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09/04/2015
Electricidad y Magnetismo
Ley de Gauss II
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09/04/2015
Flujo elctrico a travs de una
superficie cerrada
El mismo nmero de lneas
de campo que entran:
Sea una superficie cerrada y una carga
puntual externa:
Es el que sale
Luego, el flujo neto a travs
de una superficie que no
encierra carga es cero. Tal
es el caso para el flujo a
travs del cubo examinado
en la clase anterior.
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09/04/2015
Flujo elctrico a travs de una
superficie cerrada
El argumento anterior puede generalizarse para el caso de
muchas cargas puntuales o para una distribucin continua
de cargas, porque el principio de superposicin es, por
supuesto, vlido: El campo elctrico producido por
muchas cargas es la suma vectorial de los campos
elctricos producidos por las cargas individuales. Por lo
tanto el flujo a travs de una superficie cerrada es:
AdEEEAdE n
)...( 21
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Flujo elctrico a travs de una
superficie cerrada
S
S
q1
S
q3
q2
De acuerdo a la ley
de Gauss: 0
1
qAdE
S
0S
AdE
0
32
qqAdE
S
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Formulacin general de la Ley
de Gauss
0m
C
qAdE
El flujo neto a travs
de cualquier
superficie cerrada es:
Donde qm representa la carga neta dentro de la superficie
y E representa el campo elctrico (todas las contribuciones,
de cargas internas y externas) en cualquier punto de la
superficie.
Es decir: El flujo elctrico neto a travs de cualquier superficie
cerrada es igual a la carga neta encerrada
por la superficie, dividida por 0
G - 2
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Algunas consideracionesSuponga que el flujo neto a travs de
una
superficie cerrada es cero. Cules de las de
las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1.- No hay cargas dentro de la superficie
2.- La carga neta en el interior de la superficie es cero
3.- El campo elctrico E, es cero sobre cualquier punto de la
superficie
4- El nmero de lneas de campo que entra a la superficie
es igual al nmero que sale
0C
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Algunas consideraciones
1.- No hay cargas dentro de la superficie
Cargas positivas: 4
Cargas negativas: 4
Carga neta: 0
Luego:
00
00
n
S
C
qAdE
Cumple con la condicin de flujo nulo, pero en el
interior hay cargas
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09/04/2015
Algunas consideraciones
2.- La carga neta en el interior de la
superficie es cero
Cargas positivas: 4
Cargas negativas: 4
Carga neta: 0
Luego:0
0
00
n
S
C
qAdE
Es exactamente el caso recin
considerado:
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09/04/2015
Algunas consideraciones
3.- El campo elctrico E, es cero sobre
cualquier punto de la superficie
El nmero de lneas que salen es igual
al nmero de lneas que entran, por lo
tanto el flujo elctrico es nulo, aunque
el campo no lo es.
Veamos un contraejemplo:
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Algunas consideraciones
4- El nmero de lneas de campo que entra a
la superficie es igual al nmero que sale
El nmero de lneas que salen es igual
al nmero de lneas que entran, por lo
tanto el flujo elctrico es nulo
Es, otra vez, el caso recin
considerado:
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09/04/2015
Algunas otras consideraciones
Una superficie gaussiana esfrica rodea a una
carga puntual .
Describa que sucede con el flujo total a travs de la
superficie si:
1.- la carga se triplica
2.- el volumen de la esfera se triplica
3.- la superficie se cambia a un cubo
4.- la carga se cambia a otra
posicin dentro de la esfera
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09/04/2015
q
Campo elctrico de una carga puntual
A partir de la ley de Gauss, calcule el campo elctrico
generado por una carga puntual aislada q y demuestre que
la ley de Coulomb se deduce de este resultado.
r dA E
Es conveniente elegir una esfera
centrada en q y de radio r
Por lo tanto, dA y E son
vectores radiales y paralelos
en cada punto de la
superficie, luego:
EdAAdE
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09/04/2015
Campo elctrico de una carga puntual
r dA E
0
qEdAAdEC
Por simetra E es constante
0
2 )4(
q
rEdAEEdA
Luego...
2
0
2 )4( r
qk
r
qE e
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09/04/2015
Campo elctrico de una carga puntual
r dA E
Finalmente, la fuerza sobre
una carga de prueba q0 en un
campo E es:
rr
qqkEqF e
2
00
Es decir, la Ley de Coulomb
Dado que previamente habamos obtenido la ley de Gauss
a partir de la ley de Coulomb, hemos probado que ambas
son equivalentes.
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Ley de Gauss (recapitulacin)
r dA E
Segn Coulomb:
2r
qkE e
De acuerdo a la ec. G-1:
dAEEdAdAEnc
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09/04/2015
Ley de Gauss (recapitulacin)
r dA E
Por simetra, el campo es constante
sobre la superficie de la esfera y la
superficie de sta es 4r2, luego:
)4( 22
rr
qkec
y dado que
o
ek4
1
0
2
2
0
)4(4
1
qr
r
qc
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09/04/2015
Distribucin de carga simtrica
esfrica
Una esfera aislante de radio a, tiene
una densidad de carga uniforme y
una carga positiva total Q. Calcule
la magnitud de la carga en un punto
fuera de la esfera.
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09/04/2015
Distribucin de carga simtrica
esfrica
Por razones de simetra,
seleccionamos una superficie
gausiana esfrica de radio r,
concntrica con la esfera
ar
Para r a
rr
QkE e 2
Igual que si se tratara de una carga puntual
concentrada en el centro de la esfera
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09/04/2015
Distribucin de carga simtrica
esfrica
a r
Caso r < a
Como en el caso anterior:
rr
qkE ine 2
donde
3
3
4rqin
luego...
rrkE e 34
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09/04/2015
Distribucin de carga simtrica
esfrica
a r
Caso r < a
recordando que:
tenemos... rra
QkE e
3
3)34( a
Q
V
Q
esfera
Es obvio que... 00
Elimr
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09/04/2015
Distribucin de carga simtrica
esfrica
a r
E
ra
rra
QkE e
3
rr
QkE e 2
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09/04/2015
Cascarn esfrico delgado cargado
a
El cascarn tiene una carga total Q
distribuida uniformemente sobre su
superficie. Encuentre el campo
elctrico dentro y fuera del cascarn.
Construimos una superficie
gaussiana concntrica con el
cascarn, con r > a y el resultado
es trivial:
rr
QkE e 2
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09/04/2015
Cascarn esfrico delgado cargado
Para el caso r > a el resultado es
obvio, ya que la superficie
gaussiana no encierra carga
alguna, por lo tantoa
0E
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09/04/2015
Distribucin lineal de carga
Encuentre el campo elctrico a una
distancia r de una lnea de carga
positiva de longitud infinita, con una
densidad de carga lineal = cte.
Por razones de
simetra en una vara
infinita, la direccin de
las lneas de campo
es radial al cilindro
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09/04/2015
Distribucin lineal de carga
Elegimos una superficie gaussiana
cilndrica concntrica con la vara
E y dA son paralelos en toda la
superficie del cilindro, por lo tanto:
E
Ad
0in
C
qdAEAdE
rldAA
lqin
2
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09/04/2015
Distribucin lineal de carga
por lo tanto:
E
Ad
rk
rE
lrlE
e
22
2
0
0
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09/04/2015
Lmina plana no conductora
Encuentre el campo
debido a un plano no
conductor infinito, con
una densidad de carga
superficial
x
Por simetra podemos
ver que:
Dos elementos de
superficie simtricos
respecto de un eje de
simetra, cancelarn las
componentes del campo
paralelas a la lmina
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09/04/2015
Lmina plana no conductoraPor las razones de simetra anteriores,
elegimos una
superficie de Gauss cilndrica, normal a la lmina.
El flujo a travs del manto del cilindro es cero
El vector rea y el vector campo son paralelos, es
decir cos = 0, luego:
A
E
E
dA
0n
C
qdAEEdAAdE
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09/04/2015
Lmina plana no conductoraPor lo tanto:
E
EA
dA
0
0
0
2
2
E
AEA
qdAE n
El campo es
constante en
todo punto del
espacio
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09/04/2015
Pregunta
Porqu la Ley de Gauss no puede utilizarse para calcular
el campo producido por:?
Un dipolo elctrico
Un disco cargado
Tres cargas puntuales en los vrtices de un tringulo
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09/04/2015
Respuesta
Porque carecen de la simetra necesaria para hacer la Ley
de Gauss eficaz. sta se aplica en condiciones de alta
simetra y cuando se pueda encontrar una superficie cerrada
que encierre la carga de manera tal que el campo sobre las
distintas regiones de la superficie sea constante.
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09/04/2015
Conductores en equilibrio
electrosttico
Los conductores elctricos poseen cargas que se mueven
libremente en el material, por lo tanto:
El campo elctrico en cualquier punto dentro del conductor es
cero
Cualquier carga en un conductor aislado reside en su
superficie
El campo elctrico justo afuera de un conductor cargado es
perpendicular a la superficie y tiene un
valor /0 , donde es la densidad de carga superficial
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09/04/2015
Conductores en equilibrio
electrosttico
Los conductores elctricos poseen cargas que se mueven
libremente en el material, por lo tanto:
En un conductor de forma irregular, la carga tiende a acumularse
en puntos donde el radio de curvatura de
la superficie es ms pequeo, es decir, en puntos
afilados
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09/04/2015
Conductores en equilibrio
electrosttico
Examinemos estas propiedades:
El campo elctrico en cualquier punto dentro del conductor es
cero
Esto es obvio, porque si el campo es distinto de cero, las
cargas sern aceleradas, redistribuyndose y generando
un campo que se opone al campo que las acelera. Este
proceso contina hasta que el campo en el interior es
cero.E=0
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09/04/2015
Conductores en equilibrio electrostticoExaminemos estas
propiedades:
Cualquier carga en un conductor aislado
reside en su superficie
Tomamos un conductor de
forma arbitraria
Luego dibujamos una
superficie gaussiana muy
cerca de la superficie
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09/04/2015
Conductores en equilibrio electrostticoSabemos que el campo es
cero en el interior del
conductor, en particular sobre cualquier punto de la
superficie gaussiana. Dado que
00
qAdEC
Podemos afirmar que la carga en el interior de la
superficie es cero.
Como podemos acercarnos a la superficie tanto
como queramos, podemos afirmar que toda la carga
se sita en la superficie del conductor.
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09/04/2015
Conductores en equilibrio electrostticoExaminemos estas
propiedades:
El campo elctrico justo afuera de un
conductor cargado
es perpendicular a
la superficie y tiene
un valor /0 , donde
es la densidad de
carga superficial
rE 0
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09/04/2015
Conductores en equilibrio electrosttico
Dibujamos una superficie gaussiana, un pequeo cilindro
perpendicular a la superficie:
E
A
El flujo existe slo a travs
de la cara A del cilindro
Por qu?
El campo es perpendicular
a la superficie. Que
ocurrira si existiesen
componentes tangenciales?
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09/04/2015
Conductores en equilibrio electrosttico
Por las razones anteriores...
E
A
0
0
0
2
E
AEA
qrEdAEAdE nC
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09/04/2015
-Q
Esfera dentro de un cascarn
esfrico
2Q1 2 3 4
a
bc
Una esfera conductora
slida, con una carga 2Q y
radio a, se encuentra en el
centro de un cascarn
conductor de radio interno
b y radio externo c.
Encuentre el campo en las
regiones 1, 2, 3 y 4..
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09/04/2015
Esfera dentro de un cascarn
esfrico
2Q
-Q
1
a
bc
Aprovechando las obvias
simetras, dibujamos una
superficie gaussiana con
r
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09/04/2015
Esfera dentro de un cascarn
esfricoAhora dibujamos una
superficie de Gauss en la
regin 2. El campo en esta
regin se debe slo a la
esfera interna, luego, el
campo es:
2Q
-Q
2
a
bc
22
0
0
2
2
4
2
2)4(
r
Qk
r
QE
QrEdAEAdE
e
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Esfera dentro de un cascarn
esfricoEn la regin 4 el campo se
origina en la carga neta
encerrada por la superficie
gaussiana2Q
-Q
4
a
bc
La carga neta es 2Q + (-Q),
es decir, Q, luego el campo
es:
2r
QkE e
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09/04/2015
2Q
-Q
a
bc
3
Esfera dentro de un cascarn
esfrico
Por ltimo, en la regin 3,
donde b < r < c dibujamos
otra superficie gaussiana.
Aqu el campo debe ser cero,
puesto que el cascarn es un
conductor en equilibrio
electrosttico
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09/04/2015
2Q
a
bc
3
-2Q
+Q
Esfera dentro de un cascarn
esfrico
Adems, debemos
concluir que la superficie
interna del cascarn debe
tener una carga -2Q para
compensar la carga de la
esfera.
Finalmente, puesto que la carga neta del cascarn es -Q,
podemos inferir que la superficie exterior tiene una carga
+Q
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Complementos a esta seccin
Serway
Seccin 24.5
Seccin 24.6
Resumen
Estrategias y sugerencias para resolver
problemas
![Flujo de Potencia [Modo de compatibilidad] - u-cursos.cl · Método de Gauss Método de Gauss ----SeidelSeidel La “Receta” para Gauss La “Receta” para Gauss ––Seidel Seidel](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5d3f527d88c993860c8d17eb/flujo-de-potencia-modo-de-compatibilidad-u-metodo-de-gauss-metodo-de.jpg)
