Geometri. G är ett av de centrala områdena i matemati-ken och behandlar rummets struktur, form och storlek samt egenskaper hos geometriska figurer och kroppar. Skolans undervisning

DIAMANT – NATIONELLA DIAGNOSER I MATEMATIK 1

Geometri. G

Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.

Området består av följande tre (fyra) delområden:MGF Förberedande mätning och geometri som finns på område MätningGFo Geometriska formerGSk SkalaGVi Vinklar

Strukturschemat visar att delområdena hänger ihop på så vis att Diagnosen Förberedande mätning och geo-metri (MGF) innehåller förkunskaper till alla delom-råden inom Mätning och Geometri. Strukturschemat visar också att Geometriska former (GFo) är förkun-skap till delområdet vinklar (GVi).

GSk SkalaGFo Geometriska formerGVi Vinklar

MGF Förberedande Mätning och Geometri


Ge

om

etri

koMMentarerk

Med hjälp av diagnoserna inom detta område kan man ta reda på kvalitet och omfattning av de begrepp och metoder som eleven har inom geometri för att kunna utveckla förmågan att:– lösa problem med hjälp av matematik samt värdera

valda strategier och metoder.

– använda och analysera matematiska begrepp och sam-band mellan begrepp.

– välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter

– föra och följa matematiska resonemang

– använda matematikens uttrycksformer för att … redogöra för … beräkningar och slutsatser

Området Geometri är rikt på begrepp, det börjar redan med namn på de vanligaste plana geometriska figu-rerna. Begrepp och terminologi utvecklas sedan till att omfatta fler polygoner, kroppar samt att urskilja och namnge deras egenskaper, då blir exempelvis vinkel ett viktigt begrepp. Avbildning och geometriska konstruk-tioner är ett viktigt innehåll för att skapa förståelse för geometri, då blir också skalbegreppet centralt.

Diagnoserna ger eleven möjlighet att visa kunskap inom följande centrala innehåll:

Årskurs 1–3Geometri:

– Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt.

– Konstruktion av geometriska objekt. Skala vid enkel förstoring och förminskning.

– Vanliga lägesord för att beskriva föremåls och objekts läge i rummet.

– Symmetri, till exempel i bilder och i naturen, och hur symmetri kan konstrueras.

I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3 finns följande: – Dessutom kan eleven använda grund-läggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att beskriva objekts egenskaper, läge och inbördes relationer. Egenskaper hos objekt beskrivs oftast med begrepp såsom sida, hörn, vinkel, parallell, kongruent, symme-tri, diagonal etc. som eleven alltså ska kunna använda. I kunskapskravet uttrycks det också att: Eleven kan även avbilda och utifrån instruktioner, konstruera enkla geometriska objekt. Eleven ska alltså själv aktivt kunna rita (skapa) och beskriva olika fyrhörningar, trianglar och cirklar och då använda korrekta ord och begrepp.

Årskurs 4–6Geometri:

– Grundläggande geometriska begrepp däribland poly-goner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt.

– Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess användning i vardagliga situationer.

– Symmetri i vardagen, i konst och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras.

– Jämförelse, uppskattning och mätning av… vinkel med vanliga måttenheter.

Konstruktion kan tolkas som att eleverna ska känna till hur en tredimensionell kropp kan byggas av tvådimen-sionella figurer. I kunskapskraven i slutet av årskurs 6 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men det är nödvändigt att behärska olika geometriska begrepp för att kunna visa olika grad av förmåga. Enligt kunskapskraven är strävan att eleven ska utveckla sina kunskaper om matematiska begrepp och visa det genom att använda dem i nya samman-hang på ett väl fungerande sätt. Eleven ska även kunna beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska ut-trycksformer. I beskrivningarna ska eleven kunna föra resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra.

Diagnosområdet i relation till syfte och centralt innehåll i kursplanen i matematik


Ge

om

etri

koMMentarerkÅrskurs 7–9Geometri:

– Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt.

– Avbildning och konstruktion av geometriska objekt. Skala vid förminskning och förstoring av två och tredimensionella projekt.

– Likformighet och symmetri i planet.

– Geometriska satser och formler och behovet av argumentation för deras giltighet.

I kunskapskraven i slutet av årskurs 9 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet, men det är nödvändigt att förstå begrepp och satser, exempelvis likformighet och Pythagoras sats, och med detta kunna utföra olika beräkningar för att kunna visa olika grad av förmåga.


Ge

om

etri

koMMentarerk

Geometri är ett av de centrala områdena i matemati-ken och behandlar rummets struktur, form och storlek samt egenskaper hos geometriska figurer och kroppar. Skolans undervisning handlar om olika aspekter av geometri, dels rumsuppfattning, dels en mer formell geometri. Rumsuppfattning handlar om att orientera sig i rummet/omvärlden och att kunna beskriva före-måls lägen i rummet. Detta diagnostiseras i diagnosen Förberedande mätning och geometri, och även i diag-nosen Skala. Den mer formella geometrin handlar inledningsvis om att känna igen och klassificera olika geometriska figurer och kroppar och att känna till viktiga egenskaper hos dessa. En hel del av detta utgår från begreppet symmetri som därför har en central plats i den grundläggande geometriundervisningen.

Andra centrala begrepp inom den plana geome-trin är sidor och vinklar. Motsvarande begrepp inom rymdgeometrin är sidor (sidoytor), kanter och hörn. Terminologin är dock tvetydig. En kub har t.ex. sex sidor (sidoytor) som är begränsade av kanter. Varje sådan sida är en kvadrat som i sin tur begränsas av fyra sidor (!).

De sex kvadraternas sidor är alltså kanter till kuben. Det är viktigt att det sker en progression i undervis-

ningen när det gäller begrepp och terminologi och att elevernas begreppsförråd utvecklas och fördjupas.

Vinklar är ett centralt begrepp inom såväl den plana geometrin som inom rymdgeometrin. Det är bl.a. med hjälp av vinklarna man kan skilja en romb från en kva-drat och avgöra att vissa parallellepipeder är rätblock. Den räta vinkeln har således en särskild betydelse.

För att utveckla elevers rumsuppfattning bör man i undervisningen låta teorin växelverka med praktiken.

Elever behöver få träna sig i att avbilda verkligheten ur olika perspektiv och låta vår tredimensionella värld representeras tvådimensionellt och vice versa.

Likaså att få ha olika kroppar till hands och under-söka dem för att så småningom kunna se och förändra olika objekt mentalt. När man arbetar med geometris-ka figurer och kroppar är det också viktigt att variera de exempel som presenteras för eleverna. En pyramid exempelvis ska inte alltid åskådliggöras med den py-ramid som består av en kvadratisk bottenyta och fyra triangulära sidoytor. En pyramid kan även ha en fem-hörning till bottenyta eller en triangel. Om bottenytan är en liksidig triangel och sidoytorna liksidiga trianglar är denna pyramid även en regelbunden tetraeder. På detta sätt kan geometriska begrepp och deras samband och relationer diskuteras.

Eleverna behöver också förstå skillnad mellan att ”rita” en figur och att konstruera den med hjälp av passare och linjal. Detta tillsammans med kunskap om en del av geometrins grundläggande satser skapar möjlighet för eleverna att kunna resonera, argumentera och dra slutsatser om geometriska samband.

I kursplanens centrala innehåll nämns även Geo-metriska satser och formler. Det handlar då inte om formella bevis enligt Euklides, utan om att bygga upp en känsla för geometrins struktur och att uppleva de estetiska värden som geometrin kan erbjuda. En del av diagnoserna i området förutsätter att eleverna har en god taluppfattning och behärskar grundläggande aritmetik. Vidare krävs för några diagnoser att eleven också behärskar mätning och uppskattning av längd, area och volym.

Didaktiska kommentarer till område G


Ge

om

etri

koMMentarerk

Geometri. Alla diagnoser

GFo1 Grundläggande symmetri

GFo3 Plana figurer

GFo4 Kroppar

GFo7 Pythagoras sats AUp4 Kvadratrötter

GFo8 Geometrisk konstruktion

GFo2 Avbildning

GFo5 Likformighet, begrepp

GFo6 Likformighet, beräkning


GSk3 Avläsa kartor och ritningar

GSk4 Längd-, area-och volymskala

GSk1 Avbildningoch perspektiv

GSk2 Förstoring och förminskning

GVi2 Vinklar, samband

GVi3 Vinklar problemlösning

GVi1 Vinklar


Ge

om

etri

koMMentarerk

Delområde GFo omfattar följande åtta diagnoser:


GFo2 Avbildning

GFo3 Plana figurer

GFo4 Kroppar


GFo6 Likformighet, beräkningar

GFo7 Pythagoras sats

GFo8 Geometriska konstruktioner

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. MGF, Förberedande mät-ning och geometri, utgör förkunskaper även för det här delområdet. Eftersom symmetri är en viktig grund för all geometri finns två diagnoser om symmetri och avbildning, GFo1 och GFo2. Av dessa omfattar GFo1 förkunskaper till GFo3 och även till GFo2. GFo3 omfattar i sin tur förkunskaper till GFo5 och GFo8, samtidigt som GFo5 även kräver förkunskaper från GSk2 och omfattar förkunskaper till GFo6.

Geometriska former. GFo


GFo4 Kroppar

GFo7 Pythagoras sats AUp4 Kvadratrötter

GFo8 Geometrisk konstruktion

GFo2 Avbildning


GFo6 Likformighet, beräkning



GFo3 Plana figurer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Geometri är ett av de övergripande områdena i ma-tematiken och behandlar rummets natur, form och storlek samt egenskaper hos geometriska figurer och kroppar. Den mer formella geometrin handlar inled-ningsvis om att känna igen och klassificera olika geo-metriska figurer och kroppar och att känna till viktiga egenskaper hos dessa. En hel del av detta utgår från begreppet symmetri som därför har en central plats i den grundläggande geometriundervisningen.

Centrala begrepp inom den plana geometrin är sidor, hörn och vinklar. Motsvarande begrepp inom rymdgeometrin är sidor (sidoytor), kanter och hörn. Terminologin är dock tvetydig. Exempelvis har en kub sex sidor (sido-ytor) som är begränsade av kanter. Varje sådan sida är en kvadrat som i sin tur begränsas av fyra sidor (!). De sex kvadraternas sidor är alltså kanter till kuben.

För att kunna följa undervisningen i geometri krävs det att eleverna behärskar ett antal viktiga begrepp. Bland dessa ingår de vanligaste geometriska figurerna och kropparna och deras egenskaper. Symmetri är ett viktigt begrepp i vår omvärld, och kommer till uttryck såväl i naturen som i den vardag människan konstruerat. Symmetri är alltså ett centralt begrepp inom geometrin och med hjälp av symmetri kan man klassificera geometriska figurer och lösa en rad geo-metriska problem. Som exempel har en likbent, men inte liksidig, triangel en symmetrilinje och en liksidig triangel tre symmetrilinjer, vilket ger viktig informa-tion om vinklarnas inbördes storlek.

På motsvarande sätt har de flesta rektanglar två sym-metrilinjer som skär varandra med räta vinklar. En rektangel med fyra symmetrilinjer kallas för kvadrat. Även romben har två vinkelräta symmetrilinjer som samtidigt är diagonaler. En romb med fyra symmetri-linjer är en kvadrat.

Alla symmetriska figurer kan (klippas ut och) vikas utefter symmetrilinjerna varvid de två kongruenta halvorna täcker varandra.

När det gäller de plana månghörningarna, polygo-nerna, så är de uppbyggda av ett antal sträckor (sidor). Dessa sträckor bildar vinklar med varandra. Figurerna benämns i första hand efter antalet hörn: triangel, fyr-hörning, femhörning etc. Man skiljer de olika typerna av figurer med hjälp av sidornas och vinklarnas storlek. Vissa trianglar är likbenta, andra liksidiga eller rätvink-liga. Bland fyrhörningarna kan man urskilja parallello-grammer vars motstående sidor är lika långa. Vissa av dem har räta vinklar och kallas då rektanglar, andra har lika långa sidor och kallas då romber. Om alla sidorna i en rektangel är lika långa eller om alla vinklarna i en romb är 90 grader kallas figuren för kvadrat. I poly-goner med fler än tre sidor kan man dra diagonaler. I en fyrhörning kan man dra två diagonaler och i en femhörning fem diagonaler.

Av de plana figurerna är cirkeln speciell. Från cir-kelns periferi är det alltid lika långt till medelpunkten. Detta avstånd kallas radie och det är radien man ställer in då man ritar en cirkel med hjälp av en passare. En sträcka som är en symmetrilinje till cirkeln kallas för diameter. Diametern går genom cirkelns medelpunkt och är därför dubbelt så lång som radien.

Eftersom egenskaper som symmetri, kongruens och likformighet är viktiga begrepp inom geometrin är det väsentligt att eleverna känner till figurernas namn och egenskaper. Detsamma gäller för kropparna.

De tredimensionella objekten, kropparna, är lite mer komplicerade. Det är därför viktigt att eleverna får se och känna på dessa kroppar och om möjligt även bygga dem. De kommer då att upptäcka att sidoytorna (och mantelytan i en cylinder och en kon) består av plana figurer såsom rektanglar och trianglar (respektive cirkelsektorer). Det korrekta namnet för ett tredimen-sionellt objekt är ”kropp”. I elevdiagnosen används ofta ordet objekt eller föremål.

Det är också viktigt att eleverna kan avbilda krop-par som prisman eller pyramider på ett papper på ett sådant sätt att de kan rita in en rymddiagonal respek-tive en höjd. I annat fall blir det svårt att bestämma längden av rymddiagonalen eller höjden.

Den klassiska geometrin är uppbyggd av defini-tioner och satser. Det är inte nödvändigt att eleverna kan bevisa alla dessa satser, men de bör förstå satsernas innebörd och kunna tillämpa satserna vid problemlös-ning. En bra metod att lära sig de mest intressanta satserna inom den plana geometrin, är att utföra mot-

Didaktiska kommentarer till delområdet GFo


Ge

om

etri

koMMentarerksvarande konstruktioner med passare och linjal. Detta gäller inte minst förmågan att dela en sträcka, konstu-rea mittpunktsnormalen till en sträcka, bisektrisen till en vinkel eller att konstruera den cirkel som omskriver en triangel.


Ge

om

etri

koMMentarerk

Grundläggande symmetriDiagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon kan avgöra om en figur är symmetrisk och i förekommande fall rita in alla symmetrilinjer till figuren.

Uppgifterna behandlar följande innehåll:

1 Avgöra vilka figurer som är symmetriska.

2 Rita samtliga symmetrilinjer i geometriska figurer.

3 Avgöra vilka bokstäver som är symmetriska.

4 Utgående från en halv symmetrisk figur rita hela figuren.

GenomförandeEleverna behöver en linjal. Påpeka gärna att om det finns flera symmetrilinjer så ska alla ritas ut.

För elever som förstått begreppet symmetri tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för dessa uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är kor-rekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet.

En enkel övning på symmetri är att vika ett pappers-ark och rita en halv fjäril, ett halvt blad el. dyl. och sedan klippa ut figuren i det vikta arket. När man sedan viker upp arket får man en symmetrisk figur. Man kan också lägga ett par klickar med vattenfärg på ena halvan av ett pappersark. Genom att vika ihop arket och trycka till så överförs färgen till den andra halvan av arket. När man viker upp arket igen har man en symmetrisk figur.

För att kunna klassificera geometriska figurer är symmetri ett bra hjälpmedel. En likbent triangel, som inte är liksidig, har en symmetrilinje och en liksidig triangel tre. Om en rektangel eller en romb har fler än två symmetrilinjer så är det en kvadrat.

Facit

1a Symmetrisk. 1b Ej symmetrisk.1c Symmetrisk 1d Symmetrisk2a

2b

2c

3a Symmetrisk. 3b Symmetrisk. 3c Ej symmetrisk. 3d Symmetrisk. 3e Ej symmetrisk.

4

Geometriska former | DIaGnoS GFo1


Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Sätt en ring runt de figurer som är symmetriska.

a) b) c) d)

2 Rita in alla symmetrilinjer som finns i dessa figurer.

a) b) c)

3 Sätt en ring runt de bokstäver som är symmetriska.

a) b) c) d) e)

A H F M N4 Det vänstra pappret är vikt längs symmetrilinjen. Rita till höger hur hela figuren ser ut.

DIaGnoS GFo1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

11

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 3e 4 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

AvbildningDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan avbilda figurer genom spegling och vridning.


1–2 Spegling i linje

3 Spegling i sned linje

4–5 Vridning

Den här typen av avbildning kallas för kongruensav-bildning. Vid spegling i en linje blir den ursprungliga figuren och bilden spegelvända. Figuren och bilden bildar tillsammans en ny figur som är symmetrisk och med den givna linjen som symmetrilinje. Även vid vridning blir bilden kongruent med den givna figuren, men bilden är nu ”rättvänd”.

GenomförandeEleverna behöver en linjal. Påpeka gärna att de ska vara noggranna när de ritar.

För elever som förstått hur avbildning går till tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet kun-skaper för denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är kor-rekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Diagnosen GFo1 som behandlar grundläggande symmetri utgör förkunskap till denna diagnos.

Facit

1

2

3

4

P

5

P

Geometrisk former | DIaGnoS GFo2


Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Spegla figuren i linjen


DIaGnoS GFo2


Ge

om

etri

DIaGnoSD


4 Vrid figuren 90o medurs runt punkten P.

P

DIaGnoS GFo2


Ge

om

etri

DIaGnoSD

5 Vrid figuren 180° runt punkten P.

P

DIaGnoS GFo2

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

16

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Plana figurer Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan namnge/klassificera ett antal geometriska figurer och identifiera deras egenskaper.


1 Namnge åtta plana figurer.

2 Rita en diameter och en radie i en given cirkel.

3 Avgöra vilka två sidor i en parallelltrapets som är parallella.

4 Rita in diagonalerna i tre figurer.

GenomförandeTala om för eleverna att det kan finnas flera figurer av varje slag i uppgift 1 och att de helst bör rita med linjal i uppgifterna 2 och 4. Samma figur kan ha olika namn beroende på hur långt man vill specificera dess egenskaper – fyrhörningarna 1 och 6 är t.ex. inte bara kvadrater utan även romber och rektanglar.

För elever som förstått de här aspekterna av geome-triska former tar det 4–5 minuter att genomföra diag-nosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för de här uppgifter-na. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund.

För att komma vidare inom geometrin behöver eleverna känna till ett antal figurers namn och egenska-per. Detta lär sig eleverna genom att man pratar om de vanligaste figurerna och analyserar figurerna ur olika aspekter. En bra metod är att rita figurerna, klippa ut dem och undersöka deras symmetriegenskaper. Därför utgör GFo1 förkunskaper till denna diagnos.

Facit

1a 1, 3 och 6 är rektanglar. 1b 2 och 8 är trianglar. 1c 1 och 6 är kvadrater. 1d 1, 4 och 6 är romber. 1e 1, 3, 4, 5 och 6 är parallellogram.

2a 2b

3

4a 4b

4c

I uppgift 1 kan man ställa olika krav på eleven. Det kan vara svårt att inse att en kvadrat också är en rektangel och att kvadraten också är en romb. Däre-mot bör eleven känna igen en kvadrat även om den är ”vriden” 45 grader.

Triangeln i uppgift 4 c saknar diagonaler.



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Vilka av de här figurerna är: (skriv nummer)

a) rektanglar?_____________ b) trianglar? _____________

c) kvadrater? _____________ d) romber? _____________

e) parallellogrammer? _____________

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

2 Rita in en diameter i cirkel a. Rita in en radie i cirkel b.

a) b)

3 I den här figuren är två sidor parallella. Sätt ett x på de sidorna.

DIaGnoS GFo3


Ge

om

etri

DIaGnoSD

4 Rita alla diagonaler du kan i de här figurerna figurer.

a) b) c)

DIaGnoS GFo3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

20

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1a 1b 1c 1d 1e 2a 2b 3 4a 4b 4c Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

KropparDiagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan namnge kroppar och identifiera deras egenskaper.


1 Kroppars namn.

2 Kubens egenskaper.

3 Pyramidens egenskaper.

4 Figurer som bygger upp kroppar.

GenomförandeEleverna kanske inte har mött alla de här geometriska kropparna än. Tala om för dem att de i så fall antingen försöker eller också hoppar över just den figuren. För-klara för eleverna att de i uppgift 4 ska utgå från krop-parna till vänster och beskriva hur de är uppbyggda av tvådimensionella figurer.

För elever som förstått de här aspekterna av geome-triska former tar det 5–6 minuter att genomföra diag-nosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för dessa uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se

vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund.

Det kan ibland vara svårt för eleverna att känna igen och benämna de tredimensionella geometriska kropparna och att identifiera dess delar. Det är därför angeläget att de får studera och identifiera egenska-per hos olika föremål såsom lådor, burkar och olika förpackningar. Lika angeläget är det att de får bygga de olika föremålen i papper. Kunskaper om de plana figurerna, vilket ingår i GFo3, utgör förkunskap till denna diagnos.

Facit

1a Klot eller sfär. 1b Pyramid. 1c Kub. 1d Cylinder.1e Rätblock. 2a 6 2b 8 2c 123a 5 (Man kan även acceptera svaret 4 om man inte räknar basytan som sidoyta. Jämför svaret till 2a.)3b 5 3c 8

4a

4b 4c

4d

När det gäller uppgift 4c kan man också tänka sig svaret 4 trianglar om basytan är en triangel.

På motsvarande sätt kan man i 4d även tänka sig 2 kvadrater och 4 rektanglar.

6

1 2

1 4

6

2 4



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Vad kallas dessa objekt (kroppar)?

a) b) c) d) e)

Svar: a kallas __________________ b kallas _____________________

c kallas _______________________ d kallas _____________________

e kallas _______________________

2 En kub har (skriv hur många)

a) _________ sidoytor b) _________ hörn c) _________ kanter

3 En pyramid vars basyta är en kvadrat har (skriv hur många)

a) _________ sidoytor b) _________ hörn c) _________ kanter

DIaGnoS GFo4


Ge

om

etri

DIaGnoSD

4 Vilka av formerna i den översta raden behöver du för att bygga föremålen till vänster i tabellen?

Skriv i rätt rutor hur många av figurerna du behöver använda.

a)

b)

c)

d)

DIaGnoS GFo4

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

24

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1a 1b 1c 1d 1e 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 4d Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Likformighet, begreppDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon behärskar begreppet likformighet.


1–6 Begreppsliga aspekter av likformighet.

GenomförandeFör elever som förstått de här aspekterna av likformig-het tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i all-mänhet tillräckliga kunskaper för dessa uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på

en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Användbara förkun-skaper för att arbeta med denna typ av uppgifter om likformighet är kunskaper om skala, förstoring och förminskning, som behandlas i diagnos GSk2.

Facit

1 a, c, d 2 c, d3 a, c4 a) 3,5 cm b) 60° c) 10,5 cm5 a, c, e, f 6 a, b, d, e



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Ringa in de figurer som är likformiga med den här triangeln.

a) b) c) d)

2 Sätt X för de påståenden som är sanna. Två likformiga plana figurer har alltid

a) samma omkrets.

b) samma area.

c) samma vinkelsumma.

d) lika många hörn.

3 Tänk dig att romben nedan förstoras i skala 2:1. Sätt X för de påståenden som är sanna.

a) Romberna är likformiga.

b) Romberna har samma area.

c) Romberna har samma vinkelsumma.

d) Romberna har samma omkrets.

DIaGnoS GFo5


Ge

om

etri

DIaGnoSD

4 I den liksidiga triangeln ABC har man ritat en sträcka DE som är parallell med AB och hälften så lång som AB. Sträckan AB är 7 cm.

Bestäm

a) sträckan CD __________ cm

b) vinkeln CDE __________ °

c) omkretsen av triangeln CDE __________cm

5 Sätt X för de påståenden som är sanna.

a) Alla liksidiga trianglar är likformiga.

b) Alla likbenta trianglar är likformiga.

c) Alla kvadrater är likformiga.

d) Alla rektanglar är likformiga.

e) Alla regelbundna femhörningar är likformiga.

f ) Alla cirklar är likformiga.

6 I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och DC parallella och AD = BC.

Sätt X för de påståenden som är sanna.

a) ABE är likformig med CDE.

b) AED är likformig med BEC.

c) ABE är kongruent med CDE.

d) AED är kongruent med BEC.

e) Triangeln ABE är likbent.

A B

C

D E

A B

CD

E

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

28

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4a 4b 4c 5 6 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Likformighet, beräkningarDiagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan lösa uppgifter som handlar om likformighet.


1 Likformighet där vertikalvinklar och alternatvinklar vid parallella linjer är lika stora.

2 Likformighet där bågvinklar och vertikalvinklar är lika stora.

3 Likformiga rätvinkliga trianglar.

4 Likformiga trianglar, transversalsatsen.

GenomförandeFör vissa diagnoser är tiden en viktig faktor, exempelvis då man testar om eleven behärskar grundläggande arit-metik. Den här diagnosen, däremot, skall inte göras på tid. Tvärtom är det viktigt att eleven ges utrymme att fundera igenom problemställningarna och formulera sina lösningar. Detta innebär förstås inte att eleverna ges hur lång tid som helst – saknar eleven tillräcklig kunskap, hjälper inte all tid i världen. Försök att själv bedöma ungefär hur lång tid som är lämpligt, exempel-vis genom att studera en elev som behärskar området väl. Avbryt sedan efter ytterligare tio minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.


Uppgifter av det här slaget kan man lösa med hjälp av några grundläggande ”Geometriska relationer, satser och formler”. Uppgifterna kräver en erfarenhet och förståelse av geometri. Detta övar man upp genom att resonera med eleverna om geometri. För uppgifterna i denna diagnos krävs till exempel förkunskaper om parallellitet, median, likformighet samt kordasatsen eller bågvinkelsatsen.

Facit

1 35 cm2 3 cm 3 4,8 cm

4 EF ___ FA = 1 __ 2



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 I figuren är AB parallell med CD. AE = 30 cm, EC = 60 cm och DC = 70 cm.

Bestäm längden av AB.

Svar: ___________________

D

E

A B

C

2 I figuren är vinkeln B = vinkeln C. Alltså är ABE likformig med DEC.

Bestäm längden av AB om CD är 12 cm, AE är 2 cm och DE är 8 cm.

Svar: ___________________

3 I den rätvinkliga triangeln ABC är sidorna 6 cm, 8 cm och 10 cm. AD är vinkelrät mot BC.

Bestäm längden av AD.

Svar: ___________________

C

A

D

B

4 I triangeln ABC dras medianerna från A och B. De skär sidorna AC och BC i deras mittpunkter D och E.

I vilket förhållande delar punkten F Sträckan AE?

Svar: ___________________

D

C

A B

F

E

D

A

B

E

C

DIaGnoS GFo6

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

31

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Pythagoras satsDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan lösa uppgifter med hjälp av Pythagoras sats.


1 Bestämma längden av diagonalen i en rektangel.

2 Bestämma avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

3 Bestämma rymddiagonalen i ett rätblock.

4 Bestämma arean (höjden) i ett parallelltrapets där två vinklar är räta.

5 Bestämma arena av en kvadrat när man vet att dia-gonalen i en kvadrat med sidan 2 är √2.

GenomförandeFör elever som förstått Pythagoras sats tar det cirka 10 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använ-der betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan där-för vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 20 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.


Uppgifter av det här slaget kan man lösa med hjälp av några grundläggande ”Geometriska relationer, satser och formler”, i det här fallet Pythagoras sats och kvadratrötter (AUp4). De flesta av uppgifterna kan lösas av den som har lite känsla för geometri. Detta övar man upp genom att resonera med eleverna om geometri.

Facit

1 13 m2 5 längdenheter. 3 √

____

244 cm = 2 √ ___

61 ≈ 15,6 cm.4 30 cm². 5 Dubbelt så stor.



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 En rektangel har sidorna 5 m och 12 m. Bestäm längden av diagonalen

Svar: __________________

2 Hur långt är det från punkten (2, 7) till punkten (5, 11) i ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem?

Svar: __________________

x (2, 7)

x (5, 11)

y

x

3 I ett rätblock är kanterna 6 cm, 8 cm och 12 cm. Hur lång är rymddiagonalen?

Svar: __________________ 12 cm

6 cm

8 cm

4 Bestäm arean av parallelltrapetset ABCD. AB är 9 cm, BC är 5 cm och CD 6 cm. Vinklarna A och D är räta.

Svar: __________________ cm2

D

A

C

B

5 Hur många gånger större är den omskrivna kvadratens area än den inskrivna kvadratens area?

Svar: __________________

DIaGnoS GFo7

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

34

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev



Ge

om

etri

koMMentarerk

Geometrisk konstruktionDiagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har förståelse av geometriska begrepp och kan utföra grundläggande geometriska konstruktioner


1 Konstruera mittpunktsnormal.

2 Konstruera bisektris.

3 Konstruera normal till en linje genom en punkt.

4 Konstruera en triangels medianer.

GenomförandeFör att lösa uppgifterna krävs passare och graderad linjal.

För elever som förstått de här begreppen tar det cirka 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet kun-skaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6–7 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.


Facit

1

A B

2

3 P

L

4



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Konstruera med hjälp av passare och linjal mittpunktsnormalen till sträckan AB.

A B

2 Konstruera med hjälp av passare och linjal bisektrisen till följande vinkel.

3 Konstruera en normal från punkten P mot linjen L.

L

P

DIaGnoS GFo8


Ge

om

etri

DIaGnoSD

4 Rita ut triangelns medianer. Använd graderad linjal.

DIaGnoS GFo8

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

38

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Delområdet GSk omfattar följande fyra diagnoser:

GSk1 Avbildning och perspektiv



GSk4 Längd-, area- och volymskala

Delområdet bygger på att eleverna behärskar längd-mätning, vilket diagnostiseras inom MLä.

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i struk-turschemat nedan. Av detta framgår att MGF, Förbe-redande mätning och geometri omfattar förkunskaper till GSk1, Avbildning och perspektiv som i sin tur är förkunskap till de två övriga diagnoserna GSk2 och GSk3. Diagnos GSk4 kräver även förkunskaper från GFo3 och likformighet.

Skala. GSk



GSk4 Längd-, area-och volymskala

GSk1 Avbildningoch perspektiv



Ge

om

etri

koMMentarerk

Skolans undervisning handlar om olika aspekter av geometri, dels rumsuppfattning, dels en mer formell geometri. Rumsuppfattning handlar om att orientera sig i rummet/omvärlden och att kunna beskriva före-målen och deras lägen i rummet. Det handlar också om att kunna se samma föremål eller kropp ur olika perspektiv. Triangeln till vänster är rätvinklig och figu-ren till höger är en kvadrat, vilket är enklare att se om man ser figurerna från ett annat håll eller vrider dem.

Dagligen tolkar vi, direkt eller indirekt, figurer som är avbildade i en viss skala. Varje foto i en dagstidning eller bilden på TV-skärmen är förminskad eller försto-rad. Vi använder också skalbegreppet intuitivt när vi uppfattar att en bil som på avstånd ser ut att vara 2 cm hög, istället är lika stor som bilen bredvid oss.

På en mer formell nivå möter vi skala på ritningar och kartor. Dessa kan tolkas på två olika sätt. Dels kan man på kartan eller ritningen se en bild av en ”linjal” där man alltså kan avläsa hur långt 100 m är på kartan

eller hur lång 1 cm är på ritningen. Alla mätningar kan då ske med den avbildade ”linjalen”. Dels kan man ange skalan till exempel 1:20 000 på kartan eller 5:1 på ritningen. 1:20 000 betyder då att 1 längdenhet på kartan svarar mot 20 000 längdenheter i verklig-heten, alltså att 1 cm på kartan svarar mot 20 000 cm = 200 m i verkligheten. På motsvarande sätt innebär skala 5:1 att 5 cm på ritningen svarar mot 1 cm i verk-ligheten. Det kan till exempel handla om en förstorad bild av en insekt.

Skala är en central kunskap för att kunna orientera sig i omvärlden och läsa kartor, tolka ritningar i slöjden et cetera.

Eleverna kommer under sin skoltid även att möta skala i samband med likformighet.

När det gäller area- och volymskala bör eleverna få förståelse för relationen mellan dessa skalor, genom att den åskådliggörs exempelvis med hjälp av rutnät och centikuber. Då kan de se vad som händer med en kvadratisk- eller rektangulär yta respektive en kub eller ett rätblock om man fördubblar alla sidor/kanter. Ur denna erfarenhet kan de sedan genom diskussion dra slutsatsen om hur många gånger större arean och volymen blir. Det får inte endast bli en utantillkunskap om hur många steg kommatecknet ska flyttas eller hur många nollor som ska läggas till.

Didaktiska kommentarer till delområdet GSk


Ge

om

etri

koMMentarerk

Avbildning och perspektivDiagnosen omfattar två uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon kan avbilda en given figur och att hon kan se en bild ur olika perspektiv. Den elev som inte kan identifiera en figurs form får svårt att arbeta med skala.


1 Avbilda en given figur (till hjälp har eleven ett rutmönster).

2 Beskriva placeringen av föremål ur ett visst perspektiv.

GenomförandeInled gärna med att tala om för eleverna att Ali och Bea sitter på olika sidor av ett bord och att de ser före-målen på bordet från olika håll. Frågan är vad Bea ser från sitt håll.

För elever som förstått de här aspekterna av avbild-ning och perspektiv tar det 2–3 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6–8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Den första uppgiften har många tillämpningsområden, t.ex. när man gör julpyssel. Passa på att vid sådana tillfällen knyta arbetet till geometri. Att kunna rita en korrekt figur är ofta en förutsättning för att lösa geo-metriska problem. Det här är en kunskap som också kan övas i samband med ämnet slöjd.

Uppgift 2 är en viktig förkunskap för både plangeo-metri och rymdgeometri. Elever bör till exempel se att följande figurer är en likbent triangel och en kvadrat.

Mycket av det som avbildas tvådimensionellt, till exempel på en karta, är i verkligheten tredimensionellt. Att gå från ett tvådimensionellt tänkande till ett tredi-mensionellt är en central kunskap såväl inom geome-trin som i vardagslivet.

Att kunna tänka i tre dimensioner är en förutsätt-ning för att kunna bestämma höjden i en tetraeder eller rymddiagonalen i en kub.

Facit

1 Bilden ska se likadan ut som förlagan.2 Rätt svar är c.

Skala | DIaGnoS GSk1


Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 Rita en exakt likadan figur till höger i rutnätet.

2 På ett runt bord ligger ett klot, en pyramid och en kub. Vid bordet sitter personerna Ali (A) och Bea (B). (Se bilden). Hur ser Bea de tre sakerna? Ringa in rätt svar:

a) b)

c) d)

DIaGnoS GSk1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

43

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Förstoring och förminskningDiagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjligheter av visa att hon behärskar olika aspekter av begreppet skala.


1 Avgöra i vilken skala en figur (skala 2:1) är avbildad, t.ex. genom att mäta två motsvarande sidor.

2 Avgöra i vilken skala en figur (skala 1:3) är avbildad, t.ex. genom att mäta och jämföra cirk-larnas diametrar.

3 Rita en bild i skala 3:1 dvs. göra en förstoring.

4 Avgöra, med hjälp av en angiven skala, hur stora två avbildade djur är i verkligheten.

GenomförandeDe här uppgifterna förutsätter att eleven har tillgång till en graderad linjal. Eftersom det kan vara svårt att skilja mellan skalor som 3:1 och 1:3 har uppgifterna formulerats så att detta problem har eliminerats.

För elever som förstått de här aspekterna av skala tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 7–8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av

uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdena. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund.

Uppgifter med skala av det här slaget förekommer i en rad situationer inte minst inom slöjd och i lärome-del i NO-ämnen. En bra övning är att låta eleverna avbilda eller klippa ut figurer enligt en given skala. Börja med dubbelt och hälften. Elever som gjort fel på uppgift 2 har troligen inte uppfattat att en cirkel de-finieras genom sin diameter(radie) och får därigenom svårigheter att finna längder att jämföra.

Facit

1 Skala 2:12 Skala 1:33

Var noga med att alla sträckor är just 3 gånger så stora/långa som på originalet.

4a Ca 15 mm eller 1,5 cm.4b Ca 4m. Svaret 400 cm är korrekt men mindre bra. Svaret på 4a och 4b kan variera något beroende på hur uppgiften har kopierats.



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

Material: En graderad linjal

1 Bilden till höger är förstorad. Vilken skala är bilden ritad i? Fyll i rutan under bilden.

Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1:1) Svar: Bild i skala ________ :1

2 Bilden till höger är förminskad. Vilken skala är bilden ritad i? Fyll i rutan under bilden.

Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1:1) Svar: Bild i skala 1: ________

DIaGnoS GSk2


Ge

om

etri

DIaGnoSD

3 Till höger om figuren ska du rita en bild av figuren i skala 3:1.

4 De här figurerna är avbildade i olika skalor. Hur långa är föremålen i verkligheten?

a) Nyckelpigan är _______ cm lång. b) Giraffen är _______ m lång.

DIaGnoS GSk2

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

47

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4a 4b Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Avläsa kartor och ritningarDiagnosen omfattar tre uppgifter där eleven ges möjlig-het att visa att hon kan tolka en karta eller en ritning.


1 Bestämma avståndet mellan två orter (till hjälp finns på kartan en ”linjal” som anger hur långt 10 kilometer är).

2 Bestämma avståndet över en sjö (i detta fall anges skalan som 1:20 000 vilket innebär att 1 cm på kartan motsvaras av 200 m i verkligheten).

3 Avgöra ett föremåls verkliga mått med hjälp av en angiven skala.

GenomförandeFör elever som förstått de här aspekterna av skala tar det 2–3 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet till-räckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6–7 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

Kartan i uppgift 1 kan bytas ut mot en motsvarande lokal karta. Notera dock att det måste vara en karta med skalan i form av ”linjal”. Å andra sidan ser man med hjälp av den här kartan om eleven har en mer generell kunskap om kartskalor.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppfölj-ningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Förkunskaper till denna diagnos GSk3 är GSk2, förstoring och förminskning, samt kunskaper om enhetsomvandling för längdenheter MLä3.

Uppgifter av det här slaget lär man sig lösa med hjälp av praktiska övningar. Använd en lokal karta, orienteringskartor från idrotten eller en karta över närområdet. Låt eleverna bestämma ett avstånd, t.ex. genom att först stega och därefter mäta samma sträcka på kartan. På motsvarande sätt kan ritningar eller mönster från slöjden användas. Här kan man visa både ritningen och den färdiga produkten och jämföra motsvarande sträckor.

Facit

1 Ca 3 mil (ca 30 km) från centrum till centrum.2 Ca 1,6 km (ca 1 600 m). 160 000 cm är ett olämpligt svar.3a Ca 33 cm lång. 3b Ca 14 cm bred. De här måtten kan skilja sig något åt beroende på kopieringen.



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

Material: En graderad linjal.

1 På den här kartan kan man se skalan längs ned till vänster. Använd skalan för att ta reda på ungefär hur långt är det är mellan Varberg och Falkenberg i verkligheten.

Svar: _______________________

10 km0

DIaGnoS GSk3


Ge

om

etri

DIaGnoSD

2 På en karta kan du se den här sjön. Du ska paddla från bryggan vid S till bryggan vid M. Kartan är ritad i skala 1:20 000. Ungefär hur långt är det från S till M i verkligheten?

Svar:___________________

3 Den här skärbrädan är ritad i skala 1:5. Hur lång och hur bred är skärbrädan i verkligheten?

Svar: a) _______ cm lång och b) _______ cm bred

DIaGnoS GSk3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

51

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3a 3b Kommentarer


Ge

om

etri

KOMMENTARERK

Längd – Area – VolymskalaDiagnosen omfattar 6 uppgifter där eleven ges möjlig-heter att visa att hon förstår relationen mellan längd-skala, areaskala och volymskala


1–3 Relationen mellan längdskala och areaskal.

4–7 Relationen mellan längdskala och volymskala.

GenomförandeHär gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma.

Bifoga ett lösblad där eleven kan redovisa sina lösningar.

För elever som förstått längd – area – volymskala tar det cirka 10 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänt tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 15 minuter. Skriv i resultatblan-ketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och vari bristerna kan ha sin grund. Konkretiserande arbete för att låta eleverna upptäcka sambandet mellan längd-, area- och volymskala parallellt med bearbetning av formlerna för area och volym för olika geometriska objekt kan vara en väg till förståelse hos eleverna.Förkunskaper krävs från MVo5 och MAr5 men tanken är att eleverna ska använda längd-, area- och volym-skala i denna diagnos.

Facit

1 63 cm2 2 640 cm2 3 7200m2 4 8 cm3

5 200 cm3 6 9 m7 Uppgift 7 borttagen

Skala| DIAGNOS GSk4


Ge

om

etri

DIAGNOSD

Namn Klass

1 En triangel har arean 7 cm2. Triangeln förstoras i skala 3:1. Bestäm den nya triangelns area.

Svar: __________________________

2 En papperslåda, med formen av ett rätblock, har begränsningsarean 80 cm2. Hur mycket mer papper går det åt om du ska tillverka en kartong med tre gånger så långa kanter? (svara i cm2)

Svar: __________________________

3 En rektangulär tomt avbildas på en karta med längdskalan 1:3 000. Hur stor är tomtens area om tomten är 8,0 cm2 på kartan? (svara i m2)

Svar: __________________________

4 Ett prisma har volymen 64 cm3. Prismat förminskas i skala 1:2. Hur stor är volymen på det förminskade prismat.

Svar: __________________________

5 En cylinder har volymen 25 cm3. Man förstorar cylindern i skala 2:1. Hur stor volym har den nya cylindern?

Svar: __________________________

6 En bassäng har volymen 200m3. En annan bassäng har tre gånger så långa kantlängder (längd, bredd och djup). Beräkna den större bassängens djup om dess bottenarea är 600 m2.

Svar: __________________________

7 Uppgiften borttagen.

DIAGNOS GSk4

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

54

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Delområde GVi omfattar följande tre diagnoser:

GVi1 Vinklar



Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Diagnoserna GVi1, GVi2 och GVi3 är av olika komplexitet, från enkel vinkel-mätning till satser om vinklar och problemlösning.

Vinklar. GVi

GFo3 Plana figurer



GVi1 Vinklar


Ge

om

etri

koMMentarerk

Vinkel är ett centralt begrepp inom såväl den plana geometrin som inom rymdgeometrin. Det är exem-pelvis med hjälp av vinklarna man kan skilja en romb från en kvadrat och avgöra att vissa parallellepipeder är rätblock. Den räta vinkeln har således en särskild betydelse.

En vinkel kan definieras på två sätt, antingen som området mellan vinkelbenen eller som storleken av den vridning som krävs för att lägga det ena vinkelbenet ovanpå det andra. Den senare definitionen brukar vara enklare att förstå för eleverna. I de fall man pratar om området mellan vinkelbenen kan eleverna få (miss-)uppfattningen att längden på vinkelbenen påverkar vinkelns storlek.

En vinkel definieras av två ben (streckat och grått i figuren nedan) som utgår från en gemensam punkt (vinkelspetsen). Figuren visar vinkeln 30° mellan det streckade och det grå vinkelbenet. Vrids det streckade benet ett helt varv är motsvarande vinkel 360°. Om vridningen av ett vinkelben är ett fjärdedels varv är vin-keln 90°, en rät vinkel (se figuren) och om vridningen är ett tolftedels varv är vinkeln 30°.

Vid mätning med gradskiva gäller det att mäta rätt vinkel, den som markerats med en båge. Det är också viktigt att man direkt kan känna igen vissa vinklar och därmed ange vinklars närmevärden. Sådana vinklar är den räta vinkeln, 90°, en halv rät vinkel, 45° och vink-larna i en liksidig triangel, 60°. Hälften av 60° är 30°.

Vid lösning av problem som handlar om vinklar förutsätts att eleverna har en god taluppfattning och behärskar grundläggande aritmetik.

Eftersom trianglar, fyrhörningar och andra månghör-ningar är uppbyggda av sträckor och vinklar är vinklar och vinkelmätning centrala begrepp inom geometrin. Genom att riva av de tre hörnen i en triangel och foga samman dem kan man sluta sig till att vinklarna tillsammans bildar ett halvt varv. Vinklarnas summa är således 180°. Eftersom en fyrhörning är uppbyggd av två trianglar är dess vinkelsumma 360°.

C C

C

B

B

BA

A

A

C C

C

B

B

BA

A

A

I det centrala innehållet för årskurs 7–9 nämns ”Geometriska satser och formler och behovet av argumentation för deras giltighet”. Detta bör genomsyra undervisningen betydligt tidigare. Genom att, i figuren nedan, utgå från att a + b = 180° och att b + c = 180° finner man t.ex. att och a = c, alltså att vertikalvinklarna är lika stora.

C C

C

B

B

BA

A

A

På motsvarande sätt kan man visa att yttervinkeln till en triangel är lika stor som summan av de två motsatta inre vinklarna.

I årskurs 7–9 bör man följa upp detta med fler satser som exempelvis satserna om bågvinklar och medelspunkstvinklar, vilket i sin tur leder till intres-santa egenskaper om trianglar och fyrhörningar som är inskrivna i en cirkel.

Didaktiska kommentarer till delområdet GVi


Ge

om

etri

koMMentarerk

Mäta och rita givna vinklarDiagnosen omfattar tre uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan skilja mellan spetsiga och trubbiga vinklar, mäta vinklar och rita vinklar med hjälp av linjal och gradskiva.


1 Benämna vinklar: räta, spetsiga eller trubbiga.

2 Mäta vinklar med gradskiva.

3 Rita givna vinklar med hjälp av gradskiva.

GenomförandeDe här uppgifterna kräver att eleverna har tillgång till gradskiva och linjal. Uppgifterna kräver också en viss noggrannhet.

För elever som förstått de här aspekterna av vinklar tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdena. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund.

Att mäta och rita vinklar lär man sig genom att själv få mäta och rita vinklar. Det är också bra att kunna uppskatta vinklars storlek. En rät vinkel (90 grader) finner man i en kvadrat. Hälften av den vinkeln är 45 grader. Vinkeln 60 grader finner man i en liksi-dig triangel. Ritar man höjden i en liksidig triangel så kommer den att dela vinkeln 60 grader i två delar som är vardera 30 grader. Genom att kombinera dessa vinklar med ett helt eller ett halvt varv kan man finna storleken av vinklar som är 120 grader, 135 grader, 270 grader osv.

Facit

1a C 1b D 1c A, B, E och F.2a Ca 43 grader. 2b Ca 137 grader. 2c 90 grader. Lägg märke till att vinklarna a och b i uppgift 2 tillsammans är 180°.

3a

3b

3c

Lägg märke till att vinkeln 270º är större än ett halvt varv. Det gäller då att markera rätt vinkel. Man kan utnyttja det faktum att 360 – 270 = 90.

Vinklar | DIaGnoS GVi1


Ge

om

etri

diagnosd

diagnos gVi1

Namn Klass

Material: Gradskiva och linjal

1 Vilken eller vilka av vinklarna A–F är

a) räta ________________

b) trubbiga ________________

c) spetsiga ________________

A

a

b

c

B

C

D

F

E

2 Bestäm vinklarnas storlek med hjälp av en gradskiva. Svara i hela grader.

a) Vinkeln a är ________________ grader.

b) Vinkeln b är ________________ grader.

c) Vinkeln c är ________________ grader.

A

a

b

c

B

C

D

F

E


Ge

om

etri

diagnosd

3 Rita med hjälp av gradskiva en vinkel som är

a) 45 grader. Markera vinkeln med en båge.

b) 120 grader. Markera vinkeln med en båge.

c) 270 grader. Markera vinkeln med en båge.

diagnos gVi1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

60

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Grundläggande samband mellan vinklarDiagnosen omfattar tre uppgifter som ger eleven möj-ligheter att visa att hon kan beräkna enkla uppgifter som handlar om vinklar i en triangel. En av uppgifter-na bygger på att ett halvt varv är 180 grader och de två andra på att vinkelsumman i en triangel är 180 grader.


1 Utgående från en given vinkel bestämma två andra vinklar.

2 Bestämma en vinkel i en triangel när de två övriga vinklarna är kända.

3 Bestämma vinklarna i en likbent triangel när en av vinklarna är given.

GenomförandeTala om för eleverna att de här uppgifterna ska lösas med hjälp av enkel logik (resonemang). Gradskiva ska inte användas. Om eleverna mäter vinklarna blir svaret fel eftersom de angivna måtten inte helt överensstäm-mer med figuren.

För elever som förstått de här aspekterna av vinklar tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdena. Här kan man att det krävs förkunskaper från diagnos GVi1 för denna diagnos.

De här uppgifterna behandlar grundläggande sam-band mellan vinklar. Detta är en inledning till geome-trisk problemlösning.

Facit

1a 148 grader. 1b 32 grader. Eleven kan t.ex. utnyttja att 32° + a = 180° vilket ger a = 148°. Vinkel b kan bestämmas på mot svarande sätt eller genom symmetri.2 75 grader. Uppgiften kan lösas genom att vinkelsumman i en triangel är 180° alltså som 180 – 46 – 59. 3a 30 grader. 3b 120 grader. Uppgiften kan lösas med hjälp av symmetri i kombination med att vinkelsumman i en triangel är 180°.



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

Gradskiva ska inte användas här!

1 Om den givna vinkeln är 32°. Hur stor är då

a) vinkel a? Svar: ________________

b) vinkel b? Svar: ________________

32º

46º

59º

a

b

B

A

C

BA

C

2 Om vinkel A i en triangel är 59° och om vinkeln B är 46°, hur stor är då vinkeln C?

Svar: Vinkeln C är ________________

32º

46º

59º

a

b

B

A

C

BA

C

3 Den här triangeln är likbent. Vinkeln A är 30°.

a) Hur stor är vinkel B? Svar: ________________ grader.

b) Hur stor är vinkel C? Svar: ________________ grader.

32º

46º

59º

a

b

B

A

C

BA

C

DIaGnoS GVi2

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

63

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2 3a 3b Kommentarer


Ge

om

etri

koMMentarerk

Vinklar, problemlösningDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan lösa uppgifter som handlar om vinklar och satser om vinklar.


1 Bestämma vinklarna i en femhörning där två vinklar är räta och tre vinklar är lika stora.

2 Bestämma vinklarna i en parallellogram där vinkel A är hälften så stor som vinkel B.

3 Bestämma vinklarna i en fyrhörning när man känner relationen mellan vinklarnas storlek.

4 Bestämma vinklarna i en regelbunden åttahörning.

5 Bestämma storleken av vinklarna i en pentagram.

GenomförandeFör elever som förstått de här aspekterna av vinklar tar det 6–8 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 15 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för delområdena. Här kan man se vilka förkun-skaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund.

Uppgifter av det här slaget kan man lösa med hjälp av några grundläggande ”Geometriska relationer, satser och formler” och enkel ekvationslösning. Uppgifterna kräver en erfarenhet och förståelse av geometri. Detta övar man upp genom att resonera med eleverna om geometri. För uppgifterna i denna diagnos krävs till exempel förkunskaper från GVi2 och ekvationslösning i TAe2.

Facit

1 120°2 A = C = 60° och B = D = 120°3 36°4 135°5 36°



Ge

om

etri

DIaGnoSD

Namn Klass

1 I en femhörning är vinklarna A och B räta. De tre övriga vinklarna är lika stora. Hur stora är vinklara C, D och E?

Svar: _____________

A

E

D

C

B

2 I en parallellogram ABCD är vinkeln A hälften så stor som vinkel B. Bestäm alla vinklarna.

Svar: A = C = _____________ B = D= _____________

BA

CD

3 I en fyrhörning är vinkeln D dubbelt så stor som vinkeln C och vinkeln C dubbelt så stor som vinkeln A. Vinkeln B är 3 ggr så stor som vinkeln A. Hur stora är vinkel A?

Svar: _____________

4 Hur stora är vinklarna i en regelbunden åttahörning?

Svar: _____________

5 Bestäm vinklarna A, B, C, D och E i en pentagram.

Svar: _____________

A B

C

D

E

DIaGnoS GVi3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

66

Geometrir

eS

Ult

atr


Uppgift nrElev


Documents

Geometri. G är ett av de centrala områdena i matemati-ken och behandlar rummets struktur, form och storlek samt egenskaper hos geometriska figurer och kroppar. Skolans undervisning