Generelized complex structures on nilmanifold â€؛ 10734 â€؛ 1 â€؛ invariant vector fields

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Generelized complex structures on nilmanifold â€؛ 10734 â€؛ 1 â€؛ invariant vector...

  • UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL

    GENERELIZED COMPLEX STRUCTURES ON NILMANIFOLD

    MÉMOIRE

    PRÉSENTÉ

    COMME EXIGENCE PARTIELLE

    DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES

    PAR

    RAGHAD ALNOURI

    AOÛT 2017

  • UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL Service des bibliothèques

    Avertissement

    La diffusion de ce mémoire se fait dans le respect des droits de son auteur, qui a signé le formulaire. Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supérieurs (SDU-522 - Rév.10~2015). Cette autorisation stipule que «conformément à l'article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l'auteur] concède à l'Université du Québec à Montréal une licence non exclusive d'utilisation et de publication, de la totalité ou d'une partie importante de [son]· travail de recherche pour de.s fins .. pédagogiques et non commerciales. Plus. précisément, · [l'auteur] a,utorise l'Université du Québec à Montréal à reproduire, diffuser, prêter, distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche à des fins non commerciales sur quelque support que ce soit, y compris Flnternet. Cette licence et cette autorisation n'entraînent pas une renonciation de [la] part [de l'auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété intellectuelle. Sauf entente contraire, [fauteur] conserve la liberté de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.»

    ~ .. : ·::':

    ' .

    ,,

  • UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL

    STRUCTURES COMPLEXES GÉNÉRALISÉES SUR UN GROUPE

    NILPOTENT

    MÉMOIRE

    PRÉSENTÉ

    COMME EXIGENCE PARTIELLE

    DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES

    PAR

    RAGHAD ALNOURI

    AOÛT 2017

  • ACKNOWLEDGEMENTS

    First and foremost, I am very grateful to my supervisor, Professor Vestislav

    Apostolov, for his wise direction and his patience. I was always looking forward to

    our meetings and his insightful comments.

    Many thanks also to the director of graduate studies at the Mathematics department,

    Professor Olivier Collin, for his support and his gentle advices.

    Special thanks to my friends in CIRGET for the useful conversations and the help

    they were always offering. And to my friend, Abdulrahman Al-lahham, for the

    great help and the amazing discussions we had together.

    No words can describe the gratitude I feel to my great parents who have sacrificed

    a lot to help me become successful.

    Finally, a very special love and thanks to my great husband Amjad AlMahairi. I

    could have not overcome all the diffi.culties I have gone through without him.

  • DEDICATION

    To Syrian refugee children who struggle to hold a pen.

    To my parents, Rima and Moutaz. To my dear husband, Amjad and my dear son,

    Nizar. To my absent brother, Yaman.

  • Abstract ..... .

    INTRODUCTION

    CHAPTER I

    CONTENTS

    BASIC SETTINGS OF GENERALIZED GEOMETRY.

    1.1 Linear algebra of V . . . . . . . . . . . . . . . .

    1.1.1 Complex structures and complexification

    1.1.2 Symplectic structures

    1.1.3 Hermitian structures

    1.2 Linear algebra of V E9 V* . .

    1.2.1 Symmetries of V E9 V*

    1.2.2 Maximal isotropie subspaces .

    1.2.3 Spinors of V E9 V*, pure spinors

    1.3 Linear generalized complex structures

    CHAPTER II GENERALIZED COMPLEX MANIFOLDS

    2.1 The Courant bracket on T E9 T* ....

    vii

    1

    4

    4

    4

    13

    18

    21

    21

    23

    25

    27

    32

    33

    2.2 Generalized almost complex structures and Courant integrability condition 36

    CHAPTER III GENERALIZED COMPLEX STRUCTURES ON NILMANIFOLDS 42

    3.1 Lie algebras and Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.1.1 Complex structure and complexification of a Lie algebra 44

    3.1.2 Hermitian structures on Lie algebras . 46

    3.2 Hermitian structures on cotangent Lie groups

    3.3 Left invariant generalized complex structures on Lie groups .

    47

    49

  • 3.4 Nilmanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    3.5 Generalized complex strustures on nilmanifolds

    3.6 Generalized complex structures on 6-nilmanifolds

    3.6.1 Generalized complex structures of type 2 .

    3.6.2 Generalized complex structures of type 1

    RÉFÉRENCES .................... .

    V

    51

    54

    56

    57

    58

    59

  • RÉSUMÉ

    La géométrie complexe généralisée est une généralisation de la géométrie complexe

    obtenue en considérant des structures complexes sur le fibré généralisé T EB T*,

    plutôt que sur le fibré tangent T. Cette géométrie nouvellement définie fournit

    un language unificateur pour la géométrie complexe et symplectique puisqu'elle

    contient chacune d'elles comme cas spécial. On étudie une classe d'exemples non-

    triviaux de structures complexes généralisées: les structures complexes généralisées

    invariantes à gauche sur des groupes de Lie nilpotents. On montre que toutes les 6-

    nilvariétés admettent des structures complexes généralisées. En suivant les travaux

    de (Cavalcanti et Gualtieri, 2004), on présente la classification des 6-nilvariétés

    selon le type de structures complexes généralisées invariantes à gauche qu'elles

    admettent. De plus, on montre que les structures complexes généralisées invariantes

    à gauche sont en correspondance biunivoque avec les structures hermitiennes sur le

    fibré cotangent d'un groupe de Lie (par rapport à la métrique star:idard naturelle).

    On utilise ensuite cette correspondance ainsi que les résultats de ( de Andrés et al.,

    2007) pour déduire que l'algèbre cotangente d'une algèbre de Lie six dimensionnelle

    quelconque admet une structure hermitienne.

    MOTS-CLÉS: structure complexe généralisée, structure complexe, structure sym-

    plectique, structure hermitienne, nilvariétés.

  • ABSTRACT

    Generalized cornplex geornetry is a generalization of cornplex geornetry obtained by searching for complex structures on the generalized bundle T EB T*, rather than the tangent bundle T. The newly defined geometry provides a unifying language for complex and symplectic geometry because it contains each of them as a special case. We study a class of non-trivial examples of generalized cornplex structures: left-invariant generalized cornplex structures on nilpotent Lie groups. We show that all 6-nilmanifolds admit generalized cornplex structures. We present the classification of 6-nilmanifolds according to which type of left-invariant generalized complex structure they admit, following the work of (Cavalcanti et Gualtieri, 2004). In addition, we show that the left-invariant generalized complex structures are in one-to-one correspondence with the Hermitian structures on the cotangent bundle of a Lie group (with respect to the standard natural metric). We then use this correspondence together with the results of ( de Andrés et al., 2007) to derive that the cotangent algebra of any six dimensional Lie algebra adrnits a Hermitian structure.

    keywords: generalized complex structure, complex structure, syrnplectic structure, Herrnitian structure, nilmanifold.

  • INTRODUCTION

    Unlike classical differential geometry where we define structures in the tangent and

    cotangent bundles, in generalized geometry we replace the tangent bundle with the

    direct sum of the tangent and the cotangent bundle, and we deal with differential

    1-forms and vector fields on an equal basis. Generalized geometry was initiated

    by (Hitchin, 2003) and developed by (Gualtieri, 2004). It is basically defined in

    terms of two abjects. First, an orthogonal structure coming from the natural

    split-signature inner product on the vector bundle T E9 T*. Second, a bracket of two

    generalized vector fields called the Courant bracket. This bracket provides varions

    geometric structures with their integrability condition. The symmetry group of the

    defined geometry is a very large group and contains more than just diffeomorphisms.

    The extra symmetries are B-field transformations generated by closed 2-forms.

    Accordingly, any type of structure defined in this generalized geometry can be

    transferred either globally by diffeomorphisms or locally, by B-fields.

    Generalized complex geometry is a straightforward generalization of complex ge-

    ometry where we search for complex structures on the bigger generalized bundle

    T E9 T*. This generalization is characterized by the way it unifies complex and

    symplectic geometries, since bath are extremal special cases of the generalized

    complex geometry.

    There are different ways to produce exotic examples of generalized complex struc-

    tures; in particular, examples on manifolds which admit no complex or symplectic

    structure. These ways include searching for them on symplectic fibrations and Lie

    algebras, or doing a surgery procedure. In this dissertation we are concerned mostly

  • 2

    with left-invariant gen