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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
DEPARTAMENTO DE GEOCIENCIAS
Tesis Doctoral
GENERACIÓN Y PROPAGACIÓN DEPERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS
ASOCIADAS CON TERREMOTOS.
Jorge Enrique Clavijo RamírezDirector: Ph.D. John Jairo Sánchez Aguilar
Bogotá, 2017
Agradecimientos
Agradezco al profesor John Jairo Sánchez por haber aceptado ser mi director de tesis. Durante
estos años fue un apoyo constante y gracias a él pude conocer algunos de los lugares más
bellos e interesantes de la geografía colombiana.
Agradezco también a Colciencias y a la Fundación Colfuturo por financiar parte de esta
investigación a través de la convocatoria 528 para el apoyo a los doctorados nacionales.
Para la obtención de los datos experimentales fue fundamental la cooperación con el Institute
of Geophysics perteneciente a la China Earthquake Administration de la ciudad de Beijing.
Debo un especial agradecimiento al Dr. Hongquian Wang y a los geólogos Ming Weng y
Juan Lu por haber trabajado intensamente en el desarrollo del montaje experimental y el
análisis de los datos. Agradezco a las directivas del Instituto por brindarme la oportunidad
de trabajar en Beijing como investigador extranjero y tener acceso a todas las facilidades
de la China Earthquake Administration. Espero que este sea el comienzo de una estrecha
relación entre el IOP y la Universidad Nacional de Colombia.
Agradezco también Dr. Friedemann Freund por permitirme trabajar en los laboratorios del
NASA’s AMES Research Center y del SETI Institute de la ciudad de Mountain View, CA,
E.U. Mi tiempo allá me permitió ser testigo de interesantes discusiones científicas y me
hizo entender, profundamente, que la evidencia experimental es más poderosa que el más
sofisticado de los modelos teóricos.
Finalmente agradezco a mi pequeña gran familia conformada por Jerilee, Joaquín y un
número de mascotas que cambia frecuentemente con el tiempo. La paciencia que han tenido
conmigo es impagable.
...Y a todos los amigos que hice y deshice durante este periodo, gracias.
Declaro que:
Todas las simulaciones numéricas mostradas en este trabajo fueron desarrolladas por el autor
de la tesis.
El montaje experimental fue desarrollado en cooperación con el Institute of Geophysics de
la China Earthquake Administration en la ciudad de Beijing, China.
Todos los algoritmos para identificar las señales acústicas y electromagnéticas fueron desa-
rrollados por el autor de la tesis.
Todas los resultados, análisis y conclusiones están basados en el trabajo realizado en la
Universisdad Nacional de Colombia, los laboratorios de NASA’s Ames Research Center y
SETI Institute y en el Institute of Geophysics, China Earthquake Administration.
Resumen
Diversos tipos de emisiones electromagnéticas asociadas con terremotos han sido reportados
ampliamente en la literatura científica, especialmente durante las últimas dos décadas del
siglo XX. Según estos reportes la perturbaciones pueden ir desde variaciones del orden de nT
en la magnitud del campo geomagnético, hasta emisiones lumínicas que se extienden varios
kilómetros alrededor de la zona del terremoto. Debido a que muchas de estas emisiones se
presentan algunas horas o días previos al terremoto, su relevancia como señales precursoras
de actividad sísmica ha sido ampliamente debatida en la comunidad científica. Sin embargo,
debido a la ausencia de un acuerdo acerca de un único mecanismo físico que permita enten-
der el origen de estas emisiones, el establecimiento de una relación causal (más allá de la
correlación temporal) entre las emisiones electromagnéticas y los terremotos es algo que aún
no se ha determinado.
Con el objetivo de contribuir al entendimiento del origen de estas emisiones, en este trabajo
se presenta un estudio teórico-experimental de los mecanismos responsables de la generación
de emisiones electromagnéticas durante procesos de fractura y terremotos. Usando como
marco teórico la naturaleza crítica del fenómeno de ruptura, se desarrolló un experimento en
escala de laboratorio que permitió ver la presencia de emisiones acústicas y electromagnéticas
precursoras de la fractura. Las emisiones fueron detectadas durante todo el proceso de carga
de muestras de rocas típicas de la corteza terrestre. Los resultados obtenidos permitieron
determinar que la electrificación por microfracturamiento es el mecanismo que mejor se
ajusta a las características de las emisiones detectadas. El análisis estadístico basado en
la entropía de Tsallis y la termodinámica no-extensiva, confirmó la naturaleza crítica del
fenómeno y la hipótesis del microfracturamiento como mecanismo fundamental.
La extensión a escala geológica se hizo a partir del estudio de la propagación de campos
electromagnéticos en medios conductivos. Las microfracturas generadoras de los campos se
modelaron como dipolos eléctricos transitorios distribuidos en la región de preparación del
sismo. Se usaron dos modelos de distribución: el percolativo clásico y las redes multifractales.
Los resultados obtenidos muestran que los valores máximos de las perturbaciones electro-
magnéticas esperadas se pueden localizar en puntos tan alejados del epicentro como diez
veces el tamaño de la falla. Al mismo tiempo se muestra cómo afectan la conductividad
del medio y la profundidad de la zona de fractura los valores estimados de la perturbación
electromagnética.
Finalmente, se combinan la hipótesis de microfracturamiento y el modelo de fibras (Fiber
Bundle Model) para estimar el valor de la máxima perturbación electromagnética esperada
cuando la falla se acerca a su esfuerzo de ruptura. Se encuentra que, incluso usando un
escenario optimista donde algunos parámetros son sobreestimados, la máxima perturbación
estimada cae en el rango de los 10−13 T, valor muy pequeño comparado con los reportados
y aún muy por debajo de las capacidades de detección de los magnetómetros usados en el
contexto de la geofísica.
Palabras clave: Emisiones electromagnéticas, emisiones acústicas, fracturas, fenómeno crí-
tico, terremotos, redes multifractales, modelo de fibras (Fiber Bundle Model).
Abstract
A wide variaty of electromagnetic perturbations have been reported in relation with earth-
quakes. According with these reports the anomalies can be seen as a small variation in the
geomagnetic field (∼nT) or strong light emissions that spread several kilometers around the
earthquake zone. Many of these perturbations are detected hours or days before the origin of
the earthquake and some researchers have suggested that these signals could be used as early
warning for the upcoming earthquake. However, the absence of a universal mechanism capa-
ble of explaining these emissions does not allow certainty about whether these phenomena
is just some type of spurious correlation or if indeed it obeys to causation.
With the central idea of clarifying several aspects of this phenomena, in this thesis we present
both experimental and theoretical analyses about the physical mechanisms associated with
the generation of electromagnetic emissions (EME) during fracture processes and earthqua-
kes. Using the critical phenomena framework we designed an experimental set-up to detect
EME and acoustic emissions (AE) during the compression loading of rock samples typical
of the crust. The results show that EME and AE are present from the beginning up to the
end of the process. Based on the analysis of the duration time of the emissions, we propose
the electrification by microfracturing as the more relevant mechanism to understand the ori-
gin of EME and its relation with AE. The non-extensive analysis based on Tsallis? entropy
confirms that our results correspond to a critical phenomena and that the microfracturing
hypothesis fits smoothly in this framework.
Scaling to earthquakes was done using the propagation of electromagnetic fields in conductive
media. The microfractures sources of EME fields were modeled like transient electric dipoles
distributed on the preparation area of the earthquake. Classical percolation and multi-fractal
networks were used as models of distribution. The results from the simulations show that
the maximum value of the EME disturbances can be located at points far away from the
fault, at distances as large as ten times the size of the fault. The effects produced by the
electrical conductivity of the media and the depth of the fault are also shown.
Finally, we merged the microfracturing hypothesis with the Fiber Bundle Model to estimate
the order of magnitude of the expected EME perturbation just before the final rupture.
We find that, even on a favorable scenario where the physical parameters of the model are
overestimated, the maximum expected perturbation does not reach values above 10?13 T,
which are far below the frequently reported perturbations and cannot be detected by most
of the currently available magnetometers in geophysical applications.
key words: Electromagnetic emissions, acoustic emissions, fracture, critical phenomena,
earthquakes, multrifractal network, fiber bundle model.
Índice general
1. Introducción 8
2. Fracturas en medios desordenados 18
2.1. Causas de la fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Concentradores de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Teoría de Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Nucleación y percolación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. Modelo de fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Estudio experimental 35
3.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Series de tiempo y definición de emisiones individuales . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Comparación entre eventos individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Análisis estadístico de las emisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Conclusiones fundamentales del experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Mecanismos de generación de emisiones electromagnéticas 55
4.1. Efecto Piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Efecto Electrocinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Efecto Piezomagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4. Generación de pares electrón-hueco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5
4.5. Restricciones impuestas por el experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6. Microfracturamiento y electrificación por separación . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7. Agregación de microfracturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. Análisis no extensivo 74
5.1. Entropía de Tsallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Modelo de fragmentos-asperezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3. Emisiones acústicas, emisiones electromagnéticas y ajuste no-extensivo . . . 83
6. Campos Electromagnéticos en Medios Conductivos 88
6.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . 92
6.3. Ecuaciones de Maxwell con fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4. Solución de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4.1. Ondas planas en un medio infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4.2. Aproximación cuasiestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4.3. Respuesta a un impulso eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5. Potenciales electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5.1. Potenciales A y φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5.2. Potenciales de Shelkunoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6. Dipolos transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.7. Función de Green en medios infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.8. Función de Green para un semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7. Emisiones Electromagnéticas y Terremotos 107
7.1. Modelo Percolativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.1.1. Distribución espacial de la anomalía electromagnética . . . . . . . . . 113
7.1.2. Efecto de la profundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.3. Efecto de la conductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6
7.2. Redes multifractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3. Análisis dinámico y detectabilidad, el caso Alum Rock . . . . . . . . . . . . 122
8. Conclusiones y discusión 129
Apéndice 1. Realización del Modelo de Fibras 136
Apéndice 2. Realización del Modelo de Agregación 138
Apéndice 3. Realización de la Cascada Multiplicativa 140
7
1 | Introducción
Los terremotos son fenómenos complejos que frecuentemente vienen acompañados de una
gran variedad de fenómenos físicos. La desviación del curso de aguas subterráneas, las emi-
siones de gases radioactivos como el radón o la generación de grandes flujos de calor son
algunos de los fenómenos ampliamente reportados en muchos lugares del mundo [1, 2]. Debi-
do a que algunos de estos fenómenos se reportan antes de la iniciación del terremoto, algunos
investigadores las han propuesto como la base de sistemas de detección y alerta temprana de
actividad sísmica; las emisiones electromagnéticas y las perturbaciones del campo geomag-
nético están entre ellas.
La información de anomalías electromagnéticas asociadas con actividad sísmica se remontan
al origen mismo de la sismología moderna. El primer estudio sistemático al respecto se
debe a Tanakadate y Nagaoka [3], quienes reportaron variaciones considerables en las curvas
isomagnéticas de la planicie de Nobi, Japón, coincidentes con el gran sismo de Mino-Owari
de 1891 (MW = 8.0). Estudios de este tipo se pueden encontrar también a lo largo de la
primera mitad del siglo XX [4].
Sin embargo, muchas de las observaciones reportadas en estos estudios no corresponden
a correlaciones reales entre actividad sísmica y geomagnética. Análisis posteriores [5] han
mostrado que estas mediciones presentaban, de manera sistemática, serios problemas debido
a fallas en la calibración de los magnetómetros, la contaminación por actividad natural
diferente a los terremotos o simplemente por la alteración mecánica que se espera cuando
8
las ondas sísmicas sacuden los instrumentos de medición.
La introducción en los años sesenta del magnetómetro de precesión protones, permitió la
detección de variaciones del campo geomágnético del orden de 10−9 T, incrementando así el
rango de detección y la reducción de la incertidumbre. Además, el aumento del número de
antenas electromagnéticas distribuidas en todo el mundo, abrió la posibilidad de detección
de señales en puntos tan alejados del epicentro que no se ven afectados directamente por la
sacudida sísmica. El gran terremoto de Chile de 1962 es un caso que representa esta nueva
situación.
El 22 de mayo de 1960 la región chilena ubicada entre las ciudades Concepción y Temuco
fue afectada por el terremoto más grande registrado en el catálogo de sismos modernos. Se
estima que aproximadamente 1700 personas murieron por el sismo de magnitud MW = 9.5,
el cual también generó un tsunami que causó muertes y daños graves en Japón, Filipinas y
Hawaii. En la semana previa al evento principal se presentaron cuatro sismos con magnitudes
entre MW = 7.0 y MW = 7.9.
El 16 de mayo de 1960, seis días antes del gran terremoto chileno, varios radiotelescopios
ampliamente separados en el hemisferio norte detectaron simultáneamente una señal elec-
tromagnética anómala en el rango de 18 MHz [6]. Esta red de detectores estaba diseñada
para analizar actividad solar y contaba con mecanismos para eliminar el posible ruido elec-
tromagnético producido por fuentes artificiales. Como se aprecia en la Figura 1.1, la forma
de la perturbación es claramente similar en todas las estaciones, aunque su intensidad varía.
Esto último descarta directamente al Sol como generador de la perturbación; en tal caso la
magnitud de la perturbación debería ser similar en todos los receptores.
Durante veinte años el origen de esta señal anómala fue considerado como indeterminado y
fue sólo hasta 1982 cuando se propuso una posible correlación con el terremoto chileno de
1960. En los años setenta los trabajos en escala de laboratorio de Nitsan [7] mostraron la
presencia de emisiones electromagnéticas previas a la fractura de rocas con alto contenido
9
Figura 1.1: Perturbación electromagnética detectada seis días antes del gran te-rremoto de Chile de 1960 por cuatro radio telescopios ubicados en el hemisferionorte. En el eje vertical se muestra la amplitud de la señal electromagnética en labanda de 18 MHz y en el eje horizontal se representa la hora de acuerdo con el usoMST (Mountain Standard Time) Puede apreciarse que la forma de la perturbaciónes similar en todas las estaciones, su amplitud, sin embargo, cambia considerable-mente entre estaciones. Además, si se tiene en cuenta que la anomalía se detectaa las 2100 horas MST, se puede descartar al Sol como generador de la anomalía.Imagen tomada del artículo original [6].
de cuarzo, un mineral con propiedades piezoeléctricas. Al mismo tiempo y en el contexto de
los terremotos, se difundieron en occidente las noticias sobre el posible éxito de geofísicos al
servicio de La República Popular de China en la predicción del sismo de Haicheng de 1975
(MW = 7.3), usando, entre otras, señales electromagnéticas precursoras.
En un trabajo pionero Warwick et al. [8] propusieron en 1982 que la señal electromagnética
anómala detectada en mayo 1960 tuvo su origen en la fractura de material piezoeléctrico
ubicado en la zona de subducción ubicada entre las placas de Nazca y Suramérica, dando
así origen a lo que actualmente se conoce como sismo-electromagnetismo; una de las ramas
más activas en la búsqueda de precursores de terremotos durante las dos últimas décadas
del siglo XX.
10
Aunque ya en los años 60 se había propuesto analizar las variaciones locales del campo
geomagnético como posibles precursoras de terremotos, su estudio se limitó al caso magne-
tostático y no consideraba efectos eléctricos o electromagnéticos asociados. El nuevo campo
del sismo-electromagnetismo abría la posibilidad a la existencia de ondas electromagnéticas
generadas en la zona de falla. Debido a que estas perturbaciones se propagan la velocidad de
la luz, se podía pensar en el diseño de sistemas de alerta temprana que, inclusive en emisiones
cofractura, serían más eficientes que los basados puramente en las ondas sísmicas.
En este sentido, uno de los resultados más prometedores estuvo asociado al terremoto de
Loma Prieta del 17 de octubre de 1987 (MW = 7.1). Una estación magnetométrica ubica-
da cerca del epicentro del sismo (menos de 10 km) detectó una anomalía magnética en el
rango de 0.01 Hz. La perturbación comenzó alrededor de doce días antes del sismo y alcan-
zó su valor máximo tres horas antes del terremoto (ver Figura 1.2). Fraser-Smith et al. [9]
propusieron que la anomalía estaba asociada al terremoto y que era un claro precursor de
actividad sísmica. Motivados por estas observaciones, investigadores de la Unión Soviética
hicieron un análisis de las perturbaciones ionosféricas detectadas por sondas satelitales. Co-
rrelaciones estadísticas notables fueron reportadas con el sismo de Spitak del 7 de diciembre
de 1988 (MW = 7.1) en la región soviética de Armenia [10]. Las anomalías detectadas se
extendían a varios días antes y después del sismo. Análisis posteriores han reportado correla-
ciones estadísticas significativas entre perturbaciones ionosféricas de este tipo y la actividad
sismotectónica a nivel mundial [11].
Durante la década de los noventa las investigaciones en este campo se enfocaron en recolectar
la mayor cantidad de evidencia experimental posible, así como en desarrollar modelos físicos
que permitieran entender el origen de las anomalías. A pesar de esto, la mayor parte de los
reportes de la época se basan en observaciones accidentales, y en general no corresponden a
montajes experimentales diseñados específicamente para detectar actividad electromagnética
precursora; debido a esto la evidencia experimental abarca un amplio espectro de frecuen-
11
Figura 1.2: Perturbación magnética detectada por una estación magnetométricacercana al epicentro del sismo de Loma Prieta del 17 octubre de 1987 (MW = 7.1).El eje horizontal corresponde al tiempo medido en días del mes de octubre y laamplitud se expresa en nT/(Hz)1/2. Puede apreciarse un incremento de la amplituddel campo magnético en la banda de 0.01 Hz casi dos semanas antes del sismo. Laperturbación aumenta de manera considerable algunas horas antes del terremoto.Imagen tomada de [9].
cias y amplitudes. Para ilustrar esta situación, en la Tabla 1.1 se muestran los reportes de
perturbaciones electromagnéticas asociadas con terremotos que han tenido mayor impacto
en la comunidad científica, tomando como referencia el número de citaciones en la base de
datos Google Scholar.
Como puede apreciarse, la frecuencia reportada va desde el ULF (ultra low frequency) [9,
14, 16, 23] hasta el VHF (very high frequency) [18, 19, 20, 24] y sus amplitudes pueden ir
desde 0.1 nT [14, 16] hasta 60 nT [9] para mediciones de campo magnético y de 10−6 V/m
[23] hasta 10−2 V/m [15] para mediciones de campo eléctrico.
La amplia variedad de las emisiones detectadas dificulta la elaboración de un modelo teó-
rico que permita establecer las causas de las perturbaciones. Sin este modelo no es posible
establecer una relación causal o un origen común entre las emisiones electromagnéticas y los
terremotos. Además, es posible que no todas las anomalías se puedan explicar con el mis-
12
Terremoto Tipo de pertur-bación
Magnitudde la per-turbación
Tiempo an-tes del sis-mo
Ref.
Chile, 22/5/1960, MW = 9.5 Radio frecuencia(18 MHz)
2.5 × 10−6
W/Hz6 d [8]
Haicheng, China, 4/2/1976, MW =7.3
Potencial espontá-neo
150 mV 12 h [12]
Kalamata, Grecia, 13/9/1986,MW = 6.2
Potencial espontá-neo
10 mV 3 d [13]
Spitak, Armenia, 7/12/1988,MW =6.9
ULF (0.01-1.00 Hz) 0.2 nT 4 h [14]
Loma Prieta, E.U.A., 17/10/1987,MW = 7.1
VLF (0.01 Hz) 60 nTHz−1/2 3 h [9]
Recopilación de 325 eventos alrede-dor del mundo con MW > 5.5
Radio frecuen-cia (Detectadoscon el satéliteIntercosmos)
10−2 V m−1 ∼ 1 h [15]
Guam, 8/8/1993, MW = 7.1 ULF (0.02 Hz) 0.1 nT 1 m [16]Kobe, Japón, 17/1/1995, MW = 7.2 VLF y radio fre-
cuencia (10.2 kHz)2 d ∼ 2 h [17]
Kozani-Greneva, Grecia, 13/5/1995,MW = 6.6
VHF (10 kHz ∼ 5MHz)
∼ 300 mV 20 h [18]
Chiba-ken, Japón, 11/9/1996,MW = 6.2
VHF 1 d [19]
Atenas, Grecia, 9/7/1999, MW =5.9
VHF (5 kHz) 300 mV 17 h [20]
Recopilación de 29 eventos en Japónentre 2001 y 2003 con MW > 4.8
VHF (Detectadasen la ionosfera)
∼5 d [21]
Mid Nigata, Japón, 23/10/2004,MW = 5.4
ULF, Perturbacio-nes ionosféricas
25 dB 20 d [22]
Alum Rock, E.U.A. 31/10/2007,MW = 5.6
VLF (1 Hz) 30 nT 1d [127]
Wenchuan, China, 12/5/2008,MW = 8.0
0.1 Hz ∼ 800 Hz 10−6 V/m,0.1nT
cosísmico [23]
L’Aquila, Italia, 6/4/2009, MW =6.3
VHF (kHz∼ MHz) 200 mV 5 d∼3 d [24]
Tohoku, Japón, 11/03/2011, MW =9.0
Concentración elec-trónica ionosfera(TEC) .
4 TECU 0.6 h [25]
Tabla 1.1: Recopilación de los eventos electromagnéticos precursores de terre-motos con más citaciones de acuerdo con la base de datos de Google Scholar. Enla primera columna se muestra el evento sísmico, su fecha y su magnitud; en lasegunda columna se muestra el tipo de perturbación electromagnética detectada;en la tercera columna se indica la magnitud de la perturbación; en la cuarta co-lumna se muestra el tiempo de anticipación con respecto al terremoto y en laquinta la referencia del trabajo que reporta o analiza el evento. Convenciones:ULF= ultra low frequency, VLF=very low frequency, VHF=very high frequency,h=horas, d=días, m=meses, TEC=total electron content, TECU=Total electroncontent unit=10el/m2.
13
mo marco teórico. Así, por ejemplo, la emisiones de alta frecuencia, que deberían atenuarse
fuertemente en su paso por la corteza terrestre, podrían tener una explicación diferente que
las emisiones de baja frecuencia y que pueden propagarse distancias mucho más grandes.
Es evidente que observaciones sistemáticas y en ambientes controlados son necesarias para
tener bases experimentales más sólidas.
En este sentido, en la región cercana a la ciudad californiana de Parkfield (E.U.) se pudo
realizar un experimento en escala geológica para estudiar el problema. En esta área, ubicada
sobre la Falla de San Andrés, se han presentado sismos recurrentes de magnitud aproximada
a MW = 6.0 desde 1857. El tiempo entre eventos ha variado entre 12 y 32 años; una escala
razonable para diseñar un montaje experimental. Diversos arreglos de instrumentos geofísicos
fueron desplegados en la zona con la intención de detectar cualquier actividad precursora
al sismo, incluyendo perturbaciones electromagnéticas. Aunque se esperaba que un sismo
ocurriera entre 1985 y 1993 con una probabilidad del 90 %, este sólo se presentó hasta el año
2004.
Las mediciones obtenidas por instrumentos que estaban ubicados inclusive directamente
sobre la zona de ruptura no mostraron actividad precursora alguna, de ningún tipo [26]. Las
variaciones locales de campo geomagnético sólo se detectaron simultáneamente con el arribo
de la onda sísmica, un comportamiento similar al observado para mediciones de esfuerzos
y deformaciones. Tampoco se detectaron emisiones simultáneas con el inicio de la ruptura
sísmica. La ausencia de perturbaciones electromagnéticas precursoras o cofractura impulsó
la idea de que los reportes frecuentes de este tipo de actividad correspondían realmente a
problemas de calibración instrumental [27], a mediciones afectadas por actividad natural
como las tormentas solares [28, 29], o a interferencias debidas al ruido electromagnético
cultural producido por líneas de transmisión y de transporte eléctrico masivo [30].
Han surgido también argumentos teóricos para soportar la hipótesis de la no predictibilidad
de los terremotos y de la no existencia de precursores sistemáticos de sismos [31, 32, 33]. De
14
acuerdo con la teoría de criticalidad auto-organizada [34, 35] (SOC por sus siglas en inglés)
los terremotos son manifestaciones del estado críticamente organizado en el que se encuentra
permanentemente la corteza terrestre debido a la interacción entre las placas tectónicas. En
esta imagen, la energía elástica acumulada en la corteza es liberada en forma de avalanchas
(sismos) de forma similar a lo que ocurre con una pila de arena a la que se le agregan
continuamente granos hasta que alcanza el estado crítico; cuando se alcanza el equilibrio,
la altura de la pila se mantiene constante a expensas de la generación de derrumbes de
diferentes tamaños. Del mismo modo se comporta la corteza terrestre; para mantener el
estado de equilibrio se deben generar sismos de diferentes magnitudes. Una consecuencia de
la teoría SOC es que es imposible predecir el tamaño de una avalancha en particular debido a
que tanto los eventos menores como los grandes son accionados por el mismo mecanismo; la
magnitud de un evento está gobernada, no por el inicio de la avalancha, sino por el momento
en que se detiene.
Aunque la teoría SOC fue formulada en 1988 y ha sido aplicada para entender muchas de las
características de la estadística de los terremotos, aún no cuenta con un marco teórico formal
definitivo; de hecho, más allá de analogías conceptuales como la de la pila de arena, aún no
existe una definición rigurosa que permita determinar cuando un sistema se encuentra en
un estado críticamente organizado. Por esa razón la búsqueda de actividad precursora es
mantenida por grupos de investigación en América, Europa y Asia. Además, la comunidad
científica sigue reportando eventos electromagnéticos precursores tanto en superficie como
en satélites [36]. Aunque algunos han sido descartados posteriormente como errores de in-
terpretación o fallas instrumentales [37], muchos siguen sin tener una explicación diferente a
la actividad presísmica.
Mas allá del debate acerca de la relevancia de estas observaciones, un hecho comprobado
repetidamente en escala de laboratorio es la existencia de emisiones electromagnéticas aso-
ciadas con fracturas de rocas. Una gran variedad de diseños experimentales ha mostrado que
15
estas emisiones, lejos de ser eventos extraordinarios, son una característica común presente
durante todo el proceso de ruptura [38, 39, 40].
Es claro que los resultados experimentales obtenidos en escala de laboratorio deben ser eva-
luados detalladamente para extrapolarlos a escalas geológicas; el tamaño y la conductividad
eléctrica de la corteza juegan un papel determinante en la posibilidad de detección de emi-
siones producidas a varios kilómetros de profundidad. Sin embargo, el hecho de que existan
emisiones electromagnéticas asociadas con fracturas de rocas, permite establecer un soporte
empírico al campo del sismo-electromagnetismo.
Independientemente de la posibilidad de usar este fenómeno como un precursor de terre-
motos, subsisten interrogantes que aun son motivo de investigación: ¿cuál es la causa de
estas emisiones en rocas?, ¿qué tipo de emisiones electromagnéticas podrían ser detectadas
en superficie?, ¿cuál es la escala espacio-temporal que domina este fenómeno?, ¿qué infor-
mación contienen estas emisiones acerca del proceso del fractura en rocas y su relación con
terremotos?, ¿cómo se relacionan con otros tipo de señales cómo las emisiones acústicas? La
búsqueda de respuestas a estas preguntas no es una tarea sencilla, y la información científica
disponible hasta el momento apunta, muchas veces, en direcciones opuestas y contradicto-
rias. Inclusive, algunos de los artículos que guiaron la investigación en los últimos años, han
sido retirados de las revistas científicas por violaciones a su código de ética [41].
Con el objetivo de orientar estas preguntas y aclarar mucha de la información contradictoria
disponible; en este trabajo se realiza un estudio teórico y experimental enfocado a integrar los
puntos más relevantes del sismo-electromagnetismo. Teniendo en cuenta que la dinámica de
las fracturas en materiales frágiles como las rocas exhibe las mismas propiedades en un rango
amplio de escalas (cm ∼ km) [42, 43], se realiza un experimento de fracturamiento de rocas
pequeñas (∼cm) con la capacidad de detección de emisiones acústicas y electromagnéticas.
A partir de los resultados obtenidos se muestra que en efecto los dos tipos de emisiones
cumplen leyes de escala que permiten la extrapolación a escalas geológicas (∼km). Además,
16
se propone un diagrama de energía contra duración de las emisiones que permite establecer,
de manera cualitativa, el tipo de fractura (corte o tensión) con mayor probabilidad de generar
emisiones electromagnéticas. La extrapolación a escala geológica se realiza a través de dos
modelos: el percolativo y el de redes fractales. Se modelan zonas de falla del orden de km2 con
profundidades menores a 10 km, parámetros asociados con sismos superficiales con capacidad
de generar perturbaciones observables. Para introducir los efectos de la dinámica de la zona
de falla se usa un modelo de fibras FBM (fiber bundle model), de este modo es posible estimar
el orden de magnitud de la perturbación electromagnética justo antes de la ruptura definitiva
de la falla. Los resultados obtenidos son discutidos a la luz de los reportes experimentales y
de las capacidades de detección de los equipos geofísicos actuales.
A continuación se muestra la organización del trabajo. En el primer capítulo se muestran
algunos aspectos generales del fenómeno de ruptura en materiales frágiles, haciendo énfasis
en materiales desordenados y en la existencia de eventos precursores de la fractura final. En
el segundo capítulo se muestra la construcción de un montaje experimental con la capacidad
de detección de emisiones acústicas y electromagnéticas. Se analizan los resultados funda-
mentales obtenidos y se propone una manera de determinar el tipo de fractura que puede
generar emisiones electromagnéticas. En el capítulo tres se discuten los mecanismos más
usados en los reportes científicos y se propone el mecanismo de microfracturamiento como el
que mejor se adapta a los resultados experimentales obtenidos. En el capítulo cuatro se usa
el análisis no extensivo de Tsallis para mostrar las propiedades de escalamiento de las emisio-
nes acústicas y electromagnéticas. En el capítulo cinco se muestra el modo en que se usa la
teoría electromagnética en medios conductivos para analizar la propagación de las emisiones
en escala geológica. En el capítulo seis se usan los modelos percolativos y de redes fractales
junto con el modelo FBM para estimar el orden de magnitud de la perturbación magnética
esperada. Finalmente, en el capítulo siete se analizan y se discuten los resultados.
17
2 | Fracturas en medios desordenados
En materiales desordenados como las rocas los procesos de fractura están gobernados por la
distribución de imperfecciones, defectos e impurezas, alrededor de estas regiones los campos
de esfuerzos se amplifican facilitando la ruptura del material. Esto conduce a que, a diferencia
de los materiales homogéneos y altamente ordenados donde la ruptura se debe a la generación
y propagación de una única fractura, en los desordenados la ruptura se debe a la unión de
pequeñas grietas (microfracturas) que se generan cuando sus componentes más débiles se
rompen gradualmente. La presencia de estas microfracturas es fundamental para entender
la existencia de diferentes tipos de señales consideradas como precursores de fractura. La
descripción matemática de este tipo de procesos no se puede realizar mediante la teoría de
la elasticidad lineal y son necesarios en cambio modelos estadísticos que tengan en cuenta la
alta heterogeneidad presente en estos materiales.
En este capítulo se analizan las causas generales de las fracturas en materiales desordenados
y se introduce el modelo de fibras como método estadístico para describir el comportamiento
de estos materiales cuando se cercan a su ruptura definitiva. Se hace énfasis en el carácter
crítico que exhibe la dinámica de las fibras, aspecto que permite extrapolar los resultados
obtenidos en escala de laboratorio a las escalas geológicas características de los sismos.
18
2.1. Causas de la fractura
Desde el punto de vista de sus propiedades mecánicas y de fractura los materiales se suelen
dividir en dos grandes grupos: frágiles y dúctiles. En los frágiles la relación entre el esfuerzo
aplicado y la deformación cumple la ley de Hooke durante todo el proceso de fracturamiento;
en los dúctiles la deformación supera el límite de validez de la ley de Hooke y se extiende a
una zona de cambios plásticos, irreversibles y no lineales. Las rocas, para los efectos que se
analizan en este trabajo, se consideran materiales frágiles.
Históricamente la causa de la fractura en materiales frágiles se asoció con el concepto de
esfuerzo máximo, una variable macroscópica que, en principio, debe caracterizar dinámica-
mente a los sólidos; por encima de ese esfuerzo el material debería romperse. Sin embargo,
la evidencia experimental muestra que materiales con los mismos constituyentes y bajo las
mismas condiciones, no siguen procesos idénticos de fractura y generalmente fallan dentro
de un rango amplio de esfuerzos externos.
Por otro lado, la idea de un esfuerzo máximo asociado sólo a los constituyentes del material
implica una relación directa con sus características microscópicas. Sin embargo, estimaciones
numéricas basadas en interacciones moleculares, han mostrado que los materiales son más
"débiles"de lo que predicen los análisis microscópicos.
En efecto, si se toma el potencial de Van der Walls, V (r), para representar las interacciones
moleculares, es posible estimar la fuerza y el esfuerzo necesario para separar dos planos de
átomos y producir una fractura. El potencial V (r) viene dado por:
V (r) =kRr12− kAr6, (2.1)
donde r es la distancia entre las moléculas y kR y kA representan, respectivamente, los
términos repulsivo y atractivo del potencial.
19
Figura 2.1: A. Representación de dos capas de átomos durante el proceso defractura. σ es el esfuerzo externo aplicado, d0 es la distancia de separación encondiciones de equilibrio (sin aplicación de esfuerzos) y x la separación producidapor el esfuerzo aplicado. B. Fuerza y esfuerzo en función de r calculados a partirde la Ecuación 2.1. La linea punteada representa la zona de validez de la ley deHooke.
Inicialmente los átomos se encuentran separados una distancia d0 que corresponde a su
estado de equilibrio mecánico (Figura 2.1A). El agente externo debe aplicar el esfuerzo σ
hasta que las dos capas se separen una distancia x fuera de la región de validez de la ley de
Hooke. Como se aprecia cualitativamente en los gráficos de la fuerza F (r) y esfuerzo σ(r)
(Figura 2.1B), esta separación corresponde casi al doble de la distancia de equilibrio, por
consiguiente:
σ = Eu ≈ Ex− d0d0
≈ E, (2.2)
donde E es el módulo de Young y u es la deformación relativa. Como se aprecia en la Ecuación
2.2, el estrés crítico es del mismo orden de magnitud que el módulo de Young. Para el caso
del silicio esto corresponde a 130 GPa. Sin embargo, los experimentos muestran valores hasta
tres órdenes de magnitud menores [44]. Discrepancias similares son encontradas no sólo en
20
compuestos puros sino también en rocas y aleaciones [45].
2.2. Concentradores de esfuerzo
Los estimativos basados en la Ecuación 2.2 no tienen en cuenta la alta complejidad presente
en los materiales. Uno de esos aspectos es la deformación del campo de esfuerzos que pro-
ducen las imperfecciones dentro del material. En 1913 Inglis [46] demostró que los defectos
aumentan la magnitud del campo esfuerzos alrededor de ellos, produciendo lo que se conoce
como concentración de esfuerzos. Para ilustrar este efecto se puede considerar un material
con una sola imperfección en su interior. Para simplificar los análisis el material se consi-
dera bidimensional y el defecto se modela como un agujero de forma elíptica, esto permite
analizar diferentes configuraciones asociadas con el tamaño y la forma de la imperfección
(Figura 2.2). El problema elástico implica resolver el conjunto de ecuaciones de equilibrio
Figura 2.2: A. Placa bidimensional con un defecto elíptico en su interior, se aplicaun esfuerzo σ0 en dos de sus bordes. B. Problema electrostático análogo, se aplicauna diferencia de potencial V0.
para el esfuerzo y la deformación. Este problema es en general complicado debido a que estos
21
campos son tensores de segundo rango. Sin embargo, en el caso estático los problemas elás-
ticos pueden replantearse a través de analogías con problemas electrostáticos. Para ver esto
se puede considerar la ecuación que satisface el vector de deformación u cuando el material
está en equilibrio estático. Para un material homogéneo e isótropo esta ecuación es:
(λ+ 2µ)∇(∇ · u)− µ∇× (∇× u) = 0, (2.3)
donde λ y µ son las constante de Lamé. Si el material no presenta deformaciones de tipo
corte (∇× u = 0), entonces la Ecuación 2.3 se reduce a una ecuación de Laplace para cada
componente del campo u. En el caso bidimensional se tiene:
∇2ux = 0,
∇2uy = 0.
(2.4)
Las Ecuaciones 2.4 deben combinarse con las ecuaciones constitutivas (ley de Hooke) para
materiales homogéneos e isótropos. Asumiendo un cuerpo bidimensional al que se le aplica
sólamente un esfuerzo en la dirección y (σyy) como se indica en la Figura 2.2 se tiene:
0 = (λ+ 2µ)exx + λeyy,
σyy = λexx + (λ+ 2µ)eyy,
(2.5)
donde eij son las componentes del tensor de deformaciones. De las Ecuaciones 2.5 se puede
obtener de manera directa una relación entre σyy y uy:
σyy = Keyy = K∂uy∂y
, (2.6)
donde K = 4µ(λ + µ)/(λ + 2µ). En el caso electrostático para una lámina conductora, las
ecuaciones que gobiernan el flujo de corriente eléctrica son la ecuación de Laplace para el
22
potencial eléctrico V :
∇2V = 0, (2.7)
y la ley de Ohm, que para la componente y de la densidad de corriente (Jy) es:
Jy =1
ρEy =
1
ρ
∂V
∂y, , (2.8)
donde ρ es la resistividad eléctrica del material y Ey la componente y del campo eléctri-
co.
Comparando las Ecuaciones 2.4 y 2.6 con las Ecuaciones 2.7 y 2.8 se puede establecer la
siguiente analogía entre las variables asociadas a los problemas elástico y electrostático:
uy ←→ V,
σyy ←→ Jy,
K ←→ 1/ρ.
(2.9)
De este modo los materiales caracterizados por la ley de Hooke y sus constantes elásticas,
se pueden asemejar a conductores óhmicos caracterizados por su resistividad eléctrica. La
ventaja de este acercamiento es la naturaleza escalar del potencial eléctrico; a partir de
su determinación es posible calcular las componentes del campo eléctrico y la densidad de
corriente. La analogía gráficamente se puede apreciar en la Figura 2.2.
La aplicación de un esfuerzo externo es equivalente a la conexión de una diferencia de po-
tencial V0 en lados opuestos de la lámina. La solución completa del problema electrostático
se encuentra en [47] . El resultado muestra que la componente Jy de la densidad de corriente
eléctrica en los puntos (±a, 0), justo en el extremos del agujero elíptico, toma la forma:
Jy = J0
(1 +
a
b
), (2.10)
23
donde J0 es el valor de la densidad de corriente lejos del agujero. Este resultado es de
esperarse debido a la condición de frontera en el perímetro del agujero; ya que la carga
eléctrica no puede salir de la lámina, las líneas de densidad de corriente deberán deformarse,
concentrándose en el extremo de la imperfección. De acuerdo con la ley Ohm, la misma
concentración es experimentada por el campo eléctrico. Expresando la Ecuación 2.10 en
términos de sus análogos elásticos (relaciones 2.9) se tiene:
σyy = σ0
(1 +
a
b
), (2.11)
Como puede apreciarse, la magnitud del esfuerzo en el extremo de la imperfección se in-
crementa en un factor que depende de la razón entre los semiejes de la elipse; cuanto más
alargado sea el agujero más grande será el esfuerzo en su extremo; la imperfección concentra
el esfuerzo externo aplicado. Es importante notar que este resultado es independiente del ta-
maño de la elipse, sólo es relevante la razón a/b. Esto implica que incluso defectos en escala
microscópica pueden ser concentradores esfuerzo.
Este análisis, aunque en extremo simplificado, permite ver que el esfuerzo externo aplicado
no es una medida de las tensiones internas que experimenta un material real, donde la
concentración de defectos en diversas escalas suele ser bastante alta.
2.3. Teoría de Griffith
En 1921 Griffith [48] propuso una extensión del concepto de concentradores de esfuerzo,
analizando las fracturas en materiales como un problema de balance energético. Desde un
punto de vista termodinámico, la creación de la fractura implica la relajación de cierta
cantidad de energía elástica al tiempo que aumenta la energía superficial asociada con la
creación de las dos caras internas en la fractura. Si la energía elástica relajada es mayor que
la energía superficial, será energéticamente favorable que la fractura se propague a partir
24
Figura 2.3: A. Propagación de una fractura bajo la aplicación de un esfuerzoexterno σ, x es la distancia que ha avanzado el extremo de la fractura y las líneaspunteadas limitan la zona relevante para el cálculo de la energía elástica. B. Semuestran las energías elástica UE , superficial US y total UT = UE +US . Se puedeapreciar que la fractura se propagará indefinidamente sólo si la fractura supera lalongitud crítica xc.
de un punto de nucleación; al contrario, si la energía necesaria para la creación de nuevas
superficies de fractura es mayor que la disminución de la energía elástica entonces la fractura
no crecerá.
Este balance energético se puede apreciar en la propagación de una pequeña fractura dentro
de un material cúbico de lado L (Figura 2.3A). La fractura es producida por la aplicación
de un esfuerzo σ. De acuerdo con la solución al problema de Inglis, el campo de esfuerzos
se concentra en el extremo la fractura, mientras que en la zona cercana a las superficies de
la fractura el valor del campo de esfuerzos es casi cero. El tamaño de esta zona “libre de
esfuerzo” se puede aproximar al volumen v de un semicilindro con radio x y longitud L; de
este modo la disminución de energía elástica en el material viene dada por:
∆UE = − σ
2Ev = − σ
2E
πx2L
2. (2.12)
La creación de las superficies de fractura aumenta la energía del material una cantidad ∆Us,
25
dada por:
∆US = 2ΓxL, (2.13)
donde Γ es la energía superficial por unidad de área y el factor 2 representa las dos superficies
creadas. Como se aprecia en la Figura 2.3B, el cambio neto de energía ∆UT = ∆UE + ∆US
presenta un máximo en el valor crítico x = xc. Para x < xc el estado energéticamente más
favorable corresponde a x = 0, es decir la fractura no crecerá. Por el contrario, para x > xc
la fractura se propagará abarcando todo el material. El valor crítico xc se obtiene con la
condición δ∆UT = 0, de este modo:
xc =4ΓE
πσ2(2.14)
Este resultado se puede escribir también en términos del valor de esfuerzo crítico, σc, que hará
que una fractura de longitud x crezca indefinidamente. Invirtiendo la Ecuación 2.14:
σc =2√
ΓE√πx
=K ′√2x
(2.15)
donde:
K ′ =2√
2ΓE√π
, (2.16)
se denomina factor de intensidad. El análisis de Griffith permite entender las condiciones
que propician la propagación de una fractura en materiales frágiles, e inclusive sus resultados
pueden extenderse a materiales dúctiles donde la energía elástica liberada por la fractura se
dispersa en forma de deformaciones plásticas.
2.4. Nucleación y percolación.
De acuerdo con la teoría de Griffith, en un material homogéneo y altamente ordenado la
presencia de un defecto puntual permitirá la generación y la propagación de una fractura bajo
la aplicación de un esfuerzo externo. En este escenario la fractura del material se producirá
26
Figura 2.4: Nucleación y percolación como comportamientos extremos del procesode fractura. En el proceso de nucleación el proceso de ruptura es gobernado porel crecimiento de una sola fractura, en la percolación la fractura se debe a lacoalescencia de microfracturas.
debido al avance una sola fractura que, después de un tiempo, llevará a la ruptura final. Este
proceso se conoce como nucleación.
Por otro lado, en un material altamente desordenado se espera la presencia de una gran
cantidad de pequeños defectos que no tendrán la longitud crítica necesaria para crecer indi-
vidualmente y fracturar el material. Debido a esto, el proceso de fractura no estará gober-
nado por la nucleación de una sola fractura sino por la generación continua y la coalescencia
aleatoria de microfracuras que, finalmente, formarán una fractura lo suficientemente grande
para dividir el material. Este proceso se denomina percolación. En la Figura 2.4 se muestra
esquemáticamente la diferencia entre estos dos procesos de fracturamiento.
¿Por qué es importante diferenciar estos dos fenómenos? En un proceso de nucleación la
fractura que finalmente divide el material aparece desde el comienzo del proceso, todo está
gobernado por la dinámica de una sola fractura sin la presencia de precursores. En el proceso
de percolación la ruptura final es el resultado de la generación y la unión de microfracturas,
cada evento individual se puede ver como un evento precursor. De este modo, las fracturas
en materiales desordenados exhiben eventos precursores que podrían permitir la predicción
de la ruptura final, algo que no es posible en un material ordenado.
27
Figura 2.5: Representación del modelo de fibras.
2.5. Modelo de fibras
La caracterización matemática de los procesos de nucleación y percolación no se puede rea-
lizar mediante la teoría lineal de la elasticidad; el alto grado de desorden en el sistema y el
hecho de trabajar en la zona de fracturamiento hace que aproximaciones lineales no repre-
senten toda la dinámica del sistema. Para enfrentar el problema es necesario usar modelos
estadísticos que permitan el análisis de sistemas altamente desordenados y que mediante el
ajuste de algunos parámetros exhiban transiciones entre procesos de nucleación y de perco-
lación. Uno de los modelos más sencillos que cumple con estos requisitos es el denominado
modelo de fibras [49]. En este modelo el material se representa como conjunto de fibras unidi-
mensionales sometidas a un esfuerzo externo (ver Figura 2.5). Cada fibra soporta un esfuerzo
umbral por encima del cual la fibra se rompe irreversiblemente. En un sistema perfectamen-
te ordenado todas las fibras tendrán el mismo esfuerzo umbral mientras que en un sistema
altamente desordenado el esfuerzo umbral vendrá dado por alguna distribución estadística
que represente este desorden.
La dinámica del sistema está gobernada por la forma como se distribuye el esfuerzo después de
la ruptura de una fibra. En este sentido el modelo se divide en dos categorías. En la primera
28
0 10 20 30 400
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
t(U.A.)
N(t)
0 10 20 30 400
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
t(U.A)
σ(t)
Figura 2.6: Número N(t) de fibras sobrevivientes y esfuerzo σ(t) soportado porcada fibra. En este caso se aplicó un esfuerzo superior al crítico.
categoría, después de la ruptura de una fibra el esfuerzo se redistribuye uniformemente
entre todas las fibras sobrevivientes, esto también se conoce también como ELS (equal load-
sharing). En la segunda categoría, después de una ruptura el esfuerzo se redistribuye sólo
entre las fibras sobrevivientes más cercanas, esto se denomina LLS (local load-sharing).
En las Figuras 2.6 y 2.7 se puede ver resultado de una simulación que calcula el número de
fibras sobrevivientes, N(t), y el esfuerzo σ(t), como funciones del tiempo. La implementación
computacional del modelo se puede consultar en el apéndice 1. Se tomó un conjunto de 10000
fibras y el esfuerzo límite que soporta cada una se escogió aleatoriamente en el intervalo (0, 1).
En el tiempo t = 0 se aplicó una carga inicial que rompe cierto número de fibras, después
de esto el esfuerzo se redistribuye uniformemente entre las fibras sobrevivientes (ELS). En el
tiempo t = 1 (primera iteración) se recalcula el esfuerzo que soporta cada fibra y se determina
el nuevo conjunto de fibras rotas. El proceso se repite hasta que se alcanza el equilibrio, ya
sea porque todas las fibras se rompen o porque un número final de fibras puede mantener
29
0 10 20 30 400
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
t(U.A.)
N(t)
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 10−3
t(U.A)
σ(t)
Figura 2.7: Número N(t) de fibras sobrevivientes y esfuerzo σ(t) soportado porcada fibra. En este caso se aplicó un esfuerzo inferior al crítico.
la carga sin romperse. La Figura 2.6 corresponde a la situación donde todas las fibras se
rompen debido a que se aplicó un esfuerzo superior al crítico. La Figura 2.7 corresponde al
caso donde un conjunto de fibras puede soportar finalmente el esfuerzo aplicado sin romperse;
en este caso se aplicó un esfuerzo menor al crítico.
Una consecuencia importante del modelo de fibras es la naturaleza crítica que asocia al
fenómeno de ruptura. Si se aplica un esfuerzo superior al crítico, todas las fibras colapsarán
catastróficamente. Este comportamiento se muestra en la Figura 2.8. En este caso la carga
que soporta todo el conjunto de fibras se aumentó gradualmente; para cargas pequeñas un
gran número de fibras sobreviven, este número disminuye de forma lenta y gradual a medida
que aumenta la carga. Sin embargo, cuando el número de fibras sobrevivientes corresponde a
la mitad del valor inicial, todas las fibras colapsan abruptamente. Este es un comportamiento
similar al observado en los sistemas físicos que experimentan transiciones de fase de primer
orden.
30
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
σ
N(σ
)
Figura 2.8: Número de fibras sobrevivientes como una función del esfuerzo apli-cado. El esfuerzo se expresa en unidades arbitrarias.
Puede apreciarse también que cuando el esfuerzo alcanza valores cercanos al crítico, el número
de fibras rotas por unidad de tiempo aumenta considerablemente, lo que se puede interpretar
como una señal de la ruptura definitiva.
Los resultados obtenidos numéricamente se pueden reproducir a partir de soluciones analí-
ticas del modelo. Si W es la fuerza aplicada al conjunto de fibras, N0 el número inicial de
fibras y N(t) es el número de fibras sobrevivientes en el tiempo t, entonces el esfuerzo σ(t)
que soportan las fibras sobrevivientes en el tiempo t es:
σ(t) =W
N(t)=
W
N0N(t)
N0
=σ0n(t)
, (2.17)
donde n(t) = N(t)/N0 es la proporción de fibras sobrevivientes en el tiempo t y σ0 = W/N0
es el esfuerzo inicial. Si p(σlim) representa la distribución de probabilidad de los esfuerzos
límite que soporta cada fibra, la fracción de fibras sobrevivientes en el tiempo t+ 1 se puede
31
Figura 2.9: Distribución de probabilidad del esfuerzo limite que soporta cadafibra. La región sombreada representa la proporción de fibras rotas en el tiempo t.
escribir como (Figura 2.9):
n(t+ 1) = 1−∫ σt
0
p(σlim)dσlim. (2.18)
Las Ecuaciones 2.17 y 2.18 se pueden escribir en forma de relación de recurrencia:
n(t+ 1) = 1−∫ σ0
n(t)
0
p(σlim)dσlim,
n(0) = 1.
(2.19)
Si se escoge una distribución uniforme entonces p(σlim) = 1 y la Ecuación 2.19 queda:
n(t+ 1) = 1− σ0n(t)
. (2.20)
El equilibrio se alcanza cuando n(t + 1) = n(t), por consiguiente, la ecuación que indica el
número de fibras nfinal que sobreviven todo el proceso es:
n2final − nfinal + σ0 = 0, (2.21)
cuya solución es:
nfinal =1
2+
(1
4− σ0
)1/2
. (2.22)
32
Como se observa en la Ecuación 2.22, el máximo valor posible para el esfuerzo inicial aplicado
es σ0 = σc = 1/4 y cuando se alcanza este valor, la proporción de fibras sobrevivientes es
nfinal = nc = 1/2, que es justamente lo encontrado en la simulación (Figura 2.8).
La Ecuación 2.22 se puede escribir de una forma que resalta el carácter crítico de la ruptura.
Si se define un parámetro s(σ) como s(σ) = nfinal − nc ,se tiene que:
s(σ) = (σc − σ)1/2 . (2.23)
Esta forma potencial que adquiere s(σ) cerca de la transición, coincide con la forma que toma
el parámetro de orden en las transiciones de fase de una amplia variedad de sistemas físicos.
Este hecho muestra que, en sistemas desordenados, el proceso de ruptura se puede ver como
una transición de fase entre estados de ruptura parcial y ruptura total. En estas transiciones,
cuando el sistema se acerca al punto crítico, la forma potencial que exhibe el parámetro de
orden hace que el sistema se comporte igual en todas las escalas de longitud, no hay ninguna
escala representativa del sistema; todas son equivalentes. En el caso de un sistema de fibras
bajo la aproximación ELS este resultado es de esperarse, el hecho de redistribuir el esfuerzo
entre todas las fibras del sistema hace que, de entrada, no exista un rango de interacción
típico, o en otros términos, este rango es infinito.
El análisis anterior muestra que el modelo de fibras bajo la aproximación ELS se pueda usar
como una primera aproximación a la dinámica de las fracturas y entender así los eventos
precursores cerca de la transición. Estas observaciones han motivado que diferentes autores
[50, 51, 52] propongan estos modelos como representativos de la dinámica de terremotos. En
el caso de la corteza terrestre, la interacción entre las placas tectónicas produce un aumento
lento del esfuerzo soportado en las zonas de falla. Sin embargo, de forma similar a lo que se
presenta en las fibras, cuando se alcanza cierto valor crítico, la corteza falla catastróficamente
produciendo el sismo.
Los eventos precursores podrían ser detectados a través de emisiones de energía que toman
33
la forma de señales acústicas o electromagnéticas. Las primeras han sido ampliamente estu-
diadas en diversos sistemas físicos; las segundas son mucho más sutiles y difíciles de detectar
y caracterizar. En el próximo capítulo se presenta un estudio experimental que muestra la
presencia de emisiones acústicas y electromagnéticas durante el proceso de fracturamiento
de rocas. Como se verá en el análisis estadístico, el comportamiento de estas emisiones sigue
el carácter crítico esperado en materiales desordenados.
34
3 | Estudio experimental
La principal evidencia experimental que sustenta la presencia de emisiones electromagnéticas
prefractura viene de experimentos en escala de laboratorio. Desde la década de los setenta
se ha comprobado que rocas con alto contenido de cuarzo emiten radiación electromagnética
cuando son sometidas a diferentes tipos de esfuerzos, tanto de compresión como de cizalla.
Aunque se puede pensar que las propiedades piezoeléctricas del cuarzo son las responsables
de estas emisiones, se han detectado fenómenos similares en rocas ígneas, donde la presencia
de minerales piezoeléctricos es nula.
Al mismo tiempo el espectro de emisión de estas radiaciones es bastante amplio. Señales en
el rango de kHz y MHz han sido detectadas en la mayoría de los experimentos. En otros
montajes experimentales se han detectado también emisiones tanto en el espectro visible
como en el infrarrojo e inclusive se han observado descargas eléctricas (efecto corona) que se
asocian con una alta densidad de carga eléctrica en la superficie de la roca.
Algunas de las principales dificultades para detectar las emisiones electromagnéticas se ori-
ginan en su baja amplitud y en la presencia de ruido electromagnético de origen industrial
y cultural. En efecto, a diferencia de otro tipo de emisiones como las acústicas, la emisio-
nes electromagnéticas pueden ser fácilmente apantalladas por señales provenientes del propio
montaje experimental o de interferencias externas. En los últimos años los diseños experimen-
tales se han enfocado en amplificar las señales provenientes de las rocas, en reducir al mínimo
posible el ruido ambiental y las interferencias, y en estudiar la relación que existe con otro
35
tipo de precursores de fractura como la emisiones acústicas. La correcta implementación de
estos montajes experimentales es fundamental para obtener estimativos precisos de la inten-
sidad y el comportamiento estadístico de la emisiones electromagnéticas; las extrapolaciones
a escala geológica evidentemente estarán basadas en estos resultados.
A pesar de la importancia de este tipo de estudios los reportes aún muestran resultados limi-
tados y contradictorios. Con el objetivo de aclarar algunas de estas discrepancias y obtener
nuestras propias conclusiones, se ha desarrollado un experimento de compresión de pequeñas
muestras de roca. Para obtener la mayor cantidad de información posible, el montaje tiene la
capacidad de detectar, simultáneamente, las emisiones acústicas y electromagnéticas durante
todo el proceso de carga y fracturamiento. Se ha escogido un experimento de compresión
uniaxial debido a que este tipo de carga originará, predominantemente, microfracturas tipo
tensión al comienzo del proceso y de corte cerca de la ruptura definitiva de la muestra, de
este modo se podrán apreciar, en un solo experimento, los efectos de los dos tipos de fractura
en las emisiones acústicas y electromagnéticas.
A continuación se muestra el diseño, la construcción y los resultados del montaje experimental
realizado en las instalaciones del Institute of Geophysics perteneciente a la China Earthquake
Administration en la ciudad de Beijing, China.
3.1. Montaje experimental
Un esquema del montaje experimental se muestra en la Figura 3.1. La detección de las
emisiones acústicas se realizó a través de un transductor piezoeléctrico conectado al soporte
de la máquina de compresión. Se escogió esta ubicación para causar la menor interferencia
electromagnética posible; debido a que las emisiones acústicas son ondas mecánicas que se
propagan a lo largo de todo el montaje, estas pueden ser detectadas de forma indirecta en
la base del dispositivo.
36
Figura 3.1: Esquema del montaje experimental
La detección de las emisiones electromagnéticas se hizo usando un sensor capacitivo com-
puesto de dos láminas cuadradas y paralelas de cobre de 50.0 mm de lado. Cada lámina se
ubicó a 5.0 mm de las caras de la roca. Esta es una diferencia importante con respecto a otros
montajes propuestos en investigaciones similares donde esta detección se hace con antenas o
magnetómetros ubicados cerca de la muestra. El sensor capacitivo tiene la ventaja de rodear
una buena parte de la roca garantizando la detección de la mayor parte de las emisiones
generadas durante el experimento independientemente de su patrón de radiación.
La calibración del sensor electromagnético se realizó usando un antena electromagnética emi-
sora (tomada de un teléfono celular) cuyos parámetros de amplitud y frecuencia se conocían
de antemano. En este proceso el sensor mostró una respuesta eficiente en todo el rango de
frecuencias habilitadas en el sistema de adquisición, esto es de 2.50 kHz a 800 kHz.
Tanto la señal acústica como la electromagnética son preamplificadas con un dispositivo de
bajo ruido y después son detectadas en dos canales independientes del sistema de adquisición.
El rango de amplitud medido es 0.10 mV - 10.0 V y la frecuencia de muestreo por canal
es de 2.0 MHz. Para evitar la generación de ruido proveniente de máquinas o circuitos
eléctricos, la roca fue fracturada usando una prensa hidráulica manual. La tasa de aplicación
del esfuerzo fue aproximadamente 16 kPa/s lo que llevó a ruptura final de la roca en 360
37
s. Todo el montaje experimental fue introducido en una jaula de Faraday para bloquear el
ruido electromagnético producido en el laboratorio. La jaula se construyó con una fina red
de cobre montada en un marco cúbico. Un sensor electromagnético extra ubicado en una de
las esquinas del montaje mostró que la malla genera un excelente efecto de apantallamiento
durante el experimento. En la Figura 3.2 se muestra la fotografía del montaje experimental
y de la jaula de Faraday.
Figura 3.2: Fotografía del montaje experimental (izquierda) y de la jaula deFaraday (derecha) usada para generar el apantallamiento electromagnético.
Las muestras usadas corresponden a núcleos cilíndricos de granito de 2.5 cm de radio y 6.0
cm de alto. Todas las rocas fueron sometidas a un proceso de secado para reducir el contenido
de agua en su interior. Las mediciones de sus propiedades mecánicas mostraron un módulo
de Young E = 56.5 GPa y una constante de Poisson de s = 0.22. Las muestras fueron
obtenidas del Distrito de Fangshan, Beijing, China, con una composición mineralógica de:
cuarzo 20 %, plagioclasa 30 %, feldespato 15 %, biotita 15 % y horblenda 8 %. En la Figura
3.3 se puede ver el estado típico de las muestras antes y después de la ruptura.
38
Figura 3.3: Fotografía de las muestras antes y después del proceso de fractura.
3.2. Series de tiempo y definición de emisiones individua-
les
Las mediciones obtenidas durante el experimento se pueden representar mediante las series de
tiempo de la potencia de emisión de las señales acústicas y electromagnéticas. La potencia
P (t) de la señal en un tiempo t, se calcula con el cuadrado del voltaje detectado por el
sistema de adquisición (P (t) ∝ v2(t)). Siguiendo estudios realizados en condiciones similares
a las nuestras [53, 54] se tomó como umbral de ruido para las dos emisiones 26 dB. En las
Figuras 3.4 y 3.5 se muestran, respectivamente, las potencias asociadas con las emisiones
acústicas y electromagnéticas por encima del umbral de ruido escogido. Es claro que el
número e intensidad de las emisiones acústicas es mayor que los valores correspondientes
para las emisiones electromagnéticas, sin embargo, la caracterización completa de las señales
exige una definición precisa de las emisiones individuales.
39
Figura 3.4: Potencia de la señal acústica como una función del tiempo.
Figura 3.5: Potencia de la señal electromagnética como una función del tiempo.
40
Para el caso de las emisiones acústicas es necesario definir el tiempo de inicio de un evento
individual (ti) y su tiempo de finalización (tf ), esta labor no es sencilla debido a la gran
cantidad de señales emitidas en intervalos de tiempo pequeños. Para este fin se eligió el mismo
criterio usado en [53] y [54], un evento individual comienza cuando la señal de potencia cruza
el umbral de ruido hacia arriba, y termina cuando cruza el umbral de ruido hacia abajo y
permanece allí durante un tiempo ∆t (Figura 3.6). El tiempo ∆t depende de las escalas de
tiempo características de cada experimento, por consiguiente debe ser estimado a partir de
la información dada por las series de tiempo.
Figura 3.6: Caracterización de los eventos individuales. El tiempo de inicio de laemisión ti se determina cuando la señal cruza el umbral de ruido hacia arriba. Eltiempo de finalización de la señal tf se determina cuando la señal cruza el umbralde ruido hacia abajo y permanece allí por un tiempo superior a ∆t.
Para nuestro caso se diseñó un algoritmo que analiza la convergencia del número de emisio-
nes como función de ∆t. El algoritmo calcula, en un intervalo tiempo dado, el número de
emisiones para un amplio rango de valores ∆t; se espera que valores muy pequeños o muy
grandes de ∆t impliquen variaciones grandes en el número de emisiones, sin embargo, debe
existir una zona de convergencia donde las variaciones de ∆t no producen variaciones en el
número de emisiones. Este comportamiento se puede observar en la Figura 3.7. El intervalo
analizado va de 245.0s a 248.5s. En el panel inferior se puede ver que la zona de convergencia
para ∆t va de 0.5 ms a 3 ms, en esa región el número de emisiones permanece constante
41
245 245.5 246 246.5 247 247.5 248 248.510
−3
10−2
10−1
100
t (s)
E(U
.A.)
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
101
102
103
∆t (s)
Num.emisiones
Figura 3.7: Prueba de convergencia para calcular ∆t. En el panel superior semuestra una ventana de tiempo entre 245.0 s y 245.5 s donde se pueden contar 24eventos. En el panel inferior se muestra el número de emisiones como una funcióndel ∆t elegido; se puede observar que para ∆t en el intervalo (0.5 ms, 3.0 ms) elnúmero de emisiones converge justamente a 24.
en un valor 24. En el panel superior se pueden contar las emisiones calculadas con un valor
∆t = 1.5 ms; una simple inspección visual permite ver que el criterio reproduce lo encontra-
do en la señal. Se comprobó que el mismo valor de ∆t funciona también para las emisiones
electromagnéticas, lo cual es de esperarse debido a que los eventos individuales están mas
separados en el tiempo.
3.3. Comparación entre eventos individuales
Muchos de los mecanismos de generación de emisiones electromagnéticas propuestos en la
literatura científica, relacionan estas emisiones directamente con la generación de fracturas y
por consiguiente con emisiones acústicas. Una evaluación directa de estos modelos implica la
42
0 2000 4000 6000 8000−1
−0.5
0
0.5
1
t(µs)
V/Vmax
0 20 40 60 80 100 1200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(µs)
V/Vmax
Figura 3.8: Formas representativas de las emisiones acústicas (izquierda) y elec-tromagnéticas (derecha) obtenidas durante el experimento. En el eje vertical serepresenta el voltaje de la emisión normalizado a su valor máximo y en el eje ho-rizontal se representa el tiempo en microsegundos contado a partir de un tiempoarbitrario antes del comienzo de la emisión.
comparación entre los dos conjuntos de emisiones durante todo el proceso de fractura.
A diferencia de lo que reportan algunos investigadores, en el experimento se encontraron
importantes diferencias entre las principales características de las dos emisiones.
En primer lugar se encontró una diferencia de hasta tres órdenes de magnitud entre los
tiempos de duración τ (τ = ti − tf ) para la emisiones individuales. En la Figura 3.8 se
puede apreciar un ejemplo representativo de una emisión acústica y una electromagnética.
En este caso la duración del evento acústico es del orden de τ ≈ 2000 µs mientras que para
el electromagnético es de τ ≈ 15 µs. Este comportamiento es sistemático a lo largo de la dos
series de tiempo.
Otra importante diferencia es la ausencia de correlación directa entre algunas emisiones elec-
tromagnéticas y las emisiones acústicas. En efecto, fueron detectados algunos intervalos de
tiempo, principalmente al comienzo del proceso de carga, donde las señales electromagnéti-
cas no están asociadas directamente con la presencia de emisiones acústicas. El número total
de emisiones electromagnéticas detectadas que cumplen con esta característica es de doce,
algunas de la cuales pueden ser apreciadas en la Figura 3.9. Como puede verse, para estas
emisiones electromagnéticas (curvas rojas) la actividad acústica (curvas azules) se mantiene
43
por debajo del umbral de ruido (curva negra continua).
8.7486 8.7486 8.7486 8.7486 8.7486 8.7486 8.7486 8.7487 8.7487 8.74870
0.05
0.1
t (s)
V(t)
11.1142 11.1142 11.1142 11.1142 11.1142 11.1143 11.1143 11.1143 11.1143 11.11430
0.05
0.1
t (s)
V(t)
20.7145 20.7145 20.7145 20.7145 20.7145 20.7146 20.7146 20.7146 20.7146 20.71460
0.05
0.1
t (s)
V(t)
41.7441 41.7441 41.7441 41.7441 41.7441 41.7441 41.7441 41.7442 41.7442 41.7442−0.1
0
0.1
t (s)
V(t)
132.1724 132.1724 132.1724 132.1724 132.1724 132.1724 132.1725 132.1725 132.1725 132.17250
0.1
0.2
t (s)
V(t)
Figura 3.9: Ejemplos de emisiones electromagnéticas (curvas rojas) detectadas enalgunos intervalos del proceso y que no están asociadas con aumento significativode la actividad acústica (curvas azules). La línea negra continua representa elumbral de ruido escogido; puede verse que la señal acústica en todos los casosmostrados se mantiene abajo de este umbral.
El comportamiento recíproco también fue encontrado: muchas de la emisiones acústicas
no están asociadas con la generación de emisiones electromagnéticas. En la Figura 3.10 se
puede apreciar una serie de diez emisiones acústicas sin ninguna actividad electromagnética
asociada por encima del nivel de ruido. Teniendo en cuenta la razón entre el número de
emisiones acústicas (∼ 3000) y electromagnéticas (∼ 100) se estima que el 97 % de las
emisiones acústicas no están asociadas con emisiones electromagnéticas.
Es importante notar también que inclusive para las emisiones electromagnéticas que se pre-
44
18.21 18.215 18.22 18.225 18.23 18.235−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
t(s)
V(t)
Figura 3.10: Intervalo de la serie de tiempo que muestra diez emisiones acústi-cas (curva azul) sin ninguna actividad electromagnética (curva roja) asociada porencima del nivel de ruido (linea negra)
sentan simultáneamente con niveles altos de actividad acústica, existe una diferencia signi-
ficativa entre los tiempos de inicio de estos eventos. Sólo un pequeño número de emisiones
electromagnéticas comienza simultáneamente con una acústica; en general el comienzo de
una emisión electromagnética se presenta después del inicio de una acústica y en ninguno
de los casos se encontró actividad electromagnética que pueda considerarse precursora de la
acústica. Además, hacia el final del proceso de fractura se puede apreciar que varias emisio-
nes electromagnéticas aparecen durante el tiempo de vida de una sola emisión acústica. En
la Figura 3.11 pueden apreciarse ejemplos de estos dos comportamientos.
45
371.587 371.588 371.589 371.59 371.591 371.592−4
−2
0
2
4
t(s)
Voltaje(V
)
371.66 371.662 371.664 371.666 371.668 371.67−3
−2
−1
0
1
2
t(s)
Voltaje(V
)
Figura 3.11: Arriba: Múltiples emisiones electromagnéticas (rojo) que se pre-sentan durante la existencia de una sola emisión acústica (azul). Abajo: Emisiónelectromagnética (rojo) coincidente con el origen de una emisión acústica (azul).
3.4. Análisis estadístico de las emisiones
Además de las diferencias encontradas entre emisiones individuales, las series de tiempo
muestran importantes diferencias cuando se analizan estadísticamente. Para ver esto es ade-
cuado interpretar las emisiones como eventos energéticos puntuales que se presentan en el
tiempo de inicio de la emisión.
La energía de las emisiones se puede calcular a partir de la integral de la señal de potencia,
v2(t), entre el comienzo y el fin de cada evento:
En ∝∫ tfn
tin
v2(t)dt, (3.1)
donde tin y tfn representan, respectivamente, los tiempos de inicio y finalización de la enésima
46
emisión. Desde este punto de vista, los dos conjuntos de emisiones se pueden representar
como eventos puntuales asociados con el tiempo de inicio tin. Los resultados de este análisis
se pueden ver en la Figura 3.12. En estos gráficos se hace evidente que la actividad acústica
domina en número de emisiones y energía a la electromagnética.
0 50 100 150 200 250 300 35010
−3
10−2
10−1
100
101
102
103
104
105
106
107
t(s)
Ei(t)
0 50 100 150 200 250 300 35010
−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
104
105
t(s)E
i(t)
Figura 3.12: Energía de los eventos acústicos (izquierda) y electromagnéticos(derecha) como una función del tiempo. En el eje vertical se representa la energíaen unidades arbitraria y en le horizontal el tiempo medido en segundos.
Un modo más cuantitativo de ver las diferencias estadísticas entre las emisiones es a partir
de la distribución acumulada de eventos N(E) la cual mide el número de emisiones N con
energía superior a E. Esta distribución es usada ampliamente en el estudio de catálogos de
terremotos en todo el mundo y ha resultado ser clave en la evaluación de diversos modelos
estadísticos que se han propuesto para entender la dinámica de los sismos. En las Figuras
3.13 y 3.14 se muestran las distribuciones N(E) para las dos emisiones.
Como puede apreciarse, para energías mayores a cierto valor de corte las funciones N(E) pre-
sentan un comportamiento lineal en escala logarítmica, lo que implica una relación potencial
de la forma:
N(E) ∼ E−b, (3.2)
donde b es un parámetro positivo. La Ecuación 3.2 es similar a la ley de Gutenberg-Richter
encontrada en los catálogos de sismos. El parámetro b para las dos emisiones puede ser
47
10−2
10−1
100
101
102
103
104
10−4
10−3
10−2
10−1
100
E (U.A.)
N(E)
Ntotal
Figura 3.13: Distribución acumulada de eventos acústicos N(E) como funciónde la energía E. N(E) está normalizada a su valor máximo y la energía se expresaen unidades arbitrarias.
10−3
10−2
10−1
100
10−2
10−1
100
E (U.A.)
N(E)
Ntotal
Figura 3.14: Distribución acumulada de eventos electromagnéticos N(E) comofunción de la energía E. N(E) está normalizada a su valor máximo y la energía seexpresa en unidades arbitrarias. Para energías superiores a cierto valor de corte, lasdos gráficas muestran una tendencia lineal, lo que implica una relación potencialentre N y E.
48
encontrado mediante la técnica MLM (maximum likelihood method) [55] la cual, en el caso de
los sismos, ha mostrado ser una técnica robusta y más precisa que otros métodos tradicionales
de ajuste como el de mínimos cuadrados. De acuerdo con esta técnica el parámetro b se puede
calcular mediante la relación [56, 57]:
b = log10(exp)/(Mmean −Mmin), (3.3)
donde Mmean ∼ log(Emean) es la magnitud media de los eventos y Mmin ∼ log(Emin) es
la magnitud de corte elegida. Las energías de corte elegidas para las emisiones acústicas y
electromagnéticas son, respectivamente, Emin = 2×100U.A. y Emin = 3×10−2U.A. A partir
de esto los parámetros para las emisiones acústicas, bacu, y electromagnéticas, bele, son:
bacu = 0.78
bel = 1.30.
(3.4)
La diferencia entre los dos parámetros sugiere que los mecanismos de generación de las
dos emisiones no son los mismos, algo que refuerza lo encontrado en la comparación de las
emisiones individuales. Un análisis más profundo de la función N(E) será realizado en el
capítulo cuatro mediante el análisis no extensivo basado en la entropía de Tsallis.
En el análisis anterior las emisiones se representaron como eventos energéticos puntuales
asociados con un tiempo particular e ignorando su tiempo de duración. Una manera de tener
en cuenta la extensión temporal de las emisiones consiste en considerar la energía E y su
duración τ como variables independientes que pueden ser representadas en un diagrama E vs
τ . Este representación es similar a los diagramas de fase usados para analizar la dinámica de
sistemas de partículas. En la Figura 3.15 se puede apreciar la construcción de este diagrama
para las dos emisiones. Es claro que en este diagrama las dos emisiones siguen comporta-
mientos diferentes. Mientras los eventos electromagnéticos aparecen dispersos en una zona
amplia de energías y tiempos de duración, los eventos acústicos, por encima de cierta energía
49
Figura 3.15: Diagrama E vs τ para las emisiones acústicas (azul) y electromagné-ticas (rojo). En el eje vertical se representa la energía normalizada al valor máximopara cada emisión, en el eje horizontal se representa la duración τ medida en µs.
E ≈ 10−8Emax, quedan acotados por dos rectas bien definidas. Para explicar la existencia
de estas rectas proponemos que la energía de los eventos que yacen sobre ellas escala con la
longitud de la fractura D de la forma:
E ∼ Dn, (3.5)
donde n es un exponente positivo. Si se asume que la fractura se propaga a velocidad cons-
tante (D ∼ τ) entonces la Ecuación 3.5 se convierte en:
E ∼ vnτn, (3.6)
donde v es la velocidad de propagación de la fractura. Debido a que las fracturas de tipo corte
se propagan a una velocidad menor que las de tipo tensión, la Ecuación 3.6, en escala log-
50
log, predice la existencia de dos rectas sobre las cuales quedarán representadas las emisiones
asociadas con fracturas puras de tensión (recta superior) y de corte (recta inferior) (ver
Figura 3.16). Es claro a partir de la Figura 3.15 que las emisiones electromagnéticas no
siguen el mismo comportamiento.
Figura 3.16: Diagrama de energía contra duración para las emisiones acústicas(color azul). Se muestran las líneas (rojo) que representan los comportamientospuros de corte y de tensión. Las rectas rojas se construyen a partir de la relaciónE ∼ vnτn, donde v es la velocidad de propagación de cada tipo de fractura.
A partir de la pendiente de estas rectas de la Figura 3.16 se encuentra que:
n ≈ 3, (3.7)
lo que implica que E ∼ D3, algo similar a lo encontrado en el análisis estadístico de terremotos
[58, 59, 60], aunque ahí la interpretación está basada en las leyes empíricas de escala obtenidas
51
a partir de los catálogos mundiales de sismos.
El diagrama E vs τ puede ser usado para determinar el tipo de fracturas que tiene ma-
yor probabilidad de generar emisiones electromagnéticas. Como se indicó en la Figura 3.11
muchas emisiones electromagnéticas están asociadas con un conjunto pequeño de emisiones
acústicas, si se localizan estas emisiones en el diagrama de la Figura 3.16 se podrá determinar
el tipo de proceso de fractura que favorece la generación de emisiones electromagnéticas. En
la Figura 3.17 se muestran las emisiones acústicas que están asociadas con al menos una
electromagnética. Como puede apreciarse, la mayoría de los eventos acústicos relacionados
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
104
105
106
107
per iod(s)
E
Figura 3.17: Diagrama E vs τ resaltando (enmarcados en cuadros rojos) loseventos acústicos durante los cuales se generaron emisiones electromagnéticas. Parafacilitar la visualización no se dibujaron todas la emisiones acústicas
con emisiones electromagnéticas están localizados muy cerca de la recta asociada con frac-
turas de tipo corte. Este comportamiento se hace más evidente para las emisiones acústicas
más energéticas.
52
3.5. Conclusiones fundamentales del experimento
Los resultados mostrados en este capítulo corresponden a uno de los experimentos. Se rea-
lizaron varias series de experimentos en muestras con similares características geométricas
y provenientes del mismo origen. No se tuvieron en cuenta los resultados donde la tasa de
compresión fue demasiado alta o donde la muestra presentaba defectos grandes que frac-
turaban la roca fuera del rango de tiempo determinado como óptimo. En el resto de casos
los experimentos mostraron resultados similares. Estos resultados se pueden sintetizar de la
siguiente forma:
En todos los casos se detectó la presencia de emisiones acústicas y electromagnéticas.
Estas emisiones se presentan desde el comienzo del proceso de carga hasta la fractura
final.
El número de emisiones acústicas es mucho mayor que el número de emisiones elec-
tromagnéticas. Mientras que las primeras superan 3000 eventos por experimento, las
segundas no superan el valor de 200 en ninguno de los casos.
Es importante notar que, en general, emisiones acústicas similares no están asociadas
con eventos electromagnéticos semejantes. Es más, en muchos casos se observan dos
emisiones acústicas de igual amplitud pero sólo una de ellas viene acompañada de un
evento electromagnético.
La duración de los dos tipos de eventos difiere en hasta tres órdenes de magnitud,
mientras que para los electromagnéticos es del orden de 100 µs los acústicos llega a ser
de 4000 µs.
Al comienzo del proceso se detectaron emisiones electromagnéticas de baja energía
no relacionadas con emisiones acústicas. Sin embargo, cerca de la ruptura final todas
la emisiones electromagnéticas ocurren durante el tiempo de duración de un evento
53
acústico.
La distribución energética, caracterizada por la función N(E), es diferente para cada
emisión. Para las emisiones acústicas el parámetro b es del orden de 0.8 mientras que
para las electromagnéticas es de alrededor 1.3.
La amplitud de las emisiones acústicas es en general mayor que las electromagnéticas,
excepto segundos antes de la fractura principal, donde las dos emisiones toman valores
similares.
La introducción del diagrama E vs τ permite clasificar las emisiones acústicas según el
tipo de fractura que las origina. Esto permitió determinar que la mayoría de la emisiones
electromagnéticas están asociadas con fracturas tipo corte. Este comportamiento es más
claro para las emisiones acústicas más energéticas.
54
4 | Mecanismos de generación de emi-
siones electromagnéticas
¿A través de qué procesos físicos se pueden entender las emisiones electromagnéticas detec-
tadas en el experimento? En este capítulo se describen los mecanismos más usados en la
literatura científica para explicar las emisiones electromagnéticas relacionadas con fracturas
y sismos. Se da una descripción cualitativa breve y se indican las leyes físicas básicas que
fundamentan cada fenómeno. A partir de las conclusiones del capítulo anterior se muestra
que los mecanismos usuales no logran explicar todas las características de las emisiones. Se
propone finalmente un modelo fenomenológico como base para los análisis de laboratorio y
en gran escala.
4.1. Efecto Piezoeléctrico
En cierto tipo de estructuras cristalinas la aplicación de esfuerzos genera un campo de polari-
zación eléctrica que se puede detectar mediante diferencias de potencial. De igual manera, la
aplicación de un campo eléctrico externo produce deformaciones mecánicas que se traducen
en un campo de esfuerzos en el cristal. Este tipo de cristales se conocen como piezoeléctricos
y son ampliamente usados en la industria debido, principalmente, a su utilidad como trans-
ductores entre señales eléctricas y acústicas. La ausencia de simetría puntual es la condición
55
necesaria para que un cristal exhiba piezoelectricidad; de las 32 clases cristalinas 22 cum-
plen esta condición y 21 son piezoeléctricas. Las clases cristalinas tetragonal, rombohédrica
y ortorómbica, contienen la mayor parte de los compuestos relevantes en el campo de las
cerámicas piezoeléctricas.
En el contexto geológico los minerales piezoeléctricos más abundantes son el cuarzo y el
feldespato; las rocas graníticas, compuestas en un 80 % de estos minerales, son unos de
los componentes más importantes de las placas continentales. La corteza puede ser vista
como una cerámica piezoeléctrica hecha de muchos subsistemas piezoeléctricos orientados
aleatoriamente. Esto último hace que desde un punto de vista global la corteza no mues-
tre campos eléctricos netos debido a la cancelación de la polarización entre los diferentes
subsistemas.
Sin embargo, la aplicación de un campo eléctrico o un esfuerzo en una dirección arbitraria
puede generar una orientación privilegiada similar a la que se observa en los dominios de
un material ferromagnético [61], de acuerdo con esto, localmente la corteza puede mostrar
propiedades piezoeléctricas.
En la aproximación lineal, el conjunto de leyes que gobiernan el comportamiento mecánico
y electromagnético de los cristales piezoeléctricos es [62]:
uij = sijklσkl + ekijEk
Di = eijkujk + εijEj,
(4.1)
donde σij es el tensor de esfuerzos, ukl es el tensor de deformaciones, Ei es el campo eléctrico,
Di es el campo de desplazamiento eléctrico, sijkl = c−1ijkl es el tensor inverso de constantes
elásticas, εij es el tensor de permitividad eléctrica y ekij es el tensor piezoeléctrico.
El conjunto de Ecuaciones 4.1 acopla, mediante el tensor ekij, la forma generalizada de la ley
de Hooke en cristales con las leyes constitutivas para los campos Di y Ei. Las Ecuaciones 4.1
se deben resolver de forma autoconsistente con las ecuaciones de movimiento; en situaciones
56
Figura 4.1: Cilindro piezoeléctrico sometido a un esfuerzo longitudinal.
con variaciones espaciales esta es una tarea compleja. Sin embargo, para casos estáticos y
homogéneos la solución es directa. En la Figura 4.1 se muestra un cilindro piezoeléctrico que
está sometido a la acción de un esfuerzo normal σ33 = P en sus extremos. Debido a que no
se aplican esfuerzos transversales se garantiza que el resto de las componentes del tensor de
esfuerzos sean cero. Además, la única componente relevante del campo eléctrico es E3. Las
Ecuaciones 4.1 se reducen entonces a:
u33 = s33P + e33E3
D3 = e33P + ε33E3.
(4.2)
A partir de las Ecuaciones 4.2 se puede analizar lo que ocurre cuando los extremos están
conectados al mismo potencial (corto circuito) y cuando están en circuito abierto. El primer
caso está caracterizado por E3 = 0 y el segundo por D3 = 0. Para el corto circuito se
obtiene:
u33 = s33P
D3 = e33P
(4.3)
Y para el circuito abierto:
57
u33 = s33
(1− e233
ε33s33
)P
E3 = −e33ε−133 P
(4.4)
A modo de ejemplo se puede tomar p como el valor de la presión litostática a una profundidad
H ≈ 10km. Para el cuarzo e33 = 5.93 × 10−10Cm−2, ε = 3400 × 8.85 × 10−12Fm y s33 =
20.7× 10−12Pa−1. Con estos valores se obtienen los campos D3 y E3 en las configuraciones
de corto circuito y circuito abierto respectivamente:
D3 ≈ 0.16Cm−2
E3 ≈ 1.97× 106V m−1(4.5)
Aunque estos valores pueden parecer muy altos, es importante tener en cuenta que corres-
ponden a una situación donde se ha asumido una dirección privilegiada para los cristales
piezoeléctricos.
4.2. Efecto Electrocinético
Cuando un fluido está en contacto con una pared sólida se generan variaciones de potencial
eléctrico dentro de él. Esto se debe a la presencia de cationes y aniones diluidos en el líquido;
en contacto con el sólido uno de los dos tipos de iones es absorbido por poros y grietas
dejando una concentración de iones de signo opuesto en el líquido. En la Figura 4.2 se ilustra
esta situación.
Dependiendo de la dinámica de los iones, el fluido se divide en varias capas. La primera
capa (1) está formada por los iones positivos adheridos al sólido (capa adsorbida) denotada
por A en la Figura 4.2, y por los que no están adheridos pero están débilmente ligados
(capa difusiva, B). La segunda capa está conformada por los iones que pueden moverse en el
volumen del líquido pero que aún experimentan la interacción eléctrica. La distribución no
58
Figura 4.2: La superficie sólida cargada negativamente, atrae iones positivos delfluido. Las capas características se separan por las líneas verticales punteadas. Lacurva roja punteada representa una forma típica de potencial eléctrico.
homogénea de carga crea la diferencia de potencial mostrada en la Figura 4.2.
Si los conductos capilares y las porosidades del sólido se someten a variaciones de presión,
el fluido se desplazará dentro de él. El movimiento de los iones dentro del sólido generará
una corriente eléctrica; este fenómeno se denomina efecto electrocinético [63, 64]. En la
aproximación lineal la densidad de corriente eléctrica electrocinética Je es proporcional al
gradiente de presión P :
Je = −Ce∇P
Ce = σC ∼ εζn
η,
(4.6)
donde C es el potencial de contacto, σ es la conductividad de la roca, ε es la permitividad
eléctrica del fluido, η es la viscosidad del fluido, n es la porosidad del medio y ζ es la diferencia
de potencial entre la superficie de contacto y el final de la capa 2. Los valores típicos del
potencial de contacto en rocas son: 0.8µV/Pa para el granito, −4.2µV/Pa para las rocas
arcillosas y −4.7µV/Pa para rocas porosas.
59
La densidad de corriente total es la suma de las corrientes de conducción dadas por la ley
de Ohm y las corrientes electrocinéticas de la Ecuación 4.2:
J = σE− Ce∇P , (4.7)
donde σ es la conductividad de la matriz sólida.
Para medios homogéneos y en situaciones cuasiestáticas, la Ecuación 4.2 tiene una solu-
ción directa. Con la condición de corrientes estacionarias ∇ · JTotal = 0 la Ecuación 4.7
implica:
∇ · σ(∇V + C∇P ) = 0, (4.8)
donde V es el potencial electrostático. En medios homogéneos (σ = const) la Ecuación 4.8
queda:
∇2Ψ = 0, (4.9)
donde Ψ = V + CP . Si el medio tiene una frontera con un material aislante, la densidad de
corriente perpendicular a esa superficie será cero; esto implica que ∂nΨ = 0. Si se toma la
referencia de Ψ sobre esa superficie (ΨS = 0) la única solución posible en todo el espacio será
Ψ = 0. Esto implica que en un medio conductor homogéneo en contacto con un aislante, el
potencial eléctrico es proporcional a la presión:
V = −CP. (4.10)
La Ecuación 4.10 trae como consecuencia que la densidad de corriente total en cualquier
punto del medio es cero y por consiguiente no pueden generarse campos magnéticos. Como
muestra este ejemplo, el efecto electrocinético producirá efectos observables sólo en medios
con inhomogeneidades en la conductividad eléctrica σ o en el potencial de contacto C, esta
es una de las restricciones fundamentales del este mecanismo.
60
4.3. Efecto Piezomagnético
El efecto piezomagnético se produce cuando la magnetización de un material, ya sea su
magnitud, su dirección o ambas, cambian como consecuencia de esfuerzos aplicados. En el
contexto geológico este efecto se puede apreciar en rocas y materiales que contienen minerales
ferromagnéticos; por esta razón son las rocas ígneas el escenario natural para apreciar este
fenómeno.
En experimentos realizados en escala de laboratorio, se ha encontrado que el vector de mag-
netización cambia de dirección y magnitud bajo la aplicación de esfuerzos uniaxiales y tria-
xiales. Estos cambios vienen acompañados de variaciones permanetnes de la suceptibilidad
magnética.
En escala geológica este efecto está asociado a variaciones locales del campo geomágnetico
durante erupciones volcánicas y terremotos [3, 5]. También se ha sugerido como el princi-
pal candidato para entender variaciones de largo período en el campo geomagnético cerca
de regiones de alta actividad tectónica [4]. Algunos investigadores [65] lo han sugerido co-
mo posible generador de radiaciones electromagnéticas precursoras de sismos y actividad
volcánica.
Existen principalmente dos esquemas teóricos para estudiar el piezomagnetismo. El primero
[66] está basado en un sistema de ecuaciones similares a las usadas en el efecto piezoeléc-
trico; a través del tensor piezomagnético qijk se acoplan la ley de Hooke en cristales con las
ecuaciones constitutivas para los campos B y H:
σij = cijklukl − qkijHk
Bi = µijHj + qkijukj,
(4.11)
donde µ es la permeabilidad magnética del material. Las Ecuaciones 4.11 indican no sólo
que la aplicación de esfuerzos produce cambios en el campo B sino también que la presencia
61
de campos magnéticos genera esfuerzos en el material, algo se puede entender debido a
la fuerza que ejercen los campos magnéticos sobre materiales magnetizados. El segundo
esquema [67, 68], toma un punto de vista más general e interpreta el efecto piezomagnético
directamente a través de cambios en el vector de magnetización M. Si σ es el esfuerzo
aplicado, el cambio ∆M en la magnetización se puede escribir como:
∆M ≈ Kσ ·M, (4.12)
donde la constante de proporcionalidad K se denomina constante de sensibilidad al esfuerzo
y toma valores típicos de ∼ 3× 10−3MPa−1. El cambio en el campo magnético B se calcula
usando la ley de Biot-Savart expresada en términos de ∆M:
∆B(r) = − µ
4π∇∫V ′
∆M(r′) · r− r′
(r − r′)3dV ′. (4.13)
Estimaciones numéricas basadas en las Ecuaciones 4.12 y 4.13 y en los esfuerzos tectónicos
medidos durante sismos, han mostrado que las variaciones esperadas en el campo geomag-
nético deben ser del orden de ∼ 5nT [69]. Estos resultados concuerdan con lo detectado
por estaciones geomagnéticas ubicadas en Japón y Estados Unidos, al comparar los campos
antes y después de sismos importantes (MW > 6.0) [69, 70].
4.4. Generación de pares electrón-hueco
Recientemente se ha propuesto la generación de pares electrón-hueco como mecanismo para
explicar la emisión de señales electromagnéticas durante sismos y en pruebas de laboratorio
[39, 40, 71]. Estos pares son generados mediante la ruptura de defectos puntuales conocidos
como peroxy links, que aparecen cuando algunos de los enlaces típicos de la forma O3Si −
O−SiO3 son reemplazados por enlaces de la forma O3Si−OO−SiO3. La entrada de agua
62
Figura 4.3: Generación de pares electrón-hueco debido a la aplicación no homo-génea de esfuerzos.
en medios de alta temperatura favorece este proceso; la incorporación de una molécula de
H2O rompe el enlace O3Si − O − SiO3 produciendo pares del tipo O3Si − OH. Durante
el enfriamiento, los pares O3Si − OH se reordenan electrónicamente de modo tal que sus
oxígenos, en un estado de valencia 2−, entregan un electrón a sus respectivos protones, H+,
conviertiéndolos en una molécula H2 con un estado de valencia 1−; los dos O− se unen
formando un peroxy link.
Todas las rocas en la corteza terrestre poseen cierta concentración de estos defectos puntua-
les. Idealmente todo silicato está constituido por aniones O2− unidos con cationes metálicos
para equilibrar la carga eléctrica. Cualquier ión del tipo O− en una estructura mineral re-
presenta un sitio donde falta un electrón en la red de oxígenos. Esta ausencia electrónica es
completamente equivalente a una partícula positiva y recibe el nombre de hueco siguiendo
la terminología de la teoría del estado sólido. Desde este punto de vista un peroxy link es un
par de huecos atrapados e inactivos electrónicamente.
Sin embargo, la aplición de un esfuerzo puede producir dislocaciones cristalinas o cambios
63
en las fronteras intergranulares que rompan los enlaces. Cada vez que una línea de disloca-
ción intercepta un enlace libera huecos que atrapan electrones de enlaces vecinos. Cuando
un hueco atrapa un electrón el hueco original desaparece, pero el movimiento del electrón
genera un nuevo hueco en una posición diferente. El proceso se puede ver como una corriente
de huecos en un sentido y de electrones en sentido opuesto, los electrones buscarán la zona
de tensión y los huecos la opuesta (Figura 4.3). Debido a la alta energía de activación de los
huecos, estos pueden viajar largas distancias a través de de diferentes superficies de contacto.
Esta propiedad hace que una buena proporción de huecos lleguen a la superficie y produzcan
variaciones de las propiedades eléctricas como resistividad y potenciales de contacto.
Hasta el momento no se cuenta con un marco teórico definitivo para estimar los efectos de
los procesos de generación de pares. Sin embargo, algunos investigadores [72] han sugerido
usar el modelo de difusión de cargas en semiconductores bajo las condiciones típicas de
las rocas. Este modelo está gobernado por la dinámica de las corrientes de huecos, Jp, y
electrones, Jn; la que a su vez depende de la concentración de estos portadores: p y n
respectivamente. Los gradientes de concentración y de potencial eléctrico V producen las
corrientes eléctricas:Jn = Dn∇n+ µnn∇V
Jp = Dp∇p+ µpp∇V,(4.14)
donde Dn es la constante de difusión del material y µn y µp son los potenciales químicos para
los huecos y los electrones respectivamente. Las Ecuaciones 4.14 deben complementarse con
las leyes de continuidad que describen la evolución temporal de las concentraciones:
∂tn = −R(n, p) +∇ · Jn
∂tp = −R(n, p)−∇ · Jp,(4.15)
donde R(n, p) es la tasa de recombinación de electrones y huecos. En las rocas la movilidad
64
se debe a los huecos; basándose en propiedades del MgO a T = 673K se toma Dp ≈
8.5 × 10−4m2s−1, µp ≈ 0.063m2V −1s−1 y R(n, p) ≈ 1022np. Con estos parámetros se ha
estimado [72, 73] que el proceso de generación de pares puede producir efectos observables
en superficie asociados con profundidades del orden de decenas de kilómetros.
4.5. Restricciones impuestas por el experimento
Ninguno de los mecanismos descritos en la sección anterior pueden explicar los resultados
de nuestro experimento. A continuación se explican las razones que sustentan esta afirma-
ción.
1. El efecto piezoeléctrico acopla las deformaciones mecánicas de un material con la ge-
neración de polarización eléctrica; sin embargo, para que esto ocurra, el material debe
cumplir algunas de las condiciones de simetría explicadas en la sección (4.1). En nues-
tras muestras estas simetrías no están presentes debido a su alto grado de desorden; y
aunque las rocas contienen un 30 % de cuarzo, estos minerales no están orientados en
alguna dirección privilegiada. Incluso en el caso donde se presente cierto alineamiento,
los cristales de cuarzo presentarán, en igual proporción, su naturaleza dextrógira y
levógira, lo que hará que cancelen mutuamente sus polarizaciones eléctricas. La com-
paración entre las emisiones acústicas y electromagnéticas refuerza este planteamiento.
Si el efecto piezoeléctrico fuera un mecanismo relevante, entonces emisiones acústicas
de iguales características deberían producir señales electromagnéticas semejantes; esto
no se observa en el experimento. Además, los eventos acústicos ligados a emisiones
electromagnéticas, presentan formas de onda que no corresponden a lo esperado bajo
la acción del efecto piezoeléctrico.
2. Evidentemente, el efecto electrocinético no puede ser el responsable de las emisiones
electromagnéticas en nuestro experimento, debido que las muestras no presentaban
65
flujos de líquido en su interior. Como se comentó en su momento, todas las rocas
fueron sometidas a un proceso de secado. Más allá de esto, es importante notar que
a las profundidades donde se presentan la mayoría de los sismos (> 5km ∼ 7km), las
presiones litostáticas son tan grandes que los poros de las rocas se cierran y expulsan los
fluidos de su interior, haciendo que las corrientes electrocinéticas sean prácticamente
despreciables. A profundidades menores este fenómeno puede explicar el incremento del
potencial espontáneo asociado con actividad volcánica [74], y también ha sido usado
para analizar el campo electromagnético que se detecta simultáneamente con el arribo
de la onda sísmica (fenómeno cosísmico) [75, 76]; sin embargo, su papel como posible
generador de emisiones electromagnéticas precursoras ha sido descartado por buena
parte de la comunidad científica.
3. Aunque la generación de pares electrón-hueco, activados bajo aplicación de esfuerzos,
puede parecer una teoría atractiva debido a su relación con las conceptos básicos de la
física del estado sólido, su base experimental es aún muy débil. Como se indicó en la
sección (4.4), durante los últimos veinte años Friedemann Freund ha realizado una serie
de experimentos que, en principio, muestran que en las rocas se generan diferencias de
potencial bajo cuando se presentan impactos con otros cuerpos o se someten a cargas
grandes. Sin embargo, la mayoría de estos experimentos no han sido reproducidos por
investigadores fuera del grupo de trabajo del Dr Freund. Algunas pruebas realizadas
por el autor de esta tesis, mostraron resultados negativos para la detección de activación
de pares asociada con aplicación de ultrasonido. Al mismo tiempo, y desde el punto de
vista teórico, el mecanismo de movimiento de dislocaciones propuesto para romper los
enlaces y generar los huecos, ha sido desvirtuado ampliamente en materiales frágiles
[77, 78]. Finalmente, investigadores del USGS han realizado pruebas similares a las del
Dr. Freund encontrando discrepancias claras que ponen en duda la validez de algunos
aspectos de la teoría. Aunque el artículo del USGS fue publicado en el año 2014 [79],
para la fecha en que se escribe este texto aún no se ha publicado ninguna réplica por
66
parte del grupo del Dr. Freund.
Además, una de las predicciones teóricas claves planteadas por modelo, no se cumple
en nuestro experimento. En efecto, usando el sistema de Ecuaciones 4.14 y 4.15, Scovile
et. al. [72] predijeron la existencia de pulsos magnéticos monopolares producidos por
incrementos transitorios en el esfuerzo tectónico. De acuerdo con su planteamiento, este
resultado debería ser también observado en escala de laboratorio. Sin embargo, como
se mostró hacia el final del capítulo tres (Figura 3.11) nuestro análisis experimental
detectó eventos con las dos polaridades.
La falla en la reproducibilidad de las observaciones reportadas por F. Freund, la au-
sencia demostrada de movimiento de dislocaciones durante la fractura de materiales
frágiles, el resultado negativo en la detección de pares activados por ultrasonido y la
detección de pulsos no permitidos por su teoría lleva a concluir que la generación de
pares electrón-hueco aún no cuenta con el sustento experimental necesario para ser
considerado como fuente importante de emisiones electromagnéticas en procesos de
fractura y terremotos.
4. Las rocas usadas en el experimento no contienen minerales magnéticos, esto descar-
ta el piezomagnetismo como mecanismo generador. Sin embargo, esto no descarta la
relevancia de este mecanismo como generador de cambios permanentes en el campo
geomagnético.
4.6. Microfracturamiento y electrificación por separación
Las emisiones electromagnéticas detectadas en el experimento tienen todas la misma forma
característica. Como se pudo apreciar en las Figuras 3.9 estas señales alcanzan su valor máxi-
mo en un tiempo muy corto (< 10 µs) y después presentan un decaimiento tipo exponencial
con un tiempo de relajación del orden de 100 µs - 1000 µs. Esto comportamiento sugiere
67
que la corriente generadora de la señal electromagnética proviene de un proceso de descarga
eléctrica que se lleva a cabo a través del material conductivo de la roca. Para las eventos
electromagnéticos asociados con emisiones acústicas la separación rápida de carga eléctrica
se puede explicar mediante la creación de microfracturas que, durante el proceso de ruptu-
ra de enlaces atómicos, generan carga eléctrica superficial en las caras de la fractura. Este
proceso se denomina electrificación por separación o microfracturamiento, aunque también
existen versiones similares conocidas como modelo del condensador.
La creación de microfracturas de diferente tipo es una consecuencia natural de la dilatación
que experimenta la roca debido a la aplicación de un esfuerzo de compresión [80]. En general,
el proceso de creación de nuevas superficies y caída abrupta del esfuerzo en las caras de las
microfracturas vendrá acompañado de los siguientes fenómenos:
1. Generación de iones, exoelectrones y luminiscencia en el espacio creado por la apertura
[81, 82].
2. Radiación electromagnética debido a la aceleración de las cargas eléctricas libres que
se forman en la superficies[83, 84, 85].
3. Emisiones de ondas electromagnéticas que van desde la radio frecuencia y luz visible,
hasta el ultravioleta e incluso rayos X [86, 87].
4. Descarga eléctrica a través del espacio ionizado [88].
5. Generación de corrientes eléctricas de conducción a través del material que rodea la
microfractura [89, 90].
Aunque todos estos fenómenos pueden ser apreciados en experimentos de laboratorio, el
único que tiene el potencial de crear efectos observables en las escalas de los terremotos
es el número 5; los fotones, los exoelectrones o la radiación de alta frecuencia serán absor-
bidos rápidamente por la corteza conductiva. Por otro lado, la superposición de corrientes
de conducción producidas por un número grande de microfracturas pude producir campos
68
detectables en superficie.
El mecanismo de microfracturamiento puede ser extendido a los terremotos a través de
diferentes modelos como el de dilatancia propuesto por Scholz [91] para describir el estado
previo a la generación del sismo; de este modo, se pueden plantear escenarios donde el
microfracturamiento sea aplicable en escalas geológicas.
Un modo sencillo de comprender el proceso de generación y recombinación de carga es a tra-
vés de la imagen de línea de transmisión. La separación de carga eléctrica se puede asemejar
a una fuente de corriente mientras que los efectos de la geometría de la apertura y la con-
ductividad del medio se pueden modelar como condensadores y resistencias respectivamente.
Esta representación ha sido usada previamente para describir el movimiento de dislocaciones
cargadas y sus efectos electromagnéticos [92]. Teniendo en cuenta las propiedades eléctricas
del medio que rodea la microfractura, la línea de transmisión se puede modelar como un
circuito RC en paralelo, el cual a su vez está en serie con una fuente de corriente J(t). La
solución general I(t) para la corriente que circula por la resistencia de este circuito viene
dada por:
I(t) =1
RCet/RC
∫ t
0
J(t′)et′/RCdt′ (4.16)
Las características de la emisión están gobernadas por la relación entre los tiempos de aper-
tura de la fractura y el tiempo de relajación de la carga eléctrica en el circuito. La escala de
tiempo de la corriente eléctrica J(t) debe coincidir con la del proceso de microfracturamiento,
ya que se genera carga eléctrica mientras las superficies de las fracturas estén aumentando.
El tiempo de relajación de la carga depende de la conductividad y la permitividad eléctrica
del material y también de la geometría y el número de microfracturas presentes en un tiempo
particular del proceso. Para modelar la corriente generada durante el proceso de apertura se
69
20 40 60 80 100
t�to
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
IHtL
Figura 4.4: Corriente eléctrica normalizada como función del tiempo en modelode la microfractura como una línea de transmisión. El tiempo se mide en unidadesdel tiempo de relajación t0 y se tomó tc = 100t0
puede asumir una corriente J(t) de la forma:
J(t) ∼ d
tce−t/tc , (4.17)
donde tc es el tiempo de apertura de la microfractura. En la Figura 4.4 se muestra la solución
de la Ecuación 4.16 usando como corriente fuente la dada en la Ecuación 4.17. En este caso se
tomó un tiempo de apertura mucho mayor que el tiempo de relajación de la carga eléctrica
(tc >> t0) lo cual corresponde a un medio con una conductividad eléctrica típica para
el tipo de roca usado en el experimento. Como puede apreciarse, la imagen de la linea de
transmisión reproduce la forma genérica de las emisiones electromagnéticas encontradas en el
experimento. Otros estudios experimentales [93] respaldan el modelo de linea de transmisión
a través de mediciones de variaciones del potencial de contacto en la superficie de a roca, algo
que se explica de manera directa a través de la polarización que experimenta la superficie
del medio debido a la aparición continua de microfracturas cargadas eléctricamente.
70
Es importante notar que el modelo de la línea de transmisión puede ser usado a pesar de
que se cambie el mecanismo de generación de carga. Así por ejemplo, algunos autores [94]
sugieren que la interacción entre los fragmentos generados en la zonas de fractura son los
responsables principales de la aparición de separación de carga en la microfractura; este
cambio de mecanismo sólo implica cambiar la forma de la corriente J(t) en la Ecuación 4.16,
cambio que seguramente no producirá cambios significativos en la forma de las emisiones
individuales.
4.7. Agregación de microfracturas
El modelo de microfracturamiento exhibe de manera natural un comportamiento crítico. Co-
mo se discutió en la sección (2.4), la generación y unión permanente de microfracturas llevará
a la creación de una fractura macroscópica que romperá la muestra. Para describir matemá-
ticamente este proceso se puede asumir que el material está dividido espacialmente en celdas
idénticas; la aplicación continua de un esfuerzo externo generará microfracturas que irán
ocupando gradual y aleatoriamente las celdas. Este proceso se denomina agregación.
Siguiendo el leguaje de la física estadística, la roca se puede ver como un sistema abierto
sumergido en un “baño térmico” que inyecta continuamente microfracturas al sistema. Este
proceso se mantiene hasta la falla final de la roca. El tamaño de las fracturas en cada celda
será proporcional al número de microfracturas que contiene.
Si se denomina Mi(t) al número de microfracturas en la celda i en el instante de tiempo t,
el proceso de agregación se puede representar matemáticamente de la siguiente forma:
Mi(t+ ∆t) = Si +∑j
cijMj(t), (4.18)
donde Si es la tasa de inyección de microfracturas provenientes del reservorio, cij es la pro-
71
100
101
102
103
104
100
101
102
f recuencia
Mfin
al
Figura 4.5: Resultado final del modelo de agregación. Se representa la distribuciónestadística del número de microfracturas en las celdas como una función de lafrecuencia. Se puede observar el comportamiento crítico en la tendencia lineal quepresenta la distribución en escala log-log.
babilidad de transición a la celda j, de una microfractura que está en la celda i y ∆t es
el incremento temporal en cada iteración. Para observar el comportamiento descrito por la
Ecuación 4.18, se realizó una simulación donde se usó una distribución aleatoria para repre-
sentar cij. La implementación de la simulación se puede consultar en el apéndice 2. En la
Figura 4.5 se observa el resultado para la distribución estadística deMfinal como una función
de su frecuencia, es decir, el número de veces que se repite un tamaño particular en todo el
conteo estadístico. Como se puede apreciar, la forma lineal que toma el gráfico en la escala
logarítmica, es un indicativo de su comportamiento crítico. Se puede interpretar el resulta-
do como una consecuencia del equilibrio crítico del sistema, donde la inyección de nuevas
microfraturas se compensa con la transición entre las diferentes celdas. Evidentemente, este
comportamiento se puede mantener sólo hasta que se alcance la fractura final.
Este simple modelo permite ver que el microfracturamiento exhibe una de las propiedades
fundamentales observadas en el experimento, sin embargo no establece una relación directa
con la energía de las emisiones electromagnéticas. Para este fin, en el próximo capítulo se
analizará en detalle el comportamiento estadístico de las señales prefractura, y se mostrará
72
una manera de interpretar el origen del comportamiento crítico.
73
5 | Análisis no extensivo
Los procesos de fractura de materiales cerca de su ruptura final están gobernados por in-
teracciones de largo alcance que conllevan a la existencia de leyes de escala. Sin embargo,
la conexión directa entre estas leyes y las interacciones de los componentes del sistema sólo
se puede hacer mediante modelos dinámicos que, aunque sencillos, capturan sólo parte de
la gran complejidad del problema. Un análisis alternativo propone ver el problema desde
el punto de vista termodinámico y describir las interacciones de largo alcance a través de
parámetros macroscópicos que modificarán las variables termodinámicas del sistema, espe-
cialmente su entropía.
En este capítulo se usa el paramétro no-extensivo q en el marco de la entropía de Tsallis
como un indicador de las interacciones de largo alcance en procesos de fractura como los te-
rremotos (modelo de fragmentos y asperezas). Además, los resultados obtenidos en el análisis
experimental (capítulo 3) para la estadística de emisiones acústicas y electromagnéticas, se
analizan y discuten en el contexto de la termodinámica no extensiva, resaltando el carácter
crítico que sugiere el parámetro q que mejor se ajusta a la distribución de energía de cada
emisión.
74
5.1. Entropía de Tsallis
Las relaciones estadísticas encontradas en procesos de fractura y terremotos, como las leyes de
Gutenberg-Richter, de Omori o de productividad, son leyes empíricas y hasta el momento no
se cuenta con un modelo dinámico que logre reproducirlas en su totalidad. Algunos sistemas
sencillos basados en la dinámica de bloques y resortes [95] dan cuenta de la distribución de
energía de las emisiones acústicas y terremotos (ley de Guttenberg-Richter) pero fallan en
describir, por ejemplo, la estadística de las réplicas generadas después de un evento principal
(ley de Omori) [96].
Un planteamiento alternativo para entender el origen de éstas leyes empíricas, está basado
en la naturaleza crítica del fenómeno de fractura. En un estado crítico las interacciones entre
los diferentes componentes del sistema son de largo alcance tanto espacial como temporal,
haciendo que no exista una escala de longitud o tiempo característicos del sistema; todos son
equivalentes. Este hecho se refleja en la forma potencial que adquieren las relaciones esta-
dísticas asociadas con las emisiones. Si la función f(x) representa la distribución estadística
de un observable f como función de una variable x, la forma potencial de la relación:
f(x) = Axn, (5.1)
garantiza que se cumpla:
f(λx) = λnf(x), (5.2)
lo que implica que la distribución se comporta igual en todas la escalas. Esto coincide con
lo discutido en la sección (4.7).
Debido a las limitaciones que presenta la física estadística estándar para describir estos sis-
temas altamente interconectados, se ha propuesto una extensión de la definición de entropía,
dirigida a describir sistemas con interacciones de largo alcance.
75
En la física estadística del equilibrio y de acuerdo con la teoría de Boltzmann Gibbs, si un
sistema macroscópico A tiene W microestados posibles y la probabilidad asociada a cada
microestado es pi, la entropía, S, del sistema viene dada por:
S = −kW∑i=1
piln(pi) (5.3)
donde k es la constante de Boltzmann y Σipi = 1. De acuerdo con esta definición, S es una
propiedad extensiva del sistema. En efecto, si C está compuesto por dos subsistemas A y B,
entonces WC = WAWB y pC,k = pA,ipB,j, por consiguiente:
S(A+B) = −kWC∑i,j
pipjln(pipj)
= −kWA∑i
piln(pi)
WB∑j
pj − kWB∑j
pjln(pj)
WA∑i
pj
= −kWA∑i
piln(pi)− kWB∑j
pjln(pj)
= S(A) + S(B).
(5.4)
La generalización de la definición usual de S, conocida como la entropía de Tsallis y denotada
por Sq, viene dada por [97, 98]:
Sq = k1−
∑Wi=1 p
qi
1− q, (5.5)
donde q es un numero real y Σipi = 1. La entropía de Tsallis Sq coincide con la entropía de
Boltzmann Gibbs en el límite q → 1:
lımq→1
Sq = lımq→1
k
W∑i=1
dpqidq
= lımq→1
k
W∑i=1
pqi ln(pi) = k
W∑i=1
piln(pi) = S. (5.6)
Sin embargo, Sq no es una función extensiva; usando la misma notación de la Ecuación 5.4
76
se tiene:
Sq(A+B) =k
1− q
(1−
∑i,j
pqij
)=
k
1− q
(1−
∑i
pqi∑j
pqj
)
= Sq(A) + Sq(B)− 1− qk
Sq(A)Sq(B).
(5.7)
Se puede apreciar que el valor q = 1 corresponde a la propiedad aditiva obtenida a partir de la
estadística de Boltzmann Gibbs (ec. 5.4). Por consiguiente la Ecuación 5.7 permite interpretar
el parámetro q (parámetro no-extensivo) como una medida de la desviación, con respecto a
su carácter originalmente extensivo, de la entropía y todas las variables termodinámicas
asociadas. De este modo, aunque la independencia estadística de los sistemas A y B se
mantiene (pij(A+B) = pi(A)pj(B)), las interacciones de largo alcance se pueden introducir
a través de variaciones del parámetro macroscópico q.
La dinámica del sistema en su estado de equilibrio se obtiene a partir del principio de máxima
entropía:
δSq = 0. (5.8)
La Ecuación 5.8 debe ir acompañada de todas las restricciones (ligaduras) asociadas con un
sistema en particular, además de la condición de que la distribución de probabilidades sea
normalizable:W∑i=1
pi = 1. (5.9)
5.2. Modelo de fragmentos-asperezas
El análisis no-extensivo ha sido usado con éxito en la descripción de sistemas complejos en
estado de equilibrio no estacionario. En el campo de las geociencias una de sus principales
contribuciones ha sido la de poder deducir, a partir de primeros principios, una relación para
la distribución energética de los terremotos, que contiene a la ley de Guttenberg-Ritcher
como caso particular.
77
Figura 5.1: Representación gráfica del modelo SCP. Se muestra la interacciónentre las dos superficies irregulares de una falla y las asperezas generadas por sumovimiento relativo.
El análisis está basado en el modelo de fragmentos y asperezas propuesto por Sotolongo-
Costa y Posada [99, 100] (modelo SCP por las iniciales de sus creadores). En él se asume
que la dinámica de los terremotos está gobernada por la interacción entre las superficies
irregulares en las zonas de falla y los fragmentos generados por los desplazamientos relativos
entre ellas. En la Figura 5.1 se muestra una representación gráfica de esta interacción. El
fundamento del modelo SCP es la evidencia experimental que muestra que la distribución
de los fragmentos generados durante procesos de fractura, sigue una forma potencial. En
efecto, si r es el tamaño representativo del fragmento y N(r) es el número de fragmentos
con tamaño mayor que r, diversos estudios experimentales [101, 102, 103, 104] han mostrado
que:
N(r) ∝(r
ro
)−α, (5.10)
donde α > 0 y ro es un parámetro con unidades de longitud (de ahora en adelante ro = 1).
78
Como se ha explicado anteriormente, esta forma potencial indica la presencia de interaccio-
nes de largo alcance en el sistema, lo que sugiere que el análisis no-extensivo es un marco
teórico adecuado para analizar su comportamiento estadístico. Extendiendo a distribuciones
continuas la definición de Sq dada por la Ecuación 5.5, se tiene:
Sq = −k
1−∞∫0
pq(r) dr
1− q, (5.11)
donde p(r) debe interpretarse como la densidad de probabilidad de encontrar un fragmento
de tamaño r. La distribución de fragmentos se obtiene maximizando la entropía Sq bajo las
ligaduras características del problema. En este caso la condición de normalización se expresa
como: ∞∫0
p(r) dr = 1. (5.12)
Es necesario agregar un condición que represente el tamaño promedio de fragmentos en
la distribución. Esta exigencia es equivalente a la que se usa en sistemas que interactúan
térmicamente con un reservorio que mantiene constante el valor medio de energía interna
(ensamble canónico). Para sistemas no-extensivos esta condición se expresa como:
rq ≡ 〈r〉q =
∞∫0
rPq(r)dr, (5.13)
donde:
Pq(r) =pq(r)∞∫0
pq(r) dr
. (5.14)
Teniendo en cuenta las Ecuaciones 5.12 y 5.13, la condición de extremo se expresa entonces
como:
δ
Sq + α
∞∫0
p(r) dr + β
∞∫0
rPq(r)dr
= 0, (5.15)
79
donde α y β son los multiplicadores de Lagrange. Por diferenciación directa en la Ecuación
5.15 se llega al resultado final:
p(r) =
(1− 1− q
2− q(r − rq)
) 11−q
(5.16)
En la Figura 5.2 se representa el comportamiento de p(r) para tres valores diferentes del
parámetro q. La distribución acumulada de fragmentos se calcula por integración directa de
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
r (U.A.)
p(r
)
q=1.2
q=1.4
q=1.6
Figura 5.2: Densidad de probabilidad p(r) para la distribución de fragmentos contres valores diferentes del parámetro extensivo q
p(r):
N(r) =
∞∫r
p(r′) dr′ =
(1− 1− q
2− qr
) 2−q1−q
. (5.17)
Para fragmentos de tamaños grandes (r � 1) la Ecuación 5.17 se reduce a la relación de
potencia dada por la Ecuación 5.10 con α = −(2− q)/(1− q).
El modelo SCP propone que la energía E liberada durante un terremoto proviene de la
80
interacción entre los fragmentos y las asperezas. Varias hipótesis se han sugerido para ex-
presar esta interacción. En el modelo original SCP se asume que la energía es directamente
proporcional al tamaño del fragmento: E ∝ r. En investigaciones posteriores esta relación
se ha modificado para tener en cuenta las relaciones de escala conocidas durante la ruptura
sísmica. Una de las propuestas más usadas que cumple con este requerimiento se debe a Silva
et al. [60], donde la energía escala de la siguiente forma:
E = ar3/2, (5.18)
donde la constante de proporcionalidad a es un parámetro asociado con la liberación media
de energía durante el proceso de fractura. Usando la Ecuación 5.18, la probabilidad p(r)
(Ecuación 5.16) se puede expresar entonces en términos de la energía de los eventos:
p(E)dE =2
3
(1− 1− q
2− q
(E
a
)2/3) 1
1−qE−1/3
a2/3dE. (5.19)
La distribución energética de eventos acumulados se calcula, nuevamente, por integración
directa:
Nq(E) = No
∞∫E
p(E ′) dE ′ = No
(1− 1− q
2− q
(E
a
)2/3) 2−q
1−q
, (5.20)
donde No es el número total de eventos. La Ecuación 5.20 permite deducir la ley de Gutten-
berg Richter como un caso particular. En efecto, para energías altas (E � a) se tiene:
N(E) ∼ E23
2−q1−q , (5.21)
y por consiguiente b = −232−q1−q . Uno de los aspectos más interesantes de la Ecuación 5.20
es que permite el ajuste de las distribuciones energéticas de terremotos cambiando sólo los
parámetros a y q. El análisis de catálogos en diferentes regiones del mundo ha mostrado que
Nq reproduce, con alta precisión, la estadística de eventos en un amplio rango de energías.
81
En particular Silva et. al. [60] han reportado valores de q entre 1.60 y 1.71 para tres fallas
ampliamente separadas. En la Figura 5.3 se muestra el ajuste para las sismos producidos en
las fallas de Samambaia, New Madrid y Anatolia. Valores similares han sido encontrados en
reportes más recientes.
Figura 5.3: Ajuste no-extensivo para la distribución energética de los terremotosgenerados en las fallas de Samambaia, New Madrid y Anatolia. Tomado de [60].
Es importante notar que algunos autores [105] sostienen que el análisis no extensivo sólo
representa un modo ingenioso de ajustar la información experimental, y que de ninguna
manera profundiza en los mecanismos físicos involucrados en los fenómenos críticos. Sin
embargo, para el caso particular de los terremotos, la capacidad de reproducir la ley de
Guttenberg-Richter a partir de pocas hipótesis macroscópicas y el hecho de que el valor del
parámetro no-extensivo sea muy similar para fallas ampliamente apartadas, hace pensar que
este análisis contiene algunos de puntos clave del estudio estadístico de los sismos.
82
5.3. Emisiones acústicas, emisiones electromagnéticas y
ajuste no-extensivo
Teniendo en cuenta que los terremotos y las emisiones acústicas detectadas en nuestro ex-
perimento son, en esencia, diferentes manifestaciones del mismo fenómeno, es natural llevar
el análisis no-extensivo al estudio del fracturamiento de rocas. Este tipo de análisis es poco
común en los análisis de muestras de laboratorio y su uso se ha limitado a la caracterización
del comienzo y el fin de algunos procesos de ruptura originados por impactos. Sin embargo,
en nuestro caso el análisis no-extensivo permite mostrar que, al menos en el rango de energías
cubierto por el experimento (capítulo 3), no todos los procesos físicos que generan emisiones
acústicas son igualmente efectivos para generar emisiones electromagnéticas.
10−2
10−1
100
101
102
103
104
10−4
10−3
10−2
10−1
100
E (U.A.)
N(E
)/N
o
Datos Experimentales
Ajuste No−Extensivo q=1.4376.
Figura 5.4: Ajuste de la distribución energética de las emisiones acústicas ennuestro experimento. Los círculos representan los datos experimentales y la lineapuntuada es el mejor ajuste por mínimos cuadrados.
En la Figura 5.4 se puede apreciar el ajuste de la distribución de energía de las emisiones
acústicas. Se usó el mismo escalamiento que en el modelo SCP (ec. 5.18). La técnica de
ajuste por mínimos cuadrados muestra que los valores de ajuste óptimos son: q = 1.4376
83
10−3
10−2
10−1
100
10−3
10−2
10−1
100
E (U.A.)
N(E
)/N
o
Datos Experimentales
Ajuste No−Extensivo q=0.8795
Figura 5.5: Ajuste de la distribución energética de las emisiones electromagnéticasen nuestro experimento. Los círculos representan los datos experimentales y la lineapuntuada es el mejor ajuste por mínimos cuadrados.
y a = 0.167. Puede apreciarse que para energías grandes la distribución tiende a la forma
potencial predicha por la ley de Guttenberg-Ritcher; en este caso b = 0.8568. Como puede
verse, el acuerdo entre el modelo y los datos experimentales es incluso mejor que en el caso
de los terremotos.
Usando las mismas hipótesis que en el caso acústico, el mejor ajuste del modelo para la
distribución energética de las emisiones electromagnéticas se muestra en la Figura 5.5. Los
parámetros óptimos en este caso son q = 0.8795 y a = 0.0221. A diferencia del ajuste acústico,
el ajuste de las emisiones electromagnéticas presenta grandes variaciones con respecto a los
datos experimentales, especialmente en el rango de altas energías, donde se puede ver una
discrepancia de casi un orden de magnitud. Otro aspecto importante es que q < 1, lo que
indica que la distribución de energía tiene un valor de corte Emax por encima del cual presenta
valores imaginarios.
Estas discrepancias sugieren que, en el rango de energías detectadas en el experimento, la
ley de escala E ∼ r3/2 usada como base para describir las emisiones acústicas, no se puede
mantener en el análisis de las emisiones electromagnéticas.
84
Esto está de acuerdo con los análisis cualitativos realizados en secciones anteriores. Mientras
las emisiones acústicas están asociadas con mecanismos de relajación de esfuerzos como
procesos de deslizamiento intergranular (stick-slip) y otros procesos de fricción, las emisiones
electromagnéticas se originan en la separación de carga eléctrica durante la nucleación y
propagación de micro-fracturas. Es natural pensar entonces que la geometría implícita en
un proceso de microfracturamiento es diferente a la de un proceso de deslizamiento y por
consiguiente la relación de escala usada en el modelo de fragmentos y asperezas (ec. 5.18)
debe ser reemplazada.
Nuevamente, la hipótesis de emisión electromagnética por microfracturamiento permite orien-
tar el problema. Es claro que la relación (5.10) no dará información del proceso de la es-
tadística de microfracturas; sin embargo a partir de los trabajos de Bour et. al. [106] se
ha determinado la existencia de relaciones similares que caracterizan la longitud de las mi-
crofracturas a diferentes escalas. En la Figura 5.6 se puede apreciar la distribución de las
longitudes de las fracturas en una región donde los patrones han quedado expuestos.
Figura 5.6: Mapas correspondientes a patrones de fracturas en siete diferentesescalas. Tomado de [106].
A partir del conteo experimental, se determinó que las longitudes siguen una distribución
estadística similar a la observada en el modelo de fragmentación. En este caso se tiene que la
85
10−3
10−2
10−1
100
10−2
10−1
100
E (U.A.)
N(E
)/N
o
Datos Experimentales
Ajuste No−Extensivo q=1.3343, γ=0.9604
Figura 5.7: Ajuste de la distribución energética de las emisiones electromagnéticasusando la nueva relación de escala (eq. 5.23). Los círculos representan los datosexperimentales y la linea puntuada es el mejor ajuste por mínimos cuadrados.
densidad de probabilidad n(l) de encontrar una fractura de longitud l viene dada por:
n(l) ∝ l−a, (5.22)
donde a es el exponente que caracteriza la dimensión de la distribución. Esta relación será
utilizada en próximos capítulos para desarrollar el modelo de redes fractales.
A partir de la Ecuación 5.22, se puede seguir la misma metodología usada en las emisiones
acústicas, para analizar el caso electromagnético. Un modo de encontrar la relación de escala
más adecuada es mediante la generalización de la Ecuación 5.18 para el caso de microfrac-
turas. Si l es la longitud de la microfractura, es posible introducir un nuevo parámetro γ tal
que:
E = alγ. (5.23)
El exponente γ debe ser interpretado como un nuevo parámetro de ajuste en el modelo no-
extensivo. Con esta nueva hipótesis el resultado del ajuste óptimo se muestra en la Figura
5.7, en este caso los valores de los parámetros son q = 1.3343, a = 0.0151 y γ = 0.9604. A
86
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
104
10−4
10−3
10−2
10−1
100
E (U.A.)
N(E
)/N
o
Exp. Acústico
Ajuste acústico
Exp. Electromagnético
Ajuste Electromagnético
Figura 5.8: Comparación de la distribución energética para las dos emisiones ysus respectivos ajustes.
diferencia de lo analizado para la Figura 5.5, la nueva escala retoma un valor para q mayor
que la unidad, lo que refleja el carácter crítico de las emisiones electromagnéticas. Además,
el valor de γ, cercano a la unidad, apunta a que la energía electromagnética emitida por las
micro-fracturas es directamente proporcional a su longitud; esto está de acuerdo con la idea
de que a medida que la micro-fractura crece, el número de dipolos eléctricos que contribuyen
a la emisión aumenta proporcionalmente.
Finalmente, los valores del parámetro a en ambas emisiones, indican que las emisiones acús-
ticas contienen más energía que las electromagnéticas durante el proceso de fractura. En la
Figura 5.8 se usa una sola escala para mostrar los datos y los mejores ajustes para las dos
emisiones.
87
6 | Campos Electromagnéticos en Me-
dios Conductivos
Las propiedades conductivas de la corteza son el factor limitante fundamental para detectar
posibles emisiones electromagnéticas producidas a varios kilómetros de profundidad. En este
capítulo se muestran los fundamentos de la teoría electromagnética que permiten entender
el modo en que los campos se atenúan a medida que se propagan en medios conductivos.
De manera breve se describen las ecuaciones de Maxwell en materiales, se muestran algunas
soluciones representativas en medios conductivos y finalmente se proponen los potenciales
de Schelkunoff como un método de solución en presencia de fuentes.
6.1. Ecuaciones de Maxwell
De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell las fuentes del campo electromagnético son las
cargas eléctricas, las corrientes eléctricas y las variaciones temporales de campos eléctricos
y magnéticos. En forma vectorial estas ecuaciones son [107]:
∇ · E =ρ
ε0, ∇× E = −∂B
∂t,
∇ ·B = 0, ∇×B = µ0J + ε0µ0∂E∂t,
(6.1)
88
donde E es el campo eléctrico, B es el campo magnético, ρ es la densidad de carga eléctrica,
J es la densidad de corriente eléctrica, ε0 es la permitividad eléctrica del vacio y µ0 es la
permeabilidad magnética del vacio.
Al estudiar campos en medios materiales es conveniente dividir la densidad de carga eléctrica
en dos contribuciones; una debida a la carga libre que puede fluir dentro del material, ρl, y
otra originada por la polarización inducida en el medio, ρp:
ρ = ρl + ρp. (6.2)
La densidad de polarización ρp está asociada con la presencia de dipolos eléctricos en el
material. Un modo de tener en cuenta la distribución de estos dipolos es mediante el campo
de polarización P que se puede interpretar como la densidad de momentos dipolos eléctricos
en un punto del material. Si este campo es constante las cargas positivas y negativas que
surgen debido a la polarización se compensarán exactamente en todos los puntos del material.
Para que surja un exceso de carga se requiere que la divergencia de P sea no nula, de modo
que:
ρp = −∇ ·P (6.3)
Una división similar se puede hacer sobre la densidad de corriente eléctrica. La carga libre
que fluye en el material contribuye con la corriente de conducción Jc y el material produce
corrientes debido a variaciones en la polarización eléctrica, Jpe, y a la polarización magnética
Jpm:
J = Jc + Jpe + Jpm. (6.4)
La densidad de corriente eléctrica debida a variaciones en la polarización eléctrica se puede
escribir como:
Jpe =∂P∂t, (6.5)
89
La densidad de corriente eléctrica debida a la polarización magnética está asociada con la
presencia de dipolos magnéticos en el material. Un modo de indicar la distribución de estos
dipolos es mediante el campo de magnetización M, que se puede interpretar como la densidad
de dipolos magnéticos en el cuerpo. De un modo similar al caso eléctrico se tiene:
Jpm = ∇×M, (6.6)
Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir teniendo en cuenta esta clasificación de densi-
dades de carga y de corriente:
∇ · (ε0E + P) = ρl, ∇× E = −∂B∂t,
∇ ·B = 0, ∇×(
Bµ0
−M)
= Jc +∂
∂t(ε0E + P).
(6.7)
En este punto es conveniente definir los campos auxiliares D y H como:
D = ε0E + P
H =Bµ0
−M.(6.8)
D y H se denominan campo de desplazamiento eléctrico e intensidad magnética respectiva-
mente. Matemáticamente las Ecuaciones 6.7 y 6.8 se deben resolver para los campos E y B
conociendo ρl y Jc, sin embargo, los campos P y M no se pueden conocer de antemano de-
bido a que dependen de la respuesta del medio; por esta razón el conjunto de Ecuaciones 6.7
y 6.8 es incompleto. Para resolver este problema se debe recurrir a ecuaciones que relacionen
la respuesta del material (campos P y M ) con los campos aplicados E y B. Estas relaciones
se denominan ecuaciones constitutivas y se obtienen a partir de la evidencia experimental
y por lo tanto no son universales. En una primera aproximación estas relaciones toman las
90
formas:P = ε0χeE
M = χmH,(6.9)
donde χe y χm son la susceptibilidad eléctrica y magnética del material respectivamente.
Como puede verse, las Ecuaciones 6.9 establecen una relación lineal entre el campo electro-
magnético y la repuesta del material, por consiguiente fenómenos como los de saturación y
de histéresis no son tenidos en cuenta. Para la mayoría de los materiales que conforman la
corteza terrestre las relaciones 6.9 representan adecuadamente su comportamiento electrodi-
námico bajo las magnitudes de los campos típicos producidos por fuentes enterradas [108].
Si además se consideran medios conductivos óhmicos, se tiene una relación lineal entre las
corrientes de conducción y el campo eléctrico:
Jc = σE, (6.10)
donde σ es la conductividad eléctrica del material. De este modo, el conjunto completo
de ecuaciones que representan el comportamiento electromagnético de un material bajo las
condiciones analizadas anteriormente son:
∇ ·D = ρl, ∇× E = −∂B∂t
∇ ·B = 0, ∇×H = σE +∂D∂t
,
(6.11)
y las ecuaciones constitutivas:
D = ε0(1 + χe)E = εE
B = µ0(1 + χm)H = µH,(6.12)
donde ε = ε0(1 + χe) y µ = µ0(1 + χm) son la permitividad eléctrica y la permeabilidad
magnética del material.
91
6.2. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuen-
cia
Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en el dominio de la frecuencia aplicando la
transformada de Fourier sobre los campos y las densidades de carga y corriente. Para el
campo eléctrico se tiene:
E(r, ω) =
∫ ∞−∞
E(r, t)e−iωtdt. (6.13)
Y de igual modo con todos los campos y densidades de las Ecuaciones 6.11. Desde un punto
de vista simplificado, en el dominio de la frecuencia las derivadas temporales se convierten
en multiplicaciones por el factor iω:∂
∂t→ iω. (6.14)
De este modo las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia quedan:
∇ ·D = ρl, ∇× E = −iµωH,
∇ ·B = 0, ∇×H = (σ + iεω)E.(6.15)
La segunda y la cuarta Ecuación de 6.15 se pueden escribir de forma compacta definiendo
z = iµω y y = σ + iεω:
∇× E + zH = 0
∇×H− yE = 0.
(6.16)
6.3. Ecuaciones de Maxwell con fuentes
La presencia de fuentes se puede tener en cuenta en los campos de polarización eléctrica
y magnética. De un modo general, las fuentes se asocian a polarizaciones eléctricas Ps y
magnéticas Ms que son controladas por agentes externos y por consiguiente no cumplen las
92
ecuaciones constitutivas (Ecuaciones 6.9). Separando explícitamente estas contribuciones en
las leyes de Faraday y de Ampere-Maxwell se tiene:
∇× E + iµωH = −iµ0ωMs ≡ −JSm
∇×H− (σ + iεω)E = iωPs ≡ −JSe ,(6.17)
donde JSm y JSe se interpretan como densidades de corriente que representan las fuentes
electromagnéticas. Como puede apreciarse en las Ecuaciones 6.17, los campos E y H cumplen
relaciones matemáticas simétricas; esta es una ventaja sobre el campo B ya que este, a
diferencia de E no es creado por monopolos.
6.4. Solución de las ecuaciones de Maxwell
Una manera de resolver las ecuaciones de Maxwell es desacoplando las ecuaciones para los
campos eléctrico y magnético. La ecuación para E se obtiene tomando el rotacional de la ley
de Faraday:
∇×∇× E = − ∂
∂t∇×B = µ
∂
∂t∇×H, (6.18)
y posteriormente usando la ley de Ampere-Maxwell en medios homogéneos (µ = cte):
∇(∇ · E)−∇2E = − ∂
∂t
(µσE + µε
∂E∂t
). (6.19)
Aplicando la ley de Gauss en un medio libre de fuentes (ρl = 0), finalmente se obtiene:
∇2E = µε∂2E∂t2
+ µσ∂E∂t. (6.20)
Un procedimiento similar lleva a una ecuación desacoplada para el campo magnético:
∇2B = µε∂2B∂t2
+ µσ∂B∂t. (6.21)
93
Las Ecuaciones 6.20 y 6.21 indican que el campos E y B cumplen ecuaciones de onda que
incluyen un término disipativo debido a la conductividad eléctrica del medio.
6.4.1. Ondas planas en un medio infinito
En un medio infinito y homogéneo una solución de las Ecuaciones 6.20 y 6.21 es la onda
monocromática de frecuencia ω, que de forma compacta se puede escribir como:
E
B
=
E0
B0
ei(kx−ωt), (6.22)
donde se ha asumido la propagación en la dirección x. Reemplazando (6.22) en (6.20) y
(6.21) se obtiene el número de onda k para una onda plana en un medio conductivo:
k =(µεω2 + iωµσ
)1/2= ω√µε(
1 + iσ
εω
)1/2. (6.23)
Escribiendo el numero de onda como k = <(k) + i=(k) se obtiene:
<(k) = ω
√µε
2
(1 +
√1 +
σ2
ε2ω2
)1/2
=(k) = ω
√µε
2
(−1 +
√1 +
σ2
ε2ω2
)1/2
.
(6.24)
Para un medio no conductivo (σ = 0) =(k) = 0, por consiguiente k = ω√µε = ω/c,
donde c es la velocidad de luz en el medio; esta situación corresponde a una onda plana sin
disipación. En general las ecuaciones (6.24) están a asociadas a una combinación entre un
comportamiento oscilatorio y uno disipativo. La longitud de onda λ de la parte oscilatoria
es:
λ =2π
<(k). (6.25)
94
Y la constante de decaimiento δ asociada con la parte disipativa es:
δ =1
=(k). (6.26)
La constante δ se denomina profundidad de penetración o de exploración.
6.4.2. Aproximación cuasiestática
En muchas aplicaciones de la geofísica, la conductividad del medio permite despreciar el
efecto de las corrientes de desplazamiento. Esto implica que:
σ � εω. (6.27)
Bajo esta aproximación se tiene que:
<(k) = =(k) ≈√µωσ
2. (6.28)
La longitud de onda λCE y la profundidad de penetración δCE en la aproximación cuasies-
tática, toman la forma:
λCE = 2π
√2
µωσ
δCE =
√2
µωσ.
(6.29)
En la Figura 6.1 se comparan, con la solución exacta, la longitud de onda y la constante de
decaimiento obtenidas en la aproximación cuasiestática. Se puede ver que para conductivi-
dades típicas de la corteza terrestre (σ ≈ 0.001Sm−1 ∼ 0.100Sm−1) y frecuencias menores a
f ≈ 1×106Hz, la aproximación cuasiestática ofrece buenos resultados. Como puede apreciar-
se en (6.29), la profundidad de penetración es menor que la longitud de onda, esto implica
que los campos se amortiguan en sólo una oscilación; esto tiene sentido debido a la alta
conductividad del medio asumida en esta aproximación. En la Figura 6.2 se puede apreciar
95
Figura 6.1: Validez de la aproximación cuasiestática para tres medios con con-ductividades σ1 = 0.001S/m, σ2 = 0.010S/m y σ3 = 0.100S/m. ε = 5ε0. En losejes verticales se muestra la razón entre las longitudes de onda y las profundidadesde penetración. Como puede apreciarse, para frecuencias menores a 105 Rad/s laaproximación cuasiestática coincide con la solución exacta.
este comportamiento para tres medios de conductividades diferentes.
6.4.3. Respuesta a un impulso eléctrico
Otra solución importante de las Ecuaciones 6.20 y 6.21 es la que se obtiene como respuesta
a un campo eléctrico de la forma E(0, t) = E0δ(t), es decir, un impulso eléctrico en x = 0.
La respuesta del medio a esta señal se obtiene considerando que las funciones (6.22) forman
una base del espacio vectorial de funciones, por consiguiente:
E(x, t) =E0
2π
∫ ∞−∞
f(ω)ei(kx−ωt)dω, (6.30)
donde f(ω) depende de las condiciones iniciales y el factor 1/2π se ha introducido por
razones dimensionales. Para el caso del impulso eléctrico, la condición inicial corresponde a
una función delta de Dirac, por consiguiente f(ω) = 1. De este modo el campo eléctrico en
(6.30) se puede expresar como:
E(x, t) =E0
2π
∫ ∞−∞
ei(kx−ωt)dω =E0
2π
∫ ∞−∞
ei((µεω2+iωµσ)1/2x−ωt))dω. (6.31)
96
Figura 6.2: Campo eléctrico como una función de la profundidad para tres mediosconductivos bajo la aproximación cuasiestática. σ1 = 0.001 S/m, σ2 = 0.010 S/my σ3 = 0.100S S/m. ε = 5ε0, t = 0.
Para un medio con σ � εω la solución de (6.31) se obtiene de manera directa haciendo
s = iω e interpretando la integral como una transformada inversa de Laplace:
E(x, t) ≈ −iE0
2π
∫ ∞−∞
ei((sµσ)1/2x−ωt))ds = −iE0
2πL−1{e
√−sσµx}, (6.32)
obteniendo finalmente:
E(x, t) ≈ E0µ1/2σ1/2x
π1/2t3/2e−
µσx2
4t (6.33)
Se debe tener en cuenta que la Ecuación 6.33 es válida para tiempos grandes ; esto se debe
a que se ha asumido ω � σ/ε lo que implica t � 2πε/σ. En la Figura 6.3 se puede ver la
evolución temporal del impulso eléctrico en dos medios con conductividades σ1 = 0.01Sm−1
y σ2 = 0.10Sm−1, para dos tiempos t1 = 1.0ms y t2 = 5.0ms.
97
Figura 6.3: Difusión del pulso eléctrico en dos medios de conductividades σ1 =0.01 S/m y σ2 = 0.10 S/m, para tiempos t1 = 1.0 ms y t2 = 5.0 ms.
6.5. Potenciales electromagnéticos
En muchas situaciones resolver directamente las ecuaciones de Maxwell para los campos
E y B puede llegar a ser muy complejo. En estos casos es conveniente definir potenciales
electromagnéticos que pueden simplificar el problema.
6.5.1. Potenciales A y φ
Debido a que la divergencia del campo B es cero, B se puede representar como el rotacional
de un campo vectorial A:
B = ∇×A. (6.34)
Introduciendo esta definición en la ley de Faraday:
∇×(E +
∂A∂t
)= 0, (6.35)
lo que implica:
E = −∇φ− ∂A∂t. (6.36)
98
Los campos A y φ reciben el nombre de potencial vectorial magnético y potencial eléctrico
respectivamente. Debido a que A es un campo vectorial, queda caracterizado completamente
sólo cuando se indican su divergencia y su rotacional. La divergencia de A se puede elegir
a conveniencia, se puede calibrar, de modo que se ajuste a un problema particular. Para
el caso de medios conductivos es conveniente que A cumpla una ecuación de onda con un
término de difusión. Introduciendo B definido en (6.34) en la ecuación de Ampere-Maxwell,
se obtiene:
∇∇ ·A−∇2A = −µ∇φ− µσ∂A∂t− µε ∂
∂t
(∇φ− ∂A
∂t
). (6.37)
Para que A cumpla la ecuación de onda con término difusivo se requiere entonces que:
∇ ·A = −µσφ− µε∂φ∂t. (6.38)
De este modo:
∇2A = µσ∂A∂t
+ µε∂2A∂t2
. (6.39)
6.5.2. Potenciales de Shelkunoff
Aunque los potenciales A y φ son útiles para resolver las ecuaciones de Maxwell en el vacío,
en el contexto geofísico la asimetría que imponen sobre los campos electromagnéticos no es
adecuada. Como se ve en las ecuaciones (6.17) al usar los campos E y H en presencia de
fuentes, se tiene una simetría que es conveniente mantener en los potenciales electromagné-
ticos; la exigencia de esta simetría es el origen de los potenciales de Shelkunoff.
En este esquema, los campos E y H se escriben como la suma de campos auxiliares de origen
eléctrico, (Ee, He), y campos de origen magnético (Em, Hm), de modo que:
E = Em + Ee
H = Hm + He
(6.40)
99
Las definiciones matemáticas de estos campos auxiliares, en el dominio de la frecuencia,
vienen dadas por:
∇× Ee + iµωHe = 0
∇×He − (σ + iεω)Ee = iωPs.
(6.41)
Y∇× Em + iµωHm = −iµ0ωMs
∇×Hm − (σ + iεω)Em = 0.
(6.42)
Sumando las Ecuaciones 6.41 y 6.42 se puede comprobar que estas definiciones satisfacen las
Ecuaciones de Maxwell 6.17.
De las Ecuaciones 6.41 y 6.42 se obtiene que:
∇ ·He = 0
∇ · Em = 0.
(6.43)
Esto permite definir los potenciales vectoriales eléctrico y magnético de Shelkunoff, denotados
por F y A respectivamente:
Ee = ∇× F
Hm = −∇×A.(6.44)
Usando estas definiciones en las Ecuaciones 6.41 y 6.42 se pueden definir los potenciales
escalares de Schelkunoff U y V de modo que:
Ee = −iωµA−∇V
Hm = −(σ + iωε)F−∇U(6.45)
De este modo el campo electromagnético queda expresado completamente en términos de
los potenciales escalares y vectoriales de Schelkunoff. Las ecuaciones que deben cumplir los
potenciales se obtienen siguiendo un procedimiento similar al mostrado en la sección (6.5.1).
100
Figura 6.4: Diagrama de flujo que muestra cómo calcular los campos E y Husando los potenciales de Schelkunoff
Las condiciones de calibración impuestas sobre las divergencias de A y F son:
∇ ·A = −(σ + iωε)V
∇ · F = −iωµU.(6.46)
Por consiguiente las ecuaciones para los potenciales vectoriales quedan:
∇2F + k2F = −JSm
∇2A + k2A = −JSe ,(6.47)
donde k2 = iωµ(σ + iωε). La Ecuaciones 6.47 son ecuaciones de Helmholtz inhomogéneas
para A y F. En la Figura 6.4 se muestra un esquema simplificado de la metodología de
cálculo de campos electromagnéticos, usando potenciales de Schelkunoff.
6.6. Dipolos transitorios
Todos los mecanismos generadores expuestos en el capítulo cuatro, acoplan las emisiones
electromagnéticas con los campos de esfuerzos o deformación en el material. Estos campos
son producidos por procesos de fractura y en general sólo poseen soluciones analíticas algu-
nos casos especiales [109]; la adición del problema electromagnético hace que un problema
acoplado sólo se pueda tratar de forma aproximada. Un modo de resolver esta dificultad es
101
tratar las perturbaciones electromagnéticas como dipolos que se activan de manera abrupta
durante determinado intervalo de tiempo. Así, por ejemplo, una perturbación mecánica en un
cristal piezoeléctrico se puede interpretar a través de la aparición momentánea de un dipolo
eléctrico producido por las cargas de polarización. De igual manera una corriente electroci-
nética transitoria producirá separaciones de carga que se asemejan a dipolos eléctricos.
Para el caso del piezomagnetismo la aplicación de esfuerzos producirá cambios, transitorios
o permanentes, en la magnetización del material; estos cambios también se pueden analizar
usando la imagen de un dipolo magnético transitorio.
Como diversos autores han señalado [110], la aproximación dipolar se puede aplicar en el
contexto del sismo-electromagnetismo debido a que, en la mayoría de los casos, el punto
de observación está a distancias varios órdenes de magnitud mayor que el tamaño de la
fuente. Además, bajo ciertas aproximaciones, es posible encontrar soluciones analíticas con
dependencias temporales físicamente aceptables.
Para el caso eléctrico los dipolos más representativos son los que se activan o desactivan
en un intervalo de tiempo muy pequeño (dipolos tipo delta de Dirac y Heaviside), y los
que presentan un decaimiento exponencial (dipolos exponenciales). Estos dos casos están
asociados a perturbaciones mecánicas transitorias en la corteza, condición necesaria para
la creación de las anomalías electromagnéticas. Además, las propiedades conductivas de la
corteza hacen que el tiempo de recombinación de las cargas eléctricas sea muy pequeño en
la escala de los tiempos de medición. Asumiendo un valor típico de conductividad eléctrica
σ = 0.01Sm−1 y permitividad eléctrica ε = 5ε0, el tiempo de relajación será τ = ε/σ ≈
4× 10−9s.
Para el caso magnético, son los dipolos tipo Heaviside los que representan cambios abruptos
en la magnetización y que conllevan a cambios permanenetes en el campo geomagnético.
Este comportamiento se justifica porque las propiedades de la corteza pueden mantener
la magnetización de la fuente un tiempo muy grande en comparación con los tiempos de
102
Figura 6.5: Tipos de dipolos usados. Delta de Dirac (a), exponencial (b) y Hea-veside (c)
relajación eléctrica del medio; en la mayoría de los casos de interés µ ∼ µ0 garantizando que
el medio no afecte magnéticamente la fuente. En la Figura 6.5 se muestra una representación
de los tres tipos de dipolos con los que se puede modelar la dependencia temporal de las
fuentes electromagnéticas.
6.7. Función de Green en medios infinitos
La solución de las Ecuaciones 6.47 se puede realizar usando el método de funciones de Green
[111]. La función de Green es la respuesta del medio a un estímulo puntual, instantáneo
y unitario; esta función debe tener en cuentas las condiciones de frontera asociadas con la
superficie del medio. Para un espacio infinito (sin fronteras) la función de Green asociada
a la función de Helmholtz se obtiene de manera directa. En el dominio de la frecuencia la
ecuación de Helmholtz para un estímulo puntual, unitario, instantáneo y ubicado en el origen
es:
∇G(r, ω) + k2G(r, ω) = −δ(r) (6.48)
La solución de la Ecuación 6.48 es:
G(r, ω) =eikr
4πr. (6.49)
103
La Ecuación 6.49 permite encontrar la solución de las Ecuaciones 6.47 de manera direc-
ta:A(r, ω) =
∫V ′G(|r− r′|, ω)Je(r
′, ω)dV ′
F(r, ω) =
∫V ′G(|r− r′|, ω)Jm(r′, ω)dV ′.
(6.50)
La función de Green (6.49) se puede representar en el dominio del tiempo usando la trans-
formada de Fourier inversa:
G(r, t) =1
2π
∫ ∞−∞
G(r, ω)eiωtdω =1
8π2r
∫ ∞−∞
e−i(ω2µε−iωµσ)1/2reiωtdω. (6.51)
Para el caso no conductivo (espacio libre, σ = 0), la solución de la Ecuación 6.51 es:
G(r, t) =1
4πrδ(t− r/c), (6.52)
donde c es la velocidad de la luz en el vacío. La Ecuación 6.52 corresponde a un impulso
que se propaga con velocidad c en el vacío, en otros términos (6.52) representa la función de
Green asociada con la ecuación de onda en el vacío.
Para el caso conductivo la solución de la Ecuación 6.51 no es tan sencilla, sin embargo, es
posible obtener una solución más simple si se usa la aproximación cuasiestática. Para este
caso se obtiene:
G(r, t) =µ1/2σ1/2
8π3/2t3/2e−µσr
2/4tu(t), (6.53)
donde u(t) es la función paso. La Ecuación 6.54 corresponde a la función de Green asociada
con la ecuación de difusión; en la aproximación cuasiestática los campos electromagnéticos
en medios conductivos presentan un comportamiento difusivo que domina el oscilatorio. En
la Figura 6.6 se muestra el comportamiento de la función de Green como una función del
tiempo para medios conductivos con σ1 = 0.01 S/m, σ2 = 0.10 S/m y σ3 = 1.00 S/m a una
distancia r = 1 km del origen. Como se puede ver en la Figura 6.6 y en la Ecuación 6.54,
para tiempos grandes (t→∞) la función de Green decae con t−3/2
104
Figura 6.6: Función de Green en r = 1000 m para un medio infinito y homogénoy tres conductividades diferentes: σ1 = 0.01 S/m, σ2 = 0.10 S/m y σ3 = 1.00 S/m
6.8. Función de Green para un semiespacio
En un semiespacio conductivo y homogéneo (z < 0) es posible usar el método de imágenes
para calcular la función de Green correspondiente. Si se quiere conocer el campo en la región
conductiva, las condiciones de frontera se cumplirán si se ubica una fuente imagen en la
parte del espacio libre de material conductivo (z > 0). Este es el método usual de cálculo y
si quiere, se puede aplicar directamente en la determinación de los campos sin hacer uso de
los potenciales electrodinámicos [112].
Si la fuente se ubica en el punto (x′, y′, z′), su imagen estará localizada en (x′, y′,−z′); de
este modo la función de Green GS para el semiespacio homogéneo vendrá dada por:
GS(x, y, z, t) =µ1/2σ1/2
8π3/2(t− t′)3/2×(
e−µσ((x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2)/4(t−t′) − e−µσ((x−x′)2+(y−y′)2+(z+z′)2)/4(t−t′)
)u(t− t′).
(6.54)
105
Finalmente, los potenciales de Schelkunoff para el semiespacio homogéneo vienen dados
por:
A(r, t) =
∫t′
∫V ′GS(|r− r′|, t− t′)Je(r′, t′)dV ′dt′
F(r, t) =
∫t′
∫V ′GS(|r− r′|, t− t′)Jm(r′, t′)dV ′dt′.
(6.55)
A partir de las Ecuaciones 6.55 es posible, en principio, calcular los potenciales de Schelkunoff
para cualquier dependencia temporal y para cualquier configuración de fuentes distribuidas
en un semiespacio conductivo homogéneo. Dependiendo del tipo de fuente, se calcula uno
de los dos potenciales, y a partir de las Ecuaciones 6.40 y 6.44 se obtienen los campos
correspondientes.
106
7 | Emisiones Electromagnéticas y Te-
rremotos
¿Cómo pueden extenderse los análisis y resultados de la secciones anteriores a las escalas de
longitud características de los terremotos? En un primer acercamiento podría parecer que
los procesos de fractura observados en rocas de algunos centímetros de longitud no tienen
relación con las zonas de falla que producen los terremotos, donde se pueden observar fractu-
ras que se extienden hasta cientos de kilómetros. Sin embargo, las distribuciones energéticas
encontradas durante el análisis experimental (capítulo 3) sugieren que las emisiones acústicas
y electromagnéticas cumplen leyes de escala, y que por lo tanto estos resultados deberían
ser válidos en un amplio rango de longitudes. Si los terremotos son realmente un fenómeno
crítico, donde no existe una escala de longitud característica, entonces los experimentos de
laboratorio deberían contener información relevante sobre lo que ocurre en escalas mucho
mayores.
Este argumento teórico ha encontrado respaldo en evidencia experimental reciente. Experi-
mentos de fractura realizados con diferentes tipos de materiales, no necesariamente geológi-
cos, han mostrado notables semejanzas entre la estadística de las emisiones acústicas y los
terremotos en amplios rangos de tiempos y energías [113, 114, 115, 116]. Estas semejanzas no
se limitan solamente a las distribuciones energéticas; las leyes de Omori, de tiempo de espera
y de productividad, también han sido validadas en estos experimentos de pequeña escala
107
[53]. Además, el análisis no-extensivo discutido en la sección (5.1), muestra que las hipótesis
de escala asumidas para describir los terremotos (modelo de fragmentos y asperezas), siguen
siendo válidas para estudiar las emisiones acústicas en escala de laboratorio.
La primera hipótesis fundamental para estimar la intensidad de las perturbaciones electro-
magnéticas en escala geológica es que, así como existe una relación clara entre emisiones
acústicas y terremotos, debe existir una relación semejante entre las emisiones electromagné-
ticas detectadas en nuestro experimento y las anomalías electromagnéticas reportadas como
posibles precursores sísmicos (ver Tabla 1.1).
La segunda hipótesis asume que la zona fuente de las perturbaciones electromagnéticas es
de un tamaño similar al de la zona de ruptura final.
Evidentemente, una evaluación completa de estas hipótesis requiere de estudios de campo
que permitan realizar las comparaciones respectivas. Como se ha discutido previamente, este
tipo de análisis tienen aún grandes limitaciones experimentales y muchos de sus resultados
aún son puestos en duda por buena parte de la comunidad científica [117, 118, 119]. Sin
embargo, desde un punto de vista teórico, las hipótesis propuestas permiten obtener primeras
aproximaciones a la magnitud del fenómeno así como la determinación de los factores más
relevantes en su proceso de detección.
En este capítulo se usan dos modelos para analizar la forma como se distribuyen las fuentes
de anomalías electromagnéticas en la zona de ruptura: el modelo percolativo clásico y el
modelo de redes fractales.
7.1. Modelo Percolativo
Como se mostró en la sección (4.7), en materiales altamente desordenados el proceso de
fractura de produce de manera gradual a través de la generación de microfracturas. A medida
que el proceso avanza, la densidad de microfacturas en el material aumenta hasta alcanzar
108
Figura 7.1: Cadena unidimensional que muestra dos diferentes estados en elproceso de percolación. En (A) se muestra la cadena intacta, p = 0, mientrasque en (B) se muestra un estado con 0 < p < pc y un cluster de tamaño L.
un valor crítico a partir del cual el material falla completamente. El modelo estadístico más
sencillo que puede describir este proceso es el modelo percolativo. Este modelo asume que
las microfracturas aparecen en el material de forma aleatoria y sin correlación alguna entre
ellas. Esta distribución se realiza de forma puramente estática y cada etapa del proceso está
caracterizada por el tamaño de los agrupamientos (clusters) de microfacturas así como por
la forma geométrica que estos adoptan.
La principal propiedad del modelo percolativo es que exhibe una concentración crítica de
microfracturas a partir de la cual el material se divide en dos partes. Este modelo se ha
validado en materiales con desorden extremo, siempre que el decaimiento espacial del campo
de esfuerzos asociado con una microfractura, sea mucho menor que la longitud media de
las variaciones de propiedades elásticas del material [120]. De ese modo las correlaciones
originadas por interacciones elásticas se puedan despreciar.
El único tipo de correlación que se presenta en este modelo proviene de sus propiedades
geométricas. Para ilustrar este hecho se puede considerar el ejemplo, en extremo simplificado,
de un material unidimensional (Figura 7.1A). En este caso el material está compuesto por N
celdas conectadas formando una cadena. Inicialmente todas las celdas están en un estado de
no-ruptura, y a medida que el proceso avanza, las celdas cambiarán a un estado de ruptura
que finalmente abarcará toda la cadena. Aunque evidentemente se trata de un ejemplo muy
sencillo, esta representación permite visualizar el origen del comportamiento crítico en el
modelo percolativo y su utilidad para describir las emisiones pre-fractura.
109
En este ejemplo unidimensional el material se fracturará cuando surja un cluster que cubra
toda la cadena. Un cluster de tamaño L queda caracterizado por tener L celdas consecutivas
en estado fracturado, seguidas, a izquierda y derecha, por un celda en estado normal (Figura
7.1B). Si la probabilidad de que una celda esté en estado fracturado se denota por p, la
probabilidad de permanecer intacta será (1− p); de este modo la probabilidad de que exista
al menos un cluster de tamaño L viene dada por:
pL = (1− p)pL(1− p) = (1− p)2pL. (7.1)
Evidentemente, la probabilidad crítica pc para producir la fractura del material es pc = 1,
en este caso sólo habrá un cluster relevante cuyo tamaño coincide con el de la cadena. La
Ecuación 7.1 se puede expresar en términos de la longitud de correlación ζp:
pL = (1− p)2pL = (1− p)2eln(pL) = (1− p)2eL ln(p) = (1− p)2e−L/ζp (7.2)
donde ζp se ha definido como:
ζp = − 1
ln(p). (7.3)
Como puede verse en la Ecuación 7.3, ζp →∞ cuando p→ pc, esto confirma le hecho de que
cerca de la ruptura definitiva, todas las escalas de longitud son equivalentes. Debido a que
ln(1 + ∆x) ≈ ∆x si ∆x→ 0, la Ecuación 7.3, cuando p→ 1, se puede reescribir como:
ζp = − 1
ln(1− (1− p))≈ 1
(1− p)= (1− p)−1, (7.4)
por consiguiente, cerca de la ruptura definitiva, la longitud de correlación toma la forma
potencial característica de los comportamientos críticos. Este comportamiento puede ser visto
directamente en la función de correlación g(x, x′), la cual indica la probabilidad de que dos
110
Figura 7.2: Percolación en dos dimensiones. Una celda en estado fracturado serepresenta de color negro mientras que una intacta está en blanco. La figura de laizquierda corresponde a p < pc y la de la derecha a p > pc
celdas en posiciones x y x′ estén conectadas. De acuerdo con lo mostrado anteriormente:
g(x, x′) ∼ rp = e−r/ζp , (7.5)
donde r es el número de celdas entre x y x′. La Ecuación 7.5 permite ver que el origen de la
correlación en la teoría percolativa se debe a las características geométricas del modelo.
A pesar de la simplicidad del ejemplo, el comportamiento crítico exhibido por el modelo 1D
se mantiene en dimensiones más altas. Evidentemente, los valores de pc cambian según la
dimensión y la forma de las celdas. En nuestro caso la fractura se presenta generalmente
en zonas de falla que se pueden modelar como estructuras geométricas bidimensionales.
Las microfracturas, que aparecen progresivamente durante el proceso, se pueden representar
como celdas rectangulares que irán cubriendo la zona de ruptura hasta que se alcance el
punto de percolación. Para este caso se ha demostrado [121] que la probabilidad crítica para
lograr la ruptura es pc ≈ 0.59. En la Figura 7.2 se muestra la percolación bidimensional para
p < pc y p > pc.
Este modelo se puede extender directamente en la descripción las perturbaciones electro-
magnéticas producidas por una falla durante su ruptura. En la Figura 7.3 se muestra la
111
Figura 7.3: Representación de la fractura en la zona de falla durante el procesode percolación. Una celda gris es equivalente a una microfractura.
situación donde el plano de falla es perpendicular al plano z = 0. Teniendo en cuenta que el
tamaño de cada celda es muy pequeño comparado con la distancia a la superficie, los campos
producidos por cada microfractura se pueden calcular usando la metodología descrita en el
capítulo anterior. El campo macroscópico total ET producido por toda la zona de falla en
un momento particular del proceso de fractura, se calcula directamente a partir de la super-
posición de los campos producidos por cada microfractura Ei. Si se restringe el cálculo a la
superficie (z = 0) se tiene:
E(x, y, t) =N∑i=1
Ei(x, y, t)f(si), (7.6)
donde N es el número total de celdas y si es un número escogido aleatoriamente en el
intervalo (0, 1). La función f determina si la celda correspondiente se activa o no durante el
proceso, de este modo f(si) = 1 si si < p y f(si) = 0 si si > p. Los campos individuales Ei
112
son originados por fuentes dipolares que se activan cuando se inicia la microfactura (t = 0)
y se se desactivan cuando el proceso se detiene (t = Tf ). De este modo los campos Ei se
calculan como la superposición de dos campos: uno que proviene de una fuente tipo escalón
unitario positiva que se activa en t = 0, y otro creado por una fuente tipo escalón unitario
negativa que se activa en t = Tf ; por consiguiente:
Ei(x, y, t) = Ei,step(x, y, t)− u(t− Tf )Ei,step(x, y, t− Tf ), (7.7)
donde u es la función paso y Ei,step es el campo producido por un dipolo tipo Heaviside y
que se puede calcular siguiendo la metodología de las secciones (6.5) y (6.8).
7.1.1. Distribución espacial de la anomalía electromagnética
Para ilustrar el alcance espacial de las perturbaciones electromagnéticas producidas por una
falla cerca de su punto de ruptura, en las Figuras 7.4 y 7.5 se muestran las curvas de nivel
asociadas a las componentes Ex y Bz del campo electromagnético cuando el proceso percola-
tivo ha alcanzado el valor p = 0.4. Los parámetros geométricos asumidos en este ejemplo son:
z1 = −5000 m, z2 = −6000 m, y1 = −500 m, y y2 = 500 m. Se tomó como valor típico para
la conductividad eléctrica del subsuelo σ = 0.01 S/m y la permeabilidad magnética se tomó
como la del vacío (medios no magnéticos). En este caso se asumió como válido el modelo del
condensador, de este modo los dipolos transitorios asociados con cada microfractura están
orientados en la dirección x, perpendiculares al plano de falla. La intensidad de cada dipolo
se tomó como unitaria, sólo con el fin de resaltar las características espaciales del campo.
El tiempo de apertura de la microfractura es Tf = 1× 10−2 s y el tiempo de observación es
t = 2× 10−2 s.
Como se puede apreciar en las Figuras 7.4 y 7.5 los valores máximos de las perturbaciones
eléctrica y magnética no se presentan en las mismas posiciones. Para el campo eléctrico
113
−600
−400−200
0200
400600
−600
−400
−200
0
200
400
600
0.8
0.85
0.9
0.95
1
Ex/E
x,m
ax
x(m )y(m )
Figura 7.4: Curvas de nivel de Ex sobre la zona de falla para p = 0.4 y t = 2×10−2
s. La falla está sobre el plano yz a una profundidad de 5 km (Figura 7.3). El colorrojo corresponde a valores altos de Ex (cercanos al valor máximo) mientras que losazules a valores menores (0.8 veces el valor máximo). Esta componente del campoalcanza sus máximos justo arriba del punto central de la zona de falla.
el valor máximo se logra inmediatamente arriba del centro geométrico de la falla, pero el
campo magnético alcanza sus valores extremos en aproximadamente (±5000 m,0,0), es decir,
en puntos alejados casi diez veces el tamaño de la falla. Por el contrario, justo arriba de la
falla los efectos magnéticos son despreciables.
Este resultado muestra que, incluso en un modelo sencillo como el percolativo, las pertur-
baciones magnéticas se extienden a zonas alejadas de la zona de fractura mientras que en
puntos cercanos a ella su magnitud es casi cero. Estos resultados resaltan la dificultad que
implica un posible monitoreo de una falla en particular, mediciones específicas sobre la zona
de falla de una sola componente del campo magnético, como es el caso de muchos estudios,
no permiten determinar la existencia o no de precursores electromagnéticos.
114
−5000
0
5000
−5000
0
5000
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1B
z/B
z,m
ax
y(m ) x(m )
Figura 7.5: Curvas de nivel de Bz sobre la zona de falla para p = 0.4 y t = 2×10−2
s. La falla está sobre el plano yz a una profundidad de 5 km (Figura 7.3). El colorrojo corresponde a valores altos de Bz (cercanos al valor máximo) mientras quelos azules a valores menores (0.8 veces el valor máximo). A diferencia de Ex estacomponente del campo magnético alcanza sus valores extremos a distancias delorden de cinco veces el tamaño de la falla.
7.1.2. Efecto de la profundidad
La profundidad de las fuentes electromagnéticas es uno de los factores más importantes
en la estimación de la magnitud de las perturbaciones electromagnéticas. La propagación
en materiales conductivos hace que los campos electromagnéticos decaigan fuertemente a
medida que avanzan en el medio. Para estimar este efecto, analizamos el comportamiento
de la componente vertical del campo magnético a lo largo de la línea donde se presentan sus
valores extremos, z = 0, x = 0. En la Figura 7.6 se pueden ver los resultados correspondientes
para cuatro profundidades diferentes: z1 = −5000 m, z2 = −6500 m, z3 = −8000 m y z4 =
−9500 m. Se tomó p = 0.4 y todos los campos están normalizados al valor máximo obtenido
para z1 = −5000 m. Como puede apreciarse, un aumento del 1500 m en la profundidad de la
115
−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y(m )
Bz/Bzmax
z1=−5000m
z2=−6500m
z3=−8000m
z4=−9500m
Figura 7.6: Comportamiento de la componente vertical del campo magnéticopara diferentes valores de la profundidad de la zona de ruptura. Los cálculos sehicieron a lo largo de la recta z = 0, x = 0. Todos los valores están normalizadosal valor máximo Bz,max obtenido para z1 = −5000 m. Como puede apreciarsecualitativamente, un aumento en un factor dos de la profundidad de la falla produceuna disminución en un factor diez del campo estimado.
falla hace que la magnitud del campo decaiga en casi un 50 %. La situación es más extrema si
se duplica la profundidad, en este caso la magnitud decae un orden de magnitud. Esto muestra
que es poco probable detectar anomalías asociadas con sismos cuyo origen esté localizado a
grandes profundidades, los efectos más intensos se esperan en sismos superficiales, usualmente
localizados a menos de 10 km de la superficie.
7.1.3. Efecto de la conductividad
Como se discutió en el capítulo anterior para ondas e impulsos planos, la conductividad eléc-
trica de la corteza produce un decaimiento importante de amplitud de las ondas electromag-
néticas. Este efecto se aprecia también para los campos producidos por las fuentes dipolares
en el modelo percolativo. En la Figura 7.7 se muestra la componente vertical del campo
magnético para cuatro valores diferentes de conductividad eléctrica del medio: σ1 = 0.010
116
S/m, σ2 = 0.025 S/m, σ3 = 0.050 S/m y σ4 = 0.10 S/m. Los cálculos se realizaron a lo largo
de la recta z = 0, x = 0. El resultado muestra nuevamente que incrementos lineales en la
conductividad producen decaimientos exponenciales en la magnitud del campo.
−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y(m )
Bz/Bzmax
σ1=0.010Sm
−1
σ2=0.025Sm
−1
σ3=0.050Sm
−1
σ4=0.10Sm
−1
Figura 7.7: Comportamiento de la componente vertical del campo magnéticopara diferentes valores de la conductividad del medio. Los cálculos se hicieron alo largo de la recta z = 0, x = 0. Todos los valores están normalizados al valormáximo Bz,max obtenido para σ1 = 0.01 S/m. Como puede verse cualitativamente,un aumento en un factor 2.5 en la conductividad, produce una disminución de unfactor 5 en la magnitud del campo estimado.
7.2. Redes multifractales
Aunque el modelo percolativo tiene en cuenta muchos de los aspectos críticos asociados
con fracturas, la división de la zona de falla en celdas rectangulares puede pasar por alto
algunas propiedades geométricas importantes. El carácter fractal asociado con los patrones
de fractura es una de ellas. En efecto, como se indicó en la sección (5.3), diversos estudios
han mostrado que las leyes de potencia originadas en la geometría fractal de las superficies de
fractura, juegan un papel fundamental en muchas de las propiedades físicas de las rocas.
117
Una de los aspectos mejor estudiados hasta el momento es la forma como se distribuyen
estadísticamente las posiciones y las longitudes de las fracturas en una zonas de ruptura. A
partir de análisis geométricos realizados en zonas donde las condiciones geológicas han dejado
expuestos los patrones de fractura, Davy et al. y Bour et al. [106] propusieron el modelo de
redes multifractales para entender el comportamiento estadístico de estos patrones.
En su versión más simple la distribución de las longitudes de las fracturas está gobernada
por una doble ley de potencias:
n(l, L) = αLDl−a, (7.8)
donde n(l, L) es la densidad de probabilidad de tener una fractura de longitud l en una
superficie con área L2, D es la dimensión de la distribución del los centros de las fracturas,
a es el exponente característico de la distribución y α es conocido como el factor densidad
de fracturas. En una red fractal de primer orden no se tienen cuenta las correlaciones que
pueden aparecer entre las posiciones de las fracturas, de este modo el único factor relevante
es su longitud. El número total de fracturas en una muestra de tamaño L, se puede calcular
por integración directa de la Ecuación 7.8.
Las propiedades de interconexión de la red están determinadas por los valores de los expo-
nentes D y a. Si los centros de las fracturas se distribuyen aleatoriamente sobre un plano
de falla o en un volumen, las dimensiones respectivas serán D = 2 y D = 3; valores no
enteros de D corresponden a dimensiones fractales. Un valor grande de a (a→∞) privilegia
la existencia de fracturas pequeñas sobre las grandes; inversamente, valores pequeños de a
(a → 2) permiten la presencia de fracturas de mayor longitud y aumentan la probabilidad
de interconexión. En la Figura 7.8 se muestran dos redes de fractura construidas usando la
Ecuación 7.8; se tomó el mismo valor de D en los dos casos y se cambió el valor de a. En las
dos redes el número total de fracturas es el mismo, sin embargo, puede apreciarse que la red
con menor valor de a (izquierda) permite la presencia de fracturas con longitud comparable a
la del sistema; este efecto disminuye en la segunda red (derecha) donde dominan las fracturas
118
D = 2, a = 2 D = 2, a = 4
Figura 7.8: Ejemplos de redes de fracturas construidas según la Ecuación 7.8.En ambas se tomó D = 2. En la red de la izquierda, a = 2, se puede apreciar lapresencia de muchas fracturas de longitud comparable con el tamaño del sistema,en red de la derecha, a = 4, este efecto disminuye.
pequeñas y aisladas.
En general las fracturas no están distribuidas uniformemente, las posiciones de sus centros
geométricos siguen también un patrón fractal. La generación de una red que cumpla con
esta condición se puede hacer mediante el proceso de cascada multiplicativa [122]. Este
proceso se ilustra en la Figura 7.9 y su implementación se puede consultar en el apéndice
3. En esencia, la zona de fractura de divide en cuatro partes iguales y a cada parte se
le asigna una probabilidad pi tomada del conjunto (p1, p2, p3, p4). El proceso se repite con
cada uno de los cuadrados resultantes de la primera división, multiplicando la probabilidad
asignada en la primera iteración con una nueva probabilidad elegida aleatoriamente entre
las cuatro probabilidades originales. El proceso se puede repetir cuantas veces sea necesario,
sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones es suficiente con repetirlo 8 o 9 veces [123].
A partir del resultado de la cascada, la ubicación de los centros de las fracturas se hace a
través de un proceso aleatorio similar al descrito en el modelo percolativo; a un cuadro de la
cascada se le asigna una fractura si el resultado final del proceso multiplicativo es superior
a un número escogido dentro de una distribución aleatoria. El resultado de una realización
119
Figura 7.9: Representación del proceso de cascada multiplicativa para construir lared fractal. En la primera iteración el área se divide en cuatro partes iguales y a ca-da una se le asigna un valor pi dentro de conjunto de probabilidades (p1, p2, p3, p4).Posteriormente, cada división se subdivide en cuatro partes iguales y a cada nuevaparte se le asigna el producto de la probabilidad pi de la región original por unanueva probabilidad pj escogida dentro del mismo conjunto. El proceso se repite elnúmero de necesario de veces (usualmente 8 o 9) para representar adecuadamentela zona de fractura.
Figura 7.10: Ejemplo de una red fractal construida a partir de una cascadamultiplicativa. El conjunto de probabilidades es (1, 0.75, 0.5, 0) y el número deiteraciones es 8. A diferencia del modelo percolativo, las fracturas se concentranen algunas zonas de la falla.
de este proceso se muestra en la Figura 7.10.
Como se puede apreciar, los centros de las fracturas estarán más concentrados en ciertas
regiones del plano, algo que diferencia la red fractal del modelo percolativo. Sin embargo, al
calcular los campos usando nuevamente la Ecuación 7.7, se obtienen resultados similares a
los encontrados en el modelo percolativo. En las Figuras 7.11 y 7.12 se muestra esta situación
120
para el conjunto de probabilidades: (1, 0.75, 0.5, 0).
−2000
−1000
0
1000
2000
−2000
−1000
0
1000
2000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ex/E
x,m
ax
x(m )y(m )
Figura 7.11: Curvas de nivel de Ex sobre la zona de falla usando el modelo dered multifractal con un un conjunto de probabilidades: (1, 0.75, 0.5, 0) y t = 2 ×10−2s. La zona de falla tiene las mismas dimensiones que en el modelo percolativo:z1 = −5000 m, z2 = −6000 m, y1 = −500 m, y y2 = 500 m (Figura 7.3). Apesar de diferencia en la forma como se distribuyen las fuentes, el modelo de redmultifractal conduce, al menos cualitativamente, a la misma distribución espacialde la anomalía que el modelo percolativo (Figura 7.4)
A pesar de que la red multifractal cambia la concentración de microfraturas en ciertas regio-
nes del plano, los puntos donde se calculan los campos están alejados decenas de kilómetros
con respecto a las fuentes generadoras de las emisiones. Esto hace que los posibles efectos de
las concentraciones se las fracturas no sean considerables. La misma situación se puede ver
para diferentes instantes de tiempo. En la Figura 7.13 se muestra la evolución temporal de
la perturbación eléctrica justo arriba de la falla.
121
−5000
0
5000
−5000
0
5000
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1B
z/B
z,m
ax
y(m ) x(m )
Figura 7.12: Curvas de nivel de Bz sobre la zona de falla usando el modelo dered multifractal con un un conjunto de probabilidades: (1, 0.75, 0.5, 0) y t = 2 ×10−2s. La zona de falla tiene las mismas dimensiones que en el modelo percolativo:z1 = −5000 m, z2 = −6000 m, y1 = −500 m, y y2 = 500 m (Figura 7.3). Apesar de diferencia en la forma como se distribuyen las fuentes, el modelo de redmultifractal conduce, al menos cualitativamente, a la misma distribución espacialde la anomalía que el modelo percolativo (Figura 7.5)
7.3. Análisis dinámico y detectabilidad, el caso Alum Rock
Hasta ahora se ha asumido cierta distribución estática de fracturas en la zona de ruptura.
Evidentemente, esta aproximación no tiene en cuenta la forma como progresa la distribución
a medida que aumenta el esfuerzo y el sistema se acerca a su punto crítico. Debido a que la
evolución dinámica de una zona de falla es algo que no se ha determinado completamente,
es necesario recurrir a modelos aproximados que describan sólo ciertos aspectos relevantes
del proceso. Un modo de ver esta evolución es a través del modelo de fibras combinado con
las redes multifractales. Extendiendo el modelo de fibras descrito en el capítulo 2, es posible
modelar la zona de falla como dos bloques paralelos que están unidos por un conjunto
122
−20000
2000
−2000
0
2000
0
0.5
1
Ex/E
x,m
ax
t = 0.3T 0
x(m)y (m) −20000
2000
−2000
0
2000
0
1
2
x 105
Ex/E
x,m
ax
t = 0.6T 0
x(m)y (m)
−20000
2000
−2000
0
2000
0
1
2
x 108
Ex/E
x,m
ax
t = 2T 0
x(m)y (m) −20000
2000
−2000
0
2000
0
2
4
x 108
Ex/E
x,m
ax
t = 3T 0
x(m)y (m)
−20000
2000
−2000
0
2000
1
2
3
x 108
Ex/E
x,m
ax
t = 5T 0
x(m)y (m) −20000
2000
−2000
0
2000
4
6
8
x 107
Ex/E
x,m
ax
t = 7T 0
x(m)y (m)
Figura 7.13: Evolución temporal de Ey sobre la zona de falla usando el mode-lo de red multifractal con un un conjunto de probabilidades: (1, 0.75, 0.5, 0). T0representa el tiempo de apertura de las microfracturas y todos los gráficos estánnormalizados al valor máximo obtenido en t = 0.3T0.
de fibras que colapsan cuando experimentan un esfuerzo superior al esfuerzo umbral. Las
fibras se ubican sobre los puntos de la red multifractal de la misma forma como se describió
previamente en este capítulo. La Figura 7.14 ilustra la situación.
Cuando una fibra colapsa, generará una perturbación electromagnética de la misma forma
como se explicó en detalle en los modelos percolativo y de red multifractal. Para estimar
la magnitud de las perturbaciones, es necesario determinar la intensidad de los dipolos aso-
ciados con las fracturas. Esto sólo se puede hacer a partir de la evidencia experimental. La
magnitud de cada dipolo depende de la corriente I y la distancia de separación ∆x. Nuestro
experimento coincide con la mayoría de los reportes que indican que las corrientes producidas
123
Figura 7.14: Representación de una zona de falla usando el modelo de fibras. Lasfibras se representan de color naranja y se distribuyen sobre una red multifractal.
por las microfracturas es del orden de I ≈ 10−7 A [8, 93]. La distancia ∆x fue estimada en el
orden de 10−3 m. La configuración bidimensional de fibras exhibe el mismo comportamiento
que se mostró en el capítulo 2 para las fibras unidimensionales, cuando el número de fibras
sobrevivientes llega a la mitad del valor inicial, todo el sistema colapsa catastróficamente.
Para analizar los resultados del modelo, se muestra sólo la evolución temporal de la com-
ponente z de la perturbación magnética. En la Figura 7.15 se muestran cuatro estados del
proceso de ruptura correspondientes a incrementos del esfuerzo soportado por cada fibra; en
(A) y en (B) la proporción de fibras sobrevivientes es de 0.7 y 0.6 respectivamente mientras
que (C) y (D) corresponden a dos instantes de tiempo después de que todas las fibras se han
roto.
Como se puede apreciar, el máximo valor de la componente Bz del campo magnético es del
orden de 10−13 T. Diferentes realizaciones del modelo arrojaron perturbaciones del mismo
orden de magnitud.
Los resultados obtenidos discrepan considerablemente de estimaciones basadas en otros mo-
delos ([124, 125, 126]). En [124], por ejemplo, Bortnick et al. usan el modelo de corrientes
telúricas para explicar una anomalía magnética del orden de 30 nT detectada por un mag-
netómetro [127] ubicado a 2 km del epicentro del sismo del 31 de Octubre de 2007 en Alum
124
−5000
0
5000
−5000
0
5000
−5
0
5
x 10−14
Bz(T
)
A
x(m)y (m) −5000
0
5000
−5000
0
5000
−1
0
1
x 10−13
Bz(T
)
B
x(m)y (m)
−5000
0
5000
−5000
0
5000
−2
0
2
x 10−13
Bz(T
)
C
x(m)y (m) −5000
0
5000
−5000
0
5000
−2
0
2
x 10−13
Bz(T
)
D
x(m)y (m)
Figura 7.15: Componente Bz de la perturbación magnética para diferentes va-lores del esfuerzo soportado por cada fibra. En A y B la proporción de fibrassobrevivientes es de 0.7 y 0.6 respectivamente. En C y D todas las fibras se hanroto. La máxima perturbación esperada se obtiene en C, instantes posteriores a laruptura definitiva de la falla.
Rock, (California, Estados Unidos, MW = 5.6). A diferencia de la hipótesis de microfractu-
ramiento, en los modelos telúricos la fuente que genera la anomalía es una corriente eléctrica
del orden de ∼10-100 kA y que se extiende varios kilómetros hacia afuera de la zona de alta
concentración de esfuerzos (Figura 7.16). Hipótesis como la generación de pares electrón-
hueco (sección 4.2) o el efecto electrocinético (sección 4.4) caen dentro de esta categoría. A
modo de comparación, es posible utilizar el análisis dinámico basado en redes multifractales
y en el modelo de fibras para estimar la magnitud de una posible perturbación magnética
asociada con el sismo de Alum Rock. Para este sismo la profundidad de la zona de falla fue
de aproximadamente 10 km y sus dimensiones fueron de 5 km × 2 km aproximadamente.
125
Figura 7.16: Comparación entre los modelos de microfracturamiento (superior)y de corrientes telúricas (inferior). En el microfracturamiento las corrientes (líneasrojas punteadas) se generan entre las caras cargadas de las microfracturas, lascuales están separadas distancias del orden de 10−3 m. En cambio, las corrientestelúricas (línea negra punteada) pueden extenderse varios kilómetros hacia afuerade las zonas de alta concentración de esfuerzos (región roja) buscando las zonasde menor esfuerzo (región azúl).
Usando la misma geometría de la Figura 7.3 se tomó z1 = −10 km, z2 = −12 km, y1 = −2.5
km y y2 = 2.5 km. En la Figura 7.17 se muestra la componente z del campo magnético como
una función de la coordenada y justo en el instante en que se alcanza el esfuerzo crítico de
ruptura de todas las fibras. Se usan varios valores conductividad eléctrica para modelar las
características del subsuelo conductor.
Los resultados encontrados confirman lo analizado al comienzo de esta sección, la máxima
perturbación esperada es del orden de 10−13 T y está asociada a una conductividad eléctrica
del subsuelo de σ = 10−4 S/m. Valores más altos o más pequeños de σ producen anomalías
varios órdenes de magnitud menores. Aunque el valor de σ = 10−4 S/m es razonable para las
características del subsuelo de la zona del sismo, su valor está justo en el límite de detección
de los magnetómetros usados en el contexto de la geofísica. Por ejemplo, un magnetómetro
126
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010
−20
10−19
10−18
10−17
10−16
10−15
10−14
10−13
10−12
10−11
y(km)
Bz(T
)
σ1=10
−2 Sm
−1
σ2=10
−3 Sm
−1
σ3=10
−4 Sm
−1
σ4=10
−5 Sm
−1
Límite detección
Figura 7.17: Componente Bz como una función de y producida por una fallacon las características de la asociada al sismo de Alum Rock MW = 5.6 (31 deOctubre de 2007, Estados Unidos). Se muestran cuatro curvas asociadas a cua-tro conductividades eléctricas diferentes. La línea negra representa el límite dedetección estimado para los magnetómetros en el contexto de la geofísica.
de precesión de protones, con un umbral de detección de ∼ 0.25 nT, no podría detectar
una perturbación de estas características. Inclusive un magnetómetro de inducción con un
umbral de ∼ 1 pT (los cuales tienen el mayor rango de detección de los usados en geofísica)
no podría detectar la perturbación con la precisión suficiente para distinguirla del ruido
electromagnético. Para ilustrar esto, en la Figura 7.17 se muestra este limite de detección
(línea negra punteada).
La diferencia entre los estimativos encontrados en el modelo de fibras y los basados en co-
rrientes telúricas se debe a las características de las fuentes asumidas en los dos casos (ver
Figura 7.16). Los modelos telúricos tienen la capacidad de generar perturbaciones magnéti-
cas del orden de nT debido a que las corrientes generadoras se pueden extender distancias
del orden de kilómetros y, asumiendo que se pueden extender a lo largo de toda la zona de
127
falla, se toman corrientes de hasta 100 kA. Con estos parámetros no es difícil predecir la
existencia de perturbaciones del orden de decenas de nT inclusive en medios de conductivi-
dad relativamente alta [124]. Sin embargo, como se discutirán en la próxima sección, estas
hipótesis son difíciles de satisfacer en el contexto de los terremotos y además, se pueden
encontrar algunas contradicciones importantes en los propios reportes que usan el modelo
telúrico para explicar anomalías magnéticas del orden de nT.
128
8 | Conclusiones y discusión
En este trabajo se realizó un estudio teórico y experimental enfocado a entender las causas
de las emisiones electromagnéticas durante procesos de fractura en rocas, y la extrapolación
a escalas geológicas en el contexto de los precursores de terremotos.
Con respecto al análisis experimental se encontraron los siguientes resultados:
Durante experimentos de compresión uniaxial se detectó la presencia de emisiones
acústicas y electromagnéticas durante todo el proceso de carga.
El número y energía y de las emisiones acústicas es mucho mayor que estos valores en
las emisiones elecromagnéticas.
Se detectaron emisiones electromagnéticas de baja energía que no están relacionadas
con actividad acústica por encima del umbral de ruido.
Las emisiones electromagnéticas más energéticas están asociadas con emisiones acústi-
cas, es decir, se presentan durante el tiempo de duración de un evento acústico.
A partir de la introducción del diagrama E vs τ para las emisiones acústicas se pu-
do establecer que las emisiones electromagnéticas más energéticas están asociadas a
eventos acústicos originados por fracturas de tipo corte.
Para energías altas se comprobó que las dos emisiones siguen un comportamiento crí-
tico, hecho que permite extrapolar los resultados a escalas geológicas.
129
La electrificación por separación o microfracturamiento permite entender la forma ge-
neral de las emisiones electromagnéticas.
La extrapolación a las escalas geológicas se realizó a través de los modelos de percolación y de
redes fractales. Usando la aproximación cuasiestática para resolver las ecuaciones de Maxwell
se estimó el orden de magnitud de las perturbaciones de todas las componentes del campo
electromagnético, así como la forma general de su distribución espacial. Un modelo dinámico
elemental basado en el modelo de fibras, permitió estimar la magnitud de la perturbación
magnética instantes previos a la ruptura definitiva que causa el terremoto.
El análisis de todas las componentes del campo electromagnético mostró que las máximas
perturbaciones estimadas no siempre se localizan en puntos directamente arriba de la falla,
sino que pueden estar en regiones alejadas hasta diez veces el tamaño de la zona de ruptura.
Estos resultados fueron obtenidos tanto con el modelo percolativo como con el de redes
multifractales.
Usando el modelo de fibras para representar la dinámica de la falla antes de la ruptura
definitiva, se estimó que la magnitud de la máxima perturbación magnética bajo parámetros
típicos de la corteza terrestre es del orden de 10−13 T. Esto se confirmó usando como caso
de estudio el sismo de Alum Rock (California, Estados Unidos) del 31 de Octubre de 2007,
MW = 5.6. En este caso se analizaron diferentes conductividades de la corteza con el fin de
buscar escenarios óptimos para la detección de las anomalías, especialmente las magnéticas.
En todos los casos se encontraron valores máximos menores a 10−13 T.
Discusión
Los resultados generales de este trabajo muestran claramente la disyuntiva actual en el sismo-
electromagnetismo. Aunque los experimentos en escala de laboratorio muestran la existencia
de emisiones electromagnéticas que cumplen relaciones de escala, la extrapolación de estos
130
resultados a las escalas típicas de los terremotos sugiere que, en el estado actual de los
sistemas de medición, la detección de las perturbaciones esperadas aún no es viable.
Aunque existen otros modelos que pueden predecir anomalías que podrían ser detectadas con
los instrumentos actuales, sus hipótesis no se cumplen en el contexto de los terremotos. Tal es
el caso de los modelos explicados en la sección 7.3 basados en corrientes telúricas. La hipóte-
sis fundamental en estos modelos es que existe una diferencia considerable entre los esfuerzos
en la futura zona de falla y el resto de la corteza (secciones 4.2 y 4.4, por ejemplo) haciendo
que se produzca transporte de fluidos cargados eléctricamente (efecto electrocinético) o mo-
vimiento de cargas energéticamente activadas debido al gradiente de presión (pares electrón
hueco). Sin embargo, frecuentemente se ha comprobado que los cambios significativos en el
campo de esfuerzos sólo se presentan en el momento de la fractura [69], por consiguiente,
según estos modelos, los fenómenos electromagnéticos asociados con el sismo deberían espe-
rarse después del evento, no antes y deberán estar asociados a actividad cosísimica pero no
precursora.
Además, los cálculos basados en corrientes telúricas como el reportado por Bortnik et. al.
[124] asociado al sismo de Alum Rock (sección 7.3), no consideran que, además de la corriente
estimulada por el gradiente de esfuerzos, debe existir una segunda corriente que circula alre-
dedor del material conductor de la corteza. Como explica Fenoglio et. al. [128] esta corriente
se puede ver como la que “cierra” el circuito eléctrico en la corteza y por consiguiente su
dirección será opuesta a la corriente telúrica, disminuyendo significativamente la intensidad
de las perturbaciones magnéticas generadas en superficie. Esta disminución no es analizada
en [124].
Además, en el reporte original de la anomalía magnética asociada al evento de Alum Rock
[127], sobresale el hecho de que se tenían otras estaciones magnetómetricas desplegadas muy
cerca de la antena que reportó la anomalía y que sin embargo, no detectaron perturbación
alguna. Es notable que una perturbación tan grande (∼ 30 nT) y en el rango de VLF
131
(∼ 1.0Hz), lo que está asociado con longitudes de onda grandes (∼km), sea detectada sólo
por una antena particular de todo el arreglo y que no haya producido registro alguno en el
resto de sensores. Bortnik et. al. [124] atribuyen este hecho a la alta inhomogeneidad del
subsuelo sobre el que estaban las antenas (hipótesis que no es demostrada en el artículo),
proponiendo que materiales altamente conductivos o con propiedades magnéticas podrían
haber apantallado la señal para la mayoría del arreglo. Sin embargo, este argumento no es
del todo convincente ya que, aunque un subsuelo de este tipo podría evidentemente apantallar
parte la señal, se necesitarían kilómetros de espesor de material conductivo para apantallar
completamente una perturbación con esta longitud de onda. Además, si la perturbación llegó
a un punto de la superficie con una amplitud considerable, entonces, debido nuevamente a
su gran longitud de onda, parte de esta señal debería haberse “difractado” alrededor de
eventuales obstáculos conductores y haber dejado un registro en antenas vecinas.
Las anteriores observaciones muestran que los modelos basados en corrientes telúricas y
los reportes que las hacen responsables de las anomalías electromagnéticas precursoras de
sismos, están basados en hipótesis que no se pueden mantener en el caso de los terremotos.
En cambio, modelos de microfracturamiento como el propuesto en este trabajo cuentan con
respaldo experimental en muestras de laboratorio y con respaldo teórico a partir de las leyes
de escala asociadas con fracturas. A partir de este modelo, sin embargo, las perturbaciones
esperadas están aún fuera del rango de detección de los instrumentos usados en el contexto
de la geofísica (ver sección 7.3 y en especial la Figura 7.17) y por consiguiente difícilmente
podrían explicar las anomalías reportadas (ver Tabla 1.1).
Evidentemente, se podría refinar el modelo buscando escenarios que favorezcan el incremento
de la perturbación electromagnética. Sin embargo, para lograr modelos más adecuados se
requiere, necesariamente, de información confiable de campo, y eso es justamente de lo
que carece el sismoelectromagnetismo. Para ilustrar este punto podemos volver al sismo de
Loma Prieta y la anomalía magnética reportada en el rango de 0.01 Hz, y cuya amplitud
132
aumentó dramáticamente sólo tres horas antes del terremoto (∼ 60 nT). Este evento se
puede considerar como la piedra fundacional de la mayoría de los modelos teóricos propuestos
durante la década de los noventa, especialmente los basados en el efecto electrocinético y
el magnetohidrodinámico. Para la fecha en que se escribe esta tesis, el artículo que reporta
la anomalía [9] cuenta con cerca de 700 citaciones en la base de datos de Google Scholar.
Ningún otro terremoto ha tenido asociada una perturbación de esta escala con sólo horas de
anticipación. Este hecho motivó al USGS a revisar en detalle todo el registro de mediciones
del magnetómetro que detectó la señal [27]. Se compararon las mediciones con datos de
la época tomados por observatorios magnetométricos de Kakioka en Japón y de Fresno en
Estados Unidos. Parte de los resultados se muestran en la figura (8.1).
Como se puede ver, durante el tiempo de operación del magnetómetro se encontraron otros
dos eventos similares al de Loma Prieta, pero estos no coinciden con ningún terremoto. Las
mediciones de los observatorios de Japón y Fresno no muestran la misma actividad, lo que
descarta a las tormentas magnéticas como las causantes de las perturbaciones. ¿Qué originó
estas dos perturbaciones? El registro de reparaciones del magnetómetro muestra que uno
de sus amplificadores produjo fallos de calibración y ganancia que terminaron cuando fue
reemplazado. Aparentemente, las señales anómalas no corresponden a un fenómeno geofí-
sico sino a un problema puramente instrumental. La famosa perturbación de Loma Prieta
corresponde también al periodo de mal funcionamiento del amplificador.
¿Es posible que el reporte más importante del sismoelectromagnetismo sea sólo producto de
un amplificador averiado? Hasta el momento no se ha publicado ninguna réplica al estudio
del USGS.
Este caso es representativo de la mayoría de los reportes publicados; muchos siguen estando
asociados a mediciones accidentales, bajas correlaciones estadísticas que no implican causa-
lidad o simplemente errores de interpretación en el análisis de los datos [129].
Los resultados obtenidos en esta tesis muestran que las posibles perturbaciones electromag-
133
Figura 8.1: Comparación de las mediciones reportadas por el magnetómetro deCorralitos (COR) del reporte [9] (verde) y los registros de los observatorios mag-netométricos de Kakioka (KAK) en Japón (azul) y de Fresno (FRN) en EstadosUnidos (rojo). Tomado de [27]. En la estación de Corralitos sobresalen dos eventossimilares al relacionado con el sismo de Loma Prieta pero que no correspondencon terremoto alguno. Las perturbaciones de este tipo desaparecen después delreemplazo de un amplificador averiado
134
néticas asociadas con terremotos tienen características espaciales y temporales que no pueden
ser determinadas con un sólo sensor. Es necesario disponer de una red amplia y densa de de-
tectores que permita la caracterización de las señales y así diferenciarlas de la amplia variedad
de perturbaciones electromagnéticas que se producen en la naturaleza. La implementación
de una red con estas características no se aprecia en un futuro cercano.
135
Apéndice 1. Realización del Modelo de Fi-bras
A continuación se muestra el código en Matlab que implementa el modelo de fibras (ESL).Por claridad y facilidad los comentarios que explican cada etapa del código y las varia-bles definidas se representan en color verde. Para comprobar el código y evaluar diferentesparámetros, basta con copiar, pegar y ejecutar en una ventana de Matlab.
1 %Jorge Clav i jo , China Earthquake Administrat ion A2 %This program ana lyze s the dynamics o f a Fiber Bundle problem .3 %I n i t i a l l y the bundle i s loaded with a a smal l weight (FT) . As a
r e s u l t4 %some f i b e r s w i l l be broken , however the major i ty o f the bundle
w i l l remain in good s t a t e .5 %After that the weight i s i n c r ea s ed and the proce s s s t a r t s again .6 %Eventual ly a l l the bundle w i l l be broken a f t e r reach a c r i t i c a l
s t r e s s .7 %%8 c l e a r a l l9 c l o s e a l l
10 c l c11 t i c12 N=1∗10^6; %Number o f f i b e r s13 FT=0∗(N) /5 ; %I n i t i a l f o r c e ( weight ) app l i ed over
the bundle14 Delta_FT=2.5∗10^3;15 Tmax=100;16
17 % Di s t r i bu t i on func t i on o f thre sho lds , a random uniformd i s t r i b u t i o n i s used at
18 % th i s s tep19 sth=ze ro s (1 ,N) ;20 f o r i =1:N21 sth ( i )=1∗10^(−4)∗ randi ( [ 0 , 1∗10^4 ] ) ; %max s t r e s s supported by a
f i b e r i s p icked randomly22 end
136
23
24 Nf ina l=ze ro s (1 ,Tmax) ; %This vec to r conta in s the number o fsu rv i v i ng f i b e r f o r each weight
25
26
27 load=ze ro s (1 ,Tmax) ;28 f o r k=1:Tmax29 load (k )=FT;30 j =0;31 s t r e s s=ze ro s (1 ,Tmax) ;32 surv=ze ro s (1 ,Tmax) ;33 bundle=ones (1 ,N) ;34 nN=N;35
36 f o r t=1:Tmax %t i s equ iva l en t to the time step37 nN=N−j ;38 j =0;39 f o r i =1:N40 i f s th ( i )<FT/nN41 j=j +1;42 e l s e43 end44 end45 s t r e s s ( t )=FT/nN; %The new s t r e s s i s determined j u s t by the
number o f su rv i v i ng f i b e r s that at s tep t .46 end47
48 FT=FT+Delta_FT ;49 Nf ina l ( k )=nN;50 i f N f ina l ( k )==0;51 break52 end53 end54 toc55 %%56 p lo t ( load /N, Nf ina l , ’ o ’ )57 ax i s ( [ 0 . 0 5 0 .5 0 N] )58 x l ab e l ( ’ $\ sigma$ ’ , ’ i n t e r p r e t e r ’ , ’ l a t e x ’ , ’ FontSize ’ , 16)59 y l ab e l ( ’$N(\ sigma ) $ ’ , ’ i n t e r p r e t e r ’ , ’ l a t e x ’ , ’ FontSize ’ , 16)
137
Apéndice 2. Realización del Modelo deAgregación
A continuación se muestra el código en Matlab que implementa el modelo de agregación demicrofracturas. Por claridad y facilidad los comentarios que explican cada etapa del códigoy las variables definidas se representan en color verde. Para comprobar el código y evaluardiferentes parámetros, basta con copiar, pegar y ejecutar en una ventana de Matlab.
1 %This program computes the c l u s t e r d i s t r i b u t i o n in an agrega t i onproce s s .
2 %Jorge Clav i jo , I n s t i t u t e o f Geophysics . China EarthquakeAdminist rat ion .
3 c l e a r a l l4 c l o s e a l l5 c l c6 t i c7 NS=1000; %Number o f s i t e s %8 T=10000; %Max time o f eva lua t i on9 S=ze ro s (1 ,NS) ;
10 g=0.5 ; %c r i t i c a l exponent f o r time evo lu t i on11
12 f o r i =1:0.8∗NS13 S (1 , i )=1; %i n i t i a l s i t e ocupat ion ( t=1)14 end15 Iny=ze ro s (1 ,NS) ;16 E=ze ro s (1 ,T−1) ;17 nt=ze ro s (1 ,T−1) ;18 nto=ze ro s (1 ,T−1) ;19
20 f o r i =1:1 :T−121 nto ( i )=i ;22 nt ( i )=log ( i ) ; %s ca l ed time23 W=zero s (NS,NS) ; %I n i t i a l i z a t i o n o f the t r a n s i t i o n Matrix W
( i , j )=024 c=randi ( [ 0 , 1 ] ) ;25 Iny ( : )=c∗ones (1 ,NS) ;
138
26 f o r j =1:NS27 p=randi ( [ 1 ,NS ] ) ; %A random element ( and j u s t one ) o f
each row i s changed from 0 to 1 .28 W( j , p)=1;29 end30 S=S∗W+Iny ; %Core o f the algor i tm , the new S i s made o f
t r a n s i t i o n s from old S and random i n j e c t i o n s .31 E( i )=(sum(S) ) ^2; %Energy f o r a p a r t i c u l a r time i s p ropo r t i ona l
to the squared o f the t o t a l amplitude32 end33
34 %%35 F=tabu la t e (S ( : ) ) ; %Data in S are organ ized and the
f requency o f each data i s obta ined36 l o g l o g (F ( : , 1 ) ,F ( : , 2 ) , ’∗ ’ ) %D i s t r i bu t i on in l o g l o g p l o t37 x l ab e l ( ’ $ f r e cu enc i a $ ’ , ’ i n t e r p r e t e r ’ , ’ l a t e x ’ , ’ FontSize ’ , 16)38 y l ab e l ( ’$M_{ f i n a l }$ ’ , ’ i n t e r p r e t e r ’ , ’ l a t e x ’ , ’ FontSize ’ , 16)39 ax i s ( [10^0 10^4 10^0 200 ] )40 toc
139
Apéndice 3. Realización de la Cascada Mul-tiplicativa
A continuación se muestra el código en Matlab que implementa la cascada multiplicativa.Por claridad y facilidad los comentarios que explican cada etapa del código y las variablesdefinidas se representan en color verde. El programa llama a una rutina (organiza.m) cu-yo código se muestra al final del apéndice. Para comprobar el código y evaluar diferentesparámetros, basta con copiar, pegar y ejecutar en una ventana de Matlab.
1 %Programa para c r ea r una red mu l t i f r a c t a l2 t i c3 %% Cálculo de l a s p robab i l i dade s en e l proceso de cascada . En e s ta
s e c c i ón se t r a t a como un problema 1d4 N=8; %Número de i t e r a c i o n e s5 P= [ 1 , 0 . 5 , 0 . 7 5 , 0 . 2 5 ] ; %Vector de p robab i l i dade s6 W=zero s (N,4^N) ; %W almacena l a s p robab i l i dade s Pi en cada
i t e r a c i ó n7
8 f o r i =1:N %i t e r a c i o n e s9 f o r j =1:4^( i −1) %bloques de 4 e lementos en cada i t e r a c i ó n
10 % Se e l i j e n a l ea to r i amente e lementos de l vec to r P evitando11 % r ep e t i c i o n e s . El buc le whi l e bara ja cada vez que arranca
un nuevo bloque12 k=ones (1 , 4 ) ; %Vector para contar l a s p o s i c i o n e s dentro de P
. Se r e i n i c i a después de cada bloque13 whi le k (1 )==k (2) | | k (1 )==k (3) | | k (1 )==k (4) | | k (2 )==k (3)
| | k (2 )==k (4) | | k (3 )==k (4)14 k (1 )=randi (4 ) ;15 k (2 )=randi (4 ) ;16 k (3 )=randi (4 ) ;17 k (4 )=randi (4 ) ;18 end19 f o r s=1:4 %Elementos en cada bloque20 W( i , 4∗ ( j−1)+s )=P(k ( s ) ) ;21 end22 end
140
23 end24
25 % Ahora se organizan l o s e lementos de W para f a c i l i t a r l a26 % mu l t i p l i c a c i ó n acumulada . Esto se hace en W_org27
28 W_org=ze ro s (N,4^N) ;29
30 f o r i =1:N%F i l a s de W_org ( i t e r a c i o n e s )31 desc=4^(N−i ) ; % Número de de s c end i en t e s para un elemento de l a
f i l a i .32 % Corresponde a número de veces que debe r e p e t i r s e en W_org,
un33 % elemento l o c a l i z a d o en l a i−ésima f i l a de W.34 bloques=4^N/desc ; %Número de bloques en cada f i l a de W_org35 f o r j =1: b loques % Contador de bloques36 r=W( i , j ) ; %A cada bloque se l e as igna e l mismo va lo r
de W37 f o r l =1: desc % Se l l e n a cada bloque38 W_org( i , ( j−1)∗desc+l )=r ;39 end40 end41 end42
43 % Se obt i ene e l r e su l t ado f i n a l de l a casacada con e l productoacumulado
44 s a l i d a=cumprod (W_org) ;45
46 %% Construcc ión de l a matr iz cuadrada47 % Usando l a func ión ’ organiza ’ se ordena l a cascada en una matr iz
cuadrada48
49 H_b=organiza_b ( s a l i d a (N, : ) ,N) ;50
51 save ( ’ f r a c ta l_ne t . mat ’ , ’H_b ’ )52
53
54
55 %% Gráf i co56
57 f i g u r e58 %ax i s o f f59 s e t ( gca , ’ x t i ck ’ , [ ] , ’ y t i c k ’ , [ ] , ’ x t i c k l a b e l ’ , [ ] , ’ y t i c k l a b e l ’ , [ ] )60
61 %box on62 r e c t ang l e ( ’ Po s i t i on ’ , [ 0 0 2^N+2 2^N+2])
141
63 f o r i =1:2^N64 f o r j =1:2^N65 r=rand ;66 i f r<H_b( i , j )67
68 r e c t ang l e ( ’ Po s i t i on ’ , [ i j 3 3 ] , ’ FaceColor ’ , ’ k ’ , ’L ineSty l e ’ , ’ none ’ )
69
70 hold on71 e l s e72 end73
74 end75 end76 ax i s ( [ 0 2^N+10 0 2^N+10])77 %ax i s equal square78 %ax i s t i g h t79 %box on80 ax i s equal81 ax i s o f f82
83 % p l o t f i l e =’/Users / j o r g e c l a v i j o /Documents/dia_a_dia/ f i g u r a s /red_fractal_cascada ’ ;
84 % pr in t ( ’−depsc ’ , ’− t i f f ’ , p l o t f i l e )85 toc
Rutina organiza (llamada dentro de la cascada)
1 f unc t i on [New]= organ iza ( vector ,N)2
3 New=ze ro s (2^N,2^N) ;4
5 max=ones (1 ,N) ;6 i t=N;7 whi le i t >18 sum=0;9 f o r i =2: i t−1
10 e l e =4^( i t−i ) ;11 sum=sum+e l e ;12 end13 max( i t )=(4^( i t −1)+1)−(sum+2) ;14 i t=i t −1;15 end
142
16
17 maxv=2∗ones (1 ,N) ;18 i t=N;19 whi le i t >120 sum=0;21 f o r i =2: i t−122 e l e =4^( i t−i ) ;23 sum=sum+e l e ;24 end25 maxv( i t )=(2^ i t ) ∗(2^( i t −1) )+1−(2∗sum+3) ;26 i t=i t −1;27 end28
29
30 %construyendo e l vec to r de suma31 add=ze ro s (1 ,2^N) ;32 addv=ze ro s (1 ,2^N) ;33 %la mitad de l o s e lementos son 134
35 f o r j =0:N−136 f o r i=2^j :2^( j +1) :2^N37 add ( i )=max( j +1) ;38 end39 end40
41 f o r j =0:N−142 f o r i=2^j :2^( j +1) :2^N43 addv ( i )=maxv( j +1) ;44 end45 end46
47 vecv=ze ro s (1 ,2^N) ;48 vecv (1 ) =1;49 f o r i =2:2^N50 vecv ( i )=vecv ( i −1)+addv ( i −1) ;51 end52
53 M=zero s (2^N) ;54 M( : , 1 )=vecv ;55
56 vec=ze ro s (1 ,2^N) ;57 f o r k=1:2^N58 vec (1 )=vecv (k ) ;59 f o r i =2:2^N60 vec ( i )=vec ( i −1)+add ( i −1) ;
143
61 M(k , i )=vec ( i ) ;62 end63 end64
65
66 i =1;67 whi le i<=4 N68 s=1;69 f o r j =1:2^N70 f o r k=1:2^N71 i f M( j , k )==i72 New( j , k )=vec to r ( i ) ;73 i=i +1;74 s=0;75 break76 e l s e77 end78 end79 i f s==080 break81 e l s e82 end83 end84
85 end
144
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