Geometría y medición - Universiteit Utrecht … · En esta unidad, explorarás diversas figuras bidimensionales y cuerpos tridimensionales, y aprenderás cómo se relacionan. Construirás

Paquetesy polígonosGeometría ymedición

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center for EducationResearch (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad de Educación,de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute (InstitutoFreudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo del subsidio n.° 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional para las Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo delsubsidio n.° ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores

y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Kindt, M., Abels, M., Spenc, M. S., Brinker, L. J. y Burrill, G. (2006). Paquetes ypolígonos. Wisconsin Center For Education Research & Freudenthal Institute (Eds.),Las matemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usosaplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedadintelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, queincluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisivao por otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto auna licencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago,IL 60610.

ISBN 0-03-093051-0

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Martin Kindt desarrolló la primera versión de Paquetes y polígonos. La adaptación para suuso en las escuelas estadounidenses es de Mary S. Spence, Laura J. Brinker y Gail Burrill.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Fae Dremock Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A. Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtMary Ann Fix Mary S. SpenceSherian Foster

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Martin Kina desarrollaron la versión revisada de Paquetes y polígonos. La adaptaciónpara su uso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burrill.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCordinadora editorial Cordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y ellogotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas deEncyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (todas) © Getty Images; (medio) © Kaz Chiba/PhotoDisc

Ilustraciones1 Holly Cooper-Olds; 15, 17, 18 (arriba), 20 (abajo), 24 (arriba), 45, 47 (abajo),52, 54 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.

Fotografías14, 15 Andy Christiansen/HRW; 23 Victoria Smith/HRW; 26 ©PhotoDisc/Getty Images; 27 © Comstock, Inc.; 34 Mark Haughton; 36 © Bettmann/Corbis; 43 (arriba, abajo) Sam Dudgeon/HRW; (medio)Stephanie Friedman/HRW; 44 Victoria Smith/HRW; 46 Sam Dudgeon/HRW;47 Andy Christiansen/HRW; 49 (arriba) Sam Dudgeon/HRW; (abajo) VictoriaSmith/HRW; 50 Sam Dudgeon/HRW; 53, 56 © PhotoDisc/Getty Images

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Contenido V

Carta al alumno VISección A Paquetes

Clasificar paquetes 1Hacer plantillas 3Caras 8Problemas con plantillas 9Resumen 10Verifica tu trabajo 12

Sección B Modelos de barrasHacer modelos de barras 14Estructuras estables 16Resumen 20Verifica tu trabajo 21

Sección C PolígonosPonle la tapa 23Pentágono 26Ángulos 27Resumen 28Verifica tu trabajo 29

Sección D PoliedrosPoliedros especiales 31Caras, vértices y aristas 34Fórmula de Euler 36Poliedros semirregulares 37Resumen 40Verifica tu trabajo 41

Sección E VolumenVelas 43Hallar el volumen 45Altura 48Fórmulas de volumen 49Resumen 50Verifica tu trabajo 51

Práctica adicional 53

Respuestas para verificartu trabajo 59

Contenido

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VI Paquetes y polígonos

Querido alumno:

Bienvenido a la unidad Paquetes y polígonos.

¿Te has preguntado alguna vez por quéciertos artículos vienen en paquetes quetienen formas diferentes? La próxima vezque estés en una tienda de comestibles,mira cómo están empaquetadas lascosas. ¿Por qué crees que la sal demesa viene en un paquete cilíndrico?¿Qué paquetes te parece que son losmás prácticos?

Las figuras geométricas están en todas partes. Observa los edificios de unagran ciudad recortados contra el horizonte. ¿Ves las diferentes formas? ¿Porqué crees que unos edificios se construyen con una forma y algunos seconstruyen con otra?

En esta unidad, explorarás diversas figuras bidimensionales y cuerpostridimensionales, y aprenderás cómo se relacionan. Construirás modelos deestas figuras con papel grueso, o pajillas y limpiadores de pipas, o pastillasde goma y palillos. A medida que trabajes la unidad, observa la forma de losobjetos que hay a tu alrededor.

Piensa cómo se aplican a esas formas las ideas que estás aprendiendo en clase.

Esperamos que disfrutes tus investigaciones de paquetes y polígonos.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las Matemáticas en contexto

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José hizo algunas compras para una fiesta sorpresa para su amiga Alicia.Cuando llegó a su casa, puso todos los paquetes sobre la mesa. Josétiene muchos paquetes diferentes y decide clasificarlos.

1. Comenta las maneras en que podrías clasificar la colección depaquetes de José. Elige, por lo menos, dos maneras diferentes ymuestra cómo clasificarías la colección.

Busca en tu casa algunos paquetes que tengan formas diferentes.Selecciona las formas que te parecen más interesantes y llévalas a clase.

2. Selecciona un paquete de tu colección o de la colección de José.Escribe una razón de por qué el fabricante eligió esa forma para el paquete.

Sección A: Paquetes 1

APaquetes

Clasificar paquetes

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Observa con atención la forma de tus paquetes. Algunas formas tienennombres especiales. Los modelos de esta página destacan lascaracterísticas distintivas de las formas diferentes.

3. Clasifica cada paquete de tu colección o de la colección de José deacuerdo con su nombre especial.

a. prisma rectangular e. cono

b. cubo f. cono truncado

c. cilindro g. prisma

d. esfera h. pirámide

2 Paquetes y polígonos

PaquetesA

Prismas

Cilindros

Pirámides

Conos truncados

Modelos

Esfera

Prismas rectangulares

Conos

Cubo


4. Usa las características distintivas para contestar estas preguntas.

a. ¿En qué se parecen los tres cilindros? ¿En qué se diferencian?

b. Reflexiona ¿Qué te parece que quiere decir truncado en “cono truncado”?

c. ¿En qué se parecen los prismas?

d. ¿Cuál son algunas de las diferencias entre un prisma y una pirámide?

e. Describe una diferencia entre un cono y una pirámide.

Actividad: del paquete a la plantillaEncuentra dos paquetes, por ejemplo, un envase de leche o una caja.

Corta la parte superior de un paquete.

Corta las aristas del envase, de manera tal que quede en un pedazo, pero que pueda aplanarse.

Corta el otro paquete demanera diferente.

Ábrelo y aplánalo.

Los patrones planos que hiciste con los envases o lascajas se llaman plantillas.

• Compara las dos plantillas que hiciste. ¿Se parecen? Si la respuesta es no, ¿cuál es la diferencia?

• Dibuja las dos plantillas que hiciste. Haz un diseño del sólido que produce cada plantilla.

A


Paquetes

Hacer plantillas

Actividad


Alicia decide hacer una plantilla de su caja sin recortarle la parte superior.En las ilustraciones I, II y III, ves los pasos que siguió.

I.

II.

III. La plantilla de Alicia

5. a. Describe cómo cortó Alicia su caja para que le quedara la plantilla final.

b. La ilustración de la plantilla de Alicia está hecha en tamaño real.¿Cuáles son las dimensiones de la caja de Alicia? Mide con unaregla de centímetros.


PaquetesA


A


Paquetes

6. ¿Qué cuerpo geométrico formaría cada plantilla representada abajo si se plegara? Si lo deseas, puedes usar la Hoja de actividad del

estudiante 1.

a.

c.

e.

f.

d.

b.


7. ¿Cuál de estas plantillas se pliega para formar esta caja?


PaquetesA

a. b. c.

d. e. f.

g. h.

8. a. En una hoja de papel cuadriculado, traza cada plantilla que elegisteen el problema anterior. En cada plantilla, sombrea la cara inferiorque se opone a la parte superior abierta.

b. Es posible hacer tres plantillas más para la caja abierta. Dibuja, porlo menos, una de ellas y sombrea la cara inferior.

Esta es una caja en forma de cubo que no tiene la parte superior.



A

9. Explica que sucedería si plegaras esta plantilla.

10. ¿Cuál de las siguientes plantillas se puede plegar para formar unapirámide? Explica.

Paquetes

11. a. Reflexiona Sandra dice: “Todas las pirámides que puedes hacercon las plantillas de arriba tienen la misma altura”. ¿Es verdad? Sí o no, ¿por qué?

b. Describe cómo puedes comparar las alturas de estas pirámides.

a. b.

c. d.


12. Usa la Hoja de actividad del estudiante 2 para hacer un cubo. Si lodeseas, traza la plantilla sobre un papel grueso y usa ésta en lugar de la otra.

Cada lado plano de un cubo se llama cara.

13. a. Sostén el cubo de manera que veas sólo una cara. Dibuja lo que ves.

b. Sostén el cubo de manera que veas exactamente dos caras. Dibuja lo que ves.

c. Sostén el cubo de manera que veas exactamente tres caras. Dibuja lo que ves.

d. ¿Qué sucede cuando tratas de sostener el cubo de manera quepuedas ver cuatro caras?

La única vez que puedes ver al mismo tiempo todas las caras de un cuerpogeométrico es cuando miras la plantilla de ese cuerpo


PaquetesA

Se ven las seis caras

Plantilla del cubo Cubo

Se ven sólo tres caras

Caras

14. Del prisma que está dibujado a la izquierda, sólo se vendos caras.

a. ¿Cuántas caras están ocultas?

b. De todas las caras, ¿cuántas son triángulos? ¿Cuántasson rectángulos?

c. Dibuja una plantilla de este prisma.


A

15. a. Dibuja una plantilla de un prisma rectangular que mida 3 pulgadasde largo, 1 pulgada de ancho y 2 pulgadas de alto.

b. Compara tu plantilla con las que hicieron tus compañeros. ¿Sontodas iguales?

16. a. ¿Cuál de estas plantillas plegada forma un prisma rectangular?


Paquetes

Problemas con plantillas

b. Describe por qué algunas de las plantillas de la parte a no sepueden plegar para formar un prisma rectangular.

Estas son tres plantillas.

17. a. ¿Qué tienen en común estas plantillas?

b. Reflexiona ¿Cómo puedes explicarle a alguien que la plantilla A yla plantilla C son iguales?

c. Un cubo tiene 11 plantillas diferentes. Intenta hallarlas todas.

a

a

b

b

c

c



PaquetesA

FigurasEn esta sección, estudiaste varios cuerpos tridimensionales. Los nombresespeciales de estos cuerpos geométricos incluyen: cilindros, prismas,prismas rectangulares, cubos, pirámides, conos y esferas.

Investigaste las características que te ayudaron a distinguir entre un prisma,una pirámide y un cono.

PlantillasHiciste plantillas, dibujos bidimensionales que, cuando se recortan, sepueden plegar para formar figuras tridimensionales.

Hiciste plantillas diferentes para el mismo cuerpo geométrico.



CarasCada lado plano de un cuerpo geométrico se llama cara.

La única vez que puedes ver al mismo tiempo todas las caras de un cuerpogeométrico es cuando miras la plantilla de ese cuerpo.

Se ven las seis caras

Plantilla del cubo Cubo

Se ven sólo tres caras



Paquetes

2. a. Elige tres cuerpos geométricos diferentes de entre los queestudiaste en esta sección. Escribe una característica quecompartan dos de los cuerpos, pero no el tercero.

b. Repite la parte a con otros tres cuerpos geométricos diferentes.

A

c.

e.

h.

g.

i.

j.

a.

d.

f.

b.

1. Observa las siguientes ilustraciones. ¿Qué cuerpo(s) tridimensional(es)reconoces en cada ilustración?



3. Dibuja una plantilla de un prisma rectangular que mida 4 cm � 2 cm � 3 cm.

Tina decoró las caras de un cubo con pintura roja, blanca y azul. Pintó delmismo color las caras opuestas. Estas son seis plantillas diferentes consólo algunas caras pintadas de rojo para el cubo de Tina.

4. Copia cada una de estas plantillas en papel cuadriculado e indica elcolor de todas las caras.

a. b. c.

d. e. f.

¿Qué cuerpos geométricos se usan generalmente para los paquetes dealimentos? Explica por qué te parece que son los cuerpos que se usan conmayor frecuencia.



Este es un modelo de barras de un prismatriangular.

Puedes hacer un modelo de barras de uncuerpo geométrico con pajillas y limpiadoresde pipa, palillos y arcilla, o palillos y pastillasde goma.

• Haz un modelo de barras de un cubo.

BModelos de barras

Hacer modelos de barras

Actividad

Las barras son las aristas del cuerpogeométrico (los segmentos de recta que lo forman). Un punto en una esquina, endonde se encuentran dos o más aristas, se llama vértice. (Nota: el plural de vérticees vértices.)

1. a. ¿Cuántos vértices y cuántas aristastiene el modelo de barras dearriba?

b. ¿Cuántos vértices y cuántas aristas tiene tu modelo de barras de un cubo?

Arista

VérticesVértice


Haroldo empieza a hacer un modelode barras de un prisma rectangular.Cuando va por la mitad, se ve de este modo.

Sección B: Modelos de barras 15

BModelos de barras

2. En la Hoja de actividad del estudiante 3, termina el modelo de barrasdel prisma rectangular de Haroldo dibujando las aristas y los vérticesque faltan.

Tonia usó una plantilla para construir esta pirámide de base cuadrada. Este es un dibujo de su pirámide.

3. a. ¿Cuántas caras tiene la pirámide de Tonia?

b. Usa la Hoja de actividad del

estudiante 3 para transformar el dibujo de Tonia en un modelo de barras en el que se vean todas las aristas y los vértices.

c. Usa el segundo dibujo de la Hoja de actividad del estudiante 3 parahacer un modelo de barras de una pirámide diferente. ¿Cuál es elnombre especial de esta pirámide?

Este es el dibujo que Lance hizo de su prisma. Se ven sólo tres caras.

4. a. ¿Cuántas caras están ocultas?

b. ¿Cuántas caras son rectángulos?

c. ¿Cuántas aristas están ocultas?

d. ¿Cuántos vértices están ocultos?

e. Usa la Hoja de actividad del

estudiante 3 para transformar el dibujo de Lance en un modelo de barras del prisma.


Pedro está construyendo un modelo de barras de un prisma rectangularque mide 5 cm de largo, 3 cm de ancho y 7 cm de alto.

5. a. ¿Cuántas pajillas necesitará Pedro para construir el modelo debarras del prisma rectangular?

b. ¿Qué cantidad necesita de cada longitud?

Yolanda quiere hacer una pirámide con nueve aristas.

6. ¿Podrá hacer una pirámide así? Sí o no, ¿por qué?

7. ¿Cuántas pajillas necesitas para hacer un modelo de barras de una pirámide de base triangular? Haz un dibujo para verificar tu respuesta.


Modelos de barrasB

Estructuras estables

• Construye un modelo de barras de una pirámide que tenga cincovértices y ocho aristas.

• Construye otro modelo de barras de un cuerpo geométrico quetenga seis vértices y nueve aristas.

Construir estructuras

Actividad

8. a. ¿Cuál de las estructuras que hiciste es más estable? ¿De quémanera el número de caras triangulares afecta la estabilidad de la estructura?

b. ¿Qué harías para que la otra estructura sea más estable?

c. ¿Es posible construir una estructura con nueve vértices y cincoaristas? Explica.


Para hacer que un armazón sea rígido, los diseñadoresusan triángulos para añadirle fuerza y estabilidad.

Teo diseñó esta biblioteca con tres estantes.

9 a. ¿Te parece que este es un buen diseño? Sí o no,¿por qué?

b. Mejora el diseño de Teo agregando un pedazo de madera. Haz un diseño de tu bibliotecamejorada.


BModelos de barras

10. ¿Qué modelo de barras es más estable: un prisma triangular o uncubo? ¿Por qué piensas que es así?

Puedes hacer que la estructura de uncubo sea más estable al agregar unabarra adicional. Este es un ejemplo deuna diagonal de la cara. Esta diagonal de

la cara es una barra adicional en la caraque conecta dos vértices que no estánuno junto al otro.

En este cubo se muestran dosdiagonales de las caras.

11. ¿Cuántas diagonales de lascaras diferentes son posiblespara cualquier cubo?

Diagonal de la cara



Actividad

Cubos estables

Otro tipo de diagonal que hay que considerar se llama diagonal del espacio.

La diagonal del espacio atraviesa el interior o espacio del cubo, relacionandodos vértices.

No descansa en ninguna de las caras. En este dibujo, la barra adicionalrelaciona un vértice de la parte posterior superior con el vértice que estáen la parte anterior abajo.

12. ¿Cuántas diagonales del espacio tiene un cubo? Muéstralas en la Hoja

de actividad del estudiante 4.

13. ¿Cuáles de los cuerpos geométricos de la página 2 no tienendiagonales de la cara?

¿Cuáles de los cuerpos geométricos de la página 2 no tienendiagonales del espacio?

14. Nombra cada cuerpo geométrico y halla el número de diagonales delas caras y el número de diagonales del espacio.

• Usa el modelo de barras del cubo que hiciste en la actividad de la página 14.

• Agrega el número mínimo de diagonales de las caras para hacerque el cubo sea más estable.

Diagonal del espacio

a b c



BModelos de barras

Historia de las matemáticasLa humanidad se ha esforzado para diseñar rompecabezas tridimensionales.Uno de los más exitosos es el Cubo Soma, inventado por Piet Hein.

A veces, se considera el Cubo Soma como el equivalente tridimensional deun tangrama. Ambos tipos de rompecabezas se componen de siete piezasy pueden usarse para construir numerosas formas.

Tangrama

Bidimensional

Cubo Soma

Tridimensional

Las siguientes siete piezas pueden formar un cubo de 3 � 3 � 3.

¿Puedes resolver cómo se las puede combinar para formar un cubo?



Modelos de barras

Modelos de barras, aristas y vérticesUna manera de hacer un modelo de una figura tridimensional es dibujaruna plantilla y plegar los lados.

Otra manera es hacer un modelo de barras. Las barras son las aristas delcuerpo geométrico. El punto donde se encuentran dos o más barras sellama vértice.

Estructuras establesLos triángulos hacen que una estructura sea más estable. Para hacer unaestructura más estable, puedes agregarle barras adicionales.

A veces, las barras nuevas están A veces, las barras nuevas están en la cara original. dentro del sólido, no en una cara.

B

Arista

Vértices

Vértice

Diagonal de la cara

Diagonal del espacio



Silvia usó papel cuadriculado para hacer un dibujo del modelo de barras de un cubo.

1. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 4 para terminar el dibujo de Silvia.

b. Usa un lápiz de color para dibujar dos diagonales de las caras.

c. Usa un lápiz de otro color para dibujar una diagonal del espacio.

Kelly tiene ocho pajillas de 10 cm de largo cada una. Con todas ellas, quiereconstruir un modelo de barras de una pirámide.

2. a. Haz un dibujo para mostrar cómo puede hacerlo.

b. ¿Será más estable este modelo que una pirámide construida conseis pajillas? Sí o no, ¿por qué?

Maglio tiene seis pajillas de 5 cm y tres pajillas de 10 cm. Sin cortarninguna pajilla, él quiere hacer modelos de barras de prismas y de pirámides.

3. ¿Qué modelos de barras puede hacer Maglio con sus pajillas si no tiene que usar las nueve al mismo tiempo? Usa dibujos para justificartu respuesta.



Modelos de barras

Pati dibujó este prisma del que se ven sólo cuatro caras.


b. ¿Cuántos vértices están ocultos?

c. ¿Cuántas caras son rectángulos?

d. Usa la Hoja de actividad del estudiante 4 para transformar el dibujode Pati en un modelo de barras del prisma.

e. En total, ¿cuántas caras, cuántos vértices y cuántas aristas hay en elprisma de Pati?

f. ¿Cuántas diagonales de las caras son posibles para el prisma de Pati?

B

¿Cuántas aristas estaban unidas a cada vértice en los modelos de barrasque examinaste en esta sección? ¿Por qué piensas que era así? ¿Piensasque podrías tener alguna vez un número diferente de aristas por vértice? Sí o no, ¿por qué?


Después de clases, Susana trabajahaciendo distintas cajas de cartón paraembalaje. La mayor parte del tiempo,tiene que encontrar la mejor caja y tapade cartón para embalar artículos detamaño poco común.

Estas son las tapas que usa Susana. Todaslas figuras son polígonos.

Sección C: Polígonos 23

CPolígonos

Ponle la tapa

1. Estudia las figuras. Busca algunas semejanzas y escribe tu propiadefinición de un polígono.


Hoy, Susana debe encontrar una tapa para la caja en formade prisma rectangular que está a la izquierda.

2. a. ¿Qué polígono usará Susana para la tapa?

b. ¿De cuántas maneras diferentes puede poner latapa sobre la caja de cartón? Observa que Susanatambién puede poner la tapa al revés.

Después, Susana debe encontrar una tapa para una caja enforma de cubo.

3. a. ¿Qué polígono usará Susana para la tapa?

b. ¿De cuántas maneras diferentes puede poner latapa sobre la caja de cartón?

Susana encontró esta tapa para su caja.

4. a. ¿De cuántas maneras diferentes puede poner latapa sobre la caja de cartón?

b. ¿Cuál es el nombre del polígono que usó para la tapa?

La palabra polígono deriva del griego polygonos, que


PolígonosC

significa ‘muchos ángulos’.

Generalmente, un polígono que tiene tres ángulos se llamatriángulo, pero también se le puede decir “3–gono”.

Un polígono que tiene cuatro ángulos tiene cuatro lados. Alpolígono de cuatro lados se lo puede llamar “4–gono”.

5. a. ¿Cuál es el nombre más común para un polígono decuatro lados?

b. Da el nombre común para los polígonos: 5–gono, 6–gono, 7–gono, 8–gono, 9–gono, 10–gono y 12–gono.

MONO � 1

BI � 2

TRI � 3

CUADRI � 4

PENTA � 5

HEXA � 6

HEPTA � 7

OCTO � 8

ENEA � 9

DECA � 10


Susana debe hallar tapas para estascajas. Usa la Hoja de actividad del

estudiante 5 para cortar las tapas queeligió Susana.

6. Reflexiona Compara las cuatrotapas. ¿En qué se parecen lospolígonos? ¿En qué sediferencian?

La tapa para la caja D es un tipoespecial de polígono; es un polígono regular.

7. ¿Qué crees que hace que elpolígono D sea “regular”?

8. ¿De cuántas maneras diferentespuede poner Susana la tapa encada una de las cajas que vandesde la A hasta la D?

9. Los dos cuadriláteros de laizquierda no son polígonosregulares.

a. ¿Qué tiene de irregular (noregular) la Figura A?

b. ¿Qué tiene de irregular laFigura B?

c. ¿De cuántas maneras sepuede doblar por la mitad laFigura A para que quepa en símisma? ¿Y la Figura B?


CPolígonos

a b

c d

Cuatro ángulos iguales

Cuatro lados iguales

10. a. Dibuja un cuadrilátero que se pueda doblar por la mitad de cuatromaneras diferentes.

b. ¿Cuál es el nombre de este cuadrilátero?

c. ¿Es regular el cuadrilátero que dibujaste en la parte a? Sí o no, ¿por qué?

Figura A Figura B


Kendra está diseñando una vista superior delPentágono. Este es el comienzo de su dibujo quemuestra la vista superior del edificio.

13. Usa la Hoja de actividad del estudiante 6

para completar el dibujo de Kendra de todo el edificio.

Un triángulo regular tiene tres lados iguales y tres ángulos iguales. Eltriángulo regular se conoce más comúnmente como triángulo equilátero.

Este es un triángulo regular o equilátero.

11. a. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?Explica el método que usaste parahallar esta respuesta.

b. Dibuja un triángulo regular cuyos ladosmidan 8 cm de largo.


PolígonosC

El PentágonoEsta es una fotografía del edificio del Pentágono, en Arlington, Virginia (en las afueras de Washington, D. C.). El Pentágono es la oficina central del Departamento de Defensa de los EE. UU. y es uno de los edificios deoficinas más grandes del mundo. El perímetro del edificio mide unos 4,605 pies y tiene 17.5 millas de corredores. En el edificio trabajan unas23,000 personas.

12. Reflexiona ¿Por qué crees que a este edificio le dicen Pentágono?



CPolígonos

Puedes hallar la medida de los ángulos de un polígono usando giros. Parahacerlo, imagínate caminando sobre las aristas de un polígono. Imagínateen el ángulo que haces cada vez que giras en una esquina.

14. a. ¿Cuántos grados girarías si caminaras alrededor de un pentágonoregular?, ¿de un cuadrado?, ¿de un triángulo equilátero?

b. Si caminaras alrededor de cualquier polígono, ¿cuántos gradosgirarías? ¿Por qué?

c. ¿Cuál es la relación entre el tamaño del giro y el ángulo que estádentro del polígono?

15. a. Cuando caminas alrededor de un pentágono regular, das cincogiros iguales. ¿Cuántos grados mide cada giro?

b. ¿Cuántos grados mide cada ángulo de un pentágono regular?

c. ¿Cómo puedes usar los giros para hallar la medida de los ángulosinteriores de cualquier polígono regular?

Ángulos

Esta es la imagen de una abeja en su colmena.

16. a. ¿Qué polígono regular usan las abejas enla construcción de su colmena?

b. ¿Cuál es la medida de un ángulo interiorde este polígono regular?

Pentágono

regular

Giro

Ángulointerior



Polígonos

PolígonosLos polígonos son figuras cerradas bidimensionales que tienen tres o más ángulos.

Los polígonos se llaman según el número de lados o de ángulos quetienen. Para los nombres se usan palabras griegas, por ejemplo:

• un polígono que tiene tres lados se llama triángulo;

• un polígono que tiene cuatro ángulos se llama cuadrilátero;

• un polígono que tiene cinco ángulos se llama pentágono;

• un polígono que tiene seis ángulos se llama hexágono;

• otros se llaman n-gonos, o polígonos de n lados. Por ejemplo, uneneágono es un polígono que tiene nueve lados.

Polígonos regularesUn polígono regular tiene lados iguales y ángulos iguales.Un triángulo regular es conocido más comúnmente como triángulo equilátero.

Ángulos de los polígonos regularesPara dar una vuelta completa alrededor de cualquier polígono regular giras360°. Según el número de lados puedes usar esta información para hallar eltamaño de un giro. El tamaño de un giro y el ángulo interior tienen unarelación especial: suman 180°. Puedes usar los giros para hallar la medidade cualquier ángulo interior de cualquier polígono regular.

C



1. a. Dibuja dos figuras diferentes que tengan cuatro lados iguales. ¿Fueregular uno de los polígonos que hiciste? ¿Cuál? ¿Por qué?

b. Explica qué sucede con el tamaño de los ángulos internos de lospolígonos regulares cuando aumenta el número de lados.

2. a. Si conectas los puntos medios de los lados de un triánguloequilátero, ¿qué clase de figura se formará? Explica turazonamiento.

b. ¿Cómo puedes hallar el tamaño de los ángulos de un triánguloregular sin usar una rosa de la brújula ni un transportador?

Para crear polígonos regulares, puedes usar la imagen de un reloj.Empezando a partir de la una, da saltos de tres horas. Después de cuatrosaltos, vuelves al lugar donde empezaste. El resultado es un cuadriláteroregular en el interior del reloj.

3. Usa la Hoja de actividad del estudiante 7 y una regla no graduada para hacer los siguientes dibujos. Asegúrate de contar con mucho cuidado.

a. Empieza a partir de la una y da saltos de dos horas hasta quevuelvas a la una. ¿Qué polígono formaste?

b. Haz lo mismo que hiciste en la parte a, con saltos de cuatro horas.¿Qué polígono formaste?

c. ¿Qué polígono formas con saltos de una hora?

1211

10

9

8

7 56

4

3

2

1



Polígonos

Esta es una parte de un teselado. Las baldosas son polígonos regulares.

C

4. a. ¿Cuáles son los nombres de las baldosas poligonales?

b. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de una baldosa verde?Muestra tu trabajo.

Trata de hallar una relación entre el número de lados y la cantidad demaneras en que se puede doblar por la mitad un polígono regular.


Sección D: Poliedros 31

DPoliedros

Un poliedro es un sólido tridimensional cuyas caras son polígonos.

La palabra poliedro deriva del griego y significa ‘muchas bases’. Ya has trabajado con muchos poliedros diferentes.

1. Remítete a los modelos geométricos de la página 2. ¿Qué cuerpos geométricos son poliedros? ¿Qué cuerpos geométricos NO son poliedros?

Algunos de los poliedros son especiales, como estos cinco.

2. ¿Qué tienen de especial estos cinco poliedros?

Poliedros especiales

Tetraedro

Cubo

IcosaedroOctaedro

Dodecaedro


3. Estos son los modelos de barras de cada uno de los cinco poliedrosespeciales. Nombra cada modelo de barras.


PoliedrosD

• Recorta las plantillas de las Hojas de actividad del estudiante de

la 8 a la 12 para hacer cinco poliedros regulares.

Los dibujos que están a la izquierdailustran la manera en que puedeshacer un dodecaedro regular a partirde la plantilla. (Nota: dodeca significa‘doce’.) Acopla las dos canastas paraformar un poliedro de 12 lados.

Ten tus modelos a mano. Te ayudarána responder preguntas a lo largo deesta unidad.

Actividad

a. b. c.

d. e.


Puedes hacer modelos de barras con pajillas y limpiadores de pipa ocordel. El limpiador de pipa o el cordel se enhebra en cada pajilla paraformar conexiones en los vértices.

Este es un cordel que conecta tres pajillas que forman un vértice.

Para hacer los cinco modelos, necesitas 90 pajillas.

4. a. ¿Cuántas pajillas necesita cada modelo de barras?

b. Haz los modelos de barras para los cuatro cuerpos geométricos que quedan. (Ya hiciste el modelo de barras para el cubo usando 12 pajillas.)

En los problemas anteriores, hiciste modelos de papel y de barras para losfamosos cinco sólidos platónicos.

Los sólidos platónicos se llaman así en honor del filósofo griego Platón.Estos cinco cuerpos geométricos son los únicos poliedros regulares queexisten. No es posible construir otros poliedros regulares.

5. a. Escribe el nombre de cada poliedro regular que tiene las caras enforma de triángulo equilátero.

b. Escribe el nombre de cada poliedro regular que tiene las caras enforma de hexágono.


DPoliedros

Three edges meeting at one vertex.En un vértice se encuentran

tres aristas.


Todos los sólidos platónicos están en la naturaleza enforma de cristales. El microscópico cristal de diamante quese muestra en esta fotografía tiene forma de octaedro.

El octaedro de la izquierda calculó el número de susaristas, aun cuando no puede verlas.


PoliedrosD

Caras, vértices y aristas

Tengo 8 caras; cada cara tiene 3 aristas;

por lo tanto, tengo 24 aristas!

! Tengo 6 caras;

por lo tanto, tengo aristas!

!

30 aristas ES LO QUE TENGO!

!

6 a. ¿Estás de acuerdo con el octaedro?Explica.

b. El cubo parece saber más. En tu cuaderno,completa su razonamiento.

c. El icosaedro dice que tiene 30 aristas. ¿Es verdad? ¿Cómo puedes estar seguro?



DPoliedros

El sólido platónico más simple es el tetraedro. Recuerda que el prefijo tetra significa ‘cuatro’, porque tiene cuatro caras idénticas.

7. ¿Cuántos vértices y cuántas aristas tiene un tetraedro?

8. a. Completa la tabla de la Hoja de actividad del estudiante 13.

Como ayuda, usa los modelos que hiciste.

b. Estudia los números de tu tabla. ¿Qué patrones o relaciones ves?

Nombre FormaTipo de

cara

Número

de caras

Número

de vértices

Número

de aristas

4Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Triangle

Tetraedro


Tal vez hayas descubierto una relación entre el número de caras, devértices y de aristas de un poliedro.

La relación también se escribe así:

C �� V – A �� 2 donde C es el número de caras,

V es el número de vértices y

A es el número de aristas.

9. a. Explica de qué manera ambas fórmulas dicen lo mismo.

b. Remítete a tu tabla del problema 9 e indica cómo funciona lafórmula de Euler para todos los poliedros regulares.

Aquí tienes tres sólidos que son poliedros, pero que no son regulares.

10. ¿Funciona la fórmula de Euler también para estos poliedros?Demuestra, sí o no, ¿por qué?


PoliedrosD

Fórmula de Euler

Númerode

caras

Númerode

vértices

Númerode

aristas� � � 2

C �V �A �C � V � A �

C �V �A �C � V � A �

C �V �A �C � V � A �

a. b. c.

Leonard Euler fue un matemático suizo quedescubrió la siguiente fórmula alrededor del año 1750. La fórmula de Euler dice que en cada poliedro convexo la suma del número de vértices y de caras juntos es exactamente el número de aristas más dos.



DPoliedros

Recortar y formar un poliedro semirregularLa Hoja de actividad del estudiante 14 tieneuna plantilla de un cubo cuyas aristas miden 6 cm, pero al que se le ha recortadouna parte.

• Traza la plantilla en papel grueso ypliégala en forma de cubo. (No pegueslas lengüetas todavía.)

• Describe tu cubo.

• Mira a través del orificio de tu cubo ydibuja lo que ves. Despliega el cubo yrecorta con cuidado las otras esquinasexactamente de la misma manera.

• Pliega la plantilla para formar el sólido.

El resultado es un poliedro con dos clasesdiferentes de caras.

• ¿Cuáles son los nombres de estas caras?

Actividad

Este sólido nuevo se llama poliedro semirregular.

11. a. Describe las características de un poliedro semirregular.

b. Verifica si la fórmula de Euler funciona para el poliedrosemirregular creado en la Actividad anterior.

Poliedros semirregulares


Euler descubrió su fórmula alrededor del año 1750, pero no fue sino hasta1794 que un matemático francés llamado Adrien-Marie Legendre probóque, en realidad, funcionaba para todos los poliedros.

La siguiente es una manera de explicar por qué la fórmula de Eulerfunciona para todos los poliedros.


PoliedrosD

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Tetraedro Empieza con cualquier tetraedro: tiene cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas.

La fórmula de Euler dice que: C � V � A � 2

Verificamos la fórmula de Euler: 4 � 4 � 6 � 2

Paso 1: Recorta una punta del tetraedro.

Esto cambia el número de:

• caras: C aumenta en 1.• vértices: V aumenta en 2.• aristas: A aumenta en 3.

12. a. Explica los cambios hechos en el Paso 1.

b. ¿Por qué no cambia en el Paso 1 la fórmula C �� V �� A?

Paso 2: Recorta una punta diferente del tetraedro.

13. a. Describe los cambios en el número de caras, devértices y de aristas.

b. ¿Afectan los cambios la fórmula de Euler? Sí ono, ¿por qué?

14. Describe los Pasos 3 y 4. Comenta los cambios.

15. a. Describe los poliedros semirregulares quesurgieron después del Paso 4.

b. Verifica la fórmula de Euler para este sólido.


Cuando recortas un pedazo de cada vértice de un icosaedro, obtienes unpoliedro semirregular compuesto de pentágonos y hexágonos.

16. Aquí tienes cinco poliedros semirregulares. Relaciona cada poliedrosemirregular con su sólido platónico original.


DPoliedros



Poliedros

PoliedrosUn poliedro es una cuerpo tridimensional cuyas caras son polígonos. La palabra poliedro deriva de los términos griegos que significan‘muchas bases’.

Sólido platónicoSi todas las caras de un poliedro son el mismo polígono regular, entoncesel poliedro es un sólido platónico. Existen sólo cinco sólidos platónicos: eltetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Fórmula de EulerExiste una relación entre el número de caras, de vértices y de aristas decualquier poliedro.

Euler expresó esta relación con la fórmula:

C �� V �� A �� 2, donde C es el número de caras,

V es el número de vértices y

A es el número de aristas.

D

TetraedroCubo

IcosaedroOctaedro

Dodecaedro



Poliedro semirregularLos poliedros semirregulares tienen por caras, al menos, dos polígonosregulares diferentes. Puedes hacer estos cuerpos geométricos recortandopedazos iguales de cada vértice.

1. Explica por qué los sólidos platónicos son poliedros regulares.

Jonathan tiene una estrategia para contar el número dearistas del octaedro. Dice: “En la ilustración, veo ochoaristas, y el lado posterior del octaedro es igual al ladoanterior, así que dos por ocho es igual a dieciséis aristas”.

2. a. ¿Qué estaría pensando Jonathan?

b. ¿Cómo puedes cambiar el enunciado de Jonathanpara obtener el número correcto de aristas?



Poliedros

Este es un modelo de barras de un icosaedro. Toniquiere volver a usar las barras y los vértices deeste modelo para hacer octaedros.

3. ¿Cuántos octaedros puede hacer Toni?

4. ¿Funciona para un cubo la fórmula de Euler C�� V �� A �� 2? Explica.

5. Verifica si la fórmula de Euler funciona para este poliedro.

6. Esta es una plantilla para un paquete.

a. Dibuja la forma del paquete armado.

b. ¿Es cierta la fórmula C �� V �� A �� 2 para este paquete?

¿Qué poliedros tienen una o más caras con la forma de un triángulo equilátero?

¿Qué poliedros tienen una o más caras con la forma de un hexágono?

D

Icosaedro


En las secciones anteriores, estudiaste variossólidos geométricos, aprendiste sus nombres,transformaste sólidos en plantillas y plantillas ensólidos, e investigaste las propiedades de suscaras, sus vértices y sus aristas.

En la unidad Redistribución, estudiaste lasfórmulas para hallar el volumen.

En esta sección, investigarás el volumen de unavariedad de sólidos geométricos.

Sección E: Volumen 43

EVolumen

Velas

1. ¿Cuántas capas de velas para el té hay en lacaja? Explica cómo lo sabes.

Estas velas de noche se pueden apilar de distintamanera, lo que significa que otras cajas decartón de tamaño diferente pueden contener lasmismas 105 velas.

2. a. Halla todas las disposiciones posiblespara que una caja rectangular contenga105 velas para el té. Cada caja debe estarcompleta, a excepción de los espaciosentre las velas.

b. Reflexiona ¿Es igual el volumen detodas estas cajas? Explica cómo lo sabes.

Las velas vienen en una variedad de formas y de colores.

3. ¿Qué cuerpos tridimensionales reconocesen la ilustración?


Lidia y Rosa planean hacer sus propias velas.Tienen moldes diferentes pero necesitancomprar la cera. Las instrucciones paracomprar la cera dicen que, para obtener unlitro, se necesitan dos libras.

Rosa mira los moldes y pregunta: “¿Cuántacera necesitaremos?”.


VolumenE

Lidia toma una botella de un litro y la llenacon agua. Vierte el agua en el molde y dice:“Bueno, sólo para este molde, ¡necesitamosmás de dos libras de cera! El volumen deeste molde es de más de un litro”.

4. Explica el enunciado de Lidia.

Rosa recuerda vagamente algo sobre una relación métrica entre lasmediciones de líquido y el volumen.

Rosa sugiere: “No puedo recordar la relación precisa, pero ¡midamoslas dimensiones del litro de agua que hay en este molde!”.

5. a. Usa las mediciones indicadas para hallar el volumen de un litrode agua.

b. Copia la relación en tu cuaderno y complétala.

1 litro �� ________ cm3

c. Halla las dimensiones de otros dos moldes que contenganexactamente un litro de agua.

10 cm5 cm

20 cm


Rosa y Lidia deciden comprar cera para estos tres moldes.

6. ¿Cuántas libras de cera comprarán para llenar estos tres moldes?Puede ser útil hacer una tabla de razones.


EVolumen

5 cm

5 cm5 cm

10 cm5 cm

30 cm15 cm

5 cm3 cm

Hallar el volumenLa parte inferior de este molde tiene forma de cruz.

Las caras laterales son cuadrados cuyos lados miden 3 cm.

7. Halla el volumen de este molde.

cm3

lb

Estas dos velas están hechas con el mismomolde. La altura es de 10 cm y la base es untriángulo rectángulo.

Las dos velas caben perfectamente en un prismarectangular que mide 4 cm � 2 cm � 10 cm.

8. Halla el volumen de una vela.


9. a. Usa las plantillas del molde A y del molde B que están en las Hojas de actividad del estudiante 15 y 16 para hallar el volumende cada molde.


VolumenE

A. B.

Supón que tienes una vela con forma de prisma triangular. La vela estáguardada dentro de un prisma rectangular que mide 4 cm � 6 cm � 15 cm.

b. Calcula el volumen de la vela. Explica tu estrategia.

Este es el dibujo de la parte inferior de la caja.

6 cm

4 cm


De la unidad Redistribución, tal vez recuerdes una regla general para hallarel volumen de cuerpos tridimensionales.

Si un sólido se puede cortar en secciones idénticas que tengan el mismotamaño, entonces la fórmula del volumen de un sólido es:

Volumen � área de la sección � altura

o

Volumen �� área de la base � altura

10. Puedes usar esta fórmula sólo para algunas de las figuras de la página 2.Nombra las figuras con las que puedes usar esta fórmula y nombraaquellas con las que no la puedes usar. Explica.

11. Usa la fórmula para verificar tus respuesta a los problemas del 7 al 9.Muestra tu trabajo.


EVolumen

Base

Una sección

La fórmula del volumen funciona también paralos cilindros.

En un cilindro, la forma de la base es un círculo.

Estas son las dimensiones de una vela para el té:

12. a. Halla el área de la base de una vela para el

diámetro 4 cm

altura 1.8 cm

té.

b. Halla el volumen de una vela para el té.

Un molde de vela tiene un diámetro de 10 cm y una altura de 12 cm.

13. ¿Es el volumen de esta vela mayor omenor que un litro? Muestra tu trabajo.

12 cm

10 cm



VolumenE

Altura

Usa la plantilla de una pirámide que está en la Hoja de actividad del

estudiante 17.

Actividad

Pirámides para hacer un cubo

• Recorta la plantilla y pliégala para formar una pirámide.

• Comenta con tus compañeros cómo puedendeterminar la altura de la pirámide.

• Verifica la altura de tu pirámide. Tiene que medir 3 cm.

Seis de estas pirámides pueden formar un cubo.Para verificarlo, trabaja con cinco compañeros.

• Halla las dimensiones del cubo formado con lasseis pirámides.

• Halla el volumen de una pirámide.

• Revisa con otros compañeros para verificar losresultados de tu grupo.

Este es el dibujo de una pirámide de la actividad anterior encerrada dentrode un prisma rectangular. El prisma tiene la misma base y la misma alturaque la pirámide.

14. a. ¿Cuál es el volumen de este prisma? Explica.

b. ¿Cuál es la relación entre el volumen de este prisma y el volumende la pirámide?


En los problemas anteriores, descubriste una relación entre elvolumen de una pirámide y el volumen de un prisma rectangularque tenía la misma base y la misma altura que la pirámide. Laregla de esta relación es:

El volumen de una pirámide equivale a 1��3 del volumen de unprisma que tiene la misma base y la misma altura.

Este molde de la vela que está a la izquierda es una pirámidecuadrangular. La altura del molde es de 6 pulgadas y la base esun cuadrado cuyos lados miden 4.5 pulgadas.

15. a. Halla el volumen de un prisma que tiene la misma base yla misma altura que el cuadrado.

b. Calcula el volumen de esta pirámide cuadrangular.

16. a. Haz la pirámide con la plantilla que está en la Hoja de

actividad del estudiante 18.

b. Halla el volumen de un prisma triangular que tiene lamisma base y la misma altura que la pirámide. Puedesmedir la altura de tu pirámide.

c. Halla el volumen de la pirámide.


EVolumen

Fórmulas del volumen

El volumen de un cono se relaciona con el volumen delcilindro correspondiente de la misma manera que elvolumen de una pirámide se relaciona con el volumen desu prisma.

17. a. Escribe una regla para hallar el volumen de un cono.

b. Muestra cómo puedes usar tu regla para hallar el volumen de uncono que tiene una altura de un pie y un diámetro de la base de8 pulgadas.

Los reposteros usan moldes piramidales para decorar las presentacionesculinarias. Los moldes están hechos de acero inoxidable y, a menudo, seusan para dar forma al helado.

18. Halla el volumen de una pirámide cuadrangular que tiene unalongitud de la arista de tres pulgadas.



VolumenE

Área de la base, que es un círculo.

El litro es una unidad de volumen. Tambiénpuedes medir el volumen en centímetroscúbicos (cm3). La relación es:

1 litro �� 1,000 cm3

Un litro de agua llena por completo un cubode 10 cm � 10 cm � 10 cm, lo que equivaletambién a un decímetro cúbico (1 dm3).

Fórmulas del volumenSi un sólido se puede cortar en secciones idénticas que tengan el mismotamaño, entonces la fórmula del volumen de un sólido es:

Volumen � área de la sección � altura.

o

volumenprisma � área de la base � altura

La fórmula sirve también para los cilindros.

Volumencilindro � π � radio � radio � altura

Radio

Radio

Alt

ura



Las secciones no son idénticas para las pirámides y los conos, así que estafórmula no sirve. Para estos cuerpos, puedes usar:

Volumenpirámide � 1–3 del Volumencono � 1��3 del volumen volumen de un prisma que tiene de un cilindro que tiene la mismala misma base y la misma altura. base y la misma altura.

Estos son tres moldes diferentes. Cada molde tiene una altura de 4 cm.

1. Usa los dibujos de las bases para calcular el volumen de cada molde.

Bases

Moldes

A B C

2 cm3 cm

1 cm

1 cm

3 cm

1 cm

1 cm



Volumen

Esta lata de jugo mide 18 cm de altura y 8.5 cm de diámetro.

2. ¿Es el volumen de la lata mayor o menor que un litro?

Estos son dos moldes.

Un molde piramidal tiene una base cuadrangular cuyos lados miden 4 cm.

La base del otro molde piramidal es un triángulo equilátero cuyoslados miden 6 cm.

La altura de ambos moldes es de 6 cm.

3. ¿Qué molde piramidal tiene un volumen mayor? ¿Cómo lo sabes?

Piensa en tres recipientes de alimentos que no tengan la misma forma y que vengan en tamaños diferentes para volúmenes distintos. ¿En qué se diferencian las dimensiones del recipiente cuandoaumenta el volumen?

E


1. Nombra un objeto familiar que tenga la siguiente forma.

a. esfera

b. prisma rectangular

c. cono

d. cilindro

2. En las respuestas a estas preguntas, usa los nombres adecuados paralas figuras.

a. ¿Qué características tienen en común a, b y d? ¿Cuáles son diferentes?

b. ¿Qué características tienen en común c y e? ¿Cuáles son diferentes?

Este es un prisma. Una tuerca se parece a un prisma al que se le harecortado un círculo en el interior.


b. Dibuja una plantilla de este cuerpo geométrico.


Práctica adicional

Sección PaquetesA

a. b.c.

d.

e.


4. a. Supón que recortas esto y lo pliegas para formar un cuerpogeométrico. ¿Qué obtendrás?

b. ¿Se convertirá esta figura en una de los figuras geométricas de lapágina 2? Explica.

c. ¿Qué figuras geométricas de la página 2 tienen sólo caras planas?

Maha tiene seis barras: tres miden 6 cm de largo y tres miden 4 cm de largo.

Ella forma un triángulo con una de las barras largas y dos de las más cortas.

1. a. Dibuja este triángulo de manera tan cuidadosa y tan precisa como puedas.

b. Dibuja un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 6 cm y 6 cm de largo.

Maha trata de hacer un prisma con sus seis barras, pero le resulta imposible.

2. a. ¿Por qué Maha no puede hacer un prisma sólo con seis barras?

b. ¿Cuántas barras más necesita?

c. ¿Cuáles son las longitudes posibles para las barras adicionales?Incluye un dibujo para explicar tu respuesta.

d. ¿Será estable el prisma que dibujaste para la parte c? Explica.


Práctica adicional

Sección Modelos de barrasB


Kim tiene un pedazo de alambre que mide 100 cm de largo. Cortará elalambre en pedazos más chicos para construir una pirámide. Quiere que la parte inferior de la pirámide sea un cuadrado. También quiere usar todoel alambre.

3. a. ¿Cuántos pedazos de alambre necesita para construir la pirámide?

b. Hay muchas longitudes posibles para los pedazos de alambre deKim. Describe dos de esas posibilidades.


Práctica adicional

Sección PolígonosC

4. a. ¿Cuántas caras tiene el cuerpogeométrico que se forma al plegar esta plantilla?

b. ¿Y cuántos vértices hay en la plantillaque está a la derecha? ¿Y cuántasaristas?

c. ¿Cuál es el nombre de este cuerpogeométrico?

d. ¿Cuántas diagonales de las caras tendráeste cuerpo geométrico?

e. ¿Y cuántas diagonales del espacio?Muestra cómo hallaste tu respuesta.

5. Rajeev hizo este dibujo de un modelode barras de un cubo. ¿Puedesconstruir este modelo? Explica.

Usa la Hoja de actividad del estudiante 19 pararesolver los siguientes problemas:

1. ¿Qué polígonos se pueden formar con saltos de igual tamaño de un número entero a otro eneste diagrama?

2. ¿Ves alguna relación entre tu respuesta alproblema 1 y los números del diagrama? Si laves, describe la relación.

10

9

8

7

5

6 4

3

2

1



Práctica adicional

3. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 19 y unaregla no graduada para hacer el siguiente dibujo.

Empieza en el número uno y da saltos de cuatrohoras alrededor del cuadrante, hasta que vuelvas al número uno. Ya está dibujado el primer salto. Elresultado es una estrella que tiene, exactamente,cinco puntas.

b. ¿Qué polígono ves dentro de la estrella?

c. ¿Cuántos grados mide cada ángulo que forman las puntas de la estrella? Explica cómo hallaste la respuesta.

4. a. Vuelve a empezar en el número uno y da saltos deigual tamaño de manera que obtengas una estrellacon un número diferente de puntas.

b. ¿Cuántos grados mide cada ángulo que forman las puntas de esta estrella? Explica cómo hallaste la respuesta.

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1. Imagínate una pirámide que tiene entre 100 y 200 aristas.

a. Elige un número de aristas para tu pirámide (entre 100 y 200).¿Sigue siendo válida la fórmula de Euler para la pirámide queelegiste? Explica.

b. ¿Es válida la fórmula de Euler para una pirámide que tenga unnúmero cualquiera de aristas entre 100 y 200? Explica.

Sección PoliedrosD

Una pelota de fútbol es semejante a una esfera que tieneun diámetro de alrededor de 22 centímetros. La pelotade la fotografía está compuesta de trozos de cueroblancos y negros.

Además del color, existen diferencias entre las carasnegras y las blancas.

2. a. ¿Qué otras diferencias ves?

b. En la pelota de fútbol de la imagen, ves seispedazos negros. ¿Cuántos pedazos negros creesque hay en toda la pelota de fútbol?

c. ¿Cuántos pedazos blancos hay en toda la pelotade fútbol?


Este cuerpo geométrico es un icosaedro.

3. a. Explica cómo se relaciona una pelota de fútbol con un icosaedro.

Tim razona de la siguiente manera:

Una pelota de fútbol tiene 12 pentágonos negros. Cada pentágono limitacon cinco hexágonos. Por lo tanto, el número de hexágonos tiene que ser 12 � 5 � 60.

b. ¿Cuál es el error de Tim?

c. Investiga para ver si la fórmula de Euler es válida para una pelotade fútbol.


Práctica adicional

Sección VolumenE

3 cm

6 cm

6 cm

12 cm

Estos son dos moldes. El ancho del segundomolde es dos veces el ancho del primero, pero sualtura es la mitad.

Jesse cree que ambos moldes tienen el mismovolumen.

1. ¿Tiene razón Jesse? Explica.


La señora Berkley quiere tener un sistema de refrigeración en su casa deverano. Para comprar un sistema que sea eficiente para su casa necesitacalcular el volumen de esta.

Aquí ves las medidas de la casa

2. Calcula el volumen de la casa en metros cúbicos.

3. Halla el volumen del cuerpo geométrico que se puede construir con estaplantilla.


Práctica adicional

4 metros 3 metros

5 metros 12 metros5

met

ros

2 pulgadas


1. Las descripciones pueden diferir, pero los nombres matemáticos para los cuerpos geométricos tienen que ser los mismos que ves a continuación.

a. bola de béisbol — esfera

b. maleta — prisma rectangular

c. caja de donas — prisma

d. edificio con cúpula — cilindro, media esfera en la parte superior

e. porción de queso suizo — prisma

f. barril — cilindro

g. recipiente de azúcar — cono truncado

h. sombrero de fiesta — cono

i. caja de pizza — prisma

j. pirámides egipcias — pirámide

2. Comenta tus respuestas con un compañero. Podrías elegir decir algocomo esto:

a. Una pirámide, un prisma y una esfera: la pirámide y el prismatienen aristas que son líneas rectas, y la esfera no tiene ningunaarista recta.

b. Un cubo, un prisma y un cilindro: el cubo y el prisma tienen ladosformados por líneas rectas, mientras que el cilindro tiene una solaparte formada por un círculo.

3. Tu plantilla tiene que tener dos rectángulos de 4 cm por 2 cm, dosrectángulos de 4 cm por 3 cm y dos rectángulos de 2 cm por 3 cm.

Este es un ejemplo de laplantilla que puedes haberdibujado; también podríashaber hecho otras diferentes.

Puedes verificar tu diseño si locortas y lo pliegas para formarun prisma rectangular.

Respuestas para verificar tu trabajo 59

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección PaquetesA

2 cm 3 cm

4 cm


4.

Puedes hallar otras soluciones intercambiando el azul y el blanco.



Sección Modelos de barrasB

a. b.

c. d.

e. f.

1. de la a. a la c.

(Observa que la diagonal del espacio está dibujada como una línea de puntos.)

2. a.

b. La pirámide construida con seis pajillas estáformada por triángulos, así que será másestable que una pirámide con una caracuadrangular. El modelo de barras de a sepodría aplanar si los vértices fueran flexibles.


3. Él puede hacer tres modelos diferentes:

El primero es una pirámide de basetriangular cuyos lados miden 5 cm.Las otras tres aristas miden 10 cm.

El segundo modelo es también unapirámide de base triangular pero ahoratodas las aristas de la pirámide miden 5 cm.

El tercer modelo posible es un prisma.Las caras superior e inferior son triánguloscuyos lados miden 5 cm y las aristas de losrectángulos miden 10 cm.

¡Observa que no es posible hacer unapirámide de base triangular cuyos ladosmidan 10 cm!

4. a. En total, el prisma tiene ocho caras. Están ocultas cuatro caras.

b. Están ocultos dos vértices.

c. Las caras que tienen forma de rectángulo son seis.

d.

e. Caras: 8; vértices: 12; aristas: 18.

f. Pista: para hallar el número de diagonales dela cara superior, puedes dibujar el cuerpogeométrico y hallar todas las diagonales.¡Cuéntalas mientras estás dibujando!

El número total de las diagonales de las carasdel prisma es 30. La cara superior y la inferiortienen nueve diagonales cada una (2 � 9), ylas otras caras tienen dos diagonales cadauna (6 � 2), por lo tanto, el total es: 6 � 2 � 2 � 9 � 30 diagonales.



10 cm

5 cm

5 cm

5 cm

10 cm

5 cm


1. a. Muestra tu respuesta a un compañero. Tienes que haber dibujadoun cuadrado de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. Estees un polígono regular, porque los lados y los ángulos son iguales.La otra figura (un rombo) tiene cuatro lados iguales pero losángulos no lo son.

b. A medida que aumenta el número de lados, aumenta el tamaño decada ángulo interior.

2. a. Un triángulo equilátero. En tu explicación, puedeshaber usado “todos los lados son iguales” o “todoslos ángulos miden 60 grados”.

b. Quizás hayas usado una de las siguientes estrategias:

• Giros: • Seis triángulos regulares:

360° � 3 � 120°

180° � 120° � 60°

360° � 6 � 60°

3. a. Se formó un hexágono. b. Se formó un triángulo.

c. Se formó un dodecágono.



Sección PolígonosC

60°

1211

10

9

8

7 56

4

3

2

112

11

10

9

8

7 56

4

3

2

1

1211

10

9

8

7 56

4

3

2

1


4. a. Hay baldosas cuadradas y octágonos.

b. 135°. Tu estrategia puede diferir de la estrategia que se indica aquí:

• El número de giros iguales que haces al caminar alrededor deun octágono es ocho. Ahora divide 360° por 8 � 45° para hallarel ángulo de cada giro. El ángulo interior mide 180° menos elángulo del giro.

• La suma de todos los ángulos en el punto donde se encuentranlos tres polígonos es de 360°. El ángulo de la baldosa cuadradamide 90°.

Por lo tanto, los otros dos ángulos juntos miden 360° � 90° � 270°.

Estos dos ángulos son iguales, así que cada uno de ellos mide 270° � 2 � 135°.



90°

Sección PoliedrosD

1. Pista: observa las ilustraciones de los cinco sólidos platónicos del Resumen.

Para cada sólido platónico, puedes decir que las caras son polígonosregulares y que un número igual de aristas debe encontrarse en cadavértice. Las caras de tres sólidos platónicos son triángulos regulares.Las caras de los otros dos son cuadrados o son pentágonos regulares.

2. a. Él está pensando que la parte posterior y la anterior son iguales,pero se olvida de que cuatro de las aristas que se ven en lailustración las comparte la parte posterior del octaedro. Cuenta dosveces estas cuatro aristas.

b. Debido a que contó dos veces cuatro aristas, sólo resta cuatro a lasdieciséis aristas que obtuvo Jonathan.

Entonces, 16 � 4 � 12 que es el número de aristas del octaedro.




3. Primero, tienes que averiguar cuántos vértices y aristas tiene un icosaedro.

Un icosaedro tiene 12 vértices y 30 aristas.

Un octaedro requiere 6 vértices y 12 aristas, así que dos octaedrosrequieren dos veces esas cantidades, es decir, 12 vértices y 24 aristas.

Ahora quedan seis aristas pero ningún vértice, así que no puede hacermás de dos octaedros.

Respuesta: a partir del modelo de barras de un icosaedro Toni puedehacer dos octaedros.

4. Sí.

Un cubo tiene seis caras, entonces C � 6;

ocho vértices, entonces V � 8;

12 aristas, entonces A � 12;

C � V – A � 6 � 8 � 12 � 2.

5. Pista: para hallar el número de vértices, aristas y caras, debes modificarel dibujo de manera que muestre un modelo de barras del cuerpogeométrico o de manera que muestre las aristas, las caras y losvértices que no se ven.

Ahora puedes ver que este cuerpo geométrico tiene:

Siete caras, entonces C � 7;

2 � 5 � 10 vértices, entonces V � 10;

3 � 5 � 15 aristas, entonces A � 15;

C � V – A � 7 � 10 � 15 � 2. ¡SÍ!

6. a. b. Sí, la fórmula es válida.

C � 6, V � 8, A � 12

6 � 8 � 12 � 2


1. A: El volumen es de 16 cm3.

Puedes usar distintas estrategias para calcular el volumen.

• Una estrategia es que dividas el cuerpo geométrico en cuatroprismas rectangulares de base cuadrangular, cuyos lados midan1 cm y la altura sea de 4 cm.

El volumen de un prisma es igual a 1 � 1 � 4 � 4 cm3. Entonces elvolumen del molde es igual a 4 � 4 cm3 � 16 cm3.

• O calcula el área de la base del molde que mide 4 cm2.

El volumen del molde es igual al área de la base x la altura, lo que equivale a 4 � 4 � 16 cm3.

B: El volumen es de 18 cm3.

Tal vez usaste una de las siguientes estrategias para hallar el volumen:

• Una estrategia es que calcules el volumen de un prisma de base cuadrangular cuyos lados midan 3 cm y la altura sea de 4 cm. Luego se puede calcular el volumen multiplicando 3 � 3 � 4 � 36 cm3. Y luego tomas la mitad de este volumen para este molde. Entonces, el volumen del molde es de 18 cm3.

• O calcula el área de la base del prisma triangular, que mide 4.5 cm2. El volumen es el área de la base x la altura, lo queequivale a 4.5 cm2. El volumen es el área de la base � la altura, lo que equivale a 4.5 � 4 � 18 cm3.

C: El volumen es de, aproximadamente, 12.6 cm3.

El área de la base mide 3.14 � 1 � 1 � 3.14 cm2.El volumen es el área de la base x la altura, lo que equivale a 3.14 � 4 � 12.6 cm3.

2. El diámetro de la lata es de 8.5 cm, entonces el radio mide 4.25 cm.

El área de la base es igual a 3.14 � 4.25 � 4.25, lo que equivale,aproximadamente, a 63.6 cm2. El volumen de la lata es el área de la base x la altura, lo que equivale a 63.6 � 18 � 1,144.8 cm3. Esto es más de un litro porque 1 litroequivale a 1,000 cm3.



Sección VolumenE


3. La pirámide de base cuadrangular tiene el volumen mayor. Tuestrategia puede diferir de la estrategia que se indica aquí. Si hallasteotra estrategia, compártela con la clase.

Ejemplo de estrategia: el volumen de una pirámide equivale a 1–3

delvolumen de un prisma que tiene la misma altura. Ambas pirámidestienen la misma altura, entonces la única parte importante es lamedida de la superficie de su base. La más fácil de hallar es el área dela base del molde piramidal de base cuadrangular:

4 � 4 � 16 cm2.

Para el molde piramidal de base triangular, podrías hacer un dibujo dela base triangular en tamaño real y medir la altura. (Observa que estedibujo está hecho a escala.)

El área de la base mide 1–2

� 6 � 5.2 o 3 � 5.2, lo que equivale a15.6 cm2.

Entonces, el volumen de la pirámide de base triangular es menorque el volumen de la pirámide de base cuadrangular.



6 cm 6 cm

6 cm

5.2

cm


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Geometría y medición - Universiteit Utrecht … · En esta unidad, explorarás diversas figuras bidimensionales y cuerpos tridimensionales, y aprenderás cómo se relacionan. Construirás