- GDR turbu, ENS-Lyongdr-turbulence.ec-lyon.fr/oldsite/Mars2008/Cambon.pdf · 2013. 5. 30. · GDR turbu, ENS-Lyon lundi 31 mars, 2008 Claude Cambon. 13 10−1 100 101 102 10−1

Ondes, turbulence, turbulence d’ onde

une introduction ...

GDR turbu, ENS-Lyon

Claude Cambon

Laboratoire de M écanique des Fluides et d’AcoustiqueCNRS – ECL – UCB Lyon I – INSA

CTRL-L switch

1

2

Collaboration et documents

• Equipe ondes et turbulence : Fabien S. Godeferd, Julian F. Scott, LukasLiechtenstein, Alex Delache, Benjamin Favier

• Documents (hors articles)-) http://www.lmfa.ec-lyon.fr/Fabien.Godeferd/perso/ (Summer School in Barcelone)

-) http://gdr-turbulence.pmmh.espci.fr/Cargese/cargese-turbulence.html

-) Livre Homogeneous Turbulence Dynamics, Sagaut & Cambon, CUP, 2008

• Zakharov et al. 1991, articles Newell et al., Waleffe (1992,1993), + récents Galtier etal.

GDR turbu, ENS-Lyon lundi 31 mars, 2008Claude Cambon

3

Résum é

• Rappels de turbulence, cascade, description spectrale

• Ondes, relation de dispersion, interactions faibles

• Dynamique linéaire: mélange de phase (rotation rapide)

• Modèle non-linéaire, triades, triades résonantes, EDQNM et turbulence d’ ondes d’inertie

• Coexistence de turbulence “faible” et “forte”, stratification stable, MHD


4

Quantifier la cascade (THI)

• Espace physique

Equation de Karman-Howarth (1938) → 〈(δuL)3〉 = −

4

5εr

︸︷︷︸(4/5) Kolmo 41

• Espace de FourierEquation de Lin (1949)

(∂

∂t+ 2νk2

)E(k, t) = T (k, t) →

∫ ∞

k

T (p)dp = ε

Utile en turbulence forte et en turbulence d’ onde (équations cinétiques)


5

Antonia (Cargèse 2007)


6

Kaneda (Cargèse)


7

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

10-2 10-1 100 101 102

E(K

)

K

10-1410-1210-1010-810-610-410-2100102104

10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 107E

(K)

K

-0.5

0

0.5

1

1.5

10-2 10-1 100 101 102

K

K TNL(K)

2νK3E(K)

-0.5

0

0.5

1

1.5

10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 107

K

K TNL(K)

2νK3E(K)

d’ après Wouter Bos,

Rλ = 30, 105, EDQNM (THI)


8

Temps caractéristique

dans les fermetures spectrales DIA, EDQNM

η = νk2, ku′, ε1/3k2/3, Cte


9

Ondes, turbulence d’ onde(s)

• Modes de Fourier spatio-temporels u(x, t) =∑

Aeı(k·x−σt)

• Loi de dispersion σ = σ(k) (renormalisation nonlinéaire ?) A = a±1(k, εt) ?

• Ondes non dispersives σ = ±k·Cg (cf. convection par une vitesse constante,mais signe PLUS et MOINS)

• Exemples, σ = ±kc0 (acoust.), σ = ±k·B0√

σµ = ±k‖B0√σµ (Alfvèn, MHD)

σ = fk‖k (inertie, rotation), σ = ±N

k⊥k (gravité, stratification stable), σ = β

kxk2

(Rossby) ...

• Propriétés: ANISOTROPIE (sauf acoustique, ondes de surface, ...), champs coupléscin-pot (sauf rotation), faible intermittence ? vaste domaine (gas de phonons ...)


10

Interactions faibles ? sans fermeture, triades

Ondes créées par mécanisme extérieur (gradient, forces massiques, champ couplés),

non-linéarité quadratique, base des modes propres ȧs + ısσkas ∝ ûuȧs(k, t) =∑

s′,s′′=0,±1∫

k+p+q=0eı(sσk+s

′σp+s′′σq)t

︸︷︷︸effet de phases “rapide”

Mss′s′′as(p, t)as(q, t)︸︷︷︸non-linéarité

d3p

s = 0,±1, triade k + p + q = 0, non-linéarité réduite si sσk + s′σp + s′′σq grand ?

Ondes ou pas ondes ? ondes NON dispersives ? pseudo-ondes (vitesse convectante) ?

annulation possible de la phase (reson.) ou non

Dynamique statistique, < aa >, < aaa >, pourquoi ?


11

Turbulence faible (avec) et forte (sans) rotation

• cas 3D sans frontières, la résonance triple existe (pas vrai en eaux peu profondes...): non-linéarité ∼ o(Ro), Ωt ∼ Ro−2

• possibilité de justifier une hypothèse QN de cumulants (4) nuls (Benney & Newell,1969, “Random Phase Approx”)

• On passe de l’ EDQNM(3) à la théorie de turbulence d’ onde par la limite de EDtendant vers 0 (Bellet et al. 2006)...

1µ−ıX → 2πδ(X) + ıP

(1X

)...

• ... en utilisant les modes propres des ondes d’ inertie, qui sont aussi les modespropres du rotationnel AVEC et SANS rotation (helical modes, ondes d’ hélicité).

• Mais il n’ y a pas que la limite asymptotique de turbulence d’ onde avec non-linéaritérestreinte aux triades résonantes ! Presque tous les transitoires dûs au mélange dephase sont intéressants (cf polémique avec Peter Davidson).


12

Rotation, m élange de phase: lin éaire et/ou non-lin éaire

• Relevance of linear solution depends on the order and type of statistical correlations-) doubles: 2 point 1 time: eıσkt, e−ıσkt

-) doubles: 2 point 2 time: eıσk(t±t′)

-) triples: 3 point 1 time: eı(±σk±σp±σq)t → nonlinear · · · ·

〈ω33〉 =∑ ∫

exp[ıft(cos θk + s′ cos θp + s

′′ cos θq]S(k,p, ǫt)d3pd3k

(cos θk = k3/k) Need for initial triple correlations at THREE point. Many othercorrelations.


13

10−1

100

101

102

10−1

100

Ω t / 2 π

S ω

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Ω(t-tini)

Sω

3

∝ (Ωt)0.75

DNS C1: f=0.5π LE: f=1.88, M=32LE: f=1.88, M=50LE: f=3.88, M=32LE: f=3.88, M=50

Cyclonic / anticyclonic asymmetry: (643 LES ?) Bartello et al. (1994), Morize et al.(2005), Gence & Frick (2001), Staplehurst et al. (2008), van Bokhoven et al. (2008). No

need for centrifugal inst.

d

dt〈ω33〉 = 6Ω〈

∂u3∂x3

ω23〉 + 4th-order, viscous


14

Equations exactes pour la th éorie non-lin éaire

(∂

∂t+ 2νk2

)e(k, cos θ, t) = T (e)(k, cos θ, t)

Poincaré transformation ûi(k, t) =∑

s=±1 Ni(sk)eısft cos θas(k, ǫt),

T (e) =

∫ t

t0

∑

s,s′,s′′=±1

∫

p+q=k

eıf(t−t′)(s cos θk+s

′ cos θp+s′′ cos θq)

Sss′s′′(k,p, t, ǫt′)d3pdt′


15

Syst ème dynamique de triade isol ée

Fiortjoft, Kraichnan (2D), Waleffe (3D) : pas de rotation

ȧs(k) = (s′p − s′′q)Gkpqa

∗s′(p)a

∗s′′(q),

ȧ′s(p) = (s′′q − sk)Gkpqa

∗s′′(q)a

∗s(k)

ȧ′′s (q) = (sk − s′p)Gkpqa

∗s(k)a

∗s′(p)

Avec rotation, Gkpq → GkpqeıX , triades résonantes,

X = f(s cos θk + s′ cos θp + s′′ cos θq) = 0, avec

k cos θk + p cos θp + q cos θq = 0 :

cosθks′q − s′′p

=cosθp

s′′k − sq=

cosθqsp − s′k


16

Analogie avec le “solide d’ Euler”

• Moment angulaire dans les axes principaux d’ inertie

I1Ω̇1 = (I2 − I3)Ω2Ω3, (1)

I2Ω̇2 = (I3 − I1)Ω3Ω1 (2)

I3Ω̇3 = (I1 − I2)Ω1Ω2, (3)

• Lois de conservation: énergie rot. (I1Ω21 + ...) → énergie cin. (triade),

norme du moment angulaire (I1Ω1)2 + ... → helicité (triade)

• Signes (s, s′, s′′), I1 → sk, instabilité par rapport au moment intermédiaire


17


18

Results. NONLINEAR statistical theory

• From classical EDQNM (isotropic, no rotation, Orszag 1970, Bos & Bertoglio, 2006)...

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 101 102 103 104

E(K

)

K

K4 K-5/3

K2

t=2.6t=2.8t=3.2t=4.0

• ... to EDQNM3 → (A) QNM energy equation (Bellet et al., JFM, 2006)


19

Angle-dependent spectrum

• Isotropy breaking by spectral transfer T (e)(k): directional anisotropy:

4πk2e(k, tf ) = 4πk2e(k, cos θ︸︷︷︸

k‖/k

, tf ) 1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

0.1 1 10 100

• Spherical averaging → E(k, tf ), prefactor E ∼Ωt k

−3, not 2D !


20

AQNM and DNS

1e−10

1e−09

1e−08

1e−07

1e−06

1e−05

0.0001

0.001

0.01

1 10 100k

E(k

n,θ

m)

cos θ ≈ 1

cos θ ≈ 0

k−2

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

0.1 1 10 100

5123 DNS by Liechtenstein et al., JOT, 2005


21

Inertial wave-turbulence, resonant interactions, 2D or no t 2D

• Low dimension of active manifolds : overestimated in forced ? DNS/LES ?‘TRUE’ 2D embedded in 3D : a DIRAC singularity

E(k) ∼ f2k−3, e(k⊥, k‖) =E(k⊥)

2πk⊥︸︷︷︸∼f2k−4⊥

δ(k‖)

• integral singularity from theoretical wave-turbulence

e(k⊥k‖) ∼ k−1/2‖ k

−7/2⊥ (k‖ ≪ k⊥) = k

−4x−1/2 Galtier 2003

E(k) ∼f

tk−3, e(k, x ∼ 0) ∼ k−4 Bellet et al. 2006


22

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5F1 = F2 = 30 Hz

q Catherine Simand, voisinage d’ un

vortex intense, (Baroud et al., Mueller & Thiele, Morize et al. ??)


23

Wave aspects

gC

Forcingzone

k

n

Mc Ewan (1967), Mowbray &

Rarity (1967), Godeferd & Lollini, JFM (1999)


24

Stratification stable : ANTI 2D et cascade toroidale


25

Mode non-propagatif: toroidal et QG

POLO

TORO

WAVE

TOTAL

VORTEX

Toroidal/poloidal

(Craya-Herring, standard) and “Vortex/wave” (f/N− depending)


26

g Ω

(a)

(b)

(c)

(d)

Conical regionin which energyconcentrates


27

1e−10

1e−09

1e−08

1e−07

1e−06

1e−05

1e−04

0.001

0.01

1 10 100k

E(k

n,θ

m)

cos θ ≈ 1

cos θ ≈ 0

(a) 1e−10

1e−09

1e−08

1e−07

1e−06

1e−05

1e−04

0.001

0.01

1 10 100k

E(k

n,θ

m)

cos θ ≈ 1

cos θ ≈ 0

(b)

Angle-dependent toroidal and poloidal modes (Liechtenstein, 2006)


28

(a) (b)


29

Pure stratification: Generalized Lin equations

(∂

∂t+ 2νk2

)e(tor) = T (tor) (4)

(∂

∂t+ 2νk2

)e(w) = T (w) (5)

(∂

∂t+ 2νk2 + 2ıN

k⊥k

)Z ′ = T (z

′) (6)

Energy spectra e(tor),(pol),(pot)(k⊥, k‖), imbalance deviator Z′,

ℜZ ′ = e(pol) − e(pot), e(w) = e(pol) + e(pot).A lot of information can be generated, vs. second and third-order structure functions.


30

The toroidal cascade. Why not 2D ?

• Why the toroidal component only ? e(1)·...∂u∂t + ω × u + ∇(p + u

2

2

)− bn,

u̇(1) + e(1)·∑

p+q=k(ω̂(p) × û(q)) = 0,

û = u(1)e(1) + u(2)e(2), ω̂ = ık(u(1)e(2) − u(2)e(1)

)

• Following Kraichnan and Waleffe (1992, 1993): stability of a single triad

u̇(1)k = (p

2⊥ − q

2⊥)Gu

(1)∗p u

(1)∗q , (7)

u̇(1)p = (q2⊥ − k

2⊥)Gu

(1)∗q u

(1)∗k , (8)

u̇(1)q = (k2⊥ − p

2⊥)Gu

(1)∗k u

(1)∗p , (9)

• quasi 2D or not, reverse or direct cascade ? cylinder to cylinder, shell to shell, angleto angle : very rich and various morphology ...


31

Coexistence of weak and strong turbulence: MHD

θ

Β

k

Alfven-wave turbulence competing with

strong turbulence with additional Joule dissipation effect (Moffat 1967, T. Alboussière,

etc)


32

Remarques finales. Probl èmes ouverts

1. Intérêt de l’ espace de Fourier 3D, k·û = 0, modes (propres) solénoidaux

2. Cascade mieux décrite (et comprise ?) 〈(δu‖)3〉 contre T i(k‖, k⊥) ?

-) Equation(s) de Lin exactes pour les modes d’ énergie pertinents et les termes de

déséquilibre

-) Une façon systématique de construire les corrélations triples en accord avec la

conservation détaillée (triade)

-) MAIS problème de renormalisation non-linéaire (ED) en turbulence “forte” ?

Renormaliser la fréquence σ ?

3. Turbulence forte et faible face à face ? D’ abord comprendre la cascade induite par le

mode non-propagatif. Cas MHD ? (pas une simple fréquence de coupure visqueuse)


33

• Introduire un term kV0 dans une version isotropisée pour tenir compte d’ ondes(non-dispersives) ?? MHD, ANISOTROPIE, PLUS et MOINS ...

• Intérêt de modèles purement linéaires de mélange de phase: effets (croissance!)transitoires, corrélations en DEUX temps et statistique lagrangienne (compétition

ondes-tourbillons, stratifié-tournant, plasmas)

• Formalisme hamiltonien, en linéaire (H = k·U + σ(k)) et non-linéaire ?(IMPASSE !)

• Pas d’ interactions résonantes pour les triades ? (ex. σ = N, f/N = 1) →quartets (IMPASSE !)


34

Towards a theory of axisymmetric weak+strong HAT turbulenc e

• Work remain to be done for toroidal, QG, + main waves interactions (catalytic ?)

• Toro-polo with Elsasser variables, MHD, plasmas, dumbell ? ALFIN. Weaklycompressible turbulence.

• Not to forget DNS/LES with dedicated post-processing (Marenostrum project, etc) eteffets de frontières. Eviter la schizophénie ! ANISO


35

Strong anisotropy


36

Anisotropic description

• ANISOTROPY/ inhomogeneity/ Intermitency

• structure functions or correlations, two-point : Rij(r) = 〈ui(x)uj(x + r)〉

r

u(x)

u(x + r)

-) Single-point: componentality only

-) Two-point: directional anisotropy

• Low dimension parameterization, SO(3) symmetry group (Arad et al.,PRE,1999)


37

Anisotropic description. 3D Fourier space

• Anisotropic scalar (e. g. spherical harmonics) for both ‘physical’ and ‘spectral’

1

2Rii(r) →

1

2R̂ii(k) = e(k)

∑rmn (r)Y

mn (θr, φr) →

∑ϕmn (k)Y

mn (θk, φk)

Avoiding a ‘schizophrenic’ viewpoint ! (Cambon & Teissèdre 1985, CRAS Paris)

• A trace-deviator decomposition restricted to solenoidal space

R̂ij = U(k)Pij︸︷︷︸isotropic

+ E(k)Pij︸︷︷︸directional︸︷︷︸

eP

+ℜ (Z(k)NiNj)︸︷︷︸polarization

.

(Cambon & Jacquin, JFM, 1989), Pij = δij −kikik2 , N ‘helical mode’. Helicity ?


38

Rotating turbulence, MHD simplified case, k ⊥ ûΒ Ω


Collaboration et documentsRésuméQuantifier la cascade (THI)Ondes, turbulence d' onde(s)Interactions faibles ? sans fermeture, triadesTurbulence faible (avec) et forte (sans) rotationRotation, mélange de phase: linéaire et/ou non-linéaireEquations exactes pour la théorie non-linéaireSystème dynamique de triade isoléeAnalogie avec le ``solide d' Euler''Results. NONLINEAR statistical theoryAngle-dependent spectrumAQNM and DNSInertial wave-turbulence, resonant interactions, 2D or not 2DWave aspectsStratification stable : ANTI 2D et cascade toroidaleMode non-propagatif: toroidal et QGPure stratification: Generalized Lin equationsThe toroidal cascade. Why not 2D ?Coexistence of weak and strong turbulence: MHDRemarques finales. Problèmes ouvertsTowards a theory of axisymmetric weak+strong HAT turbulenceStrong anisotropyAnisotropic descriptionAnisotropic description. 3D Fourier space