Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 5

Espacio Afın Sistema de referencia Subespacios afines Operaciones con subespacios

Geometrıa afın y proyectiva, 2016SEMANA 5

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

October 11, 2016


Geometrıa afın y proyectiva

1. Algebra Lineal

2. Geometrıa afın y euclıdea

3. Conicas y cuadricas


Geometrıa afın y euclıdea

2.1 Espacio afın.

2.2 Transformaciones afines.

2.3 Espacio afın euclıdeo. Isometrıas afines.


Contenidos

Definicion de espacio afın

Sistema de referencia afınCambio de coordenadas afines

Subespacios afinesEcuaciones de un subespacio afın

Operaciones con subespacios







Un espacio afın real es una terna (A,V , φ) donde A es un conjuntode puntos, V es un espacio vectorial real y φ : A× A −→ V unaaplicacion que verifica:

1. ∀P ∈ A y ∀u ∈ V existe un unico Q ∈ A tal que

φ(P,Q) = u.

2. φ(P,Q) + φ(Q,R) = φ(P,R) para todo P,Q,R ∈ A.

Escribiremos φ(P,Q) = PQ. Los elementos del conjunto A sellaman puntos de A y diremos que V es el espacio vectorialasociado al espacio afın (A,V , φ). Definimos la dimension de unespacio afın (A,V , φ) como

dimA = dimV .


Ejemplos

1. Todo espacio vectorial V es un espacio afın con espaciovectorial asociado V . De hecho, en la terna (A,V , φ), A =Vy la aplicacion φ viene dada por

φ : A× A −→ V , φ(P,Q) = Q − P,∀P,Q ∈ A.

2. Por el ejemplo anterior, (R2,R2, φ) es un espacio afın dedimension 2, (R3,R3, φ) es un espacio afın de dimension 3.En general (Rn,Rn, φ) es un espacio afın de dimension n.

Propiedades de un espacio afın

Sea (A,V , φ) un espacio afın real. Se verifica que:

1. φ(P,Q) = 0 sı y solo si P = Q.

2. φ(P,Q) = −φ(Q,P), ∀P,Q ∈ A.

3. φ(P,Q) = φ(R, S) sı y solo si φ(P,R) = φ(Q, S).







Sea A un espacio afın de dimension n con espacio vectorialasociado V .

Definicion de sistema de referencia afın Un conjunto de n + 1puntos {O,P1, . . . ,Pn} de A es un sistema de referencia afın de Asi el conjunto de vectores

{OP1, . . . ,OPn

}es una base de V .

Al punto O ∈ A tal que B ={OP1, . . . ,OPn

}es una base de V ,

se le llama origen del sistema de referencia {O,P1, . . . ,Pn}.

Proposicion Un punto O ∈ A y una base B de V determinan unsistema de referencia afın R de A con origen en O, que denotamosR = {O;B}.


Definicion Llamamos coordenadas del punto P ∈ A con respecto alsistema de referenciaR = {O;B} de A, a las coordenadas delvector OP en la base B de V . Es decir, la n-upla (α1, . . . , αn) deRn tal que

OP = α1u1 + · · ·+ αnun,

siendo B = {u1, . . . , un} una base de V . EscribiremosP(α1, . . . , αn)R.

Ejemplo Sea R = {O = (0, 0, 0);Bc = {e1, e2, e3}} un sistema dereferencia de (R3,R3, φ), con B3 la base canonica de R3.Consideremos otro sistema de referencia R′ = {O ′;B ′} conO ′ = (1, 2,−1) y B ′ = {u1, u2, u3}, con vectores u1 = (1, 0, 0),u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1) .


Sea P el punto de coordenadas (5, 5, 0) en R, es decir,

P(5, 5, 0)R ⇐⇒ OP = 5e1 + 5e2 + 0e3.

Calculemos las coordenadas de P en R′:

O ′P = (5− 1, 5− 2, 0 + 1) = (4, 3, 1),

O ′P = x1u1 + x2u2 + x3u3 = x1(1, 0, 0) + x2(1, 1, 0) + x3(1, 1, 1)

= (x1 + x2 + x3, x2 + x3, x3),

thus 4 = x1 + x2 + x3

3 = x2 + x3

1 = x3

=⇒

x1 = 1x2 = 2x3 = 1

ası, (1, 2, 1) son las coordenadas de P en R′: P(1, 2, 1)R′ .


Estudiemos primero el caso de un espacio afın de dimension 2. SeaA un espacio afın de dimension 2 con espacio vectorial asociado V .

Sean B = {u1, u2} y B ′ = {u′1, u′2} bases de V y R = {O;B},R′ = {O ′;B ′} dos sistemas de referencia de A.

Dado un punto P ∈ A, sean (x1, x2) sus coordenadas en R y(x ′1, x

′2) sus coordenadas en R′; es decir

OP = x1u1 + x2u2,

and O ′P = x ′1u′1 + x ′2u

′2.

¿Que relacion existe entre (x1, x2) y (x ′1, x′2)?

Sabemos que, por la definicion de espacio afın

OP = OO ′ + O ′P.


Sean (a, b) las coordenadas de O ′ en R;

OO ′ = au1 + bu2,

y sean

(a11, a21) las coordenadas de u′1 en B,

(a12, a22) las coordenadas de u′2 en B;

ası,

u′1 = a11u1 + a21u2,

u′2 = a12u1 + a22u2.

Sustituyendo en OP = OO ′ + O ′P se obtiene:

OP = OO ′ + O ′P

= au1 + bu2 + x ′1u′1 + x ′2u

′2

= au1 + bu2 + x ′1 (a11u1 + a21u2) + x ′2 (a12u1 + a22u2)

=(a + x ′1a11 + x ′2a12

)u1 +

(b + x ′1a21 + x ′2a22

)u2,


y como OP = x1u1 + x2u2, desarrollando y teniendo en cuenta quelas coordenadas de un vector en un bae son unicas llegamos a:{

x1 = a + x ′1a11 + x ′2a12

x2 = b + x ′1a21 + x ′2a22

Tambien podemos escribir dichas ecuaciones en forma matricial: 1x1

x2

=

1 0 0a a11 a12

b a21 a22

1x ′1x ′2

.

Pasemos al caso general. Sea A un espacio afın n-dimensional, ysean R = {O;B = {u1, . . . , un}} y R′ = {O ′;B ′ = {u′1, . . . , u′2}}dos sistemas de referencia de A.


Sean (x1, . . . , xn) las coordenadas de P en la referencia R y(x ′1, . . . , x

′n) las coordenadas de P en la referencia R′, las

ecuaciones del cambio de referencia de R′ a R son:1x1...xn

=

1 0 · · · 0a1 a11 · · · a1n...

.... . .

...an an1 · · · ann

1x ′1...x ′n

donde

(a1, . . . , an) son las coordenadas de O ′ en R,

(a11, . . . , an1) son las coordenadas de u′1 en B,...

(a1n, . . . , ann) son las coordenadas de u′n en B.


Se pueden escribir de la forma: x1...xn

=

a1...an

+ A

x ′1...x ′n

siendo A la matriz de cambio de base de B ′ a B:

A = M(B ′,B) =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

.

La matriz

M(R′,R) =

1 0 · · · 0a1 a11 · · · a1n...

.... . .

...an an1 · · · ann

es la matriz de cambio de coordenadas de R′ a R.


EjemploEn (A2,V2, φ) tomemos sistemas de referenciaR = {O;B = {u1, u2}}, R′ = {O ′;B ′ = {u′1, u′2}} con

OO ′ = 3u1 + 3u2, u′1 = 2u1 − u2, u′2 = −u1 + 2u2.

• Determinar la matriz de cambio de coordenadas de R′ a R.Se tiene que

OP = OO ′ + O ′P = 3u1 + 3u2 + y1(2u1 − u2) + y2(−u1 + 2u2)

= (3 + 2y1 − y2) u1 + (3− y1 + 2y2) u2,

por tanto {x1 = 3 + 2y1 − y2

x2 = 3− y1 + 2y2

this is,

M(R′,R) =

1 0 03 2 −13 −1 2

.


• Determinar la matriz de cambio de coordenadas de R a R′.

M(R,R′) = M(R′,R)−1

=

1 0 03 2 −13 −1 2

−1

=

1 0 0−3 2

313

−3 13

23

.

• Sabiendo que las coordenadas del punto P en la referencia Rson (3, 5), hallar sus coordenadas en la referencia R′.

M(R,R′)

135

=

1 0 0−3 2

313

−3 13

23

135

=

12343

.

• Las coordenadas de Q en R′ son (2, 3). Hallar suscoordenadas en R.

M(R′,R)

123

=

1 0 03 2 −13 −1 2

123

=

147

.







Definicion de subepacio afınSea (A,V , φ) un espacio afın real.Un subconjunto L ⊂ A es un subespacio afın de A si dado unpunto P ∈ L el conjunto

W (L) = {PQ | Q ∈ L}

es un subespacio vectorial de V , llamado subepacio vectorialasociado a L y se denota por L. La terna (L, L, φ) es un espacioafın. affine space.

Proposicion La definicion anterior no depende de P.


Proposicion Para todo P ∈ A y todo subespacio vectorial W ⊂ Vel conjunto

{X ∈ A | PX ∈W }

es un subespacio afın de A que denotamos P + W .

Definicion Sea L un subespacio afın de A. La dimension de L sedefine como la dimension de su subespacio vectorial asociado:dimL = dimL.

Supongamos que la dimension de A es n. Los subespacios afinesde dimension 0 son los puntos de A. Los subespacios afines dedimensiones 1, 2 y n− 1 se llaman respectivamente rectas, planos ehiperplanos.


Fijamos en el espacio afın A el sistema de referencia R = {O;B},B = {e1, . . . , en}.Sea L ⊂ A un subespacio afın de A de dimension k; es decir,L = P + L con L = 〈u1, . . . , uk〉.

Supongamos que (a1, . . . , an) son las coordenadas de P en R yu1 = a11e1 + · · ·+ an1enu2 = a12e1 + · · ·+ an2en

...uk = a1ke1 + · · ·+ anken


Ecuaciones parametricas

Un punto X (x1, . . . , xn)R ∈ L sı y solo si existen λ1, . . . , λk ∈ R talque

OX = OP + λ1u1 + · · ·+ λkuk ;

es decir,

(x1, . . . , xn) = (a1, . . . , an)+λ1(a11, . . . , an1)+· · ·+λk(a1k , . . . , ank)

o, equivalentementex1 = a1 + λ1a11 + · · ·+ λka1k

...xn = an + λ1an1 + · · ·+ λkank

que son las ecuaciones parametricas de L en la referencia R.


Ecuaciones cartesianas

Un punto X (x1, . . . , xn)R ∈ L sı y solo si el vector

PX = (x1 − a1, . . . , xn − an) ∈ 〈u1, . . . , uk〉 .Como los vectores u1, . . . , uk son linealmente independientes,tenemos que

rango

a11 · · · a1k...

. . ....

an1 · · · ank

= k.

Ası, PX = (x1 − a1, . . . , xn − an) ∈ 〈u1, . . . , uk〉 sı y solo si

rango

x1 − a1 a11 · · · a1k...

.... . .

...xn − an an1 · · · ank

= k.

Estamos forzando a que el rango sea k por lo que obtenemos n− kmenores de orden k + 1 igualados a cero. Es decir, obtenemosn − k ecuaciones en n variables: (x1, . . . , xn).


Observaciones: Recordemos que la dimension de A es n. Lasecuaciones cartesianas de un subespacio afın L de dimension n − rson un sistema de r ecuaciones lineales en n incognitas, que engeneral no son homogeneas.

L ≡

a11x1 + · · ·+ an1xn = b1

...a1rx1 + · · ·+ anrxn = br

Si P,Q ∈ L el vector u = PQ satisface el sistema de ecuacioneslineales homogeneas asociado a L y que se obtiene igualando acero los terminos independientes del anterior.

L ≡

a11x1 + · · ·+ an1xn = 0

...a1rx1 + · · ·+ anrxn = 0


Ecuaciones de una recta

Una recta afın r ⊂ A es un subespacio afın de dimension 1,r = P + 〈u〉, con P ∈ A y u ∈ V . Supongamos que (a1, . . . , an)son las coordenadas de P en R y

u = u1e1 + · · ·+ unen.

Un punto X ∈ r sı y solo si

OX = OP + λu,

es decir si (x1, . . . , xn) son las coordenadas de X en R entonces,

(x1, . . . , xn) = (a1, . . . , an) + λ(u1, . . . , un)

o, equivalentemente obtenemos las ecuaciones parametrica de r .x1 = a1 + λ1u1

...xn = an + λ1un


Si suponemos ui 6= 0, i = 1, . . . , n podemos escribir:

x1 − a1

u1= · · · =

xn − anun

que son las ecuaciones en forma contınua de la recta r .Finalmente, X (x1, . . . , xn)R ∈ L sı y solo si XP ∈ 〈u〉 sı y solo siXP y u son proporcionales. Por tanto, XP ∈ 〈u〉 sı y solo si

rango

x1 − a1 u1...

...xn − an un

= 1.

Tenemos que imponer que el rango sea 1, obteniendo n − 1menores de orden 2, las n − 1 ecuaciones cartesianas de r .


Ecuaciones de un hiperplano

Un hiperplano afın H ⊂ A es un subespacio afın de dimensionn − 1; por tanto tiene una sola ecuacion cartesiana

a1x1 + · · ·+ anxn = b.

Observacion Un subespacio afın L de dimension k es la interseccionde n − k hiperplanos independientes.

Ejemplo 1 Obtener las ecuaciones parametricas delm subespacioafın L de A con ecuaciones cartesianas en R = {O, {e1, e2, e3}} :

L ≡{

x1 + x2 + 2x3 = 12x2 − x3 = 1


Resolvemos el sistema de ecuaciones que define L. La matriz decoeficientes es:

A =

(1 1 20 2 −1

)de rango 2. Como

rango

(1 10 2

)= 2

tomamos x3 = λ como parametro de la solucion del sistema:

{x1 + x2 + 2x3 = 12x2 − x3 = 1

=⇒

x1 + x2 = 1− 2λ2x2 = 1 + λx3 = λ

Finalmente, x1 = 1

2 −52λ

x2 = 12 + 1

2λx3 = λ

que son las ecuaciones parametricas de L.


Ejemplo 2

Fijamos en (A,V , φ) la referencia R = {O;B}, B = {e1, e2, e3}.Obtener las ecuaciones cartesianas de L = P + L, con P(1, 2,−1)Ry L = 〈u1, u2〉 con u1 = e1 + 2e2 − e3) y u2 = 2e1 + e2 + e3.Solucion.Los vectores u1, u2 que generan L son linealmente independientes.Por tanto, dimL = 2.Un punto X (x1, x2, x3)R ∈ L sı y solo si el vector

PX = (x1 − 1, x2 − 2, x3 + 1) ∈ 〈u1, u2〉 ;

es decir, sı y solo si

rango

x1 − 1 1 2x2 − 2 2 1x3 + 1 −1 1

= 2⇐⇒ 0 =

∣∣∣∣∣∣x1 − 1 1 2x2 − 2 2 1x3 + 1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ .La ecuacion cartesiana del hiperplano es L ≡ x1 − x2 − x3 = 0.







Interseccion y suma de subespacios

Sea (A,V , φ) un espacio afın real y L1, L2 dos subespacios afinesde A.La interseccion de L1 y L2:

L1 ∩ L2 = {P | P ∈ L1 and P ∈ L2}

es un subespacio afın de A. Si la interseccion es no vacıa,L1 ∩ L2 6= ∅, entonces

L1 ∩ L2 = L1 ∩ L2.

Definimos la suma de L1 y L2 como el menor subepacio afın quecontiene a L1 y L2, que denotamos por L1 + L2. Si L1 = P1 + L1 yL2 = P2 + L2 entonces

L1 + L2 = P1 + L1 + L2 +⟨P1P2

⟩.


Dos subespacios afines L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 tieneninterseccion no vacıa sı y solo si

P1P2 ∈ L1 + L2.

Observacion Si L1 ∩ L2 6= ∅ entonces

L1 + L2 = L1 + L2 +⟨P1P2

⟩= L1 + L2,

Si L1 ∩ L2 = ∅ entonces

L1 + L2 = L1 + L2 +⟨P1P2

⟩, P1 ∈ L1, P2 ∈ L2.


Paralelismo

Diremos que dos subespacios afines L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2

de A son paralelos si L1 ⊂ L2 o L2 ⊂ L1.Los subespacios afines L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 podrıan tenerinterseccion vacıa y no ser paralelos, en dicho caso diremos que secruzan.

Formula de las Dimensiones

Sean L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 subespacios afines de A. Severifica que:

1. Si L1 ∩ L2 6= ∅, entonces

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2).

2. Si L1 ∩ L2 = ∅, entonces

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2) + 1.


I. Posicion relativa de dos rectas

Sean L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 rectas afines de un espacio afınA de dimension n. Las posiciones relativas posibles de L1 y L2 son:Si L1 ∩ L2 6= ∅ entonces L1 ∩ L2 es una recta dim(L1 ∩ L2) = 1 oL1 ∩ L2 es un punto point dim(L1 ∩ L2) = 0. Ası:

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2)

L1 and L2 son coincidentesL1 and L2 intersecan en un punto

=⇒{

1 = 1 + 1− 12 = 1 + 1− 0

Si L1 ∩ L2 = ∅ entonces L1 ∩ L2 puede ser una recta vectorial o elsubespacio nulo 0. Asi:

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2) + 1

L1 and L2 are parallelL1 and L2 are skew lines

=⇒{

2 = 1 + 1− 1 + 13 = 1 + 1− 0 + 1


Se verifica que:

1. Las rectas L1 y L2 se cruzan si no existe un plano quecontenga a ambas; si {u1, u2,P1P2} son linealmenteindependientes.

2. Las rectas L1 y L2 estan el mismo plano si {u1, u2,P1P2} sonlinealmente independientes.

3. Las rectas L1 y L2 intersecan si L1 ∩ L2 6= ∅.4. Las rectas L1 y L2 son paralelas si L1 = L2; si u1 y u2 son

proporcionales. Si ademas L1 ∩ L2 6= ∅ entonces soncoincidentes.


II. Posicion relativa de dos hiperplanos

Sean H1,H2 ⊂ A dos hiperplanos dados por sus ecuacionescartesianas

H1 ≡ a1x1 + · · ·+ anxn = b,

H2 ≡ a′1x1 + · · ·+ a′nxn = b′.

Las ecuaciones cartesianas de sus subespacios vectoriales asociadosson

H1 ≡ a1x1 + · · ·+ anxn = 0,

H2 ≡ a′1x1 + · · ·+ a′nxn = 0.

Si existe λ tal que (a′1, . . . , a′n) = λ (a1, . . . , an) entonces H1 = H2

y los hiperplanos H1, H2 son paralelos.

Si ademas, b′ = λb los hiperplanos H1, H2 son coincidentes.

Si b′ 6= λb entonces los hiperplanos H1, H2 no intersecan(H1 ∩ H2 = ∅).


III. Posicion relativa de recta e hiperplano

Sea r = P + 〈u〉 una recta de A con P(a1, . . . , an)R yu = u1e1 + · · ·+ unen. Sea H un hiperplano dado por la ecuacioncartesiana

a1x1 + · · ·+ anxn = b.

La recta r y el hiperplano H son paralelos si el vector u ∈ H; esdecir, si (u1, . . . , un) satisface la ecaucion de H

a1u1 + · · ·+ anun = 0.

Si ademas (a1, . . . , an) satisface la ecuacion de H, la recta estacontenida en el hiperplano.

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