Gazzola F., Grunau H.-C. - Critical dimensions and higher order Sobolev inequalities with remainder terms(8).ps

7/25/2019 Gazzola F., Grunau H.-C. - Critical dimensions and higher order Sobolev inequalities with remainder terms(8).ps

1/8

C r i t i c a l d i m e n s i o n s

a n d h i g h e r o r d e r S o b o l e v i n e q u a l i t i e s w i t h r e m a i n d e r t e r m s

F i l i p p o G a z z o l a

D i p a r t i m e n t o d i S c i e n z e T . A . - v i a C a v o u r 8 4 , 1 5 1 0 0 A l e s s a n d r i a , I t a l y

H a n s - C h r i s t o p h G r u n a u

F a c h g r u p p e M a t h e m a t i k , U n i v e r s i t a t , 9 5 4 4 0 B a y r e u t h , G e r m a n y

A b s t r a c t

P u c c i a n d S e r r i n 2 1 ] c o n j e c t u r e t h a t c e r t a i n s p a c e d i m e n s i o n s b e h a v e \ c r i t i c a l l y " i n a s e m i -

l i n e a r p o l y h a r m o n i c e i g e n v a l u e p r o b l e m . U p t o n o w o n l y a c o n s i d e r a b l y w e a k e n e d v e r s i o n o f t h i s

c o n j e c t u r e c o u l d b e s h o w n . W e p r o v e t h a t e x a c t l y i n t h e s e d i m e n s i o n s a n e m b e d d i n g i n e q u a l -

i t y f o r h i g h e r o r d e r S o b o l e v s p a c e s o n b o u n d e d d o m a i n s w i t h a n o p t i m a l e m b e d d i n g c o n s t a n t

m a y b e i m p r o v e d b y a d d i n g a \ l i n e a r " r e m a i n d e r t e r m , t h e r e b y g i v i n g f u r t h e r e v i d e n c e t o t h e

c o n j e c t u r e o f P u c c i a n d S e r r i n f r o m a f u n c t i o n a l a n a l y t i c p o i n t o f v i e w . T h a n k s t o B r e z i s - L i e b

5 ] t h i s r e s u l t i s a l r e a d y k n o w n f o r t h e s p a c e H

1

0

i n d i m e n s i o n n = 3 ; w e e x t e n d i t t o t h e s p a c e s

H

K

0

( K > 1 ) i n t h e \ p r e s u m a b l y " c r i t i c a l d i m e n s i o n s . C r u c i a l t o o l s a r e p o s i t i v i t y r e s u l t s a n d a

d e c o m p o s i t i o n m e t h o d w i t h r e s p e c t t o d u a l c o n e s .

1 S h a r p h i g h e r o r d e r S o b o l e v i n e q u a l i t i e s a n d c r i t i c a l d i m e n s i o n s

I n a c e l e b r a t e d p a p e r , P u c c i - S e r r i n 2 1 ] s t u d i e d t h e f o l l o w i n g c r i t i c a l g r o w t h p r o b l e m f o r p o l y h a r -

m o n i c o p e r a t o r s

8

>

:

( )

K

u = u + j u j

K

2

u i n

D

k

u = 0 o n @ k = 0 ; : : : ; K 1

( 1 )

w h e r e K 2 I N , I R

n

( n 2 K + 1 ) i s a n o p e n b o u n d e d d o m a i n w i t h s m o o t h b o u n d a r y a n d

K

=

2 n

n 2 K

i s t h e c r i t i c a l S o b o l e v e x p o n e n t ( t h e l a r g e s t q f o r w h i c h t h e e m b e d d i n g H

K

0

( ) L

q

( )

i s c o n t i n u o u s ) ; w i t h t h i s n o t a t i o n 1

= 2

=

2 n

n 2

. F u r t h e r , D

k

u d e n o t e s a n y d e r i v a t i v e o f u o f o r d e r

k . P u c c i - S e r r i n w e r e i n t e r e s t e d i n e x i s t e n c e o f n o n t r i v i a l r a d i a l s o l u t i o n s o f ( 1 ) w h e n = B

1

,

t h e u n i t b a l l i n I R

n

; t h e i r i n t e r e s t w a s m o t i v a t e d b y p r e v i o u s r e s u l t s f r o m t h e f a m o u s p a p e r b y

B r e z i s - N i r e n b e r g 6 ] w h o s t u d i e d t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b l e m i n t h e c a s e K = 1 a n d s h o w e d a

s t r i k i n g d i e r e n c e b e t w e e n t h e s p a c e d i m e n s i o n n = 3 a n d t h e h i g h e r d i m e n s i o n s n 4 . M o r e

p r e c i s e l y , i f

1

d e n o t e s t h e r s t e i g e n v a l u e o f i n B

1

, i t i s s h o w n i n 6 ] t h a t ( 1 ) a d m i t s a p o s i t i v e

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y t h e V i g o n i - p r o g r a m m e o f C R U I a n d D A A D

1


2/8

r a d i a l s o l u t i o n i f a n d o n l y i f 2 ( 0 ;

1

) w h e n n 4 , w h i l e i t a d m i t s a p o s i t i v e r a d i a l s o l u t i o n

i f a n d o n l y i f 2 (

1

= 4 ;

1

) w h e n n = 3 . T h u s , o n e i n t e r e s t i n g p r o b l e m c o n c e r n i n g ( 1 ) i s t o

d e t e r m i n e t h e c o n s t a n t

0 f o r w h i c h t h e r e l a t i o n >

i s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e

e x i s t e n c e o f a n o n t r i v i a l r a d i a l s o l u t i o n o f ( 1 ) i n B

1

. P u c c i - S e r r i n 2 1 ] c a l l c r i t i c a l d i m e n s i o n s t h e

s p a c e d i m e n s i o n s f o r w h i c h

> 0 a n d c o n j e c t u r e , f o r a g i v e n K 1 , t h a t t h e c r i t i c a l d i m e n s i o n s

a r e n = 2 K + 1 ; : : : ; 4 K 1 : b y t h e r e s u l t s i n 6 ] t h i s c o n j e c t u r e w a s a l r e a d y p r o v e d f o r K = 1 ,

n e x t i t h a s b e e n p r o v e d f o r K = 2 ; 3 ; 4 ( s e e 3 , 8 , 1 3 , 2 1 , 2 2 ] ) ; m o r e o v e r , i t i s k n o w n t h a t f o r a l l

K 1 t h e d i m e n s i o n s n 4 K a r e n o t c r i t i c a l , s e e 1 4 ] . S o m e t i m e l a t e r , G r u n a u 1 5 ] d e n e d

w e a k l y c r i t i c a l d i m e n s i o n s a s t h e s p a c e d i m e n s i o n s f o r w h i c h a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e

o f a p o s i t i v e r a d i a l s o l u t i o n o f ( 1 ) i n B

1

i s 2 (

;

1

) f o r s o m e

> 0 : h e s h o w e d t h a t w e a k l y

c r i t i c a l d i m e n s i o n s a r e p r e c i s e l y n = 2 K + 1 ; : : : ; 4 K 1 . S o , a t l e a s t a w e a k e n e d v e r s i o n o f t h e

P u c c i - S e r r i n c o n j e c t u r e c o u l d b e s h o w n , a f u l l p r o o f o f t h e i r o r i g i n a l c o n j e c t u r e w i l l b e c o n s i d e r a b l y

m o r e d i c u l t , i f p o s s i b l e a t a l l . I t r e m a i n s t o u n d e r s t a n d b e t t e r t h e r o l e o f t h e s e d i m e n s i o n s .

T h e s e m i l i n e a r e i g e n v a l u e p r o b l e m ( 1 ) a l s o h a s a n i n t r i n s i c i n t e r e s t i n m o r e g e n e r a l d o m a i n s . B y

m e a n s o f a g e n e r a l i z e d P o h o z a e v i d e n t i t y , P u c c i - S e r r i n 2 0 ] p r o v e d t h a t ( 1 ) o n l y a d m i t s t h e t r i v i a l

s o l u t i o n u 0 w h e n e v e r


3/8

a n d w e d e n o t e b y k k

K

t h e c o r r e s p o n d i n g n o r m . C o n s i d e r t h e b e s t c o n s t a n t o f t h e S o b o l e v

e m b e d d i n g i n e q u a l i t y , n a m e l y

S

n ; K

= i n f

f 2 H

K

0

n f 0 g

k f k

2

K

j f j

2

K

s e e e . g . 2 2 , 2 3 ] ; o f c o u r s e S d e p e n d s o n n a n d o n K : h o w e v e r , s i n c e n o c o n f u s i o n a r i s e s , w e w i l l

s i m p l y d e n o t e i t b y S . I t i s w e l l - k n o w n t h a t S i s o n l y a t t a i n e d w h e n i s ( a l m o s t ) t h e e n t i r e s p a c e

I R

n

.

W e h a v e t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f t h e B r e z i s - L i e b i n e q u a l i t y ( 2 ) t o t h e s p a c e s H

K

0

:

T h e o r e m 1 L e t I R

n

b e a b o u n d e d o p e n s e t a n d l e t K 1 ; t h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C = C ( ; K ) > 0 s u c h t h a t

k f k

2

K

S j f j

2

K

+ C j f j

2

n

n 2 K

; w

8 f 2 H

K

0

( ) : ( 3 )

T h i s i n e q u a l i t y i s c l o s e l y r e l a t e d t o c r i t i c a l d i m e n s i o n s b y m e a n s o f t h e f o l l o w i n g p r i n c i p l e : o n

b o u n d e d o p e n s e t s , t h e S o b o l e v i n e q u a l i t y f o r t h e e m b e d d i n g H

K

0

L

K

w i t h o p t i m a l c o n s t a n t S

m a y b e i m p r o v e d b y a d d i n g a n L

2

- n o r m i f a n d o n l y i f t h e s p a c e d i m e n s i o n i s w e a k l y c r i t i c a l . A s t h i s

t h e o r e m d o e s n o t r e q u i r e a n y p o s i t i v i t y a s s u m p t i o n o n f , w e t h i n k t h a t i t g i v e s f u r t h e r s u p p o r t t o

t h e c o n j e c t u r e o f P u c c i a n d S e r r i n , a c c o r d i n g t o w h i c h t h e d i m e n s i o n s n = 2 K + 1 ; : : : ; 4 K 1 a r e

c r i t i c a l f o r ( 1 ) n o t o n l y i n t h e w e a k s e n s e .

T h e p r o o f o f ( 3 ) f o r p o s i t i v e f u n c t i o n s f m a y b e o b t a i n e d b y a d j u s t i n g t h e p r o o f i n 5 ] , s e e S e c t i o n

2 ; t h e d i c u l t y a r i s e s w h e n w e w i s h t o p r o v e i t f o r a n y f ( p o s s i b l y c h a n g i n g s i g n ) b e c a u s e w e c a n

n o l o n g e r r e p l a c e f w i t h j f j . I n s t e a d , w e d e c o m p o s e f = f

1

+ f

2

w i t h r e s p e c t t o t h e c o n e o f

n o n n e g a t i v e f u n c t i o n s K a n d i t s d u a l c o n e K

0

H

K

0

, t h e c o n e o f w e a k s u b s o l u t i o n s o f t h e D i r i c h l e t

p r o b l e m f o r t h e p o l y h a r m o n i c o p e r a t o r ( )

K

: f

1

2 K , f

2

2 K

0

. I n t h o s e d o m a i n s w h e r e a

c o m p a r i s o n f o r p o l y h a r m o n i c D i r i c h l e t p r o b l e m s h o l d s ( e . g . i n b a l l s , w h i c h i s s u c i e n t h e r e ) , o n e

c a n e v e n c o n c l u d e t h a t f

2

h a s a s i g n : f

2

0 , s e e L e m m a 2 b e l o w . T h i s a l l o w s u s t o p r o v e ( 3 ) f o r

a l l f 2 H

K

0

( ) i n S e c t i o n 3 w h e r e w e a l s o g i v e f u r t h e r a p p l i c a t i o n s o f t h i s d e c o m p o s i t i o n m e t h o d ,

s e e R e m a r k 1 .

S i m i l a r p h e n o m e n a a p p e a r f o r t h e q u a s i l i n e a r d e g e n e r a t e e l l i p t i c e q u a t i o n

8

>

:

p

u = j u j

p 2

u + j u j

p

2

u i n

u = 0 o n @

( 4 )

w h e r e

p

u = d i v ( j r u j

p 2

r u ) , n > p > 1 a n d p

=

n p

n p

. W e r e f e r t o 1 ] f o r t h e v a r i a t i o n a l

c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e r s t g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e o f

p

a n d f o r t h e p r o o f t h a t i t i s s i m p l e a n d

i s o l a t e d . I n t h i s c a s e , i t i s k n o w n 1 1 ] t h a t ( 4 ) a d m i t s a p o s i t i v e s o l u t i o n f o r a l l 2 ( 0 ;

1

) w h e n e v e r

n p

2

a n d f o r a n y b o u n d e d s m o o t h d o m a i n : p o s i t i v e s o l u t i o n s o f ( 4 ) i n B

1

a r e n e c e s s a r i l y r a d i a l

i n v i e w o f 7 ] ; m o r e o v e r , e x t e n d i n g i n a n o b v i o u s w a y t h e d e n i t i o n o f P u c c i - S e r r i n , t h e c r i t i c a l

3


4/8

d i m e n s i o n s a r e k n o w n t o b e p < n < p

2

, s e e 9 ] . F o r f u r t h e r r e s u l t s w i t h m o r e g e n e r a l l o w e r o r d e r

t e r m s s e e a l s o 2 ] .

I n 1 0 ] i t i s p r o v e d t h a t f o r a n y b o u n d e d o p e n s e t I R

n

a n d f o r a l l q 2 1 ;

n ( p 1 )

n p

) t h e r e e x i s t s

a c o n s t a n t C

q

= C

q

( n ; q ; ) > 0 s u c h t h a t

k f k

p

W

1 ; p

0

S j f j

p

p

+ C

q

j f j

p

q

8 f 2 W

1 ; p

0

( ) ; ( 5 )

m o r e o v e r , C

q

! 0 a s q !

n ( p 1 )

n p

. T h e o p t i m a l S o b o l e v c o n s t a n t h e r e i s d e n e d a n a l o g o u s l y b y

S = S

n ; p

= i n f

f 2 W

1 ; p

0

n f 0 g

k f k

p

W

1 ; p

0

j f j

p

p

:

T h e n a g a i n t h e i n e q u a l i t y ( 5 ) i s r e l a t e d t o t h e c r i t i c a l d i m e n s i o n s b y m e a n s o f t h e f o l l o w i n g

p r i n c i p l e : t h e r e m a i n d e r t e r m i n t h e r . h . s . o f ( 5 ) c o n t a i n s t h e c o r r e s p o n d i n g \ l i n e a r " n o r m L

p

i f

a n d o n l y i f t h e d i m e n s i o n n i s c r i t i c a l .

2 P r o o f o f ( 3 ) f o r p o s i t i v e f u n c t i o n s

L e t b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f T h e o r e m 1 ; t h e n t h e r e e x i s t s R > 0 s u c h t h a t B

R

w h e r e B

R

d e n o t e s t h e b a l l c e n t e r e d a t t h e o r i g i n w i t h r a d i u s R . I f w e e x t e n d b y 0 i n B

R

n a n y f u n c t i o n

f 2 H

K

0

( ) t h e n w e s e e t h a t H

K

0

( ) H

K

0

( B

R

) : t h e r e f o r e , i t s u c e s t o p r o v e T h e o r e m 1 i n t h e

c a s e w h e r e = B

R

f o r s o m e R > 0 .

C o n s i d e r t h e c o n e o f p o s i t i v e f u n c t i o n s

K = f v 2 H

K

0

( B

R

) ; v ( x ) 0 f o r a . e . x 2 B

R

g ;

w e r s t p r o v e i n e q u a l i t y ( 3 ) i n t h e c a s e o f p o s i t i v e f u n c t i o n s f i n B

R

: t h i s m a y b e o b t a i n e d b y

s l i g h t m o d i c a t i o n s o f t h e a r g u m e n t s i n 5 ] .

L e m m a 1 T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t C = C ( R ) > 0 s u c h t h a t

k f k

2

K

S j f j

2

K

+ C j f j

2

n

n 2 K

; w

8 f 2 K : ( 6 )

P r o o f . L e t g 2 L

1

( B

R

) , g 6 0 a n d g 0 a . e . , a n d l e t u b e a s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m

8

>

:

( )

K

u = g i n B

R

D

k

u = 0 o n @ B

R

k = 0 ; : : : ; K 1 ;

t h e n , u 2 H

K

0

\ L

1

( B

R

) . T a k e f 2 K n f 0 g a n d c o n s i d e r t h e ( e n t i r e ) f u n c t i o n

=

8

>

:

f u + j u j

1

i n B

R

j u j

1

P

K

(

R

j x j

) i n B

c

R

4


5/8

w h e r e P

K

i s t h e p o l y n o m i a l o f d e g r e e n K 1 w h o s e l o w e s t p o w e r i s n 2 K a n d s a t i s f y i n g

P

K

( 1 ) = 1 P

( k )

K

( 1 ) = 0 k = 1 ; : : : ; K 1 ;

f o r i n s t a n c e , i f K = 2 , t h e n P

2

( s ) = ( n 3 ) s

n 4

( n 4 ) s

n 3

.

N o t e t h a t 2 D

K ; 2

( I R

n

) : h e n c e w e m a y w r i t e t h e S o b o l e v i n e q u a l i t y f o r o n I R

n

a n d o b t a i n

( f o r s o m e C = C ( n ; R ) > 0 )

k f u k

2

K

+ C j u j

2

1

S j f j

2

K

w h e r e w e u s e d t h e f a c t t h a t b o t h f 0 a n d u + j u j

1

0 a . e . i n B

R

. T h e r e f o r e , w e o b t a i n

k f k

2

K

+ k u k

2

K

2 ( f ; u )

K

+ C j u j

2

1

S j f j

2

K

a n d h e n c e

k f k

2

K

2

Z

B

R

f g ( k u k

2

K

+ C j u j

2

1

) + S j f j

2

K

;

r e p l a c i n g g ; u w i t h g ; u t h e p r e v i o u s i n e q u a l i t y r e m a i n s t r u e f o r a l l > 0 : t h e n , t a k i n g i n t o

a c c o u n t t h a t f o r a l l a 0 a n d b > 0 w e h a v e m a x

0

( a b

2

) =

a

2

4 b

, w e o b t a i n

k f k

2

K

S j f j

2

K

+

(

R

B

R

f g )

2

k u k

2

K

+ C j u j

2

1

: ( 7 )

L e t A B

R

, j A j > 0 a n d t a k e g = 1

A

( t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f A ) i n ( 7 ) ; t h e n , w e o b v i o u s l y

h a v e

Z

B

R

f g =

Z

A

f : ( 8 )

M o r e o v e r , i f =

n

q

n

!

n

j A j , !

n

=

R

@ B

1

d ! ( x ) a n d

R

d e n o t e s t h e G r e e n f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o

( )

K

i n B

R

, t h e n f o r a . e . x 2 B

R

w e h a v e b y B o g g i o ' s e x p l i c i t f o r m u l a 4 , p . 1 2 6 ] f o r

R

j u ( x ) j =

Z

B

R

R

( x ; y ) 1

A

( y ) d y

C ( n ; K )

Z

A

j x y j

2 K n

d y

C ( n ; K )

Z

B

( x )

j x y j

2 K n

d y C ( n ; K )

Z

0

n 1

2 K n

d = C ( n ; K ) j A j

2 K = n

:

T h i s p r o v e s t h a t

j u j

1

C ( n ; K ) j A j

2 K = n

: ( 9 )

F i n a l l y , b y H o l d e r a n d S o b o l e v i n e q u a l i t i e s , w e h a v e

k u k

2

K

= ( u ; u )

K

=

Z

A

u j u j

K

j A j

( n + 2 K ) = 2 n

C ( n ; K ) k u k

K

j A j

( n + 2 K ) = 2 n

;

t h e r e f o r e ,

k u k

2

K

C ( n ; K ) j A j

1 + 2 K = n

: ( 1 0 )

S i n c e j A j j B

R

j C

n

R

n

, f r o m ( 9 ) a n d ( 1 0 ) w e g e t

k u k

2

K

+ C j u j

2

1

C ( n ; K ; R ) j A j

4 K = n

;

w h i c h , t o g e t h e r w i t h ( 8 ) , m a y b e r e p l a c e d i n t o ( 7 ) t o o b t a i n ( 6 ) f r o m t h e a r b i t r a r i n e s s o f A . 2

5


6/8

3 T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d

C o n s i d e r n o w t h e d u a l c o n e o f K , n a m e l y

K

0

= f w 2 H

K

0

( B

R

) ; ( w ; v )

K

0 8 v 2 K g ;

i n o r d e r t o p r o v e t h a t ( 3 ) h o l d s f o r a n y f 2 H

K

0

( B

R

) w e r s t s h o w t h a t K

0

i s c o n t a i n e d i n t h e c o n e

o f n e g a t i v e f u n c t i o n s :

L e m m a 2 I f w 2 K

0

, t h e n w ( x ) 0 f o r a . e . x 2 B

R

.

P r o o f . L e t w 2 K

0

; t a k e a n a r b i t r a r y f u n c t i o n h 2 C

1

0

( B

R

) \ K a n d c o n s i d e r t h e p r o b l e m

8

>

:

( )

K

v = h i n B

R

D

k

v = 0 o n @ B

R

k = 0 ; : : : ; K 1 ;

( 1 1 )

b y t h e c o m p a r i s o n p r i n c i p l e ( p o s i t i v i t y o f G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e D i r i c h l e t p r o b l e m ( 1 1 ) i n b a l l s ,

c f . 4 , p . 1 2 6 ] ) w e k n o w t h a t v 2 K a n d t h e r e f o r e

0 ( w ; v )

K

=

Z

B

R

w ( )

K

v =

Z

B

R

w h :

W e h a v e s o p r o v e d t h a t

R

w h 0 f o r a l l h 2 C

1

0

( B

R

) \ K ; b y d e n s i t y w e o b t a i n t h a t

R

w h 0 f o r

a l l h 2 L

2

( B

R

) s u c h t h a t h ( x ) 0 a . e . a n d t h i s y i e l d s w ( x ) 0 a . e . 2

N o w t a k e a n y f u n c t i o n f 2 H

K

0

( B

R

) ; b y t h e P r o p o s i t i o n i n 1 9 ] w e i n f e r t h a t t h e r e e x i s t s a u n i q u e

c o u p l e ( f

1

; f

2

) 2 K K

0

s u c h t h a t f = f

1

+ f

2

a n d ( f

1

; f

2

)

K

= 0 : t h e n

k f k

2

K

= k f

1

k

2

K

+ k f

2

k

2

K

: ( 1 2 )

S i n c e f

1

( x ) 0 a n d f

2

( x ) 0 ( b y L e m m a 2 ) f o r a . e . x 2 B

R

w e h a v e j f

1

( x ) + f

2

( x ) j

m a x f j f

1

( x ) j ; j f

2

( x ) j g a n d

j f

1

( x ) + f

2

( x ) j

r

m a x f j f

1

( x ) j

r

; j f

2

( x ) j

r

g j f

1

( x ) j

r

+ j f

2

( x ) j

r

f o r a l l r > 0 ; f u r t h e r m o r e , i f r 2 w e o b t a i n

j f j

2

r

=

Z

B

R

j f

1

+ f

2

j

r

2 = r

Z

B

R

j f

1

j

r

+

Z

B

R

j f

2

j

r

2 = r

j f

1

j

2

r

+ j f

2

j

2

r

: ( 1 3 )

B y L e m m a 1 w e k n o w t h a t ( 6 ) h o l d s f o r f

1

a n d f

2

: t h e r e f o r e , b y ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) , w e g e t

k f k

2

K

= k f

1

k

2

K

+ k f

2

k

2

K

S ( j f

1

j

2

K

+ j f

2

j

2

K

) + C ( j f

1

j

2

n

n 2 K

; w

+ j f

2

j

2

n

n 2 K

; w

) S j f j

2

K

+ C j f j

2

n

n 2 K

; w

w i t h C = C = 2 . T h i s p r o v e s ( 3 ) f o r a l l f 2 H

K

0

( B

R

) . 2

6


7/8

R e m a r k 1 W h e n d e a l i n g w i t h w e a k s o l u t i o n s o f s e c o n d o r d e r e l l i p t i c e q u a t i o n s o n e h a s t o w o r k i n

H

1

0

. H e r e o n e u s u a l l y d e c o m p o s e s f = f

+

+ f

, j f j = f

+

f

, a n d f

+

; f

; j f j a r e a g a i n f u n c t i o n s

i n H

1

0

. T h i s s i m p l e t r i c k a n d i t s r e n e m e n t s ( t r u n c a t i o n o n l e v e l s e t s ) m a y b e v i e w e d a s b a s i s f o r

t h e S t a m p a c c h i a m a x i m u m p r i n c i p l e a n d e v e n f o r t h e d e G i o r g i - N a s h - M o s e r t h e o r y . A s m e n t i o n e d

a b o v e t h i s d e c o m p o s i t i o n i s n o l o n g e r a d m i s s i b l e i n h i g h e r o r d e r S o b o l e v s p a c e s H

K

0

, K 2 . I n o u r

o p i n i o n t h i s i s t h e r e a s o n t h a t o n l y l i t t l e i s k n o w n a b o u t n o n l i n e a r h i g h e r o r d e r e q u a t i o n s c o m p a r e d

w i t h s e c o n d o r d e r e q u a t i o n s .

T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d o f M o r e a u t o g e t h e r w i t h t h e c o m p a r i s o n p r i n c i p l e o f B o g g i o m a y i n

s o m e s i t u a t i o n s i n H

K

0

( K 2 ) s u b s t i t u t e t h e d e c o m p o s i t i o n i n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p a r t j u s t

m e n t i o n e d . A r s t a p p l i c a t i o n t o a f o u r t h o r d e r e i g e n v a l u e p r o b l e m c a n e . g . b e f o u n d i n 1 7 ] .

H e r e w e w a n t t o p r e s e n t a n o t h e r e x a m p l e . I n t h e p r e v i o u s p a p e r 1 4 ] , G r u n a u c o n s t r u c t s a

p o s i t i v e s o l u t i o n t o t h e s e m i l i n e a r D i r i c h l e t p r o b l e m ( 1 ) i n b a l l s B , b u t h e l e a v e s o p e n t h e q u e s t i o n

w h e t h e r t h i s s o l u t i o n m a y b e f o u n d ( u p t o s c a l i n g ) a s m i n i m i z e r o f t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m

S

= m i n

v 2 H

K

0

( B ) n f 0 g

k v k

2

K

j v j

2

2

j v j

2

K

w h e r e 2 ( 0 ;

1

) . N o w i t i s e a s y t o s h o w t h a t , a t l e a s t i n a b a l l , a n y m i n i m i z e r ( f o r e x i s t e n c e

s e e a l s o 1 4 ] ) o f t h i s p r o b l e m m u s t b e p o s i t i v e . I n d e e d , a s s u m e t h a t u i s a m i n i m i z e r a n d u 6 0 :

t h e n w e d e c o m p o s e a s a b o v e u = u

1

+ u

2

, u

1

2 K , u

2

2 K

0

: A g a i n b y L e m m a 2 w e c o n c l u d e

u

2

0 , u

2

6 0 . S o r e p l a c i n g u w i t h t h e p o s i t i v e f u n c t i o n u

1

u

2

w o u l d s t r i c t l y i n c r e a s e t h e

L

2

- n o r m i n t h e n u m e r a t o r a n d t h e L

K

- n o r m i n t h e d e n o m i n a t o r . B y o r t h o g o n a l i t y w e h a v e

k u

1

+ u

2

k

2

K

= k u

1

u

2

k

2

K

. A s > 0 t h e f r a c t i o n w o u l d s t r i c t l y d e c r e a s e , a c o n t r a d i c t i o n !

A n e v e n s i m p l e r r e a s o n i n g g i v e s b e s i d e s t h e p o s i t i v i t y o f t h e r s t e i g e n f u n c t i o n a l s o t h e s i m p l i c i t y

o f t h e r s t D i r i c h l e t e i g e n v a l u e o f ( )

K

i n b a l l s w i t h o u t r e f e r r i n g t o K r e i n - R u t m a n ' s o r J e n t z s c h ' s

t h e o r e m .

R e f e r e n c e s

1 ] A . A n a n e , S i m p l i c i t e e t i s o l a t i o n d e l a p r e m i e r e v a l e u r p r o p r e d u p - l a p l a c i e n a v e c p o i d s , C . R . A c a d .

S c i . P a r i s 3 0 5 , 1 9 8 7 , 7 2 5 - 7 2 8

2 ] G . A r i o l i , F . G a z z o l a , S o m e r e s u l t s o n p - L a p l a c e e q u a t i o n s w i t h a c r i t i c a l g r o w t h t e r m , D i . I n t . E q .

1 1 , 1 9 9 8 , 3 1 1 - 3 2 6

3 ] F . B e r n i s , H . - C h . G r u n a u , C r i t i c a l e x p o n e n t s a n d m u l t i p l e c r i t i c a l d i m e n s i o n s f o r p o l y h a r m o n i c o p e r a -

t o r s , J . D i . E q . 1 1 7 , 1 9 9 5 , 4 6 9 - 4 8 6

4 ] T . B o g g i o , S u l l e f u n z i o n i d i G r e e n d ' o r d i n e m , R e n d . C i r c . M a t . P a l e r m o 2 0 , 1 9 0 5 , 9 7 - 1 3 5

5 ] H . B r e z i s , E . L i e b , S o b o l e v i n e q u a l i t i e s w i t h r e m a i n d e r t e r m s , J . F u n c t . A n a l . 6 2 , 1 9 8 5 , 7 3 - 8 6

6 ] H . B r e z i s , L . N i r e n b e r g , P o s i t i v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n s i n v o l v i n g c r i t i c a l S o b o l e v

e x p o n e n t s , C o m m . P u r e A p p l . M a t h . 3 6 , 1 9 8 3 , 4 3 7 - 4 7 7

7 ] F . B r o c k , R a d i a l s y m m e t r y f o r n o n n e g a t i v e s o l u t i o n s o f s e m i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n s i n v o l v i n g t h e p -

L a p l a c i a n , P r o g r e s s i n P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s , V o l . 1 ( P o n t - a - M o u s s o n 1 9 9 7 ) P i t m a n R e s . N o t e s

M a t h . S e r . 3 8 3 , 1 9 9 8 , 4 6 - 5 7

7


8/8

8 ] D . E . E d m u n d s , D . F o r t u n a t o , E . J a n n e l l i , C r i t i c a l e x p o n e n t s , c r i t i c a l d i m e n s i o n s a n d t h e b i h a r m o n i c

o p e r a t o r , A r c h . R a t . M e c h . A n a l . 1 1 2 , 1 9 9 0 , 2 6 9 - 2 8 9

9 ] H . E g n e l l , E l l i p t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s w i t h s i n g u l a r c o e c i e n t s a n d c r i t i c a l n o n l i n e a r i t i e s , I n d i a n a

U n i v . M a t h . J . 3 8 , 1 9 8 9 , 2 3 5 - 2 5 1

1 0 ] H . E g n e l l , F . P a c e l l a , M . T r i c a r i c o , S o m e r e m a r k s o n S o b o l e v i n e q u a l i t i e s , N o n l i n . A n a l . T M A 1 3 , 1 9 8 9 ,

6 7 1 - 6 8 1

1 1 ] J . P . G a r c a A z o r e r o , I . P e r a l A l o n s o , E x i s t e n c e a n d n o n u n i q u e n e s s f o r t h e p - L a p l a c i a n : n o n l i n e a r

e i g e n v a l u e s , C o m m . P a r t . D i . E q . 1 2 , 1 9 8 7 , 1 3 8 9 - 1 4 3 0

1 2 ] F . G a z z o l a , C r i t i c a l g r o w t h p r o b l e m s f o r p o l y h a r m o n i c o p e r a t o r s , P r o c . R o y . S o c . E d i n b u r g h 1 2 8 A ,

1 9 9 8 , 2 5 1 - 2 6 3

1 3 ] H . - C h . G r u n a u , C r i t i c a l e x p o n e n t s a n d m u l t i p l e c r i t i c a l d i m e n s i o n s f o r p o l y h a r m o n i c o p e r a t o r s , B o l l .

U n . M a t . I t a l . 7 , 9 - B , 1 9 9 5 , 8 1 5 - 8 4 7

1 4 ] H . - C h . G r u n a u , P o s i t i v e s o l u t i o n s t o s e m i l i n e a r p o l y h a r m o n i c D i r i c h l e t p r o b l e m s i n v o l v i n g c r i t i c a l

S o b o l e v e x p o n e n t s , C a l c . V a r . 3 , 1 9 9 5 , 2 4 3 - 2 5 2

1 5 ] H . - C h . G r u n a u , O n a c o n j e c t u r e o f P . P u c c i a n d J . S e r r i n , A n a l y s i s , 1 6 , 1 9 9 6 , 3 9 9 - 4 0 3

1 6 ] E . J a n n e l l i , T h e r o l e p l a y e d b y s p a c e d i m e n s i o n i n e l l i p t i c c r i t i c a l p r o b l e m s , t o a p p e a r i n J . D i . E q .

1 7 ] E . M i e r s e m a n n ,

U b e r p o s i t i v e L o s u n g e n v o n E i g e n w e r t g l e i c h u n g e n m i t A n w e n d u n g e n a u f e l l i p t i s c h e

G l e i c h u n g e n z w e i t e r O r d n u n g u n d a u f e i n B e u l p r o b l e m f u r d i e P l a t t e , Z . a n g e w . M a t h . M e c h . Z A M M

5 9 , 1 9 7 9 , 1 8 9 - 1 9 4

1 8 ] E . M i t i d i e r i , O n t h e d e n i t i o n o f c r i t i c a l d i m e n s i o n , u n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , 1 9 9 3

1 9 ] J . J . M o r e a u , D e c o m p o s i t i o n o r t h o g o n a l e d ' u n e s p a c e h i l b e r t i e n s e l o n d e u x c ^ o n e s m u t u e l l e m e n t p o l a i r e s ,

C . R . A c a d . S c i . P a r i s 2 5 5 , 1 9 6 2 , 2 3 8 - 2 4 0

2 0 ] P . P u c c i , J . S e r r i n , A g e n e r a l v a r i a t i o n a l i d e n t i t y , I n d i a n a U n i v . M a t h . J . 3 5 , 1 9 8 6 , 6 8 1 - 7 0 3

2 1 ] P . P u c c i , J . S e r r i n , C r i t i c a l e x p o n e n t s a n d c r i t i c a l d i m e n s i o n s f o r p o l y h a r m o n i c o p e r a t o r s , J . M a t h .

P u r e s A p p l . 6 9 , 1 9 9 0 , 5 5 - 8 3

2 2 ] C . A . S w a n s o n , T h e b e s t S o b o l e v c o n s t a n t , A p p l . A n a l . 4 7 , 1 9 9 2 , 2 2 7 - 2 3 9

2 3 ] G . T a l e n t i , B e s t c o n s t a n t i n S o b o l e v i n e q u a l i t y , A n n . M a t . P u r a A p p l . 1 1 0 , 1 9 7 6 , 3 5 3 - 3 7 2

8

Documents

Gazzola F., Grunau H.-C. - Critical dimensions and higher order Sobolev inequalities with remainder terms(8).ps