Upload
others
View
31
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Genel Matematik I
Prof. Dr. Ömer ÖNALAN
M.Ü. İşletme Fakültesi, Sayısal Yöntemler Anabilim dalı
1
Yararlanılan Kaynaklar
Ders Kitabı: Ömer Önalan, İşletme Matematiği, Nobel Basım Yayın.(2020)
Diğer Kaynaklar Tan, S. T. (2015). Applied mathematics for the managerial, life, and social
sciences. Cengage Learning. Stewart, James (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th edition) Barnett,R.A.,Zeigler,M.R.,Byleen,K.E.( 2015). Finite Mathematics for
Business,Economics,Life Sciences and Social Sciences, 13 th ed. Printice-Hall.
Thomas’ Calculus 11th Edition, Pearson Publ. ( Çeviri: Recep Korkmaz , Beta Basım, 2010)
2
1
Kalkülüs’e Giriş I Kalkülüs’e Giriş II Kartezyen Koordinat Sistemi Doğrular
Başlangıç
3
The Elements –Euclid(Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570)
4
1.1Kalkülüse Giriş I
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4
Origin
Positive DirectionNegative Direction
2 –
5
Matematik Nedir?
Matematik, doğruluk , kesinlik ve anlaşılırlık bakımlarından en üst düzeyde düşünsel ürünlerden oluşan bir bilgi alanı, bir soyutlama ve bir düşünce biçimidir;
Mantıksal, biçimsel ve simgesel bir sistemdir; akıl yürütmeye dayalı bir imgeler ve kurallar bütünü olup kendisine ait bir “sentaks” ı olan evrensel bir dildir.
Matematik nesnelerin kendilerini değil aralarındaki ilişkileri inceler; ölçülen şeyle değil ölçü fikriyle uğraşır. Matematikte esas unsur kuraldır.
Fakat “Matematiksel kavram ve bilgilerin hemen tümü nün gerçek dünyada hiçbir yeri yoktur” (King,1999).
6
Matematiğin Tanımı
Matematiğin Aksiyomatik Tanımı Eleman olarak adlandırılan nesnelerden oluşan bir küme ile bu
kümenin elemanlarına uygulayacağımız bir ilişki(Bağıntı) kümesini ele alalım.
Bu ikisine birden ilkel terim adı verilir. Bu ilkel terimlerin Aksiyom adı verilen önceden belirlenmiş kendi aralarında tutarlı bir takım kurallara uyması istenir. Aksiyomlardan mantık kurallarına uygun olarak çıkarılan sonuçlara teorem adı verilir.
Aksiyomlar, ilkel terimler ve bunlardan çıkarılan tüm teoremlere birlikte bir aksiyomatik sistem adı verilir.
Matematik ise bu aksiyomatik sistemlerin tümünün incelenmesidir.
7
Temel Kavramlar
Aksiyom, doğru olduğu herkes tarafından kabul edilen önerme.
Postulat, doğruluğu mantıki olarak kabul edildiği halde, doğruluğu da yanlışlığı da ispatlanamayan önermedir.
Aksiyomlar, mantıki işlemler için yeni teorem ve ispatların elde edilmesinde kullanılırlar.
8
Temel Kavramlar(Devam)
İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar.
Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir. (Aristoteles bunlara aksiyom adını vermekte); diğerleri her alanın kendi
konusuna özgü ilkelerdir (Aristoteles bunlara postulat adını vermektedir). Postulatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri
belirleyen önermelerdir.
9
Temel Kavramlar(Devam)
Örneğin, geometride ‘nokta’ , ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta,
‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir.
Örneğin, “Tüm dik açılar eşittir” postulatı, bir grup nesnenin belli bir özelliğini dile getirmektedir.
Özetle Aksiyom tüm alanlar için geçerli, doğruluğu apaçık bir
önermedir. Postulat belli bir konu ya da inceleme alanına özgü, doğruluğu apaçık bir önermedir.
10
Matematiğin Bölümleri
Matematik çalışmaları kesin olmamakla birlikte iki kısımda ele alınabilir.
Matematik
Pür(Teorik) Matematik
Uygulamalı Matematik
11
Matematik Haritası
Matematik haritası
12
Teorik(Pür) Matematik
Pür matematik günlük hayatın kaygılardan tamamen uzaktır pür matematik; sanat sanat içindir anlayışının matematiğe yansımış halidir .
Benim derdim teoremi ortaya atıp ispatlamaktır, sonra siz bunu alır mühendislikte kullanırsınız orası beni ilgilendirmez derler. (bakınız, matematik sanatı) jerry p. King
Teorik matematikçinin, üzerinde uğraştığı sorunların ve problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur. (Hardy-University of Oxford)
13
Uygulamalı Matematik
Uygulamalı matematik; doğayı anlamak, somut olgular üzerinde çalışmak için matematiğin kullanımı ile belirlenmiş entelektüel bir alan dır.
Teorik matematikçilerin geliştirmiş olduğu matematiksel yöntemler ve tekniklerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matematikçilerin işidir. Literatürden de görülebileceği gibi bir çok teori ortaya konduktan uzun bir zaman sonra pratikte uygulama alanı bulmuştur.
14
Doğal Sayılar Kümesi
15
Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)
16
Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)
17
Doğal Sayılar Kümesi(Devamı)
18
Rasyonel Sayılar
19
Rasyonel Sayılar(Devamı)
20
Rasyonel Sayılar(Devamı)
21
Reel Sayı Doğrusu
Reel sayıları geometrik olarak reel doğru üzerindeki noktalarla gösterebiliriz :
Bu doğru tüm reel sayıları içerir. Her bir reel sayı doğru üzerindeki tam olarak bir nokta ile
ilişkilendirilmiştir. Veya bunun tersi
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4
Orjin
Positif yönNegatif yön
2
22
Sonlu Aralıklar
Açık Aralıklar Kesinlikle a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan reel
sayılar kümesi, (a, b) açık arağı olarak adlandırılır. Bu aralık a < x < b eşitsizliğini sağlayan tüm reel sayılardan
oluşur. Buna açık aralık denmesinin nedeni aralığın bitiş
noktalarını içermemesidir..
23
Sonlu Aralıklar
Kapalı Aralıklar Kesinlikle a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan reel sayılar
ve a ve b yide içeren sayılar kümesi, [a, b] kapalı aralığı olarak adlandırılır.
Bu aralık a x b eşitsizliğini sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.
O kapalı aralık olarak adlandırılır çünkü aralık her iki bitiş noktasınıda içerir.
24
Sonlu Aralıklar
Yarı-Açık Aralıklar a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan ve a ve b bitiş
noktalarından sadece birini içeren sayılar kümesi, (a, b] veya[a, b). Yarı-açık aralığı olarak adlandırılır.
Bu aralık a < x b veya a x < b eşitsizliklerini sağlayan tüm reel sayılardan oluşur.
25
Sonsuz Aralıklar
Sonsuz aralıkların örnekleri: (a, ), [a, ), (–, a), ve (–, a]. Yukarıdaki aralıklar sırasıyla, x > a, x a, x < a, x a,
eşitsizliklerini sağlayan reel sayılar kümesi ile tanımlanırlar.
26
Üslü ve Köklü İfadeler
Eğer b herhangi bir reel sayı ve n de bir pozitif tamsayı ise ozaman bn ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır.
bn = b ∙ b b ∙ ∙ … ∙ b
Burada b sayısı taban ve n üssüde bn üstel ifadesinin kuvveti olarak adlandırılır.
örneğin:
Eğer b ≠ 0, ise b0 = 1 olarak tanımlarız. örneğin:
20 = 1 ve (–)0 = 1, fakat 00 tanımsızdır.
n çarpan
52 2 2 2 2 2 32
32 2 2 2 83 3 3 3 27
27
Üslü ve Köklü İfadeler
Eğer n bir pozitif tamsayı ise o zaman b1/n ifadesi; nth kuvveti alındığında b ye eşit olan bir sayı olarak tanımlanır. Böylece,
Böyle bir sayı b nin nth kökü olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi yazılır.
Benzer şekilde, the expression bp/q ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanan bir sayıdır.
(b1/q)p veya Örnekler:
n b
q pb
3 33/2 1/22 2 1.41412 2.8283
5/2
55/2 51/2
1 1 1 144 2 324
(b1/n)n = b
28
Üs Kanunları
Kanun Örnek
1. am ∙ an = am + n x2 ∙ x3 = x2 + 3 = x5
2.
3. (am)n = am ∙ n (x4)3 = x4 ∙ 3 = x12
4. (ab)n = an ∙ bn (2x)4 = 24 ∙ x 4 = 16x4
5.
( 0) m
m nn
a a aa
( 0) m
m nn
a a aa
7
7 4 34
x x xx
7
7 4 34
x x xx
n n
n
a ab b
n n
n
a ab b
3 3 3
32 2 8x x x
3 3 3
32 2 8x x x
29
Örnekler İfadelerin Basitleştirilmesi
2 3
5/ 4
1/ 2
32/3
23 2
23/ 2
1/ 4
3 4
1616
6
x x
x y
yx
a.
b.
c.
d.
e.
2 3 512 12x x
33/4 3416 16 2 8
(2/3)(3) 6/3 26 6 6 36
42 23 2 (3)( 2) ( 2)( 2) 6 46
yx y x y x yx
(3/2)( 2) 3 1/2
(1/4)( 2) 1/2 3
y y xx x y
30
Örnekler İfadelerin Basitleştirilmesi
4 84
3 5
3 6
33
16
12 3
278
x y
m n m n
xy
a.
b.
c.
1/44 8 1/4 4/4 8/4 216 16 2x y x y xy
1/28 2 8 2 1/2 8/2 2/2 436 36 36 6m n m n m n m n
1/36 1/3 6/3 2
1/3 1/3 3/33
27 27 38 28
x x xy yy
31
Örnekler İfadenin paydasının rasyonelleştirilmesi
32
xx
2
3232
x xx x
x xx
32
32
x xx
x
32
Örnekler İfadenin payının rasyonelleştirilmesi
32
xx
2
32
32
x xx x
xx x
32
32
xx x
x
33
Cebirsel ifadeler ile işlemler
34
Cebirsel ifadeler ile işlemler
Sabit terimler veya aynı değişken faktörlerini içeren terimler benzer terimler olarak adlandırılır.
Benzer terimler onların nümerik katsayıları toplanarak veya çıkartılarak birleştirilebilirler.
Örnekler:
3x + 7x = 10x 12xy – 7xy = 5xy
35
Örnekler İfadenin basitleştirilmesi
4 3 4 3 2(2 3 4 6) (3 9 3 )x x x x x x
4 3 4 3 22 3 4 6 3 9 3x x x x x x
4 4 3 3 22 3 3 9 3 4 6x x x x x x
4 3 26 3 4 6x x x x
36
Örnekler İfadenin basitleştirilmesi
3 22 { [ (2 1)] 4}t t t t
3 22 { [ 2 1] 4}t t t t
3 22 { [ 1] 4}t t t
3 22 { 1 4}t t t
3 22 1 4t t t
3 22 3t t t
37
Örnekler İfadenin basitleştirilmesi
2 2( 1)(3 10 3)x x x
2 2 2(3 10 3) 1(3 10 3)x x x x x
4 3 2 23 10 3 3 10 3x x x x x
4 3 23 10 6 10 3x x x x
38
örnekler İfadenin basitleştirilmesi
( ) ( )t t t t t te e e e e e 2 0 2 0t te e e e
1 1
2
39
Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadenin diğer cebirsel ifadelerin bir çarpımı olarak ifade edilmesi sürecidir.
Örnek:23 (3 1)x x x x
40
Çarpanlara Ayırma
Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak için, önce herhangi bir ortak terim içerip içermediğini kontrol edin.
Öyleyse, en büyük ortak terimi çıkarın Örneğin, ifade için en büyük ortak faktör
2a, dır çünkü
22 4 6a x ax a
22 4 6 2 32(
2 22 2 3)
a x ax a axaa ax
axax
41
örnekler Her bir ifadede en büyük ortak çarpanın bulunması
2 2
2
3/ 2 1/ 2
3
0.3 3
2 3
2 2xy xy
t t
x x
ye xy e
a.
b.
c.
0.3 ( 10)t t
1/2 (2 3)x x
2 22 (1 )xyye xy
42
Örnekler Her bir ifadede en büyük ortak çarpanın bulunması
2 2
3 4 2 6
ax ay bx by
x y y x
a.
b.
2 ( ) ( )(2 )( )
a x y b x ya b x y
3 2 6 4
(3 2) 2(3 2)
(3 2)( 2)
x y y x
y x x
x y
43
İkinci dereceden polinomların çarpanlarına ayrılması
İkinci dereceden polinomun çarpanları
px2 + qx + r(ax + b)(cx + d), şeklindedir. Burada ac = p, ad + bc = q, ve bd = r dir
Yalnızca sınırlı sayıda seçenek mümkün olduğundan, bu forma sahip polinomları çarpanlarına ayırmak için bir deneme yanılma yöntemi kullanıyoruz
.
44
Örnekler
x2 – 2x – 3 polinomunu çarpanlarına ayırınız.Çözüm The x2 nin katsayısı 1, dir Böylece mümkün terimler
birinci dereceden dir. (x )(x ) sabit terimin çarpanı –3, olduğundan bu aşağıdaki
mümkün çarpımı verir.(x – 1)(x + 3)(x + 1)(x – 3)
Çarpanların hangisinin x in katsayısı -2 yi verdiği kontrol edilir.:
(–1)(1) + (1)(3) = 2 veya (1)(1) + (1)(–3) = –2ve sonuçta doğru çarpan aşağıdaki gibidir.
x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x –3) 45
Örnekler
Aşağıdaki ifadelerin çarpanlarını bulunuz.
2
2
3 4 4
3 6 24
x x
x x
(3 2)( 2)x x
23( 2 8)3( 4)( 2)
x xx x
46
Polinom İfadelerin Kökleri
11 0 0n n
n na x a x a
5 3 22 8 6 3 1 0x x x x
47
Polinom ifadelerin Kökleri
48
Kuadratik Formül
Denklemin çözümü
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)aşağıdaki gibi verilir.
2 42
b b acxa
2 42
b b acxa
49
Örnekler
Aşağıdaki denklemi kuadratik formülü kullanarak çözünüz.:
çözüm Denklemde, a = 2, b = 5, ve c = –12, dir. Böylece,
22 5 12 0x x 22 5 12 0x x
22 5 5 4(2)( 12)42 2(2)
b b acxa
22 5 5 4(2)( 12)42 2(2)
b b acxa
5 121 5 114 4
342
or
5 121 5 114 4
342
or
50
Örnekler
Aşağıdaki denklemi kuadratik formülü kullanarak çözünüz:
Çözüm: Önce denklemi standart formda yazalım
denklemde, a = 1, b = 3, ve c = – 8,
2 3 8x x 2 3 8x x
22 3 3 4(1)( 8)42 2(1)
b b acxa
22 3 3 4(1)( 8)42 2(1)
b b acxa
2 3 8 0x x 2 3 8 0x x
3 412
3 41 3 411.7 4.72 2
x x
so, or
3 412
3 41 3 411.7 4.72 2
x x
so, or 51
1.2Kalkülüs e Giriş II
1 1hh
2 21 11 1 1 11 1 1 1
hh hh h h h
2 21 11 1 1 11 1 1 1
hh hh h h h
1 1
1 1 1 1
11 1
h hh h h h
h
1 1
1 1 1 1
11 1
h hh h h h
h
52
Rasyonel İfadeler
İki polinomun oranı rasyonel ifade olarak adlandırılır. Örneğin
3 82 3
xx
3 82 3
xx
2 35 24
x y xyx2 35 2
4x y xy
x 2
5ab2
5ab
53
Rasyonel İfadeler
Gerçek sayıların özellikleri rasyonel ifadeler için geçerlidir
Örnekler Sayıların özellikleri kullanılarak şu yazılabilir.
burada a, b, ve c herhangi bir reel sayı ve b ve c sıfır değildir.
Benzer şekilde,
1ac a c a abc b c b b
1ac a c a abc b c b b
( 2)( 3) ( 2) ( 2,3)( 2)( 3) ( 2)
x x x xx x x
( 2)( 3) ( 2) ( 2,3)( 2)( 3) ( 2)
x x x xx x x
54
Örnekler İfadenin basitleştirilmesi
2
2
2 34 3
x xx x
2
2
2 34 3
x xx x
( 3)( 1)( 3)( 1)
11
x xx x
xx
( 3)( 1)( 3)( 1)
11
x xx x
xx
55
örnekler İfadenin basitleştirilmesi2 2 2
2 4
( 1) ( 2) (2 )(2)( 1)(2 )( 1)
x x x xx
2 2 2
2 4
( 1) ( 2) (2 )(2)( 1)(2 )( 1)
x x x xx
2 2
2 4
2 2 2
2 4
( 1) ( 1)( 2) (2 )(2)(2 )( 1)
( 1)( 2 2 8 )( 1)
x x x xx
x x xx
2 2
2 4
2 2 2
2 4
( 1) ( 1)( 2) (2 )(2)(2 )( 1)
( 1)( 2 2 8 )( 1)
x x x xx
x x xx
2 2
2 4
2
2 3
2
2 3
( 1)(6 2)( 1)
(6 2)( 1)2(3 1)( 1)
x xx
xx
xx
2 2
2 4
2
2 3
2
2 3
( 1)(6 2)( 1)
(6 2)( 1)2(3 1)( 1)
x xx
xx
xx
56
Çarpım ve Bölüm Kuralları
Eğer P, Q, R, ve S polinomlar ise o zaman Çarpım
Bölüm
( , 0) P R PR Q SQ S QS ( , 0) P R PR Q S
Q S QS
( , , 0) P R P S PS Q R SQ S Q R QR ( , , 0) P R P S PS Q R S
Q S Q R QR
57
Örnekler Belirtilen işlemi gerçekleştirin ve basitleştirin
2
2
2 8 4 42 16
x x xx x
2
2
2 8 4 42 16
x x xx x
22( 4) ( 2)2 ( 4)( 4)
2( 4)( 2)( 2)( 2)( 4)( 4)2( 2)
4
x xx x xx x x
x x xx
x
22( 4) ( 2)2 ( 4)( 4)
2( 4)( 2)( 2)( 2)( 4)( 4)2( 2)
4
x xx x xx x x
x x xx
x
58
Toplama ve Çıkarma Kuralları
Eğer P, Q, R, ve S polinomlar ise o zaman Toplama
Çıkarma
( 0)P Q P Q RR S R
( 0)P Q P Q R
R S R
( 0)P Q P Q RR S R
( 0)P Q P Q R
R S R
59
Örnek Belirtilen işlemi gerçekleştirin ve basitleştirin
1 1x h x
( )( )
( )
( )
x x hx x h
x x hx x h
hx x h
60
Diğer Cebirsel Kesirler
Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için kullanılan teknikler, pay ve paydanın polinom olmadığı cebirsel kesirleri basitleştirmek için de kullanılabilir.
.
61
Örnekler
Basitleştirme11
14
xx
x
2 2
1 121
4 1 4
xx xx
x x xx
21 ( 2)( 2)
( 1)( 2)
x xx x x
xx x
62
Örnekler Basitleştirme
1 1
2 2
x yx y
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
y xx y xy
y xx y x y
2 2 2
2 2
( )( )( )
y x x y y x xyxy y x xy y x y xxy
y x
63
Cebirsel Kesirleri Rasyonelleştirme
Bir cebirsel kesrin paydası, radikalleri içeren toplamlar veya farklılıklar içerdiğinde, paydayı rasyonelleştirebiliriz
. Bunu yapmak için şu gerçeği kullanıyoruz:
2 2a b a b a b
a b
64
Örnekler Paydanın Rasyonelleştirilmesi
22
1
1
11
x
x
xx
11 x
1 11 1
xx x
65
Örnekler Payın Rasyonelleştirilmesi
1 1hh
2 21 11 1 1 11 1 1 1
hh hh h h h
2 21 11 1 1 11 1 1 1
hh hh h h h
1 1
1 1 1 1
11 1
h hh h h h
h
1 1
1 1 1 1
11 1
h hh h h h
h
66
Eşitsizliklerin Özellikleri
Eğer a, b, ve c, herhangi bir reel sayı ise ozaman
Özellik 1 Eğer a < b ve b < c, ise a < c.
Özellik 2 Eğer a < b, o zaman a + c < b + c.
Özellik 3 Eğer a < b ve c > 0, ise ac < bc.
Özellik 4 Eğer a < b ve c < 0, ise ac > bc.
67
Örnekler
68
Örnekler
69
Örnekler
70
Mutlak Değer
71
Mutlak Değerin Özellikleri
Eğer a, b, ve c, herhangi reel sayılar ise
Özellik 5 |–a| = |a|
Özellik 6 |ab| = |a| |b|
Özellik 7 (b ≠ 0)
Özellik 8 |a + b| ≤ |a| + |b|
aab b
aab b
72
Örnekler
İfadeyi değerlendirin|– 5| + 3
çözüm – 5 < 0, olduğundan
|– 5| = –(– 5). Bu nedenle
|– 5| + 3 = – (– 5) +3 = 8 – ≈ 4.8584
73
Örnekler
İfadeyi değerlendirin
çözüm , olduğundan
Benzer şekilde , böylece
Bundan dolayı,
3 2 2 3
3 2 0 3 2 3 2
2 3 0 2 3 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
4 2 3
2 2 3
0.5359
74
örnekler
|x| 5 eşitsizliğini değerlendiriniz.
çözüm eğer x 0, ise |x| = x, böylece |x| 5 şunu gerektirir x 5. eğer x < 0, ise |x| = –x ,böylece |x| 5 şunu gerektirir –x 5
veya x –5. böylece, |x| 5 nin anlamı –5 x ≤ 5, dır ve çözüm [–5, 5].
75
Örnekler
|2x – 3| 1 eşitsizliğini değerlendiriniz.
çözüm Biliyoruzki |2x – 3| 1 ifadesi –1 2x – 3 1 ye denktir. Her tarafa 3 eklenirse 2 2x 4 elde edilir. Her taraf 2 ile bölünürse, 1 x 2, elde edilir. Böylece
çözüm kümesi [1, 2].
76
1.3Kartezyen Koordinat Sistemi
C(h, k)
h
k r
P(x, y)
77
The Cartesian Coordinate System
At the beginning of the chapter we saw a one-to-one correspondence between the set of real numbers and the points on a straight line (one dimensional space).
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4
78
Kartezyen Koordinat Sistemi
Kartezyen koordinat sistemi, dikey bir eksen ekleyerek bu kavramı bir düzleme (iki boyutlu uzay) genişletir.
.
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 479
Kartezyen Koordinat Sistemi
Yatay eksen x-ekseni, ve düşey eksen y-ekseni olarak adlandırılır.
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
80
Kartezyen Koordinat Sistemi
Bu iki çizginin kesiştiği noktaya başlangıç noktası (orijin)denir .
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Orijin
81
Kartezyen Koordinat Sistemi
x- ekseninde,
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Positif yönNegatif yön
82
Kartezyen Koordinat Sistemi
y- ekseninde.
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Posi
tifyö
nN
egat
if yö
n
83
(– 2, 4)
(– 1, – 2)
(4, 3)
Kartezyen Koordinat Sistemi
Düzlemdeki bir nokta bu koordinat sisteminde sıralı bir sayı çifti (x, y)ile tek bir şekilde temsil edilebilir.
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
(3,–1)
84
Kartezyen Koordinat Sistemi
Eksenler, aşağıda gösterildiği gibi düzlemi dört çeyrek bölgeye böler. .
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Çeyrek I(+, +)
Çeyrek II(–, +)
Çeyrek V(+, –)
Çeyrek III(–, –)
85
Mesafe Formülü
Düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafe onların koordinatları cinsinden ifade edilebilir.
.
Mesafe Formülü Düzlemde P1(x1, y1) ve P2(x2, y2) gibi iki nokta
arasındaki mesafe d aşağıdaki gibi verilir.
2 22 1 2 1d x x y y 2 22 1 2 1d x x y y
86
Örnekler
(–4, 3) ve (2, 6) noktaları arasındaki mesafeyi bulunuz.çözüm P1(–4, 3) ve P2(2, 6) düzlemdeki noktalar olsun. Şuna sahibiz.
x1 = –4 y1 = 3 x2 = 2 y2 = 6
mesafe formülü kullanılarak,
2 22 1 2 1
22
2 2
2 ( 4) 6 3
6 3 45 3 5
d x x y y
2 22 1 2 1
22
2 2
2 ( 4) 6 3
6 3 45 3 5
d x x y y
87
Örnekler
P(x, y) yarıçapı r ve merkezi C(h, k) olan çember üzerindeki bir noktayı göstersin. x ve y arasındaki ilişkiyi bulunuz.
çözüm Çemberin tanımından, P(x, y) ve C(h, k) arasındaki mesafe
r dir. Mesafe formülünden,
Her iki yanın karesi alınırsa,
2 2x h y k r
2 2 2x h y k r
C(h, k)
h
kr
P(x, y)
y
x
88
Bir Çemberin Denklemi
merkezi C(h, k) ve yarıçapı r olan bir çemberin denklemi aşağıdaki gibi verilir.
2 2 2x h y k r 2 2 2x h y k r
89
örnekler
yarıçapı 2 ve merkezi (–1, 3) olan çemberin denklemini bulunuz.
çöözüm Çember formülünden, r = 2, h = –1, ve k = 3:
2 2 2
22 2
2 2
( 1) 3 2
1 3 4
x h y k r
x y
x y
(–1, 3)
–1
3
2
y
x
90
Örnekler
yarıçapı 3 ve merkezi orijinde olan çemberin denklemini bulunuz.
çözüm Çember formülünden, r = 3, h = 0, ve k = 0:
2 2 2
2 2 2
2 2
0 0 3
9
x h y k r
x y
x y
3
y
x
91
1.4Doğrular
11 22 33 44 55 66
(2, 5)(2, 5)
yy
xxLL
y y = = ––44
x x = 3= 366
55
44
33
22
11 (5, 1)(5, 1)
92
Düşey bir doğrunun eğimi
L , (x1, y1) ve (x2, y2) noktalarından geçen bir doğruyu göstersin
Eğer x1 = x2, ise o zaman L bir düşey doğrudur ve bu doğrunun eğimi tanımsız dır.
(x1, y1)
(x2, y2)
y
x
L
93
Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi
Eğer (x1, y1) ve (x2, y2) düşey olmayan bir L, doğrusu üzerindeki iki farklı nokta ise o zaman, L doğrusunun eğimi m aşağıdaki gibi verilir.
(x1, y1)
(x2, y2)
y
x
2 1
2 1
y y ymx x x
L
y2 – y1 = y
x2 – x1 = x
94
Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi
Eğer m > 0, ise doğru soldan sağa doğru eğimlidir .
y
x
L
y = 2
x = 1
m = 2
95
m = –1
Düşey Olmayan bir Doğrunun Eğimi
Eğer m < 0, ise dogru soldan sağa doğru eğimlidir .
y
xL
y = –1
x = 1
96
Örnekler
Eğimi – 4/3 olan ve (2, 5) noktasından geçen doğrunun grafiğini çiziniz.
1 2 3 4 5 6
(2, 5)
y
xL
y = –4
x = 3654321 (5, 1)
97
Örnekler
(–1, 1) ve (5, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz
çözüm (x1, y1) yi (–1, 1) olarak ve (x2, y2) yide (5, 3) olarak
seçelim. Buradan, x1 = –1, y1 = 1, x2 = 5, y2 = 3, eğim,
2 1
2 1
3 1 2 15 ( 1) 6 3
y ymx x
2 1
2 1
3 1 2 15 ( 1) 6 3
y ymx x
98
Doğru Denklemleri
(a, )
y
x
L
(a, 0)
y
99
Doğru Denklemleri
1
1
y ymx x
1 1( )y y m x x
100
Nokta-Eğim Formu
101
Örnekler
Eğimi 2 olan ve (1,3) noktasından geçen doğru denklemini bulunuz..
çözüm nokta eğim formu kullanırsa,
1 1( )y y m x x
3 2( 1)y x
2 1 0x y
102
Örnekler (–3, 2) ve (4, –1) ve noktalarından geçen doğru denklemini
bulunuz.çözüm Doğrunun eğimi;
(4, –1) noktası ve eğime m = – 3/7, nokta-eğim formunda yerine konursa,
31 ( 4)7
y x
3 7 5 0x y
1
1
1 2 34 ( 3) 7
y ymx x
7 7 3 12y x
103
Dik Doğrular
104
Örnekler
11 ( 3)2
2 2 32 5 0
y x
y xx y
105
(a, 0)
(0, b)
Eksenlerin Kesilmesi
Ne yatay nede düşey olan bir L doğrusu, x-ekseni ve y-eksenini sırasıyle (a, 0) ve (0, b), noktalarında keser.
The numbers a ve b sırasıyle x-ekseni ve y-ekseninin kesenleri olarak adlandırılır.
y
xL
y-intercept
x-intercept
106
Eğim Kesen Formu
107
Örnekler
Eğimi 3 ve y-eksenini -4 noktasında kesen doğrunun denklemini bulunuz.
çözüm m = 3 ve b = –4 değerleri y = mx + b, denkleminde yerine
yazılırsa, y = 3x – 4 Doğru denklemi elde edilir.
108
Örnekler
3x – 4y = 8 denklemi ile belirlenen doğrunun eğimi ve y-eksenini kestiği noktayı bulunuz.
çözüm Denklemi eğim-kesen formunda yeniden yazalım. böylece,
Comparing to y = mx + b denklemi ile karşılaştırılırsa, şu bulunur. m = ¾ , ve b = – 2.
3 4 84 8 3
3 24
x yy x
y x
109
Uygulamalı Örnek
50.000 $ 'a satın alınan bir sanat eserinin önümüzdeki 5 yıl boyunca yıllık 5000 $' lık sabit bir oranda değer kazanması bekleniyor.
Herhangi bir yıl için sanat nesnesinin değerini tahmin eden bir denklem yazın
Satın aldıktan 3 yıl sonra değeri ne olacak?çözüm x = nesnenin satın alınmasından itibaren geçen süre (yıl olarak)
y = nesnenin değeri (dolar cinsinden) x = 0, zamanında y = 50,000 böylece y-keseni b = 50,000. Her yıl değeri 5000,arttığından eğim= m = 5000. Denklem y = 5000x + 50,000 olmalıdır 3 yıl sonra nesnenin değeri 65.000 $ olacak
y = 5000(3) + 50,000 = 65,000 110
Bir Lineer Denklemin Genel Formu
A, B ve C sabitler ve A ve B sıfır dan faklı olamak üzere,
Ax + By + C = 0
denklemine, x ve y değişkenlerine göre bir liner denklemin genel formu denir
111
Teorem 1
Düz bir çizginin denklemi, doğrusal bir denklemdir; tersine, her doğrusal denklem düz bir çizgiyi temsil eder.
112
Örnek
3x – 4y – 12 = 0 denklemi ile gösterilen doğrunun grafiğini çiziniz.
çözüm Her düz çizgi tekbir şekilde iki farklı nokta tarafından
belirlendiğinden, onu çizmek için çizginin içinden geçtiği yalnızca iki nokta bulmamız gerekir.
Kolaylık sağlamak için x ve y kesişimlerini hesaplayalım✦ Setting y = 0,için x = 4;bulunur.✦ Setting x = 0, için y = –3; bulunur.
Böylece , (4, 0) ve (0, –3) noktalarından geçen doğru dur.
113
Örnek
3x – 4y – 12 = 0 ,denklemi ile belirlenen doğrunun grafiğini çiziniz.
çözüm (4, 0) ve (0, –3) noktalarından geçen doğrunun grafiği
1 2 3 4 5 6
(0, –3)
y
x
L1
–1–2–3–4
(4, 0)
114
KAYNAK: Tan, S. T. (2015). Applied mathematics for the managerial, life, and social sciences 8th ed.. Cengage Learning
115