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1
GEODESIA APLICADA
JUNHO 2010
2
GEODÉSIA APLICADA
Elaborado por :
Prof. MSc. Fábio Campus de Macedo
Atualizada por :
Prof. MSc. Eduardo de Magalhães Barbosa
3
1. Introdução
1.1 Conceito de Geodésia
Geodésia é a ciência que estuda a forma e as dimensões da Terra. A palavra
“geodésia” tem origem grega e significa “particionando a Terra”.
Geodésia: é a ciência que tem por objetivo determinar a forma e as
dimensões da Terra, bem como os parâmetros definidores de seu campo da
gravidade e suas variações temporais (Gemael, 1999). No entanto vários cursos no exterior tem mudado o nome de Geodésia ou
Surveying – para Geomática. No Brasil, o Departamento mais tradicional da área
(UFPR), mudou o nome para Departamento de Geomática. Mas não se trata de um
assunto de ampla aceitação pela comunidade. No caso da Geomática pode ser
considerada como um campo de atividades que integra todos os meios utilizados
para a aquisição, armazenagem, análise, apresentação, distribuição e
gerenciamento de dados espaciais necessários às tomadas de decisão nas áreas
técnicas, administrativas, legais e científicas (Monico,2008).
“Geomática: Ciência e tecnologia para obtenção, análise,
interpretação, distribuição e uso da informação espacial”
1.2 Objetivo
A geodésia tem o objetivo de determinar, através de observações de campo,
a forma e o tamanho da Terra, as coordenadas de pontos, dimensões de linhas da
superfície terrestre e as variações do campo de gravidade, integrando-se
diretamente com a geofísica, geologia, geodinâmica e dinâmica orbital de satélites.
1.3 Histórico da Geodésia
O ser humano sentiu necessidade de se posicionar quando se deu o início de
suas primeiras viagens, ou seja, ter conhecimento do posicionamento e do seu
deslocamento.
Em palavras simples, navegar significa saber onde se está e para onde se
vai, ou seja, saber ir e voltar. A natureza está repleta de exemplos de grandes
navegadores: aves, peixes, mamíferos, insetos, etc. Os recursos de que necessitam
4
para navegar dependem das características da viagem que devem realizar, assim
como a distância e o meio (terrestre, aéreo, aquático, etc).
Sejam quais forem os recursos que o homem disponha para a navegação, o
conhecimento da forma da Terra e a adoção de um referencial adequado são
fundamentais.
Pouca documentação das realizações geodésicas das civilizações antigas
(Egípcios, Chineses, Indianos...) tem sobrevivido. Os primeiros documentos sobre
Geodésia são da época de Thales de Miletus (625-547 AC – fundador da
trigonometria – Terra como um disco flutuando no oceano), Anaximander of Miletus
(580 – 500 AC – Terra como um cilindro); a escola de Pitágoras (580 – 500 AC – a
primeira a pensar numa Terra esférica).
Os estudantes gregos de Geodésia incluem Aristóteles (384-322 AC –
especulou sobre gravidade e apresentou primeiros argumentos sobre a esfericidade
da Terra).
As partículas têm uma tendência natural, assegurava ele, de cair para o
centro do mundo (uma direção para baixo). Neste movimento todas as partes
competem entre si para se colocarem na parte mais baixa, os que as levam a se
comprimirem na forma de uma bola. Além deste argumento de caráter gravitacional,
Aristóteles lembrou ainda de dois outros argumentos: a sombracircular da Terra nos
eclipses de lua e a variação no aspecto do céu estrelado com a variação da latitude.
Erastóstenes (276-194 AC) – a primeira medida do tamanho da Terra com
razoável precisão (não levada a sério por 17 séculos – e a idéia de obliqüidade do
eixo de rotação da Terra).
Durante muitos séculos, a concepção esférica para a Terra perdurou, até
esbarrar nas análises do cientista Newton (Século XVII). Segundo ele, a forma
esférica era incompatível com o movimento de rotação da Terra. Este movimento,
devido a força centrífuga, impõe um achatamento nos pólos, abrindo então a fase
elipsoidal que durou muito pouco, se comparada com a fase esférica.
O famoso matemático alemão C.F. Gauss (Século XVIII-XIX) descobriu que o
modelo matemático adotado para a Terra, ou seja, o elipsóide de revolução, não era
adequado. Surgiu então uma forma levemente irregular mais tarde denominada de
“geóide”.
Entretanto, como referência para a definição de um sistema de coordenadas,
continua-se utilizando um elipsóide de revolução.
5
Fixada e aceita a forma da Terra, os métodos e técnicas de posicionar um
ponto da sua superfície em relação a um referencial ganharam cada vez mais
importância e precisão. Assim é que as chamadas TRIANGULAÇÕES
GEODÉSICAS surgiram, em geral quadriláteros subdivididos em triângulos,
iniciadas no século XVII na França e passaram a ter um grande desenvolvimento.
Aliadas às observações astronômicas e eventualmente complementadas com
algumas variantes, como poligonais eletrônicas, elas se constituíram, durante vários
séculos, como o único método de determinação “precisa” das coordenadas em
pontos (vértices) da superfície terrestre.
A partir da década de 60, surgiram métodos de obtenção da posição de
pontos sobre a superfície terrestre, através do uso de satélites artificiais,
alavancados pelo lançamento do primeiro satélite artificial, o SPUTINIK I (4 de
outubro de 1957). O primeiro sistema de posicionamento por satélites, entrou em
operação em 1967, denominado NAVY NAVIGATION SATELLITE SYSTEM
(NNSS), também conhecido como TRANSIT. Posteriormente, outros sistemas
surgiram, como por exemplo, o sistema denominado GPS, GONASS e Galileo.
1.4 Geodésia no Brasil
Os primeiros levantamentos geodésicos surgiram no Brasil a partir de
novembro de 1939, através do órgão denominado Conselho Nacional de Geografia,
sob responsabilidade do professor Allyrio Huguenecy de Mattos. Estes primeiros
trabalhos surgiram porque inúmeras cidades e vilas do Brasil não apresentavam
suas posições geográficas (Latitude e Longitude), para atualização da Carta do
Brasil ao Milionésimo, inicialmente definida em 1922. A atualização da Carta do
Brasil seria necessária para estabelecer o Recenseamento Geral do Brasil de 1940
(levantamentos estatísticos).
No período entre 1939 e 1943, 14 engenheiros do Conselho Nacional
determinaram 602 coordenadas em cidades e vilas de diferentes unidades da
Federação. Estes trabalhos foram executados dentro da “Campanha de
Coordenadas Astronômicas das Sedes Municipais”.
Em 17 de maio de 1944, com a medição da base geodésica nas
proximidades da cidade de Goiânia, o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística) iniciava o estabelecimento sistemático da componente planimétrica do
6
Sistema Geodésico Brasileiro, seguindo-se em 13 de outubro de 1945 o inicio da
medição da componente vertical.
Os trabalhos idealizados e conduzidos pelo professor Allyrio Huguenecy de
Mattos, tiveram continuidade até os dias atuais, acompanhando os avanços
tecnológicos, estabelecendo-se um conjunto com cerca de 87.000 estações
geodésicas materializadas no terreno (dados de 1999).
1.5 Divisão da Geodésia
A geodésia pode ser dividida em três capítulos, ou seja:
� Geodésia Geométrica : compreende o conjunto de operações
geométricas, realizadas sobre a superfície terrestre (medições
angulares, medições lineares, nivelamentos), associadas a esparsas
determinações astronômicas (Latitude, Longitude e Azimute).
� Geodésia Física : compreende o conjunto de medições gravimétricas
que podem conduzir a um conhecimento detalhado do campo
gravitacional da Terra (estuda a direção e magnitude da força que
mantém os corpos na superfície a atmosfera terrestre).
� Geodésia Celeste : estuda o conjunto de conhecimentos necessários
à determinação da posição de pontos sobre a superfície terrestre,
através do uso de satélites artificiais.
2. Tipos de Superfícies Estudadas em Geodésia (geométrica)
Existem três superfícies que rotineiramente envolvem o geodesista ou
necessitem de posicionamento, ou seja:
� Superfície Física (SF):
local onde nos encontramos e executamos todas as operações geodésicas.
� Superfície Elipsoidal:
revolução, figura matemática gerada pela rotação de uma elipse em torno de
seu eixo menor. É a superfície ao longo do qual são reali
geodésicos.
� Superfície Geoidal
geométrica chamada “geóide”.Esta superfície é equipotencial do campo da
gravidade que melhor se aproxima do nível médio dos mar
estender internamente ao corpo sólido da Terra.
Superfície Equipotencial
potencial. Entre as infinitas superfícies equipotenciais, a que mias se aproxima do
nível médio dos mares correspondente ao ge
acham-se sujeitos a uma força que resulta da força de atração e da força
decorrente do movimento de rotação da Terra.
Superfícies Estudadas em Geodésia (geométrica)
Existem três superfícies que rotineiramente envolvem o geodesista ou
necessitem de posicionamento, ou seja:
Superfície Física (SF): esta superfície é limitada ao relevo topográfico. É o
ontramos e executamos todas as operações geodésicas.
Superfície Elipsoidal: esta superfície é limitante de um elipsóide de
revolução, figura matemática gerada pela rotação de uma elipse em torno de
seu eixo menor. É a superfície ao longo do qual são realizados os cálculos
Elipsóide de Revolução
Superfície Geoidal : conceitualmente mais complicada e limita uma forma
geométrica chamada “geóide”.Esta superfície é equipotencial do campo da
gravidade que melhor se aproxima do nível médio dos mar
estender internamente ao corpo sólido da Terra.
Superfície Equipotencial : é a superfície que une pontos de mesmo
Entre as infinitas superfícies equipotenciais, a que mias se aproxima do
médio dos mares correspondente ao geóide. Os corpos vinculados a Terra
se sujeitos a uma força que resulta da força de atração e da força
decorrente do movimento de rotação da Terra.
7
Superfícies Estudadas em Geodésia (geométrica)
Existem três superfícies que rotineiramente envolvem o geodesista ou que
esta superfície é limitada ao relevo topográfico. É o
ontramos e executamos todas as operações geodésicas.
esta superfície é limitante de um elipsóide de
revolução, figura matemática gerada pela rotação de uma elipse em torno de
zados os cálculos
: conceitualmente mais complicada e limita uma forma
geométrica chamada “geóide”.Esta superfície é equipotencial do campo da
gravidade que melhor se aproxima do nível médio dos mares, podendo-se
: é a superfície que une pontos de mesmo
Entre as infinitas superfícies equipotenciais, a que mias se aproxima do
óide. Os corpos vinculados a Terra
se sujeitos a uma força que resulta da força de atração e da força centrífuga
8
Geóide a partir de medidas do GRACE
2.1 Relação entre Elipsóide e Geóide
O geodesista encontra-se rotineiramente envolvido com três superfícies: a
superfície física (topográfica), a do modelo geométrico (elipsóide) e o geóide . A
Figura a seguir ilustra essas três quantidades de fundamental importância para as
atividades geodésicas.
Na figura são apresentados os seguintes elementos:
P - ponto sobre a superfície física.
A reta que passa por P perpendicular ao geóide define a direção de uma linha de
força chamada vertical (v).
A reta que passa por P’ perpendicular ao elipsóide define a direção de umalinha de
força chamada normal (n).
i - O ângulo que a vertical forma com a normal é chamada de “deflexão da vertical”
ou “ângulo de desvio da vertical”.
H - O comprimento medido entre o ponto sobre a superfície física (P) e o ponto P’
sobre o geóide é denominado “altitude ortométrica” (H). A altitude ortométrica é
obtida através de nivelamento geométrico associado a gravimetria.
N - O comprimento entre o geóide e o elipsóide medido sobre a linha de
denominado “ondulação geoidal”
geodésia física e hoje pode ser feito também a partir de
artificiais.
h – A altitude geométrica (
Q (ponto no elipsóide de revolução)
aproximada:
Figura: Relação entre Elipsóide e Geóide.
Sua
p. si Fí c
Geoide
Elipsóide
O comprimento entre o geóide e o elipsóide medido sobre a linha de
denominado “ondulação geoidal” (N). Seu cálculo é obtido tradicionalmente da
geodésia física e hoje pode ser feito também a partir de observações de satélites
A altitude geométrica (h), que é a distância existente entre o ponto
(ponto no elipsóide de revolução), pode ser medida usando a
Figura: Relação entre Elipsóide e Geóide.
H
N
i
P
P’
Q
NhH −≅
9
O comprimento entre o geóide e o elipsóide medido sobre a linha de força n é
tradicionalmente da
observações de satélites
), que é a distância existente entre o ponto P e o ponto
, pode ser medida usando a fórmula
10
3. Geometria do Elipsóide
O elipsóide é originário da figura geométrica denominada elipse.
3.1 Definição de Elipse
Seja num plano, dois pontos fixos F1 e F2, sendo que F1≠ F2. A distância
entre F1 e F2 é 2c (F1F2 = 2c). A elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma
das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, sendo que 2a > 2c.
F1F2 = 2c (distância focal) O = centro da elipse
A1A2 = 2a (eixo maior) F1 e F2 = focos da elipse
B1B2 = 2b (eixo menor)
Onde:
a = semi-eixo maior da elipse
b = semi-eixo menor da elipse
No triangulo B2OF2, temos:
a2 = b2 + c2 ∴ c = (a2 – b2)1/2
A1 A2
B1
B2
OF1 F2
b
aa
c
a
11
Propriedade: F1P + F2P = constante = 2ª
Fórmula geral: (considerando os focos no eixo maior)
3.2 Definição de Elipsóide
A fórmula geral para o elipsóide é
O elipsóide representado é dito escaleno, que na literatura geodésica é
denominado elipsóide triaxial, por conter três eixos desiguais.
OF1 F2
Z
X
ac
b
Y
Z
X
12
2
2
2
=+b
z
a
x
12
2
2
2
2
2
=++b
z
c
y
a
x
12
Elipsóide Triaxial
O elipsóide biaxial ou elipsóide de revolução é obtido fazendo-se a = c
Elipsóide Biaxial ou de Revolução
O elipsóide de revolução é a base para a geração de sistemas de referência
geodésicos, pois é a “fórmula matemática” da Terra.
É a forma geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em
torno de um de seus eixos (eixo de revolução). Se este eixo for o menor teremos um
elipsóide “achatado”; no caso contrário será “alongado”. Em geodésia interessa-nos
o primeiro caso.
Fórmula: pelo fato de a = c, da fórmula anterior e
tem-se dois eixos distintos: a e b.
As seções produzidas por planos perpendiculares ao eixo de revolução são
circulares (paralelos e equador).
As seções produzidas pelos planos que contém o eixo de revolução são
elípticas (meridianos).
aa
b
Z
Y
X
12
2
2
22
=++b
z
a
yx
13
3.3 Parâmetros do Elipsóide de Revolução
Para definirmos um elipsóide de revolução, podemos fazê-lo de duas formas,
ou seja:
a) a e b (conhecendo-se os dois semi-eixos)
b) a e αααα (conhecendo-se o semi-eixo maior e o achatamento)
αααα: achatamento, também pode ser definido, em algumas literaturas, com a letra f.
(I)
3.4 Excentricidade
É a divergência de uma elipse em relação a uma circunferência
1a. Excentricidade (e)
Onde : c = F 1O = F2O = semidistância focal
ou (II)
2a. Excentricidade (e`)
(III)
na elipse, e < 1.
3.5 Relação entre Excentricidade e Achatamento
De (II) temos:
a
b
a
ba −=∴−= 1αα
a
OF
a
OFe 21 ==
2
222
22
a
bae
a
bae
−=∴−=
2
22 1
a
be −=
1'''2
22
2
222
2221 −=−=∴−===
b
ae
b
bae
b
ba
b
OF
b
OFe
222
2
11 ea
be
a
b −=∴−=
14
Substituindo-se em (I), temos:
3.6 Relação entre a 2ª. Excentricidade e a 1ª. Exce ntricidade
De (II), temos:
Substituindo em (III), temos:
(IV)
3.7 Alguns elipsóides terrestres utilizados em geod ésia
Nome Ano País a (m) α
BESSEL 1841 Alemanha 6.377.397,0 1/299,15
CLARKE 1866 E.U.A. 6.378.206,0 1/294,98
REF. INT. 1967 1967 Brasil - IBGE 6.378.160,0 1/298,25
HAYFORD 1909 Brasil – ant. 6.378.388,0 1/297,00
GRS 80 1980 Uso no GPS 6.378.137,0 1/298,257223563
3.8 Cálculo de Coordenadas Cartesianas de um Ponto em Função daLatitude
Geodésica (Coordenadas Bidimensionais)
M(x,z): ponto situado na linha meridiana, por onde passamos uma reta
tangente. Uma reta normal a esta tangente pelo ponto M cortará o eixo polar no
ponto H e o eixo equatorial no ponto D.
Por desenvolvimento matemático, temos as coordenadas x e z ponto M,
como sendo:
2/1222 )1(11111 eee −=−∴−=−∴−−= ααα
)1(.21))1(()1( 2222/122 ee −=+−⇒−=− ααα
)2.(.2.2 22222 αααααα −=∴−=∴+−=− eee
222).1( bae =−
)1(1
)1(
1'1
).1('
2
2
22
22
22
e
e
ee
ae
ae
−=−
−=∴−
−=
2/122
2
).1(
).e-(1 . a z
ϕϕ
sene
sen
−=
2/122 )sen.1(
cos . a x
ϕϕ
e−=
15
N’ = Pequena Normal
N = Grande Normal
QQ’ = Diâmetro equatorial
PP’ = Eixo Polar
O = Centro do Elipsóide
3.8.1 Cálculo de N (Grande Normal):
P
PN
PS
Equador
Normal
N
N'
H
D
S.F.
Z
X
M(x,z)x
z
ϕ
x
z
M(x,z)
Eq
2/122
2/122
).e-(1
aN
cos).1(
cos.
cos
xN
N.cosx)90(.NxN
x)90(
ϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
sensene
a
sensen
=∴−==
=∴−°=∴=−°
16
3.8.2 Cálculo de N’ (Pequena Normal):
ou
3.9 Raio de Curvatura da Seção Meridiana (Rxz)
3.10 Raio de Curvatura da Seção 1º. Vertical (Ryz)
3.11 Raio Médio de Curvatura (Rm)
3.12 Raio do Paralelo (r)
2/122 ).1( ϕsene
aNRyz
−=⇒
2/122
2
2/122
2
).1(
)e-a.(1N'
).1().e-a.(1
N'sen
zN'
N'
zsen
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
sene
sensene
sen
−=
−=∴=∴=
)1.(' 2eNN −=
2/322
2
).1(
)1(
ϕsene
eaMRxz
−−=⇒
NMRm .=
2/122 ).1(
cos.
ϕϕ
sene
axr
−==
17
4 Sistemas de Referência Geodésicos
Em qualquer atividade de posicionamento geodésico, e em especial com o
GNSS, é de fundamental importância que a definição e a realização dos sistemas
de referência (celeste e terrestre) sejam apropriadas, precisas e consistentes. A
definição e a realização são imprescindíveis para modelar as observáveis,
descrever as órbitas dos satélites, representar, interpretar e, quando necessário,
transformar os resultados (MONICO, 2008).
Na definição de um sistema de referência é caracterizada pela idéia
conceitual do próprio sistema. Na literatura em inglês utiliza-se o termo reference
system. No conceito da mecânica de Newton, um referencial ideal seria aquele em
que a origem estivesse em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme,
caracterizando-o como um referencial inercial. Atualmente, um sistema inercial é
definido por meio das posições de objetos extragaláticos, cujos movimentos próprios
são considerados desprezíveis.
– Num sistema de referência terrestre, a origem é o geocentro, que
possui aceleração em seu movimento de translação ao redor do sol;
muito embora pequena - referencial “quase-inercial”. Logo, a definição
pode ser bastante complexa.
– Além disso, envolvem fatores relacionados à deformação da Terra a
nível global, regional e local, bem como outros.
– Faz parte ainda da definição, a teoria fundamental envolvida e os
padrões adotados.
Uma vez definido, todos os modelos, constantes numéricas e algoritmos são
claramente especificados. Eles proporcionam a origem, escala e orientação do
sistema, bem como sua evolução temporal.
Quando um referencial é definido e adotado convencionalmente, a etapa
seguinte é caracterizada pela coleta de observações a partir de pontos sobre a
superfície terrestre (rede) ou próximos a ela, devidamente monumentalizados
(reference frame). Fazem parte ainda o processamento e a análise bem como a
divulgação dos resultados, que é essencialmente , um catálogo de coordenadas
18
associadas a uma época de referência. As coordenadas podem vir acompanhadas
de suas respectivas velocidades e precisão.
Uma vez realizado ou materializado o referencial, um outro aspecto muito
importante diz respeito à sua densificação, procedimento que, no caso terrestre,
visa aumentar a densidade de estações. Logo, a densificação passa a ser uma
expansão da materialização.
No posicionamento por satélites, os sistemas de referências adotados são,
em geral, globais e geocêntricos, haja vista que o movimento dos satélites é ao
redor do centro de massa da Terra. As estações terrestres são, normalmente,
representadas num sistema fixo à Terra, e rotaciona com ela (sistema terrestre). O
movimento do satélite é melhor descrito no sistema de coordenadas equatoriais
(sistema celeste).
Um aspecto que chama a atenção é que a grande maioria dos levantamentos
realizados no mundo até pouco tempo atrás está referenciada a sistemas regionais
(quase-geocêntrico) tal como a maioria dos documentos cartográficos. No caso do
Brasil, um dos referenciais do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) coincide com o
Sistema de Referência da América do Sul (SAD 69: South American Datum of
1969), o qual não é geocêntrico. A tendência mundial aponta para a adoção de um
sistema geocêntrico, não só para fins geodésicos, mas também para fins de
mapeamento (MONICO, 2008).
4.1 Coordenadas Geográficas
4.1.1 Coordenadas Geodésicas
A posição de um ponto na superfície física da Terra é definida por suas
coordenadas geodésicas (latitude, longitude, altura geométrica), considerando-se
um elipsóide de revolução.
19
IRM – Meridiano Internacional de Referência IRP – Pólo Internacional de Referência
A reta normal ao elipsóide conduzida a partir do ponto P sobre a Superfície
Física; o ângulo que essa normal forma com a sua projeção equatorial é a Latitude
Geodésica ϕG ou φφφφG de qualquer ponto da normal. Podemos também considerá-la
como a latitude elipsóidica de P’, projeção normal de P sobre o elipsóide.
O arco formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do ponto P
(diedro formado pelos meridianos), medido sobre o Equador é chamado de
Longitude Geodésica λλλλG, sendo positivo a leste de Greenwich e negativo à oeste
deste meridiano. Podemos também considerá-lo como a longitude elipsóidica .
Além da latitude (ϕG) e da longitude (λλλλG) geodésicas, para definirmos sem
ambigüidade a posição do ponto P sobre a superfície terrestre, necessitamos de
uma terceira coordenada, ou seja, a distância entre o elipsóide e o ponto P ao longo
da normal. Esta terceira coordenada recebe o nome de Altitude Geométrica (h =
PP’):
h ≅ N + H onde: H → Altitude Ortométrica N → Ondulação Geoidal
4.1.2 Coordenadas Astronômicas
Ao trabalharmos com coordenadas astronômicas, consideramos, ao invés da
normal, a vertical do lugar. A Latitude Astronômica (φφφφA) é o ângulo formado pela
vertical e sua projeção sobre o plano do equador. A latitude astronômica, assim
como a geodésica, é medida de 0
hemisfério norte e negativa no hemisfério sul, por
A Longitude Astronômica (
astronômico médio de Greenwich e pelo merid
como a longitude geodésica, a longitude astronômica é positiva a
leste de Greenwich.
Enquanto as coordenadas geodésicas são referenciadas ao elipsóide, as
coordenadas astronômicas são referenciadas ao geó
de vertical do ponto P (reta tangente à linha de força nesse ponto).
4.2 Relação Entre as Coordenadas Geodésicas e Astro nômicas
Como citado anteriormente, as coordenadas astronômicas são
à direção vertical, enquanto que as coordenadas geodésicas ou
referenciadas à direção normal. As relações entre elas são os
“desvio da vertical”, ou seja:
ϕA - ϕG = ξξξξ (componente meridiana)
(λλλλA - λλλλG).cos(ϕG
Relação entre Latitude Geodésica e Latitude Astronômica.
como a geodésica, é medida de 0o a 90o com origem no equador, sendo positiva no
hemisfério norte e negativa no hemisfério sul, por convenção.
Longitude Astronômica ( λλλλA) é o ângulo diedro formado pelo
astronômico médio de Greenwich e pelo meridiano astronômico do
como a longitude geodésica, a longitude astronômica é positiva a leste e negativa a
Enquanto as coordenadas geodésicas são referenciadas ao elipsóide, as
coordenadas astronômicas são referenciadas ao geóide, devido ao próprio
de vertical do ponto P (reta tangente à linha de força nesse ponto).
4.2 Relação Entre as Coordenadas Geodésicas e Astro nômicas
Como citado anteriormente, as coordenadas astronômicas são
quanto que as coordenadas geodésicas ou
referenciadas à direção normal. As relações entre elas são os
“desvio da vertical”, ou seja:
(componente meridiana)
) = ηηηη (componente 1o vertical)
ão entre Latitude Geodésica e Latitude Astronômica.
(1997)
20
equador, sendo positiva no
é o ângulo diedro formado pelo meridiano
iano astronômico do ponto. Assim
leste e negativa a
Enquanto as coordenadas geodésicas são referenciadas ao elipsóide, as
ide, devido ao próprio conceito
4.2 Relação Entre as Coordenadas Geodésicas e Astro nômicas
Como citado anteriormente, as coordenadas astronômicas são referenciadas
quanto que as coordenadas geodésicas ou elipsóidicas são
componentes do
ão entre Latitude Geodésica e Latitude Astronômica. Fonte: Smith
21
4.3 DATUM – Conceito Tradicional
Escolhida a superfície de referencia (elipsóide de revolução) para as
coordenadas geodésicas, tem-se o que é denominado “Datum Geodésico
Horizontal” (D.G.H.).
Para que um sistema geodésico fique caracterizado é necessário fixar e
orientar o elipsóide no espaço.
A fixação é executada a partir da definição de um ponto de origem e a
atribuição, de alguma forma, de coordenadas geodésicas ϕG e λG para este ponto
e também a definição da ondulação geoidal (N). A orientação é definida por um
azimute de uma direção inicial.
Esta caracterização de um D.G.H. conduz a um conceito denominado
Sistema Geodésico Definido.
Todas as coordenadas obtidas de pontos sobre a superfície terrestre devem
ser amarradas ao DGH (ponto do origem).
4.3.1 DATUM no Brasil
A definição, implantação e manutenção do SGB (Sistema Geodésico
Brasileiro) é de responsabilidade do IBGE. Entre os componentes principais do SGB
estão as redes planimétrica, altimétrica e gravimétrica.
O referencial horizontal do SGB é definido sob a condição de paralelismo
com o CTRS. A figura geométrica da Terra é definida pelo Elipsóide South American
1969, o qual difere do de Referência 1967 em termos de achatamento.
Nessa definição o semi-eixo menor do elipsóide é paralelo ao eixo de rotação
da Terra, e o plano do meridiano origem é paralelo ao plano meridiano de
Greenwich, tal como definido pelo BIH.
O referencial altimétrico é materializado pela superfície equipotencial que
coincide com o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas
tomadas na baía de Imbituba, no litoral de Santa Catarina, no período de 1949 a
1957.
O SGB, como qualquer outro sistema geodésico de referência, pode ser
dividido em duas componentes: os data horizontal e vertical, e a rede de referência,
consistindo das coordenadas das estações monumentalizadas, as quais
representam a realização física do sistema
22
A rede horizontal teve sua implantação iniciada na década de 40. O primeiro
ajustamento foi realizado na década de 70 pelo IAGS (Inter American Geodetic
Survey) e foi conduzido em SAD 69. Foi utilizado o programa computacional
denominado HAVOC (Horizontal Adjustment by Variation of Coordinates).
Posteriormente, a densificação da rede era ajustada pelo IBGE empregando o
programa USHER (Users System for Horizontal Evaluation and Reduction). Na
metodologia empregada considerava-se a rede subdividida em áreas, sendo que as
coordenadas das estações de ligação eram injuncionadas como fixas, a partir das
coordenadas provenientes de um ajuste anterior. Esse procedimento inseriu
distorções na rede, o que era inevitável, face à limitação computacional da época,
que não permitia o processamento simultâneo de uma extensa massa de dados.
Em etapas posteriores a rede horizontal foi reajustada com o uso do
programa GHOST (Geodetic adjustment using Helmert blocking Of Space and
Terrestrial data), o qual é adequado para o ajustamento de redes geodésicas
tridimensionais, realizando a decomposição da rede em blocos (blocos de Helmert).
O programa permite a introdução dos vetores das diferenças de coordenadas
derivadas do TRANSIT e do GPS como observáveis, bem como das próprias
coordenadas estimadas. Alguns vetores derivados do posicionamento GPS e
Doppler foram introduzidos no processamento. Essa nova realização do SGB tem
sido identificada não oficialmente como SAD 69 realização 1996 (SAD 69/96).
Rede Altimétrica (Cortesia: IBGE)
23
Rede Clássica (Cortesia: IBGE)
Rede Ajustada (SAD69-96) (Cortesia: IBGE)
Até a década de 70, o Brasil usou o DATUM “Córrego Alegre”, localizado nas
imediações de Uberaba. Os elementos deste DATUM eram:
• Elipsóide de Revolução de Hayford:
a = 6.378.388 m
24
f = 1/297,00
• Coordenadas Geodésicas:
ϕG = ϕA = 19o 50’ 15,14” S
λλλλG = λλλλA = 48o 57’ 42,75” W
N = 0
AG = 128o 21’ 48,96”
A partir de 1979 o IBGE, através de seu departamento de geodésia adotou
outro sistema, denominado SAD-69 (South American Datum 1969), cuja origem é o
vértice CHUÁ. Os elementos deste sistema são:
• Elipsóide de Revolução Referência Internacional 1967:
a = 6.378.160 m
f = 1/298,25
• Coordenadas Geodésicas:
ϕG = 19o 45’ 41,6527” S
λλλλG = 48o 06’ 04,0639” W
N = 0
AG = 271o 30’ 04,05” (direção Chuá – Uberaba)
• Componentes do desvio da vertical (i):
Componente meridiana: ξξξξ = 0,31” (Plano de direção norte-sul)
Componente 1o vertical: ηηηη = -3,59” (Plano de direção leste-oeste)
4.3.2 Referencial Geodésico Utilizado pelo Sistema de Posicionamento Por
Satélites GPS
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) adota como referencial o
sistema de referencia geodésico denominado WGS-84 (Word Geodesic System
1984), ou seja, quando se executa um levantamento com GPS, as coordenadas dos
pontos envolvidos serão obtidas neste sistema de referência.
Na primeira realização do WGS 84 utilizaram-se 1591 estações determinadas
pelo DMA (Defense Mapping Agency), atual NGA (National Geospatial-Intelligence
Agency), que sucedeu o NIMA (National Imagery Mapping Agency), usando
observações Doppler do sistema TRANSIT, atingindo precisão da ordem de 1 a 2m
(DMA1987). Entre essas estações, estão as estações monitoras do GPS, isto é,
Colorado, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein, Hawaii.
Refinamentos têm sido realizados usando posicionamento por GPS, com o
objetivo de melhorar a precisão das coordenadas das estações monitoras. Além das
estações monitoras, fizeram parte dos refinamentos, outras estações do NIMA.
Essas novas realizações foram denominadas WGS 84 (G730) (MALYS e SLATER,
1994), WGS 84 (G873) (MALYS et al., 1997)
2002), onde G representa que o refinamento foi efetuado usando GPS, e 730, 873 e
1150 representam, respectivamente, as semanas GPS em que ocorreram as
realizações.
A acurácia (1 sigma) da resultante das coordenadas de cada
relação ao ITRF foi da ordem de 10 cm para o WGS 84 (G730), 5 cm para o WGS
84 (G873) e 1 cm para o WGS 84 (G1150).
Este sistema tem origem no centro de massa da Terra, com eixos cartesianos
X, Y e Z. O elipsóide de referencia é o GRS 80, um el
geocêntrico.
Sistema de Referência
Com o refinamento do WGS 84, alguns parâmetros relacionados a esse
sistema sofreram algumas alterações, como por exemplo, o GM (Constante
Gravitacional da Terra), melhorando com isto, a qualidade das coordenadas
cartesianas tridimensionais dos satélites. Os parâmetros do elipsóide GRS 80
(DMA1987). Entre essas estações, estão as estações monitoras do GPS, isto é,
Colorado, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein, Hawaii.
Refinamentos têm sido realizados usando posicionamento por GPS, com o
rar a precisão das coordenadas das estações monitoras. Além das
estações monitoras, fizeram parte dos refinamentos, outras estações do NIMA.
Essas novas realizações foram denominadas WGS 84 (G730) (MALYS e SLATER,
1994), WGS 84 (G873) (MALYS et al., 1997) e WGS 84(G1150) (MERRIGAN et al.,
2002), onde G representa que o refinamento foi efetuado usando GPS, e 730, 873 e
1150 representam, respectivamente, as semanas GPS em que ocorreram as
A acurácia (1 sigma) da resultante das coordenadas de cada
relação ao ITRF foi da ordem de 10 cm para o WGS 84 (G730), 5 cm para o WGS
84 (G873) e 1 cm para o WGS 84 (G1150).
Este sistema tem origem no centro de massa da Terra, com eixos cartesianos
X, Y e Z. O elipsóide de referencia é o GRS 80, um elipsóide de revolução
Sistema de Referência adotado no GPS (WGS 84) Fonte: Monico (200
Com o refinamento do WGS 84, alguns parâmetros relacionados a esse
sistema sofreram algumas alterações, como por exemplo, o GM (Constante
da Terra), melhorando com isto, a qualidade das coordenadas
cartesianas tridimensionais dos satélites. Os parâmetros do elipsóide GRS 8025
(DMA1987). Entre essas estações, estão as estações monitoras do GPS, isto é,
Refinamentos têm sido realizados usando posicionamento por GPS, com o
rar a precisão das coordenadas das estações monitoras. Além das
estações monitoras, fizeram parte dos refinamentos, outras estações do NIMA.
Essas novas realizações foram denominadas WGS 84 (G730) (MALYS e SLATER,
e WGS 84(G1150) (MERRIGAN et al.,
2002), onde G representa que o refinamento foi efetuado usando GPS, e 730, 873 e
1150 representam, respectivamente, as semanas GPS em que ocorreram as
A acurácia (1 sigma) da resultante das coordenadas de cada estação em
relação ao ITRF foi da ordem de 10 cm para o WGS 84 (G730), 5 cm para o WGS
Este sistema tem origem no centro de massa da Terra, com eixos cartesianos
ipsóide de revolução
Fonte: Monico (2008)
Com o refinamento do WGS 84, alguns parâmetros relacionados a esse
sistema sofreram algumas alterações, como por exemplo, o GM (Constante
da Terra), melhorando com isto, a qualidade das coordenadas
cartesianas tridimensionais dos satélites. Os parâmetros do elipsóide GRS 80 são:
26
Parâmetros do Elipsóide Descrição
A = 6.378.137,0 m Igual ao anterior Semi-eixo maior
f = 1/298,2572221 1/298,257223563 Achatamento
ωωωωc = 7292115 x 10-8 rad/s Igual ao anterior Velocidade angular da Terra
C = 299.792.458 m/s Igual ao anterior Velocidade da Luz
GM = 3986005 x 108
m3/s2 3986004,418 x 108
m3/s2 Constante gravitacional da Terra
Parâmetros do Elipsóide GRS 80. Fonte: Monico (2008)
4.3.2.1 Elipsóide Topocêntrico e Elipsóide Geocêntr ico
Elipsóide Local e Elipsóide Geocêntrico. Seeber (1997)
O elipsóide do sistema WGS84 é denominado geocêntrico ou global, pelo
fato de estar considerando o centro de massa da Terra como origem, enquanto que,
o elipsóide adotado pelo SGB é denominado topocêntrico ou local. A figura anterior
apresenta uma relação entre esses dois tipos de elipsóides.
4.4 Sistema de Referência Geodésico – Conceito Mode rno
27
De acordo com Blitzkow (2002), o conceito de Sistema de Referência
Geodésico mudou e não se estabelece mais uma origem. Com as técnicas de
posicionamento por satélites artificiais, implanta-se uma Rede de Referência. Neste
sentido, têm-se os seguintes tipos de redes: rede mundial ou global (ex: IGS), redes
continentais (ex: SIRGAS), rede nacionais (ex: RBMC), redes estaduais (ex: Rede
GPS do Estado de São Paulo) e até mesmo as redes regionais.
Dessa forma, tem-se um conjunto de pontos materializados cujas
coordenadas são determinadas através de técnicas espaciais.
Rede Mundial – IGS
28
Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC)
Redes Geodésicas Estaduais. Fonte: IBGE
29
Rede GNSS do Estado de São Paulo
30
Rede SIRGAS 2000
31
5. Adoção de Um Referencial Geocêntrico no Brasil
Baseado no que foi descrito nas seções anteriores, percebe-se que os
usuários do SGB terão a disposição quatro sistemas geodésicos de referência (CA,
SAD 69, WGS 84 e SIRGAS) e várias realizações destes (uma CA, duas do SAD
69, duas do SIRGAS e quatro do WGS 84), o que poderá causar confusão.
O primeiro e o segundo sistemas de referência (CA e SAD 69) têm sido
usados para o mapeamento, o terceiro (WGS 84) para fins operacionais de
levantamentos com GPS usando efemérides transmitidas; e o quarto para
levantamentos geodésicos e de fins científicos.
Tal situação representa o impacto de novas tecnologias e a necessidade de
atender aos usuários. No entanto, a existência de múltiplos referenciais pode,
conforme já citado, confundir os usuários e dificultar a permuta de informações.
Num determinado momento deve ocorrer uma unificação desses sistemas. O
ideal parece ser a adoção de um referencial com acurácia adequada e que reduza a
necessidade de transformações, considerando a realidade atual. Como as
tecnologias de posicionamento disponíveis atualmente, em especial o GPS,
proporcionam informações num referencial geocêntrico, parece óbvio que o
referencial a ser adotado tenha origem geocêntrica.
No Brasil, grande parte da comunidade envolvida com Cartografia, Geodésia
e áreas correlatas participou das discussões sobre a adoção de um referencial
geocêntrico. Como conseqüência dos vários encontros em congressos e feiras de
geotecnologia, o IBGE organizou um seminário sobre o assunto, denominado “1o
seminário sobre referencial geocêntrico no Brasil”, o qual foi realizado em outubro
de 2000, na cidade do Rio de Janeiro.
Então a mudança de sistema de referência é necessária devido a alguns
fatores, entre eles:
1. O Brasil adotou, até a década de 70, o Datum “Córrego Alegre”, e
atualmente utiliza o sistema SAD-69. Com isto, cartas mais antigas,
produzidas, por exemplo, pelo IBGE, têm como referência o Datum
“Córrego Alegre” e as mais atuais o SAD-69. Desta forma, é
necessário que ocorra uma operação de mudança de sistema de
referência, ou seja, Córrego Alegre ⇔ SAD-69. Esta operação também
32
é necessária quando utilizamos antigos vértices da rede geodésica
brasileira.
2. Está em fase de implantação, no Brasil, um Sistema Geocêntrico de
Referencia, denominado SIRGAS e com isto, coordenadas em SAD69
deverão ser convertidas para este novo sistema, ou seja, SAD69 �
SIRGAS. O Sistema SIRGAS é um referencial mais atual e preciso
para a cartografia e geodésia brasileira.
3. A mudança de sistema de referência também é necessária quando da
utilização de sistemas de satélites artificiais para posicionamento
(Transit, GPS, Glonnas, etc). Estes sistemas de posicionamento
utilizam referenciais próprios, como por exemplo, o GPS utiliza o utiliza
o sistema de referencia WGS-84. Como o Brasil adota, atualmente, o
sistema SAD-69, existe então a necessidade da mudança de
referencial, ou seja, WGS-84 ⇔ SAD-69.
O SIRGAS, originalmente denominado de Sistema de Referência
Geocêntrico da América do Sul, concebido em 1993 e com duas campanhas GPS já
realizadas, culminou com duas densificações do ITRF. Hoje, sua denominação é
Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas.
A primeira campanha ocorreu no período de 26 de Maio a 14 de Junho de
1995. Foram ocupadas 65 estações ao todo, das quais sete são pertencentes ao
IGS (International GNSS Service – Serviço GNSS Internacional). Essas sete
estações fazem parte do ITRF-94 e suas coordenadas foram inseridas no
ajustamento como fiduciais. Desse número total de estações, 10 estão localizadas
33
no Brasil. Todas as estações estavam equipadas com receptores de dupla
freqüência.
A segunda campanha foi realizada no período de 10 a 19 de Maio de 2000,
aproximadamente cinco anos após a primeira. Fizeram parte dessa campanha 184
estações, as quais estão distribuídas não só pela América do Sul, mas em todo
continente americano. Foi quando houve a mudança do significado da sigla
SIRGAS.
Sistema Geocêntrico Para as Américas (SIRGAS). Total de 184 estações. Fonte: IBGE/2000
34
Lista de coordenadas do SIRGAS.
Juntamente com a realização SIRGAS 2000 foi disponibilizado o campo de
velocidade para as estações localizadas na placa listosférica sul americana,
necessário para aplicações de alta precisão. As velocidades podem ser obtidas a
partir do software VEMOS disponível na página do Sirgas.
O sirgas utiliza o elipsóide GRS 80 e a origem centro de massa da Terra.
� Elipsóide: GRS80
(Geodetic Reference Sytem 1980)
� a = 6.378.137 m
� f (α) = 1/298,257222101
� Origem: Centro de Massa da Terra
� Estações de Referência: 21 estações da rede continental SIRGAS2000,
estabelecidas no Brasil
Época de Referencia das coordenadas: 2000,4
5.2 Coordenadas Tridimensionais de um Ponto
Para facilitar os cálculos matemáticos utilizados em geodésia, como por
exemplo, em mudança de Datuns, devemos transformar as coordenadas
geodésicas de um ponto (latitude, longitude, altitude), em coordenadas cartesianas
tridimensionais (X, Y, Z).
35
• o eixo X é definido pela intersecção do plano meridiano de Greenwich
com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do
centro para o exterior.
• o eixo Y é definido pela intersecção do plano meridiano de longitude
90º Leste com o plano equatorial.
• o eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado
positivamente na direção do Pólo Norte.
As coordenadas tridimensionais podem ser definidas em função de três
posições para um ponto no espaço, ou seja: sobre a superfície física, considerando
a altitude ortométrica (H), sobre a superfície física considerando a altitude
geométrica (h), e por último, considerando o ponto sobre a superfície do elipsóide
(situação hipotética).
Superfície Física (alt.
ortométrica – H)
Superfície Física (alt.
Geométrica – h)
Superfície do
Elipsóide
X = (N+H).cosϕ.cosλ
Y = (N+H).cosϕ.senλ
Z = (N’+H).senϕ
X = (N+h).cosϕ.cosλ
Y = (N+h).cosϕ.senλ
Z = (N’+h).senϕ
X = N.cosϕ.cosλ
Y = N.cosϕ.senλ
Z = N’.senϕ
Observações: a) h = Ond. Geoidal + H
b) N – Grande Normal e N’ – Pequena Normal
Meridiano de Greenwich
Equador
λ = 90º EPN Z
XY
PS
5.3 Parâmetros para Transformação
5.3.1 Mudança de Córrego Alegre para SAD
Os parâmetros para esta mudança são:
Sistema de Origem: C. A.
a1 = 6.378.388,00
α1 = 1/297,00
∆X = - 138,70 m;
Os parâmetros ΔX,
sistemas cartesianos tridimensionais, prov
os eixos tridimensionais.
5.3.2 Mudança de SAD- 69 para Córrego Alegre
Os parâmetros para esta mudança são:
Sistema de Destino: SAD
a2 = 6.378.160,00
α2 = 1/298,25
∆X = + 138,70 m;
Transformação entre Sistemas de Referência
5.3.1 Mudança de Córrego Alegre para SAD -69
Os parâmetros para esta mudança são:
C. A. Sistema de Destino: SAD
a2 = 6.378.160,00
α2 = 1/298,25
138,70 m; ∆Y = + 164,40 m; ∆Z = + 34,40 m
X, ΔY e ΔZ são as diferenças de coordenadas entre
sistemas cartesianos tridimensionais, provocadas apenas por uma
69 para Córrego Alegre
Os parâmetros para esta mudança são:
SAD-69 Sistema de Origem: C. A.
a1 = 6.378.388,00
α1 = 1/297,00
138,70 m; ∆Y = - 164,40 m; ∆Z = - 34,40 m
36
entre Sistemas de Referência
SAD-69
Z = + 34,40 m
Z são as diferenças de coordenadas entre dois
Translação entre
C. A.
34,40 m
37
5.3.3 Mudança de SAD-69 para WGS84
Os parâmetros para esta mudança são:
Sistema de Origem: SAD69 Sistema de Destino: WGS84
a1 = 6.378.160,00
α1 = 1/298,25
a2 = 6.378.137,00
α2 = 1/298,257223563
ΔX = - 66,87 m; ΔY = + 4,37 m; ΔZ = - 38,52 m
5.3.4 Mudança de WGS-84 para SAD-69
Os parâmetros para esta mudança são:
Sistema de Destino: WGS84 Sistema de Origem: SAD69
a2 = 6.378.137,00
α2 = 1/298,257223563
a1 = 6.378.160,00
α1 = 1/298,25
ΔX = + 66,87 m; ΔY = - 4,37 m; ΔZ = + 38,52 m
Considerando esta última situação acima, com o mesmo raciocínio para as
demais situações, pode-se montar o problema, em notação vetorial, assim, a
transformação por meio de coordenadas cartesianas de WGS 84 para SAD 69 é
dada por:
A tabela contém os parâmetros de transformação entre as varias redes de
referências usadas no Brasil.
Parâmetros ⇒
Transformações
Tx
(cm)
Ty
(cm)
Tz
(cm)
s
(sppb)
εx
(mas)
εy
(mas)
εz
(mas)
SIRGAS 2000→ SAD 69 6735,0 -383,0 3822,0 0 0 0 0
m
Z
Y
X
Z
Y
X
WGSSAD
+−
++
=
−−52,38
37,4
87,66
8469
38
WGS84 → SAD 69
IBGE
6687,0 -437,0 3852 0 0 0 0
WGS84 → SAD 69
(NIMA)
5700,0 -100,0 4100 0 0 0 0
WGS84 (G873) → ITRF94
Época 1997,0
9,6 6,0 4,4 -14,3 -2,2 -0,1 1,1
PZ-90→ WGS84 (G873)
Época 1997,0
-108,0 -27,0 -90,0 -120,0 0,0 0,0 -160,0
O IBGE disponibilizou em sua pagina (www.ibge.gov.br) o programa ProGriD
o qual possibilita a transformação de coordenadas entre o SAD-69 e SIRGAS 2000
e vice-versa além da modelagem das distorções existem na rede.
5.4 Formulação matemática para o cálculo de coorden adas geodésicas
Pode-se executar a mudança entre Sistemas de Referencia utilizando-se as
Fórmulas Simplificas de Molodenski ou as Fórmulas em Função das Coordenadas
Cartesianas do Ponto.
5.4.1 Equações diferenciais Simplificadas de MOLODE NSKI
onde: Δa = (a2 – a1) e Δα = (α2 - α1)
Após o calculo de Δϕ, Δλ e ΔΝ, pode-se calcular, então, as coordenadas
geodésicas no sistema de destino:
,sendo h1 e h2 altitudes geométricas nos sistemas 1 e 2 respectivamente
{ }π
ϕλϕλϕϕααϕ °×∆+∆−∆−∆+∆=∆ 180cos...cos..).2()...(
111111111
1
ZsensenYsenXsenaaM
{ }π
λλϕ
λ °×∆+∆−=∆ 180cos..
cos.
111
11
YsenXN
1111112
11 ..cos.cos.cos..)...( ϕλϕλϕϕαα senZsenYXasenaaN ∆+∆+∆+∆−∆+∆=∆
Nhh ∆+=∆+=∆+=
12
12
12
λλλϕϕϕ
39
5.4.2 Formulação Matemática Utilizada em Mudanças d e Sistemas de
Referência Em Função das Coordenadas Cartesianas do Ponto
Estas equações são definidas pelo IBGE, de acordo com a Resolução no. 23,
de fevereiro de 1989.
( ) 2
22/12
222
2
22
2/122
22
2
2
22
32
22
2/122
22
32
222
2
tan
cos
)(
arctan
cos..)(
..'arctan
b
a
YX
Zu
2) Sistemano Normal Grande a N (sendoNYX
h
Brasil) o situaque em quadrante o (paraX
Y
uaeYX
usenbeZ
2
⋅+
=
−+
=
=
−++
=
ϕ
λ
ϕ
40
6. Transporte de Coordenadas
6.1. Introdução
Transporte de coordenadas é o processo de determinação de coordenadas
de uma estação a partir do conhecimento das coordenadas de uma outra estação,
do azimute da direção que as une e da distância que as separa.
O transporte pode ser feito em coordenadas:
• Planas: (X, Y) => Plano topográfico
• UTM (N, E) => Plano UTM
• Geodésicas (ϕ, λ) => Superfície do Elipsóide
6.2 Problema Direto e Problema Inverso
Quando se trata do transporte de coordenadas, existem dois problemasa
serem resolvidos, ou seja: Problema Direto e Problema Inverso.
6.2.1 Coordenadas Planas
6.2.1.1 Problema Direto:
o Dados: (X1, Y1), s12 e Az12
o Calcular: (X2, Y2) e Az21
X2 = X1 + ΔX
Y2 = Y1 + ΔY
ΔX = s12.senAz12
ΔY = s12.cosAz12
X2 = X1 + s12.senAz12
Y2 = Y1 + s12.cosAz12
Az21 = Az12 ± 180º
6.2.1.2 Problema Inverso:
o Dados: (X1, Y1) e (X
o Calcular: s12, Az12
2212 YXs ∆+∆=
∆∆=
Y
XAz arctan'
6.2.1.2 Problema Inverso:
) e (X2, Y2)
e Az21
∆X ∆Y Quad Azimute
+ + 1º Az’
+ - 2º 180º
- - 3º 180º +
- + 4º 360º
41
Azimute
Az’
80º –Az’
180º + Az’
360º - Az’
42
6.2.2 Coordenadas UTM
6.2.2.1 Problema Direto:
o Dados:
� (N1, E1) – Coordenadas do ponto inicial � T10 – Azimute plano da direção 1-0 � Ψ10 – Redução angular da direção 1-0 � α - ângulo do polígono (medido no campo) � S12 – distância geodésica que liga as estações 1 e 2 (transformada da
distância geodésica)
o Calcular: (N2, E2), T21 e Ψ21
- Da figura anterior, temos que: N2 = N1 + ΔN E2 = E1 + ΔE N2 = N1 + σ12.cosT12
E2 = E1 + σ12.senT12
Para distâncias inferiores a 50 km, podemos considerar σ12 = S12, então:
N2 = N1 + S12.cosT12
E2 = E1 + S12.senT12
43
Cálculo da Transformada da distância geodésica (S):
A distância geodésica s, medida no campo, ao ser projetada no plano UTM
sofre uma deformação, se transformando na medida S (transformada da distância
geodésica). Esta deformação torna o comprimento de s diferente de S, ou seja:
, onde K é a escala média da projeção.
As equações a seguir estarão reduzindo as distancias geodésicas (s ou Se ->
Dist. Elipsóidica) em Distancias medidas no sistema de projeção UTM (S, σ ou SP -
> Distancia Plana UTM). Não estamos retratando, ainda, sobre a distância medida
no campo (Distancia Horizontal), que também sofrerá redução ao elipsóide.
Cálculo da Distancia S => F( ϕϕϕϕ,λλλλ) – Coordenadas Geodésicas
Desta forma, transforma-se a distância geodésica (s) em Transformada da
Distancia Geodésica (S)
Para distâncias menores que 50 km => S = σ � (σ => distância plana
UTM => SP)
Em Função das coordenadas geodésicas , K de um ponto pode ser
calculada como:
Pode-se calcular o coeficiente K de uma linha, a partir da latitude e longitude
média ( ϕm e λm ).
KsS =
[ ]2..
0
)sin(.cos1 CM
KK
λλϕ −−=
[ ]
22
)sin(.cos1
2121
2..
0
λλλϕϕϕ
λλϕ
+=+=
−−=
mm
CMmm
KK
Cálculo da Distâ ncia S => F(E,N)
Cálculo de K de um Ponto.
Cálculo do K de uma
Coef. XVIII -> Tabela
[
.2
sco.1
0 ,000.500
.000001,0
.(31
.1.(
2
22'
'
'
2
0
m
A A
A A
B A A AB
AB
ArgumentoTabela XVIII
N
e XVIII
E E
E q
q q q q
q XVIII K K
ϕ
>−
+=
−=
=
++=
+=
[
..2
sco.1
.000001,0
9996, 0
.1 .(
2
22 '
'
0
20
ϕ
ArgumentoTabela XVIII
N
e XVIII
EE q
K
q XVIII K K
>−
+=
=
=++=
ncia S => F(E,N) _ Coordenadas UTM
Cálculo de K de um Ponto.
K de uma Linha.
> Tabela
)](.
.10. 1
.
0,000.500
. 000001,0
9996,0)
).00003,0
1220
'
'
02
2
m
m
B B
B B
B
AB AB
Média Lat Argumento
Normal Gr N
K
E E
E q
K q
q
ϕ
>−
>−
−=
=
=+
+
)](
.10.1
.
0 ,000. 500
).00003,0
1220
'
4
ϕ Lat Argumento
Normal Gr N
K
E E
q
>−
>−
−=
+
44
45
Transformação da Distância Horizontal (Sh) para Pla na UTM (σσσσ)
Para o cálculo de redução da distância horizontal do plano UTM, deve-se ter
os seguintes passos de execução:
1) Após redução da distância ao horizonte (Sh), esta pode ser reduzida ao
geoide:
Sn = Sh – (Sh x Hm)/Rm
Onde: Sn – distância geoidal
Sh – distância horizontal
Hm – Altitude média local
Rm – Raio Médio de Curvatura
• Rm = (M.N)1/2
M - Raio de Curv. Seção Merid.
N - Raio de Curv. Da 1o. Vertical
2) Após a redução ao geoide (Sn), esta distância pode ser considerada
elipsoidal, ou seja, Sn ≅ s, Ou ainda pode ser reduzida a distância geodésica ou
elipsoidal utilizando a equação:
onde ,
3) Ao se ter a distância Geodésica (s), a mesma então pode ser transformada
em distância plana UTM (S ≅ SP=σ)
Cálculo do Azimute Plano (T 12)
Para calcular o azimute plano UTM é necessário os valores de redução
angular
Caso Azimute
(a) T12 = T10 - ψ10 + a + ψ 12-360o
(b) T12 = T10 + ψ 10 + a - ψ 12-360o
(c) T12 = T10 + ψ 10 + a - ψ 12-360o
(d) T12 = T10 - ψ 10 + a + ψ 12-360o
Para o cálculo da redução angular, tem
Ψ = 6,8755 . ∆N . 10
Onde:
∆N – Diferença de coord. N =>
E1’ = E1 – 500.000 (E1 – Coord. E da Estação)
E2’ = E2 – 500.000 (E2 – Coord. E do Ponto Visado)
XVIII – Tabela da Proj. UTM
0
1 T12
T10
α
ψ01
ψ10
ψ12
(c)
0 ψ01
ψ10 T10
1
ψ21
T12 α
(a)
Oeste
Para o cálculo da redução angular, tem-se a seguinte fórmula:
N . 10-8 . (2.E1’ + E2’) . XVIII
Diferença de coord. N => ∆N= N2 – N1 (2-ponto visado; 1-Estação)
Coord. E da Estação)
Coord. E do Ponto Visado)
Tabela da Proj. UTM – Argumento – Latitude
2 ψ21
0 ψ01
ψ10
ψ12
1
ψ21
α
T12
T10
M.C.
(d)
ψ21
1
ψ01
ψ10
α
T10
T12
0
ψ12
2 21
(b)
Leste
46
se a seguinte fórmula:
Estação)
2 21
2
ψ12
47
Esta correção executada no ângulo medido é pequena, pois, é bem menor
que a precisão dos equipamentos utilizados para medida angular (exemplo: 5”), pois
a distancia entre os dois pontos também é considerada pequena para esta correção
( < 1.000 m). Contudo, em trabalhos com grande quantidade de pontos (poligonal
grande), deve-se levar esta redução angular em consideração.
6.2.2.2 Problema Inverso:
o Dados: N0, E0 e N1 e E1
o Calcular:
- s01 – distância geodésica entre as estações 0 e 1
- T01 e T12 – azimutes planos
- Ψ01 e Ψ10 – reduções angulares
- Az01 e Az10 – azimutes gedésicos
Cálculo de s:
mas s ≤ 50 km => σ ≈ S ∴ S = √Δ�� + Δ��
Cálculo dos Azimutes Planos e Geodésicos:
22 EN ∆+∆=σ
∆N ∆E Quad Azimute
+ + 1º T’
+ - 2º 180º –T’
- - 3º 180º + T’
- + 4º 360º - T’
N
ET
∆∆= arctan'
48
Cálculo do Az. Geodésico (A 01 ou A 01)
Para calcular o azimute geodésico são necessários calcular a redução
angular e a convergência meridiana plana.
Caso Azimute
(a) A01 = T01 + 180° - ψ01 - γ0
A10 = T10 - 180° + ψ 10 - γ 1
(b) A01 = T01 + 180° - ψ 01 + γ 0
A10 = T10 - 180° + ψ10 + γ 1
(c) A01 = T01 + 180° + ψ 01 + γ 0
A10 = T10 - 180° - ψ 10 + γ 1
(d) A01 = T01 + 180°+ ψ 01 - γ 0
A10 = T10 - 180°- ψ 10 - γ 1
γ1
γ0
A 01
T 01
T 10
1
0
A 1 0
ψ 01
ψ 1 0
ψ 10
A 01
T0 1
γ0
ψ 01
A1 0
T1 0
0
1
γ1
A1 0
ψ 10
1
γ1
T0 1
A 01 ψ 01
γ0
0 γ0
0 A0 1
T0 1 ψ 01
ψ 10
A1 0
T 10
T 10
γ1
1
(c) (d)
(a) (b)
M.C.
Equador
49
Convergência Meridiana Plana
Para os trabalhos de georreferenciamento de imóveis rurais, outra exigência
da Norma do INCRA diz respeito a determinação da Convergência Meridiana Plana,
que é divergência entre Norte Verdadeiro (NV) e o Norte de Quadrícula (NQ).
A partir de NV, tem-se o azimute verdadeiro, definido nos
levantamentos topográficos, por astronomia de campo (ex: distancias zenitais
absolutas)
A partir de NQ, tem-se o azimute plano – UTM, definido a partir das
coordenadas N e E do sistema UTM.
O NV pode ser considerado aproximadamente com sendo igual
ao Norte Geodésico (NG), pois a variação entre eles é pequena e pode ser
desconsiderada, e com isto, tem-se NV ≅ NG. Lembrando que o Norte Verdadeiro
está relacionado ao geóide (forma física para a Terra) e o Norte Geodésico está
relacionado ao Elipsóide (forma matemática para a Terra).
0
1
2
Σ0−1
Σ1−2
E
N(M.C.)
NQ NG
γ1
γ1
50
Pode-se calcular a convergência meridiana de duas formas: pelas
coordenadas UTM (N,E) ou pelas coordenadas geográficas (ϕ,λ). A título de
exemplo, vamos executar os cálculos pelas coordenadas geográficas.
Observação: A convergência meridiana plana é de caráter pontual
Convergência Meridiana Plana em Função das Coord. G eodésicas
Convergência Meridiana Plana em Função das Coord. P lanas UTM
m 7196.356.774,b m; 06.378.160, a :SAD69 sistema o para
)('
10).tan2(15
cos.".1
10).cos.'.2cos.'.31(3
cos.".1
10.
)"("
".0001,0
:
...
2/122
20244
'5
12442222
4
5'5
3
==
−=
−⋅=
++⋅=
=
−=∆∆=
++=
b
bae
sensenC
eesensen
XIII
senXII
p
onde
pCpXIIIpXII
MC
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
λλλλ
γ
''1
''''''1
0
'0
0
'0
5'5
3
que atéIterar
)).10sin(.).8sin(.).6sin(.).4sin(.)2sin(.'.(1
1
1.
'
.).(000.000.10''
0
:' Lat. Determ.
...
ii
iiiiii B
i
K
N
SHNNK
NBi
qFqXVIqXV
ϕϕ
ϕξϕεϕδϕγϕβα
ϕ
αϕ
ϕ
γ
=
+−+−+=
+
=
−===
+−=
+
+
51
6.2.3 Coordenadas Geodésicas
O cálculo do transporte de coordenadas geodésicas é, dos transportes
sugeridos neste capítulo, nosso alvo principal de estudo. Muitas equações são
sugeridas para este transporte de coordenadas, formuladas pelos geodesistas como
Sodano, Robbins, Clarke e Puissant. No Brasil, geralmente utilizam-se as fórmulas
de Puissant. Estas fórmulas fornecem resultados com precisão de 1 ppm quando o
comprimento dos lados envolvidos nos cálculos é menor que 80 km. Para que esta
precisão seja alcançada, os cálculos devem ser processados com pelo menos sete
casas decimais.
O cálculo de posições geodésicas, conhecido também como transporte de
coordenadas, torna-se mais fácil desde que estejam disponíveis os coeficientes A,
B, C, D, E e F.
Vincenty (1975) com base nesta premissa propôs um método que resolve o
problema direto e inverso na geodésia. A característica principal de sua formulação
é o uso de equações aninhadas de termos elípticos. Sendo, que para ambas as
soluções são obtidas de forma iterativas.
Os experimentos apresentados por Vincenty (1975) constatou que a solução
iterativa é mais eficiente que as soluções não-iterativas descritas nas bibliografias e
com peso computacional menor.
A solução do problema direto e inverso apresentado por Vincenty (1975)
encontram-se implementado em dois softwares denominados de INVERSE e
FORWARD disponibilizados em http://www.ngs.noaa.gov/TOOLS/Inv_Fwd/Inv_Fwd
.html. Onde, estão disponíveis os códigos fontes dos mesmos, para compilação em
Fortran.
6.2.3.1 Linha Geodésica
A curva geodésica é a linha que fornece a menor distância entre dois pontos
no elipsóide. A linha geodésica está contida entre as duas seções normais definidas
por dois pontos.
Segundo Gemael (1987) a “linha geodésica” é definida como uma linha
situada numa superfície tal que em todos os seus pontos a sua normal principal
coincide com a normal á superfície.
52
Figura – Linha geodésica. Adaptado de Chaves (2003).
Algumas definições básicas relacionadas as linhas geodésicas serão
apresentados a seguir conceitos do problema direto e o problema inverso da
geodésia.
6.2.3.2 PROBLEMA DIRETO E INVERSO DA GEODÉSIA
No problema direto é dado as coordenadas geodésicas de um ponto sobre o
elipsóide, o azimute do primeiro ponto para o segundo ponto e a distância
geodésica entre os dois pontos e encontra-se as coordenadas geodésicas do
segundo, bem como o contra azimute Figura 1.
1(lat1, long1)
S12
A12
2(? , ?) A21 ?
Figura 1: Problema direto.
Já o problema inverso são dados as coordenadas geodésicas de dois pontos
sobre o elipsóide deve-se encontrar o azimute, o contra azimute e a distância entre
os pontos como mostrado na Figura 2.
53
1(lat1, long1)
S12 ?
A12 ?
2 (lat2, long2)
A21 ?
Figura 2: Problema inverso.
Segundo Gemael (1987) em ambos os problemas deve-se considerar duas
hipótese:
1) A distância que separa os vértices é pequena (distâncias menores que 50
km).
2) A distância entre os pontos é grande que pode atingir centenas de
quilômetros.
No que diz respeito à primeira hipótese as formulas existentes para realizar o
cálculo dos problemas direto e inverso são praticamente equivalentes com relação à
precisão. No entanto a medida que se tem distâncias maiores algumas das formulas
existentes vão perdendo precisão o que limita sua utilização dependendo da
distância entre os pontos (GEMAEL, 1987).
A solução deste problema é baseada na solução de um triangulo geodésico
no elipsóide, que pode ser considerado de forma análoga a solução de um triângulo
esférico. No entanto, deve-se considerar que a superfície considerada é um
elipsóide de revolução. Assim, as soluções são desenvolvidas através de
aproximações na superfície do elipsóide.
54
6.2.3.3 Modelos para o problema Direto utilizando P uissant
Este problema é utilizado em triangulações, trilaterações e poligonação
eletrônica.
o Dados:
- ϕ1 e λ1 – Coordenadas geodésicas da estação 1
- A12 – Azimute geodésico da direção 1-2
- s12 – distância geodésica entre as estações 1 e 2 o Calcular: ϕ2, λ2 e A21
ϕ2 = ϕ1+Δϕ
λ2 = λ1 +Δλ A21 = A12 ± 180o + θ
Observação: Azimute contado a partir do Norte
PN
∆λ
A21
θ ∆ϕ
2
λ2
λ1
ϕ2
ϕ1
s12
1
A12
55
Calculo da latitude ϕ2:
ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ
∆ϕ’’ = δϕ’’ – D.(δ ϕ’’)2
em que h = B.s.cosAz
Cálculo da longitude λλλλ2
λ2 = λ1 +∆λ
O índice 2 no coeficiente A é para lembrar ao calculista que o argumento para o
cálculo é a latitude do segundo ponto.
Cálculo do contra-azimute (A 21)
A21 = A12 ± 180o + θ
onde θ’’ é a convergência meridiana em segundo de arco.
(em segundos de arco)
6.2.3.4 Modelos do problema inverso utilizando Puis sant
A partir das coordenadas geodésicas de dois pontos conhecidas, pode-se
calcular a distancia geodésica em os dois pontos, assim como o azimute e o contra-
azimute. Este problema é comum, nos dias de hoje, com o uso cada vez mais
AzsenshEAzsensCAzsB 2222 .....cos..'' −−=δϕ
22cos
.'' A
senAzs ⋅=∆ϕ
λ
mm F
sen.)''(
)2
cos(
''.'' 3λϕ
λϕθ ∆+∆∆=
221 ϕϕϕ +=m 22
12 ϕϕϕ −=∆
12'' λλλ −=∆
56
freqüente do sistema GPS, onde se levanta um ponto e uma mira (dois pontos de
coordenadas definidas após o levantamento). O azimute geodésico pode ser
utilizado para o cálculo do azimute plano UTM, assim como as coordenadas
geodésicas são utilizadas para se calcular as coordenadas N e E (coordenadas
planas UTM).
o Dados: ϕ1 e λ1, ϕ2 e λ2
o Calcular s12, Az12 e Az21
Cálculo de X e Y:
Cálculo do azimute A 12:
neste caso, para o cálculo final do azimute, deve-se fazer o estudo de sinal
de X e Y.
Cálculo da distância geodésica s12:
ϕ2 s12
X
Y
PN
∆λ
2
λ2
λ1
ϕ1 1
2
2cos'.'
AX
ϕλ∆=
[ ]21
21
21
1
..'.')''.(''1
XCXEDB
Y +∆+∆+∆⋅= ϕϕϕ
Y
XA =12tan
22 YXs +=
57
Cálculo do contra-azimute A 21:
A21 = A12 ± 180o + θ, onde θ é convergência meridiana.
Coeficientes das fórmulas de Puissant:
onde
6.3 Reduções dos valores observados (correções exec utadas nas
medidas)
6.3.1 Correções a serem introduzidas na distância
a) Redução ao horizonte : Considerando que a medida de distância entre dois
pontos, medida normalmente eletronicamente (estação ou distanciômetro), foi obtida
na posição inclinada da luneta, devendo então ser reduzida ao horizonte.
Dh = Di . cos(α), onde α é o ângulo vertical
Dh = Di . sen(z), onde z é o ângulo zenital
A distância medida eletronicamente sofre uma correção da refração
atmosférica, executada automaticamente no equipamento, desde que os
parâmetros para tal sejam introduzidos (pressão atmosférica, temperatura,
umidade).
''1.
1
senNA =
''1.
1
senMB =
''1.2
tan
senMNC
ϕ=
)1(2
''1.cos..322
2
ϕϕϕ
sene
senseneD
−= 2
2
6
tan31
NE
ϕ+=
12
''1.cos. 22 sensenF
ϕϕ=
2/322
2
).1(
)1(
ϕsene
eaM
−−=⇒
2/122 ).1( ϕsene
aN
−=⇒
b) Redução ao elipsóide
Depois de executada
ao elipsóide, pois foi adquirida na superfície física. Esta redução ao elipsóide deve
ser feita em duas etapas.
b.1) Redução a corda
H – Altitude geométrica da base ou lado, podendo ser definida como:
(altitude média entre os dois pontos).
De acordo com o Teorema de Euler, tem
determinação de R:
do Elipsóide. Desta forma, pode
Onde então teremos a distancia da corda, ou seja:
Para o cálculo de R, usa
pontos, no cálculo de M e N.
N
Azsen
M
Az
R
22cos1 +=
R
HR
Dc
Dh +=
HR
DhRDc
+= .
Depois de executada a redução ao horizonte, a distância deve ser reduzida
ao elipsóide, pois foi adquirida na superfície física. Esta redução ao elipsóide deve
edução a corda
Altitude geométrica da base ou lado, podendo ser definida como:
(altitude média entre os dois pontos).
De acordo com o Teorema de Euler, tem-se a seguinte fórmula, para a
, onde R é o raio de curvatura de uma seção qualquer
do Elipsóide. Desta forma, pode-se chegar a seguinte fórmula:
Onde então teremos a distancia da corda, ou seja:
Para o cálculo de R, usa-se como argumento a latitude média entre os
pontos, no cálculo de M e N. 58
ncia deve ser reduzida
ao elipsóide, pois foi adquirida na superfície física. Esta redução ao elipsóide deve
Altitude geométrica da base ou lado, podendo ser definida como: H = (H1+H2)/2
se a seguinte fórmula, para a
curvatura de uma seção qualquer
se como argumento a latitude média entre os
b.2) Redução ao arco
Após a redução a corda, o próximo passo é reduzir a distância ao
propriamente dito, como mostra a figura abaixo.
b.2) Redução ao arco
Após a redução a corda, o próximo passo é reduzir a distância ao
propriamente dito, como mostra a figura abaixo.
Dg
59
Após a redução a corda, o próximo passo é reduzir a distância ao elipsóide
2
3
24R
DcDcDg +=
60
7. Transformação de Coordenadas Geodésicas em Plana s UTM e Vice-
Versa
7.1 Introdução ao Sistema de Projeção UTM
A utilização de um sistema geodésico faz-se necessária para representar o
mais fiel possível a forma da Terra.
A necessidade de se trabalhar com coordenadas planas se faz para que a
Terra seja representada na forma de cartas ou mapas cartográficos.
Vários tipos de projeções planas foram definidos para se representar as
diferentes partes do planeta, na forma de cartas ou mapas. Essas projeções podem
ser classificadas quanto ao seu método de construção, ao seu ponto de vista, a sua
superfície de projeção, ao objetivo da representação, etc.
O sistema de coordenadas planas mais conhecido e utilizado atualmente no
meio cartográfico é denominado sistema UTM (Universal Transverse de Mercator).
De acordo com GEMAEL (1976), esse é um sistema de representação plana do
elipsóide terrestre que adota a projeção conforme de Gauss (mantém a forma, ou
seja, conserva os ângulos das figuras representadas), seguindo certas
especificações, que são:
1. Projeção conforme de Gauss;
2. Divisão da Terra em fusos de 6°de amplitude, contados a partir do
antimeridiano de Greenwich, totalizando 60 zonas, estabelecendo-se para
cada zona, um meridiano central (para a região de Palmas, o meridiano
central equivale a 51°W);
3. Fator de redução da escala, utilizado para reduzir deformações, K0 = 1 -
1/2500= 0.9996;
4. Latitude máxima de trabalho igual à ± 80°;
5. Eixos cartesianos ortogonais: transformadas do meridiano central e do
equador;
6. Representação das coordenadas plano-retangulares pelas letras N e E,
respectivamente, representado as ordenadas e as abscissas;
7. Para se trabalhar com esse sistema no Hemisfério Sul terrestre com valores
sempre positivos, os valores das ordenadas devem ser somados de
61
10.000.000 metros (N = N1 + 10 000 000.00) e as abscissas de 500.000
metros (E = E1 + 500.000).
De acordo com LOCH & CORDINI (1995), a projeção cilíndrica UTM consiste
em envolver o elipsóide terrestre com um cilindro secante transverso ao eixo polar
do globo terrestre, fazendo com que o cilindro tenha um raio menor do que o raio
médio terrestre.
7.2 Transformação de Coordenadas Geodésicas para Co ordenadas
Planas
A formulação matemática para a transformação de coordenadas geodésicas
para coordenadas planas UTM é apresentada a seguir, de acordo com IBGE(1986):
(1) e (2) sendo, (3)
Onde S’’ é o arco de meridiano que vai do ponto considerado até o Equador,
definido pela seguinte fórmula:
(4)
Considerando o sistema de referência SAD69, têm-se os seguintes valores
para A, B, C, D, E e F:
A = 1,0050526248 B = 0,0050632321
C = 10,628107 x 10-6 D = 20,821897 x 10-9
E = 3,9327535 x 10-11 F = 6,5553406 x 10-14
(5)
(6)
( ) 66
421 pApIIIpIIIN ⋅′+⋅+⋅+=
( ) 55
31 pBpV+pIVE ⋅′+⋅⋅=
0KS"=I ⋅
)10sen10
18sen
8
16sen
6
14sen
4
12sen
2
1
180
.()e-(1aS" 2 ϕϕϕϕϕπϕ ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−
°⋅⋅⋅= FEDCBA
80
2
10K2
1sencossen= II ⋅⋅
′′⋅⋅⋅ ϕϕN
160
4422234
10K) cose4+cose9+tan5(24
cossen1sen=III ⋅⋅⋅′⋅⋅′⋅−⋅⋅⋅⋅′′ ϕϕϕϕϕN
62
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
onde,
� ϕ - latitude do ponto considerado;
� λ - longitude do ponto considerado;
� S - comprimento do arco de meridiano definido pelo ponto considerado e o
Equador;
� N - raio de curvatura da seção primeiro vertical na latitude considerada;
� e – primeira excentricidade do elipsóide de referência;
� e′ - segunda excentricidade do elipsóide de referência;
� K0 - fator de escala no meridiano central (0.9996); e,
� MC - longitude do meridiano central.
Para o Hemisfério Sul tem-se no sistema UTM, as seguintes coordenadas:
N = N1 + 10.000.000,00 metros; e,
E = E1 + 500.000,00 metros.
Considerando o sistema de referência SAD-69, têm-se os seguintes
parâmetros para o Elipsóide de Revolução denominado Referência Internacional
1967 (IBGE):
a = 6.378.160,000m b = 6.356.774,719m achatamento α=1/298,25
40 10.K1sencos=IV ⋅′′⋅⋅ ϕN
240
22224256
6 10K) e330cose270 +tan+tan5861(720
cossen1sen=A ⋅⋅⋅′⋅−⋅′⋅⋅−⋅⋅⋅⋅′′′ ϕϕϕϕϕϕ
senN
200
22224255
5 10K) e58 cose14+tan+tan185 (120
cos1sen=B ⋅⋅⋅′⋅−⋅′⋅⋅−⋅⋅⋅′′′ ϕϕϕϕϕ
senN
)MC - (0,0001 =p ′′⋅ λ
2
2
2
222
11')2.(e
e
e
b
ae
−=−=−= αα
63
7.3 Transformação de Coordenadas Planas UTM para Co ordenadas
Geodésicas
A formulação matemática para a transformação de coordenadas planas UTM
para coordenadas geodésicas é apresentada a seguir:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Cte = 500.000,00m
Determinação de ϕ’: A medida ϕ’ é determinada por um processo iterativo
Para i = 0, tem-se: onde N'= 10.000.000,00 − N (p/ o H. Sul) (6)
Para i = 1, tem-se: (7)
(8)
Obs: o valor de � apresentado nas fórmulas acima não representa o achatamento.
A latitude aproximada “ϕ ' ” será determinada quando: ��` =
` e �` = ���
`
Para o sistema de referência SAD-69, tem-se os seguintes parâmetros:
a = 6.378.160,00m b = 6.356.774,719m Achatamento: 1/298,25
A = 1,0050526248 B = 0,0050632321
C = 10,628107 x 10-6 D = 20,821897 x 10-9
66
42 .'..' qDqVIIIqVII −+−= ϕϕ
λλλ ∆±= 0
55
3 .'.. qEqXqIX +−=∆λ
'.000001,0 Eq =
ECteE −='
0
'0 K
N'=B
''1
1oB⋅=
αϕ
)sen10.8sen.6sen.4sen.2sen.(1 ''''''
0'
1 iiiiii B ϕξϕεϕδϕγϕβα
ϕ +−+−+⋅=+
64
E = 3,9327535 x 10-11 F = 6,5553406 x 10-14
� = 111.133,3486 β = 16.038,95511 γ = 16,83348972 δ = 0,021986053 ε = 3,1144759 x 10-5 ξ = 4,1531106 x 10-8
(9)
(10)
(12)
(13)
(14)
onde:
� ϕ’ - latitude do pé da perpendicular que vai do ponto considerado até o MC.
� E – abscissa do sistema de coordenadas planas - UTM
� N - raio de curvatura da seção primeiro vertical na latitude considerada;
� e – primeira excentricidade do elipsóide de referência;
� e′ - segunda excentricidade do elipsóide de referência;
� K0 - fator de escala no meridiano central (0.9996); e,
� MC - longitude do meridiano central.
� a – semi-eixo maior do elipsóide.
1220
222
101
).'cos.'1("1..2
'tanVII ⋅+⋅=
Ke
senNϕϕ
2440
22444222224
101
)'sen'.cos.'.9'cos.'.3'sen.'.6'cos'.6'tan.35("1.24.
'tanVIII
⋅⋅
⋅−−−++⋅=
K
eeeesenN
ϕϕϕϕϕϕϕ
(11)3660
2222222426
'6
101
)''.tan.'.45'.'.162'cos.'.107'tan.45'tan.9061("1..720
'tanD
⋅⋅
⋅−−+++⋅=
K
seneseneesenN
ϕϕϕϕϕϕϕ
6
0
101
"1.
'secIX ⋅⋅=
KsenN
ϕ
1830
2223
101
)'cos.''tan.21("1..6
'secX ⋅++⋅=
Ke
senNϕϕϕ
3050
2222425
'5 10
1)'.'.8'cos.'.6'tan.24'tan.285(
"1..120
'sec ⋅⋅++++=K
seneesenN
E ϕϕϕϕϕ
65
� b – semi-eixo menor do elipsóide.
Observações:
1. A latitude ϕ ' é determinado por processo iterativo.
2. Não confundir N (Raio de curvatura da seção do 1º. Vertical ou Grande
Normal) com a coordenada N (ordenada do sistema de coordenadas
planas do sistema de projeção UTM).
66
8. Métodos de posicionamento horizontal
Atualmente, são conhecidos quatro métodos para se estabelecer um conjunto
de pontos com coordenadas planimétricas geodésicas conhecidas, ou seja:
Triangulação, Trilateração, Poligonação e Posicionamento por Satélites.
A determinar da posição de pontos sobre a superfície terrestre podem utilizar
diferentes técnicas, tais como;
– Levantamentos Convencionais: latitude (F) e longitude (l) e altitude
ortométrica (H)
– Levantamentos com satélites: coordenadas cartesianas 3-D (X,Y, Z),
as quais podem ser transformas p/ latitude, longitude e altitude
geométrica (h) - caso se conheça a altura geoidal N, pode-se
determinar H.
Na geodésia também utiliza-se de outros métodos tais como:
– Astronomia de Posição:- ocupa-se com as determinações da latitude e
longitude de um ponto sobre a superfície terrestre, bem como o
azimute de uma direção (independe da forma e dimensão da Terra) -
muito pouco utilizado hoje!!!
– Topografia: ocupa-se com as determinações de pontos sobre uma
superfície considerada plana, normalmente de pequena extensão;
8.1 Triangulação
A triangulação era o método mais clássico e preciso de obtenção de
coordenadas geodésicas planimétrica, onde era executado o procedimento para a
determinação de coordenadas pela resolução de figuras geométricas obtidas a partir
de triângulos justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos ângulos
subtendidos por cada vértice.
O objetivo era de se estabelecer uma rede de vértices com coordenadas
geodésicas conhecidas para apoiar o mapeamento, os levantamentos geodésicos,
bem como, especular sobre a forma e dimensões da Terra.
Este era o método mais utilizado pelos geodesistas, antes da utilização
efetiva de satélites artificiais para posicionar pontos.
As redes de triângulos desenvolvidas no Brasil são formadas por
quadriláteros subdivididos em triângulos.
67
8.1.1 Metodologia empregada na execução da triangul ação geodésica
Para se iniciar uma triangulação, deve-se ter conhecimento dos seguintes
itens:
1) O par de coordenadas geodésicas (Latitude e Longitude) de um vértice
incial: As coordenadas servem para se calcular as coordenadas de outros
pontos, e fixar o sistema de coordenadas evitando a translação.
2) Uma distância ou uma base de comprimento conhecido: a distância impõe
uma escala a triangulação.
3) Um azimute de uma direção: o azimute fixa a triangulação, evitando uma
rotação e serve também para orientar o levantamento.
Etapas de trabalho:
a) de campo:
Observações : astronômicas, gravimétricas e rastreio por satélites. Desta forma,
defini-se o azimute e as coordenadas iniciais (se necessário).
Medição da base : a distância era medida utilizando fita ou fio invar, ou também
através de distâncimetros ou estação total. Após a determinação da base, as
medidas eram apenas angulares.
Medição dos ângulos da triangulação :
- ângulos horizontais
- ângulos verticais (nivelamento trigonométrico geodésico)
Na etapa de obtenção dos ângulos horizontais, utilizava-se o processo de
reiteração, em 6 partes do limbo horizontal, onde para casa parte, executava-se 16
leituras diretas (PD) e 16 leituras invertidas (PI), totalizando 32 leituras em cada
parte do limbo. Até duas leituras podiam ser descartadas se a diferença com a
média ultrapassasse o desvio padrão encontrado.
b) de escritório:
- Projetar a distância para o elipsóide de referência, ou seja, reduzir a medida da
distância encontrada na base, para o elipsóide.
68
- Cálculo do lado inicial da triangulação (ampliação da base medida)
- Execução do ajustamento dos ângulos horizontais (M.M.Q.). Os ângulos são
projetados no elipsóide, levando-se em conta, então, a convergência meridiana.
- Cálculo dos demais lados da rede de triângulos
- Transporte de coordenadas, ou seja, o cálculo das coordenadas geodésicas dos
demais vértices da rede.
Materialização da rede geodésica de triângulos
Os vértices da triangulação tinham suas coordenadas geodésicas
rigorosamente calculadas, e até os dias atuais, são muito utilizados.
Os vértices são materializados por marcos de concreto parcialmente
enterrados. No topo destes marcos são chumbadas peças metálicas, com a
denominação do vértice (normalmente identificados com a inicial VT seguidos de um
número). Estes marcos são protegidos por lei federal.
Estes marcos não são de fácil acesso a pessoas leigas, pois podem ser
destruídos. Muitos vértices da rede geodésica brasileira já foram inutilizados, pois a
peça metálica, normalmente de bronze, é arrancada. Vértices de apoio eram
colocados próximos aos vértices principais, para que, se preciso fosse, poderiam
ser reconstruídos.
Rede clássica Brasileira
69
8.2 Trilateração
A trilateração é um processo de levantamento semelhante a triangulação,
sendo que em lugar da formação de triângulos a partir de medição de ângulos, o
levantamento é efetuado através de medição dos comprimentos dos lados dos
triângulos.
8.2.1 Trilateração de lados curtos:
As distâncias são comparáveis às queocorrem na triangulação ou menores.
Os lados são medidos com equipamentos instalados nas extremidades das linhas.
8.2.2 Trilateração de lados longos:
As distâncias, que excediam em muito a aquelas definidas na triangulação,
eram medidas com equipamentos aerotransportados, como por exemplo, o sistema
SHORAN (Short Range Navigation – Navegação de Pequeno Alcance). Este tido de
trilateração era executado quando a utilização de triangulação não era possível,
como por exemplo, a determinação de posições geodésicas de ilhas afastadas do
continente, como o arquipélago de Fernando de Noronha.
8.3 Poligonação geodésica
Com o objetivo de executar uma amarração de um levantamento a rede
geodésica brasileira, pode-se executar então uma poligonação eletrônica, partindo-
se de vértices com coordenadas geodésicas conhecidas. O método ideal de
levantamento é através de uma poligonal controlada, ou seja, ponto inicial e final de
posição definida, satisfazendo então as seguintes condições:
Situação no plano: AZfinal - AZinicial = Σ (Ângulos Horizontais) – (n-1).180o
Situação na superfície de elipsóide: Considerar a convergência meridiana (θ)
O modelo passa a ser geodésico, desde que os ângulos da poligonal sejam
projetados ao elipsóide e sejam corrigidos da convergência meridiana.
70
8.4 Posicionamento por satélites artificiais
Neste tipo de levantamento geodésico, as coordenadas geodésicas dos
pontos sobre a superfície terrestre são definidas através de medidas de distâncias
entre satélites artificiais localizados em órbita terrestre e rastreadores localizados na
superfície da Terra. O primeiro sistema entrou em funcionamento na década de 60 e
é denominado TRANSIT. Atualmente, o sistema mais utilizado e conhecido
mundialmente é denominado GPS.
A utilização de satélites artificiais em Geodésia é um capítulo específico,
denominado “Geodésia Celeste”.
71
9. Determinação de Altitudes
As determinações das latitudes ortométricas podem ser realizadas por três
métodos usuais:
• Nivelamento Geométrico (precisão cm/mm)
• Nivelamento Trigonométrico (precisão dm/cm)
• Nivelamento Barométrico (precisão métrica)
9.1 Importância do Nivelamento
Entre outras situações onde um nivelamento é importante, podemos citar:
• Redução ao geóide de muitos dados coletados na superfície física;
• Monitoramento de movimentos verticais da crosta;
• Aplicação em construção de estradas, túneis, usinas hidroelétricas, etc;
• Montagem de máquinas pesadas;
• Apoio à representação da altimetria do terreno;
• Controle de recalque de estruturas ou obras de engenharia.
9.2 Nivelamento Trigonométrico (Correções)
Determinação de um Nivelamento Trigonométrico:
DN = (DH. tan α) + Ai – Am α: ângulo vertical
DN = (DH/tan z) + Ai – Am z: ângulo zenital
9.2.1 Fatores que Influenciam na Precisão
a) Influência da Curvatura Terrestre
72
Considerando dois Pontos A e B “em nível”. A horizontal do primeiro
encontra-se com a vertical do segundo em B’ ou invés de B., sendo o segmento BB’
o erro que se comete devido ao efeito da curvatura terrestre.
Admitindo o triangulo A.B.B’ como sendo reto em B, tem-se:
Considerando S como sendo arco e não uma corda, temos:
(em Graus), (em Radianos) ∴
S BB’
300 m
800 m
1000 m
10 km
20 km
Vertical A
Vertical B
AB
B’
erro
c
sc/2
R
B
2tan.'
BB'
2tan
cSBB
S
c =∴=
°=
180
.. cRS
π
π.180.
R
Sc
°=R
Sc =
R
SBB
.2'
2
=
73
b) Influência da Refração Atmosférica Terrestre
O fenômeno da refração se acha presente em todas as operações
geodésicas, entre elas, temos:
� Em astronomia, na medida da distancia zenital de um astro, tem-se a
refração astronômica;
� Em medidas de distâncias com distanciometros eletrônicos (índice de
refração);
� No posicionamento via satélite, tem-se a refração ionosférica e troposférica
(camadas da atmosfera terrestre);
� Na fotogrametria, tem-se a refração fotogramétrica;
� No nivelamento geométrico, tem-se a refração nivelítica;
Em nivelamento trigonométrico, pode-se contornar parcialmente o problema
da refração, adotando-se as hipóteses de BIOT e BOUGUER, nas quais se admite
que:
1) Numa mesma estação, o ângulo de refração r é proporcional ao ângulo
central c correspondente, tendo-se então a seguinte fórmula:
, onde m é o coeficiente de refração
Dessa forma, o ângulo zenital corrigido é dado por:
2) No caso de visadas recíprocas e simultâneas, as ângulos de refração
podem ser considerados iguais:
r = r’
cmr .=
rZZcor +=
R
Sc =
74
Determinação do Coeficiente de Refração (m)
A Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) determinou o valor de
2.m em várias regiões do Brasil, tendo-se os seguintes valores:
Local 2.m
Ponta Grossa – PR 0,07
Litoral do NE 0,11
Resende – RJ 0,13
Juiz de Fora – MG 0,15
Rio de Janeiro – RJ 0,17
Adota-se como valor médio para o Brasil: 2.m = 0,13
Exemplo: Calcule o ângulo zenital corrigido, considerando os seguintes dados:
A
B
c
s
R
Z
Zcor
r
r’
Z’
75
Z = 89º 15’ 20’’ DistAB = 6.940,17 m R = 6.378.160,0m
9.3 Nivelamento Geométrico - Correções
a) Erro devido a curvatura:
b) Erro devido a refração: k = 0,13
c) Erro Total:
D (m) Ec (m.m) Er (m.m) ET(m.m)
60
100
200
500
1.000
9.4 Medidas de Dist. Eletrônicas - Correções
Considerando ainda o mesmo assunto, contudo, utilizando as correções
disponíveis em uma Estação Total (Topcon), tem-se as seguintes fórmulas
Rm
DEc .2
2
=
kRm
DEr ⋅−=
.2
2
[ ][ ]
TOPCON) - Terra da (Raio km 6.372 R
refração) de te(coeficien 0,20ou 14,0
a)atmosféric refração da (correção .2/.
.2/)cos(.
verticalângulo
)cos().()(.'
)()..2()cos(.
====
=−+=
−−=
k
RDIk
ra)da curvatu(correção RDI
onde
senDIDN
senDIDH
γαθ
ααγθα
αγθα
)1(.2
2
kRm
DET −⋅=
76
0,13 k refração
ecoeficient como adota, IBGE o Brasil, o Para :Obs
'
.'
cos.
:correções as sem distancias das Cálculo
=→
−+===
AMAIDNDN
senDIDN
DIDH
αα
77
10. Referencias Bibliográfica
Blitzkow, D. Apostila: Sistema de Posicionamento por Satélite (GPS). USP, São
Paulo. 2002.
Camil, Gemael. Introdução a Geodésia Geométrica. Apostila. UFPR.
Curtiba. 1987.
Camil, Gemael. Sistemas de Projeção. Apostila. UFPR. Curitiba.
Hurn, J. GPS – Um Guia Para a Próxima Utilidade. Trimble Navigation
Limited. EUA. 1989.
Leick, A. GPS – Satellite Surveying. Wiley-Interscience Publication. EUA.
1995.
Mônico, J. F. G. Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS. Editora Unesp.
S.P. 2000.
Mônico, J. F. G. Posicionamento pelo GNSS. Editora Unesp. S.P. 2008.
Seeber, G. Satellite Geodesy - Foundations, methods and applications.
Walter de Gruyter. Berlin. 1993
Seeber, G; Costa, V. Princípios Básicos do GPS Nas Medições Gedésicas. Revista
da Comissão Brasileira de Geodésia. 1997.
Smith, J. R. Introduction to Geodesy – The History and Concepts of Modern
Geodesy. Wiley-Interscience Publication. EUA. 1996.