Gabarito Lista 5 de Ave

8/19/2019 Gabarito Lista 5 de Ave

1/14

GABARITO - LISTA 5 DE AVE

1)

P(3,-2,-5)Assim

5411

42

2

2311

32

2

14

13

22

14

13

2-1-3

:vemacimaequaçãonaP pontodovalorosdoSubstituin

14

13

2-1-x

sretadasimétricaequaçãoase-temAssim1

44

13

3

2-1-x

t2t-1x

:Assimz.eyx,deequaçõesas paramesmoosejat parâmetrooquecondiçãoaimpor

se-deveAssimreta.daequaçãoasatisfazer deveeles,retaà pertençaP pontooquePara

−=−−=⇒+=−

−=−=⇒−+=

−⇒

+=−+=

−⇒

+=−+=

+=−+=

+=⇒+−=

−+=⇒−−=

=⇒=

nn

mm

nmnm

z y

z t t z

yt t y


2/14

2)

)1,21

,2(

21

121

21

11

2312

1

2

3

21

11

23

:assim,1zquesignifica1cotaPara

)10,4,7(

1021

14

7310114

23

2114

23

:assim4,yquesignifica4ordenadaPara

)2,2,5(

222

35

21111

235

211

235

:assim5,xquesignifica5abscissaPara

−

−=−=⇒−

=−+

=+−=⇒−

=−

⇒−=−+=−

=−

=⇒−

=−+

−=+−=⇒−+=−

⇒−

=−+=−

=−−

−=⇒−

=−

−=−−=⇒−+=−

⇒−

=−+=−

=

y y

x x

y x

z z

x x

z x

z z

y y

z y


3/14

3)

=⇒−

=+

+−=⇒+−−=⇒−−=+

⇒−=

−−=+

−=−==

+−=⇒++−=⇒−−=

−=⇒−−=⇒+

=⇒

−−=+=

−=−==

303

31x

12132

31x

03

32

31x

:seráretadasimétricaequaçãoA

)0,3,3(ABvdiretorvetorO b)

5232243

21-x

25

2221

212

21-x

43

12

21-x

:seráretadasimétricaequaçãoA

)4,1,2(ABvdiretorvetorOa)

letras.duasas paraA pontoocomooconsideradserá pontoOdiretor.

seu vetor oeelaae pertencent pontoumdese-necessitaretadaequaçãoadeerminarsePara

z z

x y x y y

z y

A B

x z x z z

x y

x y

y z y

A B

r

r


4/14

4)

.colinearessãodados pontosos,respeitadafoiigualdadeaComo

53

53

53

106

53

53

(5,-5,10)A-CAC

(3,-3,6)A-BAB

:Assim.a

razão

arespeitamACeABdiretoresvetoresos pontos,estes por passaretaumaque

supondo que provarse-deve,colinearessão pontososque provarsePara

2

1

2

1

2

1

==⇒=−−=

==

==

==cc

bb

a

5)

(1,1,1)vA(0,0,0),e)

(1,0,0)vA(0,3,-1),d)

(2,0,-1)vA(0,-1,2),c)

(2,1,0)vA(0,0,3), b)

(3,0,4)v,A(-1,1,3)a)

=====

r

r

r

r

r


5/14

6)

−=+−=

=−==

==

+==

+===

==

=+=

===

==

+===

t z

t y

x

4

23

2

)1,2,0(MNv pordadoserádiretorvetorOe)

2z

t--1y

t4x

(1,-1,0)védiretorvetorod)

t4z

3y

2x

(0,0,1)k ˆvserádiretor

vetor osejaouz,eixodoorientaçãoa possuielayexaortogonaléretaac)Se

1z

t2y

3x

(0,1,0). ĵvdiretorvetoroquese-temxOz, planoaolar perpendicuéretaaSe b)

4z

-2y

t1x

(1,0,0)îvdiretorvetor possuielax,eixoao paralelaéretaaSea)

r

r

r

r

r


6/14

7)

==⇒=+−⇒+

−−=

==⇒=+−⇒+

+=⇒

+

+=

++=⇒

++++++=⇒=

==

=

1ne 7078

102.5

10523

1ne 7078102.5

10523

102.5

105

23

denominanonse-temComo102.5

105

23

41.92516

654

23

)2,,1(.)3,5,4(

)2,,1.()3,5,4(30cos

)2,,1(v e )3,5,4(

:sãodiretoresvetoresOs

.

.vcos

:Assimmesmas.das

diretoresvetoresosentreânguloaoecorrespondretasduasentreânguloO

2

2

2

2

2

22

0

s

r

nnn

n

n

nnnn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nv

vv

v

r

sr

s

rr

rr

rr

θ


7/14

8)

P(-3,10,5)Assim

51411

11-3-

102123

21

1-3-

11

32

11-3-

:Logoreta.daequaçãoasatisfazer deveeler,P ponrooComo11

32

11-x

:será procuradaretada

equaçãoadado,éA pontooComo(1,-3,-1).vdiretorvetorose-temsretaDa

=+=⇒−−=

=−=⇒−+=

⇒−−=

−+=

∈

−−

=−+

=

=

nn

mm

nm

z y

r

9)


8/14

23018120618180

60

231

03

),,v(

)6,0,(RS:seráRSvetorO

)2,3,1(ve)0,4,0(23

41x

:vemsimétricaformanasretaaEscrevendo

)0,3,(veR(m,4,6))

70430031141

100

),,v(

)0,3,1(RS:seráRSvetorO

)1,4,1(ve)0,,0(141

x

:vemsimétricaformanasretaaEscrevendo

)1,0,0(vR(-1,3,0) b)

4020501524310

131

12

321

),,v(

)1,3,1(RS:seráRSvetorO

m)(2,-1,veS(1,0,0)

:assimsimétrica,formanaestá jásretaA

(1,2,3)ve)1,3,0(3

12

3-y

1x

:vemsimétricaformanarretaaEscrevendoa)

diretores.vetoresose pontos pelosformadovetorodeterminar

teinicialmense-deveAssimnulo.serdevesSerR com definidoRSvetorum

ediretoresvetoresseusdemisto produtoocoplanaressejamretasduasquePara

r

s

r

r

s

r

s

r

=⇒=−⇒=−−⇒=−−−−

−=

−−=

−−=⇒−

=−−=

−=

−=⇒=−−−⇒=−−

=

−−=

=−⇒=+=

=

=⇒=+−⇒=+−+−⇒=

−−

−=

−−=

=

=−⇒+==

∈∈

mmmm

m

m

RS v

m

S z y

mc

mmm

RS v

m

mS z m y

mmmmm RS v

R z

s

s

r

s

rr

r

r

rr

r

r

rr

r

r


9/14

10)

63

arccos

63

34

2

48

2

6.8

24)1,2,1(.)2,2,0()1,2,1).(2,2,0(

cos

.

.cos

)1,2,1(ve )2,2,0(v

:logodiretores,vetoresseusentreformadoânguloaoecorrespondretasduasentreânguloO b)

I(2,4,-1)

1

431)1(31213x

:se-temh,retadaequaçõesnastdoSubstituin

1552631323t-1

:vemh,det3xemvaloresteCom23t-1

x3t-12x3t-1y

:Logot.determinar se- podeh,emvalorestedoSubstituin2x.yquese-temsretaDa

sr

=

===−=−−=

=

=−=

−==⇒+=⇒−−=

=−=

−=⇒=−⇒+=−⇒+=

+=

=⇒=⇒=

=

θ

θ

θ

sr

sr

vv

vv

z

y y y

t t t t t

rr

rr

rr


10/14

11)

)I(-1,-1,-2

:sejaoua),letranaencontrase já2m parasoluçãoA b)

223

212

32-x

mzmtz

r.retadazdeequaçãonaxe zdevalorose-substituiAgora

223

21-

z

:vemsdezemxCom

13

253

2)1.(53

25

:vemy,emxdevaloroCom

13625123

25

s.deycomrdeyse-igualaAgora3

253

1054

32-x

54y

:r vemdeyemtdevalorodoSubstituin3

2-xt3t2x

x.deequaçãodatse-isolarDe:Assimcomum.em

pontoum possuirdevemelasesconcorrentsejamserretasasqueParaa)

=

=⇒−=−⇒

−−=−⇒

=⇒=

−=−=

−=+−=+−=+=

−=⇒+=+⇒+=+

+=−+=⇒

+=

=⇒+=

mmm

x y

x x x x x

x x y


11/14

12)

=

=⇒=⇒

−=−=⇒−

=−

=

+=−−−=×=

−=−−=

0

777

00

07

0-xx-x

:se-temsimétrica naAssimA(0,0,0). ponto

oéretaàe pertencent pontoumorigem, pela passa procuradaretaaComo

ˆ7ˆ7131212

ˆˆˆ

)1,3,1(v e )2,1,2(v

:Assimdadas.retasdasdiretores

vetoresdosvetorial produto pelodiretorseu vetorodeterminar se- pode

dadas,duasoutrasaortogonalmentesimultaneasejaretaumaquePara

000

sr

y

y x z x

z yc z z

b y y

a

k i

k ji

vvv sr rrr

rr


12/14

13)

=−−=

+=⇒

+=−−=

+=⇒

+=+=+=

+−=−

=×=

−==

=+⇒+=

=+−

=

=+=

−=⇒+=−⇒+=

+=⇒+=−⇒+=

t z

t y

t

t z

t y

t

ct z z

bt y y

at

k ji

k ji

vvv

x

y x

y y y y

y x y x

sr

3

51

2x

30

51

2xxx

:será procuradaretadaa paramétricequaçãoA

ˆ3ˆ5ˆ

211

321

ˆˆˆ

)2,1,1(ve )3,2,1(vdiretoresvetoresseusdevetorial

produto peloobtidoser podeserretasàsortogonalmentesimultaneavetorO

I(2,-1,0).:seráointersecçã pontoiAssim

02.(-1)22y2z

s.retadazdeequaçãodameio porzse-Determina

22 51

xse-determina-1y com2

5 equaçãoaVoltando

15222

5y-1

s.retadaxdeequaçãonaxse-substituiAgora2

5142

21y

2-x

ydefunçãoemxse-isolarretaDa

retas.astodasacomum pontoo

á-se-ter assim poisretas,dasointersecçãadeterminar é passo primeiroO

0

0

0

sr

rrr

rr


13/14

14)

−===

⇒

+−=−=−=

⇒

+=+=+=

−=−=×=

=−=

1

0

t-2x

01

00

2xxx


ˆ

010

120

ˆˆˆ

ˆ

:Assim(0,1,0). ĵ éyeixoodiretorvetoroe)1,2,0(vérretadadiretorvetorO

0

0

0

r

z

y

t z

t y

t

ct z z

bt y y

at

i

k ji

jvv r rr

r

15)

[ ]

)1,1,3(

1674)7(32

1151410)14(32

31298)9(32

)7,14,9(32

)4,10,8(

),,()7,14,9(32(1,4,3)-(9,14,7)

32

P

:quese-temz)y,(x,PSupondo

2

21

2

−−=

=⇒=−⇒=−

−=⇒=−⇒=−

−=⇒=−⇒=−

⇒−−−=

−=

=

P

z z z

y y y

x x x

z y x

z y x

P P P


14/14

16)

−=−=+=

⇒

+−=−=+=

⇒

+=+=+=

−=−−−−=

−−=⇒=+=⇒=+=⇒=

⇒=++

==

2

2

2t1x

A pontoousando

02

20

21xxx


)0,2,2()2,2,1()2,0,1(PAvetoroser podesuporteretadadiretorvetorUm

)2,2,1(

-2zz-26z

2yy-51y

-1xx--42-x

z)-y,2-x,5-(-46)z1,y2,-(x

z)y,(x,-((-4,5,2)(2,-1,-6)-z)y,(x,

z).y,P(x,onde,BPqueobservarse- podedesenho No

0

0

0

z

t y

t z

t y

t

ct z z

bt y y

at

P

PC

A

C

B

mediana

P

Documents

Gabarito Lista 5 de Ave