Problemas de Geometrıa Diferencial de Curvas y Superficies. Relacion 2

1.– Sea α: I → R2 una curva parametrizada por la longitud del arco y sea M :R2 → R2

un movimiento. Si consideramos la curva β = M ◦ α , probar que kβ(s) = kα(s) , si M

es directo, y kβ(s) = −kα(s) si M es inverso. Recprocamente, si β: I → R2 es una

curva parametrizada por la longitud del arco tal que kβ(s) = −kα(s) , demostrar que

entonces existe un movimiento inverso M tal que β = M ◦ α .

2.– Demostrar que la traza de una curva regular esta contenida en una circunferencia si y

solo si todas las rectas normales pasan por un punto fijo.

3.– Sea α: I → R2 una curva regular (de parametro arbitrario) y sea [a, b] ⊂ I tal que

α(a) = α(b) . Probar que existe un t0 ∈ (a, b) tal que la recta tangente a α en t0 es

paralela a la recta que une α(a) con α(b) .

4.– Sea α: I → R2 una curva regular y supongamos que la distancia ||α(t)|| al origen tiene

un mximo local en t0 . Demostrar que entonces |k(t0)| ≥ 1||α(t0)|| .

5.– Dada una curva plana, regular y con curvatura no nula α: I → R2 , se define el centro

de curvatura de α en t0 como el punto p = α(t0)+1

k(t0)n(t0) . A la curva formada por

todos los centros de curvatura se le denomina evoluta de α .

(a) ¿Es la evoluta una curva regular?

(b) En tal caso, demostrar que la recta tangente en t a la evoluta de α coincide con

la recta normal a α en t .

(c) Consideremos la “Catenaria” definida por α:R → R2 , α(t) = (t, Ch t) . Calcular

su curvatura y su evoluta.

6.– Sea σ: [a, b] → R2 una curva regular parametrizada por la longitud del arco y sea

r > 0 una constante positiva. Se define la (“curva paralela a σ ”): β: [a, b] → R2 ,

β(s) = σ(s)−r n(s). Demostrar que β es una curva regular siempre que kσ(s) = −1/r .

En tal caso probar que:

(a) La curvatura de β es:

kβ(s) =kσ(s)

1 + rkσ(s).

(b) Lβ = Lσ + r∫ b

akσ .

(c) ¿Cuales son las curvas paralelas a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1?