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Geometría Analítica
26th March 2008
Geometría Analítica
Sistema de coordenadas cartesianas
Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O.
Una de las rectas es horizontal: OX .
Otra es vertical: OY .
P se ubica en el plano midiendo su distancia a cada recta.
La distancia de P a la recta OY se denota x .
La distancia de P a la recta OX se denota y .
31 2 4 5
34
2
1
5(x,y)= (3,4)
O
Y = R
X = R
Geometría Analítica
Sistema de coordenadas cartesianas
Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O.
Una de las rectas es horizontal: OX .
Otra es vertical: OY .
P se ubica en el plano midiendo su distancia a cada recta.
La distancia de P a la recta OY se denota x .
La distancia de P a la recta OX se denota y .
31 2 4 5
34
2
1
5(x,y)= (3,4)
O
Y = R
X = R
Geometría Analítica
Sistema de coordenadas cartesianas
Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O.
Una de las rectas es horizontal: OX .
Otra es vertical: OY .
P se ubica en el plano midiendo su distancia a cada recta.
La distancia de P a la recta OY se denota x .
La distancia de P a la recta OX se denota y .
31 2 4 5
34
2
1
5(x,y)= (3,4)
O
Y = R
X = R
Geometría Analítica
Sistema de coordenadas cartesianas
OX : eje de las x , o eje de las abscisas.
OY : eje de las y , o eje de las ordenadas.
Conjuntos de puntos:
A = {todos los puntos de coordenadas(x , y) tales que∈ C} ,
C: Condición que satisfacen dichas coordenadas.
Cuadrantes del sistema de coordenadas:
1er. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y > 0}2do. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y > 0}3er. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y < 0}4to. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y < 0}.
Geometría Analítica
Sistema de coordenadas cartesianas
OX : eje de las x , o eje de las abscisas.
OY : eje de las y , o eje de las ordenadas.
Conjuntos de puntos:
A = {todos los puntos de coordenadas(x , y) tales que∈ C} ,
C: Condición que satisfacen dichas coordenadas.
Cuadrantes del sistema de coordenadas:
1er. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y > 0}2do. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y > 0}3er. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y < 0}4to. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y < 0}.
Geometría Analítica
Sistema de coordenadas cartesianas
OX : eje de las x , o eje de las abscisas.
OY : eje de las y , o eje de las ordenadas.
Conjuntos de puntos:
A = {todos los puntos de coordenadas(x , y) tales que∈ C} ,
C: Condición que satisfacen dichas coordenadas.
Cuadrantes del sistema de coordenadas:
1er. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y > 0}2do. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y > 0}3er. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y < 0}4to. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y < 0}.
Geometría Analítica
Lugares Geométricos
Definición (Lugar geométrico)Los conjuntos de puntos del plano que satisfacen alguna condicióngeométrica o algebraica, los llamaremos Lugares Geométricos.
Geometría Analítica
Distancia entre dos puntos
Teorema de Pitágoras:
d(A, B)2 = d(A, C)2 + d(C, B)2.
O
B
C A
x2 x1
y1
y2
Y
X
Distancia entre dospuntos:
d(A, B) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
(1)
Geometría Analítica
Distancia entre dos puntos
Teorema de Pitágoras:
d(A, B)2 = d(A, C)2 + d(C, B)2.
O
B
C A
x2 x1
y1
y2
Y
X
Distancia entre dospuntos:
d(A, B) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
(1)
Geometría Analítica
Ecuación de la circunferencia
A = (a, b) punto fijo y r un número real mayor que 0.
Circunferencia con centro en el punto A y radio r :Conjunto de puntos (x , y) del plano tales que su distancia al punto A vale r .
C = {P = (x , y) : d(P, A) = r}.
Ecuación de la circunferencia:C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Geometría Analítica
Ecuación de la circunferencia
A = (a, b) punto fijo y r un número real mayor que 0.
Circunferencia con centro en el punto A y radio r :Conjunto de puntos (x , y) del plano tales que su distancia al punto A vale r .
C = {P = (x , y) : d(P, A) = r}.
Ecuación de la circunferencia:C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Geometría Analítica
Observaciones
1 Si C es una circunferencia de ecuación (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entoncessu ecuación puede escribirse como:
C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.
2 Si M = {(x , y) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0} , la ecuación del conjunto Mpuede escribirse:
(x +A2
)2 + (y +B2
)2 =A2 + B2 − 4C
4.
M : Circunferencia de centro (−A2 ,−B
2 ) y radio√
A2+B2−4C2 , cuando
A2 + B2 − 4C ≥ 0.
Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.
Geometría Analítica
Observaciones
1 Si C es una circunferencia de ecuación (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entoncessu ecuación puede escribirse como:
C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.
2 Si M = {(x , y) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0} , la ecuación del conjunto Mpuede escribirse:
(x +A2
)2 + (y +B2
)2 =A2 + B2 − 4C
4.
M : Circunferencia de centro (−A2 ,−B
2 ) y radio√
A2+B2−4C2 , cuando
A2 + B2 − 4C ≥ 0.
Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.
Geometría Analítica
Observaciones
1 Si C es una circunferencia de ecuación (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entoncessu ecuación puede escribirse como:
C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.
2 Si M = {(x , y) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0} , la ecuación del conjunto Mpuede escribirse:
(x +A2
)2 + (y +B2
)2 =A2 + B2 − 4C
4.
M : Circunferencia de centro (−A2 ,−B
2 ) y radio√
A2+B2−4C2 , cuando
A2 + B2 − 4C ≥ 0.
Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.
Geometría Analítica
Observaciones
1 Si C es una circunferencia de ecuación (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entoncessu ecuación puede escribirse como:
C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.
2 Si M = {(x , y) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0} , la ecuación del conjunto Mpuede escribirse:
(x +A2
)2 + (y +B2
)2 =A2 + B2 − 4C
4.
M : Circunferencia de centro (−A2 ,−B
2 ) y radio√
A2+B2−4C2 , cuando
A2 + B2 − 4C ≥ 0.
Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.
Geometría Analítica
Ejemplo
{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 > r2} Representa a la zona exterior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .
Geometría Analítica
Ejemplo
{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 > r2} Representa a la zona exterior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .
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O
r
a
b
Y
X
Geometría Analítica
Ejemplo
{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2} Representa a la zona interior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .
Geometría Analítica
Ejemplo
{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2} Representa a la zona interior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .
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O
r
a
b
Y
X
Geometría Analítica
Ecuación de la recta
A = (x1, y1) y B = (x2, y2) puntos cualquiera con A 6= B.
Recta que pasa por los puntos A y B:
x1 = x2 o y1 = y2 que corresponden a rectas vertical y horizontalrespectivamente.
x1 6= x2 ey1 6= y2
P = (x , y) pertenece a la recta que pasa por A y B, sí y solamente síalguna de las siguientes condiciones se cumple:
1 P = A2 P = B3 P está en el segmento AB4 B está en el segmento AP5 A está en el segmento PB
Geometría Analítica
Ecuación de la recta
A = (x1, y1) y B = (x2, y2) puntos cualquiera con A 6= B.
Recta que pasa por los puntos A y B:
x1 = x2 o y1 = y2 que corresponden a rectas vertical y horizontalrespectivamente.
x1 6= x2 ey1 6= y2
P = (x , y) pertenece a la recta que pasa por A y B, sí y solamente síalguna de las siguientes condiciones se cumple:
1 P = A2 P = B3 P está en el segmento AB4 B está en el segmento AP5 A está en el segmento PB
Geometría Analítica
Ecuación de la recta
Supongamos que estamos en el caso (3). Gráficamente tenemos:
O X
y1
y
y2
Y
x1 x
A
P
B
C D
x2
P = (x , y) ∈ L ⇐⇒ (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).
Geometría Analítica
Ecuación de la recta
Supongamos que estamos en el caso (3). Gráficamente tenemos:
O X
y1
y
y2
Y
x1 x
A
P
B
C D
x2
P = (x , y) ∈ L ⇐⇒ (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
Sea L la recta de ecuación (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).
Si a = (y2 − y1), b = −(x2 − x1), c = (x2y1 − x1y2):
Ecuación de la recta forma 1L : ax + by + c = 0.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
Sea L la recta de ecuación (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).
Si a = (y2 − y1), b = −(x2 − x1), c = (x2y1 − x1y2):
Ecuación de la recta forma 1L : ax + by + c = 0.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
TeoremaEl conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es:
i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 6= 0.
ii) Todo el plano R× R si a = b = c = 0.
iii) Una recta vertical si a 6= 0 y b = 0.
iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 6= 0.
v) Una recta oblicua (inclinada) si a 6= 0 y b 6= 0.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
TeoremaEl conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es:
i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 6= 0.
ii) Todo el plano R× R si a = b = c = 0.
iii) Una recta vertical si a 6= 0 y b = 0.
iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 6= 0.
v) Una recta oblicua (inclinada) si a 6= 0 y b 6= 0.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
TeoremaEl conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es:
i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 6= 0.
ii) Todo el plano R× R si a = b = c = 0.
iii) Una recta vertical si a 6= 0 y b = 0.
iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 6= 0.
v) Una recta oblicua (inclinada) si a 6= 0 y b 6= 0.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
TeoremaEl conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es:
i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 6= 0.
ii) Todo el plano R× R si a = b = c = 0.
iii) Una recta vertical si a 6= 0 y b = 0.
iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 6= 0.
v) Una recta oblicua (inclinada) si a 6= 0 y b 6= 0.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
TeoremaEl conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es:
i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 6= 0.
ii) Todo el plano R× R si a = b = c = 0.
iii) Una recta vertical si a 6= 0 y b = 0.
iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 6= 0.
v) Una recta oblicua (inclinada) si a 6= 0 y b 6= 0.
Geometría Analítica
Observación
ax + by + c = 0 representa siempre una recta, tal que:
Si a = 0 y b 6= 0 entonces la rectaes horizontal.
Si a 6= 0 y b = 0 entonces la rectaes vertical.
Finalmente, si a 6= 0 y b 6= 0entonces la recta es inclinada.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
ProposiciónSea L : ax + by + c = 0 una recta con b 6= 0.
Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si,entonces y2−y1
x2−x1es independiente de A y B y vale a
b .
Demostración.......ver pizarra....
PendienteSea L una recta no vertical. Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son dos puntosdiferentes de L, entonces al real m = y2−y1
x2−x1, se le llama pendiente de la recta
L.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
ProposiciónSea L : ax + by + c = 0 una recta con b 6= 0.
Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si,entonces y2−y1
x2−x1es independiente de A y B y vale a
b .
Demostración.......ver pizarra....
PendienteSea L una recta no vertical. Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son dos puntosdiferentes de L, entonces al real m = y2−y1
x2−x1, se le llama pendiente de la recta
L.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
ProposiciónSea L : ax + by + c = 0 una recta con b 6= 0.
Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si,entonces y2−y1
x2−x1es independiente de A y B y vale a
b .
Demostración.......ver pizarra....
PendienteSea L una recta no vertical. Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son dos puntosdiferentes de L, entonces al real m = y2−y1
x2−x1, se le llama pendiente de la recta
L.
Geometría Analítica
Ecuación de la recta, forma 1
ProposiciónSea L : ax + by + c = 0 una recta con b 6= 0.
Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si,entonces y2−y1
x2−x1es independiente de A y B y vale a
b .
Demostración.......ver pizarra....
PendienteSea L una recta no vertical. Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son dos puntosdiferentes de L, entonces al real m = y2−y1
x2−x1, se le llama pendiente de la recta
L.
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma 2
L recta de pendiente m y que pasa por A = (x0, y0).
Ecuación de la recta forma 2L : (y − y0) = m(x − x0).
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma 2
L recta de pendiente m y que pasa por A = (x0, y0).
Ecuación de la recta forma 2L : (y − y0) = m(x − x0).
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma 3
L la recta que pasa por A = (x1, y1) y B = (x2, y2).
Si x1 = x2 entonces la ecuación de L es L : x = x1.
Si x1 6= x2 entonces :
Ecuación de la recta forma 3L : (y − y1) =
y2 − y1
x2 − x1(x − x1).
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma 3
L la recta que pasa por A = (x1, y1) y B = (x2, y2).
Si x1 = x2 entonces la ecuación de L es L : x = x1.
Si x1 6= x2 entonces :
Ecuación de la recta forma 3L : (y − y1) =
y2 − y1
x2 − x1(x − x1).
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma 3
L la recta que pasa por A = (x1, y1) y B = (x2, y2).
Si x1 = x2 entonces la ecuación de L es L : x = x1.
Si x1 6= x2 entonces :
Ecuación de la recta forma 3L : (y − y1) =
y2 − y1
x2 − x1(x − x1).
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma 3
L la recta que pasa por A = (x1, y1) y B = (x2, y2).
Si x1 = x2 entonces la ecuación de L es L : x = x1.
Si x1 6= x2 entonces :
Ecuación de la recta forma 3L : (y − y1) =
y2 − y1
x2 − x1(x − x1).
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma principal
L : ax + by + c = 0 recta no vertical (b 6= 0). Sea m su pendiente.
Ecuación de la recta forma principalL : y = mx + n.
Geometría Analítica
Ecuación de una recta, forma principal
L : ax + by + c = 0 recta no vertical (b 6= 0). Sea m su pendiente.
Ecuación de la recta forma principalL : y = mx + n.
Geometría Analítica
Paralelismo y perpendicularidad
SimetralDados dos puntos P, Q ∈ R2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al LugarGeométrico que satisface
d((x , y), P) = d((x , y), Q).
Ecuación de la Simetralver pizarra....
P
Q
L
Geometría Analítica
Paralelismo y perpendicularidad
SimetralDados dos puntos P, Q ∈ R2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al LugarGeométrico que satisface
d((x , y), P) = d((x , y), Q).
Ecuación de la Simetralver pizarra....
P
Q
L
Geometría Analítica
Paralelismo y perpendicularidad
SimetralDados dos puntos P, Q ∈ R2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al LugarGeométrico que satisface
d((x , y), P) = d((x , y), Q).
Ecuación de la Simetralver pizarra....
P
Q
L
Geometría Analítica
Paralelismo
Definición: (Paralelismo)Diremos que dos rectas L1 y L2 son paralelas (denotado L1 ‖ L2) si secumple
L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.
Dadas las rectas no verticales
L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2
se tiene que
(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2
⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1
Pero la ecuación (m1 −m2)x = n2 − n1 tiene solución única sólo param1 −m2 6= 0.
Geometría Analítica
Paralelismo
Definición: (Paralelismo)Diremos que dos rectas L1 y L2 son paralelas (denotado L1 ‖ L2) si secumple
L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.
Dadas las rectas no verticales
L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2
se tiene que
(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2
⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1
Pero la ecuación (m1 −m2)x = n2 − n1 tiene solución única sólo param1 −m2 6= 0.
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Paralelismo
Definición: (Paralelismo)Diremos que dos rectas L1 y L2 son paralelas (denotado L1 ‖ L2) si secumple
L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.
Dadas las rectas no verticales
L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2
se tiene que
(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2
⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1
Pero la ecuación (m1 −m2)x = n2 − n1 tiene solución única sólo param1 −m2 6= 0.
Geometría Analítica
Paralelismo
Definición: (Paralelismo)Diremos que dos rectas L1 y L2 son paralelas (denotado L1 ‖ L2) si secumple
L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.
Dadas las rectas no verticales
L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2
se tiene que
(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2
⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1
Pero la ecuación (m1 −m2)x = n2 − n1 tiene solución única sólo param1 −m2 6= 0.
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Paralelismo
PropiedadDos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas si y sólo si mL1 = mL2.
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Perpendicularidad
PerpendicularidadSe dice que dos rectas L y L′ son perpendiculares u ortogonales (denotadoL ⊥ L′), si se cumple que:
∀P, Q ∈ L, (P 6= Q), L′ es paralela a la simetral entre P y Q.
L
L’S
P Q
Geometría Analítica
Paralelismo y perpendicularidad
TeoremaSean L y L′ dos rectas. Entonces L ⊥ L′ si y sólo si una de las siguientesafirmaciones es cierta.
L es horizontal y L′ es vertical (o vice versa).
L y L′ son oblicuas y mL ·mL′ = −1.
Demostración.......ver pizarra....
Geometría Analítica
Paralelismo y perpendicularidad
TeoremaSean L y L′ dos rectas. Entonces L ⊥ L′ si y sólo si una de las siguientesafirmaciones es cierta.
L es horizontal y L′ es vertical (o vice versa).
L y L′ son oblicuas y mL ·mL′ = −1.
Demostración.......ver pizarra....
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