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Generalidades sobre funcoesAula 9Aula 10
Generalidades sobre funcoes
Ana Carolina Boero
E-mail: [email protected]: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero
Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andre
Ana Carolina Boero Bases Matematicas
Generalidades sobre funcoesAula 9Aula 10
Funcoes
Sejam A e B conjuntos.
Uma funcao f : A→ B (leia “f de A em B”) e uma regra (ou conjuntode instrucoes) que diz como associar a cada elemento de A, um unicoelemento de B.
Exemplos:
(a) A regra que associa a cada numero natural n o seu sucessor n + 1 euma funcao.
(b) O conjunto de instrucoes
n ∈ N 7→{
n/2 se n for par3n + 1 se n for ımpar
e uma funcao.
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Funcoes
Mais exemplos de funcoes:
(c) A regra que associa a cada numero real x o numero |x |.(d) A regra que associa cada numero real x ≥ 0 o numero
√x .
(e) A regra x ∈ R− {1} 7→ x3 − 3x + 2
x2 − 2x + 1
(f) A regra x ∈ R− {1} 7→ x4 + x3 − x2 + x − 2
x3 − x2 + x − 1
Pergunta: Qual o significado preciso da expressao “regra que associa”?
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Relacoes
Chamamos de relacao um conjunto qualquer de pares ordenados.
Ilustracao de uma relacao: as setas indicam os pares ordenados que a constituem.
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Domınio e imagem de uma relacao
Seja R uma relacao.
O domınio de R e o conjunto domR = {x : ∃y tal que (x , y) ∈ R}.
A imagem de R e o conjunto imR = {y : ∃x tal que (x , y) ∈ R}.
Ilustracao do domınio e imagem de uma relacao.
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Exemplos
Sejam A = {0, 1, 2} e B = {−2,−1, 0, 1}.(a) R1 = {(x , y) ∈ A× B : y2 = x2} = {(0, 0), (1,−1), (1, 1), (2,−2)}
• domR1 = A
• imR1 = B
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Exemplos
(b) R2 = {(x , y) ∈ A× B : y = x − 1} = {(0,−1), (1, 0), (2, 1)}
• domR2 = A
• imR2 = {−1, 0, 1}
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Exemplos
(c) R3 = {(x , y) ∈ A× B : y = 0} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
• domR3 = A
• imR3 = {0}
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Exemplos
(d) R4 = {(x , y) ∈ A× B : y = x} = {(0, 0), (1, 1)}
• domR4 = {0, 1}• imR4 = {0, 1}
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Funcoes
Uma relacao f recebe o nome de funcao se para cada x ∈ dom f existeum unico y tal que (x , y) ∈ f .
Ilustracao de uma funcao. Outra ilustracao de funcao.
Para cada x ∈ dom f , o unico y tal que (x , y) ∈ f e denominado o valorde f em x e e denotado por f (x) (leia “f de x”).
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Funcoes de A em B
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que uma funcao f e uma funcao deA em B se dom f = A e im f ⊂ B.
Notacao: f : A→ B (leia “f de A em B”)
Observacao: B e denominado o contradomınio de f : A→ B.
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Exemplos
Sejam A = {0, 1, 2} e B = {−2,−1, 0, 1}.(a) R1 = {(x , y) ∈ A× B : y2 = x2} = {(0, 0), (1,−1), (1, 1), (2,−2)}
• domR1 = A
• imR1 = B
A relacao R1 nao e funcao de A em B.
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Exemplos
(b) R2 = {(x , y) ∈ A× B : y = x − 1} = {(0,−1), (1, 0), (2, 1)}
• domR2 = A
• imR2 = {−1, 0, 1}
A relacao R2 e funcao de A em B.
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Exemplos
(c) R3 = {(x , y) ∈ A× B : y = 0} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
• domR3 = A
• imR3 = {0}
A relacao R3 e funcao de A em B.
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Exemplos
(d) R4 = {(x , y) ∈ A× B : y = x} = {(0, 0), (1, 1)}
• domR4 = {0, 1}• imR4 = {0, 1}
A relacao R4 nao e funcao de A em B, mas e funcao.
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Observacoes
Observacoes:
• Uma vez esclarecido o sentido da expressao “regra que associa”,estamos livres para pensar em uma funcao como uma regra queassocia a cada elemento de seu domınio um unico elemento de suaimagem; em outras palavras, estamos livres para pensar em umafuncao como algo que faz e nao como algo que e.
• O conjunto {(x , f (x)) : x ∈ dom f } (isto e, o que a funcao f e) seradenominado o grafico de f .
• Nao se deve confundir f com f (x): f e a funcao, enquanto f (x) e ovalor que a funcao f assume num elemento x de seu domınio.
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Domınio, contradomınio e imagem
Seja f : A→ B uma funcao.
Os conjuntos A e B sao denominados o domınio e o contradomınio de f ,respectivamente.
Para cada x ∈ A, o elemento f (x) de B chama-se a imagem de x por fou, ainda, o valor assumido pela funcao f em x .
O subconjunto im f = {f (x) : x ∈ A} de B e denominado a imagem de f .
Exemplo:
• f : N→ N, tal que f (n) = n + 1 para todo n ∈ N.
I dom f = N;I im f = {n ∈ N : n > 1}, enquanto seu contradomınio e N.
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Exercıcio resolvido
Qual o maior subconjunto A de R tal que a regra f (x) =√√
1 + x − x define umafuncao f : A→ R?
Solucao:
A e constituıdo de todos os numeros reais x que satisfazem as seguintes condicoes:
(1) 1 + x ≥ 0;
(2)√
1 + x − x ≥ 0.
A primeira e satisfeita se, e somente se, x ∈ S1 = [−1,+∞).
A segunda, por sua vez, e equivalente a√
1 + x ≥ x . Esta inequacao so faz sentidopara x ≥ −1. Vamos, portanto, determinar quais numeros reais maiores ou iguais a−1 sao solucao desta inequacao.
Para x ≥ 0, ela equivale a 1 + x ≥ x2 (por que?), ou seja, a x ∈ [ 1−√
52
, 1+√
52
].
Portanto, os numeros reais nao negativos que sao solucao de√
1 + x ≥ x sao
exatamente aqueles que pertencem ao intervalo [0, 1+√
52
]. Note tambem que todo
x ∈ [−1, 0) e solucao de√
1 + x ≥ x (por que?). Portanto, o conjunto-solucao de√
1 + x ≥ x e S2 = [−1, 0] ∪ [0, 1+√
52
] = [−1, 1+√
52
].
Logo, A = S1 ∩ S2 = [−1, 1+√
52
].
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Exercıcio resolvido
Seja f : R→ R dada por f (x) = 2x2 + 3x + 4. Determine im f .
Solucao:
f (x) = 2(x2 + 3
2x + 2
)= 2
[(x + 3
4
)2 − 916
+ 2]
= 2[(x + 3
4
)2+ 23
16
]= 2
(x + 3
4
)2+ 23
8≥ 23
8
Logo, im f ⊂[
238,+∞
). Resta mostrar que
[238,+∞
)⊂ im f .
Seja y ∈[
238,+∞
)e considere a equacao f (x) = y , a qual e equivalente a
2x2 + 3x + (4− y) = 0. Seu discriminante e ∆ = −23 + 8y . Para y ≥ 238
, temos que∆ ≥ 0 e, portanto, tal equacao tem solucao real x . Portanto, y = f (x) para algumx ∈ R, o que significa que y ∈ im f .
Logo, im f =[
238,+∞
).
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Imagem de conjuntos
Sejam f : A→ B uma funcao e X um subconjunto de A.
O conjunto f (X ) = {f (x) : x ∈ X} e denominado a imagem de X por f .
Ilustracao de X e f (X ).
Exemplo:
• f : R→ R, f (x) = |x |I X = {−2,−1, 0, 1, 3}; f (X ) = {2, 1, 0, 3}.
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Imagem inversa de conjuntos
Sejam f : A→ B uma funcao e Y um subconjunto de B.
A imagem inversa de Y por f e dada por f −1(Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }.
Ilustracao de Y e f −1(Y ).
Exemplo:
• f : R→ R, f (x) = |x |I Y = {−1, 1, 3, 4, 5}; f −1(Y ) = {−1, 1,−3, 3,−4, 4,−5, 5}.
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Exercıcio resolvido
Seja f : R→ R dada por f (x) = 2x2 + 3x + 4. Determine f −1({3}).
Solucao:
f −1({3}) = {x ∈ R : f (x) ∈ {3}}= {x ∈ R : f (x) = 3}= {x ∈ R : 2x2 + 3x + 4 = 3}= {x ∈ R : 2x2 + 3x + 1 = 0}
Resolvendo 2x2 + 3x + 1 = 0, obtemos x = −1 ou x = − 12
.
Logo, f −1({3}) ={−1,− 1
2
}.
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Propriedades
Proposicao
Sejam f : A→ B uma funcao, X ⊂ A e Y ⊂ B. Valem:
(1) f −1(f (X )) ⊃ X
(2) f (f −1(Y )) ⊂ Y
X , f (X ) e f −1(f (X )). Y , f −1(Y ) e f (f −1(Y )).
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Propriedades
Proposicao
Sejam f : A→ B uma funcao e X1,X2 ⊂ A. Valem:
(1) se X1 ⊂ X2 entao f (X1) ⊂ f (X2)
(2) f (X1 ∪ X2) = f (X1) ∪ f (X2)
(3) f (X1 ∩ X2) ⊂ f (X1) ∩ f (X2)
(4) f (X1 − X2) ⊃ f (X1)− f (X2)
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Propriedades
Proposicao
Sejam f : A→ B uma funcao e Y1,Y2 ⊂ B. Valem:
(1) se Y1 ⊂ Y2 entao f −1(Y1) ⊂ f −1(Y2)
(2) f −1(Y1 ∪ Y2) = f −1(Y1) ∪ f −1(Y2)
(3) f −1(Y1 ∩ Y2) = f −1(Y1) ∩ f −1(Y2)
(4) f −1(Y1 − Y2) = f −1(Y1)− f −1(Y2)
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Funcao injetora
Dizemos que f : A→ B e injetora se, para quaisquer x1, x2 ∈ A,x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Ilustracao de uma funcao injetora.
Observacao: f e injetora sse ∀x1, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Exemplos:
(a) f : R→ R× R, f (x) = (x , |x |) e injetora.
(b) g : N→ N, g(n) =
{n/2 se n e par
3n + 1 se n e ımparnao e injetora.
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Funcao sobrejetora
Dizemos que f : A→ B e sobrejetora se im f = B.
Ilustracao de uma funcao sobrejetora.
Exemplos:
(a) f : R→ R× R, f (x) = (x , |x |) nao e sobrejetora.
(b) g : N→ N, g(n) =
{n/2 se n e par
3n + 1 se n e ımpare sobrejetora.
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Funcao bijetora
Dizemos que f : A→ B e bijetora se e injetora e sobrejetora.
Ilustracao de uma funcao bijetora.
Exemplos:
(a) f : R→ R, f (x) = ax + b com a 6= 0 e bijetora.
(b) g : R→ R, g(x) = ax2 + bx + c com a 6= 0 nao e bijetora.
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Exercıcio resolvido
Seja f : R \ {−2} → R dada por f (x) =2x + 3
x + 2. Decida se f e injetora, sobrejetora
ou bijetora e justifique sua resposta.
Solucao:
• f e injetora: Sejam x1, x2 ∈ R \ {−2} tais que f (x1) = f (x2). Temos que:
f (x1) = f (x2) ⇒ 2x1+3x1+2
= 2x2+3x2+2
⇒ (2x1 + 3)(x2 + 2) = (2x2 + 3)(x1 + 2)
⇒ 2x1x2 + 4x1 + 3x2 + 6 = 2x1x2 + 4x2 + 3x1 + 6⇒ x1 = x2
• f nao e sobrejetora: 2 6∈ im f , ja que a equacao 2x+3x+2
= 2 nao possui solucao.
Note que im f = R \ {2}, uma vez que:
y = f (x)⇔ y =2x + 3
x + 2⇔ y(x + 2) = 2x + 3⇔ (y − 2)x = 3− 2y ⇔ x =
3− 2y
y − 2
Logo, f e injetora, mas nao e sobrejetora (e, consequentemente, nao e bijetora).
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Composicao de funcoes
Sejam f e g funcoes tais que im f ⊂ dom g . A composta de g e f e afuncao com domınio dom f que associa cada x ∈ dom f a g(f (x)).
Notacao: g ◦ f (leia “g bola f ”)
Ilustracao da composta de f e g .
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Composicao de funcoes
Exemplos:
• f : R→ R, f (x) = x
• g : R→ R, g(x) = x2
• h : R+ → R, h(x) =√x
(a) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x) = x2
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2) = x2
(b) (g ◦ h)(x) = g(h(x)) = g(√x) = (
√x)2 = x
(h ◦ g)(x) = h(g(x)) = h(x2) =√x2 = |x |
(c) (f ◦ h)(x) = f (h(x)) = f (√x) =
√x
h ◦ f nao esta definida, pois im f 6⊂ dom h
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Propriedades
Proposicao
Sejam f , g e h funcoes tais que im f ⊂ dom g e im g ⊂ dom h. Vale:
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
Observacao: A proposicao acima nos permite escrever h ◦ g ◦ f .
Proposicao
Sejam f : A→ B e g : B → C . Valem:
(1) Se f e g sao injetoras entao g ◦ f : A→ C e injetora.
(2) Se f e g sao sobrejetoras entao g ◦ f : A→ C e sobrejetora.
(3) Se f e g sao bijetoras entao g ◦ f : A→ C e bijetora.
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Funcao inversa
Seja f : A→ B bijetora. A funcao f −1 : B → A dada por
f −1(y) = x onde x ∈ A e tal que f (x) = y
e denominada a inversa de f .
Ilustracao de f . Ilustracao de f −1.
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Exemplos
(1) Para todo n ∈ N, a funcao f : [0,+∞)→ [0,+∞) dada porf (x) = xn e uma bijecao, cuja inversa e f : [0,+∞)→ [0,+∞) dadapor f (y) = n
√y .
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Exemplos
(2) Se n e ımpar, entao a funcao f : R→ R dada por f (x) = xn e umabijecao, cuja inversa e f : R→ R dada por f (y) = n
√y .
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Propriedades
Proposicao
Seja f : A→ B bijetora. Valem:
(1) (f −1 ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A;
(2) (f ◦ f −1)(y) = y para todo y ∈ B.
Proposicao
Seja f : A→ B. Se existe g : B → A tal que
• (g ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A e
• (f ◦ g)(y) = y para todo y ∈ B
entao f e bijetora e g = f −1.
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Propriedades
Proposicao
Se f : A→ B e bijetora entao f −1 : B → A e bijetora e (f −1)−1 = f .
Proposicao
Se f : A→ B e g : B → C sao bijetoras entao (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.
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