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22/03/2016
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Geometría analítica Vectores en 𝑹𝟐
• Vector fijo en el plano
• Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo)
• Vectores equipolentes
• Vector libres
• Propiedad fundamental de los vectores libres
• Coordenadas de un vector
• Operaciones ( gráficas y analíticas) de vectores libres.
• Combinación lineal de vectores . Vectores linealmente dependiente
• Punto medio de un segmento.
• Módulo de un vector
• Producto escalar y propiedades
• Ángulo que forman dos vectores
• Distancia entre dos puntos
• Definición de vectores ( vector nulo, vector unitario, vectores perpendiculares, vectores opuestos, vectores ortogonales, vectores ortonormales)
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Definición de vector fijo
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Vectores equipolentes
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Vectores libres
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• Operaciones ( gráficas) de vectores libres.
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𝑢 = (6 , 2)
𝑣 = (2 , −5)
𝑢 + 𝑣 = 6 , 2 + 2,−5 = (6 + 2 , 2 + −5 ) = (8 , −3)
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• Combinación lineal de vectores
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Módulo de un vector
• Producto escalar de dos vectores
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• Definición de vectores
• Vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0 .
• Vector unitario tienen de módulo la unidad.
Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.
• Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si sus direcciones son perpendiculares ( forman 90°); es decir si su producto escalar es cero.
• Dos vectores son opuestos , si tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.
• Vectores concurrentes tienen el mismo origen.
• Dos vectores son ortonormales si: Son ortogonales (Su producto escalar es cero.) y si los dos vectores son unitarios.
• Ángulo que forman dos vectores • Distancia entre dos puntos
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ECUACIONES DE LA RECTA
• Ecuaciones generales de una recta
Ecuaciones generales de una recta
Una recta queda totalmente determinada de dos formas posibles; 1) Con dos puntos de la recta
2) Con un puntos de la recta y un vector que determine la dirección de la recta ( vector director)
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r dedirector vector )u , (uu
recta la de punto ) , (
21
21 aaAr
)(r recta la de cualquiera puntoun ) , ( sea rPyxP
uRAP AP que tal númeroun existeL.D.son uy
APOP OA
up a
R
uuaayx
),(),(),( 2121
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𝑛 = 𝐴 , 𝐵 = (𝑢2 , −𝑢1)
Vector normal de la recta
𝑢 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑢 ∙ 𝑛 = 0
𝑚 = − 𝐴
𝐵 =
𝑢2
𝑢1= 𝑡𝑔𝛼
𝒎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝜶 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝒏 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
(0, 𝑛) ∈ 𝑟
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Ejercicios
a) b) c) 3x-y+6=0
d)
punto
Vector
director
Nombre
Ecuación
fórmula
3y
x R
52
2 yx
1 xy
•Halla un vector director y un punto de las siguientes rectas. (Indica el nombre de la ecuación y su fórmula teórica )
Ejercicios
ty
tx
5
22
1 xy
•Dada la ecuación de la recta r:
•Dada la ecuación de la recta s: expresa como ecuación continua
expresa como ecuación general