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Gabarito Extensivo – MATEMÁTICA
volume 1 – Frente B
30° 45° 60°
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tan 3
3 1 3
01) E 2 2 2
2
2
x 4 5
x 25 16
x 9
x 3
cateto opostosen30
hipotenusa
1 4
2 y
y 8
x+y=3+8=11
02) 2 3 2 m
Seja O a origem no solo alinhado verticalmente com o bastão. A medida OB será a altura x da colina.
Importante observar que o triângulo AOC é isósceles com as medidas AO OC 4 x .
cateto opostotg30
cateto adjacente
3 x
3 4 x
4 3 x 3 3x
x 3 3x 4 3
x 3 3 4 3
4 3 4 3x
3 3 3 3
3 34 3 12 3 12 12 3 12x .
9 3 9 33 3 3 3
12 3 12x 2 3 2 m
6
03) 22m
Seja x a medida entre o prédio maior e a base da escada que está apoiada. Também, seja y a medida da
entre a base do prédio menor e a base da escada nele apoiada.
xcos60
20
1 x
2 20
2x 20
x 10
ycos45
12 2
2 y
2 12 2
2y 12 4
12.2y 12
2
y 12
Distância entre os prédios = 10+12=22m
04) A
Seja QR x
a btg30
x 10
3 a b
3 x 10
x 3 10 3a b
3
a btg60
x
a b3
x
x 3 a b
x 3 10 3x 3
3
x 3 10 3 3x 3
3x 3 x 3 10 3
3x x 10
x 5
x 3 a b
a b x 3
a b 5 3
Mas o cateto a b multiplicado por 3 fica:
5 3. 3 5.3 15 unidades
05) B
Seja x a altura da parte do prédio (Cateto oposto ao ângulo α) em que se forma um triângulo retângulo.
Com o valor do seno de α podemos encontrar o cosseno e tangente de α utilizando a relação fundamental
2 2sen cos 1 e a fórmula da tangente em função de seno e cosseno. Para 4
sen 5
, inicialmente
calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ângulo.
2 2sen cos 1 2
2
2
4cos 1
5
16cos 1
25
2 9cos
25
3cos
5
sentg
cos
4
4 5 45tg .3 5 3 3
5
4tg
3
Tangente de α em função dos
catetos:
xtg
8,4
4 x
3 8,4
x 11,2
Logo, x + altura da casa = altura do prédio = 11,2+4,8 = 16
06) A
Seja x a altura da montanha.
cat.opostotg30
cat.adjacente
xtg30
600
3 x
3 600
3x 600 3
600 3x
3
x 200 3 m
07) A Altura da rampa = 15cm + 15cm = 30cm = 0,3m= cateto oposto ao ângulo de 30°. x = comprimento da rampa.
0,3sen3
x
0,30,05
x
0,3x
0,05
x 6m
08) E
x
tg3080 y
3 x
3 80 y
xtg60
y
x3
y
x y 3
3 x
3 80 y
3 y 3
3 80 y
3y 380 y
3
3y y 80
y 40
x y 3
x 40 3
x 69,2
Altura do prédio é igual a x mais a altura da pessoa que é 1,73m. Logo, x+1,73 = 69,2+1,73≈71m 09) C
1000cos45
x
2 1000
2 x
x 1000 2 1414m 10) A
2
2
2
10cos60
L
1 10
2 L
L 20
Htg60
10
H3
10
H 10 3
1
1
1
1
Hsen30
L
1 10 3
2 L
L 20 3
L 34,6
L1+L2=20+34,6
L1+L2≈54,6m
11) C
xtg60
1,8
x3
1,8
x 1,8 3
x 3,1
12) D Conforme os dados do exercício, podemos montar o esquema da figura abaixo. Para calcular a distância AC = x, basta aplicar o teorema de Pitágoras.
2 2 2
2 2
x 6 (8 x)
x 36 64 16x x
16x 100
25x
4
13) Observe que a h (altura) é a mesma medida do cateto adjacente no triângulo:
Logo, com relação:
cat.oposto
senhipotenusa
hsen30
200
1 h
2 200
h 100m
14)
Seja F o ponto de interceptação do segmento AC no segmento DE . Observe ainda que o ângulo DFA
mede 30° fazendo com que esse triângulo seja isósceles. Seja x = DF = AE :
xtg30
50
3 x
3 50
50 3x
3
50 3 50 3DF FA
3 3
xcos30
50 3
3
3 x
2 50 3
3
50 3. 32x
3
50.32x
3
2x 50
x 25
Portanto, AB 50 25 75 15) Seja x a distância entre o ponto B e o pinheiro.
htg( )
d x
hd x
tg( )
hx d
tg( )
htg( )
x
hx
tg( )
h hd
tg( ) tg( )
h hd
tg( ) tg( )
1 1h d
tg( ) tg( )
tg( ) tg( )h d
tg( ).tg( )
dh
tg( ) tg( )
tg( ).tg( )
d.tg( ).tg( )h
tg( ) tg( )
16) C
Observe que a hipotenusa do triângulo destacado é 2,5m
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado para obter y. 2 2 22,5 1,5 y
2y 6,25 2,25 4,00
y 2m
Seja z = y+x 2 2 2
2
3,9 1,5 z
z 12,96
z 3,6
x+y=3,6 x+2=3,6 x=1,6
17) D
3tg 4tg
4tgtg
3
htg
PT
h 4tg
PT 3
3htg
4PT
h 10tg
PT
h 10 3h
PT 4PT
3hh 10
4
4h 40 3h
h 40m
18)
x
sen608
3 x
2 8
x 4 3
ycos60
8
1 y
2 8
y 4
Y+4=4+4=8
2 2 2
2
10 8 z
z 36
z 6
Altura do poste: x z 4 3 6 6 4 3 m
19) C Seja h a altura da torre e x a distância entre a torre e o ponto de observação em no qual formou-se um
ângulo β tal que tg 3 3 :
rad 603
htg60
4 x
h3
4 x
4 3 x 3 h
x 3 h 4 3
htg
x
hx 3
3
x 3 h 4 3h
h 4 3h3x 3
3
hh 4 3
3
2h4 3
3
h 6 3
20) a)
Seja x a distância entre P e Q:
2 2 2
2
2
x 1 7
x 49 1
x 48
x 4 3
PQ 4 3dm
Seno do ângulo BPQ (α):
No triângulo BPQ, a distância PB = hipotenusa = y 2 2 2
2
2
y 2 (4 3)
y 4 48
y 52
y 2 13dm
Cateto opostosen
hipotenusa
2 1 13 13sen .
132 13 13 13
13sen
13
b) O ângulo da roda maior descreve um ângulo de 60°. Dessa forma a distância percorrida pela bicicleta numa volta completa da roda maior (360°) é,
60 60D 2 r dm
360 360
Comprimento da circunferência menor C2=2πr C2=2π2 C2=4π dm Seja α o ângulo descrito pelos raios da roda menor, e observe a relação envolvendo o comprimento da circunferência menor e a distância percorrida pela bicicleta:
2
360
D C
360
4
90
Comprimento da circunferência maior C1=2πr= C1=6π, A relação entre os comprimentos C1 e C2 é
1
2
C 6 31,5
C 4 2
Isso significa que a quando a volta maior dá uma volta completa, a roda menor dá 1,5 volta. Nessas condições, para 80 voltas da roda maior, a roda menor dará 1,5x80=120 voltas 21) Sendo L1 = 30 cm e L2 = 20 cm:
10 1tg
30 3
h 1,5tg
x
1 h 1,5
3 x
x 3h 4,5 i
10 1tg
20 2
h 1,5tg
x 10
1 h 1,5
2 x 10
x 10 2h 3
x 2h 7 ii
Juntando i e ii, temos:
3h 4,5 2h 7
3h 2h 7 4,5
h 11,5m
22) D x = OA0
1sen30
x
1 1
2 x
x 2
Ângulo Â0=60° y=A0A2
ycos60
1
1y 0,5
2
OA2=2-0,5=1,5
z=A2A3
zsen30
1,5
1 z
2 1,5
31,5 32z2 2 4
23) C Seja x o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaixo.
20
tg30x
3 20
3 x
x 20 3cm
Cada degrau mede 20 3cm de comprimento. Como o comprimento horizontal da escada é de
280 3cm , então, para calcular a quantidade de degraus, basta dividir o comprimento da escada pelo
comprimento do degrau.
280 3cm14
20 3cmdegraus
24) D
Considere x BE :
3,84cos16
x
3,840,96
x
3,84x 4m
0,96
Como o comprimento do telhado é de 4m, e esse comprimento deve ser formado por duas ecotelhas com 2,20m cada uma, portanto 2,2+2,2=4,4m. Logo, o transpasse será de 40cm 25) D
Seja x AD e y DO :
xsen60
r
3 x
2 r
3rx
2
3rAD
2
2
2 2
2
2 2
3ry r
2
3ry r
4
ry
2
r rDB r
2 2
rBE DO
2
3rCE r
2
3r r r 3rAD DB BE CE r
2 2 2 2
2rAD DB BE CE r
2
AD DB BE CE 2r 26) B
B 180 75 45 60 x = Distância do pontos A ao ponto C
8 x
sen45 sen60
8 x
2 3
2 2
x 2 8 3
2 2
x 2 2.8 3 8 3
2 2 2 2
8 3 2x .
2 2
x 4 6
27)
2 2 24 2 3 2.2.3cosB
16 4 9 12cosB
12cosB 13 16
1cosB
4
01 correto
2 2 23 2 4 2.2.4cosA
9 4 16 16cosA
16cosA 20 9
11cosA
16
02 correto
2 2 22 3 4 2.3.4cosC
4 9 16 24cosC
24cosC 25 4
7cosC
8
2 2
2 2
2
2
2
sen C cos C 1
sen C 1 cos C
7sen C 1
8
15sen C
64
15senC
8 04 correto
2 2
2 2
2
2
2
sen B cos B 1
sen B 1 cos B
1sen B 1
4
15sen B
16
15senC
4 08 correto
O triângulo ABC é obtusângulo, pois 1
cosB 90 B 1804
. (16 – correto)
Logo, a resposta correta é 01+02+04+08+16=31 28) A Com os dados o triângulo fica. Observe ainda que o ângulo 75° = 45°+30°
Para calcular os lados a fim de obter o perímetro, necessitaremos calcular o valor do seno de 75°. Utilizaremos o seno de arco duplo: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) sen75°=sen(45°+30°)
sen a b sen a cos b cos a sen b
sen 45 30 sen45 cos30 cos45 sen30
2 3 2 1sen 45 30 . .
2 2 2 2
6 2sen 45 30
4 4
6 2sen 45 30
4
6 2sen 75
4
2 a
sen45 sen60
2 a
2 3
2 2
3 a 22.
2 2
a 2 2 3
a 6
2 b
sen45 sen75
2 b
2 6 2
2 4
b 2 6 22
2 4
6 2b 2 4
4
b 2 6 2
6 2b
2
6 2b
2 2
b 3 1
Perímetro: P = a + b + c
P 2 3 1 6
P 3 3 6 cm
29) C
O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior lado. Com a Lei dos cossenos podemos calcular o cosseno de A:
2 2 28 4 6 2.4.6.cosA
48cosA 52 64
1cosA
4
2 2
2
2
sen A cos A 1
1sen A 1
4
2
2
1sen A 1
16
15sen A
16
15senA
4
30)
C 180 60 75 45
30 x
sen45 sen60
30 x
2 3
2 2
3 230. x
2 2
30 3 2x .
2 2
x 15 6
Seja y a altura do edifício CD .
ytg30
15 6
3 y
3 15 6
15 6 3y
3
y 5 18m
Agora, dividindo o resultado por 2 :
5 185 9 15m
2
31) B
6 8
sen30 senB
6 8
1 senB
2
86senB
2
6senB 4
2senB
3
32) C Esse triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Sem perda de generalidade considere o triângulo
2 2 21 2 2 2.2.2cos
8cos 8 1
7cos
8
2 2 22 2 1 2.2.1cos
4cos 5 4
1cos
4
Logo, os cossenos desses ângulos são: 1 1 7
, e 4 4 8
.
33) 12
3cosB
5
2 2
2
2
2
sen B cos B 1
3sen B 1
5
9sen B 1
25
2 16sen B
25
4senB
5
Pela lei dos cossenos:
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x (x 1) (x 2) 2(x 1)(x 2)cosB
3x x 2x 1 x 4x 4 2(x 2x x 2)
5
30 x 6x 5 (2x 4x 2x 4)
5
5x 30x 25 6x 12x 6x 120
5
2x 12x 13 0 ou
12
2
x 13x 12x 13 0
x 1 Não serve
Logo, os lados do triângulo são 13, 14 e 15. Agora basta calcular a altura y
ysenB
13 2
4 y
5 15
15.4y
5
y 12
34) D
Errata: Considere CBD=90° .
Observe que ABD 60 90 150 . Com a lei dos cossenos para cos150 cos30 e x=AD:
2 2 2
2
x 3 4 2.3.4( cos30 )
3x 9 16 24.
2
2x 15 12 3
x 15 12 3
35) A
Com o ângulo ABC 150 , podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância x=AC e cos150°=-cos30°
22 2x 300 3 200 2.300 3.200cosB
2
2
2
3x 90000.3 40000 120000 3.
2
x 270000 40000 60000.3
x 490000
x 700m
36) E
PSQ 60
PQS 30
Seja PQ=x:
xtg30
3
3 x
3 3
x 1
PQ 1
RS 12 x
RS 11
22 2
2
QS y
y 1 3
y 1 3
y 2
QS 2
22 2
2
QR z
z 12 3
z 144 3
z 147
QR 147
Aplicando a lei dos senos com sen(120°)=sen(60°) no triângulo QRS
11 147
sen sen60
11 147
sen 3
2
11 147 2.
sen 1 3
11 1472
sen 3
112 49
sen
112.7
sen
11sen
14
37)
OAP 120
BAP 60
APB 45
AP y
AB x
3 3 y
sen120 sen30
3 3 y
13
22
y 3 3 3
2 2
y 3 3 3
3 3 3 3 3 3y .
33 3
y 3 1
x 3 1
sen45 sen75
Pelo exercício 28, sen75°=6 2
sen754
x 3 1
2 6 2
2 4
2 3 1 4x . .
2 1 6 2
6 2 4x .
2 6 2
x 2
AB 2km
38)
1MB
2
1BN
2
No triângulo MBN dispomos da medida dos três lados. Dessa forma podemos utilizar a lei dos cossenos no
ângulo B : 2 2 2
14 1 1 1 12 cosB
4 2 2 2 2
7 1 1 2cos B
8 4 4 4
7 2 cos B
8 4 2
cos B 1 7
2 2 8
cos B 3
2 8
3cos B
2
A 180 B
3cos A cos(180º B)
2
Com a Lei dos cossenos em DAM :
Seja, x DM ¨
2
2 2
2
2
1 1x 1 2 .1cos A
2 2
1 3x 1
4 4
1 4 3x
4
2 2x
4
2x
2
39) B Errata, considere o ângulo 105° no lugar de 150°:
Considere primeiramente o triângulo ABC, com B 45 e x BC :
x 50
sen30 sen45º
x 50
1 2
2 2
2 50x
2 2
x 25 2
Agora, basta calcular a altura h do triângulo retângulo BDC.
hsen30
25 2
1 h
2 25 2
2h 25 2
h 12,5 2m
40) E O ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo do triângulo, nesse caso calculemos o cosseno relativo ao lado x+2:
2 22
2 2 2 2
2 2
x 2 x x 1 2x x 1 cos
(2x 2x)cos x x 2x 1 x 4x 4
(2x 2x)cos x 2x 3
2
2
x 2x 3cos
(2x 2x)
(x 1)(x 3)cos
2x(x 1)
(x 3)cos
2x
41) B É necessário calcular os lados x e y do triângulo:
Com perímetro medindo 20m,
22
x y 8 20
x y 12
y 12 x
y 12 x (1)
Lei dos cossenos com lado y:
2 2 2
2 2
y x 8 16x cos60
1y x 64 16x.
2
2 2y x 64 8x (2)
Utilizando a equação (1) em (2): 22
2 2
x 64 8x 12 x
x 64 8x 144 24x x
8x 24x 144 64
16x 80
x 5m
x y 12
5 y 12
y 7m
42) A
Seja x AB BC e pela lei dos cossenos em 30°, 2
2 2 2
22 2
3 1 x x 2x cos30
33 1 2x 2x .
2
22 2
2 2
33 1 2x 2x .
2
2x x 3 3 2 3 1
2
2
x 2 3 4 2 3
x 2 3 2 2 3
2
2
2 2 3x
2 3
x 2
x 2
Altura do triângulo ABC:
2
2 2
22
2
3 1x h
2
3 2 3 12 h
4
Para cálculo da área, vamos utilizar a fórmula:
AB.BC.sen30Área
2
12. 2.
2Área2
12.
2Área2
1Área
2
43) B O Triangulo AOC é retângulo com hipotenusa AC = 5. Nessas condições
2 2 2
2 2 2
OA OC AC
OC 5 3
OC 4
Seja α o ângulo OCD que é igual ao ângulo ODC . Então, o DOC 180 2
1sen
3
2 2
2
2
sen cos 1
1cos 1
3
2 1cos 1
9
2 2cos
3
Agora, para calcular a área do triângulo OCD, basta utilizar a mesma fórmula do exercício anterior, considerando que sen(180°-2α)= sen(2α). Devemos utilizar a fórmula: sen(2α)=2 sen(α).cos(α).
4.4.sen(2 )Área
2
4.4.2sen( ).cos( )Área
2
Área 16.sen( ).cos( )
1 2 2Área 16. .
3 3
32 2Área
9
44) B Utilizaremos uma fórmula da bissetriz (triângulo)
AC.AB ABISSETRIZ(A) .2Cos
2AC AB
Seja x=AB o
45
3x 902 .2Cos
3 x 2
2OBS: cos45
2
3x 22 .2
3 x 2
3x1 .1
3 x
3x 3 x
3x
2
Agora, basta utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa BC: 2 2 2
22
2
BC AC AB
3BC 3
2
2
2
9BC 9
4
45BC
4
45BC
4
3 5BC
2
45) C
2 2 2
(a b c)(a b c) 3ab
a ab ac ab b bc ac bc c 3ab
2 2 2a 2ab b c 3ab Isolando c:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a 2ab b c 3ab
c a 2ab b 3ab
c a b ab (A)
Mas pela lei dos cossenos em C :
2 2 2c a b 2abcos C (B)
Fazendo (A) = (B): 2 2 2 2a b 2abcosC a ab b
2 2 2 22abcosC a ab b a b
2abcosC ab
abcos C
2ab
1cos C
2
Logo, C 60 46) A Seja x=AB AC=3x
22 2
2 2
32 x (3x) 2.x.3x.cos
132 x 9x 6x .
3
2 2 2
2
32 x 9x 2x
32 8x
x 2
Então, AB é um inteiro par! Com a lei dos cossenos em β que é o ângulo oposto ao lado x:
22 22 6 32 2.6. 32.cos
4 36 32 12.4. 2.cos
48 2.cos 64
64cos
48 2
4 2cos .
3 2 2
4 2cos
3.2
2 2cos 0,942809
3
O Cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante, e como 1
0,942
, podemos concluir que o
ângulo 30 .
47) B
No triângulo BAD com a lei dos cossenos: 2 2 2
2
DB 13 46 2.13.46.cos120
DB 169 2116 1196cos120
2
2
1DB 2285 1196.
2
DB 2285 598
2DB 2883
DB 2883
DB 961.3
DB 31 3
BDAC
sen120
31 3AC
3
2
31 3 2AC .
1 3
AC 62 48) D
Pela lei dos senos, temos que a b c
sen sen sen, ou ainda escrevendo a mesma lei de forma
diferente,
sen a1 a c
sen c
sen a 3 5ab
sen b 5 3 ou
5cb
3
a b c 44
5cc c 44
3
5c2c 44
3
44c 3.
11
c 12
Como a=c, a 12
a b c 44
12 b 12 44
b 20
Maior lado, b=20. 49) D Seja b o lado oposto ao vértice B. Pela lei dos cossenos:
2 2 2
2
2
4 b 1 2.b.1cos x
16 b 1 2bcos x
b 2bcos x 15 0
Com a fórmula de Báscara: 2
2
( 2cos x) ( 2cos x) 4.1.( 15)b
2.1
2cos x 4cos x 60b
2
2
2
2cos x 4(cos x 15)b
2
2cos x 2 cos x 15b
2
2b cos x cos x 15
Interessante que até aqui já dispomos de um resultado válido, no entanto aplicando a igualdade fundamental da trigonometria:
2 2
2 2
cos x sen x 1
cos x 1 sen x
2
2
b cos x 1 sen x 15
b cos x 16 sen x
50) B
51) E
O é o centro da circunferência de raio AO=OB
Como o comprimento de arco menor AB é 1cm, o perímetro em cm é igual:
2 .1 1 1 1 2 1
52) C
2 2
2
2
2
12sen(x)
13
sen x cos x 1
12cos x 1
13
144cos x 1
169
2 25cos x
169
5cos x
13
Resposta: 5
3, pois está no segundo quadrante.
53) A
4 3sen(x) , x 2
5 2
tg x = ? 2 2
2
2
2
sen x cos x 1
4cos x 1
5
16cos x 1
25
3cos x
5
sen(x) 4 5 4tg(x) .
cos(x) 5 3 3
4tg(x)
3
54)
2 2
2
2
2
2
3cos
5
sen x cos x 1
3sen x 1
5
9sen x 1
25
16sen x
25
4senx
5
sen(x) 4 5 4tgx .
cos(x) 5 3 3
4tgx
3
55) E Dividimos 4555° por 360°, e analisamos o resto da divisão = 235°. Este é o ângulo equivalente e está no terceiro quadrante, e seu ângulo côngruo é 4555°-360° = 4195°. 56) A
sen(x) 2m 3
0 2m 3 1
3 2m 1 3
3 2m 4
3m 2
2
57) sen(x) 1
37 2sen(x) 37 2( 1) 37 2y 13
3 3 3
y 13
58) C
,2
3m 1cos
4
3m 11 0
4
4 3m 1 0
4 1 3m 1
3 3m 1
11 m
3
59) C
1 2k 1 0
1 1 2k 1
0 2k 1
10 k
2
60) A
sen 0 e cos 0 3 Q
cos 0 e tg 0 2 Q
sen 0 e cot g 0 1 Q
61) C
I. sen 1 < sen 3 (falso)
II. cos 1 < cos 3 (falso)
III. cós 1< sem 1 (verdadeiro)
62) 23
7
sen40 sen320 .log13
243 15
Temos que:
sen 320° = -sen 40°
Então, 23 23 23
23
7 7 7
sen40 sen40 .log13 0.log13 00 0
243 15 243 15 243 15
63)
(V) 2 2sen x cos x 1
Relação fundamental
(F) 2 2senx sen x
sen(x.x) ≠ senx.senx
(V) 2 2senx (senx)
(V) cos3 0
(V) sen17°=cos73°
sen(x)=cos(90°-x)
(V) sen220°+ sen
270°=1
sen70°=cos20°
Relação fundamental
(V)tg40°.tg50°=1
sen40 cos50Considere : ,
cos 40 sen50
sen40 sen50 cos50 sen50. = . 1
cos 40 cos50 sen50 cos50
64) Alternativa falsa.
cos x 0 e tgx 0 , então 3
x2 2
x2
65)
AB
AB
2 raC
360
2 .60.aC 124
360
a 120
1cos120 cos60º
2
66) D
Da letra A à R teremos 18 cadeiras
Move-se 5
6 de uma volta
518. 15 P
6
67)
I. cos(-x)=-cos(x) Falso
II. cos x sen(x)2
Verdadeiro
III. cos( x) cos(x) 0
cos(x) cos(x) 0 Verdadeiro
68) A
sen(a) cos , então a2
I. a 2k2
Verdadeiro
2k2 2
II. 2 2sen a sen 1 Verdadeiro
2 2
sen(a) sen cos2
cos sen 1
III. sen( a) cos( ) Falso
69) 12
01. Falso,
sen315 sen45
7sen sen
4 4
02. Falso
180
1 x
3,14x 180
x 57,32
04. Verdadeiro
1h20min
min = 4.30°=120°
horas = 30°+10° = 40°
120° - 40°=80°
08. Verdadeiro
2r = 28
L = 12cm
R=14cm
12 = 14.a
12 6a 1
14 7
16. Falso
5
p.d.p rad4
Soma: 04 + 08 = 12
70) C
Dados um triângulo de lados a, b e c; a relação entre a medida da mediana relativa à hipotenusa: 2 2 2
2 2(b c ) am
4, como o triângulo é retângulo, e ‘a’ for a hipotenusa, logo:
2 22 2a a
m4
22 a
m4 triângulo proposto
2m bc
2abc
4
a a 1 1(cos )(cos )
b a 4 4
Mas , são ângulos complementares, pois o triângulo é retângulo. sen cos .
1 1 1(cos )(cos ) 2(cos )(cos ) sen(2 )
4 2 2
2 2
2
sen (2 ) cos (2 ) 1
1 3cos (2 ) 1 cos(2 )
4 2
A resposta negativa não tem validade, pois o ângulo está no primeiro quadrante.
Usando a relação trigonométrica:2 1 cos(2 )
cos ( )2
:
2
2
31
2cos ( )
2
2 3
2cos ( )
2
2 2 3cos ( )
4
2 3cos( )
4
71) C
3,14
N 1 ?
2.3,14N 7,85
0,8
Logo, o maior valor de N é 7.
Com isso,
7.0,8 a 2
5,6 a 2.3,14
a 0,68
72) B
5.2 R 5 RRestaurante
12 6Maria
4.2 R 4 RLanchonete
12 6
Restaurante 2R
Carmem 2 R 12R R R(12 )Lanchonete 2R 1.
12 6 6
2 R 12R 2 R R(12 2 )Restaurante 2R 2.
12 6 6Sérgio
2 R 12R R R(12 )Lanchonete 2R 1.
12 6 6
I. Correta
II. Correta
III. Correta
73) A
AB 60°
2 R 2.3.6400.60L 6400km
360 360
BC 45°
2 R 2.3.6400.45L 4800km
360 360
ABC = 6400 + 4800
ABC = 11.200km
74)
2 R 2 R 90 2.3.6400 RL 9600
360 360 4
L 9600km