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Geoestadística Minera Aplicada
Joel Peña Abregú Lima, Perú
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1. Introducción y definiciones.
2. Revisión de los Métodos Tradicionales de Estimación
3. Prerrequisitos Geológicos.
4. Prerrequisitos Estadísticos.
5. El Variograma: Cálculo e Interpretación.
Geoestadística Minera Aplicada
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1. Introducción y definiciones.
Objetivos y Lineamientos
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Este es un curso introductorio a la Geoestadística aplicada a la actividad Minera para Geólogos e Ingenieros con poca o ninguna exposición previa a esta materia.
El objetivo de este curso es dotar a los participantes de: Un conocimiento fundamental sólido de los conceptos y métodos
de la geoestadística aplicada a la minería. Un entendimiento de cómo la geoestadística puede ser usada
para crear modelos numéricos de los Recursos de un Yacimiento, integrados a la comprensión de la geología de este.
Herramientas para la aplicación práctica de la geoestadística en diversas áreas de la actividad minera.
Los elementos de la geoestadística avanzada. Entrenamiento básico en el uso del software geoestadístico
ISATIS. El material y la didáctica siguen los lineamientos del Centre de
Géostatistique de la École Nationale Supérieure des Mines de Paris, y del Centre for Computational Geostatistics de la University of Alberta.
Contexto General: El Modelado Numérico
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Modelo: Representación abstracta o concreta de un objeto o sistema desde un punto de vista en particular y con fines particulares.
Históricamente la ciencia se ha ocupado de recolectar datos y experimentar extensivamente para luego deducir leyes y relaciones.
Actualmente la ciencia esta abocada mayormente a entender y cuantificar las leyes físicas, y a crear modelos numéricos de los fenómenos.
Se acepta que la incertidumbre es ubicua y no puede ser eliminada.
Contexto Particular: El Modelado Geológico de yacimientos mineros.
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Modelado Geométrico Representación 3D de las
características geológicas del yacimiento.
Creación de dominios para la interpolación de leyes
Modelado Numérico Representación y análisis
de la variabilidad espacial de una variable regionalizada
Permite la estimación y manipulación de los valores requeridos para el control de leyes y el inventario de Recursos y Reservas
Adquisición, Manejo Y Validación de Datos
Mapeo Geológico
Datos deTaladros y Canales
InterpretaciónInteractiva
Análisis Estadísticoy Geoestadístico
Muestras de Taladros y
Canales
Observaciones:Mapeo + Logueo
Modelos Geométricos
Estructuras +Litología
Estimación / Simulación de Leyes
Modelo de Bloques
Valores Estimados y Certeza de Estimación
Inventario deRecursos
Modelo de leyes 3D
DominiosGeológicos 3D
Controlesde mineralización
ModeladoNumérico
ModeladoGeométrico
InfluenciasGeológicas
Bas
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l lib
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Sim
on W
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ould
ing
La Geoestadística
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La Geoestadística es una rama de las matemáticas aplicadas, específicamente de la Estadística Espacial, que comprende una serie de técnicas interrelacionadas cuyo objetivo es proveer una descripción cuantitativa de variables distribuidas en el tiempo o en el espacio por medio de la aplicación de métodos probabilísticos.
El desarrollo de la Geoestadística
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La Geoestadística se inició en los 60’s por Krige y Sichel en África del Sur y Matheron en Francia.
El profesor Georges Matheron (1930-2000) elaboró los mayores conceptos de la teoría para la estimación de recursos, los cuales se plasmaron en el monumental Traité de Géostatistique appliquée (1962-1963).
Dos de los primeros discípulos de Matheron (Journel y David) fundaron en EE.UU. y Canadá nuevos centros de investigación geoestadística en los 70’s.
Rápidamente la aplicación de las técnicas geoestadística llegó a ser popular en la minería y meteorología.
Las aplicaciones en la industria del petróleo se difundieron a mediados de los 80’s con el uso de la simulación condicional.
Actualmente estas técnicas son aplicadas en los campos mas diversos, desde la industria pesquera y forestal, hasta las ciencias ambientales y la epidemiología.
¿Para qué y para que no sirve la Geoestadística?
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La geoestadística: Incluye todas las restricciones geológicas y físicas conocidas Provee herramientas para cuantificar y aprovechar la
correlación espacial de las variables. Provee algoritmos para el modelado geológico numérico y la
cuantificación de la incertidumbre. No hace el proceso de modelado mas fácil La Geoestadística es útil para:
“Poner la geología en números” Estimación Cuantificar la incertidumbre Diseño de muestreo Simulación / Análisis de riesgos.
La Geoestadística no: Reemplaza datos adicionales de calidad Reemplaza al sentido común y crítico Trabaja bien como una “caja negra Ahorra tiempo.
Aplicaciones de La Geoestadística en la Minería.
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Estimación de Recursos Optimización de la malla de taladros y del muestreo Optimización del control de leyes Modelado de variables categóricas (tipos de roca) Creación de mapas de anomalías para la exploración
geoquímica. Modelado de variables geomecánicas y de fracturas. Modelado de las propiedades metalúrgicas del mineral in
situ. Modelado del potencial de generación de drenaje ácido
de la roca in situ. Cuantificación de la incertidumbre geológica y de leyes
en los recursos. Análisis de riesgo y sensibilidad en los recursos.
Algunos Conceptos geoestadísticos clave (1)
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Campo: Zona de Estudio.
Soporte: Volumen y calidad de la muestra.
Variable Regionalizada (V.R.): Es cualquier variable distribuida en el espacio y/o el tiempo cuyo valor depende de su ubicación espacial y/o temporal y al mismo tiempo presente interdependencia o asociación espacial y/o temporal con los valores vecinos.
Ejemplos de Variables Regionalizadas en la Minería y Geología: Las leyes de los metales y la
concentración de contaminantes.
La litología y alteraciones La densidad de las fracturas. La elevación topográfica. El espesor de los estratos y
la potencia de las vetas. Etc.
Una variable regionalizada esta compuesta por un componente aleatorio y un componente estructurado.
1.9 Algunos Conceptos geoestadísticos clave (2)
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Función Aleatoria: Los valores en puntos no muestreados son conceptualizados como realizaciones z(x) de una función aleatoria Z(x). Las leyes verdaderas, pero siempre desconocidas, del yacimiento conforman una realización particular de Z(x). Esta conceptualización permite el uso de métodos probabilísticos al estudio de las variables regionalizadas.
(Auto)correlación o interdependencia espacial: En la naturaleza es muy común que los valores de una variable tomen valores muy similares a sus vecinos en el espacio y/o tiempo. Este comportamiento observable de las variables naturales es medido y aprovechado por la geoestadística.
1.9 Algunos Conceptos geoestadísticos clave (3)
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Hipótesis de Estacionareidad: La inferencia estadística en el espacio depende de que la distribución de la V.R. sea invariante en todo el campo, particularmente que la media y la varianza sean constantes (Estacionareidad fuerte).Sin embargo, esta hipótesis no siempre puede ser justificada, por lo que la geoestadística hecha mano a la hipótesis de estacionareidad débil: que la media sea constante y que se pueda medir la interdependencia espacial.Existen diversos métodos para convertir un fenómeno no estacionario a uno estacionario.
Incertidumbre: Si las partes del yacimiento que no han sido muestreadas fueran excavadas y muestreadas exhaustivamente y sin error, cualquier modelo numérico elaborado con los datos originales resultaría erróneo.
La incertidumbre no puede ser eliminada
Existe debido a nuestra ignorancia y falta de información y conocimiento.
No es una propiedad inherente al depósito.
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2. Revisión de los Métodos Tradicionales de Estimación.
Promedio Ponderado en Paneles
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n
ii
n
iii
l
l
xzl
L
)(
m
ll
m
lll L
Lp
Es usado comúnmente para la estimación de recursos en vetas.
Primero se calculan las leyes promedio de las labores (Ll) adyacentes promediando las leyes de las muestras z(xi) ponderas por su longitud li:
La ley final del panel (Lp) se obtiene promediando las leyes de las labores (Ll) ponderadas por su longitud (Λl)
El volumen (V) y el tonelaje (T) de panel es calculado como el producto del area del Panel (A) y la potencia promedio ( ), y luego por la densidad promedio (δ) de la roca in situ:
El resultante modelo de leyes del yacimiento se presenta como un conjunto de valores constantes para cada panel.
Es muy sensible a las aglomeraciones de datos y requiere asumir la influencia de las leyes de una forma difícil de justificar geológicamente.
l
VT
lAV
Poligonales
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Es empleado con taladros verticales. A cada taladro se le asigna una zona
de influencia poligonal.
Los polígonos son construidos intersecando las perpendiculares a los puntos medios de los segmento que unen los taladros.
El volumen de influencia de cada taladro equivale un prisma cuya sección es el polígono y de altura igual a la profundidad del taladro central.
A cada prisma así construido se le asigna una ley constante que corresponde a la ley promedio del taladro central.
El modelode leyes resultante es un mosaico de áreas de ley constante.
Remueve el sesgo producido por la aglomeración de datos.
Inverso de la Distancia
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n
i i
n
ii
i
d
zd
v
1
1*
1
1
Se usan todas las muestras circundantes, asignando a cada una un peso inversamente proporcional a su distancia al bloque, según la siguiente fórmula:
El exponente α regula la influencia de las muestras cercanas vs. las lejanas, y por ende el suavizado de los resultados.
Este factor se determina por ensayo y error, sin relación directa a la continuidad de las leyes.
Este método puede atribuir demasiado peso a las muestras cercanas a los bloques.
El modelo resultante muestra un zoneamiento gradual de valores altos y bajos.
Es también muy sensible a la aglomeración de datos.
Donde: v* es el valor estimado del bloque, z1, …zn son las leyes de las n muestras circundantesdi es la distancia del bloque a cada una de estas muestras.α es un factor ≥ 0
Principales deficiencias de los métodos tradicionales de estimación.
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No usan una medida de la correlación espacial de las leyes, debido a esto: No discriminan entre regiones donde las leyes se comportan
regularmente de otras donde pueden ser mas aleatorias. No distinguen las direcciones preferentes de la continuidad de
las leyes.
No propician la inclusión de criterios geológicos en el modelado numérico de las leyes.
Son métodos determinísticos, no proveen medidas del error de estimación.
Presentan un sesgo condicional muy pronunciado, es decir, la sobreestimación de las zonas de baja ley, y la subestimación de zonas de alta ley.
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3. Prerrequisitos Geológicos.
Dominios de Estimación
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Diferencias en la media, la distribución, el error estándar y/o la variabilidad espacial entre grupos de muestras, en diferentes partes del yacimiento o área de estudio, son usados para delimitar los dominios de estimación.
Las diferencias en la mineralogía, la metalogénesis, el estilo de la mineralización, la presencia de estructuras que actúan como focos de alimentación “feeders” o límites de la mineralización, alteraciones y tipos de rocas o estratos favorables a la mineralización, es decir todos los controles de mineralización, deben ser también considerados para definir los dominios de estimación.
De similar forma, en las aplicaciones ambientales es preciso reconocer las características del entorno que podrían afectar la distribución de la variable analizada.
Delimitación de los Dominios de Estimación
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La delimitación de los dominios de estimación debe ser hecha teniendo en cuenta tres tipos de contactos:
Contactos Geológicos: Son limites o superficies entre diferentes tipos de roca, edades de los estratos, o características de la roca. Entre estos, los contactos estructurales pueden actuar como límites de la mineralización, pueden ser conductos o albergar la mineralización, o pueden ser causantes de estilos de mineralización diferentes.
Contactos de Mineralización: Son limites entre los cuales la mineralización, o la distribución de las leyes se comporta de forma diferente.
Contactos Económicos: Son límites entre cut-off’s o materiales diferentes, delimitan porciones del yacimiento que deben ser extraídas y tratadas de forma diferente al resto
El Modelo de Bloques
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Un modelo de bloques es un arreglo 3D de volúmenes rectangulares de dimensiones regulares.
También puede ser entendido como una grilla ortogonal 3D.
Es determinado por un origen, orientación, las dimensiones de cada volumen individual (bloque) y su extensión XYZ en un sistema de coordenadas relativo.
El tamaño de los bloques es determinado según los objetivos de la caracterización 3D, la distribución espacial de las muestras, los requerimientos de la estimación geoestadística y las condiciones de minado.
Objetivos del Modelo de Bloques
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El principal objetivo del modelo de bloques es proveer un medio para la representación de la variación de una variable regionalizada.
La variabilidad de esta variable es representada asignando valores apropiados a los centroides de cada bloque.
Un objetivo secundario es proveer una plataforma para la manipulación de la variable según los objetivos de la caracterización.
Integración del Modelo de Bloques y los Dominios de Estimación
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Los volúmenes geológicos son intersecados con el modelo de bloques, determinándose de forma precisa que bloques, y cuanto de ellos, caen dentro de cada dominio.
De esta forma se asigna valores categóricos que dependen del dominio intersecado a cada bloque.
Esto nos permite limitar la estimación de una variable en aquellos bloques que intersequen un dominio o característica geológica particular.
Cada bloque puede intersecar mas de una característica geológicas
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4. Prerrequisitos Estadísticos.
La Función de Distribución Acumulada (CDF)
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Se define como la probabilidad de no exceder un cut-off z:
Propiedades: F(z) no decrece F(z) є [0,1] F(-∞) = 0, y F(∞) = 1
La curva de Hazen: Presenta los intervalos de probabilidades distorsionados, de forma que la distribución acumulada se aparece como una línea recta si la distribución es normal y se emplea una escala aritmética, o si la distribución es lognormal y se emplea una escala logarítmica.
]1,0[Prob)( z} {ZzF
La Función de Distribución de Probabilidades PDF)
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La PDF es la derivada de la CDF: El Histograma: Presenta el
porcentaje (frecuencia) de muestras que se encuentran distribuidos en cada intervalo de valores.
Dist. simétrica
Dist. Sesgada a la derecha
Distribución multimodal
dz
zFdzzFzFzf
dz
)()(lim)()(
0
dzzfzF
)()(
Cuantiles
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]1,0[Prob)( p }z{ZzF pp
)()( 1 pFpq
El Cuantil p de la distribución F(zp) es el valor zp para el cual:
Por lo tanto, el Cuantil puede ser expresado por la forma inversa del CDF:
1er cuartil: p = 0.25 2do cuartil: mediana, p = 0.5 3er cuartil: p = 0.75 Intervalo del 90% de
probabilidad.
Medidas de Tendencia Central
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n
iix
1n
1m
n
ii
n
iii x
1
1m
La Media: Es el valor mas representativo de una distribución simétrica o normal.
Para muestras de igual soporte:
Para muestras de soporte diferente:
La Mediana: es el valor que divide un grupo de muestras o una población en dos mitades iguales
Media o Valor esperado de una distribución:
Propiedades:
i
Donde xi, son las leyes n es el numero de muestras, y es el peso de cada muestra
dzzfzZE )(}{
}{}{}{
}{}{
}{
YEXEYXE
ZaEaZE
aaE
Medidas de Dispersión
30
n
ii nmxs
1
22 1/)(
2ss
La Varianza. Es el promedio del cuadrado de las diferencias entre los valores y la media. Se expresa como:
La Desviación Estándar. Es la raíz cuadrada de la varianza, tiene la ventaja que puede ser expresada en las mismas unidades que los datos.
El Coeficiente de Variación. Se calcula como el cociente entre la desviación estándar y la media:
Es usado para comparar la variabilidad de las leyes relativa a la media entre diferentes dominios o yacimientos.
Varianza de una distribución:
Varianza ponderada:
msCV /
}{
][ 2222
ZVar
mZEmZE
n
i
n
ii
i
n
ii
n
iii
n
mz
s
1
1
2
11
2
2
La Covarianza
Es la extensión de la varianza a dos variables.
La covarianza entre la misma variable es la varianza:
YX
YXYXYX
YXYX
YX
mmXYE
mmmmmmXYE
mmmXEYEmXYE
mYmXEYXCov
}{
}{
.}{}{}{
]}][{[},{
}{},{ XVarXXCov
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Correlación
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El coeficiente de correlación es una medida de dependencia lineal entre dos variables:
También se le conoce como “covarianza estandarizada”
Si , las dos variables están perfectamente correlacionadas.
Si las variables son independientes el coeficiente de correlación es cero.
Si no implica que las dos variables sean independientes.
Gráfico de Correlación
]1,1[)()(
},{
YVarXVar
YXCovXY
1XY
0XY
Altos Erráticos
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Un alto errático es un valor que es mucho mas alto que el resto de la población, particularmente en comparación a los valores de las muestras vecinas.
No es lo mismo “Errático” que “Erróneo”.
Existen métodos estadísticos de identificación de altos erráticos pero sus resultados deben ser validados por la observación y el sentido común.
Los altos erráticos también pueden ser identificados visualmente o usando una curva de Hazen.
Grupo de leyesQue se separande la tendencia
Tratamiento de los Altos Erráticos
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Los altos erráticos pueden ser indicadores de zonas anómalas interesantes o en algunos casos la presencia de unos cuantos puede determinar la viabilidad de un proyecto. Debido a esto no siempre la mejor solución es eliminarlos o reducirlos a un valor arbitrario.
a) Corrección usando el Gráfico de Hazen:Los valores mas altos son transformados haciendo que caigan sobre la recta que forman los valores mas bajos en el gráfico
b) Reducción del valor mas alto.Si hay un solo valor que es significativamente superior que los demás, entonces este valor mas alto puede ser reducido al valor inmediatamente inferior.
Desaglomeración (Declustering)
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Es una práctica común que se tomen mas muestras en las zonas ricas que en las zonas de baja ley. Esto produce un sesgo en las estadísticas e incluso la sobreestimación de la ley.
Esta no es necesariamente una mala práctica y no debe ser cambiada, ya que proporcionan mayor información en las zonas mas importantes del depósito.
Para reducir este sesgo y obtener un conjunto de datos estadísticamente representativos es necesario aplicar una de las técnicas de “desaglomeración”
Métodos de Desaglomeración
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)(1 0Lnii
Desaglomeración poligonal:Cada muestra es ponderada por el área de su polígono de influencia.
Es difícil de implementar en 3D
Desaglomeración por celdas. El volúmen de interés es dividido en
una malla de celdas regulares. I=1,….,L
Se registra el número de celdas ocupadas L0 y el número de muestras en cada celda ni:
Para un tamaño fijo de celda y diferentes orígenes producen diferentes pesos.
Esto se evita considerando múltiples orígenes.
El tamaño de celda óptimo es el que minimiza la media desaglomerada.
Modelos Paramétricos de Distribución
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Existen muchas distribuciones de probabilidades (PDF o CDF) cuyas formas puede ser descrita por una expresión analítica que depende de un número finito de parámetros.
En geoestadística la mas usada es la distribución gaussiana, cuya PDF se expresa como:
Donde μ es la media y σ la desviación estándar de la distribución.
Propiedades de la distribución Gaussiana
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Teorema del Límite Central: Si una población, cuya PDF de media μ y desviación estándar σ puede tener cualquier forma, es muestreada al azar en subgrupos de N muestras. La distribución de las medias de estos grupos tiende a ser gaussiana con media μ y desviación estándar σ/N
Anamorfosis Gaussiana
Sirve para transformar cualquier distribución a una distribución Gaussiana o normal.
Es muy usada para variables continuas. Pasos:
1. Construir la distribución acumulada F(z) de la variable Z.2. Equiparar los cuantiles y hallar los valores correspondientes en
la distribución normal. Esto es:
Donde es la distribución normal estándar
Un paso posterior puede requerir el ajuste de la distribución transformada con polinomios de Hermite.
))((1 zFGy
)(yG
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Simulación Montecarlo
Sobre una CDF conocida y representativa de la población de muestras, considerar la función cuantil:
Generar un número aleatorio, , de distribución uniforme.
La función cuantil q(p) arroja el valor simulado Xp.
Es aconsejable contar con un generador de números aleatorios robusto.
pxpFpq )()( 1
]1,0[p
40
Gen
erar
los
valo
res
p al
aza
r
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5. El variograma Calculo e Interpretación.
Correlación Espacial
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Como se puede ver en los mapas de la derecha, si bien todos comparten el mismo conjunto de datos, la estructura de la correlación espacial es diferente.
La correlación y variabilidad espacial dependen de la distribución detallada de las leyes en el espacio.
Los variogramas, reflejan estas diferencias en la estructura de la variabilidad espacial.
Análisis de la Variabilidad y correlación Espacial:El Variograma
La estimación geoestadística de valores en puntos no muestreados requiere de una medida de la variabilidad espacial de una variable regionalizada.
La variabilidad entre un par de muestras z1 y z2 es dada por:
Cada par de muestras está separada por un vector Si tenemos n pares de muestras separadas por es preciso
promediar la variabilidad espacial entre los pares:
Esta es la fórmula del Semi-Variograma, y se entiende como la semi-varianza de las diferencias entre pares separados por un vector h, o lo que es lo mismo: La media de la diferencia al cuadrado de los valores separados por un vector :
Propiedades:
22112 )(2 zz
h
43
hh
n
ihhii zzh
1
2)()()(2
h
})]()({[)(2 2huZuZEh
)()( 0)( 0)0( hhh
El Variograma Experimental
)(
2)]()([)(
1)(2
hN
huzuzhN
h
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Es un gráfico de la varianza de la diferencia entre pares a diferentes distancias para una orientación determinada.
Es calculado por la siguiente fórmula:
En la práctica, especialmente cuando los datos están irregularmente localizados, un haz de búsqueda es usado para encontrar los pares separados a cierta distancia.
Este haz se mueve de nodo a nodo, y cambia su longitud para diferentes separaciones (Lags).
Incremento deLa variabilidad
Parámetros para el Cálculo del Variograma Experimental
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Tamaño de los Incrementos de Distancia (Lag Spacing): Debe ser coincidente con la separación media entre las muestras.
Número de Incrementos: Es determinado por el tamaño de los incrementos y las dimensiones del área de estudio. Una regla práctica es restringir la variografía a la mitad de la diagonal del área de la zona de estudio.
Tolerancia Angular: Está determinada por la anisotropía esperada de la mineralización y por la densidad del muestreo.
Límite de Tolerancia Angular: Sirve para restringir el cono de la tolerancia angular cuando esta a alcanzado determinada abertura.
Componentes del Variograma
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La distancia a la que el variograma se estabiliza es el alcance, y es la distancia donde se pierde la correlación espacial.
El efecto pepita es la variabilidad a muy corta escala o producida por errores de muestreo y análisis.
La meseta es la altura a la que el variograma se estabiliza.
La meseta mas el efecto pepita suele ser cercana a la varianza, la variabilidad media de todas las muestras.
EfectoPepita = C0
Alcance
2
Meseta = C1
Interpretación del Variograma Experimental
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Tendencias: Una deriva en el variograma experimental indica la presencia de una tendencia en los valores reales en la dirección de tal variograma.
La presencia de una tendencia posa un problema a la decisión de estacionareidad.
Pero puede ser removida ajustando una curva determinística. El variograma sin tendencia se calcula con los residuales. La tendencia es reintroducida al momento de modelar las
leyes.
5.6 Interpretación del Variograma Experimental (2)
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Ciclicidad: Puede estar vinculada a periodicidad geológica como secuencias en la estratificación favorable a la mineralización.
Pero también puede deberse a la escasez de datos.
5.6 Interpretación del Variograma Experimental (3)
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Anisotropía Geométrica: Se da cuando el alcance de la correlación espacial varía a diferentes direcciones.
Esta es producida usualmente por la dirección del flujo de la mineralización, por procesos de deposición, o el sentido de la dispersión de los contaminantes.
5.6 Interpretación del Variograma Experimental (4)
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Anisotropía Zonal: Es cuando la magnitud de la variabilidad (meseta) cambia según la dirección.
Suele producirse por la presencia de diferentes estratos o capas, lo que incrementa la varianza en la dirección perpendicular a la estratificación.
También es producida por un incremento de la varianza entre taladros, que puede ser mayor a la varianza a lo largo de los taladros.
El Mapa de Variogramas
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permite analizar rápidamente el comportamiento espacial de una variable a diferentes direcciones, esto se logra por medio de un sistema de coordenadas esféricas donde las curvas de isovaloras representan el valor del variograma a diferentes direcciones y módulos del vector h.
El Variograma la Covarianza y el Correlograma
Bajo la decisión de estacionareidad, el variograma, la covarianza y el correlograma (correlación), son herramientas equivalentes para caracterizar la variabilidad espacial de dos puntos:
Donde: La covarianza mide la continuidad de las leyes, mientras que el
variograma mide la variabilidad.
)](1[)()( 22 hhCh 2)0( )}({)}({)}()({)( ChuZEuZEhuZuZEhC
52
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“Las Ciencias no tratan de explicar, ni siquiera de interpretar, ellas mayormente sólo construyen
modelos. Por un modelo se entiende una representación [matemática] que, junto a cierto nivel de interpretaciones verbales, describe el
fenómeno observado. La justificación de tal representación [matemática] es solamente y
precisamente que se espera que esta funcione”.
Johann Von NeumannCientífico computacional y matemático (1903 –
1957)
54
Gracias
