin de las parbolas vale, probando que () = 1/> en la figura 3.17=

36. Deduzca la ecuacin (3.4) encontrando la ecuacin del conjunto de todo los puntos equidistantes tanto del foco (h +a, k) como de la directriz x = h-a. 37. Deduzca la ecuacin (3.5) encontrando la ecuacin de la grfica de un punto equi distante tanto del foco (h, k + a) como de la directriz y = k-a. 38. Dibuje la grfica de y - 36x 2 = O. 4 39. Pruebe que una curva que es simtrica con respecto a ambos ejes coordenados lo es tambin con respecto al origen. 40. Pruebe que una curva que es simtrica con respecto a un eje coordenado gen, lo es tambin con respecto al otro eje coordenado.y

al ori

41. La figura 3. 18 muestra un armazn arqueado de 80 metros de longitud con las altu ras indicadas. Los "tirantes" verticales estn a 10 metros uno del otro. Si tanto la parte superior como la inferior del arco son arcos de parbola, redondee hasta el metro ms cercano la suma de longitudes de los tirantes verticales e inclinados.

16 metros

16 metros

Figura

3.18

1414------

80

metros

-----+1.1

3.3 ELIPSE

129

42. Una antena para T. Y. por satlite es parablica y tiene su receptor a 70 centmetros de su vrtice. Encuentre la ecuacin de la seccin transversal parablica de la ante na (coloque el vrtice en el origen).

3.3 ELIPSE Se obtuvieron ecuaciones de segundo grado para la circunferencia y la parbola; por tan to estas curvas son cnicas. Se ver ahora otro tipo de curva que, como la circunferencia pero a diferencia de la parbola, es una curva cerrada. La nueva curva es una cnica porque, como se demostrar, su ecuacin, es de segundo grado en x y y.

Cada uno de los puntos fijos se llama foco. La figura 3. 19 muestra cmo se pueden usar los focos para dibujar una elipse. Los extremos de una cuerda se aseguran en los focos F' y F. Conforme se mueve un lpiz en P, con la cuerda tensa, la curva que se traza es una elipse.p

F

Figura

3.19

Para encontrar la ecuacin de una elipse, el origen de coordenadas se coloca a la mitad, entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos (Fig. 3.20). La distancia entre los focos se representa con 2e y, en consecuencia, los focos se denominan r( -e, O) y F(e, O). Ahora, si se hace que la suma de distancias de un punto P(x, y) de la elipse a los focos, sea 2a, se obtiene

130

CAPTULO 3

CNICAS

PF'

Y(x-+-e---')

+ PF = 2a , 2 ""' + Y(x - e)2 + y2

=

2a.

y P(x, y)

Figura 3.20

F'(-c,O)

o

.

F(c,O)

x

Al trasponer el segundo radical,elevar al cuadrado y simplificar,se obtiene

ex - a2

=

-aY(x - e)2 + y2.=

Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar,se encuentra que

(a2 - e2) x2 + a2y2

a2(a2 - e2).

A partir de la figura, se observa que la longitud de un lado del tringulo F'PF es 2e y que la suma de las longitudes de los otros lados es 2a. Por ello, 2a > 2e y,en consecuen cia, a2 - e2 > O. Si se hace b2 = a2 - e2 y se divide entre la cantidad distinta de cero a2b2, se obtiene la forma final

(3.8) Se observa primero que la grfica de la ecuacin (3.8) es simtrica con respecto a ambos ejes coordenados. Cuando y =O, entonces x = a y cuando x =O, Y = b. Por a, tanto, la elipse corta el eje x en V'(- O) y Vea, O) y el eje yen B'(O,- b) y B(O,b), como en la figura 3.21.El segmento V' V(=2a) se llama eje mayor de la elipse y el segmento B 'B(= 2b), eje menor.Los extremos de los ejes mayores se llaman vrtices.La intersec cin de los ejes de la elipse es el centro.La cuerda que pasa por un foco y es perpendi cular al eje mayor se llama lado recto. Al sustituir x = e en la ecuacin (3.8) Y usar la relacin e2 = a2 -b2,se encuentran los puntos (e, -b2/a) y (e, b2/a) como los extremos de un lado recto. Los extremos del otro lado recto estn en (-e, -b2/a) y (-e, b2/a). Estos resultados muestran que la longitud de cada lado recto es 2b2/a. El eje mayor es ms largo que el eje menor. Esto es cierto ya que b2 =a2 - e2 < a2 y,por tanto, b < a. Observe tambin que los focos se encuentran sobre el eje mayor. La elipse y los puntos importan tes se muestran en la figura 3.21. Si se toman los focos de una elipse sobre el eje yen(O, -e) y(O,e), es posible obte ner, mediante pasos similares a los anteriores,la ecuacin

3.3 ELIPSE

13 1

(3.9)

y

B(O, b)

V'(-a,O)

I I I

F'(-e, O)

o

F(e,O) 1 I I B'(O,-b)

Vea,O)

x

Figura 3.21

En este caso el eje mayor est sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (Fig.y

3.22).

(0, a)-

F(O,e)

--

(-b,O)

o

(b, O)

x

( :2 ,-e)_

__

_

--(0, -a)

F'(O, -e)

(,-e)

b2

Figura 3.22

132

CAPiTULO 3 CNICAS

Extensin de la elipseSe sabe, a partir de la definicin de elipse, que sus puntos no se alejan indefinidamente de sus focos. El hecho de que una elipse tenga extensin limitada puede deducirse de su ecuacin. As, despejando x y y, una por una, en la ecuacin (3. 8), se obtiene y Estas ecuaciones revelan que y2 no puede exceder a b2 y que X2 no puede exceder a a2. En otras palabras, los valores permisibles son-b :s y b.

Para una hiprbola,

b.

e > a, e2

=

a2y

+

b2

Y no hay restriccin acerca de los

a> e,

=

bye a2_

(-e, 2)F'(-c, O) V'(-a, O)

B(O, b)

o

Vea, O)

Figura 3.34Si los focos estn sobre el eje y en F'(O,

B'(O, -b)

(e, 2)_

F(c,O)

x

-e) y F(O, e),

la ecuacin de la hiprbola es

(3.13)Los vrtices estn en V'(O, y centro en

-a) y

VeO, a) y las relaciones entre a,

b y e no cambian.

Las ecuaciones generalizadas de hiprbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados

(h, k) son

(x - h)2 a2

-

(y - k)2 b2-

_

-

l,

(3.14) (3.15)

(x h)2 (y - k? b2 a2cados y los relaciones de a,

-

l.

Se dice que las ecuaciones (3.12) a (3.15) se hallan en la forma usual. Los signifi

b y e son iguales en todas las ecuaciones.

Asntotas de una hiprbolaAdiferencia de las otras cnicas, una hiprbola tiene asociadas dos rectas que guardan una relacin importante con la curva. Estas rectas son las diagonales extendidas del

3.4 HIPERBOLA,

1 45

rectngulo en la figura 3.35. Un par de lados del rectngulo pasa por los vrtices y es perpendicular al eje transversal. El otro par pasa por los extremos del eje conjugado. Su ponga que se consideran la diagonal extendida y la parte de hiprbola en el primer cua drante. Las ecuaciones de la diagonal y esta parte de la hiprbola son, respectivamente,Y

b = -x a

y

y

y=--x

b a

(0, b)

y= -x

b a

(-a, O)

(a, O)

x

(0, -b)

Figura 3.35

Se observa que, para cualquier x > a, la ordenada de la hiprbola es menor que la ordenada de la recta. Sin embargo, si x es muchas veces el tamao de a, las ordenadas correspondientes son casi iguales. Esto ser ms convincente si se examina la diferencia de las dos ordenadas. As, 'restando y des us multiplicando el numerador y el denomi nador de la fraccin resultante por x + x2 - a2 se obtiene,

b(x-v'x2-a2) b b - x- - v'x2- a2 --'---------'= a a a ..--b(x - v'x2-

+

v'x2 - a2)

-

El numerador de la ltima fraccin es constante. Sin embargo, el denominador crece cuando x crece. De hecho, es posible hacer que el denominador sea tan grande como se quiera, tomando un valor de x suficientemente grande. Esto significa que la fraccin, que es la diferencia de las ordenadas de la recta y de la hiprbola, se acerca ms y ms a cero conforme x es cada vez ms grande. La distancia perpendicular de un punto P de la hi prbola a la recta es menor que la fraccin. En consecuencia, aunque la distancia per pendicular nunca se pueda hacer igual a cero, s es posible hacerla tan cercana a cero

X

--

+

v'x2-a2'

'FiF =:: =

146

CAPTULO 3 CNICAScomo se quiera tomando x suficientemente grande. Cuando la distancia perpendicular de una recta a la curva tiende a cero conforme la curva se aleja indefinidamente del origen, se dice que la recta es asntota de la curva. Por consideraciones de simetra, se concluye que cada diagonal extendida es una asntota de la curva. Por tanto, las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola representada por la ecuacin (3.12) sonY = -x a a y = -x

b

y

Y = --x. a

b

De manera anloga, las ecuaciones de las asntotas asociadas con la ecuacin (3. 13) son

b

y

Se observa que para cada una de las hiprbolas, de la (3.12) a la (3.15), las ecuaciones de las asntotas se pueden obtener factorizando el miembro izquierdo e igualando a cero cada factor. Las asntotas de una hiprbola son tiles para esbozar la hiprbola. Se puede hacer un dibujo aproximado a partir del rectngulo asociado y de sus diagonales extendidas. Sin embargo, la precisin puede ser mucho mayor localizando los extremos de cada lado recto. Si a = b, el rectngulo asociado es un cuadrado y las asntotas son perpendiculares entre s. En este caso, se dice que la hiprbola es equiltera porque sus ejes son iguales, o se dice que es rectangular pues sus asntotas se intersecan formando ngulos rectos. La razn e/a se llama excentricidad e de la hiprbola. El ngulo de interseccin de las asntotas y, por tanto, el aspecto de la hiprbola, dependen del valor de e. Como e> a, el valor de e es mayor que l . Si e es slo un poco mayor que a, de modo que e est cerca de 1, la relacin e2 a2 + b2 muestra que b es pequeo comparado con a. Entonces, las asntotas forman un par de ngulos pequeos. Las ramas de la hiprbola, encerradas por ngulos pequeos, divergen lentamente. Si e crece, las ramas estn encerradas por ngu los mayores, y los ngulos pueden estar cerca de 1800 al tomar valores grandes de e. Una vez que se ha encontrado que la excentricidad de una elipse es un nmero entre O y l y que la excentricidad de una hiprbola es mayor que 1, hay que preguntarse, natural mente, si existe alguna cnica cuya excentricidad sea igual a l. Para tener una respuesta, recuerde que cualquier. punto de una parbola equidista de la directriz y del foco (Defini cin 3.1). La razn de estas distancias es l y, en consecuencia, este valor es la excentrici dad de una parbola.=

Ejemplo 1 Solucin

Esboce la curva 36x2-64y2X2

=

2304y2

Se divide entre 2304 y la ecuacin se reduce a64 36 1.

-

=

La grfica es una hiprbola en la cual a 8, b = 6 y e = .Ja2 + b2 = 10. Por tanto, los vrtices son (8, O) y los focos (10 O). Cada lado recto tiene una longitud de 2b2/a 9. .Las ecuaciones de las asntotas son 3x 4y O y 3x + 4y = O. La hiprbola se puede trazar con esta informacin (Fig. 3.36). = , = =

3.4 HIPRBOLAy

147

(-10,4.5)

(0,6)

(10, 4.5)

0) I I I (-lO, 4 5)-

(

1 0,

(-8, O)

(8, O)

-

.

(O, -6)

I (10, O) I I (lO,-4.5)

x

FIgura 3.36

Ejemplo 2 Solucin

Dibuje la grfica de l2y - 42 + 72y + l6x + 4 4

=

O.

Primero se reduce la ecuacin a una forma usual. As, 12(y2 + 6y + 9) - 4(x2 - 4x + 4) = -44 + 108 - 16, 12(y -+' 3)2 - 4(x-2 )2 = 48 (y + 3) 2 (x - 2)2 = 1. 4 12,

Se observa ahora que a = 2, b = 2.J3 , e = .J 4 + 12 = 4 Y que el centro de la hiprbola est en (2, 3 ) Por tanto, los extremos del eje transversal se encuentran en (2, -5) Y (2, -1), Y los extremos del eje conjugado se ubican en (2-2.J3 , -3) Y (2+2.J3 -3). Los lados del rectngulo asociado pasan por estos puntos (Fig. 3.37). Las diagonales extendidas del rectngulo son las asntotas. Las coordenadas de los focos, a 4 unidades del cen tro, son (2, -7) Y (2, 1). La longitud de cada lado recto es 2b2/a = 12 y, por tanto, los extremos de cada lado recto se hallan a 6 unidades de un foco. Los vrtices de la hipr bola, los extremos de cada lado recto y las asntotas son suficientes para dibujar una gr fica razonablemente precisa. Las ecuaciones de las asntotas, aunque no se necesitan para.

,

el dibujo, son y + 3 x-2 + 2 2Y3=

O

y

Estas ecuaciones se obtienen factor izando el miembro izquierdo e igualando a cero cada factor. Es posible definir una elipse slo en trminos de un foco y la directriz; la hiprbola

148 y

CAPTULO 3 CNICAS

(-4, 1)

o

(2, 1) (8, 1) --------- x

(2, -1) X(2, -3)(2,-5)

(-4,-7) Figura 3.37

-

--- - -- ...... (8, -7) (2, 7)-

con foco (e, O) tiene x = a2fe como directriz y e = e/a> 1 como excentricidad. Este foco y directriz producen ambas ramas de la hiprbola como foco (-e, O) y directriz x = -a2fe (vase la figura 3.38).y

I x=-I c I IO Ix

a2

Figura 3.38

I I I I II

(c, O)

Una aplicacin importante y muy interesante de la hiprbola es la de localizar un lu gar del cual emana un sonido, por ejemplo un disparo de can. A partir de la diferencia en los tiempos en los que llega el sonido a dos puestos de escucha, se puede determinar la diferencia de las distancias de los puestos al can. Entonces, se sabe que el can est colocado sobre una rama de una hiprbola de la cual los puestos son los focos. La posi cin del can en esta curva se puede encontrar usando un tercer puesto de escucha. Uno de los dos puestos y el tercero son los focos de una rama de otra hiprbola donde est colocado el can. Por tanto, el can est colocado en la interseccin de las dos ramas. El mismo principio de la hiprbola se usa en los sistemas modernos de navegacin para localizar la posicin de un barco o de un aeroplano. En este caso la nave recibe

EJERCICIOS

149

sefiales de tres locaciones conocidas y, por tanto, se coloca en la interseccin de dos hiprbolas.

Ejemplo 3 El cdigo de Ingresos al Erario seala que un contribuyente que cambia de empleo puede deducir sus gastos de cambio de domicilio si el nuevo empleo aumenta en al menos 35 km la distancia que haba entre el lugar de trabajo y la residencia anterior. Una compafia con una fbrica en F est por abrir una nueva fbrica en F', a 61 km de distan cia. Encuentre la regin R alrededor de F en la que los empleados, en caso de ser transferi dos, podrn deducir de sus ingresos gravables los gastos de cambio de residencia. Solucin Site las fbricas sobre el eje x, en F (e, O) y en F(-c, O). Si (x, y) es un punto sobre la frontera de la regin R, entonces la distancia de (x, y) a (e, O) es igual a 35. Se tiene una hiprbola con focos en F y F', con 2c 61 Y 2a 35. Por consiguiente b2 = 624. Como en el ejemplo de la seccin 2.3, en la figura 3.39 se ve que la rama de la hiprbola divide el plano en tres regiones: los puntos sobre la rama (que se encuentran exactamente 35 km ms alejados de F' que de F), y los puntos en la regin sin sombrear (que estn al menos de 35 km de F' que de F). = =

y

(x, y)

F' (-30.5, O)

o

:.rl--t-+--+ x O)"

Figura 3.39

306.25

X'

-

624

Y1

=

I

EjerciciosEn cada uno de los ejercicios 1 a 12, encuentre las coordenadas de los vrtices y de los focos, la longitud de cada lado recto y las ecuaciones de las asntotas. Dibuje las asntotas y esboce la hiprbola.

ISO

CAPTULO 3 CNICAS

1 x y2 4. 9 36 1

X2 y2 5. 2 - '9 - 1 5 X2 y 2 7. 149 49 9. (x + 2)2

=

y2 8 . 649_

-

64 =

x2

1=

16

y - 3)2 ( 2 (y - 5) 25

1

y - 3) 2 (x + 2P 10. ( 16 9 . (y - 5? 12. 36(x +

1 1

11.

(x - 4)2 25

_

1

36

5?

En los ejercicios 13 a 18 reduzca cada ecuacin a la forma usual. Despus encuentre las coordenadas del centro, de los vrtices y de los focos. Dibuje las asntotas y esboce la grfica de la ecuacin.13. 3x2- 2Y+ 4y- 26=0 15. 9x2-4Y+ 36x-16y-16=01 7. 49y2 -4X2+

14. 9x2- 4y2+90x+ 189=0 16.

X2 2y + 6x+ 4y+ 5= O-

98y- 48x- 291

=

O

18. 4y -9X2 + 8y-54x- 81= O

En cada uno de los ejercicios 19 a 28, encuentre la ecuacin de la hiprbola que satisfa ce las condiciones dadas.

19.

y

20.

y

F(O. 10)

-t-t-t-t-t---t-+-+-l-lf--f--.

x x

EJERCICIOS

21.y (4, 2)x

22.

y

151

F(-I,O)

V (2, O)

.r

23. Centro en (2,2),un foco en (10,2),un vrtice en (5, 2). 24. Centro en (-2, 2),un vrtice en (4, 2),un foco en (6,2). 25. Centro en (4.1025, -2.1374), 2.4198).un

vrtice en (4.1025, 1.7144), un foco en (4.1025,

26. Centro en (2, -2),eje transversal paralelo al eje x,eje transversal 6,eje conjugado 10. 27. Centro en (O,O),eje transversal a lo largo del eje x y pasa por los puntos (3,5),(2, -3) 28. Centro en (6, 5), eje conjugado a lo largo del eje x, asntotas 5x-6y-30 6y - 30 O.=

=

O Y 5x +

29. El par de hiprbolasx2 a2,

-

se llaman hiprbolas conjugadas. Muestre que estas hiprbolas tienen las mismas asmtotas. 30. Esboce,en los mismos ejes coordenados,las hiprbolas conjugadas y.

b2

y2

=

1

y

3 l . Encuentre la ecuacin de la trayectoria de un punto que se mueve de modo que su distancia a (4,O) es el doble de su distancia a la recta x l.=

32. Encuentre la ecuacin de la trayectoria de un punto que se mueve de modo tal que su distancia a (5,O) es 5/4 de su distancia a la recta x 16/5.=

15233. Muestre que

CAPTULO 3 CNICAS (e, O) es un foco y x - (a2/e)x2 a2-

es una directriz de la hiprbola 1.

y2

b2

-

Proceda como en el caso de la elipse (Sec. 3.3).

34.

cin del can son, aproximadamente

mente, un segundo despus de llegar a C. Muestre que las coordenadas de la posi

punto e est 600 m al este de B. El sonido de un disparo llega a A y a B simultnea

En A, B Y e hay puestos de escucha. El punto A est

600 m al norte del punto B y el

origen se halla a la mitad entre B y C. Suponga que el sonido viaja a 335 m/seg.a

(262, 300),

donde el eje x pasa por B y e y el>

35. Si

ecuaclOn

y b son constantes y p es un parmetro tal que p

O Y b2 - P > O, muestre que la

representa una familia de hiprbolas con focos comunes sobre el eje x.

36. 37.

Escriba una ecuacin de la familia de hiprbolas cuyos focos son Encuentre el miembro de la familia que pasa por

(2, O).

(-4, O) Y (4, O). 80 km.En

Suponga que las fbricas del ejemplo 3 de esta seccin estn separadas

cuentre la regin alrededor de la fbrica inicial en la que los empleados residentes podrn reclamar gastos de cambio de residencia en caso de ser transferidos de una fbrica a la otra.

EJERCICIOS DE REPASO1. Defina: parbola, elipse, hiprbola. distante del punto (a, O) y la recta x 2. Deduzca la ecuacin de la grfica de un punto equi= -o.

tice de la parbola, el foco y los extremos del lado recto. Esboce la grfica.

A continuacin, indique las coordenadas del vr

y2 - 6y

-

8x

-

7

=

O.

3. Exprese en forma usual la ecuacinXl +

16y - 32 = O.

5. Esboce la elipse

16x2

+

25y2

=

40.

Indique las coordenadas del vrtice, del foco, y de los extremos del lado recto. Esboce la grfica.

4. Exprese en forma usual la ecuacin

lado recto.

de los ej es mayor y menor, y los extremos de cada

Indique las coordenadas de los focos, los extremos

EJERCICIOS DE REPASO6. Reduzca la ecuacin

153

3X2

+ 2y2 - 24x + 12y + 60

ordenadas del centro, los focos y de extremos del eje mayor y menor. Esboce la elipse. 7. Indique las coordenadas de los vrtices, de los fo cos, de los extremos del eje conjugado y de los ex tremos de cada lado recto de la hiprbola

a la forma usual. A continuacin, encuentre las co

= O

Indique tambin las ecuaciones de las asntotas. Es boce la grfica de la hiprbola.

8.

Construya la grfica de la ecuacin

12x2

-

4y2 + 72x + 16y + 44 = O.

Indique las coordenadas del centro, de los vrti ces, de los focos y de los extremos de cada lado recto de la hiprbola.

Trminos clavelado recto de la parbola, pg. 114 simetra, pg. 124 criterios de simetra, pg. 124 elipse, focos, ejes, vrtices, centro. lado recto, pg. 129, 130 parbola, focos, directriz, pg. l 13 elipse, forma usual, pg. 136

hiprbola, focos, vrtices, ejes, centro, lado recto, pg. 142, 143 hiprbola, forma usal, pg. 144 hiprbola, asntotas, excentricidad,

pg. 146

l. Define parbola, elipse e hiprbola.2. Una parbola satisface la ecuacin Xl + 2x 12y + 37=

(x

-

Esboce su grfica. 3.

O. Encuentre el vrtice, el foco y la directriz.

64

1)2

(y

- 2)216

_

-

1

,

mostrando los focos, vrtices y asntotas. 5. Encuentre la ecuacin de la parbola con vrtice en (3,

de longitud. 4.

(2, -7) Y (2, 9), y con eje mayor de 34 unidades Esboce la seccin cnica cuya ecuacin es

Encuentre la ecuacin de la elipse con focos en

1) Y

foco en (6, 2).

6. Encuentre la ecuacin cuadrtica que pasa por (2, 1),

(0,-1), Y (-1,

4).

Captulo

Sim lificacin de ecuaciones

4.1 SIMPLIFICACiN POR TRASLACiNEn la seccin 2.8 se descubri que la ecuacin de una circunferencia cuyo centro no est en el origen se puede expresar en una forma ms sencilla, mediante una traslacin adecuada de los ejes. Adems, en el captulo 3 se us la idea de traslacin de ejes para expresar las ecuaciones de parbolas, elipses e hiprbolas en formas usuales. Se puede concluir, entonces, que las ecuaciones generales de las cnicas pueden expresarse en for mas simples. En efecto, esto es cierto, coIp.o ya se ver. La ecuacin general de segundo grado puede presentarse en la forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F=

O.

(4.1)

Sin embargo, antes de trabajar con la ecuacin general, se tratarn los casos particulares obtenidos igualando uno o ms de los coeficientes a cero. Se aconseja a los estudiantes revisar la deduccin de las frmulas de traslacin (Sec. 2.8) y despus estudiar con cui dado los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Simplifique la ecuacin mediante una traslacin de ejes. X 2 - 6x - 6y - 15 O.=

Solucin El cuadrado se completar en los trminos x, y se seleccionar la traslacin ' y el trmino constante en la nueva ecuacin. De esta manera, que eliminar el trmino x se tiene6y + 15 + 9, X2 - 6x + 9 6(y + 4). (x - 3) 2 El vrtice de la parbola est en (3, -4). De modo que se hace h = 3 Y k = -4 en las x' + h Y Y = y' + k, y se obtiene frmulas de traslacin x = (x' + 3 - 3)2 6(y' - 4 + 4),= = =

x' 2

=

6y ' .

La parbola de la figura 4.1 es la grfica de la ecuacin dada, referida a los ejes origina les, y tambin es la grfica de la nueva ecuacin referida a los nuevos ejes.

156

CAPTULO 4 SIMPLIFICACIN DE ECUACIONESy'

y

x

x' FIgura 4.1

Cabe hacer notar que la traslacin de ejes est vinculada con la realizacin de dos transformaciones geomtricas: un desplazamiento horizontal y un desplazamiento ver h) es congruente con la grfica de tical. Dada una funcin f, la grfica de y f (x y = f (x), pero se desplaza Ihl unidades a la derecha si h > O o a la izquierda si h < O. k f (x), o y = f (x) + k, se encuentra situada a De manera similar, la grfica de y Ikl unidades sobre la grfica de y f(x) si k > O, o debajo de ella si k < O. Por ejemplo, se puede obtener la grfica de y = 2 (x 3)2 4 a partir de la grfica de y X2 mediante una serie de transformaciones geomtricas: primero se expande X2 en un factor de 2 (vase el Ejercicio 20 de la Seco 3. 1), luego se refleja a travs del eje x, a continuacin se desplaza 3 unidades hacia la derecha y, finalmente, se desplaza 4 unida des hacia abajo.=-

=

=

-

-

-

Ejemplo 2

Traslade los ejes de modo que se simplifique la ecuacin 2 2X+

3y2

+

lOx - 18y + 26

=

O.

La simplificacin se puede hacer completando los cuadrados en los trmi nos x y y. Con este plan, se obtieneSolucin

2(x2 + 5x) 2x2

+

3(y2 - 6y)+

=

-26, -26 27+

+

5x

+

25 2=

4"x

+

3(y2 - 6y 52

9)

=

25 2

+

27,

+ 2

+ 3(y - 3)2

.,..

2'

Las frmulas de traslacin x x'- Sjz y Y = y' + 3 reducirn esta ecuacin a otra que no tenga trminos de primer grado. Haciendo estas sustituciones, se encuentra que 5 2 x' 2+ 2

5 2

+

3(y' + 3 - 3)2

=

27 ' 2

4.1

SIMPLIFICACIN POR TRASLACIN

157=

La grfica es una elipse con a = 312 .J3, b 312 J2 y e = 312. Ambos conjuntos de ejes y la grfica se encuentran en la figura 4.2. Los ejemplos 1 y 2 ilustran el hecho de que los ejes se pueden trasladar para reduciry' y

(-2.5,3) x'

O'

una ecuacin de segundo grado de la fonnaAx 2 + Cy2 + Dx + Ey + F=

Figura 4.2

a otra de las fonnasA'X' 2 + E'y' C'y' 2 + D'x' A' x' 2 + C'y' 2 + F'= = =

0, 0, O.

En los dos ejemplos se completan los cuadrados para localizar los orgenes de los nuevos sistemas de coordenadas. El plan necesita modificarse cuando se presenta algn tennmo.xy., .

Ejemplo 3 Traslade los ejes para eliminar los tnninos de primer grado de la ecuacin 2.xy+3x- 4y= 12. Solucin Para esta ecuacin se usan las fnnulas de traslacin con h y k desconoci das. Entonces, la ecuacin se vuelve2(x' + h)( y' + k) + 3(x ' + h) - 4( y' + k)=

1212 .

o, al multiplicar y agrupar tnninos,

Para eliminar el tnnino x' y el tlJl1ino y se igualan a cero sus coeficientes, obteniendo 312. Usando estos valores de h y k se obtiene as h = 2 Y k=-

2 x'y' + (2k + 3) x' + (2h - 4)y' + 2 hk + 3h - 4 k

=

x'y'

=

3.

158

CAPTULO 4 SIMPLIFICACiN DE ECUACIONES

En la seccin 4. 4 se ver que la grfica de esta ecuacin, y de la ecuacin dada, es una hiprbola. Ambos conjuntos de ejes y la hiprbola se dibujan en la figura 4.3. y y'

x ' x

Figura 4.3

EjerciciosEn cada uno de los ejercicios 1 a 11 detelll1ine la nueva ecuacin si el origen se traslada al punto dado.l.

3x -2y= 6,

(4, 3) (3, 2)

2. 5x+4y+3 = 0, 4. x2 4x+7y= 0, + (-2, 1) (- 4) 2, (-1, 1) (5, - 3)

(l, 2) (2, 6)

3. y2 - 6x+4y+22 = 0,

5. 3x2 4y2 12x -8y + 8 = 0, + + 6. 9x2 y2 36x+8y+43 = 0, + + 7. 4y2 -5x2+8y -l Ox -21= 0,

8. 16x2 - 4y2 - 160x+ 24y+300 = 0, 9. xy - x+y-l O = 0, (1, 1)

10. 3xy - 21x -6y - 47= 0, (1. 028, 2. 314)-

(-2, 7)

11. 3. 015x2 -2. 991x+0. 005y -0.123= 0, 12. Explique cmo se obtiene la grfica de y = -4 (x y X2 mediante transformaciones geomtricas.=

,.)2 + ..Ji partir de la grfica de

En cada uno de los ejercicios 13 a 22 encuentre el punto al cual debe trasladarse el ori gen para que la ecuacin transformada no tenga trminos de primer grado. Encuen tre adems la nueva ecuacin. 15. 2x2+2y2 -8x+5= 17. 3x2 -2y2 +24x+8y -34= O 19. x2 -xy+y2 - 9x - 6y-27 = O 13. xy -2x+4y -4= 14. xy+3x+3y - 3=

16. x2 2y2+6x - 4y+2 = + 18. 2y2 -3x2 -12x - 16y+14=0 20. 2x2 - 3xy - y2 X - 5y -3= +

4.2 ROTACiN DE EJES

159

21. x3 + 5x2 + 2xy + 4x - 4 y - 4 = O 22. xy + 2.8761x - 3.0019y - 9.6338=

O

En cada uno de los ejercicios 23 a 28, elimine el trmino C0nstante y uno de los trminos de primer grado.23. y2 + 6y + 4x + 5 = O 25. y2 + lOx - 4y + 24 = O 27. 2x2 - 20x + 7y + 36= O 24. x2 - 2x + 8y - 15 = O 26. y2 + 4y - x + 1 = O 28. 3y2 + l1x - 6y - 19 = O

En los ejercicios 29 a 31, indique la secuencia de transformaciones geomtricas por usar para obtener la segunda funcin a partir de la primera. Grafique ambas en el mismo siste ma coordenado, usando de ser posible un graficador.29. y=x3, 31. Y =x4 + 1, y=2(x-l)3 y= (x + 2)4 - 7 30. y=x3, y=

4.2 ROTACION DE EJES

,

Se considerar ahora una transformacin de coordenadas donde los nuevos ejes tengan el mismo origen, pero direcciones diferentes de los ejes originales. Puesto que los nue vos ejes se pueden obtener rotando los ejes originales en un ngulo alrededor del ori gen, la transformacin se Harna rotacin de ejes. Para una rotacin en un ngulo e se deducirn frmulas de transformacin, que ex presen las coordenadas anteriores en trminos de e y de las nuevas coordenadas. En la figura 4.4 las coordenadas del punto P son (x, y) cuando estn referidas a los ejes origi nales OXy OY, y son (x', y') cuando estn referidas a los nuevos ejes OX' y OY'. Se. notar que .x = OM-:::-;-:;. . ,..,

El segmento RS se traza paralelo al eje x y NS es paralelo al eje y. Por tanto, se tiene quex= OM = ON - MN = ON - RS =x' cos (J y' sen e, . . . y = MP = MR + RP=NS + RP =x' sen e + y' cos e.-

Y

Y = MP,

.

x' = OS.

. -::;-;:

Y

y' = SP.

.

Las frmulas de rotacin son, entonces,x = x' cos e - y' sen e, y=x' sen e + y' cos e.

(4.2)

Estas frmulas se dedujeron para el caso especial en el cual e es un ngulo agudo y el punto P est en el primer cuadrante de ambos pares de ejes. Sin embargo, las frmulas valen para cualquier e y para todas las posiciones de P. Se podra demostrar que las frmulas valen en general, si se observan las convenciones adecuadas con respecto al signo de e y a los signos de todas las distancias incluidas.

160 y' y

CAPiTULO 4 SIMPLIFICACIN DE ECUACIONESp (x, y)

(x', y') x'

yx' Figura 4.4 x

R

y'

M

N

x

Ejemplo

1

ejes.

Transforme la ecuacin X2 - y - 9

=

O mediante una rotacin de 45 de los

Solucin

Cuando () = 45, las frmulas de rotacin (4.2) son x= x'

Vz

-

y'

Vz'y

Y

=

X

'

Vz

+

y'

Vz'

y'

x'

:-+...L.T---t--+---t--. x

Figura 4.5

Se hacen las sustituciones en la ecuacin dada y se obtiene X'

Vz - Vz

y' 2

X'

- Vz

+

Vz

y' 2

-

9

=

O

,

. 2x'y' + 9

=

. O

4.2 ROTACIN DE EJES

161

Tanto la grfica como ambos conjuntos de ejes se construyen en la figura 4.5.

Ejemplo 2 Encuentre el ngulo de rotacin agudo tal que la ecuacin transformada de 2X2 + -J3 xy + y 8 no tenga trmino x'y'.=

Solucin Se emplean las frmulas de rotacin para encontrar el ngulo 8 requerido. Sustituyendo para x y y, se obtiene-

2(x' cos fJ - y' sen fJ)2 + v'3 (x' cos fJ

y' sen fJ)(x' sen fJ + y' cos fJ)

+(x' sen fJ + y' cos fJ)2

=

8.

Se efectan las multiplicaciones indicadas, se agrupan trminos semejantes y se obtiene (2 cos2fJ + v'3 sen fJ cos fJ +sen 2fJ)x'2 + (-2sen fJ cos 8 + v'3 cos28 - v'3sen 2fJ)xly' 8. (4.3) + (2sen2fJ - v'3 sen 8 cos fJ + cos 2 8)y' 2=

Como se va a eliminar el trmino x'y', su coeficiente se iguala a cero. De este modo se obtiene -2sen 8 cos 8 + v'3(cos2fJ -sen 2(]) Usando las identidades sen 28 ecuacin en la forma Por tanto, tan 28= = =

O.

2 senO cos 8 y cos 28=

=

cos28 -sen28, se obtiene la

-sen28 + v'3 cos 28 v'3''.

O.

Una rotacin de 30 elimina el trmino x y Este valor de 8 reduce la

Documents

GEOMETRÍA ANALÍTICA - G. FULLER Y D. TARWATER