GEOMETRIA...41 A teoria das curvas, na forma abordada no final do século XIX, tratava apenas de curvas ou parte dela razoavelmente regulares, devido ao uso da análise matemática

COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

FUN

GEOMETRIA TEORIA DAS CURVAS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2020 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil


Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Geometria e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, outono de 2020.

João Carlos Moreira


Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das curvas no ℝ𝑛 00

2.1.1 Representação das curvas 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das curvas no ℝ2 e ℝ3 00

3.2 Cálculo de perímetro 00

3.3 Cálculo de área 00

4 Abordagem Computacional 00

4.1 Representação das curvas 00

4.2 Algoritmos 00


5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00




6.4 Abordagem Computacional 00




7 Referências Bibliográficas 00


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 A origem primitiva da matemática está muito ligada ao desejo humano de observar as formas que compõem o universo e compreender as relações existentes entre elas.

2 É nesse contexto que a teoria das curvas ocupa um destaque muito especial. Arqueólogos encontraram recentemente (pág. 228, vol. 518 da revista Nature), o que pode ser a primeira curva desenhada pelo homem. Trata-se de uma poligonal feito há mais de 400.000 anos.

Fig. 1 Um Homo Erectus segura a concha da jazida de Trinil (Indonésia)

3 O mais surpreendente é que esse objeto foi feito por um

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1

René Descartes (1596-1650), foi um matemático francês. Dentre suas contribuições, destacamos o tratado Le Monde, publicado em 1637 e que tinha como apêndice a obra La Géométrie que deu origem ao que conhecemos hoje como a geometria cartesiana.



Homo Erectus, cerca de 300.000 anos antes que nossa espécie começasse a desenhar curvas semelhantes, provando que o ser humano desenvolveu o seu raciocínio geométrico muito antes do que se imaginava.

4 A Arte rupestre representa muito bem a evolução geométrica do pensamento humano no interior das cavernas (arte parietal) e ao ar livre, durante o período pré-histórico (o período da história que precede a escrita).

5 A pintura rupestre foi uma de suas primeiras manifestações intelectuais, as mais conhecidas são datadas do período Paleolítico Superior (40.000 a.C.). Ela se tornou em uma ferramenta muito eficiente para registrar as atividades do cotidiano do homem primitivo.

Fig.2. Gruta de Lascaux Fig.3. Bisão na Caverna de Altamira

Fig. 4 Caverna de Chauvet Fig. 5 Parque Nacional da Serra da Capivara

6 Em geral, as pinturas rupestres são marcadas pela

presença de grandes animais selvagens como bisões, cavalos, entre outros e mais raramente o humano. Acredita-se que essas pinturas estejam ligadas a atividades humanas como dança, luta, ritos



religiosos, relações sexuais e caça.

7 Algumas curvas, como as circunferências e as espirais, também são encontradas nas pinturas rupestres. Essas curvas eram traçadas utilizando-se como materiais básicos os dedos, as mãos e pigmentos minerais moídos (óxidos de ferro e manganês, hematita, limonite, argila, gesso e outros). O vermelho era a cor mais frequente, juntamente com preto, ocre, amarelo e branco em diferentes tonalidades que resultavam da mistura desses pigmentos.

Fig.6. Sítio de Bisnau-GO Fig.7. Piracuruca-PI

8 Com o desenvolvimento das civilizações, surgiram técnicas muito eficientes, não só para contar, mas também para medir grandezas que surgiram em vários problemas, como por exemplo cálculo de distâncias astronômicas, comprimento de curvas e áreas limitadas por elas.

9 Thales de Mileto (c. 624 a.C.–547 a.C.), por volta de 575

a.C traz o conhecimento matemático babilônico e egípcio para a Grécia. Pode ter sido o primeiro a trazer a geometria para a Grécia, ele usou a mesma para calcular a altura das pirâmides e as distâncias dos navios ao porto.

10 Muitas referências creditam a Thales as seguintes proposições:

11 Um círculo é dividido por qualquer diâmetro.



12 Os ângulos de base de um triângulo isósceles são iguais.

13 Os ângulos entre duas linhas que se cruzam são iguais.

14 Dois triângulos são congruentes se tiverem dois ângulos e um lado iguais.

15 Todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto.

16 Pitágoras (c. 569 a.C.–475 a.C.) trouxe várias contribuições para a geometria, dentre elas destacamos a demonstração do teorema que recebe o seu nome, já conhecido pelos babilônios. A palavra matemática (Mathematike, em grego) foi introduzida por Pitágoras, que foi o primeiro a ver a matemática como um sistema de pensamento baseado em provas dedutivas.

17 Menaechmus (c. 380 a.C.–320 a.C.) foi o primeiro matemático grego a estudar as cônicas como uma seção de um cone.

18 A obra de Aristeu (c. 370 a.C.- 300 a. C.), o grande (c. 320 a.C.) “Elementos de seções cônicas” também merece destaque.

19 Cerca de 300 a.C, Euclides de Alexandria (c. 325 a.C – 265

a.C) apresentou os fundamentos da teoria da geometria euclidiana, encontrada em "Os Elementos", elevando a matemática ao patamar de ciência e não só a ciência da observação, mas a ciência da abstração ou matemática abstrata.

20 Dessa teoria, destacamos as seguintes definições:

21 Ponto é aquilo de que nada é parte.



22 Curva é comprimento sem largura.

23 Reta é uma curva que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.

24 Fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa.

25 Figura é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras.

26 As figuras retilíneas são as contidas por retas; se for contida por três retas é chamada de trilátera, quatro retas de quadrilátera, mais de quatro retas de multilátera.

27 O método conhecido como triangulação, era utilizado

pelos primeiros arquitetos e agrimensores das civilizações egípcia e mesopotâmica. É desse processo, que surge o conceito de polígono, figura tendo uma decomposição em um número finito de triângulos sem pontos interiores comum e cuja área era a soma da área desses triângulos. Essa área continha um pequeno erro, quando as superfícies dos terrenos não eram figuras poliédricas. A fronteira de um polígono é chamada de curva poligonal fechada.

28 Aristarchus de Samos (c. 310 a.C.–230 a. C.) usa métodos geométricos para calcular as distâncias do sol e da lua à terra. Ele também propõe que a terra gira em torno do sol.

29 Os nomes de elipse, hipérbole e parábola são devidos a Apolônio de Perga (c.262 a.C.-190 a.C.) e as suas proposições envolvendo as mesmas, muito contribuíram com a obra de Euclides.

30 A geometria diferencial se dedica ao estudo das formas geométricas, destacando-se o estudo das curvas e



superfícies e teve como base de seu desenvolvimento a análise matemática. Aparece pela primeira vez, no século XVIII, nos estudos de L. Euler (1707-1783) e G. Monge (1746-1818) (Une application d'Aanalyse à la géométrie, 1795).

31 N. Lobachevskii (1792-1856), descobre em 1826 que existem espaços diferentes do espaço euclidiano, fato muito importante para o desenvolvimento de outras geometrias.

32 Em 1827, J. Gauss (1777- 1855) apresenta uma teoria geral para as superfícies, deixando de ser uma mera aplicação da análise e ganhando o status de uma área independente da matemática.

33 E. Galois (1811-1832) foi o primeiro a introduzir o conceito de grupo. Em 1854, A. Cayley (1821-1895) escreveu dois artigos que são notáveis pela percepção que têm de grupos abstratos. Mais tarde, a teoria de grupo impulsiona o desenvolvimento da geometria algébrica.

34 Na geometria algébrica uma curva é um conjunto de pontos que satisfaz uma determinada equação.

35 Em 1854, G. Riemann (1826-1866) estabelece as bases da geometria que recebe o seu nome.

36 F. Minding (1806-1855) e K.M. Peterson (1828-1881) criam

na Rússia uma Escola de Geometria Diferencial e dedicaram a maior parte de seus estudos a deformações isométricas de superfícies; isto é, deformações contínuas que preservam a geometria interior delas.

37 Os trabalhos de M. Lie (1842-1899) sobre equações diferenciais levou ao estudo de grupos topológicos e a



topologia diferencial.

38 A visão de F. Klein (1849-1925) de que a geometria é o estudo de invariantes sob grupos de transformações fez com que E. Cartan (1869-1951) estabelecesse a teoria dos espaços com conexões projetivas e afins (estruturas geométricas-diferenciáveis em variedades).

39 Com esse desenvolvimento o conceito de curva passa a ser visto como uma variedade de dimensão 1.

40 Atualmente o termo geometria diferencial tem sido substituído por variedades diferenciáveis.

41 A teoria das curvas, na forma abordada no final do século XIX, tratava apenas de curvas ou parte dela razoavelmente regulares, devido ao uso da análise matemática.

42 No início do século XX, surgiu a chamada “Geometry in the large”, onde a exigência da diferenciabilidade foi substituída pela convexidade e singularidade local de geodésicas.



2.1 Sistema matemático das curvas

Apresentamos nas próximas seções, os elementos que constituem

um sistema matemático (modelo) para o desenvolvimento da teoria das curvas.

2.1.1 Representação algébrica das curvas

C. Jordan (1838-1922) foi um matemático francês. Dentre suas principais contribuições, destacamos o tratado Traité des substituencies et des équations algebraique, publicado em 1870 e considerado o primeiro livro sobre a teoria de grupos. O teorema da curva de Jordan o tornou muito conhecido entre os matemáticos.

Definição 1. Uma curva no espaço euclidiano ℝm é uma função contínua φ ⊆ ℝ × ℝm, a mesma é dita parametrizada, se existir um parâmetro t e funções contínuas (∀i)( i ∈ {1, … ,m})(φi ⊆ ℝ ×ℝ), tais que

(∀t)(t ∈ D(φ)) (φ(t) = (φ1(t), φ2(t),… , φm(t))).

Neste caso, (∀i)(i ∈ {1,… ,m})(xi = φi(t)), são chamadas de equações paramétricas da curva. A imagem da função φ é chamada de traço da curva.

ABORDAGEM ALGÉBRICA TEORIA DAS CURVAS | ESCOLA DE GEOMETRIA

2



Escólio. A linha reta foi uma das primeiras curvas estudadas, no entanto Euclides, em “Os Elementos”, embora dedique muito estudo à linha reta, não a considera uma curva. Na verdade, a primeira definição geral de curva aparece com Jordan em seu Cours d'Analysein de 1893.

Exemplo 1. Um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝm, também chamado de reta limitada, pode ser visto como uma curva parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ [0,1])(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚).

Exemplo 2. Uma linha reta no ℝm, ou simplesmente reta, também pode ser obtida através do prolongamento de um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝm e pode ser vista como uma curva parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚). Por outro lado, as retas que passam por 𝐱 =(x1, x2, … , xm) ∈ ℝ

m e tem direção do vetor 𝒗 =(v1, v2, … , vm) ∈ ℝ

m, v ≠ 𝟎, são curvas que podem ser parametrizadas por:

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = 𝐱 + t ∙ 𝒗).

Exemplo 3. Uma curva poligonal no ℝm é uma cadeia de segmentos de linhas retas adjacentes e não colineares 𝐱1𝐱2, 𝐱2𝐱3, … , 𝐱n−1𝐱n no ℝm, denotada por 𝐱1𝐱2𝐱3…𝐱n−1𝐱n. Tal curva pode ser parametrizada por:



Exemplo 4. (Cônicas) Uma cônica é definida como o conjunto dos pontos cujas distâncias a um ponto fixo, chamado de foco, é proporcional a sua distância à uma reta fixa, chamada de diretriz. Tais curvas são parábolas, elipses ou hipérboles, se a constante de proporcionalidade 𝑒, chamada de excentricidade, for igual a 1, menor que um ou maior que um, respectivamente.

Considerando um ponto arbitrário (𝑥, 𝑦) da curva no sistema ortogonal cartesiano, a diretriz como sendo o eixo da abscissa e o foco 𝐹(0, 𝑦0) no eixo da ordenada, teremos que:

φ(t) =

{

(1 − t) ∙ 𝐱1 + t ∙ 𝐱2, t ∈ [0,1) (2 − t) ∙ 𝐱2 + (t − 1) ∙ 𝐱3, t ∈ [1,2)

⋮ (n − 1 − t) ∙ 𝐱n−2 + (t − (n − 2)) ∙ 𝐱n−1, t ∈ [n − 2, n − 1)

(n − t) ∙ 𝐱n−1 + (t − (n − 1)) ∙ 𝐱n, t ∈ [n − 1, n]

.

Uma curva poligonal é também chamada de

caminho poligonal, polilinha, figura retilínea, curva linear por partes ou linha quebrada.

Quando suas extremidades coincidem; isto é, 𝐱n =

𝐱1, a curva poligonal é dita fechada, caso contrário será dita aberta.

Os pontos 𝐱1, 𝐱2, 𝐱3, … , 𝐱n−1 e 𝐱n e os segmentos

𝐱1𝐱2, 𝐱2𝐱3, … , 𝐱n−1𝐱n são os vértices e lados adjacentes da curva poligonal, respectivamente.

Uma curva poligonal é dita simples, quando dois

lados quaisquer do polígono 𝐱i𝐱i+1 𝐱j𝐱j+1 se interceptam

somente quando são adjacentes ou quando a curva é fechada ; caso contrário, é dita curva poligonal

entrelaçada ou com auto intersecção.



43 J. Kepler (1571-1630), em 1602, disse acreditar que a órbita de Marte era oval, depois descobriu que era uma elipse com o sol no foco. De fato, ele introduziu a palavra "foco" e publicou sua descoberta em 1609. A excentricidade das órbitas planetárias é pequena (isto é, elas estão próximas dos círculos). A excentricidade de Marte é 1/11 e da Terra é 1/60.

44 G. Galileu (1564-1642) mostrou que os projéteis seguem caminhos parabólicos e B. Pascal (1623-1662) considerou a parábola como uma projeção central do círculo.

45 Em 1705, E. Halley (1656-1742) mostrou que o cometa, que

agora recebe o seu nome, tinha sua órbita elíptica em torno do sol. A excentricidade do cometa de Halley é de 0,9675, portanto está próxima de uma parábola (excentricidade 1).

46 A área da elipse é 𝜋𝑎𝑏. Não existe uma fórmula exata para o comprimento de uma elipse em funções elementares e isso levou ao estudo de funções elípticas. C. P. Ramanujan (1938-1974), em 1914, deu fórmula aproximada 𝜋 (3 (a + b) -

√(a + 3b) ∙ (3a + b)]) para o seu comprimento.

47 D. Gregory (1659-1708) e I. Newton (1643-1727) consideraram

as propriedades de uma parábola que trazem raios paralelos de luz a um foco.

48 Curvas também podem ser representadas algebricamente em

coordenadas cartesianas retangulares ou polares.

49 A quadratriz foi descoberta por Hippias de Elis (c. 460 a.C. –

𝑒 =√𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)

2

|𝑦|↔ 𝑒2𝑦2 = 𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)

2

ou (𝑦0)

2 − 2𝑦0𝑦 + (1 − 𝑒2)𝑦2 + 𝑥2 = 0,

chamada de equação retangular ou cartesiana das cônicas.



400 a.C.) em 430 a.C. Pode ter sido usado por ele para trisecionar um ângulo e emparelhar o círculo. A curva pode ser usada para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais. Mais tarde, foi estudado por Dinostratus em 350 a.C., que usou a curva para quadrar o círculo.

𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝜋𝑥

2𝑎)

ou

𝑟 =2𝑎𝜃

𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜃).

50 Uma subclasse importante das curvas algébricas são as curvas

algébricas do plano ℝ2 satisfazendo a equação:

∑∑𝑎𝑖𝑗

𝑚2

𝑗=0

∙ 𝑥𝑖

𝑚1

𝑖=0

∙ 𝑦𝑗 = 0.

51 (Kampyle de Eudoxus) Curva estudada por Eudoxus (c. 408

a.C. – 355 a.C.) relacionada ao problema clássico de duplicação do cubo.

𝑎2𝑥4 = 𝑏4(𝑥2 + 𝑦2) ou

𝑟 =𝑏2

𝑎𝑐𝑜𝑠2(𝜃).

52 (Espiral de Arquimedes) Essa espiral foi estudada por

Arquimedes (c. 287 a.C. – 212 a.C.) em cerca de 225 a.C. na obra “Sobre Espirais”. Ela já havia sido considerada pelo seu amigo Conon.

𝑟 = 𝑎𝜃.

53 (Conchoid) O Concóide, foi estudado pelo matemático grego Nicomedes (c. 280 a.C. – 210 a.C.) em cerca de 200 a.C. e está relacionado ao problema da duplicação do cubo.

(𝑥 − 𝑏)2(𝑥2 + 𝑦2) − 𝑎2𝑥2 = 0



ou 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑐(𝜃)

54 (Cissoide de Diocles) Esta curva, que significa "em forma de

hera", foi inventada por Diocles (c. 240 a.C. – 180 a.C.) em cerca de 180 a.C., em conexão com sua tentativa de duplicar o cubo por métodos geométricos.

𝑦2 =𝑥3

(2𝑎 − 𝑥)

ou 𝑟 = 2𝑎𝑡𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃).

55 (Curvas espirituais) Depois que Menaechmus (c. 380 a.C – 320

a.C) construiu seções cônicas cortando um cone por um plano, por volta de 150 a.C. o matemático grego Perseus (c. 180 a.C – 120 a.C) investigou as curvas obtidas pela intersecção de um toro por um plano que é paralelo à reta que passa pelo centro do buraco do toro.

(𝑟2 − 𝑎2+𝑐2 + 𝑥2+𝑦2)2 = 4𝑟2(𝑥2+𝑐2).

Definição 2. Uma curva parametrizada é dita diferenciável no ponto t0 ∈ D(φ) se existir o limite

limℎ→0

φ(t0 + h) − φ(t0)

ℎ.

Neste caso, denotamos por φ´(t0) = limℎ→0

φ(t0+h)−φ(t0)

ℎ a

derivada de φ no ponto t0. Quando φ for diferenciável em todos os pontos de 𝐼 ⊆ D(φ), φ é dita diferenciável em 𝐼 e

(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐼)(∃φ´(t)) ∧ (φ´(𝑡) = limℎ→0

φ(t + h) − φ(t)

ℎ).

Neste caso, φ´ é a função derivada de primeira ordem de φ. Se além disso, φ´ for uma função contínua φ será de classe 𝐶1e denotamos, φ ∈ 𝐶1(𝐼).



Definição 3. Se uma curva φ ⊆ ℝ ×ℝm parametrizada por t, tem derivada não nula no ponto t0, isto é φ´(t0) ≠ 𝟎, então

existirá a reta que passa por φ(t0) e têm direção do vetor φ´(t0), chamada de reta tangente a curva φ no ponto

φ(t0) que pode ser parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(r(t) = φ(t0) + t ∙ φ´(t0)).

Caso (∄φ´(t0)) ∨ (φ´(t0) = 𝟎) , tal reta não existirá. As curvas que admitem as retas tangentes em todos os pontos de seu domínio; isto é:

(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐷(φ))(∃φ´(t)) ∧ (φ´(t) ≠ 𝟎)

são chamadas de curvas regulares.

Recursivamente, φ será de classe 𝐶𝑛, 𝑛 > 1, se φ´ for de classe 𝐶𝑛−1 e denotamos φ ∈ 𝐶𝑛(𝐼).



[2] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

[3] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.

[4] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.

[5] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.

[1] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York: Dover

Publicaitions, 1995.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TEORIA DAS CURVAS | ESCOLA DE GEOMETRIA

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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

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FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

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