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Université Laval Département de génie électrique Professeur: Leslie A. Rusch et de génie informatique
GEL4200: Communications numériques
2016 Examen final
Wednesday 22 April 2016; Time: 11h30 to 13h20 Documentation provided; calculator permitted
Problem 1 (10 points over 100)
The following are bit error rate curves (BER) vs. the ratio Eb/N0 for BPSK transmission. The figure to the left presents a curve for BPSK without a correcting code, and a curve when using convolutional code A. The figure to the right presents a curve for BPSK without a correcting code, and a curve when using ANOTHER convolutional code B.
A. (5 points) The two convolutional codes illustrated have constraint lengths K=4 and K=7. Which code corresponds to which value of K? Justify your response.
B. (5 points) What is the definition of FEC threshold? What is the FEC threshold for each code?
.
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
Problem 2 (20 points over 100) The following are equations for the parity bits in a block code.
1 1 2 4
2 1 3 4
3 1 2 3
4 2 3 4
p m m mp m m mp m m mp m m m
= + += + +
= + +
= + +
A. (3 points) Find n, the code word length, k, the data message length, et r, the code rate.
B. (8 points) Give the generator matrix for a systematic code. C. (9 points) Find the minimal distance for the code.
Problem 3 (25 points over 100) A. (10 points) Why is knowledge of the channel required for the maximum
likelihood sequence estimator? How is the channel information exploited?
B. (15 points) Contrast the zero forcing equalizer and the minimum mean square error equalizer. How are they similar? How are they different? When are they equivalent? Which is more effective?
Page 2
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
Problem 4 (25 points over 100)
A. (10 points) Assuming that we start at state a, find the encoder output when the input is 00 11 01 10 00
B. (5 points) Choose the best mapping between code words and 8PSK symbols. Justify your response.
Option 1 Option 2
C. (10 points) Using the option chosen in part 4B, find the symbol sequence (A, B etc.) transmitted when the input is 00 11 01 10 00.
Consider this TCM encoder.
Page 3
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
Problème 5 (20 points sur 100) Consider the following encoder trellis for a convolutional code.
00
10
01
11
000
001
Find the free distance df of the convolutional code assuming hard decisions. How many paths are there at the minimal distance?
Please use the following sheet of decoder trellises in finding the free distance. Place these sheets in your blue exam book.
Page 4
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
00
10
01
11
00
10
01
11
00
10
01
11
Page 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510
-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100 QPSK coherent
Eb/N0
prob
abili
té d
'err
eur
Plan de l’efficacité spectrale (Bandwidth Efficiency Plane)
0 5 10 15 20 25.001
.01
.1
1
10
points indique Pe =10 -5
PSK, M=8 PSK, M=32 QAM, M=4
QAM, M=16 QAM, M=64
FSK, M=4
FSK, M=16
FSK, M=1024
FSK, M=4096Limite de Shannon
10
1
.1
.01
.001
0BE N
()
RW
bs
Hz
BPSK
(en dB)
(en dB)
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
1
Récepteur d’échantillonnage
décision( )z T γ<>
t=Tfiltreh(t) ( )z t ( )z T
Σ
( )n t
( )is t( )r t m̂
MAP: i qui maximise p(z|si) p(si) i qui minimise ( )2
0 lni iN P− −r s s
( ) probabilité a priori de symbole i iP =s s ML: i qui maximise p(z|si) i qui minimise 2
i−r s
Raised cosine ( ) ( ) ( )2 2 2
sin cos1 4
s s
s s
t T r t Tv t
t T r t Tπ π
π=
−
Énergie moyenne
[ ]
2
1
1
1
1 énergie du signal
M
moy iiM
i
EM
iM
=
=
=
=
∑
∑
s
Énergie par bit v. énergie par symbole 2logb sE M E=
QAM 2log Mη = † Conversion de l’espace I/Q vers espace du signal
cas rectangulaire (carrée) M=L2
( ) n2
20
2mi
63log12 o1 g1
l1
be
LdEMP QM NM L
= − − =
−
Borne d’union
minmin
00
2 22
be
EDK KP Q Q dM M NN
≈ =
K est le nombre des paires des signaux séparés par la distance minimale Dmin
Distance minimale dans l’espace du signal
min min i ki kD
≠= −s s et min
min 2 b
DdE
=
( )0
2 be
EP BPSK QN
=
( )0
be
EP OOK QN
=
( )0
22 be
EP QPSK QN
≈
Perte par rapport à QPSK
min 102 perte 10logd x x= = −
Pour une modulation orthogonale
( ) ( ) 21e b e
MP bit P P symbolM
= =−
Pour une modulation non-orthogonale avec codage de gray
( ) ( )2log
ee b
P symbolP bit P
M= =
Efficacité spectrale 1 1 bits/s/Hzb
b
RW T W
η = =
( )( ) ( )
( )2 2
1
, ,I Q I Qsn n n nM
I Qn n
i
M Ea a a aa a
=
⋅=
+ ∑
coordonnées, espace du signal
coordonnées, espace I/Q
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
2
MPSK cohérent 2log Mη = †
( )0
2
0
22 sin
2 log2 sin
se
b
EP M QN M
E MQN M
π
π
≈
=
MFSK cohérent 22 log1M
Mη =
+†
( ) ( ) 2
0 0
log1 1s be
E E MP M Q M QN N
= − = −
Séparation minimale 1/2Ts
DPSK incohérent 012
bE NeP e−=
~1 dB de perte entre DPSK et BPSK
MFSK incohérent 2log MM
η = †
021( )2
bE NeP BFSK e−=
~1 dB de perte BFSK cohérente vs. incohérente
Séparation minimale 1/Ts
Loi de Shannon
( )2log 1C W SNR= + 0
bESNRN
η=
( )0
2 1C WbE WN C
= − 0
0 1.6bEC dBW N
→ ⇒ →−
Relations trigonométriques Processus Gram Schmidt
( ) ( )1 11
1t s tE
ψ = où ( )21 10
TE s t dt= ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1,t s t s t t tθ ψ ψ= −
( ) ( ) ( )22
2 20 22
T tE t dt t
Eθ
θ ψ= =∫
i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1,
i
i i i k kk
t s t s t t tθ ψ ψ−
=
= −∑
( ) ( ) ( )2
0
T ii ii
i
tE t dt t
Eθ
θ ψ= =∫
cos sin tan0 1 0 0
8 .85 .38 .41
4 1 2 1 2 1
3 1 2 3 2 32 0 1
θ θ θ θ
π
π
ππ ∞
( )tanarctan
y xy x kπ
=
⇔ = +
( )2 1cos 1 cos 22
θ θ= +
( )sin sin sincos cos
α β α βα β
+ =
+( )cos cos cos
sin sinα β α β
α β+ =
−
† en supposant une impulsion Nyquist idéale
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
3
Corrélation croisée
( ) ( )0
T
ij j iz s t s t dt∫
Matrices de Hadamard
1n n
nn n
H HH
H H+
=
Le canal binaire symétrique (BSC)
0 0
1 1
p
1-p
1-p
p
0 0
1 1
p
1-p
1-p
p
BPSK avec AWGN: ( )02 bp Q E N=
Codes en bloc m = message à encoder, u = mot de code généré
[ ]T T
=
= =
k
n-k
G P I U = mG
H I P S rH
t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés
min 12
dt − =
Code Hamming (n,k)=(2m-1,2m-1-m) Distance de Hamming
d(u,v) = # de positions de bits avec des valeurs différents dans les deux vecteurs u et v
Distance minimale ( ) ( )
, 2min , min wj j ji j j
d>
=u v u
Probabilité d’erreur de bit p Probabilité d’avoir plus que t erreurs de bits parmi un block de N bits
( ) ( ) 11
11 1
1
NN k N tk t
k t
N Np p p p
k t− − −+
= +
− ≈ − +
∑
( )!
! !N Nk k N k
≡ −
Tableau Standard • Première rangé – mots de codes valides • Première colonne – erreurs corrigibles • Tous les 2n mots de codes possibles sont inclus dans la table • Il n’y a pas de répétition des mots de code
Corriger une erreur 1. Détecter l’erreur 0 erreur≠ ⇒TS = rH v
2. Identifier la rangé avec T Tje H = rH
i.e. le syndrome identifie le coset 3. Corriger l’erreur en calculant jU = r + e
(le mot de code dans la colonne de tableau standard où on trouve )
Codes convolutifs
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
4
Algorithme de Viterbi
Algorithme de Viterbi
Algorithme de Viterbi
Chapitre 7 GEL10280/64486 60
43
Focus: le point de terminaison –le chemin vient d’ou?
Gain de codage: 2 2
10 min,sans codage10 log fd d
Borne supérieur de gain de codage (en dB) 1010 log frd r = taux de codage = k/n
Distance libre = distance minimale =df
t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés
12
fdt
− =
GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
5
TCM Taux de codage = 1/n
pour le TCM et les décisions souples Chapitre 9 GEL10280/64486 7
Exemple
[ ][ ]
1
2
1 1 1
1 0 1
g
g
=
=
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 1
3 2 2
codage convolutif
u X m X g X
u m X g X
=
=
1 1
(pas codé)u m=
Chapitre 9 GEL10280/64486 10
Correspondence de Gray
Correspondence pour TCM
Chapitre 9 GEL10280/64486 13
Coordonnées dans l’espace du signal
( ) ( ) ( )2 2 22 7 3 7 5 7 3 36fd = − + − + − =
Chapitre 9 GEL10280/64486 22
Calculer les distances locales
a=00
b=10
c=01
d=11
(14,6)
(10,2
)
(14,6)
(12,4)(8,0)
(8,0)
(12,4)
(4,4)
(0,8)
(4,4)(2,6)(2,10)
(2,10)
(2,6)
(12, 4)( 8, 0)
(4,4)(0,8)
(6,2)(2,6)
Z = -5 1 -7 3
(10,2)(0,8)
Chapitre 9 GEL10280/64486 25
Calculer les distances globalest=3
a=00
b=10
c=01
d=11
(---, 6)(---, 2)
(---,
2)
(---, 6)
(---, 4)
(---, 0)
(---, 0)
(---, 4)
distancechemin chemin cheminen haut en bas gagnant
4
0
0
4
BAS
HAUT
BAS
BAS
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GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016
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