GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK … · Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubuk Dalam, Pekanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur ujian Beasiswa

GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN

TAK LINEAR

SUNARSIH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

ABSTRACT

SUNARSIH. Generalization of the Secant Method for Solving Nonlinear Equations.

Supervised by SISWANDI and BERLIAN SETIAWATY.

This manuscript discusses a method for determining nonlinear equations roots

from function having ( 1)thk derivative which are continuous on an open interval

containing the roots. The method used in this manuscript is a generalization of the

Secant method. This generalization is by substituting the linear interpolation equation

in the iteration equation by Secant method for the ( 1)thk derivative polynomial

interpolation equations. Convergence analyzing of the approximation roots sequence

resulting in a degree of convergence which is greater than that of the Secant method

and relatively similar to that of the Newton-Raphson method.

Key Words: Nonlinear Equation Roots, Generalization of the Secant Method.

ABSTRAK

SUNARSIH. Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak

Linear. Dibimbing oleh SISWANDI dan BERLIAN SETIAWATY.

Karya ilmiah ini membahas metode penentuan akar persamaan tak linear dari

fungsi yang memiliki turunan ke-𝑘 + 1 kontinu pada interval terbuka yang

mengandung akar. Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan

generalisasi dari metode Tali Busur. Generalisasi ini dilakukan dengan mengganti

persamaan interpolasi linear pada persamaan iterasi metode Tali Busur dengan

turunan interpolasi polinomial ke-𝑘 + 1. Analisis kekonvergenan barisan hampiran

akar menghasilkan derajat kekonvergenannya lebih besar daripada menggunakan

metode Tali Busur, dan relatif sama jika menggunakan metode Newton-Raphson.

Kata Kunci: Akar Persamaan Tak Linear, Generalisasi Metode Tali Busur.

Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan

Persamaan Tak Linear

SUNARSIH

G54061230

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memeroleh gelar

Sarjana Sains

Pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul : Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak

Linear

Nama : Sunarsih

NIM : G54061230

Mengetahui

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si. Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19640629 199103 1 001 NIP. 19650505 198903 2 004

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP.19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat, karunia dan hidayah-Nya kepada saya sebagai penulis sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Generalisasi Metode Tali Busur

untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear” tepat pada waktunya. Skripsi ini

disusun sebagai salah satu syarat kelulusan untuk memeroleh gelar Sarjana Sains

pada program sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.

Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih pada berbagai

pihak yang telah membantu,

1. Keluargaku tercinta: Bapak dan ibu (terima kasih atas semua doa, dukungan dan

kasih sayangnya), Kang Wito, Muji dan Riani (terima kasih atas doa dan

dukungannya).

2. Bapak Dr. Siswandi, M.Si. dan Ibu Dr. Berlian Setiawaty, Ms. Selaku

Pembimbing I dan Pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran,

motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

3. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. Selaku dosen penguji, (terima kasih atas

semua ilmu, saran, dan motivasinya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang

diberikan).

5. Semua staf dan karyawan di Departemen Matematika(terimakasih atas segala

bantuannya).

6. Teman-temanku (Inang, Ken dedes, Kimel, Ndut, Rhe, Tha, Yus).

7. Teman-teman angkatan 43: Emta, Putri, Rias, Erni, Fitria, Dandi, Copi, Slamet,

Lina, Ady, Vera, Abi, NS, Leo, Nobo, Cupit, Adam, Aji, Tami, Sendi, Albrian,

Ratna, Fardan, Resti, Apri, Margi, Fajar, Wira, David, Arif, Arum, Aini, Ace,

Zul, Diah, sabar, Dwi, Faizal, Nurmalina, Suci, Faizul, Syahrul, Nanu, Destya,

Ecka, Kabil, Nia, Razon, Peli, Irsyad, Hendra, Andrew, Nidya, Subro, Agung,

Gandi, Elly, SN, dan Bertrand(terima kasih atas kebersamaan kalian).

8. Kakak-kakak kelasku angkatan 41 dan 42 (terima kasih atas doa dan

dukungannya).

9. Adik-adik kelasku angkatan 44 dan 45 (terima kasih atas doa dan

dukungannya).

Akhir kata, semoga skripsi ini memberikan manfaat untuk kita semua. Penulis

juga menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna sehingga kritik dan saran

yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga Allah SWT senantiasa

melimpahkan rahmat dan karunia-Nya untuk kita semua. Amin.

Bogor, November 2011

Sunarsih

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Pekanbaru pada tanggal 10 November 1987 sebagai anak kedua

dari empat bersaudara, anak dari pasangan Sonimin dan Siyam. Tahun 2000 penulis

lulus dari SD N 036 Siak, Pekanbaru. Tahun 2003 penulis lulus MTs-Hidayatullah

Sialang baru, Pekanbaru. Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubuk Dalam,

Pekanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur

ujian Beasiswa Utusan Daerah (BUD), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2007,

penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam.

Selama mengikuti perkuliahan penulis pernah aktif di IKPMR (Ikatan Keluarga

Pelajar dan Mahasiswa Riau) Bogor di bagian divisi kerohanian islam 2008/2009.

Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara lain Pesta Sains Nasional 2009,

Dies Natalis IKPMR 2008, 2009 dan 2010, Masa Perkenalan Departemen 2008, dan

Try Out Kalkulus dan Pengantar Matematika 2008, 2009 dan 2010.

vii

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ……………………………………………………………………………………….... vii

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………………...… viii

DAFTAR TABEL …………………………………………………………………………….………. ix

DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………………………………………...……… x

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ………………………………….…………….…………………………….. 1

1.2 Tujuan ……………………………..……………………………………………………...… 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Akar persamaan Tak Linear …………………………………………………………...…… 1

2.2 Interpolasi …………………………………………………………………………….…….. 3

2.3 Barisan dan kekonvergenan ………………………………………….…………..…………. 8

2.4 Sifat Akar Persamaan Polinomial ………………………………………………...………… 9

III PEMBAHASAN

3.1 Rumusan Masalah

3.1.1 Metode Newton-Raphson …………………………………………………………... 11

3.1.2 Metode Tali Busur ………………………………………………………………….. 12

3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur ……………………………………………………. 13

3.2 Analisis Kekonvergenan 3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-Raphson ……………………………………...…. 16

3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur ………………………………………………... 17

3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur ………….………………………. 19

3.3 Contoh Numerik

3.3.1 Contoh dengan Metode Newton-Raphson …………………………………………. 19

3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur ……………………………………………….... 20

3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode Tali Busur ……………………………..……. 21

IV SIMPULAN …………………………..………………………………………...…………..…….. 23

V DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………..…………………………….. 24

LAMPIRAN ………………………………………………………………………………….………. 25

vii

viii

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton-Raphson …………….……….…………………………… 11

Gambar 2 Grafik Iterasi Metode Tali Busur ………………………………………………….……… 12

viii

ix

ix

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1 Selisih Terbagi ...…………………...………………...……………………………………… 15

Tabel 2 Ilustrasi Metode Newton-Raphson ………..………………………………………………… 19

Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MNR ………………………………. 20

Tabel 4 Ilustrasi Metode Tali Busur ………………………..………………………………...………. 20

Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MTB …………………….…………. 21

Tabel 6 Ilustrasi Generalisasi Metode Tali Busur ………………..……………………………...…… 21

Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB …………………..…………. 22

Tabel 8Hasil perolehan akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur ……………………..……………..... 23

ix

x

x

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12 ………………………………………………………………… 26

Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Rapshon ………………………...…………………… 37

Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur …………………………………………………..… 38

Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur ………………………………………. 39

Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 …….……………...…. 40

Lampiran 6Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 …….……………...…. 41



Lampiran 9Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 ………….………...…. 44

Lampiran 10Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7…………………...…. 45

Lampiran 11Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.8 ……………..…....…. 46

Lampiran 12Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3.…….…....…. 47

Lampiran 13Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4.……….....…. 48

Lampiran 14Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5.……….....…. 49

Lampiran 15Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6.………….…. 50

Lampiran 16Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7….………..…. 51

Lampiran 17Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8 …....……..…. 52

Lampiran 18Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3.. ..53

Lampiran 19Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4 ... 54

Lampiran 20Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5 ... 55

Lampiran 21Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6… 56



x

xi

xi

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu masalah yang paling umum

ditemui dalam bidang matematika, teknik dan

beberapa bidang ilmu lain adalah mencari akar-

akar persamaan. Terutama akar dari persamaan

tak linear yang tidak dapat diselesaikan dengan

metode analitik. Persamaan tersebut lebih

efektif diselesaikan dengan metode iteratif

(Sahid 2005). Metode iteratif yang banyak

digunakan di berbagai buku adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga

metode lain yaitu generalisasi metode Tali

Busur. Secara umum semua metode pencarian

akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua

golongan besar, yaitu metode tertutup dan

metode terbuka. Metode tertutup atau metode pengurung

(bracketing method) adalah metode pencarian

akar yang akar-akarnya berada dalam interval 𝑎, 𝑏 , dalam interval ini dipastikan berisi

minimal satu buah akar. Karena iterasinya selalu konvergen (menuju) ke akar, sehingga

metode ini selalu menemukan akar. Contoh

metode ini adalah metode Bagi Dua dan

metode Regular Falsi (Munir 2003).

Metode terbuka adalah metode pencarian

akar yang tidak memerlukan interval yang

mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai

awal dan persamaan iterasi untuk menghitung

hampiran akar yang baru. Pada metode ini

hampiran akar yang diperoleh mungkin saja

mendekati akar sebenarnya (konvergen) atau

mungkin juga menjauhinya (divergen). Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode

Newton-Raphson, metode Tali Busur dan

generalisasi metode Tali Busur (Munir 2003).

Untuk selanjutnya pembahasan pada

karya ilmiah ini dibatasi untuk metode terbuka,

yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali

Busur dan generalisasi metode Tali Busur.

Metode Newton-Raphson merupakan metode

pencarian akar yang paling cepat konvergen di

antara metode-metode pencarian akar yang lain,

namun metode ini memerlukan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya.

Sedangkan metode Tali Busur adalah metode

pencarian akar yang memiliki kekonvergenan

yang relatif lambat, tetapi untuk setiap iterasi

hanya memerlukan perhitungan fungsinya saja

(Sahid 2005).

Pada karya ilmiah ini akan dibahas

generalisasi dari metode Tali Busur, di mana

metode ini merupakan metode pencarian akar

yang hanya memerlukan iterasi fungsi saja dan

kekonvergenannya relatif cepat.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini

adalah:

1. Menentukan akar persamaan dengan

generalisasi metode Tali Busur dan

menganalisis kekonvergenan barisan

hampiran akar yang diperoleh (Sidi 2007).

2. Membandingkan kecepatan dalam

memperoleh akar dengan menggunakan

generalisasi metode Tali Busur dengan

metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur pada aplikasi numeriknya.

II LANDASAN TEORI

2.1 Akar Persamaan Tak Linear

Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi kontinu.

Setiap bilangan 𝛼 pada domain 𝑓 yang

memenuhi 𝑓 𝛼 = 0 disebut akar persamaan

𝑓 𝑥 = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi

𝑓. Secara singkat, 𝛼 sering disebut akar 𝑓(𝑥).

Definisi 1 (Derajat Akar)

Misalkan 𝑓 dan 𝑕 merupakan fungsi kontinu

dengan 𝑕(𝑥) ≠ 0, sedemikian sehingga 𝑓 𝑥

dapat dinyatakan sebagai

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 𝑚𝑕 𝑥 ,

maka 𝛼 disebut akar berderajat 𝑚. Dari

persamaan di atas terlihat bahwa jika 𝛼

pembuat nol fungsi 𝑓 berderajat 𝑚, maka

𝑓 𝛼 = 0, 𝑓′ 𝛼 = 0, ⋯ , 𝑓(𝑚−1) 𝛼 = 0, 𝑓(𝑚 )(𝛼) ≠ 0.

Jika 𝑚 = 1, maka 𝛼 disebut akar sederhana.

Jika 𝑚 > 1, maka 𝛼 disebut akar ganda. Jika

𝑚 = 2, maka 𝛼 disebut akar dobel, dan

seterusnya.

(Sahid 2005)

2

2

Definisi 2 (Galat Hampiran)

Misalkan 𝑥 adalah suatu nilai hampiran yang

diperoleh melalui suatu metode numerik, untuk

nilai eksak (nilai sebenarnya) 𝑥 yang tidak

diketahui. Nilai

𝜖𝑥 = 𝑥 − 𝑥

disebut selisih atau galat, 𝜖𝑥 disebut galat

mutlak. (Atkinson & Han 2003)

Definisi 3 (Derajat Kekonvergenan)

Misalkan 𝑥0 ,𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ merupakan barisan

yang konvergen ke 𝛼 dan misalkan 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 −𝛼 menyatakan persamaan galat hampiran ke-𝑛,

yang didefinisikan pada Definisi 2, dengan

𝑛 = 0, 1, 2, ⋯. Jika terdapat sebuah bilangan 𝑠𝑘

dan konstanta 𝑄 ≠ 0 yang mengakibatkan

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝑄,

maka 𝑠𝑘 disebut derajat kekonvergenan barisan

tersebut dan 𝑄 disebut konstanta galat

asimptotik. Untuk 𝑠𝑘 = 1 disebut

kekonvergenan linear. Untuk 𝑠𝑘 = 2 disebut

kekonvergenan kuadratik, dan seterusnya.

(Atkinson & Han 2003)

Definisi 4 (Metode Iteratif) Metode iteratif adalah suatu metode yang

digunakan untuk mencari solusi suatu

persamaan tak linear yang dimulai dengan

memilih nilai awal dan kemudian berusaha

memperbaiki hampiran ke-𝑛 yang menuju tak

hingga, tetapi setiap langkahnya tetap

konvergen atau menuju ke suatu akar tertentu.


Definisi 5 (Metode Terbuka)

Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit

akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan

persamaan iterasi untuk menghitung hampiran

akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar

yang diperoleh mungkin mendekati akar

(konvergen), atau mungkin juga menjauhinya

(divergen).

(Munir 2003)

Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap,

metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur.

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode

pencarian akar yang hampiran akarnya

diperoleh dengan mencari titik potong garis

singgung kurva di titik 𝑥𝑛 ,𝑓 𝑥𝑛 dengan

sumbu-𝑥, dengan nilai awal 𝑥0 diberikan.

Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran

ke-𝑛 + 1 adalah

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )

𝑓′ 𝑥𝑛 ; 𝑛 = 0, 1,2, ⋯ . (1)


Metode Tali Busur Metode Tali Busur (secant method)

adalah metode pencarian akar yang merupakan

modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada

metode Newton-Raphson hampiran akar yang dicari diperoleh dengan mencari titik potong

garis singgung kurva di titik 𝑥𝑛 ,𝑓 𝑥𝑛

dengan sumbu-𝑥. Kemudian dimodifikasi pada

metode Tali Busur di mana hampiran akarnya

diperoleh dengan menggunakan tali busur yang

melalui titik 𝑥𝑛−1 , 𝑓 𝑥𝑛−1 dan 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛

sebagai hampiran 𝑓(𝑥) dan mencari titik

potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi

pada metode Newton-Raphson yang

menggunakan turunan 𝑓(𝑥) dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi

turunannya tersebut. Persamaan iterasi untuk

mendapatkan hampiran ke-𝑛 + 1 adalah

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛

𝑓 𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 ; 𝑛 = 1,2, ⋯.


Definisi 6 (Deret Taylor)

Misalkan fungsi 𝑓 memunyai turunan ke 𝑛 + 1

yang kontinu pada interval [𝑎, 𝑏]. Misalkan

juga untuk setiap 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]. Deret

𝑓(𝑘) 𝑥0

𝑘!(𝑥 − 𝑥0)𝑘

𝑛

𝑘=0

disebut deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar 𝑥0, dan dapat dituliskan

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑘) 𝑥0

𝑘!(𝑥 − 𝑥0)𝑘

𝑛

𝑘=0

.

Dengan memisalkan 𝑥 = 𝑥0 + 𝑕, diperoleh

𝑓 𝑥0 + 𝑕 = 𝑓(𝑘) 𝑥0

𝑘!𝑕𝑘

𝑛

𝑘=0

.

(Cheney & Kincaid 1994)

3

3

Definisi 7

𝐶𝑘+1(𝐼) adalah himpunan semua fungsi yang

memiliki turunan ke-𝑘 + 1 kontinu pada 𝐼, di

mana 𝐼 adalah interval terbuka.

(Burden & Faires 1993)

Teorema 1 (Teorema Rolle)

Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang kontinu pada

[𝑎, 𝑏] dan fungsi 𝑓 terturunkan pada (𝑎, 𝑏). Jika

𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0, maka terdapat sebuah

bilangan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), sehingga 𝑓′ 𝑐 = 0.

(Burden & Faires 1993)

Bukti: Terdapat tiga kasus, yaitu

Kasus 1: 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 konstan.

Dari sini diperoleh 𝑓′ 𝑥 = 0, sehingga

bilangan 𝑐 dapat diambil sembarang

bilangan dalam interval (𝑎, 𝑏).

Kasus 2: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎), untuk suatu 𝑥 pada

(𝑎, 𝑏).

Karena 𝑓 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 , maka

menurut Teorema Nilai Ekstrim 𝑓

memunyai nilai maksimum pada suatu

titik dalam interval [𝑎, 𝑏]. Karena

𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), 𝑓 harus mencapai

maksimum pada 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓

memunyai maksimum lokal pada 𝑐 dan

karena 𝑓 terturunkan pada 𝑐, maka

𝑓′ 𝑐 = 0.

Kasus 3: 𝑓 𝑥 < 𝑓(𝑎) untuk suatu 𝑥

dalam interval terbuka (𝑎, 𝑏).

Karena 𝑓 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 , maka

menurut Teorema Nilai Ekstrim 𝑓

memunyai nilai minimum pada suatu titik

dalam interval [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑎) =𝑓(𝑏), 𝑓 harus mencapai minimum pada

𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓 memunyai minimum

lokal pada 𝑐 dan karena 𝑓 terturunkan

pada 𝑐, maka 𝑓′ 𝑐 = 0. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

2.2 Interpolasi

Definisi 8 (Interpolasi)

Interpolasi adalah proses pencarian dan

perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya

melewati sekumpulan titik yang diberikan.

Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil

eksperimen dalam sebuah percobaan atau

diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari

sekelompok fungsi tertentu, salah satu fungsi

yang paling banyak dipakai adalah fungsi

polinomial.


Definisi 9 (Interpolasi Polinomial Linear)

Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi

dua buah titik dengan sebuah garis lurus, misal

diberikan dua buah titik 𝑥1 , 𝑦1 dan 𝑥2 , 𝑦2 , maka polinomial yang menginterpolasi kedua

titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk

𝑝1 𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 .


Definisi 10 (Selisih Terbagi)

Selisih terbagi (divided difference) atau kadang

disebut daftar selisih adalah metode untuk

mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit

suatu interpolasi polinomial Newton dari data

yang tertabulasi dan ditulis sebagai

𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 . Selisih terbagi dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk

𝑘 = 1,2,3,… , 𝑚 didefinisikan sebagai berikut

1. Selisih terbagi ke-nol terhadap 𝑥𝑘 adalah

𝑓 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 . 2. Selisih terbagi pertama terhadap 𝑥𝑘 dan

𝑥𝑘+1 adalah

𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 =𝑓 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘

𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘

.

3. Selisih terbagi kedua terhadap 𝑥𝑘 ,𝑥𝑘+1 dan

𝑥𝑘+2 adalah

𝑓 𝑥𝑘 ,𝑥𝑘+1 , 𝑥𝑘+2 = 𝑓 𝑥𝑘+2 , 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘+1 , 𝑥𝑘

𝑥𝑘+2 − 𝑥𝑘

.

4. ⋯. 5. Selisih terbagi didefinisikan secara rekursif

sebagai berikut 𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ,… , 𝑥𝑘+𝑛−1 ,𝑥𝑘+𝑛

= 𝑓 𝑥𝑘+𝑛 , 𝑥𝑘+𝑛−1 ,⋯ , 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘+𝑛−1,⋯ ,𝑥𝑘+1 ,𝑥𝑘

𝑥𝑘+𝑛 − 𝑥𝑘;

𝑥𝑘 ≠ 𝑥𝑘+𝑛 . (Cheney & Kincaid 1994)

Teorema 2 (Sifat Simetris Selisih Terbagi)

Misalkan 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 menyatakan

permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk

sebarang indeks selisih terbagi berlaku

𝑓 𝑥𝑠1, 𝑥𝑠2

, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1

,⋯ , 𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1

.


Bukti: (dengan induksi pada 𝑘 + 1)

1. Basis induksi

4

4

Untuk 𝑘 = 1, maka berlaku

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 =𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

=𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

=− 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1

− 𝑥2 − 𝑥1

=𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2

𝑥1 − 𝑥2

=𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2

𝑥1 − 𝑥2

= 𝑓 𝑥2 , 𝑥1 . 2. Hipotesis induksi

Anggap benar, untuk 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘


, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘

, ⋯𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1

.

3. Langkah induksi

Akan dibuktikan: untuk 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 berlaku


, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1

, ⋯𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1

.

Bukti:


, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 =

𝑓 𝑥𝑠𝑘+1, 𝑥𝑠𝑘

, ⋯ , 𝑥𝑠2 − 𝑓 𝑥𝑠𝑘

, ⋯ , 𝑥𝑠1

𝑥𝑠𝑘+1− 𝑥𝑠1

=𝑓 𝑥𝑠2

, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑠1

, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1, 𝑥𝑠𝑘

𝑥𝑠𝑘+1− 𝑥𝑠1

=− 𝑓 𝑥𝑠1

,⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1, 𝑥𝑠𝑘

− 𝑓 𝑥𝑠2, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1

−(𝑥𝑠1− 𝑥𝑠𝑘+1

)

=𝑓 𝑥𝑠1

, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1, 𝑥𝑠𝑘

− 𝑓 𝑥𝑠2, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1

𝑥𝑠1− 𝑥𝑠𝑘+1

= 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1, 𝑥𝑠𝑘

, ⋯ , 𝑥𝑠1 .

Berdasarkan prinsip induksi matematik, maka

Teorema 2 terbukti.

Teorema 3 (Hubungan Selisih Terbagi

dengan Turunan untuk Simpul Sama)

Jika didefinisikan 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = lim𝑥2→𝑥1𝑓 𝑥1 ,𝑥2

dan limitnya ada, maka berlaku 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 =𝑓′ 𝑥1 .


Bukti: Karena diketahui

𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = lim𝑥2→𝑥1

𝑓 𝑥1 , 𝑥2

= lim𝑥2→𝑥1

𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

(karena Definisi 10)

= 𝑓′ 𝑥1 . (menurut Definisi turunan)

Dengan demikian Teorema 3 terbukti.

Teorema 4 (Interpolasi Polinomial Newton)

Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval terbuka 𝐼, dan misalkan 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah 𝑘 + 1

bilangan yang berlainan pada interval terbuka 𝐼, maka terdapat sebuah polinomial tunggal 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥

berderajat paling tinggi 𝑘 yang memenuhi

𝑓 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … , 𝑛 − 𝑘. Interpolasi polinomial Newton ini adalah

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗

𝑖−1

𝑗 =0

. (2)

𝑘

𝑖=1

(Sahid 2005)

Bukti:

Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara rekursif. Oleh karena itu, untuk

menghitung suatu nilai dengan menggunakan interpolasi polinomial berderajat 𝑘 perlu menghitung

nilai-nilai polinomial berderajat 1,2, … , 𝑘. Misalkan interpolasi polinomialnya dituliskan sebagai

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑎3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2

+ 𝑎𝑘+1 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 , dan akan ditentukan nilai-nilai koefisien 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑘 . Di sini berlaku 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 untuk

𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … , 𝑛 − 𝑘.

Jika 𝑥 = 𝑥𝑛 disubstitusikan pada persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi

kanan persamaan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh

𝑝𝑛 ,0 𝑥𝑛 = 𝑎1 = 𝑓 𝑥𝑛 . Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−1 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku

pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh 𝑝𝑛 ,1 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑎2 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛

5

5

atau

𝑎2 =𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛

𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛

=𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛


= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 .

Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−2 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku

pada sisi kanan kecuali tiga suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh

𝑓 𝑥𝑛−2 = 𝑝𝑛 ,2 𝑥𝑛−2

= 𝑓 𝑥𝑛 +𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛


𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 + 𝑎3 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1

atau

𝑎3 =𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛


𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1

=

𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛

− 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛


𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1 .

Untuk memermudah perhitungan bentuk 𝑎3 dapat diubah menjadi

𝑎3 =

𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1




= 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1

𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 (menurut Definisi 10)

= 𝑓 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛

𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 (karena Teorema 2)

= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 (menurut Definisi 10) ⋮ dan seterusnya.

Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−𝑘 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka diperoleh

𝑓 𝑥𝑛−𝑘 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛−𝑘

= 𝑓 𝑥𝑛 +𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛

𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛

+

𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1



𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 + ⋯

+ 𝑎𝑘 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+2 + 𝑎𝑘+1 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+1 ,

dengan

𝑎𝑘+1 =

𝑓 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑓 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛

𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 − 𝑎3 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 − ⋯ − 𝑎𝑘 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+2

𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .

Jika diuraikan akan diperoleh bentuk 𝑎𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 .

Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan seterusnya sampai

𝑎𝑘+1. Pembilang-pembilang tersebut merupakan selisih terbagi fungsi 𝑓. Berdasarkan Definisi 10, intrpolasi polinomial Newton ini dapat dituliskan menjadi

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 ,

atau secara rekursif dapat dituliskan sebagai berikut

𝑝𝑛 ,0 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 𝑝𝑛 ,1 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛

𝑝𝑛 ,2 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1

⋮

6

6

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .

Sehingga dapat dituliskan

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 . (2)

𝑖−1

𝑗 =0

𝑘

𝑖=1


Akibat (Hampiran Newton)

Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah interpolasi polinomial

Newton yang diberikan oleh Teorema 4 dan

digunakan untuk menginterpolasikan fungsi 𝑓, yaitu

𝑓 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘. Karena 𝑓 𝑥 ≠ 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 , maka ada galat di

antara keduanya, misalkan 𝐸𝑛 ,𝑘 𝑥 yang akan

memenuhi persamaan berikut

𝑓 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 + 𝐸𝑛 ,𝑘 𝑥 . 3

(Sahid 2005)

Lema 1 (Polinomial Bersifat Tunggal) Misal diberikan himpunan titik-titik yang

memunyai absis berlainan yaitu 𝑥𝑛 ,𝑓(𝑥𝑛 ) , 𝑥𝑛−1,𝑓(𝑥𝑛−1) ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 ,𝑓(𝑥𝑛−𝑘) , maka terdapat tepat sebuah polinomial

berderajat paling tinggi 𝑘 yang melalui 𝑘 + 1

titik tersebut.


Bukti:

Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 adalah polinomial

berderajat ≤ 𝑘 dan memenuhi

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘.

Untuk menunjukkan bahwa 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥

tunggal, misalkan terdapat polinomial lain,

𝑇𝑛 ,𝑘 (𝑥) berderajat paling tinggi 𝑘 dan

memenuhi

𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘.

Sekarang definisikan

𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥 . Karena 𝑝𝑛 ,𝑘 dan 𝑇𝑛 ,𝑘 keduanya berderajat

≤ 𝑘, maka 𝐿𝑛 ,𝑘 berderajat ≤ 𝑘. Selanjutnya

berlaku

𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖 = 0 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘.

Ini menunjukkan bahwa 𝐿𝑛 ,𝑘 (𝑥) memunyai

𝑘 + 1 akar berlainan, yakni

𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , padahal 𝐿𝑛 ,𝑘 berderajat

≤ 𝑘. Hal ini tidak mungkin, karena

berdasarkan sifat akar polinomial,

polinomial berderajat ≤ 𝑘 hanya memunyai

paling banyak 𝑘 akar, kecuali 𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥 = 0,

yakni 𝐿𝑛 ,𝑘 berupa polinomial nol. Dari sini

diperoleh

0 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥

𝑝𝑛𝑘 𝑥 = 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥 , atau 𝑝𝑛 ,𝑘 bersifat tunggal.

Dengan demikian Lema 1 terbukti.

Lema 2 (Galat Interpolasi pada Selisih

Terbagi)

Jika 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang

menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik

𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka untuk 𝑥 yang

merupakan titik lain pada interval terbuka 𝐼, berlaku

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘

𝑥 =

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . (4)

𝑘

𝑖=0


Bukti:

Misalkan 𝑡 titik selain 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘

pada interval 𝐼, di mana 𝑓 𝑡 terdefinisi.

Misal didefinisikan 𝑞𝑛 ,𝑘 merupakan

polinomial berderajat ≤ 𝑘 + 1 yang

menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik

𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡, sehingga polinomial

𝑞𝑛 ,𝑘 dapat dibentuk dari persamaan (2),

yaitu

𝑞𝑛 ,𝑘 𝑥 =

𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1,⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗

𝑖−1

𝑗 =0

𝑘

𝑖=1

+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗

𝑘−1

𝑗 =0

𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘

= 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

. (5)

Karena 𝑞𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial

berderajat ≤ 𝑘 + 1 yang menginterpolasikan

fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡,

maka menurut Teorema 4 berlaku 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑞𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ ,𝑛 − 𝑘, 𝑡,

7

7

dan 𝑓 𝑡 = 𝑞𝑛 ,𝑘 𝑡 . Oleh karena itu, dari

persamaan (5) diperoleh

𝑓 𝑡 =

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑡 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 𝑡 − 𝑥𝑛−𝑖 .

𝑘

𝑖=1

Untuk 𝑡 = 𝑥, maka Lema 2 terbukti.

Lema 3 (Galat Interpolasi)

Jika 𝑝 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang

menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada 𝑘 + 1 titik

berlainan, misal 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 dan 𝑓(𝑘+1)

kontinu, maka ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , terdapat bilangan

𝜉 = 𝜉 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , yang mengakibatkan

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

. 7


Bukti:

Definisikan untuk 𝑡 ≠ 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑘

𝑤 𝑡 = 𝑡 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

;

𝑐(𝑥) =𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥

𝑤 𝑥 ;

𝜙 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑡 − 𝑐𝑤 𝑡 , 𝑐 terdefinisi karena 𝑤 𝑡 ≠ 0 karena 𝑡 ≠𝑥𝑛−𝑖 .

Fungsi 𝜙 memunyai 𝑘 + 2 pembuat nol,

yaitu 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , dan 𝑡, karena 𝜙 𝑥𝑛 = 𝜙 𝑥𝑛−1 = ⋯ = 𝜙 𝑥𝑛−𝑘 = 𝜙 𝑡 = 0.

Fungsi 𝜙 terdiri dari fungsi-fungsi yang

kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan memunyai turunan

ke-𝑘 + 1.

Karena ada 𝑘 + 2 pembuat nol, maka

terdapat 𝑘 + 1 interval yang nilai 𝜙 di titik-

titik ujungnya sama dengan nol, maka

menurut Teorema 1 pada setiap interval

terdapat 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 + 1 sehingga

𝜙 ′ 𝑐𝑖 = 0. Dengan alasan yang sama, maka 𝜙 ′′

memunyai 𝑘 pembuat nol, 𝜙 ′′′ memunyai

𝑘 − 1 pembuat nol, dan seterusnya.

Akhirnya, dapat dikatakan 𝜙(𝑘+1) 𝑡 memunyai paling sedikit 1 pembuat nol.

Misalkan 𝑡 = 𝜉 merupakan pembuat nol

𝜙(𝑘+1) 𝑡 , maka diperoleh

𝜙 𝑘+1 𝜉 = 0

= 𝑓 𝑘+1 𝜉 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑘+1 𝜉 − 𝑐𝑤 𝑘+1 𝜉 . 6

Pada persamaan di atas, 𝑝𝑛 ,𝑘(𝑘+1) 𝜉 = 0

karena 𝑝𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial

berderajat ≤ 𝑘. Berdasarkan sifat akar

polinomial, polinomial berderajat ≤ 𝑘, jika

diturunkan sebanyak 𝑘 + 1 maka hasilnya

nol.

Perhatikan juga bahwa

𝑤 𝜉 = 𝜉 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

= 𝜉𝑘+1 + (𝜉 berderajat < 𝑘 + 1)

𝑤′ 𝜉 = 𝑘 + 1 𝜉(𝑘) + (𝜉 berderajat < 𝑘)

𝑤(2) 𝜉 = 𝑘 + 1 𝑘 𝜉(𝑘−1) + (𝜉 berderajat< 𝑘 − 1)

⋮ 𝑤 𝑘+1 𝜉 = 𝑘 + 1 𝑘 𝑘 − 1 ⋯ 2 (1)

= 𝑘 + 1 !. Akhirnya dari persamaan (6) diperoleh

𝑓 𝑘+1 𝜉 − 𝑐 𝑘 + 1 ! = 0

𝑓 𝑘+1 𝜉 − 𝑘 + 1 !

𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 0

𝑘 + 1 !

𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

. (7)


Lema 4 (Hubungan Selisih Terbagi dan

Turunan)

Jika 𝑓(𝑘+1) kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan

𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 adalah 𝑘 + 2 titik pada 𝑎, 𝑏 , maka ada 𝜉 pada (𝑎, 𝑏), yang

mengakibatkan

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =1

(𝑘 + 1)!𝑓(𝑘+1) 𝜉 .


Bukti:

Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah polinomial berderajat

≤ 𝑘 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada

titik 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 .

Dari Lema 2 diketahui untuk 𝑥 yang

merupakan titik lain pada interval terbuka

(𝑎, 𝑏), berlaku

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 .

𝑘

𝑖=0

Dari Lema 3 diketahui ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), terdapat

bilangan 𝜉 di mana 𝜉 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), yang

mengakibatkan

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘

𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

.

Dari persamaan di atas diperoleh

8

8

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

=

𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

;

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 !.


2.3 Barisan dan Kekonvergenan

Definisi 11 (Barisan Konvergen)

Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan real.

Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼, jika barisan

tersebut memunyai limit 𝛼.

(Goldberg 1976)

Definisi 12 (Barisan Terbatas)

Misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan

real. Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas di atas, jika

wilayah 𝑋 terbatas di atas dan terbatas di

bawah, jika wilayah 𝑋 terbatas di bawah. Jika

wilayah 𝑋 terbatas, maka barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞

barisan terbatas. Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas jika

dan hanya jika terdapat 𝑀 > 0, sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁.

(Goldberg 1976)

Teorema 5 (Hubungan Barisan Konvergen

dengan Barisan Terbatas)

Jika barisan bilangan real 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen,

maka 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas.

(Goldberg 1976)

Bukti:

Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan

konvergen dan lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼.

Untuk 휀 = 1, terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑥𝑛 − 𝛼 < 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .

𝑥𝑛 − 𝛼 < 𝑥𝑛 − 𝛼 (sifat nilai mutlak) 𝑥𝑛 < 𝛼 + 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .

Misalkan

𝑀 = max 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛0 , 𝛼 + 1 ,

maka 𝑥𝑛 < 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁.

Jadi 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas.


Definisi 13 (Barisan Monoton)

Misalkan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan bilangan real,

barisan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ tak turun, jika 𝑠𝑘 ≤ 𝑠𝑘+1 , ∀𝑘 ∈

𝑁 dan tak naik, jika 𝑠𝑘 ≥ 𝑠𝑘+1 , ∀𝑘 ∈ 𝑁.

Barisan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ barisan monoton, jika barisan

𝑠𝑘 𝑘=1∞ tak turun atau tak naik.

(Goldberg 1976)

Teorema 6 (Hubungan Barisan Tak Naik

dan Terbatas dengan Kekonvergenan)

Misalkan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan real.

Jika 𝜖𝑛 𝑛=0∞ barisan tak naik dan terbatas di

bawah, maka barisan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ konvergen.

(Goldberg 1976)

Bukti:

Misalkan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan tak naik

dan terbatas di bawah.

Misalkan 𝐴 = 𝜖0 ,𝜖1 , … terbatas di bawah

dan 𝑎 = inf 𝐴.

Akan dibuktikan bahwa 𝜖𝑛 → 𝑎, bila

𝑛 → ∞, yaitu ∀휀 > 0, ∃𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝜖𝑛 − 𝑎 < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .

Misalkan diberikan 휀 > 0, maka 𝑎 + 휀

bukan batas bawah dari 𝐴. Jadi terdapat

𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga

𝜖𝑛0< 𝑎 + 휀

Karena 𝜖𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan tak naik,

maka dari persamaan di atas diperoleh

𝜖𝑛 ≤ 𝜖𝑛0< 𝑎 + 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 (8)

Karena 𝑎 adalah batas bawah terbesar dari

𝐴, maka

𝑎 ≤ 𝜖𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 (9)

Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh

𝑎 < 𝜖𝑛 ≤ 𝑎 + 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ; 𝜖𝑛 − 𝑎 < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .

Jadi, lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 = 𝑎 atau 𝜖𝑛 𝑛=0∞

konvergen ke 𝑎. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.

Teorema 7 (Hubungan Barisan Tak Turun

dan Terbatas dengan Kekonvergenan)

Misalkan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan bilangan real.

Jika 𝑠𝑘 𝑘=1∞ barisan tak turun dan terbatas di

atas, maka barisan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ konvergen.

(Goldberg 1976)

Bukti:

Misalkan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan tak turun

dan terbatas di atas.

Misalkan 𝐴 = 𝑠1 , 𝑠2 , … terbatas di atas

dan 𝑎 = sup 𝐴.

Akan dibuktikan bahwa 𝑠𝑘 → 𝑎, bila

𝑘 → ∞, yaitu ∀휀 > 0, ∃𝑘0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑠𝑘 − 𝑎 < 휀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 .

Misalkan diberikan 휀 > 0, maka 𝑎 − 휀

bukan batas atas dari 𝐴. Jadi terdapat

𝑘0 ∈ 𝑁, sehingga

𝑠𝑘0> 𝑎 − 휀

9

9

Karena 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan tak turun,


𝑠𝑘 ≥ 𝑠𝑘0> 𝑎 − 휀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 (10)

Karena 𝑎 adalah batas atas terkecil dari 𝐴, maka

𝑠𝑘 ≤ 𝑎, ∀𝑘 ∈ 𝑁 (11) Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh

𝑎 − 휀 < 𝑠𝑘 ≤ 𝑎, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 ; 𝑠𝑘 − 𝑎 < 휀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 .

Jadi, lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 𝑎 atau 𝑠𝑘 𝑘=1∞

konvergen ke 𝑎. Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

Teorema 8 (Hubungan Kekontinuan dan

Kekonvergenan Barisan)

Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan real.

Jika fungsi 𝑓 kontinu di 𝛼 dan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah

barisan yang konvergen ke 𝛼, maka 𝑓 𝑥𝑛 𝑛=0∞

konvergen ke 𝑓 𝛼 . (Goldberg 1976)

Bukti:

Diberikan 휀 > 0 sebarang.

Karena fungsi 𝑓 kontinu, maka ∃𝛿 > 0

sehingga

0 < 𝑥 − 𝛼 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝛼 < 휀. Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼, maka

𝑥𝑛 − 𝛼 < 휂, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Dari dua pernyataan di atas, diperoleh

𝑥𝑛 − 𝛼 < 휂 ⟹ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼 < 휀. Dengan demikian Teorema 8 terbukti.

Definisi 14 (Barisan Bagian)

Misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 adalah barisan bilangan

real, dan 𝑟1 < 𝑟2 < ⋯ < 𝑟𝑛 < ⋯ adalah barisan bilangan asli, maka barisan pada bilangan real

yang diberikan oleh

𝑥𝑟1, 𝑥𝑟2

, ⋯ , 𝑥𝑟𝑛, ⋯

disebut barisan bagian dari 𝑋. (Goldberg 1976)

Teorema 9 (Hubungan Kekonvergenan

Barisan dan Barisan Bagian)

Jika barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼, maka

setiap barisan bagian dari 𝑥𝑛 𝑛=0∞ juga

konvergen ke 𝛼. (Goldberg 1976)

Bukti:

Misalkan 𝑥𝑛𝑖 𝑛=0

∞ adalah barisan bagian

dari 𝑥𝑛 𝑛=0∞ .


Karena 𝑥𝑛 ⟶ 𝛼, maka terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga

𝑥𝑛 − 𝛼 < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Pilih indeks 𝑘 terkecil sehingga 𝑛𝑘 ≥ 𝑛0 ,


𝑥𝑛𝑖− 𝛼 < 휀, ∀𝑖 ≥ 𝑘.

Jadi, barisan 𝑥𝑛𝑖 𝑛=0

∞ konvergen ke 𝛼.


Teorema 10 (Hubungan Perkalian Barisan

yang Konvergen dan Terbatas)

Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ dan 𝑦𝑛 𝑛=0

∞ adalah barisan

bilangan real. Jika barisan lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0, dan

barisan 𝑦𝑛 𝑛=0∞ terbatas, maka

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0.

(Goldberg 1976)

Bukti:


Karena 𝑦𝑛 𝑛=0∞ terbatas, maka terdapat

𝑀 > 0 sehingga 𝑦𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁.

Karena 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen, maka terdapat

∃𝑛0 ∈ 𝑁 sehingga

𝑥𝑛 − 0 ≤휀

𝑀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .

Akibatnya 𝑥𝑛𝑦𝑛 − 0 = 𝑥𝑛𝑦𝑛

= 𝑥𝑛 𝑦𝑛

≤휀

𝑀𝑀

= 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Dari sini terbukti bahwa lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0.


Definisi 15 (𝑶 . dan 𝒐 . )

Simbol 𝑂 . dan 𝑜 . merupakan cara yang

digunakan untuk membandingkan besarnya dua

buah barisan, misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 dan 𝑌 = 𝑦𝑛 merupakan barisan bilangan real.

Notasi 𝑋 = 𝑂 𝑌 atau 𝑥𝑛 = 𝑂 𝑦𝑛 , dengan

𝑛 → ∞, menyatakan bahwa 𝑥𝑛

𝑦𝑛 terbatas,

atau ∃𝑀 > 0 sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 𝑦𝑛 . Notasi 𝑋 = 𝑜 𝑌 atau 𝑥𝑛 = 𝑜 𝑦𝑛 , dengan

𝑛 → ∞, menyatakan bahwa lim𝑛→∞ 𝑥𝑛

𝑦𝑛 = 0.

Hal ini berarti 𝑥𝑛 → 0 lebih cepat dari

𝑦𝑛 → 0. (Bartle 1964)

2.4 Sifat-Sifat Akar Polinomial

Lema 5 (Sifat Akar Polinomial)

Didefinisikan persamaan polinomial sebagai

berikut

10

10

𝑔𝑘 ,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖

𝑘

𝑖=0

= 0,

maka persamaan tersebut memunyai sebuah

akar real misal 𝑠𝑘 dan

max 1,𝑎 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1. (Traub 1964)

Bukti: (Lihat Traub 1964)

Lema 6 (Akar Polinomial Bersifat Naik)

Didefinisikan persamaan polinomial sebagai

berikut


𝑘

𝑖=0

= 0.

Persamaan tersebut memunyai sebuah akar real

misal 𝑠𝑘 , maka

𝑠𝑘−1 < 𝑠𝑘 , ∀𝑘. (Traub 1964)


Lema 7 (Kekonvergenan Akar Polinomial)

Misalkan 𝑠𝑘 akar positif dari persamaan


𝑘

𝑖=0

dan 𝑘𝑎 > 1, maka berlaku 𝑘

𝑘 + 1 𝑎 + 1 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1

dan

lim𝑘→∞

𝑠𝑘 = 𝑎 + 1.

(Traub 1964)


Lema 8 (Batas Akar Polinomial)

Misalkan 𝑠𝑘 akar positif dari persamaan

polinomial berikut


𝑘

𝑖=0

;

dan diberikan 𝑣 = 𝑎 + 1𝑘

𝑘+1, maka berlaku

𝑎 + 1 −𝑒𝑎

𝑎 + 1 𝑘< 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1 −

𝑎

𝑎 + 1 𝑘

di mana 𝑒 basis logaritma natural. (Traub 1964)


Teorema 11

Misalkan persamaan galat didefinisikan sebagai

berikut

𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝜖𝑛−𝑖𝑠

𝑘

𝑖=0

di mana 𝑠 bilangan positif dan 𝜖𝑛 → 0, bila

𝑛 → ∞. Misalkan juga 𝑠𝑘 adalah akar positif

dari persamaan

𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖

𝑘

𝑖=0

= 0

dan 𝐿 ≠ 0, maka

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘 .

(Traub 1964)


III PEMBAHASAN

3.1 Rumusan Masalah

Dalam tulisan ini akan dicari akar dari

persamaan

𝑓(𝑥) = 0, (12)

yaitu nilai 𝑥 = 𝛼 yang menyebabkan 𝑓 𝛼 = 0,

dengan 𝛼 merupakan akar dari persamaan

tersebut. Fungsi 𝑓 dari persamaan (12) yang

akan ditentukan akarnya merupakan fungsi tak

linear dan memenuhi syarat 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 𝐼 dan

𝑓′ 𝛼 ≠ 0 (Sidi 2007). Untuk menentukan akar persamaan (12)

dapat digunakan metode analitik atau metode

iteratif. Metode analitik adalah metode

penyelesaian persamaan dengan menggunakan

rumus-rumus yang sudah lazim digunakan,

seperti rumus “abc” untuk mencari akar

persamaan kuadrat. Tidak semua fungsi dapat

ditentukan akar persamaannya secara analitik.

Oleh karena itu, diperlukan metode iteratif di

dalam memberikan hampiran penyelesaian.

Pada metode iteratif pencarian akar

dilakukan dengan prosedur-prosedur tertentu.

Secara umum prosedurnya sebagai berikut.

Prosedur Metode Iteratif

i. Memilih nilai awal, batas toleransi 𝑇, dan

maksimum iterasi 𝑁.

Biasanya setiap metode tidak selalu sama

banyaknya nilai awal yang harus dipilih,

misalnya metode Newton-Raphson

11

11

memerlukan satu nilai awal 𝑥0, dan metode

Tali Busur memerlukan dua nilai awal,

𝑥0 dan 𝑥1. Semakin dekat nilai awal yang

dipilih dengan akar sebenarnya, maka

iterasi akan semakin cepat konvergen

(Atkinson & Han 2003). Untuk memilih

batas toleransi agar hampiran akar yang

diperoleh sangat dekat dengan akar

sebenarnya, maka batas toleransi yang dipilih harus sangat kecil.

ii. Melakukan proses iterasi.

Proses iterasi dilakukan untuk

menghasilkan barisan akar, barisan akar

yang dimaksud adalah hampiran-hampiran

akar yang konvergen ke akar sebenarnya.

Selanjutnya proses iterasi dihentikan jika 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 < 𝑇.

iii. Analisis kekonvergenan.

Barisan akar yang diperoleh kemudian

dianalisis kekonvergenannya, untuk

mengetahui derajat kekonvergenannya. Derajat kekonvergenan menunjukkan

kecepatan dalam menemukan akar. Jika

derajat kekonvergenan semakin besar, maka

kecepatan dalam menemukan akar akan

semakin baik (Burden & Faires 1993).

Adapun metode-metode iteratif yang akan

dibahas antara lain: metode Newton-Raphson,

metode Tali Busur, dan generalisasi metode

Tali Busur.

3.1.1 Metode Newton-Raphson

Salah satu metode pencarian akar yang paling populer dalam menentukan akar-akar

persamaan tak linear adalah metode Newton-

Raphson. Metode ini paling disukai karena

kekonvergenannya paling cepat di antara

metode lainnya (Cheney & Kincaid 1994).

Metode Newton-Raphson merupakan

metode pencarian akar yang hampiran akarnya

diperoleh dengan mencari titik potong garis

singgung kurva di titik 𝑥𝑛 ,𝑓 𝑥𝑛 dengan

sumbu-𝑥. Biasanya nilai awal 𝑥0 selalu

diberikan. Jika tidak diberikan nilai awal bisa

dipilih dengan syarat, nilai 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0. Hal ini

disebabkan karena metode Newton-Raphson

menggunakan fungsi turunan untuk setiap

iterasinya dan tidak melakukan pengapitan akar.

Hampiran selanjutnya 𝑥𝑛+1 diperoleh

dengan mencari titik potong garis singgung

kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥.

Ilustrasi penjelasan tersebut sebagai berikut.

Hampiran akar pertama 𝑥1 diperoleh dari titik

potong garis singgung di titik 𝑥0 , 𝑓 𝑥0

dengan sumbu-𝑥. Hampiran akar kedua 𝑥2

diperoleh dari titik potong garis singgung di

titik 𝑥1 ,𝑓 𝑥1 dengan sumbu-𝑥. Demikian

seterusnya, sampai diperoleh hampiran akar

yang paling dekat dengan akar sebenarnya.

Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada

gambar berikut.

Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton-

Raphson.

Selanjutnya akan dibahas prosedur

pencarian akar dengan metode Newton-

Raphson. Berdasarkan prosedur pencarian akar

dengan metode iteratif, diperlukan nilai awal

dan persamaan iterasi. Dalam memilih nilai

awal pada metode ini sudah dijelaskan yaitu

dengan syarat untuk setiap nilai awal 𝑥0, maka

nilai 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0.

Misalkan 𝑥0 adalah nilai awal yang

diberikan. Gradien garis singgung kurva

𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 adalah 𝑓 ′ 𝑥0 ,

maka persamaan garis singgungnya adalah

𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 . Hampiran akar pertama 𝑥1 diperoleh dari

persamaan garis singgung pada saat 𝑦 = 0.

Artinya titik 𝑥1 , 0 memenuhi persamaan garis

singgung, yakni

0 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0

−𝑓 𝑥0

𝑓′ 𝑥0 = 𝑥1 − 𝑥0

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓 𝑥0

𝑓′ 𝑥0 .

Secara umum dengan cara yang sama,

akhirnya diperoleh persamaan iterasi pada

metode Newton-Raphson. Persamaan iterasi

yang digunakan pada metode Newton-Raphson

adalah


𝑓′ 𝑥𝑛 ; 𝑛 = 0, 1,2, ⋯.

12

12

Berikut ini algoritme yang akan

digunakan untuk menentukan program dengan

metode Newton-Raphson.

Algoritme 1: Metode Newton-Raphson

Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0, batas toleransi 𝑇,

dan maksimum iterasi 𝑁.

Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:

i. Set penghitung iterasi 𝑖 = 1,

ii. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO

a. Menghitung

𝑥 = 𝑥0 −𝑓 𝑥0

𝑓′ 𝑥0 .

b. IF 𝑥 − 𝑥0 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to

STOP.

c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1

d. Set 𝑥0 = 𝑥 dan 𝑓 𝑥0 = 𝑓 𝑥 .

iii. STOP.

3.1.2 Metode Tali Busur Metode Tali Busur adalah metode

pencarian akar yang merupakan modifikasi dari

metode Newton-Raphson. Pada metode

Newton-Raphson hampiran akar diperoleh

dengan mencari titik potong garis singgung

kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥.

Pada metode Tali Busur hampiran akarnya

diperoleh dengan menggunakan tali busur yang

melalui titik 𝑥𝑛−1 , 𝑓 𝑥𝑛−1 dan 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛

sebagai hampiran 𝑓(𝑥) dan mencari titik

potongnya dengan sumbu-x (Atkinson & Han

2003).

Persamaan iterasi metode Newton-

Raphson yang menggunakan fungsi turunan

𝑓(𝑥) dimodifikasi sehingga tidak harus

menggunakan fungsi turunannya. Metode Tali

Busur di atas menggambarkan pencarian akar jika dilihat dari grafik iterasinya, dapat

dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Langkah pertama adalah memilih dua nilai

awal 𝑥0 dan 𝑥1. Dari sini tarik tali busur yang

melewati dua titik awal 𝑥0 ,𝑓(𝑥0) dan 𝑥1 , 𝑓(𝑥1) , sehingga diperoleh hampiran akar

pertama, misal 𝑥2 yang merupakan titik potong

kedua titik dengan sumbu-𝑥. Hampiran akar

kedua, misal 𝑥3 diperoleh dengan cara menarik

tali busur yang melewati dua titik 𝑥1 , 𝑓(𝑥1)

dan 𝑥2 , 𝑓(𝑥2) . Demikian seterusnya sampai

diperoleh hampiran akar yang paling dekat

dengan akar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini

dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 Grafik iterasi metode Tali Busur.

Untuk memeroleh persamaan iterasi

dengan interpolasi linear gunakan absis titik

potong tali busur dari garis lurus yang melalui

titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dan (𝑥𝑛−1 , 𝑓(𝑥𝑛−1)) dengan

sumbu-𝑥. Karena gradien garis busur yang

melalui titik tersebut adalah 𝑓 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛−1)

𝑥𝑛 −𝑥𝑛−1, maka

dengan interpolasi linear diperoleh persamaan

tali busurnya

𝑦 − 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑥 − 𝑥𝑛 .

Hampiran akar diperoleh dengan mencari titik

potong kurva dengan sumbu-𝑥, artinya titik

(𝑥𝑛+1 , 0) yang memenuhi persamaan di atas,

sehingga diperoleh

0 − 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)


𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ,


𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

= 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1


𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛


𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 .

Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode

Tali Busur. Cara lain untuk memeroleh persamaan

iterasi metode tali busur adalah melalui

modifikasi persamaan iterasi metode Newton-

Raphson. Menurut definisi turunan, 𝑓′ 𝑥 dapat

dituliskan

𝑓′ 𝑥 = lim𝑕→0

𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕,

untuk 𝑕 yang sangat kecil,

𝑓′ 𝑥 ≈𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)

𝑕,

13

13

misalkan 𝑥 = 𝑥𝑛 dan 𝑕 = 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 , diperoleh

𝑓′ 𝑥𝑛 ≈𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓(𝑥𝑛 )


=𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛


= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 . Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode

Tali Busur. Persamaan iterasi metode Tali

Busur adalah


𝑓[𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ]. 13

Persamaan di atas diperoleh melalui dua cara,

yaitu melalui interpolasi linear dan modifikasi


Berdasarkan prosedur pencarian akar

dengan metode iteratif, untuk menentukan akar

dengan metode ini diperlukan nilai awal dan persamaan iterasi. Metode Tali Busur

memerlukan dua nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1.

Persamaan iterasi yang digunakan adalah

persamaan (13).

Berikut ini algoritme yang akan

digunakan untuk menentukan program dengan

metode Tali Busur.

Algoritme 2: Metode Tali Busur

Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1, batas

toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:

i. Set 𝑖 = 2, 𝑞0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑞1 = 𝑓 𝑥1 ,

ii. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO

a. Menghitung

𝑥 = 𝑥1 −𝑞1

𝑞1 − 𝑞0

𝑥1 − 𝑥0 .

b. IF 𝑥 − 𝑥1 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go

to STOP.

c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1

d. Set 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑥, 𝑞0 = 𝑞1, dan

𝑞1 = 𝑞,

iii. STOP.

3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur

Pada subbab 3.1.1 dan 3.1.2 telah

dibahas metode Newton-Raphson dan metode

Tali Busur. Metode Newton-Raphson

memunyai kekonvergenen yang relatif cepat untuk menentukan akar, namun memerlukan

iterasi turunan fungsi (Sahid 2005). Dengan

memodifikasi persamaan iterasi metode

Newton-Raphson diperoleh metode Tali Busur

yang tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥),

namun metode Tali Busur ini memunyai

kekonvergenan yang relatif lebih lambat

dibandingkan metode Newton-Raphson (Sahid

2005). Oleh karena itu, diperlukan metode lain

untuk menentukan akar yang memunyai

kekonvergenan mendekati metode Newton-

Raphson tetapi tidak harus menggunakan

turunan 𝑓(𝑥) seperti metode Tali Busur (Sidi

2007). Persamaan iterasi metode Tali Busur

diperoleh dengan menggunakan interpolasi

polinomial Newton untuk 𝑘 = 1.

Pada bagian ini akan dibahas

generalisasi metode Tali Busur, yaitu metode

pencarian akar dengan menggunakan

interpolasi polinomial Newton derajat 𝑘 dengan

𝑘 > 1. Generalisasi metode Tali Busur ini tidak

memerlukan turunan 𝑓(𝑥), tetapi memerlukan

nilai awal sebanyak 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2, dan sama-

sama tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥)

per iterasi.

Selanjutnya akan dibahas penurunan

persamaan iterasi metode ini. Persamaan iterasi

generalisasi metode Tali Busur adalah


𝑝𝑛 ,𝑘′ (𝑥𝑛)

; 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, ⋯ . (14)

Persamaan di atas diperoleh melalui modifikasi

metode Tali Busur yaitu dengan mengganti

selisih terbagi pertama 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 dengan

selisih terbagi ke-𝑘 dari turunan interpolasi

polinomial Newton 𝑝𝑛 ,𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2.

Lema 9 (Turunan Polinomial)

Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial yang

menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada 𝑘 + 1 titik,

yaitu 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka turunan

polinomial tersebut adalah 𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛

= 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1

+ 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑗 .

𝑖−1

𝑗=1

𝑘

𝑖=2

Pada karya ilmiah ini hanya dibatasi sampai

𝑘 = 2 yaitu

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 =

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 .

Bukti: Adapun penurunan persamaan (14) adalah sebagai berikut.

14

14

Dari Teorema 4 diketahui persamaan interpolasi polinomial Newton yang menginterpolasikan

fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 .

𝑖−1

𝑗 =0

𝑘

𝑖=1

Untuk menurunkan 𝑝𝑛 ,𝑘 (𝑥), akan dijabarkan terlebih dulu, yaitu

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1

+ 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 + ⋯+ 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .

Jika penjabaran persamaan tersebut diturunkan akan diperoleh

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥 = 0 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛−1

+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2

+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 + ⋯

+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2

+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+3 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯

+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .

Misalkan 𝑥 = 𝑥𝑛 , sehingga diperoleh persamaan 𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2

+ ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2

+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯ +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1

+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 , atau

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑗 .

𝑖−1

𝑗 =1

𝑘

𝑖=2

Untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 yaitu merupakan selisih terbagi pertama yang

digunakan dalam metode Tali Busur. Sedangkan untuk 𝑘 ≥ 2 metode yang digunakan adalah

generalisasi metode Tali Busur.

Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat

selisih terbagi. Adapun sifat-sifatnya antara

lain:

i. Dapat ditentukan secara rekursif. (berdasarkan Definisi 10)

ii. Simetris.

Misalkan 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 menyatakan

permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 suatu

simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku


, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1

, ⋯ , 𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1

.

(bukti disajikan pada Teorema 2) iii. Dapat dinyatakan dalam turunan.

Jika 𝑓𝑘 kontinu pada 𝐼 dan

𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah 𝑘 + 1 titik pada 𝐼,

maka ada 𝜉 pada 𝐼, yang mengakibatkan

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =1

(𝑘 + 1)!𝑓(𝑘+1) 𝜉 .

(bukti disajikan pada Lema 4)

Selanjutnya akan dibahas penyajian selisih

terbagi. Selisih terbagi yang diperoleh pada

proses iterasi ke-nol, disimpan dalam tabel

selisih terbagi, dapat yang kemudian akan

digunakan untuk menentukan selisih terbagi

pertama. Selisih terbagi pertama disimpan

dalam tabel selisih terbagi yang kemudian

digunakan untuk menentukan selisih terbagi

kedua, dan seterusnya sampai diperoleh selisih

terbagi ke-𝑘 yang diperlukan.

Dengan menggunakan Definisi 10, maka

dapat dibuat tabel selisih terbagi. Untuk 𝑘 = 0

dapat dilihat pada tabel berikut.

15

15

Tabel 1 Selisih terbagi

𝑥0 𝑓0

𝑓01

𝑥1 𝑓1 𝑓012

𝑓12 𝑓0123

𝑥2 𝑓2 𝑓123

𝑓23 𝑓1234

𝑥3 𝑓3 𝑓234

𝑓34 𝑓2345

𝑥4 𝑓4 𝑓345

𝑓45 𝑓3456

𝑥5 𝑓5 𝑓456

𝑓56 𝑓4567

𝑥6 𝑓6 𝑓567

𝑓67

𝑥7 𝑓7

Keterangan:

𝑓𝑖 ,𝑖+1,…,𝑚 = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , . . . , 𝑥𝑚 . Tabel di atas berisi nilai-nilai selisih terbagi

{𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥7}, nilai-nilai tersebut akan

digunakan untuk menghitung 𝑥8.

Selain itu, pada Tabel 1 tidak perlu lagi

dihitung berulang-ulang dari awal setiap iterasi,

yang diperlukan adalah menambahkan diagonal

baru di bagian bawah tabel yang ada. Untuk

melihat hal ini, akan diberikan contoh sebagai

berikut: misalkan 𝑘 = 3 dan hampiran 𝑥𝑖 ,dengan 𝑖 = 0, 1, . . . , 7 telah dihitung. Untuk

menghitung 𝑥8 akan digunakan nilai-nilai yang

telah diperoleh pada Tabel 1 dan dengan

menggunakan persamaan (14), akhirnya

diperoleh

𝑥8 = 𝑥7 −𝑓 𝑥7

𝑝7,3′ 𝑥7

= 𝑥7 −𝑓7

𝑓67 + 𝑓567 𝑥7 − 𝑥6 + 𝑓4567 𝑥7 − 𝑥6 𝑥7 − 𝑥5 .

Untuk menghitung 𝑥9 diperlukan selisih

terbagi dari 𝑓8, 𝑓78 , 𝑓678 , 𝑓5678 . Komputasi

pertama 𝑓8 dengan menggunakan 𝑥8, selisih

terbagi ini dapat dihitung dari Tabel 1 melalui hubungan rekursif

𝑓78 =𝑓7 − 𝑓8

𝑥7 − 𝑥8

,

𝑓678 =𝑓67 − 𝑓78

𝑥6 − 𝑥8

,

𝑓5678 =𝑓567 − 𝑓678

𝑥5 − 𝑥8

,

dan ditambahkan ke bagian bawah Tabel 3.

Untuk menghitung 𝑥8, perlu menyimpan nilai

diagonal ini, dan memasukkan 𝑓7 , 𝑓67 , 𝑓567 ,

𝑓4567 . Nilai 𝑥8 dan 𝑓8 dihitung dengan

menggunakan nilai-nilai 𝑓7 , 𝑓67 , 𝑓567 , 𝑓4567

sehingga diperoleh nilai-nilai 𝑓8 , 𝑓78 , 𝑓678 ,

𝑓5678 . Dengan demikian, secara umum untuk

menghitung 𝑥𝑛+1 harus dihitung nilai 𝑥𝑛 dan

perlu menyimpan hasil perhitungan

𝑓𝑛 ,𝑓𝑛−1,𝑛 ,⋯,, 𝑓𝑛−𝑘 ,𝑛−𝑘+1,...,𝑛−1,𝑛 dan

𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , . . . , 𝑥𝑛−𝑘 .

Selanjutnya pembahasan akan dimulai dengan prosedur pencarian akar. Prosedurnya

adalah sebagai berikut.

Prosedur Generalisasi Metode tali Busur

1. Memilih nilai awal, batas toleransi 𝑇, dan

maksimum iterasi 𝑁.

Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 adalah nilai awal

dengan 𝑘 ≥ 2, dimulai dengan memisalkan

𝑥0 dan 𝑥1 adalah dua nilai awal yang diberikan. Selanjutnya melakukan proses

iterasi untuk 𝑘 = 1, dengan menggunakan

persamaan (13) untuk menghitung 𝑥𝑘

dengan 𝑘 mulai dari 2, yang akan digunakan

sebagai nilai awal. Pada karya ilmiah ini

nilai awal hanya dibatasi untuk 𝑘 = 2

menggunakan tiga nilai awal, 𝑥0 , 𝑥1 dan 𝑥2. 2. Melakukan proses iterasi dengan persamaan

(14).

Iterasi dilakukan sampai diperoleh

hampiran akar yang paling dekat dengan

akar sebenarnya. Untuk melihat hampiran

akar yang diperoleh telah konvergen, maka

dengan menggunakan batas toleransi 𝑇

untuk menghentikan iterasi. Misalkan

dengan memilih batas toleransi 𝑇 = 0.001,

maka iterasi akan berhenti jika 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 < 𝑇.

Dari sini diperoleh hampiran 𝑥𝑛 merupakan

akar dari persamaan 𝑓(𝑥) = 0.

Berikut ini algoritme yang akan digunakan

untuk menentukan program dengan metode

Tali Busur.

Algoritme 3: Generalisasi Metode Tali Busur

Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1, batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:

16

16

1. Misalkan 𝑞0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑞1 = 𝑓 𝑥1 .

Menghitung

𝑥2 = 𝑥1 −𝑞1

𝑞1 − 𝑞0

𝑥1 − 𝑥0 .

2. Set 𝑖 = 2, 𝑞2 = 𝑓 𝑥2 . 3. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO

a. Menghitung

𝑥 = 𝑥2 −𝑞2

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 .

b. IF 𝑥 − 𝑥1 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to STOP.

c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1. d. Set 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑥2 = 𝑥, 𝑞0 = 𝑞1 , 𝑞1 = 𝑞2 dan 𝑞1 = 𝑞,

4. STOP.

3.2 Analisis Kekonvergenan

Analisis kekonvergenan suatu metode pencarian akar dilakukan untuk menentukan

derajat kekonvergenannya. Hal ini dilakukan

karena derajat kekonvergenan menunjukkan

kecepatan dalam menemukan akar, jika derajat

kekonvergenan semakin besar, maka

kecepatannya dalam menemukan akar akan

semakin cepat (Burden & Faires 1993).

Untuk menganalisis kekonvergenan

dapat dilihat dari persamaan galat hampirannya.

Hal ini disebabkan karena galat berhubungan

dengan seberapa dekat akar hampiran terhadap akar sebenarnya. Semakin kecil galatnya, maka

semakin teliti solusi yang diperoleh (Atkinson

& Han 2003).

3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-

Raphson

Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛+1 merupakan

hampiran-hampiran akar yang diperoleh

melalui iterasi berturut-turut dengan

menggunakan persamaan iterasi. Misalkan 𝛼

adalah akar sebenarnya dan 𝜖𝑛 merupakan galat

hampiran pada iterasi ke-𝑛, maka menurut

Definisi 2, 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, dan

𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼

= 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛

𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝛼

= 𝜖𝑛 −𝑓 𝑥𝑛

𝑓′ 𝑥𝑛

= 𝜖𝑛𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛

𝑓′ 𝑥𝑛 . (15)

Berdasarkan Definisi 6, 𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖𝑛 dapat

diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu

𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖𝑛 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛

2𝜖𝑛

2

𝑓 𝛼 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛

2𝜖𝑛

2

0 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛

2𝜖𝑛

2

0 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛

2𝜖𝑛

2

𝜖𝑛𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓′′ 𝜉𝑛

2𝜖𝑛

2 ,

di mana 𝜉𝑛 di antara 𝛼 dan 𝑥𝑛 . Selanjutnya

substitusikan persamaan di atas pada

persamaan (15) diperoleh persamaan galat

hampiran ke-𝑛 + 1, yaitu

𝜖𝑛+1 =1

2 𝑓′′ 𝜉𝑛

𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛

2 .

Misal didefinisikan 𝐶 =1

2

𝑓 ′′ 𝜉𝑛

𝑓 ′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 , maka

persamaan di atas dapat dituliskan

𝜖𝑛+1 = 𝐶𝜖𝑛 . (16)

Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi,

tanpa kehilangan perumuman, asumsikan

𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) untuk 𝑇 > 0, sehingga

𝑚1 = min𝑥∈𝐼|𝑓′(𝑥)| > 0. Hal ini

dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓′ 𝛼 ≠ 0.

Diberikan 𝑀2 = max𝑥∈𝐼 𝑓 2 𝑥

2!, dan pilih

interval 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup

kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 𝑀2𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛 , untuk

𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka

𝐶 = 1

2 𝑓′′ 𝜉𝑛

𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 < 𝐶 < 1,

di mana

𝐶 =𝑀2𝑡/2

𝑚1

.

Karena 𝑥𝑛 ,𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka

𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2

−𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2

0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2

0 ≤ 𝜖𝑛 ≤𝑡

2, ∀𝑛.

Sehingga 𝐶 dapat dituliskan

17

17

𝐶 = 1

2 𝑓′′ 𝜉𝑛

𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 <

𝑀2𝑡/2

𝑚1

.

Karena 𝐽 dipilih cukup kecil sehingga berlaku

𝑚1 > 𝑀2𝑡/2, maka diperoleh

𝐶 ≤𝑀2𝑡/2

𝑚1

<𝑚1

𝑚1

= 1.

Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0

∞ barisan turun. Karena 𝜖𝑛 𝑛=0∞

barisan turun dan terbatas di bawah, maka 𝜖𝑛 𝑛=0

∞ konvergen. Dari persamaan (16)

diketahui

𝜖𝑛+1 = 𝐶𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶 𝜖𝑛 .

Untuk 𝑛 = 1, diperoleh

𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 . Untuk 𝑛 = 2, diperoleh

𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 . Untuk 𝑛 = 3, diperoleh

𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮

𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh

0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim𝑛→∞

0 ≤ lim𝑛→∞

𝜖𝑛 ≤ lim𝑛→∞

𝐶 𝑛−1 𝜖1 .

Karena lim𝑛→∞ 0 = lim𝑛→∞

𝐶𝑛−1 𝜖1 = 0, maka

menurut Teorema Apit lim𝑛→∞

𝜖𝑛 = 0. Diketahui

lim𝑛→∞

𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim𝑛→∞

𝜖𝑛 = 0, maka dari sini

diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Karena 𝜉𝑛 di antara

𝛼 dan 𝑥𝑛 , maka diperoleh

𝛼 < 𝜉𝑛 < 𝑥𝑛

lim𝑛→∞

𝛼 < lim𝑛→∞

𝜉𝑛 < lim𝑛→∞

𝑥𝑛 .

Menurut Teorema Apit, karena

lim𝑛→∞ 𝛼 = lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝛼, maka lim𝑛→∞ 𝜉𝑛 = 𝛼.

Dari sini diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛2

= 𝑓′′ 𝛼

2𝑓′ 𝛼 .

Menurut Definisi 3, jika 𝑓′ 𝛼 ≠ 0, dan

𝑓′ 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 kontinu pada interval yang

memuat semua 𝑥𝑛 , maka metode Newton-

Raphson akan konvergen ke akar secara

kuadratik (konvergen relatif cepat).

3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur

Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛+1 adalah

hampiran-hampiran akar yang diperoleh

melalui iterasi berturut-turut dengan persamaan

(13). Misalkan juga 𝛼 adalah akar sebenarnya

dan 𝜖𝑛 merupakan galat hampiran pada iterasi

ke-𝑛, maka 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, dan

𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼,

= 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝛼

= 𝑥𝑛

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 −

𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝛼

= 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1


− 𝛼𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1


=𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 −

𝛼𝑓 𝑥𝑛 − 𝛼𝑓 𝑥𝑛−1


=𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝛼 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝛼


=𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛




= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1


𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛


= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1


𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛𝜖𝑛−1

𝜖𝑛𝜖𝑛−1

= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1


𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1

𝜖𝑛𝜖𝑛−1−

𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛

𝜖𝑛𝜖𝑛−1

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛𝜖𝑛−1

= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1


𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛

−𝑓 𝑥𝑛−1

𝜖𝑛−1

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛𝜖𝑛−1. (17)

Berdasarkan Definisi 6, fungsi 𝑓 𝑥𝑛 dapat

diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu

𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 + 𝜖𝑛

≈ 𝑓 𝛼 + 𝑓′ 𝛼 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝛼

2𝜖𝑛

2

atau dapat dituliskan

𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 + 𝑓′ 𝛼 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝛼

2𝜖𝑛

2

𝑓 𝑥𝑛

𝜖𝑛

= 𝑓′ 𝛼 +1

2𝜖𝑛𝑓′′ 𝛼 .

Untuk indeks 𝑛 − 1 diperoleh 𝑓 𝑥𝑛−1

𝜖𝑛−1

= 𝑓′ 𝛼 +1

2𝜖𝑛−1𝑓′′ 𝛼 .

Hasil pengurangan kedua persamaan di atas

menghasilkan 𝑓 𝑥𝑛

𝜖𝑛

−𝑓 𝑥𝑛−1

𝜖𝑛−1

=1

2 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1 𝑓′′ 𝛼 ;

karena 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, dengan membagi

sisi kiri persamaan di atas dengan 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

dan sisi kanan dengan 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, maka

diperoleh persamaan 𝑓 𝑥𝑛

𝜖𝑛−

𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛−1

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 =

1

2𝑓′′ 𝛼 . (18)

18

18

Selanjutnya berdasarkan Definisi 10, maka

tanda kurung pertama pada persamaan (17)

dapat dituliskan sebagai 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 =

1

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 . (19)

Dengan menyubstitusikan persamaan (18) dan

(19) pada persamaan (17) diperoleh

𝜖𝑛+1 =1

𝑓 𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 12

𝑓′′ 𝛼 𝜖𝑛𝜖𝑛−1

=1

𝑓′ 휁𝑛 1

2𝑓′′ 𝛼 𝜖𝑛𝜖𝑛−1 (20)

di mana 휁𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝑥𝑛−1.

Untuk membuktikan kekonvergenan

terjadi, tanpa kehilangan perumuman,

asumsikan 𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) untuk 𝑇 > 0,

sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼|𝑓′ (𝑥)| > 0. Hal ini

dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓′ 𝛼 ≠ 0.

Diberikan 𝑀2 = max𝑥∈𝐼 𝑓 2 𝑥

2! dan pilih

interval 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup

kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 𝑀2𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛 ,𝑛 =0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka

𝐷 = 1

2 𝑓′′ 𝛼

𝑓′ 휁𝑛 𝜖𝑛−1 < 𝐶 < 1,

di mana

𝐶 =𝑀2𝑡/2

𝑚1

.

Karena 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka

𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2

−𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2

0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2

0 ≤ 𝜖𝑛 ≤𝑡

2, ∀𝑛.

Sehingga 𝐷 dapat dituliskan

𝐷 = 1

2 𝑓′′ 𝛼

𝑓′ 휁𝑛 𝜖𝑛−1 <

𝑀2𝑡/2

𝑚1

.

Karena 𝐽 dipilih cukup kecil sehingga berlaku

𝑚1 > 𝑀2𝑡/2, maka diperoleh

𝐶 =𝑀2𝑡/2

𝑚1

<𝑚1

𝑚1

= 1.

Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0

∞ barisan tak naik. Karena 𝜖𝑛 𝑛=0∞

barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

menurut Teorema 6 𝜖𝑛 𝑛=0∞ konvergen. Dari

persamaan (16) diketahui

𝜖𝑛+1 = 𝐷𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐷 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 ≤ 𝐶 𝜖𝑛 .


𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 Untuk 𝑛 = 2, diperoleh

𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 Untuk 𝑛 = 3, diperoleh

𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮


0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim𝑛→∞

0 ≤ lim𝑛→∞


𝐶 𝑛−1 𝜖1 .

Karena lim𝑛→∞

𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0, maka menurut

Teorema Apit lim𝑛→∞

𝜖𝑛 = 0, dan karena

lim𝑛→∞


𝜖𝑛 = 0, sehingga dari sini

diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Akibatnya karena 휁𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan

𝑥𝑛−1, maka diperoleh

𝑥𝑛 < 휁𝑛 < 𝑥𝑛−1

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 < lim𝑛→∞

휁𝑛 < lim𝑛→∞

𝑥𝑛−1 .

Menurut Teorema Apit, karena

lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = lim𝑛→∞

𝑥𝑛−1 = 𝛼, maka lim𝑛→∞ 휁𝑛

= 𝛼.

Dari sini diperoleh

𝜖𝑛+1 =1

𝑓′ 𝛼

12

𝑓′′ 𝛼 𝜖𝑛𝜖𝑛−1.

Selanjutnya akan ditentukan derajat

kekonvergenannya. Misalkan 𝜖𝑛+1

𝜖𝑛 𝑠1= 𝐶

di mana 𝑠1 adalah derajat kekonvergenan dan 𝐶 konstanta galat asimptotik, atau dapat juga

dituliskan 𝑥𝑛+1 − 𝛼 = 𝐶 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑠1 .

Persamaan di atas akan digunakan untuk

menentukan derajat kekonvergenan metode ini.

3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode

Tali Busur

Selanjutnya akan dibahas analisis

barisan akar 𝑥𝑛 𝑛=0∞ yang dihasilkan melalui

persamaan iterasi generalisasi metode tali

Busur. Kekonvergenan ini dapat dilihat pada

Teorema 12 berikut.

Teorema 12 (Kekonvergenan Generalisasi

Metode Tali Busur)

Diberikan 𝛼 merupakan solusi dari persamaan

𝑓(𝑥) = 0 dan 𝜖𝑛 menyatakan galat hampiran

ke-𝑛. Asumsikan 𝑓 ∈ 𝐶𝑘+1(𝐼), di mana 𝐼

interval terbuka yang mengandung 𝛼 dan

asumsikan juga 𝑓′ 𝛼 ≠ 0. Diberikan

𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 merupakan nilai awal, dan

menghasilkan 𝑥𝑛 , 𝑛 = 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, …, dengan

persamaan iterasi

19

19


𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛

;

di mana 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . .., maka barisan 𝑥𝑛 𝑛=0

∞ yang dihasilkan konvergen ke 𝛼, dan

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0

= −1 𝑘+1

𝑘 + 1 ! 𝑓𝑘+1 𝛼

𝑓′ 𝛼 ≡ 𝐿;

𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, ∀𝑛 . Misalkan 𝑠𝑘 adalah derajat kekonvergenan, dan

1 < 𝑠𝑘 < 2, di mana 𝑠𝑘 merupakan akar positif

dari 𝑠𝑘+1 = 𝑠𝑖𝑘𝑖=0 dan sesuai persamaan

2 − 2 –𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1; lim

𝑘→∞𝑠𝑘 = 2,

di mana e adalah basis logaritma natural dan

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 ∕𝑘 .

(Sidi 2007)

Bukti: (disajikan pada Lampiran 1) Dari Teorema 12 diketahui bahwa

kekonvergenan generalisasi metode Tali Busur

relatif lebih cepat dibandingkan dengan metode

Tali Busur dan relatif sama dengan metode

Newton-Raphson. Derajat kekonvergenan

generalisasi metode Tali Busur ini bergantung

pada 𝑘 nilai awal yang ditentukan. Semakin

besar 𝑘, maka derajat kekonvergenan metode

ini semakin mendekati kuadratik (Sidi 2007).

Hal ini tidaklah selalu benar, sangat tergantung pada pemilihan nilai awal.

3.3 Contoh Numerik

Pada subbab ini akan diterapkan

generalisasi metode Tali Busur, di mana

metode ini hanya menggunakan nilai awal

sampai 𝑘 = 2 atau penggunaan selisih terbagi

hanya sampai yang kedua. Hal ini dilakukan

untuk memermudah analisis

kekonvergenannya. Sebagai pembanding untuk

melihat kecepatan kekonvergenannya akan digunakan metode lain, yaitu metode Newton-

Raphson dan metode Tali Busur.

Dengan menggunakan algoritme

pencarian akar yang telah ditentukan

sebelumnya, diperoleh program pencarian akar

dengan metode Newton-Raphson, metode Tali


Ketiga program ini digunakan untuk

menentukan akar 𝑓(𝑥). Contohnya untuk

menentukan akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥 2−2 − 1, yang solusinya adalah 𝛼 = 0.866873543487685.

3.3.1 Contoh dengan Metode Newton-

Raphson

Algoritme 1 akan diimplementasikan

dalam program pencarian akar dengan

menggunakan software Matlab. Program

disajikan pada Lampiran 2 untuk menentukan

akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan

solusi 𝛼 = 0.866873543487685, dan nilai

awal 𝑥0 = 0.1, maksimum iterasi 𝑁 = 100, dan

batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasinya dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 2 Ilustrasi metode Newton-Raphson

Iterasi

Ke- Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙𝟐−𝟐 − 𝟏

Hampiran akar Selisih mutlak hampiran

1 2.600218575884343 2.500218575884343

2 2.426600259970995 0.173618315913348

3 2.242991672103380 0.183608587867615

4 2.047916317598964 0.195075354504416

5 1.840004601601038 0.207911715997926

6 1.618989165091132 0.221015436509906

7 1.388668006975518 0.230321158115614

8 1.164100012889030 0.224567994086488

9 0.981747018725197 0.182352994163833

10 0.886763397414741 0.094983621310456

11 0.867518289880120 0.019245107534621

12 0.866874231824007 0.000644058056113

13 0.866873543488470 0.000000688335537

14 0.866873543487685 0.000000000000785

Akar sebenarnya adalah 𝛼 =0.866873543487685. Hampiran akar yang

diperoleh dari proses iterasi konvergen ke

0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa

tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan

hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya

galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0.

Selanjutnya dari contoh di atas akan

dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin

dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat

pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih

ke akar sebenarnya dengan kecepatan

kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini

dilihat dari semakin sedikit iterasi yang

dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya.

Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut.

20

20

Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap

banyaknya iterasi pada metode

Newton-Raphson

No Nilai awal

𝒙𝟎

Banyaknya

iterasi

1 0.1 14

2 0.2 11

3 0.3 10

4 0.4 8

5 0.5 7

6 0.6 6

7 0.7 6

8 0.8 5

Dari tabel di atas, diketahui bahwa

semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan

semakin sedikit atau hampiran akar yang

diperoleh semakin cepat konvergen ke akar

sebenarnya.

3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur

Dengan menggunakan Algoritme 2 dapat

diperoleh program metode Tali Busur. Program

disajikan pada Lampiran 3 untuk menentukan

akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan

solusi 𝛼 = 0.866873543487685, dan nilai

awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, maksimum iterasi

𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasinya dapat dilihat dalam tabel

berikut.

Tabel 4 Ilustrasi metode Tali Busur

Iterasi

Ke- Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙𝟐−𝟐 − 𝟏

Hampiran akar Selisih mutlak

hampiran

1 2.329480661498825 2.129480661498825

2 0.204979952966205 2.124500708532620

3 0.209935202802368 0.004955249836163

4 2.068405703134396 1.858470500332028

5 0.226008365937093 1.842397337197304

6 0.241802415334364 0.015794049397271

7 1.954771393830092 1.712968978495728

8 0.266632050737302 1.688139343092790

9 0.290734393114400 0.024102342377099

10 1.777893597293117 1.487159204178716

11 0.336743183019225 1.441150414273891

12 0.379866446228140 0.043123263208915

13 1.509250575181494 1.129384128953354

14 0.478826798989551 1.030423776191944

15 0.560289104098675 0.081462305109124

16 1.128268818527795 0.567979714429120

17 0.739670411338161 0.388598407189634

18 0.816297150429572 0.076626739091411

19 0.878330886413819 0.062033735984248

20 0.865898622003941 0.012432264409878

21 0.866855118153935 0.000956496149994

22 0.866873573260298 0.000018455106364

23 0.866873543486776 0.000000029773523

24 0.866873543487685 0.000000000000909

Akar sebenarnya adalah 𝛼 =0.866873543487685. Hampiran akar yang

diperoleh dari proses iterasi konvergen ke 0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa

tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan



Untuk menentukan derajat

kekonvergenan, gunakan contoh yang telah

diperoleh pada Tabel 4 dengan 𝛼 =

0.866873543487685. Dari kolom kedua pada Tabel 2 diperoleh 0.011457342926134

= 𝐶 0.050576393058113 𝑠1 0.050576393058113

= 𝐶 0.127203132149524 𝑠1 untuk 𝑛 = 18 dan 𝑛 = 17 berturut-turut.

Dengan membagi kedua persamaan di atas

diperoleh

0.226535389998440 = 0.397603362460146 𝑠1

Dari sini diperoleh derajat kekonvergenan

metode Tali Busur, yaitu log 0.226535389998440

log 0.397603362460146 = 𝑠1

= 1.609946373008582 ⋯.

21

21

Nilai ini hampir sama dengan nilai eksak

𝑠1 = 1.618 ⋯ (Sahid 2005). Kecepatan dalam

mencapai kekonvergenan pada metode Tali

Busur ini, secara umum berada di antara

metode Bagi Dua (linear) dan metode Newton-

Raphson (kuadratik).

Dari analisis kekonvergenan metode

Newton-Raphson dan metode Tali Busur,

diketahui bahwa metode Newton-Raphson

memunyai derajat kekonvergenan yang lebih besar atau lebih cepat konvergen ke akar.

Dari ilustrasi di atas menunjukkan

bahwa metode Tali Busur tidak lebih cepat

konvergen ke akar dibandingkan dengan

metode Newton-Raphson. Akan tetapi, hal ini

tidaklah selalu benar, sangat tergantung pada

pemilihan nilai awal.




pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih ke akar sebenarnya dengan kecepatan





Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap

banyaknya iterasi pada metode Tali

Busur

No Nilai Awal Banyaknya

Iterasi 𝑥0 𝑥1

1 0.1 0.2 24

2 0.2 0.3 16

3 0.3 0.4 12

4 0.4 0.5 10

5 0.5 0.6 9

6 0.6 0.7 8

7 0.7 0.8 6

Dari tabel di atas, diketahui bahwa semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar

sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan

semakin sedikit atau hampiran akar yang

diperoleh semakin cepat konvergen ke akar

sebenarnya.

3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode

Tali Busur

Dengan menggunakan Algoritme 3 dapat

diperoleh program generalisasi metode Tali

Busur. Program disajikan pada Lampiran 4

untuk menentukan akar dari 𝑓(𝑥) =

(𝑥 + 1)2𝑒𝑥2−2 − 1, yang solusinya adalah

𝛼 = 0.866873543487685, dengan nilai awal

𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, maksimum iterasi

𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasi metode ini dapat dilihat

dalam tabel berikut.

Tabel 6 Ilustrasi generalisasi metode Tali Busur

Iterasi

ke- Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙𝟐−𝟐 − 𝟏

Hampiran akar Selisih mutlak

hampiran

1 1.241618118582198 1.087862542916627

2 1.222380906028619 0.019237212553579

3 1.091121603581428 0.131259302447191

4 0.976234727891453 0.114886875689975

5 0.908803572894221 0.067431154997232

6 0.875828727133999 0.032974845760222

7 0.867664390677719 0.008164336456280

8 0.866888736538335 0.000775654139384

9 0.866873569065500 0.000015167472835

10 0.866873543488509 0.000000025576992

11 0.866873543487685 0.000000000000824

Akar sebenarnya adalah 𝛼 =

0.866873543487685. Hampiran akar yang

diperoleh dari proses iterasi konvergen ke

0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan



Langkah-langkah yang akan dilakukan

adalah sebagai berikut. Langkah pertama

adalah memilih dua nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan

𝑥1 = 0.2, kemudian menghitung 𝑥2 menggunakan metode Tali Busur, yaitu

𝑥2 = 𝑥1 −𝑓 𝑥1

𝑓 𝑥0 , 𝑥1 .

Dari sini diperoleh tiga nilai awal, yaitu

𝑥0 = 0.1, 𝑥1 = 0.2 dan 𝑥2 = 2.329480661498825

yang akan digunakan untuk menentukan

hampiran akar selanjutnya. Hampiran

selanjutnya 𝑥3 , 𝑥4 , ⋯ diperoleh dengan

persamaan 𝑥𝑛+1

= 𝑥𝑛

−𝑓 𝑥𝑛

𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ,𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ,

untuk 𝑛 = 2,3, ….

Hasil perhitungan ini dapat dikonfirmasi pada Tabel 6, untuk memverifikasi hasil teoritis

tentang metode iteratif dengan ketelitian yang

lebih besar, perlu menggunakan komputer

22

22

aritmatika presisi yang tinggi (lebih baik,

presisi variabel, jika tersedia).

Beralih pada analisis kekonvergenan

generalisasi metode Tali Busur, dari Lampiran

4 diketahui bahwa generalisasi metode Tali

Busur hanya memerlukan 11 iterasi untuk

mencapai kekonvergenan. Pada Lampiran 2,

yaitu menggunakan metode Newton–Raphson

memerlukan 14 iterasi. Dari sini terlihat bahwa

generalisasi metode Tali Busur memiliki

derajat kekonvergenan yang relatif hampir sama dengan metode Newton-Raphson. Dari

Teorema 12 diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛𝜖𝑛−1𝜖𝑛−2

= −1 3

3!

𝑓(3) 0.8669.

𝑓′ 0.8669.

= −0.010308 ⋯ dan

lim𝑛→∞

log 𝜖𝑛+1/𝜖𝑛

log 𝜖𝑛/𝜖𝑛−1 = 𝑠2

= 1.628536084576705 ⋯. Nilai ini tidak jauh berbeda dengan nilai eksak

𝑠2 ≈ 1.63 ⋯ (Sidi 2007). Derajat kekonvergenan ini di antara metode Tali Busur

(𝑠1 ≈ 1.60 ⋯) dan metode Newton-Raphson

(kuadratik).

Program yang digunakan diperoleh

dengan menggunakan software Matlab.

Perhitungan dengan menggunakan program

memiliki keakuratan yang baik. Karena

hampiran akar yang diperoleh sama dengan

akar sebenarnya, maka generalisasi metode Tali

Busur ini memiliki galat hampiran yang hampir

nol, atau persentase tingkat kesalahannya nol persen.




pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih

ke akar sebenarnya dengan kecepatan





Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB

No Nilai Awal Banyaknya

Iterasi 𝑥0 𝑥1

1 0.1 0.2 11

2 0.2 0.3 10

3 0.3 0.4 8

4 0.4 0.5 7

5 0.5 0.6 7

6 0.6 0.7 6

7 0.7 0.8 5

Dari tabel di atas, diketahui bahwa

semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar

sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan

semakin sedikit atau hampiran akar yang diperoleh semakin cepat konvergen ke akar

sebenarnya.

Selanjutnya akan dibahas perbandingan

antara metode Newton-Raphson, metode Tali


Perbandingan ketiga metode ini dapat dilihat

dalam tabel berikut.

23

23

Tabel 8 Hasil perolehan akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan metode Newton-

Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur .

Iterasi

ke Metode Newton-Raphson Metode Tali Busur

Generalisasi Metode Tali

Busur

1 2.600218575884343 2.329480661498825 1.241618118582198

2 2.426600259970995 0.204979952966205 1.222380906028619

3 2.242991672103380 0.209935202802368 1.091121603581428

4 2.047916317598964 2.068405703134396 0.976234727891453

5 1.840004601601038 0.226008365937093 0.908803572894221

6 1.618989165091132 0.241802415334364 0.875828727133999

7 1.388668006975518 1.954771393830092 0.867664390677719

8 1.164100012889030 0.266632050737302 0.866888736538335

9 0.981747018725197 0.290734393114400 0.866873569065500

10 0.886763397414741 1.777893597293117 0.866873543488509

11 0.867518289880120 0.336743183019225 0.866873543487685

12 0.866874231824007 0.379866446228140

13 0.866873543488470 1.509250575181494

14 0.866873543487685 0.478826798989551

15 0.560289104098675

16 1.128268818527795

17 0.739670411338161

18 0.816297150429572

19 0.878330886413819

20 0.865898622003941

21 0.866855118153935

22 0.866873573260298

23 0.866873543486776

24 0.866873543487685

Dari Tabel 8 terlihat bahwa generalisasi

metode Tali Busur memiliki kekonvergenan

yang relatif lebih cepat dibandingkan dengan

metode Tali Busur dan relatif sama dengan


IV SIMPULAN

Dari analisis kekonvergenan diketahui

bahwa kekonvergenan barisan hampiran akar

yang diperoleh dengan generalisasi metode Tali

Busur relatif cepat. Derajat kekonvergenan generalisasi

metode Tali Busur untuk nilai awal sampai

𝑘 = 2 adalah 𝑠2 = 1.63 ⋯, ini lebih besar dari

pada metode Tali Busur yang memiliki

kekonvergenan 𝑠1 = 1.60 ⋯ dan semakin

mendekati kekonvergenan metode Newton-

Raphson dengan semakin besarnya 𝑘. Kecepatan kekonvergenan metode-metode

tersebut dipengaruhi oleh nilai awal yang

ditentukan, semakin dekat nilai awal yang

dipilih dengan akar sebenarnya, maka metode

pencarian akar tersebut akan semakin cepat.

24

24

V DAFTAR PUSTAKA

Atkinson KE. & Weimin Han. 2003.

Elementary Numerical Analysis, second

edition. Singapore: John Wiley & Sons,

Inc.

Bartle RG. 1964. The Element of Real

Analysis. New York: John Wiley &

Sons, Inc.

Burden RL. & J. Douglas Faires. 1993.

Numerical Analysis, fifth edition.

Boston: PWA-KENT Publishing Company..

Cheney W. & D. Kincaid. 1994. Numerical

Mathematics and Computing, third

edition. California: Brooks/Cole

Publishing Co., Pacific Grove.

Goldberg RR. 1976. Methods of Real Analysis,

second edition. New York: John Wiley

& Sons, Inc.

Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung:

Penerbit Informatika.

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik

dengan Matlab. Yogyakarta: Penerbit

Andi.

Sidi Avram. 2007. Generalization of the

Secant Method for Nonlinear Equations: Applied Mathematics E-Notes, 8(2008),

115-123.

Traub JF. 1964. Iterative Methods for the

Solution of Equations. Englewood

Cliffts, N.J: Prentice Hall, Inc.

25

25

LAMPIRAN

26

26

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12

Akan dibuktikan:

i. Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼

ii. li𝑚𝑛→∞𝜖𝑛 +1


= −1 𝑘+1

𝑘+1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑓 ′ 𝛼 ≡ 𝐿;

iii. 2 − 2−𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2−𝑘−1; untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1; lim

𝑘→∞𝑠𝑘 = 2

iv. lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 +1

𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘

Bukti:

i. Akan dibuktikan: barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼.

⟺ lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝛼

⟺ lim𝑛→∞

𝜖𝑛 = 0 karena 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 .

Penyelesaian:

Dimulai dengan menurunkan persamaan galat hampiran 𝑥𝑛+1. Karena 𝑓 𝛼 = 0 diperoleh

𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼

=𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼

𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼

= 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 . Misalkan 𝜖𝑛 menyatakan galat hampiran pada iterasi ke-𝑛 dan 𝛼 adalah akar sebenarmya, maka

𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 dan

𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼

= 𝑥𝑛 − 𝛼 −𝑓 𝑥𝑛


= (𝑥𝑛 − 𝛼) −𝑓(𝑥𝑛 )


= 𝑥𝑛 − 𝛼 −𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼


𝑥𝑛 − 𝛼

= 1 −𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼


𝑥𝑛 − 𝛼

=𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼


𝑥𝑛 − 𝛼 . (21)

Selanjutnya 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 pada persamaan di atas dapat dijabarkan sebagai berikut

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 +𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼

= 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛

(1)

+ 𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 (2)

. (22)

Sisi kanan dari persamaan (22) dapat dibagi menjadi dua bagian, bagian kedua dari sisi kanan dapat

dituliskan sebagai berikut

𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 (karena Teorema 3)

=𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼

𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼

= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ,𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 (karena Definisi 10)

=𝑓 2 휂𝑛

2! 𝑥𝑛 − 𝛼 , (karena Lema 4)

untuk 휂𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝛼. Bagian pertama dari sisi kanan persamaan (22) dapat dituliskan sebagai berikut

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 = − 𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛 .

Dari Lema 3 diperoleh persamaan galat interpolasi, yaitu

27

27

𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

=𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 .

Sehingga turunannya adalah

𝑓′ 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥 =

𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯

+𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘

+𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 .

Untuk 𝑥 = 𝑥𝑛 , diperoleh

𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 =

𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯

+𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 +

𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘

=𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘

=𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑖 ,

𝑘

𝑖=1

(23)

untuk 𝜉𝑛 di antara 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 .

Karena 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, hal ini mengakibatkan 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 pada persamaan (22)

dapat didefinisikan menjadi

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = −

𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛

𝑘 + 1 ! 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 +

𝑓 2 휂𝑛

2! 𝜖𝑛 . (24)

𝑘

𝑖=1

Sehingga dengan menyubstitusikan persamaan (23) dan (24) pada persamaan (21) diperoleh

𝜖𝑛+1 =−

𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛 𝑘 + 1 !

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 +𝑓 2 휂𝑛

2! 𝜖𝑛𝑘𝑖=1

𝑓′ 𝑥𝑛 −𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛 𝑘 + 1 !

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1

𝜖𝑛 .

Selanjutnya definisikan

𝐷 𝑛 = −𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛

𝑘 + 1 ! dan 𝐸 𝑛 =

𝑓 2 휂𝑛

2!. (25)

Akhirnya diperoleh

𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛𝜖𝑛 ; di mana 𝐶𝑛 ≡𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼


=𝐷 𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝐸 𝑛 𝜖𝑛

𝑘𝑖=1

𝑓′ 𝑥𝑛 + 𝐷 𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1

. (26)

Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan

𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) dengan 𝑇 > 0, sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼|𝑓′(𝑥)| > 0. Hal ini dimungkinkan karena

𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓′ 𝛼 ≠ 0. Diberikan 𝑀𝑠 = max𝑥∈𝐼 𝑓 𝑠 𝑥

𝑠!, 𝑠 = 1, 2, ⋯, dan pilih interval 𝐽 = (𝛼 −

𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2. Selanjutnya akan

dibuktikan jika 𝑥𝑛−𝑖 , dengan 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑘 di J, maka

𝐶𝑛 ≤𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑀2 𝜖𝑛 𝑘

𝑖=1

𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1

≤𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑀2 𝜖𝑛 𝑘

𝑖=1

𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1

≤ 𝐶 < 1.

Karena 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑘, di J, maka

𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2

−𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2

0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝑡/2, ∀𝑛.

Dari sini diperoleh

28

28

𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 ≤ 𝑡 × 𝑡 ×. . .× 𝑡 𝑘 𝑘𝑎𝑙𝑖

𝑘

𝑖=1

= 𝑡𝑘 .

Sehingga 𝐶 dapat dituliskan sebagai

𝐶 =𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2

𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘.

Selanjutnya akan ditunjukkan 𝐶 < 1, karena 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) dipilih cukup kecil sehingga

berlaku 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2, maka dengan menggunakan

𝑚1 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2

𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘 1

𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘<

1

2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘

𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2



2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘






𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘< 1.

Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 ,∀𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0∞ turun. Karena 0 ≤ 𝜖𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0

∞ terbatas di

bawah dan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ turun, maka menurut Teorema 6 maka 𝜖𝑛 𝑛=0

∞ konvergen. Dari persamaan

(26) diketahui

𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 ≤ 𝐶 𝜖𝑛 .


𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 Untuk 𝑛 = 2, diperoleh

𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 Untuk 𝑛 = 3, diperoleh

𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮


0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim𝑛→∞

0 ≤ lim𝑛→∞


𝐶 𝑛−1 𝜖1 .

Menurut Teorema Apit jika lim𝑛→∞ 0 = lim𝑛→∞

𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0, maka lim𝑛→∞

𝜖𝑛 = 0. Karena diketahui

lim𝑛→∞


𝜖𝑛 = 0, maka dari sini diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼.

Dengan demikian (i) terbukti.

ii. Selanjutnya akan dibuktikan:

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛−𝑖∞𝑖=0

= −1 𝑘+1

𝑘 + 1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑓′ 𝛼 ≡ 𝐿.

Penyelesaian:

Diketahui 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 𝐼 , di mana 𝐼 = 𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇 ; 𝑇 > 0, maka diperoleh 𝑓 kontinu di 𝛼. Menurut

Teorema 8 jika diketahui lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼 dan fungsi 𝑓 kontinu di 𝛼, maka 𝑓 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke

𝑓 𝛼 . Selanjutnya perhatikan bahwa

lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼

𝑥𝑛 − 𝛼= 𝑓′ 𝛼 menurut definisi turunan

lim𝑛→∞

𝑓 𝛼, 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 karena Definisi 10

29

29

lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑓′ 𝛼 . karena Teorema 2

Dari Lema 3 diketahui

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 −

𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘

+𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 + ⋯

+𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .

Untuk 𝑥 = 𝑥𝑛 diperoleh

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘

+𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 + ⋯

+𝑓 𝑘+1 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝑥𝑛 −

𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘

Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼, maka diperoleh

lim𝑛→∞

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = lim

𝑛→∞𝑓′ 𝑥𝑛 − lim

𝑛→∞

𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 !lim𝑛→∞

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 lim𝑛→∞

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ lim𝑛→∞

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘

lim𝑛→∞

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 −

𝑓(𝑘+1) 𝜉

𝑘 + 1 ! 𝛼 − 𝛼 𝛼 − 𝛼 ⋯ 𝛼 − 𝛼 (karena Teorema 9)

lim𝑛→∞

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 .

Akibatnya diperoleh

lim𝑛→∞

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 = lim

𝑛→∞𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 . (27)

Dari sini karena 𝐶𝑛 =𝑝𝑛 ,𝑘

′ 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼


, maka hal ini mengakibatkan

lim𝑛→∞

𝐶𝑛 =lim𝑛→∞

𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − lim

𝑛→∞𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼

lim𝑛→∞


=lim𝑛→∞


lim𝑛→∞


−lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼

lim𝑛→∞


=𝑓′ 𝛼

𝑓′ 𝛼 −

𝑓′ 𝛼

𝑓′ 𝛼 = 0.

Selanjutnya karena 𝜖𝑛 +1

𝜖𝑛= 𝐶𝑛 , maka

lim𝑛→∞

(𝜖𝑛+1/𝜖𝑛) = 0 , ∀𝑛.

Atau menurut Definisi 15 𝜖𝑛+1 = 𝑜(𝜖𝑛), saat 𝑛 → ∞. Akibatnya menurut Teorema 5 𝜖𝑛+1 = 𝑂 𝜖𝑛 , saat 𝑛 → ∞. Karena diketahui 1 < 𝑠𝑘 < 2, maka 𝑥𝑛 𝑛=0

∞ konvergen dengan derajat lebih besar 1.

Sebagai akibat lim𝑛→∞(𝜖𝑛+1/𝜖𝑛 ) = 0 , ∀𝑛 diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

= 0 , lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−2

= 0 , lim𝑛→∞

𝜖𝑛−2

𝜖𝑛−3

= 0 , ⋯ , lim𝑛→∞

𝜖𝑛−𝑖+1

𝜖𝑛−𝑖

= 0.

Dari sini diperoleh

30

30

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−2

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−2

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−2

= 0

dan seterusnya. Akhirnya diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−2

lim𝑛→∞

𝜖𝑛−2

𝜖𝑛−3

⋯ lim𝑛→∞

𝜖𝑛−𝑘+1

𝜖𝑛−𝑘

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−2

𝜖𝑛−2

𝜖𝑛−3

⋯𝜖𝑛−𝑖+1

𝜖𝑛−𝑖

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

= 0 ; ∀𝑖 > 1,

dan

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑗

= 0 ; 𝑗 < 𝑖.

Dari sini diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑗

=lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑗

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

lim𝑛→∞

𝜖𝑛−𝑗

𝜖𝑛

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛−𝑗

𝜖𝑛

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛−𝑗

𝜖𝑛−𝑖

= 0.

Menurut Definisi 15 dapat dituliskan 𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖= 𝑜

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑗 ; 𝑛 → ∞ dan 𝑗 < 𝑖. Selanjutnya perhatikan

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

=lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛

= lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−𝑖

= 0.

Menurut Definisi 15 dapat dituliskan 𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖= 𝑜

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 ; 𝑛 → ∞. Perhatikan juga bahwa

lim𝑛→∞

− 𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

=lim𝑛→∞

−𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

= lim𝑛→∞

−𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛

= lim𝑛→∞

−𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛

= − lim𝑛→∞

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛−𝑖

= 0.

Menurut Definisi 15 dapat dituliskan − 𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖 = 𝑜

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 ; 𝑛 → ∞, atau menurut Teorema 5 dapat

juga dituliskan −𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖= 𝑂

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 . Selanjutnya dengan memperluas hasil 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖

𝑘𝑖=1 pada

persamaan (26) diperoleh

𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

= −𝜖𝑛−𝑖 + 𝜖𝑛

𝑘

𝑖=1

31

31

= −𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛/𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

= −1 𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛 /𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

= −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛/𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

= −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

= −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

untuk 𝑛 → ∞. (28)

Sekarang definisikan

𝐷𝑛 =𝐷 𝑛


dan 𝐸𝑛 =𝐸 𝑛


. (29)

Dengan menyubstitusikan persamaan (28) dan (29) pada persamaan (26) akan diperoleh

𝜖𝑛+1 = 𝐷 𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝐸 𝑛 𝜖𝑛

𝑘𝑖=1


𝜖𝑛

= 𝐷 𝑛


𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

+𝐸 𝑛


𝜖𝑛 𝜖𝑛

= 𝐷𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛2 (karena persamaan (29))

= 𝐷𝑛 −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=1

1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛2 (karena persamaan (28))

= −1 𝑘𝐷𝑛 𝜖𝑛−𝑖

𝑘

𝑖=0

1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+ 𝐸𝑛𝜖𝑛2


𝑘

𝑖=0

1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛2; untuk 𝑛 → ∞.

Dengan membagi kedua ruas persamaan di atas dengan 𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0 , diperoleh

𝜖𝑛+1



𝑘𝑖=1 1 + 𝑂

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛

2



𝑘𝑖=0


1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+𝐸𝑛𝜖𝑛

2


= −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+𝐸𝑛𝜖𝑛

2


; untuk 𝑛 → ∞. (30)

Dari sini didefinisikan 𝜎𝑛 , yaitu

𝜎𝑛 =𝜖𝑛+1


. (31)

Ganti indeks 𝑛 dengan 𝑛 − 1 pada persamaan di atas, diperoleh

𝜎𝑛−1 =𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖−1𝑘𝑖=0

.

Dari sini diperoleh

32

32

𝜖𝑛 = 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑖−1

𝑘

𝑖=0

.

Sehingga 𝜖𝑛

2


pada persamaan (30) dapat dituliskan

𝜖𝑛2


=𝜖𝑛𝜖𝑛

𝜖𝑛 𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=1

=𝜖𝑛


=𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑖−1

𝑘𝑖=0


=𝜎𝑛−1𝜖𝑛−1𝜖𝑛−2 …𝜖𝑛−𝑘𝜖𝑛−𝑘−1

𝜖𝑛−1𝜖𝑛−2 … 𝜖𝑛−𝑘

= 𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 . Akhirnya persamaan (30) dapat dituliskan

𝜎𝑛 = −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+ 𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 ; 𝑛 → ∞. (32)

Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼 dan 𝜉𝑛 di antara 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka dari persamaan (25) diperoleh

lim𝑛→∞

𝐷 𝑛 = lim𝑛→∞

−𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛

𝑘 + 1 !

=−𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑘 + 1 ! (33)

dan karena 휂𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝛼, maka

lim𝑛→∞

𝐸 𝑛 = lim𝑛→∞

𝑓(2) 휂𝑛

2!

=𝑓(2) 𝛼

2𝑓′ 𝛼 . (34)

Selanjutnya perhatikan bahwa

lim𝑛→∞

𝐷𝑛 = lim𝑛→∞

𝐷 𝑛


=lim𝑛→∞

𝐷 𝑛

lim𝑛→∞


= −1

𝑘 + 1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

lim𝑛→∞


= −1

𝑘 + 1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑓′ 𝛼

dan

lim𝑛→∞

𝐸𝑛 = lim𝑛→∞

𝐸 𝑛


=lim𝑛→∞

𝐸 𝑛

lim𝑛→∞


=𝑓(2) 𝛼

2! lim𝑛→∞


=𝑓(2) 𝛼

2𝑓′ 𝛼 .

Akhirnya diperoleh

33

33

lim𝑛→∞

𝐷𝑛 = −1

𝑘 + 1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑓′ 𝛼 dan lim

𝑛→∞𝐸𝑛 =

𝑓(2) 𝛼

2𝑓′ 𝛼 . (35)

Akibatnya menurut Teorema 5, 𝐷𝑛 terbatas. Selanjutnya karena 𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖= 𝑂

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 , maka terdapat

𝑘 > 0 sehingga 𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖 ≤ 𝑘

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 . Dari sini diperoleh 1 +

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖= 1 + 𝑂

𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 juga terbatas. Karena

𝐷𝑛 terbatas dan 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1 juga terbatas, maka menurut Definisi 12 terdapat 𝐷 > 0 yang

mengakibatkan

𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

≤ 𝐷, ∀𝑛 ∈ 𝑁. (36)

Karena lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 = 0 dan 𝜖𝑛−𝑘−1 merupakan barisan bagian dari 𝜖𝑛 , maka menurut Teorema 9

lim𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0. Selanjutnya karena 𝐸𝑛 barisan terbatas dan lim𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka menurut

Teorema 10 lim𝑛→∞𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0. Akibatnya karena lim𝑛→∞𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka ∃𝑛0 ∈ 𝑁 dan

𝛽 < 1 sehingga 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 ≤ 𝛽, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .

Akhirnya dari persamaan (32) diperoleh

𝜎𝑛 = −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+ 𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1

≤ −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1


= −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+ 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 𝜎𝑛−1

= 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1

+ 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 𝜎𝑛−1

≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛−1 ; ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . (37)

Karena 𝑛 ≥ 𝑛0 , maka 𝑛 = 𝑛0 + 𝑠 ; 𝑠 = 1,2, ⋯, jika disubstitusikan pada persamaan di atas diperoleh

𝜎𝑛0+𝑠 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0+𝑠−1 ; untuk 𝑠 = 1,2, ⋯.

Untuk 𝑠 = 1, diperoleh

𝜎𝑛0+1 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0 .


𝜎𝑛0+2 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0+1

≤ 𝐷 + 𝛽 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0

= 𝐷 + 𝐷𝛽 + 𝛽2 𝜎𝑛0

= 𝐷 1 + 𝛽 + 𝛽2 𝜎𝑛0

= 𝐷 1 + 𝛽 1 − 𝛽

1 − 𝛽+ 𝛽2 𝜎𝑛0

= 𝐷1 − 𝛽2

1 − 𝛽+ 𝛽2 𝜎𝑛0

.


𝜎𝑛0+3 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0+2

≤ 𝐷 + 𝛽 𝐷1 − 𝛽2

1 − 𝛽+ 𝛽2 𝜎𝑛0

= 𝐷 + 𝛽𝐷1 − 𝛽2

1 − 𝛽+ 𝛽3 𝜎𝑛0

= 𝐷(1 + 𝛽)1 − 𝛽2

1 − 𝛽+ 𝛽3 𝜎𝑛0

= 𝐷1 + 𝛽 − 𝛽2 − 𝛽3

1 − 𝛽+ 𝛽3 𝜎𝑛0

Karena 𝛽 < 1, maka 𝛽2 < 1, akibatnya

34

34

𝛽 − 𝛽2 < 0

1 + 𝛽 − 𝛽2 − 𝛽3 < 1 − 𝛽3 . Dari sini diperoleh

𝜎𝑛0+3 ≤ 𝐷1 − 𝛽3

1 − 𝛽 + 𝛽3 𝜎𝑛0

dan seterusnya. Akhirnya secara umum dapat dituliskan

𝜎𝑛0+𝑠 ≤ 𝐷1 − 𝛽𝑠

1 − 𝛽+ 𝛽𝑠 𝜎𝑛0

, 𝑠 = 1, 2, ⋯.

Dari fakta 𝛽 < 1, hal ini mengakibatkan

𝜎𝑛0+𝑠 ≤1

1 − 𝛽𝐷, ∀𝑠.

atau {𝜎𝑛 } barisan terbatas. Akibatnya karena 𝜎𝑛−1 terbatas dan lim𝑛→∞ 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka menurut Teorema 10 diperoleh

lim𝑛→∞

𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1𝜎𝑛−1 = 0.

Substitusikan pada persamaan (32), sehingga diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1


= lim𝑛→∞

−1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛

𝜖𝑛−1


= −1 𝑘 lim𝑛→∞

𝐷𝑛 1 + lim𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

+ lim𝑛→∞

𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1

= −1 𝑘 −1 1

𝑘 + 1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑓′ 𝛼 + lim

𝑛→∞𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 (karena lim

𝑛→∞

𝜖𝑛

𝜖𝑛−𝑖

= 0)

= −1 𝑘+11

𝑘 + 1 !

𝑓(𝑘+1) 𝛼

𝑓′ 𝛼 (karena lim

𝑛→∞𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 = 0)

≡ 𝐿. Dengan demikian (ii) terbukti.

iii. Selanjutnya akan dibuktikan:

2 − 2−𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2−𝑘−1; untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1; lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 2.

Penyelesaian:

Untuk membuktikan persamaan di atas, misalkan derajat kekonvergenan adalah 𝑠𝑘 . Selanjutnya

misalkan 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan

𝑔𝑘 ,𝑎 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖

𝑘

𝑖=0

.

Untuk 𝑎 = 1, diperoleh

𝑔𝑘 ,𝑎 = 𝑠𝑘+1 − 𝑠𝑖 .

𝑘

𝑖=0

(38)

Dari Lema 5 diketahui persamaan di atas memunyai akar positif 𝑠𝑘 dan

max 1,𝑎 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1

1 < 𝑠𝑘 < 2 (karena 𝑎 = 1) Selanjutnya jabarkan persamaan (38), untuk 𝑘 = 1 diperoleh

𝑠2 = 𝑠𝑖

1

𝑖=0

= 𝑠0 + 𝑠1 .

Untuk 𝑘 = 2 diperoleh

𝑠3 = 𝑠𝑖

2

𝑖=0

= 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 = 2 𝑠0 + 𝑠1 = 2𝑠2 .

Untuk 𝑘 = 3 diperoleh

35

35

𝑠4 = 𝑠𝑖

3

𝑖=0

= 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 = 2𝑠3 ,

dan seterusnya, akhirnya secara umum diperoleh

𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1 ; 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 ; 𝑠𝑘+2 = 2𝑠𝑘+1 .

Karena 𝑠𝑘 merupakan akar positif dari 𝑠𝑘+1 , maka

𝑠𝑘 = 𝑠𝑘+1 dan 𝑠𝑘−1 = 𝑠𝑘 . Dari persamaan di atas diperoleh

𝑠𝑘 = 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 = 2 𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1

𝑠𝑘+1 = 𝑠𝑘+2 = 2𝑠𝑘+1 = 2 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 . Sehingga untuk 𝑘 ≥ 2 diperoleh

𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 atau 𝑠𝑘 =1

2𝑠𝑘+1 < 𝑠𝑘+1 .

Dari sini terbukti 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 atau 𝑠𝑘 𝑘=0∞ barisan naik. Karena 𝑠𝑘 𝑘=0

∞ barisan naik dan terbatas di

atas, maka menurut Teorema 6 barisan 𝑠𝑘 𝑘=0∞ konvergen. Selanjutnya akan dibuktikan pertaksamaan

berikut

2 − 2 –𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Untuk membuktikan persamaan tersebut, akan dibuktikan dua hal, yaitu:

a. 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒

b. 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 Bukti:

a. Akan dibuktikan: 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒 Diketahui

𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1 atau 𝑠𝑘−1 =1

2𝑠𝑘

𝑠𝑘−1 = 2𝑠𝑘−2 atau 𝑠𝑘−2 =1

2𝑠𝑘−1 =

1

2

1

2𝑠𝑘 =

1

2𝑠𝑘

𝑠𝑘−2 = 2𝑠𝑘−3 atau 𝑠𝑘−3 =1

2𝑠𝑘−2 =

1

2 2𝑠𝑘

dan

𝑠𝑘 > 1, ∀𝑘. (39)

Karena 𝑠𝑘 barisan naik, maka berlaku

𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−1 > 𝑠𝑘−2 > 𝑠𝑘−3

𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−3 . (40) Dari persamaan (39) dan (40) diperoleh

𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−3 > 1 1

2 2𝑠𝑘 > 1

𝑠𝑘 > 2 2.

Karena diperoleh 𝑠𝑘 > 2 2, maka cukup buktikan 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒, sehingga diperoleh

𝑠𝑘 > 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒 atau 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒. Sekarang akan dibuktikan

2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒

di mana 2 –𝑘−1𝑒 = 2 –(𝑘+1)𝑒 =𝑒

2 𝑘+1=

𝑒

2 ∙ 2 𝑘 ; untuk 𝑘 ≥ 2.

Ambil 𝑘 = 2, maka 2 –𝑘−1𝑒 =𝑒

8=

2.72

8= 0.34, dari sini diperoleh

2 2 > 2 − 0.34 atau 3.3 > 1.66 benar .

Jika 𝑘 → ∞, maka 2 –𝑘−1𝑒 ≈ 0 yang berarti

36

36

2 2 > 2. Dari sini terbukti.

𝑠𝑘 > 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒 atau 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒.

b. Akan dibuktikan: 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 Diketahui

𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 atau 𝑠𝑘 =1

2𝑠𝑘+1 .

Karena 𝑠𝑘 barisan naik, maka 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 , ∀𝑘 dan 𝑠𝑘 < 2, ∀𝑘. Dari sini diperoleh

𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 < 2

2𝑠𝑘 < 2

𝑠𝑘 < 2.

Sehingga dengan membuktikan 2 < 2 − 2 –𝑘−1, maka diperoleh

𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Sekarang akan dibuktikan

2 < 2 − 2 –𝑘−1 . Karena

di mana 2 –𝑘−1 = 2 – 𝑘+1 =1

2 𝑘+1=

1

2 ∙ 2 𝑘 ; untuk 𝑘 ≥ 2.

Ambil 𝑘 = 2, maka 2 –𝑘−1 =1

8= 0.125, dari sini diperoleh

2 < 2 − 0.125 1.3 < 1.875 benar .

Jika 𝑘 → ∞, maka 2 –𝑘−1 ≈ 0 yang berarti

2 < 2. Dari sini terbukti

𝑠𝑘 < 2 < 2 − 2 –𝑘−1 atau 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Dari (a) dan (b) diperoleh

2 − 2 –𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1

lim𝑘→∞

2 − 2 –𝑘−1𝑒 < lim𝑘→∞

𝑠𝑘 < lim𝑘→∞

2 − 2 –𝑘−1

Karena lim𝑘→∞ 2 − 2 –𝑘−1𝑒 = lim𝑘→∞ 2 − 2 –𝑘−1 = 2, maka menurut Teorema Apit lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 2. Dengan demikian (iii) terbukti.

iv. Selanjutnya akan dibuktikan:

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘

Penyelesaian:

Diberikan 𝜎𝑛 = 𝐿, ∀𝑛 akan ditunjukkan 𝜖𝑛+1 = 𝑄 𝜖𝑛 𝑠𝑘 . Misalkan

𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝜖𝑛−𝑖𝑠

𝑘

𝑖=0

di mana 𝑠 bilangan positif dan 𝜖𝑛 → 0, ∀𝑛. Misalkan juga 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan


𝑘

𝑖=0

= 0

maka dari Teorema 11 diperoleh

lim𝑛→∞

𝜖𝑛+1

𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘 .

Dengan demikian (iv) terbukti.

Karena (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti, dengan demikian Teorema 12 terbukti.

37

37

Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai

awal 𝑥0 = 0.1. Dalam M-File: % ------------------------------

% Program Metode Newton-Raphson

% Matlab Programming

% Oleh : Sunarsih

% ------------------------------

clear all; clc;

disp ('-------------------------------');

disp ('Program metode Newton-Raphson');

disp ('-------------------------------');

x0=0.1; %pilih nilai hampiran awal

N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0

gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan

fungsi f(x)terhadap x0

akar=[];

for i=1:N,

x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x)

gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x)

s=abs(x-x0);

akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar

if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen)

break; end

x0=x; fx0=fx; gx0=gx;

end

Tampilan dalam Command Window:

>> newton -------------------------------

Program metode Newton-Raphson

-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 2.600218575884343 2.500218575884343

2.000000000000000 2.426600259970995 0.173618315913348

3.000000000000000 2.242991672103380 0.183608587867615

4.000000000000000 2.047916317598964 0.195075354504416

5.000000000000000 1.840004601601038 0.207911715997926

6.000000000000000 1.618989165091132 0.221015436509906

7.000000000000000 1.388668006975518 0.230321158115614

8.000000000000000 1.164100012889030 0.224567994086488

9.000000000000000 0.981747018725197 0.182352994163833

10.000000000000000 0.886763397414741 0.094983621310456

11.000000000000000 0.867518289880120 0.019245107534621

12.000000000000000 0.866874231824007 0.000644058056113

13.000000000000000 0.866873543488470 0.000000688335537

14.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000785

38

38

Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur

Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai

awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2 Dalam M-File: % -------------------------

% Program metode tali busur


% Oleh : Sunarsih

% -------------------------

clear all; clc;

disp ('--------------------------');

disp ('Program metode tali busur');

disp ('--------------------------');

x0=0.1; x1=0.2; %pilih nilai hampiran awal


fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0;

fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0;

akar=[];

for i=1:N,

x=x1-(q1.*hx0)/gx0;

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1;

s=abs(x-x1);

akar=[akar; i x s];

if (abs(x-x1)<T),

break; end

x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx;

end

Tampilan dalam Command Window: -------------------------- Program metode tali busur -------------------------- >> akar

akar = 1.000000000000000 2.329480661498825 2.129480661498825 2.000000000000000 0.204979952966205 2.124500708532620 3.000000000000000 0.209935202802368 0.004955249836163 4.000000000000000 2.068405703134396 1.858470500332028 5.000000000000000 0.226008365937093 1.842397337197304 6.000000000000000 0.241802415334364 0.015794049397271

7.000000000000000 1.954771393830092 1.712968978495728 8.000000000000000 0.266632050737302 1.688139343092790 9.000000000000000 0.290734393114400 0.024102342377099 10.000000000000000 1.777893597293117 1.487159204178716 11.000000000000000 0.336743183019225 1.441150414273891 12.000000000000000 0.379866446228140 0.043123263208915 13.000000000000000 1.509250575181494 1.129384128953354 14.000000000000000 0.478826798989551 1.030423776191944

15.000000000000000 0.560289104098675 0.081462305109124 16.000000000000000 1.128268818527795 0.567979714429120 17.000000000000000 0.739670411338161 0.388598407189634 18.000000000000000 0.816297150429572 0.076626739091411 19.000000000000000 0.878330886413819 0.062033735984248 20.000000000000000 0.865898622003941 0.012432264409878 21.000000000000000 0.866855118153935 0.000956496149994 22.000000000000000 0.866873573260298 0.000018455106364

23.000000000000000 0.866873543486776 0.000000029773523 24.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000909

40

40

Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1

dengan nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2

Dalam M-File: % -----------------------------------------------

% Program Generalisasi Metode Tali Busur


% Oleh : Sunarsih

% -----------------------------------------------

clear all; clc;

disp ('--------------------------------------------------------');

disp ('Program generalisasi metode tali busur');

disp ('--------------------------------------------------------');

x0=0.1; x1=0.2; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1));

akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2);

hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s];

if abs(x-x2)<T,

break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx;

gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end


>> generalisasi --------------------------------------------------------

Program generalisasi metode tali busur

--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.241618118582198 1.087862542916627

2.000000000000000 1.222380906028619 0.019237212553579

3.000000000000000 1.091121603581428 0.131259302447191

4.000000000000000 0.976234727891453 0.114886875689975 5.000000000000000 0.908803572894221 0.067431154997232

6.000000000000000 0.875828727133999 0.032974845760222

7.000000000000000 0.867664390677719 0.008164336456280

8.000000000000000 0.866888736538335 0.000775654139384

9.000000000000000 0.866873569065500 0.000015167472835

10.000000000000000 0.866873543488509 0.000000025576992

11.0000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000824

40

40

Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐





% Oleh : Sunarsih

% ------------------------------

clear all; clc;

disp ('-------------------------------');

disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.2');

disp ('-------------------------------');






akar=[];

for i=1:N,




s=abs(x-x0);



break; end


end

Tampilan dalam Command Window: -------------------------------

Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.2

-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 2.101655599851019 1.901655599851019

2.000000000000000 1.897302776402499 0.204352823448520

3.000000000000000 1.679696556361177 0.217606220041322

4.000000000000000 1.451053648263684 0.228642908097493

5.000000000000000 1.222381840244686 0.228671808018998

6.000000000000000 1.023785209954342 0.198596630290344

7.000000000000000 0.902730433614113 0.121054776340229

8.000000000000000 0.868941553083035 0.033788880531078

9.000000000000000 0.866880616716863 0.002060936366173

10.000000000000000 0.866873543570572 0.000007073146291

11.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000082887

41

41

Lampiran 6 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑





% Oleh : Sunarsih

% ------------------------------

clear all; clc;

disp ('-------------------------------');


disp ('-------------------------------');






akar=[];

for i=1:N,




s=abs(x-x0);



break; end


end


-------------------------------


-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.700965356538817 1.400965356538817 2.000000000000000 1.473104246569059 0.227861109969759

3.000000000000000 1.243520341119593 0.229583905449466

4.000000000000000 1.040093685166183 0.203426655953410

5.000000000000000 0.909994301397412 0.130099383768771

6.000000000000000 0.869846441718644 0.040147859678769

7.000000000000000 0.866888150060895 0.002958291657749

8.000000000000000 0.866873543841149 0.000014606219746

9.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000353464

10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

42

42

Lampiran 7 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒





% Oleh : Sunarsih

% ------------------------------

clear all; clc;

disp ('-------------------------------');


disp ('-------------------------------');






akar=[];

for i=1:N,




s=abs(x-x0);



break; end


end


-------------------------------


-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.392797220931011 0.992797220931011 2.000000000000000 1.167880830590423 0.224916390340589

3.000000000000000 0.984333156493182 0.183547674097240

4.000000000000000 0.887625011760497 0.096708144732685

5.000000000000000 0.867574861053666 0.020050150706832

6.000000000000000 0.866874357876872 0.000700503176794

7.000000000000000 0.866873543488783 0.000000814388089

8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000001099

43

43

Lampiran 8 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓


awal 𝑥0 = 0.5. Dalam M-File: % ------------------------------ % Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------------ clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.5'); disp ('-------------------------------'); x0=0.5; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan

fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen) break; end x0=x; fx0=fx; gx0=gx; end


------------------------------- Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.5

-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.167543366858235 0.667543366858234

2.000000000000000 0.984101485737480 0.183441881120754

3.000000000000000 0.887547158385979 0.096554327351501

4.000000000000000 0.867569653356194 0.019977505029785

5.000000000000000 0.866874345830584 0.000695307525610 6.000000000000000 0.866873543488751 0.000000802341833

7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000001066

44

44

Lampiran 9 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔





-------------------------------


-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.013770649272111 0.413770649272111

2.000000000000000 0.898557472264785 0.115213177007326

3.000000000000000 0.868493783931078 0.030063688333707

4.000000000000000 0.866877886910247 0.001615897020831

5.000000000000000 0.866873543518940 0.000004343391308

6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000031255

45

45

Lampiran 10 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕


awal𝑥0 = 0.7. Dalam M-File: % ------------------------------



% Oleh : Sunarsih

% ------------------------------

clear all; clc;

disp ('-------------------------------');


disp ('-------------------------------');






akar=[];

for i=1:N,




s=abs(x-x0);



break; end


end


-------------------------------


-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.919813429265949 0.219813429265949

2.000000000000000 0.871318425532066 0.048495003733883

3.000000000000000 0.866906155762251 0.004412269769814

4.000000000000000 0.866873545249679 0.000032610512572

5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000001761994

6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

46

46

Lampiran 11 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟖





-------------------------------


-------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.874703244739892 0.074703244739892

2.000000000000000 0.866974454313793 0.007728790426099

3.000000000000000 0.866873560356840 0.000100893956953

4.000000000000000 0.866873543487685 0.000000016869155

5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

47

47

Lampiran 12 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟑


awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('--------------------------'); x0=0.2; x1=0.3; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end


--------------------------

Program metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3

--------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.881080682254595 1.581080682254594

2.000000000000000 0.330862427429321 1.550218254825274

3.000000000000000 0.360442265680606 0.029579838251286 4.000000000000000 1.548671280222205 1.188229014541599

5.000000000000000 0.450894650210092 1.097776630012113

6.000000000000000 0.527512845331708 0.076618195121615

7.000000000000000 1.184589767948802 0.657076922617095

8.000000000000000 0.700775299635268 0.483814468313535

9.000000000000000 0.788459250941773 0.087683951306506

10.000000000000000 0.890707831032499 0.102248580090726

11.000000000000000 0.863713122092770 0.026994708939729

12.000000000000000 0.866749825492460 0.003036703399689

13.000000000000000 0.866874192151602 0.000124366659142

14.000000000000000 0.866873543354722 0.000000648796880

15.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000132962 16.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

48

48

Lampiran 13 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟒




--------------------------


--------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.528559038077313 1.128559038077313

2.000000000000000 0.489960956821234 1.038598081256079 3.000000000000000 0.564867472891995 0.074906516070762

4.000000000000000 1.115467924575956 0.550600451683961

5.000000000000000 0.746861969904282 0.368605954671674

6.000000000000000 0.821252079964087 0.074390110059805

7.000000000000000 0.876575989410998 0.055323909446911

8.000000000000000 0.866129699625391 0.010446289785607

9.000000000000000 0.866861631016634 0.000731931391243

10.000000000000000 0.866873558172654 0.000011927156020

11.000000000000000 0.866873543487395 0.000000014685259

12.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000290

48

48

Lampiran 14 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓




--------------------------


--------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.264037893759006 0.764037893759006

2.000000000000000 0.653192020706219 0.610845873052787

3.000000000000000 0.745682459676815 0.092490438970596 4.000000000000000 0.916049672011209 0.170367212334394

5.000000000000000 0.856759459813652 0.059290212197557

6.000000000000000 0.866063272995434 0.009303813181782

7.000000000000000 0.866887181823882 0.000823908828448

8.000000000000000 0.866873525173477 0.000013656650405

9.000000000000000 0.866873543487271 0.000000018313794

10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000414

50

50

Lampiran 15 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔




--------------------------


--------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.076726174854415 0.476726174854415

2.000000000000000 0.775937609975672 0.300788564878743

3.000000000000000 0.837311241796227 0.061373631820555 4.000000000000000 0.871551077038735 0.034239835242508

5.000000000000000 0.866642140143566 0.004908936895169

6.000000000000000 0.866871753535173 0.000229613391607

7.000000000000000 0.866873544173973 0.000001790638800

8.000000000000000 0.866873543487683 0.000000000686291

9.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000002

51

51

Lampiran 16 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟕




--------------------------


--------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.954912435147587 0.254912435147587

2.000000000000000 0.842044511400741 0.112867923746846

3.000000000000000 0.863354253966290 0.021309742565548 4.000000000000000 0.867020001111578 0.003665747145288

5.000000000000000 0.866872688372952 0.000147312738626

6.000000000000000 0.866873543280210 0.000000854907258

7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000207474

8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

52

52

Lampiran 17 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟖




--------------------------


--------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.887195516470864 0.087195516470864

2.000000000000000 0.864581776901575 0.022613739569289

3.000000000000000 0.866796963635153 0.002215186733578 4.000000000000000 0.866873834534596 0.000076870899443

5.000000000000000 0.866873543450758 0.000000291083838

6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000036927

53

53

Lampiran 18 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 dan

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟑



Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.2; x1=0.3; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end


--------------------------------------------------------

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3

--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 1.074580877621760 0.806499804632834

2.000000000000000 1.043516668214085 0.031064209407676

3.000000000000000 0.942044197078026 0.101472471136059

4.000000000000000 0.889758905463771 0.052285291614255

5.000000000000000 0.870403897901499 0.019355007562273

6.000000000000000 0.867046143618554 0.003357754282945

7.000000000000000 0.866874846634216 0.000171296984338

8.000000000000000 0.866873543965297 0.000001302668918

9.000000000000000 0.866873543487686 0.000000000477611

10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000001

54

54

Lampiran 19 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 dan

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟒






--------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.965748878703760 0.562810159373553

2.000000000000000 0.934734594405536 0.031014284298224

3.000000000000000 0.882599875476789 0.052134718928747

4.000000000000000 0.869007963080974 0.013591912395816

5.000000000000000 0.866945836011143 0.002062127069831

6.000000000000000 0.866873872714542 0.000071963296601

7.000000000000000 0.866873543538188 0.000000329176355

8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000050503

55

55

Lampiran 20 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 dan

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓






--------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.906183265861903 0.357854627897103

2.000000000000000 0.886198122617135 0.019985143244768

3.000000000000000 0.868718016692311 0.017480105924825

4.000000000000000 0.866948698593440 0.001769318098871

5.000000000000000 0.866873839991434 0.000074858602006

6.000000000000000 0.866873543534960 0.000000296456473

7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000047276

56

56

Lampiran 21 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 dan

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔






--------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.879039878992060 0.197686295862355

2.000000000000000 0.870574101058010 0.008465777934050

3.000000000000000 0.866979295814307 0.003594805243703

4.000000000000000 0.866874374953973 0.000104920860334

5.000000000000000 0.866873543674432 0.000000831279541

6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000186747

7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

58

58

Lampiran 22 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 dan

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟕






--------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.869277737355401 0.085634697792186

2.000000000000000 0.867229739495510 0.002047997859891

3.000000000000000 0.866875453580794 0.000354285914716

4.000000000000000 0.866873544931097 0.000001908649697

5.000000000000000 0.866873543487691 0.000000001443406

6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000006

57

57

Lampiran 23 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 dan

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟖






--------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------

>> akar

akar =

1.000000000000000 0.867019139422939 0.020176377047925

2.000000000000000 0.866879283798083 0.000139855624856

3.000000000000000 0.866873545281227 0.000005738516857

4.000000000000000 0.866873543487707 0.000000001793520

5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000022

Documents

GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK … · Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubuk Dalam, Pekanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur ujian Beasiswa