of 141/141

Г43 - mi.sanu.ac.rs

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Г43 - mi.sanu.ac.rs

POSEBNA IZDA N 14
u ugu : , . rry .
­ , , . , . , , , , .
L'Institut math6matique de Beograd dans ses Editions speciales ( ) fera paraitre des monographies sur des problemes de Math6matiques et dc Mechanique, des articles plus etendus etc. Les Editions speciales sont pas periodiques.
,
R z t :
Dr Stevo Kom/jenovic, v nauc:!ni' saradnik Maternati~kog instituta u eogradu Dr Marko Leko, profesor Prirodno-rnaternatiaog fakulteta u eogradu
Primljeno 119. sednici Naucnog veca Matematickog instituta 25. decem­ bra 1980. godine.
Tehnicki urednik: n Cavcic
Republicka zajednica nauke SR Srbije ucestvovala u troskovima izda­ vanja ove pubIikacije.
Prerna rnnju RepubIi~kog sekretarijata za kuIturu SR Srbije, ova pubIikacija osIobol1ena poreza prornet.
.<1 f II1 • ,~I· ,,' I •.
PREDGOVOR
Ideja potrebi pisanja jedne ovakve opseZnije studije javila se u men pocetkom sedamdesetih godina i nametnula se narocito jugoslovenskom kongresu racionalne i primenjene mehanike. Na tom naucnom skupu u Ohridu 1974. godine' u uvodnom delu svog saopstenja pod naslovom "KOVARI­ JANTNOST U DINAMICI" iskazao sam misao, koju sam razvio i u monografiji, i to: "Polazeci od stanovista da mehanika kao teorijska nauka odreduje izvesne prirodne zakone kretanja objekata, koji realno ne zavise od sistema posmatranja i opisivanja, logicno postaviti zahtev da isti dinamicki zakoni kretanja budu jednako ili sIicno opisani u svim sistemima koordinata. donekle postignuto za diferencjjalne izraze pojedinih karakteristika ­ tanja ne i u potpunosti; pogotovo ako rec rezultatima koje dobija­ integralenjem diferencijalnih jednacina kretanja. Ovim radom se ukazuje rezultate koji sa tog stanovi8ta upotpunjuju dinamiku; cine kovarijantnom teorijom koja u raznim sistemima koordinata opisuje pojedina kretanja istim ili sIicnim matematickim izrazima. se uspelo zahvaljujuci uvodenju apsolutnog sintegrala tenzorski racun, koji m svojstvo kovarijantnosti. S obzirom da bila vektorska, to jest tenzorska invarijanta, te da su i drugi diferencijalni izrazi u kojima se javljaju siIe, vektorskog karaktera, pokazalo se relativno Iakim da se m ovog apsolutnog integrala otkloni ta nedoradenost mehanike i da dobijemo jednu celovitu kovarijantnu dinamiku".
Naucna analiza ovog pitanja samom Kongresu, kao i kasnija krugu svojih kolega Institutu za mehaniku Prirodno-matematickog fakulteta ­ gradu i matematickog instituta u Beogradu, pokazaIi su da problem kovari­ jantnosti mehanike znatno slozenije prirode, nego 8to moglo izgledati sa sta­ novista LagranZove anaIiticke mehanike; to narocito kad se kretanje sistema posmatra Rimanovim mnogostrukostima.
studija najvecem delu sadrzi rezultate m istraZivanja koji su objavljeni radovima navedenim spisku literature, su povezani dodatnim znanjem, tako da cini jednu celinu koja odgovara naslovu knjige. Osnovne ­ zultate, koji su objavljeni u naucnim Casopisima iz oblasti, mogla zbog svoje uobicajene konciznosti da prati izvesna nejasnost, kao i omaske u racu­ m ili primenama. Op8irnije 8 tih rezultata moguce l napisati samo u okviru jedne opseznije studije, kao 8to ova, l ovde toliko da gradivo knjige mogl0 biti pristupacno citaocu bez visoke ucenosti iz oblasti mehanike i matematike.
U krugu svojih m uvazenih kolega razmatranju opisane blm­ tika nailazio sam korisnu naucnu kritiku koja doprinela re8enju pojedinih pitanja i otklanjanju nekih greSaka. uCn pitanja su se u sustini
4
odnosila vektorsku prirodu vektora polozaja tacke i stepen valjanosti apsolutnog integralenja u raznim prostorima i koordinatnim sistemjma u kojima se opisuje mehanicko kretanje. Zbog toga tim pitanjima dato dodatno objas­ kraju knjige.
Rukopis knjige u celosti su procitali: akademik prof. dr Tatomir . Andelic, prof. dr Marko Leko, visi Cn saradnik dr Stevo Komljenovic, pojedine delove dopisni clan Akademije nauka SSSR prof. dr Valentin . Ru­ (deo zakonu energtie reonomnog sistema) i prof. dr Jaric (deo kretanju krutog tela), koji su svojim primedbama mnogo doprineli lnj teksta i otklanjanju nedostataka. Posebno sam duzan da istaknem trud recezenta kolege dr Marka Leko, koji analizirao skoro svaku recenicu uvodnog i prvog dela knjige i dao broj prihvatljivih primedbi. ­ kode sam zahvalan prof. dr Zlatku Jankovicu povoljnom opstem misljenju sadr.zaju knjige koju prilike da pregleda u rukopisu.
Na tehnickoj pripremi rukopisa za stampu nesebicno su pomogli Mirjana ili i Milan mnogo zahvaljujem. Posebno sam ­ lan i kolektivu Beogradskog grafickog zavoda za uspesan rad stampanju knjige.
Stampanje i izdavanje monografije omoguceno finansijskim sreds­ tvima Matematickog instituta u Beogradu i Republicke zajednice nauke Srbije, 8to vise obavezuje od toplih reci zahvalnosti.
Otkucani tekst monografije predat Matematickom institutu u Beogradu 7. septembra 1979. godine. Stampanjeje l marta 1981. zavrSeno septembra 1981. godine.
Veljko .
Pojmovi .............................................. 7
1. Vektor poloZaja mehanicke tacke .............. " . . . . . . . . . . 9 2. Kovarijantni izvod koordinata vektora pol0Zaja.. . . . . . . .. . . . . 17 3. Paralelno pomeranje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Integralenje kovarijantnog diferencijala vektora polozaja ...... 23 5. Kovarijantna brzina tacke ........ " ............ ~ . . . . . . . . . 25 6. Impuls kretanja dinamicke tacke .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . 27 7. Mehanicka tacka potprostorima .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 29 8. Autoparalelno vektora brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9. Rastojanje izmedu tacaka ................................ 32
DINAMlA
Axiomata sive leges motus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10. Kretanje tacke u odsutnosti si]a .......................... 35 11. Jednacine ravnoteze tacke .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
- Kovarijantne jednacine ravnoteznog oblika nerastegljive niti .... " ........ " .... " .................... " 44
12. Kovarijantne diferencijalne jednacine kretanja tacke i integra1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 45
Kovarijantni integrali kretanja tacke . . . . . . . . . . . . . . 46 Kovarijantno konstantni impulsi kretanja ... . . . . . . . 49 Kovarijantne jednacine Gvih transformacija .... 50
- Opstiji kovarijantni integra1i diferencijalnih jednacina kretanja tacke .... . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13. Kovarijantno 1inearne jednacine kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 14. Invarijantni integrali .................................... 55 15. Fazni bivektor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 16. Invarijantni kriterij stabilnosti kretanja i ravnoteznog stanja
taCke .... " ., ............ " .... " ., ...... " .... " .. .. .. 58
6
Strana
DINAMIKA SISTEMA
20. Uvodne napomene .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72 21. Vektor poloZaja reprezentativne tacke .. " .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73 22. Brzina sistema .... " . . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. . . .. 76 23. Impuls kretanja sistema .............. " .. .. .. .. .. .. .. .. .. 77 24. Kovarijantne diferencijalne jednacine kretanja holonomnog sistema 79
- Kovarijantne diferencijaIne jednacine sa kUm veza 80 - Kretanje sistema u potprostoru .............. .. .. 82
25. ReakcUe holonomnih veza sistema ........................ 84 26. Kovarijantne diferencijalne jednacine nestacionarnog sistema.. . . 87
- Kovarijantne diferencijaIne jednacine kretanja.. .. .. .. 87 - Kretanje neholonomnog sistema potprostorima . . . . 90
27. Opsti apsolutni integrali sistema .......................... 94
- IntegraI energije sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 - Kovarijantno konstantni impuIsi kretanja .......... 98 - Neki kovarijantni integra1i.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
28. Kretanje sistema u faznom prostoru ...................... 100 - Male iI.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 103 - vazinelinearne oscilacije sistema .. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
29. Kovarijantne diferencijalne jednacine poremeeenog kretanja . . . . 108 30. Invarijantni kriterij stabilnosti .......................... 111
- StabiInost ravnoteznog stanja sistema .............. 112 Stabilnost stacionarnih kretanja sistema ............ 114
- Stabilnost kretanja sistema.. . . .. . . . . .. .. . . . . . . . . . . 114
31. Kovarijantni integrali iIingovih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 32. DiferencijaIne jednacine kretanja krutog tela .. . . . . . . . . . . . . . . 118
PRILOG TENZORSKOM RACUNU
. Uvodne " ............................... ~ .. .. 121 l. Apsolutni integral tenzora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. 123 2. Kovarijantni integral tenzora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 126
POGOVOR ...................... "........ .... ...... .... .. .. .... 130
UVOD U KOVARIJANNU DINAMIKU
. . Pod dinamika podrazumevamo prirodnu i matema­ ticku nauku koja se sastoji od racionalno-logicki povezanih . kretanju i1i reIativnom mirovanju geometrijski modeliranih objekata prostoru i vremenu pod dejstvom onog prirodnog fenomena koje covek nazvao sila. takva Iogicko-matematicka teorija koja sa velikom tacnoscu odraZava objektivne zakone kretanja i mirovanja realnih tela prirodi. Zbog toga samo teo­ rijska nego i primenjena nauka te stavovi zaIaze i druge obIasti ­ nj nauka. Nazvana i kIasicnom, zato sto prevazidena iIi teorija zavrsena, nego sto se otkriveni koriste sada kao i pros­ Iosti. Subjektivno uvedeni m siIe, kojem ik i dobiIa , podIoZan z formuIacije smisIu racionaInih teorija samo toIiko, koIiko uopstava utvrdene zakone kretanja.
U postojecoj dinamici, medutim, dokazi se izvode jednako razIicitim sistemima koordinata. Izmena koordinatnih sistema posmatranja bez sumnje uticati promenu prirodnog kretanja reaInog objekta, te i dinamici kao i svakoj teoriji predstoji upotpunjavanje saznajnim rezuItatima. Takav priIog predstavlja i studija, kojom se nastoje otkIoniti nedostaci dinamike pri transformacijama raznim koordinatnim sistemima i matematickim prostorima.
Zato pod m kovarijantna dinamika podrazmevamo dinamiku se tvrdnje kretanju njenih objekata iskazuju obIiku jednakim izrazima, istim uopstenim zdruzenim matematicki1n m (varima) svim koordi­ natnim sistemima.
Pod dinamickim objektom podrazumevamo model tela skup tela koja dejstvuju jedno drugo. Dinamicki objekt razmatranju dinamicka tacka, dinamicki sistem i dinamicko kruto teIo. Nije sIucajno izostao termin materijalna tacka, upotrebIjen termin dinamicke tacka; s1uZicemo se i mehanicka tacka. razIikovati tri , kao i kinema­ ticka tacka i repr~zentativna tacka.
Materijalna tacka , za nas, svaka tacka materijaInog sveta kako se materija manifestovala .
Mehanicka tacka eIement mnostva svih tacaka, iIi tackom predstavljenih medusobno povezanih tacaka, stanje kretanja ili ravnoteze i
mehanika. mehanicka tacka uzi od rnaterijalne tacke.
inematicka tacka svaka tacka u prostoru i vremenu nezavisno od sila.
7
8 Veljko Vujicic
Dinamicka tacka element mnostva mebanickih tacaka u kojem dejstvuju sile, ili pak, tacka koja reprezentuje napadnu tacku rezultantne sile. Prema opredeljenju za dinamicku tacku uvek vezan sile. Tako, dok kinema­ tickoj tacki pripisujemo prostorno koordinate i vreme, dotle dinamickoj tacki. pored poloZaja u prostoru i vremenu ili samo u prostoru, pridrufujemo masu ili vektor sile.
Reprezentativna dinamicka tacka l samo reprezentativna tacka izracu­ nata ili izvedena tacka koja se podudara sa skupom najmanjeg broja koordinata kojim se odreduje poloZaj jedne i vise dinamickih tacaka. Ona moze mora da pripada mnostvu taeaka dinamickog objekta.
Dinamicki sistem ili sistem dinamickih tacaka mnostvo dinamickih ta­ caka koje su povezane medu sobom odredenim vezama. dinamickog sistema u opstem smislu blizak dinamickog objekta, ti nisu identicni. Dinamicki sistem uzi od dinamickog kta samo utoliko, ukoIiko izraZavamo rnnostvo dinamickih taeaka, makar to samo jedna, u prisustvu veza; dinamicki objekt ne mora da ukljucuje i veze u svoje . Isto tako i ako dinamickog sistema opstiji od dinamickog tela, ipak i tela izdvojiti kao pose­ dinarnicki objekat .
. Dinamicko telo ili telo, ako se izlaze u okviru dinamike, svako telQ koje se nalazi u uzajamnom dejstvu se drugim telima.
Svi definisani ostaju sacuvani u transformacijama koje ovde razmatramo, te kao takvi ostaju invarijantni u smislu naSe uslovljenos.ti.
kao 8to su: profftor, vreme, masa, sila ne predstavljaju objektivno samosta]ne, za sebe izdvojene, kretanja te]a, nego su uzajamno povezane kategorije. Njih okarakterisati zakonima kojima su oni povezani u uza­ dejstvu tela. uzajamne odnose mehanickih objekata koje iskazujemo kinematickim : polozajem jednog objekta prema drugom, m brzine i ubrzanja, ili dinamickim impulsa kretanja i sile opisujemo vektorima tenzorima sa zahtevom da pri svim upotrebljenim matematickim transformacijama zadrze svoju objektivnu, to znaci tenzorsku prirodu, tj. da budu kovarijantni. Pri tome se svakako mora voditi racuna objektivnoj osobini svakog pojedinacnog vektora, jer dok su za jedne vektore njihovi kra­ u posmatranoj tacki koja se kreee, dotle za druge vektQfe ta tacka ­ cetak vektora. U jednom slueaju mebanika posmatra sve osobine datog kretanja, u drugom, geometrizovanom, uzima u razmatranje samo pojedine komponente prisutnih vektora. U zavisnosti od toga kojih i koliko koordinata - parametara, koordinata vektora ili te.nzora se proucava kretanje sistema rni, u cilju kraceg i jasnijeg sporazumevanja, koristimo matem~ticke pojedinih skupova su elementi: 1. koordinate poloZaja dinamickih taeaka sistema, l
2. koordinate dinamickih tacaka i vreme, . koordinate dinamickih tacaka i koordinate vektora impulsa kretanja; 4. koordinate poloZaja dinamickih tacaka, koordinate vektora impu]sa kretanja i vremena. Umesto naz "skupovi" u mehanici su stariji i rasprosranjeniji naz "prostori". Zato u daljem izlaganju koristiti i m prostora sa nastojanjem da, gde god to u na80j mogucnosti, u razmatranju odrazimo opaZajni prostor, koji trodimenzioni vreme jednodimenziono.
Kovarijantna dinamika 9
1. Vektor polozaja mehanicke tacke
za odredivanje poloiaja mehanicke tacke neophodno da odredimo bazu iz koje se posmatra kretanje date tacke, odnosno prema kojoj se odreduje krc­ tanje. baza svakom objektivnom slucaju prcdstavJja neko materijaJno telo, koje na neki nacin orjentisano prema drugim teJima i koje se nekako krcce. U teorijskom slucaju baza moze da bude uredeni sistem matematickih koji zadovoJjava uslove posmatranog mehanickog kretanja. Dok ne bude drugacije receno pretpostaviti da se ta baza krece tako da su njoj svi sistemi, koji su moguci, sme5teni ravnopravno. znaci da objektivno kretanje ostajc svojoj prirodi onakvo kakvo , bez obzira koji sistem koordinata posmatrac izabere. Ogranicenje pravimo samo . tom smislu 5to biramo inercijsku bazu. Pod inercijskom bazom, prema tome i inel'cijskim koordinatnim siskmima, podrazumevati onu bazu se impuls kretanja ne menja ako se medu­ sobni uticaji sila njoj ponistavaju; cdsutno dejstvo sila. za Ul'edenje sistema, koji misaono uzimamo kao inercijsku bazu, potrebno i dovoljno da se iza­ bere jedna tacka i od nj tri orijentisana pravca. Tacka moze biti proizvoljno izabrana inercijskoj bazi i pripada oblasti inercijske baze, 5to znaci da se krece isto kao i inercijska baza. , rec;mo bazna tacka presek tri prave koje, svaku ponaosob, orjenti5e jedan od tri linearno nezavisna vektora. Neka to budu bazni vektori , 2 , 3' kojj zadovoljavaju sledece relacije ska­ larnih proizvcda vektora
.. .= 8iJ= {, , 1,
i=j:;j,
=. (1.1)
U realnosti, primer, pri posmatranju kretanja tela prema Zemlji orjenti­ sani pravci mogu biti priblizno tacno usmereni prema tri zvezde nekretnice. * Vektori u kojih orjentisana baza ostaju nepromenjjvi u odnosu prividno nepokretna inercijska tela posmatranom intervalu vremena, 5to iskaziti izrazom / = const i ujedno uslovom da izvod vremenu baznih vektora jednak nu1i,
de/=O, dt
0=1,2,3). (1.2)
baznih vektora i skupa realnih brojeva R odredujemo poloiaje tacaka odnosu izabranu inercijsku bazu. Oznacimo izabranu polaznu tacku slovom , tacku poloiaj odredujemo odnosu slovom . Paru tacaka () odgovara jedinstvena prava; neka to bude prava 1 , koja orjenti­ tana jedinicnim vektorom 1 • U skupu R postoji takav broj r1=Y.k proizvod sa vektorom cini vektor rkoji poJazi od tacke do tacke , tj. 'M=r.ke j = =y.ke j • Ako tacka ne pripada pravoj 1 , uvek moguce ravni 2 , kojoj pripadaju prava 1 i tacka , kroz tacku neku drugu pravu 2 2 , koju orjentisati u baznog vektora 2 tako da zbir Y.ke1 + yLe2 ,
TMER, odreduje vektor 'M=y.ke1 + yLe2 koji polazi od tacke tacku , te odreduje poloiaj tacke odnosu tacku . Ukoliko pak tacka ne pripada ravni 2 i nalazi se prostoru izvan ravni 2 , njen poloiaj odrediti jos treceg broja r1=YM ER, , i treceg baznog
k k ····V I • .2 3 i / d tora , I orJentIse pravu , '=l +2+=i=i g
*) Vidi [15]
10 Veljko VujiCic
su ovde 1== 1,2, 3), ponovljeni indeksi su indeksi sabiranja. Na taj na i poloZaje drugih taeaka u odredujemo vektorom
ili (1.3)
dimenzija d () = 3. vektor kojim odredujemo poloZaj tacke u odnosu tacku nazivamo vektor p%zaja tacke.
~~--+~
---+ --to --+ ~
1 =1 + =1 + i=zi /"
Odavde se jasno vidi da se vektor poloZaja, recimo
-= ,=zl -1 ,
kao razlika druga dva vektora, odroouje jednoznacno skupom tri realna broja i tri linearno nezavisna vektora. Neophodno za to jos izabrati baznu tacku ili l poeetak vektora polozaja, sto i ni izborom bazne tacke, tim sto toj tacki pridruziti jedinstveni prazan skup 6 = {, , }. S obzi­ rom na proizvoljnost izbora tacaka i 1 U inercijskoj , izaberimo neka
----.. =1 u kom slucaju vektor 1 = . Na taj nacin jedinstveno uredeni sistem (, , ) pisaCemo prostije (, ).
Skup brojeva = {!, 2, 3} nazivamo koordinate tacke , skup brojeva riER koordinate vektora p%zaja ; za skup baznih vektora = (l' 2 , ) uobieajen naziv vektorska baza ili samo baza. zn vektore Cesto nazivaju osnovni koordinatni vektori samo osnovni vektori, ose tih vektora koordi­ natne ose. Uredeni par. = (, ), na nacin kako to opisano nazivacemo koordinatni sistem. Svi vektori koje obrazuju linearno bazni vektori pripadaju linearnom vektorskom prostoru i1i samo linearnom ili afinom prostoru ", gde pokazuje broj dimenzija tog prostora; za prostor " koji generise trodimenziona baza afini prostor 3. ~ za linearni vektorski prostor u kojem fiksiran koordinatni pocetaklkafu rea/ni 1inearni prostor R", podrazumevajuci pri tom da su koordinate vektora realni brojevi. Tako za dosadasnja naSa razmatranja mozemo da kaZemo da vektor poloZaja taeke element trodimenzionog realnog vektorskog prostora R3.
Kovarijantna dinamika 11
Parcijalni izvodirvektora (1.3) koordinatama yk i Zk (k= 1,2,3) tacke dovode do zakona' linearne transformacije jedn' baznih vektora u druge, i to:
(1.4) zi ~
k=- ~ ... ~ k 1t".I': ?:~ .. /~l·
Ako vektore (1.4) zamenimo u relaciju O~3) 4~~lki:,tfnsfor­ ~ac~e koordi~ta vekto:a poIoiaja r i ~,koordin~ si~temu (, e};·;~/.~9~em ' = , pomocu krdt vektora ;' lZ krdtngSlstma (z, ), u m ; = zj, i obratno, tj. ""
i1i, 8tO u ovom slucaju isto,
-' z' k '=-
(1.5)
(1.6)
Skalarnim mnozenjem vektora (1.3) vektorom ek dobijamo projekciju vek­ tora r osi koju orjenti8e vektor ek , i to
odavde (1.7)
gde Cjk = i • ek' Isto tako skalamim mnozenjem vektora (1.3) vektorom k dobijamo projekciju vektora r koordinatnoj osi vektora k ' i to
(1.8) gde
(i, k= 1,2,3). (1.9)
Zamenimo Ii parcijalne izvode = Cjk' koje mozemo da dobijemo iz zk
(1.7), u izraz (1.8) dobieemo zakon transformacije projekcija rk i ;k vektora r iz jednog koordinatnog sistema u drugi, i to
(1.10)
Relacije (1.7) i (1.8) pokazuju da projekcije k vektora R u koordinatnom sistemu (z, ) nisu jednake koordinatama tacke Zk, kao 8tO to slucaj sa koordinatama r k tog vektora ukoliko k:;68ik , odnosno ako koor­ dinatni sistem (z, ) nije ortonormiran, kao 8tO to naSem izboru kOOl'di­ natni sistem (, ). Projekcije vektora (1.10) podlezu transformacijama i kovarijantni bazni vektori (1.4), ih nazivamo kovarijantnim koordinatama vektora polozaja, za razliku od koordinata iIi kontravarijantnih koordinata vek­ tora r k koje podlez transformacijama oblika (1.5). Bazni vektori u transfor-
12 Veljko VujiCic
(1.4) zadovoljavaju uslov inercijske baze (1.2). Zaista, u posmatranim
koordinatnim sistemima i Z elementi matrice transformacije { } = {c jk } su zk
konstantni, , (1.4) i (1.2),
• • dCjk Jer --= . dt
dk=!!... () .+ de; =0 dt dt zk • zk dt
(1.11)
Koordinatni sistemi i Z su pravolinijski. Medutim, nameee se potrcba da se izabere takav koordinatni sistem prema kojem najlakSe opisivati i posmatrati kretanje dinamickog objekta. Pravolinijsko kretanje lakse opisivati prcma pravolinijskom koordinatnom sistemu nego u krivolinijskom, ali lakse posmatrati sferno kretanje tacke prema polarno sfernom sistemu koordinata, l spiralno kretanje prema polarno-cilindarskom sistemu koordinata, nego prema pravolinijskom. Ako smo orijentisali inercijsku bazu koordinatnim sistemom (, ) koji podleze uslovima (1.1) i (1.2) i ako postoji preslikavanje koordinata tacke u njene krivolinijske koordinate = {1 , 2 , 3}, smetnji za preslikavanje koordinata vektora poloiaja r tacke iz koordinatnog sistema (, ), u neki koordinatni sistem (, g), gde su g={gl' g2' g}R osnovni koordinatni vektori, s obzirom da se vektor preslikava preslikavanjem krajnjih tacaka. Krivolinijske koordinat~ orijentisac:::mo osnovnim koordinatnim vektorima gj s tim da izmedu koordinatnih vektora g/ i baznih vektora postoji trans­ formacija oblika (1.4) pri Cemu treba da budu zadovoljeni uslovi (1.2).
Pomocu novih koordinatnih vektora gj vektor poloiaja r napisimo, kao i do sada, u obliku
= 1,2,3), (1.12)
gde su koordinate vektora polozaja u krivolinijskom koordinatnom sistemu = (, g). Rezervisemo l za oznake koordinata vektora polozaja r u koordi­ natnom sistemu Dekartove koordinate , s obzirom da su u tom sistemu koordinate tacke i koordinate vektora / jednake, mozemo da pisemo
(1.13)
(1.14) sledi
k (1.15)
odakle se vidi da ' vektor r razlozen pomocu tri vektora - -
1 ' 2 ' 3
g/=- .'
Zbog (1.15) (1.16) relaciju (1.13) mozemo da piSemo u obIiku
. .' , . ' . ';=' yi k =' yi gk=r'g;. ( 1.17)
Odavde se vidi da koordinate , ! vektora polozaja r tacke u krivolinijskom koordinatnom sistemu mozemo da izracunavamo m Iinearne trans­ formacije
' rk=yl-. =rk(x\ 2 ),
' I yi=yi () (1.18)
i transformacija (1.14). Isto tako iz reJacije (1.17) sIedi transformacija baznih vektora ek m koordinatnih vektora gk
(1.19)
samo toliko 8to su u relacijama (1.19) elementi matrice transformacije*) { :~ }
[nk koordinata . Prema tome i koordinatni vektori l su [nk koordi­ nata ,
(1.21)
8to nUe slucaj sa konstantnim baznim vektorima koji, kao takvi, zadovolja­ uslove (1.11), tj. (1.2).
Projekciju ili kovarijantnu koordinatu rk vektora polozaja r = , osu koordinatnog vektora gk dobijamo kao proizvod skalarnog mnozenja vektora r i gk' tj.
ili (.22)
(i, k= 1,2, 3). (1.23)
metricki tenzor prostora . Pri postojanju slivnj :-+-, ako se uze u obzir (1.1) i (1.16), kovarijantl'i.e koordinate metrickog tenzora glk odredujemo l
(i,j, k, = 1,2,3). (1.24)
*) Vidi, primer, [1], str. 29.
14 Veljko Vujicic
Uzmemo li jos u obzir (1.18), pri (1.14), kovarijantne koordinate 'k vektora poloZaja r mogu da odreduju relacije
} 'k=8/}yI-. (1.25)
k
N=j
l=. (1.27)
Pogledajmo jos sta relacije (1.2) nepromenljivosti baznih vektora ; u toku vremena t impliciraju kod koordinatnih vektora g;. Podimo od relacija
(1.19) i odredimo izvod vremenu od gk= yl ;; s obzirom na (1.2) do­ k

Pri tom da su YI Dekartove pravougle koordinate, sto smo i mi usvoji1i, 2 YI yl
postoje relacije povezanosti = r{k -, dalje sledi '
k 1
(1.28)
pokazuje da apsolutni izvod vremenu uvedenih koordinatnih vektora gk jednak nuli.
Na taj nacin pri usvojenim koordinatnim vektorima ;, koji mogu biti odredeni relacijama (1.14) i (1.19), posmatramo vektor poloZaja r tacke u prostoru njegovih koordinata " i kovarijantnih koordinata ',. Tako primer:
1. U pravolinijskom sistemu koordinata z' (= 1,2,3) tacke , koje su sa Dekartovim koordinatama YI povezane linearnim relacijama YI = A~ zJ, A~ = = const. i kad za koordinate z, osnovu (1.25) sledi da su ko­ varijantne koordinate vektora poloZaja
gde
2. U cilindarskom sistemu koordinata 1 =', 2 = q>, = Z.
l = 'cos q>, 2 =, sinq>, =z;
'1 =', '2=0, ,=z;
1 1
,2 ~ gl}= 1
g/j= ,2
. U sfernom sistemu koordinata 1 =', 2 = q>, 3 = 6,
l = , sin q> cos 6, 2 =, sin q> sin 6, 3 = , cos q>;
{

5. U obrtno-paraboloidnom sistemu koordinata 1 =~, 2 ="1), = .
1 = _ (~2 _ "1)2);
16 Veljko Vuji~ic
- 2 '
6. U bipolarnom sistemu koordinata xl=~, x 2='rj, = (O~~~oo, O~'rj~21t, 0~e~21t).
1 = sh ~ cos ch ~-cos'rj
sh~ sin 2= ---
ch~-cos'rj ,
-2 sh ~cos'rj '2 = - 2 ch ~ sin 'rj , ,=0; '\- , (ch ~ - cos 'rj2) (h~-S'rj2)
ch ~
(ch ~ - cos 'rj)2
7. U cilindarsko-ortogonalnom sistemu koordinata !, 2, 3 = z.
1 = f1 (1, 2), 2 = f2 (!, 2), 3 = z;
( 1)2 + (.!L)2 1 1

2. Kovarijantni od koordinata vektora pololaja
Pod nazivom kovarijantni izvod koordinata vektora polozaja ta15ke podra­ zumevamo kovarijantni izvod bilo kovarijantnih '1' bilo kontravarUantnih koor­ dinata , I ovog vektora r koordinatama xk tacke u posmatranom koordi­ natnom sistemu u kojem se razlaZe vektor . U cilju jasnUeg sagledavanja ovog kovarijantnog izvoda podimo od izraza (1.25) i izracunajmo njegov parcijalni izvod koordinatama /, tj.
'k=8. } +8 I
1 I} ' k / (1 = 1, 2, 3). (2.1)
U osnovi tenzorske analize za koordinatne sisteme i , koje pos­ matramo, lezi relacija povezanosti
2 yi = r'Z yl 1 k l xm'
(= 1,2,3), (2.2)
gde koeficijenti povezanosti rik = rki u ovom slu15aju predstavljaju Kristofelove simbole druge vrste nad osnovnim kovarijantnim tenzorom (1.24). k zame­ (2.2) u (2.1) i uzmemo u obzir (1.24) dobijamo izraz za kovarijantni izvod kovarijantnih koordinata 'k vektora polomja r u obliku
k ...,m 1 - /k r = g/k,
sto mozemo kraee da napisemo
jer operator
V/rk=gfk(X),
(2.3)
(2.4)
Komponovanjem jednacina (2.4) kontravarijantnim metrickim tenzorom gkm (k, = 1, 2, 3) dobijamo
odnosno l=
1 =f:,
V1gmk = . Ove relacije u koordinatnom sistemu odramvaju onu oso­ binu koju u pravo1inijskom koordinatnom sistemu kao
' I -=8k • (2.5) yk
pokazuje da parcijalnom izvodu koordinata vektora polomja u pravo· linijskom koordinatnom sistemu odgovara kovaI"ijantni izvod u krivolinijskom koordinatnom sistemu .
Ako u vidu simetricnost metrickog tenzora gik = gkl iz jednacina (2.3) nalazimo da
2 Kovarijantna dinamika
18 Veljko Vuji~ic
Medutim, kako posmatranom prostoru rk = rlk , sledi rotor vektora polozaja r jednak , tj.
rk_ r/ =0. ' xk
3. Paralelno pomeranje vektora
(2.6)
razmatranju transformacija paraleJnog pomeranja vkt jz tacke u drugu u dva koordinatna sistema, pored dosta velike algebarske i geometrijske slozenosti, ,potrebno da se' vodi racuna i prirodi vektora. za jednoznacno odredivanje 81obodnog vektora, primer, potreban jtdan broj parametara, za odredivanje vektora vezanog za pravu drugi. Takode pri tom treba razIi­ kovati jedan vektor od vektora. Zato dok bude drukcUe naglaseno pod l vektora R3 podrazumevamo paralelno pomeranje slobodnih vektora. Vektor koji se paralelno pomera sam sebi u koordinatnom sistlU , presIikava se tako u koordiriatnom sistemu , -, da sam sebi paraJelan u iz jedne tacke u drugu. Zato razIikovati paralelno vcktora od paralelno pbmeranje vektora u koordinatnom sis.temu . Pod paralelno pomeranje vektora podrazume­ paralelno pomeranje vektora u odnosu inercijsku bazu, dakle u koordi­ natnom si8temu , pod paralelno pomeranje vektora koordinatnom sistemu podrazumevamo paralelno vektora samom sebi tako iz jedne tacke u drugu zadrZavaju te iste uglove sa koordinatnim vektorima . 1 jedan i drugi paralelizam mogu se preslikavati iz jednog koordinatnog sistema u drugi, te u tom smislu potrebno razlikovati preslikavanje paralelnog pomeranja vektora iz jednog koordinatnog sistema u drugi od paralelnih pomeranja, vektora u ( koordinatnim sistemima. SJike paralelnih vektora iz koordinatnog sistema , u opstem slucaju, nisu paralelni vektori u k(rdit.nm sist . Dok drug<ilcije { govorimo preslikavanju paralelnog nj.' ,
Posmatrajmo vektor u istovremeno u dva koordinatna sistema i to pravo­ linijski = (, ) i krivolinijski ~ (, ). Neka to bude
(, = 1, 2, 3), (3.1)
gde su ul koordinate vektora u 11 pravoIinijskomY, u. odgovarajuce koordi­ nate tog vektora u krivolinijskom koordinatnom sistemu . dit

vektora u se promeniti pri njegovom paralelnom pomeranju. Medutim to nije slucaj sa koordinatama tI". Kako . ", vektorska invarijanta, ", = ", () se od tacke do tacke, to se i koordinate u. vektora m u zavisnosti od koordinata . Ako vektor u u tacki napisemo u obliku u=urJ.(A)g",(A), i8ti mozemo odgovarajuci napisati i u tacki , tj.
u () = . ()", (). (3.2)
Kako se vektor u () 'paralelnim pomeranjem iz tacke u tacku promenio pravcu, ni smeru, pogotovo li, mozemo ­ pisemo
()=(), odnosno
Kovarijantna dinamika 19
gl1.~ if () = ul1. () I1. () . K~ (), (.)
koje pokazuju kakav odnos stoji izmedu koordinata ul1. () vektora u tac:ki i tih koordinata u tac:ki . Ako skaIarni proizvod I1. ()· K~ () vektora I1. i K~ u dvema tac:kama zn: kao osnovni dvotackasti tenzor
gl1.~(A, B)=KI1.(A)·K~(B), (.4)
reIacije (.) mozemo prostije da u obIiku
u~(B)=gl1.~(A, B)U«(A). (.5)
Ako znamo vezu izmedu koordinata yi i ;« kojim postoji jednoznacno preslikavanje : -+ t,enzor (.4) u tackama i mo.zemo napisati u obIiku
; gl1./3 (, ) = 8;)­
l1.l x"'=x~ x~1 i=x~ (.6)
Tacku (x~, x~, x~) smatrajmo fiksnom tackom, tacku za I koju tekucu tacku X(x1, 2 , ). U ciIju prostijeg obeIe.zavanja izaberimo i razIicite ind~kse za razIicite tacke. Tako tenzore u tacki obeIeZavaeemo indeksima , , , d= 1, 2, , tenzore u tacki odgovarajuCim jndeksima , ~,Y= 1,2, . Prema tome mo.zemo tenzor (.6) pisati u obIiku
(.7)
i nazm ~a blpunktua/ni jundamenta/nitenzor iIi osnovni dvotackasti tenzor. U notaciji paraleIno preneseni vektor (.5) iz tacke u koju drugu tacku
(.8)
Na isti :*) se mogu paraIeIno prenositi i tenzori viSeg reda, kao)
T;~ () = g",a gJ3b gycgad T:t () (.9)
gde su g",a = g",a (' ) kontravarijantne koordinate fundamentaInog bipunk­ tuaInog tenzora.
Dok kovarijantni bipunktuaIni iIi dvotac:kasti tenzor izracunavamo prema obracsu (.7), tj. pomocu zbira proizvoda parcijaInih izvoda Dekartovih koordi­ nata krivoIinijskim, dotIe ktvrit koordinate ovog tenzora, odredu­ , kao i kod kontravarijantnog metrickog t.:nzora, osnovu reIacije
( = 1,2, ; =1, 2, ) (.I0)
gde su G 11. kofaktori l g 11. determinante 1 g 11. 1. Jednom tako izracunati dvotackasti tenzori za neki sistem koordinata mogu kasnije sIuZiti za sva raz­ matranja paraIeInog prenosa vektora u tom sistemu koordinata. Zato navedimo primere tih tenzora pre nego pokazemo neke va.zne osobine.
*) Vidi (391
20 Veljko Vuji~ic
1. Cilindarski sistem koordinata
Veze izmedu Dekartovih pravolinijskih koordinata 1, 2, i cilindarskih 1 = r, 2 = , = z pokazane su strani 13, moZemo neposrcdno
osnovu tih veza pomocu izraza (6.7) izracunati kovarijantne koordinate dvo­ tackastog tenzora ga.a. Ako koordinate fiksne tacke oznacimo donjim nultim indeksom tj. (ro' , zo) tekuee koordinate tacke bez indeksa, za koordi­ natu, recimo gll dobieemo
gll= 1
(1 ) + 2 ( 2) + () r r r r r r
= cos cos + sin sin = cos ( - ).
Na isti nacin odredujemo i druge koordinate, te tenzor ga.o za cilindarski sistem koordinata u mozemo da napisemo u obIiku matrice
ro sin ( - )
rro cos ( - )
U sfemom sistemu kooldinata koje su povezane sa Dekartovim:
1 = r sin cos 6, 2 = r sin sin 6, = r cos ,
dvotackasti osnovni tenzor :
sin sin cos (6 - 60) + + cos cos
r cos sin cos (6 - 60) - - sin cos
- r sin sin sin (6 - 6)
r sin cos cos (6 - 60) - - cos sin
rr cos cos s (6 - 60) + + rr sin sin
- rr sin cos sin (6 - 60)
ro sin sincpo sin (6 - 60) }
rr cos sin sin (6 - 60)
rr sin sin cos (6 - 60)
(3.11)
(3.12)
Xl=~, 2 =1), =6
l = ~ sin 1) cos 6, 2 = ~ sin 1) sin 6, = ~ cos 1)
sh2 ~ sin 1) sin 1)0 cos (6 - 60) + 2 ~ cos 1) cos 1)0
sh ~ ~ sin 1) cos 1)0 cos (6 - 60) - ~ sh ~ cos 1) sin '
- ~ sh ~o sin (6 - 60)
sh2 ~ sin 1) cos 1)0 cos (6 - 6 - - 2 ~ cos 1) sin 1)0
2 ~ cos 1) cos 1)0 cos (6 - 60) + + sh2 ~ sin 1) sin 1)0
- 2 ~ sin 1) cos 1)0 sin (6 - 60)
21
(3.13)
2 ~ cos 1) cos ' sin (6 - 6 '
2 ~ sin 1) sin 1)0 cos (6 - 6
4. Obrtno-parab%idne koordinate
ga.a = ~1)0 cos (6 - 60) - ~o 1)
- ~ 1)1)0 sin (6 - 60)
~ ~ cos (6 - 60) + 1) 1)0
- ~~o 1) sin (6 - 60)
1) ~o 1)0 sin (6 - 61) }
~~o ' sin (6 - 60) .
~1)~0 1)0 cos (6 -
5. ipo!arj sistem koordinata
l = sh ~ cos 6 , h~-s'
2= sh~sin6 . ~ - cos 1)
= sin ' ~ - cos 1)
Kovarijantne koordinate bipunktualnog tenzora g .. a ~u:
_ 2 sh ~ sh ~o sin 1) sin 1)0 + (l - ~ cos 1) (l - ~o cos 1)0) cos (6 - 60) gll - ,
( ~ - cos 1)2 ( ~o - cos 1)0)2
_ 2 sh ~o sin ( ~ cos 1) - 1) cos (6 - 60) - sh ~ sin 1) ( ~o cos 1)0 - 1) gl2 - ,
( ~ - cos 1)2 ( 1:0 - cos ')2
22 Veljko (!
_ 2 (c~o COS '- 1) sh ~ sin ' cos (6-60) - sh ~o sin ' ( ~ cos 1) - 1) g21-
( ~ - COS ')2 ( ~ - COS ')2
sh ~ sh ~o sin ' sin ' cos (6 - 60) + (1 - ~ cos ') (1 - ~o cos ' ) g22=b2------~--~--~~----~~--------~~--~~~~ ( ~- cos ')2 ( ~o - COS ')2
(3.15)
. sh ~ sin ' sin (60 - 6) _ 2 sh ~ sin ' sin (6 - 60) g23 = 2 , g32-
( ~- s')(h~-S')2 (c~- cos'YJ)(ch ~ -COS'YJO)2 '
g _ 2 sh ~ sh ~o cos (6 - 60)
38 - ( ~ - cos ')( ~o - cos ')
Primetimo JOS osnovu (3.7) da za slueaj Dekartovih pravouglih
koordinata YI = ! (i = 1, 2, 3) dvotackasti tenzor g",a jednak Kronekerovom simbolu,
= 1) = {1, = , g",a· "' ~ , -- •
(3.16)
Uporedenjem metrickog tenzora (1.19) i dvotackastog (3.4) da
zakljucimo da g",~ () = ga.b (, ) =, tj. da dvotackasti tenzor ga.b (, ) postaje osnovni metricki ako se tacke u kojima lezi dvotackasti tenzor poklapaju. Tako se iz izracunatih dvotackastih tenzora od (3.11) do (3.15) izjednaeenjem koordinata t.k i dobijaju kovarijantni metricki tenzori napisani
stranama 15 i 16.
Pored kovarijantnog i kot.tavarijantnog dvotackastog tenzora (3.7) i (3.10), cesto koristiti u paralelnom prenosu vektora i mesovlti dvotacaksti tenzor. kovarijantni dvotackasti tenzor ga.b kome pomocu kontravarijatnog metrickog tenzora g"'~ ili gabpodignut jedan indeks gore, tj.
{ ga.bga.~=g2, ga.bgab=g~. (3.17)
Izjednaeenjem koordinata dveju mcaka bipunktualnog tenzora i ovde, kao i u (3.16) dobijamo ronekerove simbole
(3.18)
pokazuje da dvotackasti tenzor smatrati vektorom ponaosob
u njegovim. .dvema tackama, st() se u ostalom vidi i iz (3.4), te kao takav
moguce primeniti sve operacije JenZ9rske algebre ..
Kovarijantna' dinamika 23
4. Integraleoje kovarijantnog diferencijala vektorapolozaja
Parcijalne diferencijalne jednacine (2.4) i1i (2.3), pokazali smo, jednako vaze pravolinijskom koordinatnom sistemu kao i krivolinijskim koordi­ tim sistemima , s tim 8to se za pravolinijske koordinate tacke, za koje gjk = const. kovarijantni izvodi svode obicne parcijalne izvocle. U tom slueaju, s obziromna (1.8),
(4.1)
oCigIedno mozemo da odredimo kovarijantne koordinate vektora poloZaja r i pomocu obicnog integralenja. Zaista, pomnozimo 1 postupno jednacine (4.1) odgovarajucim diferencijalima dz\ zatim· saberemo idks k,dobiCemo
(4.2) Odavde sledi
gde su integracione konstante.
S obzirom da smo pokazalidasu svi uvedeni koordinatni sistemi ravnopravni sa , l se kao posledica toga da se integrali (4.3), koje smo odredi1i pravolinijskom koordinatnom sistemu Z = (z, ), mogu odrediti i odnosu krivolinijske koordinatne sisteme . moguce postiCi dva nacina, i to:
1. Primenom ;transformacije (1.18) i (1.24) (4.3),- kom sIucaju nije potrebno da se koriste kovarijantne relacije (2.4); " -
2. Primenom kovarijantnog integrala teIlzora, pri kojem ocuvana ten­ zorska priroda vektora r koordinatnom sistemu , 8tO slucaj i kod obicnog integralenja.
Kovarijantno integralenje krivolinijskom koordinatnom sistemu odgo­ vara obicnom integralenju koordinatnom sistemu . S obzirom da kovari~ jantni integral tenzora ovde rimlOrvi put, ode1jak izloziti ne8to detaljnije. Pomno.zimo postupno parcijalne diferencijalne jednacine (2.3) diferencijalima dx1 krivolinijskih koordinata x 1 i zatim saberimo."" Dobieemo kovarijantne diferencijale
Dk=dk-lldxl=gkldxl, (, k, 1=1, 2,3),
gde su, kao 8tO poznato, op8tem slucaju
{
(4.5)
funkcije koordinata . Diferencijalne jednacine (4.4), kao 8to se vidi, u odnosu koordinate su nelinearne, l u odnosu ko()rdinate vektora polo.zaja rk su linearne i 8 ih obliku
(k,/= 1,2,3) (4.6)
gde kovarijantni l apsolutni diferencijaI Drk ono svojstvo krivolinij~kQIn sistemu , koje obicni dife-rencijal dzk u .rpravolinijskom ~oordinatnom
24 Veljko Vuji~i{:
sistemu Z i1i . mm 1i (4.6) kontravarijantnim tenzorom gki dobi­ da
tj. gki Drk = Dgk/ rk = gki g/d dx1 = 8}tfxI,
Drl = dr/ + riI ,k tfXI = dxl (4.7)
Diferencijalne jednacine (4.6) lOZem, prema tome, da napisemo u obliku
(4.8)
Primetimo pri tom da se metricki tenzor gkl = gkl () ponaSa prema apso­ lutnom diferfncijalu, kao konstanta prema m diferencijalu. Drugim recima, kordinate gkl () su konstante 8) iz koordinatnog sistema , ili / = const. iz koordinatnog sistema Z, preslikane krivolinijski koordinatni sistem , i kao takve zavise od koordinata . Zato ih i nazivamo kovarijantno konstantni tenzori, kriterijum kovarijantne konstantnosti jeste da kovarijantni izvod tog tenzora jednak li.

(4.8)
odnosno (4.9)
gde su Ak = Ak ( ' ) kovarijantne koordinate kovarijantno konstantnog vektora, koji u m slueaju odredujemo paralelnim pomeranjem vektora 'k-gklr1 iz tacke () u tacku () tog istog prostora. Na ime, to
(4.10)
gde su g~ = g~ ( ' ) koordinate mesovitog osnovnog dvotackastog tenzora. Uzeli smo da indeksi iz skupa slova , , , d, kojima odgovara skup brojeva 1, 2, napisani u kurzivu, pokazuju da dvotackasti tenzor, iIi drugi vektoI sa indeksima , , , d leze tom svojom valencijom u tacki ' Dvotackasti tenzor g~ ponasa se kao vektor u odnosu indekse .iedne tacke, se u odnosu isti mogu primeniti pravila tenzorske algebre.
Kako kootdinate vektora (4.10) mofemo, pored ostalog, primeniti sledeee algebarske operacije
to za kovarijantno konstantni vektor Ak iz (4.1 ) dobijamo da jednak nuli,
... ( )- k=l>kgbc' -gkgbc' =gkc ' -' = , (4.11 )
sto sledilo u m slueaju i iz (1.22) i (4.9), i sto pokazuje da svojstvo vektora poloZaja r pri kovarijantnom integralenju vektorskih diferencijalnih re1acija u krivolinijskom koordinatnom ~istemu . lnaee za vek­ tor r poeetak fiksiran u koordinatnom sistemu ili , vektor para­ lelnog pomeranja = (A l , 2 , ) zajedno sa vektorom r obrazuje afini prostor + 3, koji proizvodi afine transformacije koordinata oblika (4.3) i1i njihove odraze (4.9) u koordinatnom sistemu .
*) Vidi prilog strani 190.
Kovarijantna dinamika 25
5. Kovarijantna brzina tacke
Pod kovarijantna brzina tacke podrazumevamo vektor brzine tacke koordinate izraiavamo izvoda koordinata vektora l r tacke. Promena vektora l0 r mehanicke tacke vrcmenu t u l kom trenutku t* prema inercijskoj bazi naziva se brzina mehanicke tacke ili kraee brzina v tacke i jednaka
v=dr =l r(t*+1')-r(t*) dt /1=1. = l'
(5.1)
Kako vektor r svoju pocetnu tacku za svako (, to vektor brzine (5.1) tacke m pocetak u krajnjoj tacki Mvektora polozaja r tacke . Ako za inercijsku bazu uzmemo uvedeni koordinatni sistem = (, ), kojem razlozen vektor r kao u (1.14), 8to uvek moguce, vektor brzine vR
d " d k V = - I ;)=-- ( gk)' dt dt
postoje veze (1.14) izmedu Dekartovih pravolinijskih i krivolinUskih koordinata tacke . S obzirom da inercijska baza nepromenljiva u toku vremena t iz prednjih relacija sledi
k dyi dxk ; dr k gk dxl v gk=- ei=-- -- ei=- gk+rk--.
dt dt k dt xl dt (5.2)
Razlozimo 1i 8 i vektor gk koordinatne vektorc , kao u (2.2), /
odnosno, gk --=rklgj' l
(5.3)
dobicemo vektor brzine izrazen koordinata vektora poloiaja r tacke u krivolinijskom koordinatnom sistemu ,
k dxk dr k k dxl Drk v =-=-+r1rj/-=--.
dt dt dt dt (5.4)
Skalarnim mnozenjem l (5.2) j-tim koordinatnim vektorom ako se m u vidu povezanost (4.3) dobijamo kovarUantne koordinate vektora brzine mehanicke tacke,
odnosno u obliku
26 Veljko Vujil:!ic
Na osnovu izvcdenih izraza (5.4) i (5.5) mozemo da kazemo: koordinate vcktora brzine jcdnake su apsolutnom izvodu koordinata vektora poloiaja vrem<.nu, kovarijantne koordinate vektora brzine tacke· apsolutnom izvodu odgovarajucih koovarijantnih koordinata vektora poloiaja vremenu istom koordinatnom sistemu.
Relacije (5.4) pokazuju !; da su koordinate vektora brzine u koordinatnom sistemu i izvodi koordinata tacke vrcmenu t; prema tome i ko­ varijantne koordinate vektora brzine JI su linearne kombinacije koordinata
dxk
(5.6)
r i m r. Odredimo direktno m formula (5.4) i (5.5) kontravarijatne i kovarijantne koordinate brzine tacke sfernom sistemu koordinata 1 = r, 2 =, 3 =.
Na strani 15. primeru 3. pokazano za taj sistem koordinata da r = r 1 = r, r 2 = r 3= r 2 = r 3 = , za izracunavanje trarenih koordinata vkt brzine potrebno jos da se Kristofelovi simboli sfernom sistemu koordinata. Raz!iciti su od nl sledeCi m*>
1 2 = f = - , ~ = ctg .
r
Prema tome (5.4) biti:
dr 1 I ' dr v1=-+r1 rll --=--,
dt dt dt
dr 2 2 1 v2 =_+r 1 ri/-=r 2-=-'
dt dt dt dt
dr 3 3 ' d d v3 =-+r1 ll -=rf-=-
dt dt dt dt
Na isti nacin mog se m (5.5) dobiti kovarUantne koordinate brzine . dr I ' dr I 1 2 d I dx1
" ' Zalsta, V =--rllr--=-, v = -rur -=r -, " = -r31 r-= 1 dt dt dt 2 dt dt dt
2 • 2 d '1 = r Sln (() - to se trazl . dt '
*) Vidi, primer [22] str. 119 i 111.
Kovarijantna dinamika 27
6. ImpuJs kretanja dinamicke tacke
Dok god smo govorili vektoru r tacke Ji smo vidu geometrijskt: parametre tacke .] odnosu izabranu inercijsku bazu. pri uvodc­ vektora brzine v tacke, , za koji smo govori1i brzina mehanicke taeke, podrazumevajuCi pri tom kinematieku taeku, l smo i parametar tER; dakle kinematickoj tacki pridruzeno pored koordinata i vreme t. Dinamiekoj tacki, medutim, portd vektora brzine pridruzujemo masu tacke . Tako uvedeni vektora polozaja i vektora brzine dobijaju kvalitete s obzirom dimenziju mase . Proizvod mase i vcktora poloZaja , ­ zivacemo lineari polari moment n tacke, proizvod v mase i vek­ tora brzine v nazivaju ili vektor kolicine kretanja vektor impuIsa. Kada reC vektoru = " nezavisno od koordinatnog sistema, CtSCe ga nazivaju kolieinom kr(;tanja, ako se govori istom vektoru posredstvom njegovih ­ jekcija koordinatne ose, onda eesCe upotrebi naziv impuIsi l genera­ Jisani impuIsi. S obzirom da impulsa obuhvatniji od koliCine kretanja , ako n bude drugacije n, upotrebIjavati naziv impuls kretanja podrazumevajuci pod tim kovarijantne koordinate vektora kolicine kretanja koordinatne ose, kao i odgovarajuce implikacije koje iz tog vektora slede pri algebarskim transformacijama vektora brzine. U krivoli­ nijskom koordinatnom sistemu = (, g) vektor = " skladu sa relacijama (5.2), (5.4) i (5.6) mozemo da 8 obliku

Pomnozimo l! skalarno vektor koordinatnim vektorima gk dobijamo kovarijantne koordinate pk vektora , tj.
iIi
dxi Pk=a·k--=a·k-,
I dt I dt , k = 1, 2, )
gde su aik kovarijantne koordinate tenzora
(6.1)
aik=.mgi·gk=aik(x), (6.2)
Kovarijantne koordinate (6.1) vektora nazivamo impulsi kretanja dinamicke tacke mase l! krace impulsi kretaja tacke. U Dekartovom ­ voJinijskom koordinatnom sistemu = (, ) koordinate tenzora (6.2) su jednake masi , tj.
{ i=k i=j:k
(6.)
U odnosu koordinatni sistem Z, koeficijenti aik su proporcionalni koe­ ficijentima (1.9),
(v ,= 1,2, ), (6.4)
krivoIinijskom koordinatnom sistemu , kao 8to se vidi iz (1.2), koeficijenti aik proporcionalni su odnosnim koordinatama metrickog tenzora gik prostora ,
(6.5)
28 Veljko Vuji~ic
s obzirom da koeficijenti (6.5) u i inercioni i tenzorski karakter za upotrebljavati naziv nin koeficijenti i1i inercijski tenzor*). U kla­ sicnoj ,. , za tenzor (6.5) najrasprostranjeniji naziv met­ ricki tenzor konfiguracionog prostora, koji se kao takav moze prihvatiti tek posle uvodenja konfiguracionog prostora. Za tenzor inercUe su drugacije relacije, aIi kasnije pokazati da se izvode iz relacija (6.5), te uzi skup odskupa koordinata tenzora (6.5).
Za slucaj kada masa tacke konstantna , = const. iz de­ finicije linearnog polarnog momenta inercije
= = ; ; = ; ; (6.6)
dobijamo impulse kretanja kao izvode vektora (6.6) vremenu. Stvarno, izvod vremenu vektora (6.6), ako se u vidu prethodno izlaganje, dovodi do
dp Dr i Dpi -==-;=-;
dt dt dt
gde su ; = ; koordinate Iinearnog polarnog momenta inercije . Odavde ska­ larnim mnozenjem koordinatnim vektorom gk dobijamo
odnosno, s obzirom (1.23) i (6.5),
Dp; Dpk ; pk =g;k - = -- = O;k -.
dt dt dt (6.7)
Kako su Pk kovarijantne koordinate vektora linea:rnog polarnog momenta inercije, mozemo da su impulsi kretanja pk dinamicke tacke jednaki apso­ lutnim izvodima kovarijantnih koordinata Pk vektora linearnog polarnog momenta inercije vremenu (. S obzirom (6.5) tenzor o;k m sve osobine metrickog tenzora g;k' pri = const., iz relacija (6.6) lako odredujemo koordinate ; - vektora brzine v dinamicke tacke m impulsa kretanja. dt
li relacije (6.1) i (6.6) kontravarijantnim koordinatama tenzora OkJ sledice
jer , kao . (1.27),

-=-= Pk=a J --, dt dt dt
k' ~j aik =;.
(6.8)
(6.9)
Tako osnovu izraza (6.1) i (6.5) ako su poznate koordinate metrickog tenzora mozemo da odredimo impulse kretanja.
*) U literaturi o~jen naziv metri~ki tenzor konfiguracionog prostora.
Kova.ijantna dinamika 29
Na r i r l sistemu koordinata 1 =~, 2 = . 3 = 6 ( ~ ~ < , ~ ~ 2 1t', ~ 6 ~ 2 1t'), koje su povezane sa Dekartovim kao 6. primeru strani 16, odredene koordinate metrickog tenzora, ­ zemo napisati da
mb2cb~ . l =l1 1 = ~,
dt
( ~ - cos )2
( ~ -cos '1)2
Mnostvo koordinata
l tacke , kovarijantnih koordinata ; vektora impulsa kretanja dinamicke tacke i t nazvacemo stanJe kretanje dinamicke tacke. Uocimo odmah da izmedu koordinata vektora I ; i koordinata poIozaja xi dinamicke tacke postoje uvek diferencijalne veze (6.1). I kretanja inercionom sistemu postoje ako promene polozaja dinamicke tacke datom trenutku vremena prema tom sistemu. U tom slucaju za stanje kretanja tacke kazemo ravnotezno dinamicke tacke, koju defini­ zamenjujemo zapisom = const. ; = . Tada su i koordinate vektora ­ Iozaja tacke konstantne, jer kao 8tO se vidi iz (1.18) funkcije od konstant­ argumenata su konstantne.
7. Mehanicka ta~ka potprostorima
- U realnosti mehanicka tacka cesto Iezi potprostorima Rm dimenzija m<3. Sme8tavanje potprostora prostor ostvaruje se koordinatnim vezama () =0. U l0 kojem koordinatnom sistemu kakvo ogranicavanje intervala rasprostranjenosti makar jedne koordinate ogranicava potprostor kojem se nalazi mehanicka tacka. U tom slueaju ogranicava se i oblast posto­ koordinata vektora r polozaja tacke , jer tada, primer, = (!, 2 , x3=const.) iIi =(!, 2, 3 =(!, 2». Vektor l rER3 tacke opstem slucaju izvan potprostora Rm , jer njegova pocetna tacka opstem s1ucaju pripada potprostoru Rm ; samo pojedinim i pocetna tacka vektora l moze da pripada posmatranim potprostorima. Ogranicenoscu svojih koordinata vektor l0 r odreduje tacke potprostora odnosu ­ cetnu PtERm , li tom l govorimo potprostoru Rm , nego I­ taeaka pri postojanju veza ()=. kad govorimo potprostoru sustini podrazumevamo te veze I nj preseke. Tako, primer, ako jedna koordinata 3 = const., za taj potprostor kaze se koordinatna povrs, za sIueaj dve konstantne koordinate, recimo = const. i 2 = const. kaze se koordinatna linija. U pravoIinUskom sistemu koordinata , koordinata xi = xi = const. odreduje ravan; sfemom koordinata ! = r = const. odreduje sferu, l koordinatna povrs l = ~ = const. ( ~ ~ < ) torus. Prema tome, tim povrsima potrebne su i dovoIjne dve nezavisne koordinate, koordi­ natnoj I jedna za odredivanje l tacke. Oznacimo l te nezavisne koordinate slovom q"" gde prirodni nj od 3, onda za odredivanje l mehanicke tacke datom potprostoru usvajamo upravo te koordinate q skup, za sve vrednosti koje uzimaju iz skupa reaInih brojeva, nazi­ potprostor Rm •
30 Veljko <!
Brzinu kretanja tacke potprostorima R", odredujemo prema uvedenoj definiciji (5.1) iz koje sledi relacija (5.2), pri novoj cinjenici da postoji pove~ zanost medu koordinatama . Ako se radi koordinatnim povrsima ili koordi­ natnim linijama (.xi=const.; = 1, 2, 3), onda osnovu (5.4) sledi da vl ...
dxl
(7.1)
gde su grJ. koordinatni vektori (1.16) ograniceni skup prirodnih brojeva {1, 2, '" , }. Na sliean nacin odredujemo brzinu i u opstijem slucaju kretanja tacke M(q) potprostoru Rm • U tom slueaju vektor poloZaja r vektorska funkcija koordinata q tacke MERm , tj. r=r(q), vektor brzine te tacke
(7.2)
gde su koordinatni vektori grJ. = r funkcije koordinata q, leu svojim qrJ.
koordinatnim osama koje tangiraju potprostor Rm u posmatranoj tacki. Tako svi vektori u tacki M(q)E Rm , koji su linearne kombinacije koordinatnih vektora grJ. = grJ. (q), obrazuju lineami vektorski tangentni prostor Rm; bazu ovog tangentog prostora Cine koordinatni vektori grJ.' U op5tem slueaju vektor poloZaja r tacke M(q) ne pripada tangentnom prostoru, rEERm, kao 5tO to pripada njegov di­ ferencijal
(7.3)
i vektor brzine vERm tacke M(q)ERm •
Koordinatni vektori grJ. Rm (m< 3) kvalitativno se razlikuju od koordi­ natnih vektora gjER3, jer ne zadovoljavaju u~love inercijske baze (1.2). odnosno (1.28). Tako vektori grJ. cine novu neinercijsku bazu i vektore ga. nazivamo baznivektori, pri remu se misli bazne vektore tangentnogprostora Rm. Zato pisati bazni vektori prostora Rm. Apsolutni izvod ovih baznih vektora prostora Rm vremenu razlicit od nule i vektor upravan
tangentnom prostoru Rm. Vezu izmedu vektora grJ. = ~ i vektora inercijske qrJ.
baze mozemo da ostvarimo pomocu vektora polozaja (1.15) i to
(;=1,2, 3; rang 1:;:[ =m<) (7.4)
k uzmemo u obzir nepromenjivost inercijske baze (1.2) izvod vre­ menu baznih vektora prostora Rm
dgrJ.= 2 yi .~ dt q ~ qrJ. q . (7.5)
Kovarijantna dinamika 31
Vektore 2
ej ER3 mozemo da razlozimo vektorima ,. i jednom q~q« .
vektoru upravnom vektorima ,., nl. ,., kao
2 ---=--[ = (3. + b~,. n. q~ql%
U smislu takve povezanosti (7.6) izvod (7.5) postaje
,. = dg"_r~,.gy dq~ =,. dq~ n. dt dt dt ~ dt
(7.6)
(7.7)
8to se bitno razlikuje od uslova (1.2) i (1.28). S obzirom da izmedu .s i vremena t postoji kinematicka v(.;za s=s(t) izvodi (7.7) mogu da se 8 u obliku
D ,. ds = IJ dq~ ds ds dt ,. ds dt '
odnosno
(7.8)
Relacije (7.7) ili (7.8) pokazuju da se uslovi (I.28) mogu da ispune jedi­ potprostorima Rm za koje
dq/J "lJ= => b,.~-=O,
ds
za dovoljno da drugi osnovni tenzor ,.IJ bude jednak l.
8. utaralel mr vektora rzi
(7.9)
Pod autoparalelnim pomeranjem vektora brzine podrazumevamo paralelno vektora brzine samom sebi tangentom vektorskom prostoru. Ako se mehanicka tacka ~e potprostoru Rm • vektor brzine v=Q"g,.(q) tacke M(q)ERm se nj ' putu sCRm, pri pre1azu iz tacke So susednu tacku s+Ll \', tada su vektori brzine tim dvema susednim tackama medusobno paralelni tangentnom prostoru Rm. definicija autoparaleIizma vektora brzine putu s uslovljava da izvod vektora brzine putu s jednak . tj.
d v = . S obzirom (7.2) sledece ds .
dv d dv" ,. dq~ -=-(.,,)=-,.=.- -=0, (IX, ~ENm, m<3) (8.1) dt dt dt IJ dt
, Medutim, kako *)
2 Veljko Yji~ic
gde vektor upravan vektor gtt. U svakoj tacki M(q)ERm, btt.r> drugi osnovni tenzor potprostora, imacemo
-= -+rtt.~\·tt. - gy+btt.r>vtt.-n=. d V (dV"f . dqr» dqr>
dt dt dt dt (8.2)
Skalarnim mnozenjem ovog izraza koordinatnim vektorima ga uslove autoparalelnog pomeranja vektora brzine u koordinatnom obliku
g Dv"f = DVa =0 {=? Dvr> =0 ds ds dt'
(8.)
to : vektor brzine tacke na potprostoru autoparalelno se pomera u tangen M
tnom prostoru ako apsolutni izvod koordinata vektora brzine luku putanje jednak nuli.
Iz uslova (8.2) i (8. ) sledi jos da i
odavde, pri s=v,
dqr> btt.~vtt.-=O,
v « ds ds
pokazuje*) davektor brzine ne napusta tangentni prostor ni u jednoj tacki M(q)ERm•
9. Rastojanje 1 tacaka
Rastojanje izmedu mehanickih taeaka na putu s l konacnoj razda­ ljini 1 = SI - So' l izmedu dve neposredno blize tacke, od bitne vaznosti u
mehanici. za vektor poloZaja l = tacke vezane su dve tacke i to poCetna i poslednja rastojanje cini velicina , vektora r. S obzirom da metricki tenzor gi} prostora i koordinate ,1 vektora poloZaja r u l0 kojem koordinatnom sistemu = (, , g) udaljenje tacke od tacke odredujemo obrascem
(, = 1, 2, ), (9.1)
s tim da treba imati u vidu da koordinate tacke cine prazan skup. U protiv­ nom ako odredujemo rastojanje 1 = izmedu taeaka M l (x l ) i 2 (x l ) u krivolinijskom koordinatnom sistemu ne moZemo da koristimo metricki tenzOl, g/j (), s obzirom da su koordinate tog tenzora funkcije samo jedne tacke. Samo u slu da gi}=const., kao u (1.1) i (1.9), tj. pravolinijskom koordinatnom sistemu l Z mozemo da piSemo
I . .
. I [2 = (z~ - zI) (Z2 - Zt).
*) Vidi [12], str. 195.
Kovarijantna dinamika
Ako su tacke 2 i 1 U neposrednoj blizini, tako da y~ = y~ + y~, te da poloZaj tacke 2 mozemo . da odredimo pribliznom taCnoscu pomocu poloZaja tacke 1 , koristimo metricki tenzor gi} (), te rastojanje izmedu dve neposredno blize tacke 1 () i 2 ( + ) u koordinatnom sistemu odredu­ brascem
, = 1, 2, ). (9.3)
obrazac za kvadrat du.zi obuhvata i rastojaja izmedu dve neposredno blize tacke koordinatnim potprostorima (koordinatnim povrsima i koordi­ natnim linijama) pri cemu treba uzeti u obzir veze xV=const. (vEN v<2). U tom slueaju pj~eo
(9.4)
Inace, opstije, potprostoru Rm(mEN, m<), u tacki M(q) e]ement luka odredujemo obrascem
(, ()EN, <), (9.5)
do kojeg se lako dolazi medusobnim skalamim mno.zenjem d r . d r diferencijala dr vektora poloZaja r(q) tacke M(q), koji predstavljen izrazom (7.). .
3 ovariantn dlnamJka
1 g s m t u s*)
1.
.. Svaka dinamicka tacka poseduje impuls kretanja koga zadr­ zava u stanju mirovanja ili ravnomernog kretanja najkracem inogu6em putu u nasledenom smeru sve dok silom bude' prinudeno. da promeni steceno stanje kretanja.
2.
Promena impulsa kretanja dinamicke tacke vremenu jednaka sili koja dejstvuje n i zbiva se u trenutno orijentisanom pravcu sile.
3.
Ako diamicki objekt dejstvuje viSe od jedne sile reprezen­ tativa tacka objekta se kre6e kao da n dejstvuje ekvivalenta rezultantna sila.
4.
Sve materijalne tacke dinamickog objekta dejstvuju dn drugu jednakim i suprotno usmerenim silama.
*) Njutnovim naslovom iz njegovog fundamentaInog dela .. Philosophia naturaIis principia Mathematica", zelimo da istaknemo da kovarijantna dinamika poeiva teme­ ljima klasicne mehanike. Uoeljive uzmene Njutnovih {Newton), Gali1ejevih (G. Galilei) i (rtz) Herecovih formulacija su takve da omogueavaju dalje izvodenje l dinamike da pri· tom ostanu saeuvani njeni klasiCni stavovi.
34
1 . Kretanj~ taCke. u odSutnosti siIa
Kretaje dinamicke tacke u odsutnosti siIa odreduje prvi zakon kretanja. Rea1na odsutnost si1a u prirodi rasprostranjena, ako pod odsutnoscu sila podrazumevamo medu~obno ponistava:iJ.je siIakojim dva iIi objekata dejst­ jedan drugi. Cak i' upolju .sila gvii, konkretnije, u polju sile ZemIjine teZe moZemo posmatrati dinamicku tacku u odsutnosti sile ako drugi objekt neutraIise tu silu teze. Na primer, za tesku loptu horizontalnoj glat­ koj ravni izolovanoj sredini mozemo kazati da stanju odsutnosti sila, jer se ravan opire lopti silom kojom kugla pritiska ravan. Slicno se mogu navesti mnogi drugi primeri koje dejstvuju nikakve sile. Prema prvom dinamike pri odsutnosti sila clinarn.icka tacka se kretati najkracem putu .s. i to 2: tacke So u trenutku to ka tacki s trenutku t, V t>to' Metriku prostora • shodno formulama (1.23) i (4.7), moZemo da u obliku
(, =l, 2, 3)
te predeni put u interva1u vremena (to' t)
gde t parametar od koga zavisi s = s (t); U slueaju da t = s ocigledno
integra1 (10.1)
30
(10.1)
(10.2)
(10.3)
Prema provm zakonu tacka se kretati najkracem putu u odsutnosti sila. NajkraCi put izmedu dve tacke So Sl odredimo iz (10.3) prve varijacije uz uslov da druga varijacija od nule. Pretpostavljajuci da sve krive prolaze kroz tacke ;xi (, sJ i ;xi (, SI) kovarijantna i1i apsolutna varija­ 't> koordinata vektora I /, kao i varijacija koordinata ;xi tim tac-
kama jednaka , tj.8x1=>8x~=<;f)r~='t>r~=0.:Ekstremnu vrednost put koji zadovoljava uslov
(10.4)
36 Veljko Vujific
s obzirom da varijacija 3 invarijante f, tj. promena parametru ,
jednaka apsolutnoj varijaciji te invarijante istom parametru, mozemo dalje napisati ..
[ '1 .!. (lj Dr' DrI) = .
• 2 d , 80
. a~ (10.5)
gde ':0.' (Dr1)' ~Dr! i <10 .. k - =0-+ ik-OX.
ds a~
Ako se u vidu da = }, kao i to da 3 ! = d 3 !, lako se pokazyje da i
- = - ( 1), ( DrJ) D " .
(10.6)
ako
81

.. : JII D ( Drl) 3$= - - g,j- 9)'=.
Kako su u opstem slucaju 9)'*, iz prethodne jednacine dobijamo kovarijantne diferencijalne jednacine . puta
(i, /':"" 1,. 2, 3) (10.7)
Kovarijantna dinamika 37

(10.8)
U pravolinijskom sistemu koordinata apsolutni jzvod 1) jednak iz- d8
vodu ~, koordinate vektora , kao .8tO se vidi. is(I.3), ko~rdinatama't, odnosno = 1, diferencijalne jednacine .8) dobijaju k1asicni obIik diferen­ cijaInih jednacina prave najkra6e 1ii ~·t.
odavde . .1 ( ) - = 8 - 80 ,
(10.9)
U krivolinijskom sistemu koordinata diferencijaIne jednaCine (10.7) ­
kraceg puta takode se mogu integraIiti u opstem obIiku pomocu kovarij3.ritnog integrala (2.18). Tako iz (10.7) dobij~:.
DrJ gde . ; ( • ) kovarijantno konstantni vektor, tj. vektor. gy - para1elno
ds prenosen iz tacke (> u tacku (). ostvarujemo pomocu osnovnog dvo­ tackastog tenzora (3.7) i to:
(10.11)
gde gf = gr (, 5, x~; xt, 2, ) mesoviti dvotackasti tenzor u tackama
x~ = (Sc) i ; = xl (8).
Tako se prethodni integra1i svode
odnosno
(, = 1, 2, 3; , = 1, 2, 3).
guDrJ=glb (Dr b ) ds.
d8
Primenimo l ponovo kovarijantne diferencijalne jednaeine kovari­ jantni integraI, tj.
Drb gy Drl,;" glb ds . ds,
38 Veljko VujiCic
dobieemo
(10.12)
jer se tenzor gu = gJ, () i dvotackasti osnovni tenzor g/b =gi!J (, ) ponaSaju kao konstantne velicine kovarijantnom diferenciranju i integralenju, diferen­ cija1 ds od .s jednak apsolutnom diferencijalu Ds. Odredivanjem vektora &:3' postupku odredivanja vektora (10.11), nalazimo
(10.13)
lamenom (10.12) dobijamo konalne}ednaeine najkraceg puta kojem se, sag1asno prvom zakonu, krece dinamicka' tacka, to su:
ili pqsle 'srediv~nj~,
g IJ , = g / [ C~:) (3 - so)+ ,.] ( , :l, 2, 3). , -1, 2, 3
u razvijenijem obliku Qve Jednacine mozemo napisati :
,gde saglasno (4, 4) = dx l = Dr
i •
Konacne jednacine (10.15) su stvari odgovarajuce kovarijantne jednacine (10.10) krivolinijskom koordinatnom sistemu, 8tO citalacmoze sam proveriti koriseenjem transforniacija (1.18) ili (1.19) i izraza za osnovni dvota~kasti ko­ varijantni tenzor (3.7).
Iz jednacina (10.15) ili (10.14), 8tO isto, moguce eliminisati luk (3 - so) i dobiti liniju puta dinamicke tacke. Bi10 iz koje ednacine, recimo iz poslednje, treee
odredimo luk (= 1, 2, 3) (= 1,2,3)'
(10.16)
te' zamenom ostale dve jednacine iz (10.15) ili (10.14),dobijamo konacne jednacine linije najkraee putanje.
('1= 1, 2). (10.17)
Kovarijantna dinamika
Na taj jednacine (10.15) mogu biti pretstavljene i u obilku
gIJ,J - g\b,b g21,J - g2b,b g 1 - g,
gtb 4 = g2b4 = g~
gib=8ib={~ pra ve
U Dekartovom sistemu koordinata kao 8tO se vidi iz (3.16)
i = , se jednacine (10.18) sve uprosCavaju poznate jed­ =
2_ ro =l -
. y~ (10.19)
U ci]indarskom sistemu koordinata 1 = " 2 =~, 3 = Z jednacine (1 .18) svakako biti sIozenije, i to
'-'ocos(~-~o) 'osin(~-~o)
"0 cos (~- ~o) +'0 ~o sin (~- ~o) '0 cos (~- ~o) ~o - sin (~- ~o)
z-zo =--=s-so
(10.20)
prl smo iskoristili rezuItate sa 15. i 20. strane gde su odredene koordina.te vektora , i osnovnog dvotackastog tenzora giu za ci1indarski sistem koordinata.
za kretanje tacke potprostorima u odsutnosti sila prva aksioma najkracem putu ostaje snazi, zadatak kvaIitativno nov u pog1edu od­ redivanju tog puta. Ako potprostor jednodimenzioni R p puta sama sobom odredena.
Najkraci put dvodimenzionom potprostoru R2 potraiimo iz uslova da put (9.5), tj.
SI
(10.21)
bude m. da nas!i taj put smin dovoljno , pri uslovu
~ dq" dq~
(10.22)
da odredimo prvu varijaciju puta (10.21) i izjednacimo sa nulom. Istim postupkom kao od (10.2) do (1.8) dolazimo do diferencijalnih jednacina najkraceg puta i to
(, ~= 1, 2), (10.23)
40 Veljko yujieic
koje pokazuju da najkraea putanja ta~ke u odSutnosti sila na ,potprostoru R 2
geodezijska linija tog potprostora: Zaista, variramo li (10.21) za uslov stacio­ namosti dobijamo
'jer
Iz razloga 8to 8 qrJ. (so) = 3 qrJ. (81) = sledi
odavde diferencijalne jednacine (10.23). Primenom apsolutnog integrala tenzora ( 1.1) na diferencijalne jedn~ine
(1O.23) snizujemo' redtih dijerencijalnih jednaCina 'i dobijamo diferencijalne jednacine gdzijklinij prvQg ,4
dqY = t '
(10.24)
gde integralni kovarijantno konstantni ili autoparalelni vektor. Dalje inte­ gralenje diferencijalnih jedna~ina (l0.24), u cilju odredivanja geodezijske linije, tim 'i putanje ta~keu odsutnosti sila potprostoru R2, u op8tem slueaju nije re8eno, s obzirom na 1. apsolutni integral tenzora se ne moZe koristiti, jerna l stranama jedn~ina nije rec diferencijalu, pogotovo ne apsolutnom diferencijalu vektora iIi teniora i 2. integralni kovarijantno konstantni vektor ni odreden u op8tem slueaju, izuzev' toliko 8to poznato da su njegove kovarijantne koordinate ArJ. funkcije koordinata q tacke MER2, i to da njihov apsolutni diferencijal jednak nuli. Metod paralelnog pren080nja vektora pomocu dvotackastog tenzora u raznim koordinatnim sistemima u ovde ne Z jer, kao 8to smo pokazali, autoparalelno pren08enje vektora u tangentnom prostoru R2 u sU8tini se razlikuje od paralelnog pren08enja vektora uER3 u , Paralelni vektori u koordinatnom sistemu (, ), ne moraju biti paralelni u tangentnom prostoru R2 potprostoI'a R2 , Ni sami potprostori strukturi nisu jednaki, pri odredivanju koordinata ArJ. autoparalelnog vektora AER2, ako to moguCe, neophodno tome voditi ~una.
r i m r. Neka krece kruZnom ciIindru r = const. pri odsut­ nosti sila. Poznato da to zavojnica ako se posmatra u odnosu koordi­ natni 'sistem (,)., Medutim u odnosu cilindarski koordinatni sistem (, z; g l' g to pra . Koordinatni vektori g rJ. su konstantni zbog r = const. Vektor
antna dinamika 41
=«« paralelno prenosUiv u R2 ako su mu kovarijantne koordinate A~ 11 =· K~ =« KI%'K~ = const.,- 'izdiferencijaInih jednacina (10.24) za ovaj primer Iako dobijamo konacnu jednacinu najkraceg puta i to
10 Z - Zo =-, (~- ~o)'
~
r i r. Ako se tacka krece takode u odsutnosti sila sferi r = const. zadatak postaje sIozeniji jer vektor 1 konstantan, kovarijantna koordinata A1 autoparaIelnog vektora =1 1+22 tada konstantna. Izaberemo Ii za koordinate q sferne koordinate q1 = 6, q2 =~, ( ~6 ~ 21., O<~<7t), tada K1=K8(~)=rsin~ee, lel=I. se vektor prendsio paralelno tangentnom prostoru kome pripada, dovoljno da njegova projekcija koordinatnoj osi vektora 1 konstanta, to 1 = ( 1 1) • 1 =
d6 d~ = const. ako vektor tangentni vektor 't' = - 1 + - 2' koga atopara- ds ds
ll prenosimo tangentnom prostoru R2, svakako posmatranoj sferi, iz neke tacke (%), u kojoj taj vektor neki poznat, u tacku M(q)
1 = s~=-s~=,s~s= =const., (rSin~d6) . ds1 • " *)
ds ds (10.25)
gde ugao koga tangentni vektor zaklapa sa meridijanom. l sIedi:
1 =---,
Za ovako odredenih kovarijantnih koordinata . vektora u diferencijalne jednacine (10.24) dobtiamo diferencijalne jednacine geodezijske l sferi i to
! d~ cos -=--, ds r
:~ = r2S~2~' (lO.26)
Odavde sledi, ako se uzme u obzir da ,sin ~ sin = = const.,
d~ r cos sin2~ sin~ Vj.2 sin2 ~- 2 d6=
odavde integral
6= f(~)drp+c
gde j(~) =. y~ , integraciona konstanta. s~ ,2 s2 ~-K2
*) u saglasnosti sa Klerovom teoremom.
42 Veljko Vuji(!ic
u posebnim slueajevima ako 1X=~iz diferencija1nih jednacina (10.26) 2 . .
i jednacine (10.25) dobijamo da najkraca putanja ekvator, zalX= to su meridijani.
11. di ravnoteie taeke
Prvi zakon dinamike govori da si1a uzrok rn ravnomemog kretanja l jrovanja dinamicke tacke, tj. da dinamicka tacka zadrZava zateceno stanje ravnomernog kretanja i1i mirovanja sve dok silom ne bude prinudeno da. ga promeni. Drugim reCima, ako se . dinamicka tacka nalazi\a u stanju mirovanja ostace da· miruje u odsutnosti si1a. Odsutnost sila moze se shvatiti kao njihovo medusobno ponaSanje s obzirom da sva tela dejstvuju si1ama jedni druge. 1 ako prvi zakon ne govori nista kakvoci si1e, izuzev te osobine da menja stanje kretanja, to dovoljno da postavimo uslov ravnoteZe tacke. Izraz "od­ sustvo sile" mm da zamenimo ekvivalentnim izrazom "sila jednaka nuli". Ako jos silu oznaCimo slovom F, za koju iz ostalih· za](ona .. proizilazi da vektor, tada iskaz "odsutnosti sila" zamenjujemo l .
(11.1)
koja cini uslov mirovanja i1i ravnomernog kretanja dinamicke tacke. Pretppstav­ ljamo da tacka u relativnom mirovanju pod dejstvom viSe sila koje se uravnotezuju jednaCinu (11.1) nazivamo uslovom ili vektorskom jednacinom ravnoteze dinamicke tacke ili jednacina ravnoteze tacke. Kovarijantne jednacine ravnoteze tacke u l kom koordinatnom sistemu Iako dobijamo iz jednacine (11.1). U tom ci1ju posmatrajmo vektor sile F koja dejstvuje na tacku uporedo m pravo1inijskom i krivo1inijskom koordinatnom sistemu . Ako koordinate vektora sile F u koordinatnom sistemu = (, ) oznacimo .slovima , u koordinatnom sistemu = (, g) slovima , vektor sile F m da pisemo u invarijantnom obliku
;' 1, 2, 3). (11.2)
ni li bazne vektore pomocu koordinatnih vektora gj' kao u (1.19),
. !
8tO daje zakon transformacije koordinata vektora sile iz jednog koordinatnog sistema u drugi
I=
(11.4)
Skalarnim mno.zenjem vektora u (11.2) koordinatnim vektorima gk dobi­ jaIno i zakon transformacije kovarijantnih koordinata
. !
Kovarijantna dinamika 43 ----------------------------- ili s obzirom zakon transformacije metrickog tenzora,
~ lL '
.= ~ ~f:L ' .1 __ ' k = . xk yl . x k xk ., (11.5)
(!L, v, ", , k = 1, 2. 3).
Napisemo 1 sada jednacinu (I1.1) koordinatnih vektora gj' F= =, to ska1arnimmnozenjem vektorima gk dobUamo jednaCine ravnoteze tacke koordinatnom obliku i to
(i, k = 1, 2, 3). (I1.6)
kovarijantne jednacine 'ntz dinamicke tacke vaze svim ko.ordinantnim sistemima odnosu koje se razlaze vektor sile FR.
U potprostorima Rm za dinamicku tacku MERm kazemo da ravnotezi ako su projekcije vektora siIe 1 kovarijantne koordinate Q" vektora sile F koordinatne ose vektora g" tangentnom prostoru Rm (mEN2) jed­ nake
Q,,=O (11.7)
gde dimenzija posmatranog potprostora. jednacine ravnoteze tacke potprostorima nisu fizickom smis1u ekvivalentne jednacinama (I1.1) jer nisu uzete obzir sve komponente vektora sile FER2. Stvarno, dejstvuje 1 sila tacki M(q)ERm (m<3) vektor te sile F mozemo uvek da razlozimo kompo­ nentu tangentnom prostoru Q = Q" g" Rm i drugu komponentu Fn normalnu tangentni prostor tacki (q), tj
F=QrJ.g,,+Fnn.
Odavde skalarnim mnozenjem koordinatnim vektorima g~ Rm dobijamo jednacine (11.7). Medutim, da l zadovoljena jednaCina (11.1) treba da bude i n = . Ako pak posmatramo tacku (q) potprostora Rm za koji cesto kaiemo m-dimenzioni prostor, onda uzimamo obzir samo komponente sile koje Ieze tom potprostoru Rm, pretpostavljajuci da zadovoUena i jednacina
n=,
koja govori da dejstvo sile norma]ne potprostor ponisteno. ako kompo­ nenta n sile F .sadrzi reakcije veza tada, kad god su te si1e re1evantne za ravnotezu tacke, koristimo jednacine ravnoteze (11.6), kao i transformacije (11.4). l, ako se m vidu izraz (7.2) iz kojeg sIedi da su koordinatni vektori potprostora dati m vektora po]ozaja tacke, tj.
,
g,,= q'"
dobijamo formu]e za izracunavanje kovarijantnih koordinata vektora sile F, koje jos nazivaju generalisane sile, i to
, Q =F·- q'
(11.8)
za slueaj da su potprostori koordinatne povrsi iJi koordinatne l
= const. za genera1isane koordinate qrJ. 1 birati upravo koordinate
44 Veljko Vuji~ic
Kovarijantne jednacine ravnoteznog oblika nerastegljive niti
Nerastegljivu homogenu nit konstantnog poprecnog preseka u polju kon­ stantnog polja si1a, recimo polja sile Zemljine teZe, mm posmatrati kao mnostvo meduso povezanih dinamickih taeaka koje dejstvuju si1ama samoj niti u svakoj tacki. U tom smislu beskonacno element laueanice, ciji luk f::. s dejstvuju tri sile*) i to: , Rl + Rd = - f::. R gde specificno ­ tereeenje niti, R si1a reakcije niti. U graniCnom. slueaju f::..s -+- shodno uslovu (11.1) dobijamo vektorsku jednacinu ravnoteZe niti.u obliku
dR+Pds=O. (11.9)
Ako se ima u vidu da unutrasnja sila R = R 't" i pravac tangentnog
. vektora 't" = d r diferencijalnu vektorsku jednacinu (11.9) 1ako transformisati ds
kovarijantni koordinatni oblik.
Zaista, posmatrajmo ravnoteroi oblik nerastegljive niti prema krivolinijskom sistemu koordinata
( = 1, 2, 3) orjentisanim vektorima ' U tom opstem slu-
.., . . k r dx i
.., .• . (1 16 . (47) tagt ve tor 't" = -. - mozemo naplsatl, s Zlrom na . ) 1 •.• ' ds
k dXi Dr i
dOfi . 1 d (11 9) ka 't" = - = - ' 1 erenClja ",u . d:, d:,
gde su l kontravarijantne koordinate specifiCnog optereeenja . Skalarnim m ove jednacine vektorom gk dobijamo, s obzirom na (1.23),
- glk R - -R - - - gl+gikPI=O, d ( Dri ) Dr i dxJ gk
ds ds ds ds
odnosno, zbog (5.3),
- Rgik - -Rg/k - -= -gik ', d (Dr i ) 1 Dri dxJ
ds ds ds ds
Leva strana jednaeina cini apsolutni izvod luku vektora R gik Dr i , tj.
ds
D ( Dr i ) ds Rg1k ds = -gik 1 (;, k= 1, 2, 3) (11.10)
te, kao takve predstavljaju kovarijantne diferencijalne jednacine nerastegljive niti u polju sile ().
*) Vidi, primer, Vuji~ic, . - Statika, Zavod za izdavanje udzbenika, Beogrado
Kovarijantna dinamika 45
za pretpostavljeno konstantno l sila, vektor kovarijantno kon­ stantan, moguce pomocu kovarijantnog integraIa integraIiti sistem diferen­ n jednacina (11.10). U tom cilju prvo isti sistem napisati u obIiku

D (Rgik~:)= - gik Pids,
jer D = d kao diferencijali skalara. S obzirom da se i gik = gik () i =/ () pod kovarijantnim integralom ponaSaju kao konstante dobicemo
·R Dr i
I gik d = -gik s+Ak,
gde Ak kovarijantni konstantni vektor, koji m odrediti iz granicnih uslova
paralelnim prenosenjem vektora R glk Dr/ + k 3 iz tacke 3 = 30 = U tacku 3. ds
Sledi da
gde Ro reakcija niti u njenom temenu 3 = 30 = . Dalje mm sistem diferencijalnih jednacina prvog reda
ili u razvijenom obIiku
) Dra
Tako, sistem diferencijalnih jednacina pretstavIja kovarijantne diferen­ cijaIne jednacine prvog reda u I konstantnog I siIa.
Zapazimo uzgred osnovu diferencijalnih jednacina (11.1 ) pri od­ sutnosti I poni8tenju spoljnjeg I siIa nerastegIjiva zategnuta nit obIik ekstremaIne linije u komformnom prostoru 8to se vidi uporedenjem diferenci­ jaInih jednacina (11.10) i (10.7).
12. Kovarijantne diferencijalne jednacine kretanja tacke i njihovi integrali
Drugi zakon dinamike dovodi od formiranja diferencijaInih jednacina kre­ tanja dinamickog objekta, logicno prouciti i kovarijantnu prirodu istih. U reIacijama (6.1), (6.7) i (6.8) data dnii I kretanja i njegove veze brzinama i koordinatama I tacke. Pod promenom vremenu podrazumevamo u matematickom smisIu izvod vremenu, iskaz drugog zakona se moze izraziti jednacinom
dp=F. dt
u koordinatnom obliku umesto izvoda ~ promenu vektora odraZava apso­ dt
lutni izvod .- koordinata vektora, drugom zakonu odgovarati diferenci­ dt
jalne jednacine kretanja tacke oblika
DPi=F. dt ., ( = 1, 2, 3). (12.2)
se lako pokazuje. Prema koordinatnom sistemu diferencijalnu jedna­ cinu (12.1) mozemo napisati kao
Pomnozlmo li skalarno ovu jednacinu vektorima gk m, s obzirom da ·gk= ,
odnosno, zbog (5.3),
(12.3)
to i jesu kovarijantne diferencijalne jednacine kretanja tacke (12.2). Ako uzmemo u obzir kovarijantnu definiciju impulsa kretanja (6.7) diferen­
l jednacine kretanja tacke (12.3) mozemo napisati i u drugom kovarijan­ tnom obliku
(12.4)
i1i
Ocigledno da kompozicijom pomocu kontravarijantnog tenzora aik do­ kontravarijantni oblik jednacina
(12.6)
• gde su ! = a1k Xk kontravarijantne koordinate vektora sile . Zvezdica nad nav da koordinata vektora sile F sadrZi masu tacke, koja pridruzena preko tenzora a1k, kao sto se vidi iz relacije (6.5).
Kovarijantni integrali kretanja tacke
Osnovno pitanje naseg proucavanja kovarijantne dinamike postavlja se upravo u ocuvanju jednog te istog znaeenja integrala diferencijalnih jednacina kretanja dinamicke tacke u svim posmatranim koordinatnim sistemima pri -
KovariJantna dinamika 47
rn transformaciji koordinata vektora. Poznato da u klasicnoj mehanici integralenje "razara" prirodu objekta. Naime postupno integralenje diferencijal­ jednacina 2.5) (12.6) u jednom sistemu koordinata dovodi uvek do istih kovarijantn\h integrala u drugom sistemu koordinata . Smisao tvrdnje pojasnimo jednim prostim primerom.
r i m r. Kretanje dinamicke tacke konstantne mase inerciji. Posma­ trajmo kretanje uporedo u odnosu pravolinijski koordinatni sistem i u odnosu cilindarski koordinatni sistem . Diferencijalne jednaCine kretanja (12.5), koje se iz koordinatnog sistema prevode linearne transforma­ u koordinatni sistem simbolicki napisati relacijom -+ . ako gu i inverzna transformacija -+ , imacemo ekvivalentnu relacUu
-+
u razvijenom obIiku za posmatrani primer diferencijalne jednacine nj integrali biti:
=I 2=0 ~
=
4- t
I [! - 1 (2)2 = , [1 2 + 2 1 2,
3 =0
* t 4- *
1
(12.7)
Znakom <::: ~ oznacili smo da odnosni integrali dobijeni transformacijom kao i odnosne diferencijalne jednacine, znak t pokazuje da postoji razlika
• u postupku koji prikazan strelicom t. Na oznakom 4- t pokazujemo da se integrali svake ponaosob jednacine dobijaju, kao i u normalnom obliku i obratno direktno diferenciranjem jednog integrala dobija se odgovarajuca dife­ rencijalna jednacina kretanja; to ujedno znaci da jednim integralenjem dn- = u koordinatnom obliku dobijaju tri integrala / = ~.utii,
• oznaka ~ t pokazuje da takvim postupkom dobijaju izracunati •
integrali; iz bez uzajamnih dtih zamena i algebarskih transformacija slede diferencijalne jednacine kretanja kao u prvom slucaju sledbenosti 4- t.
najprostiji moguci primer dovoljno jasno pokazuje da integralenje istih diferencijalnih jednacina kretanja u dva sistema koordinata imati iste rezultate pre svega formi. Vaznije od toga 8tO bez veceg udubljenja u sistem stvari, u prirodu koordinata vektora, stiee utisak da jednom vektor brzine konstantan, drugi put {xl = (!), 2 = qi (!), 3 = const.} funkcija koordinata, kao da rec · istoj mehanickoj pri jednom te istom kretanju.
48 Veljko Vuji<5ic
primerom a~ poeetnu konstataciju ovog odeljka Zem op8tije predstaviti shematski sledeci .. Neka su N, ( = 1, 2, 3) diferencijalne jed­ kretanja , neka to budu f)Ji' Integrali diferencijalnih jednacina kretanja N j neka budu l, integrali od f)Ji neka bude 1 ; postoji neuredenost
(11.8)
l <:::T~ /
jasno ukazuje da na obicnog integrala nad vektorskim diferencijaInim jednacinama koordinatnom obliku ne dovodi do kovarijantnih integrala u tom smislu da bude
(12.9)

tj. da integrali l, koje dobijamo integralenjem kovarijantnih. diferencijalnih - dnacina kretanja (12.4) ili (12.5) (12.6), budu ravnopravni u svim sistemima koordinata, da postoje veze
1/=1.-.
i (12.10)
U opstem slueaju to da postignemo obicnog integrala, jer diferencijalnim jedacinama kretanja, recimo (12.4),tj.
D ; dp, ,k dxJ -=--.·Uk-=,, dt dt dt
nezavisno od = (, , t), kao 8to se vidi, postoje funkcije rt () Pk () koje obrazuju lineame forme /'1 () dx1 + /'2 () dx2 +/'3 () dx3, ne mozemo da integralimo jednacine u op8tem obliku u sistemu koordinata k 8tO to moze u sistemu koordinata . Zato da mogli da odredujemo opste

U konkretnom slueaju primera kretanja tacke inerciji diferencijalne jednacine (12.4), odnosno
D2 = D ( ) = = , dt2 dt dt
(= 1,2,3),
m prosto integraIimo, kao i slucaju (10.10)~ Na , primenom kovari­ jantnog integrala dobijamo
/'.
D (D ) = D / - dt dt i'
Kovarijantna dinamika 49
; Drb
(= 1, 2,3; = 1, 2 ). (12.11)
u ovakvom nacinu integtalenja otklanja neuredenost (12.8), odnosno datom primeru umesto integrala (12.7) dobijamo:
dyt 1 -=0 dt
dy2 = ot dt f
d y 3 =01
1 = X~ (2 - x~) + X~X~ sin (2 - x~)
.1 .2 . 2 (2 2 1. (2 2) = -1 - - ) + sl -

Znak ekvivalentnosti izmedu prvih integrala pokazuje da isti u dva koordinatna sistema (Dekartov pravougli i neki krivolinijski) mogu dobiti tras­ formacijom , kao 8to se u mogu dobiti primenom kovarijantnog integrala, koji u aljem tekstu ovog odeUka i primenjivati.
1. Kovarijantno konstantni impulsi kretanja
Na osnovu prvog zakona dinamike pokazano 10. od(Jjku di­ namicka tacka krece najkracoj liniji i odredene kovarijantne j<..dnacine te Iinije. U mogucnosti smo sada, osnovu drugog zakona i kovarijantnog inte­ grala pokazemo kovarijantni izraz kojim postojanost impulsa u slueaju odsutnosti 1 medusobnom ponistenju sila. U potpunoj analogUi sa pos­ tupkom (10.7) (10.11) mozemo integralimo diferencijalne jf..dnacine kretanja tacke (12.2) za slueaj = , tj.
. -' = => ;.= . dt
Kovarijantni integraI diferencijalnih jednacina
(12.12)
(12.13)
gde ; kovarijantno konstantan vektor. se matematicki iskazje tvrdnja objekt poseduje te isti impuls u stanju mirovanja kretanja. Njegov
4 Kovarijantna dinamika
50 Veljko
koordinatl1i izraz u kom krivolinijskom koordinatnom sistemu dobieemo odredivanjem vektora kao i u (10.11), odnosno.
(12.14)
gde g~ = g7[x (10); (t)] dvotackasti fundametalni mesoviti tenzor, kovari~ jantne koordinate vektora impu]sa kretanja u tacki 1 = 10'
Zamenom (12.14) u (12.13) dobijamo
(12.15)
iz kojeg se vidi da impuls kretanja u bilo kom trenutku t, jednak vektoru impuIsa tog kretanja (10) u pocetnom trenutku 10 koji autoparalelno prenesen u tacku 1.
2. Kovarijante jednacine Galilejovih transformacija. Ako uzmemo u obzir izraz (6.1) za impuls kretanja, zamenimo (12.15) i kovarijantno integralimo, tj.
(12.16)
dobicemo:
(12.17)
gde kovarijantni konstantan vektor. Razlikujuci s parametre vremena t i luka s, vektor odredujemo kao i (10.13) te izraz (12.17) postaje slican izraz (10.14), i to zbog (6.2)
(, = 1, 2, 3) (12.18) odnosno,
(= 1, 2, 3) (12.19)
Jednacine (12.18) ili (12.19) pokazuju ravnomemost kretanja u toku vre­ 1 = 10' i liI transformacije izrazene u krivolinijskom sistemu koordinata.
Uporedivanjem podintegralnog izraza (12.16) i (10.11), s obzirom da odraZavaju isto kretanje, lako se pokazje da u posmatranom kretanju ve1iCina vektora brzine konstantna. Zaista, s obzirom da postoji zavisnost luka i vremena 3=3(1) mozemo jednacine iz (12.16),
DrJ (D,c) l} -d =gjabc -d '
t 1 I=~
tj.
gde v velicina brzine v tacke, Vo = v (to) ta brzine u pocetnom trenutku 1o, Uporedenjem poslednjih jednacina jednacinama sa (10.11) vidimo
Kovarijantna dinamika 51
da sledi trazena postojanost v = Vo 5tO ubuduce uvek podrazumevati kao zakonom iskazanu tvrdnju.
. Opstiji kovarijantni integrali dijerencija1nih jednacina kretanja taCke mogu lako da se dobiju i u slueaju dejstva sile
(1, = 1, 2, 3), (12.20)
gde su: Gj=Gj(x) koordinate kovarijantno konstantnog vektora s, = () i / = () kovarijantne koordinate kovarijantno konstantnog tenzora; (t) su integrabilne nk vremena t.
Diferencijalne jednacine kretanja (12.5) u tom slucaju su:
2 } --= Gj + } + I} } (t).
dt2 (12.21)
s obzirom da = , diferencijalne jednacine mozemo napisati u obliku dt
Imajuci u vidi da kovarUatno konstantni tenzori u kovarijatnom di­ ferencijalu i integralu pona5aju kao i konstantne prema obicnom diferencijalu i integralu, da skalari imaju isti tretman i u jednom i drugom diferencijalu

integralu, tj. dt= Dt, dt= Dt, posmatrane diferencijalne jednacine kretanja
Iilko integralimo jer
() () • / - = D - =} --;, dt. dt dt

G; () Dt=Gj () dt=G j t + ;,

= D ( 1) = , + '

(t) Dt = () l (t) dt = 1 (t) + ,
• gde su , , , integracioni kovarijantno konstantni vektori.
Na taj nacin dobijamo tri kovarijantna integrala diferencijalnih jednacina kretanja, to
(12.22)
• gde , = + + + integralni kovarijantno konstantni vektor, koji odre- dujemo iz pocetnih uslova paralelnim m dobijenog vektora
52 Veljko Vuji~ic
iz tacke ( (to» u tacku ( (t) tj. kao sto smo pokazali u (3.8)
= g~ ( ~ - Gc to -, - / (to»). Na taj nacin kovarijantni integrali su potpunosti odredeni. podrazu­
, naravno, poznavanje dvotackastog mesovitog tenzora g~.
13. Kovarijatno linearne kretanja
Posmatrajmo kretanje dinamicke tacke pod istovremenim dejstvom siIa proporcionalnih vektoru polozaja r i vektoru brzine v odnosu neki krivo­ linijski koordinatni sistem . U tom slucaju diferencijalne jednaCine kretanja tacke (12.5) m oblik:
2 , Drj . .. --= - .. -- .. r
' dt lJ dt ' (, = 1,2,3), (13.1)
gde su kovarijantne koordinate jednog kovarijatno konstantnog tenzora, koji se razlikuje od tenzora lj samo za proporcionalnosti. Konkretnije ako iz-
medu koeficijenta otpora !l. i mase tacke postoji odnos :. = = konst. tada
i izmedu i postojati relacija*)
lj = = (), (13.2)
Diferencijalne jednacine (13.1) datom prikazu su nelinearne. se jas­ ako ih napisemo u obliku:
(13.3)
(13.4)
.
Mldutim, ako m u vidu da izraz u srednjoj zagradi mozemo da
' k Dxi '1' D (Dr i ) d ' . . l' . napls<:mo - 11 - - , g se gu SVl znaCl stl,
dt dt .dt kovarijantno konstantni tenzori pred apsolutnim diferencijalom i apsolutnim
*) Vidi: . Vuji~ic, Teorija oscilacija "Nau~na knjiga", Beograd 1977
Kovarijantna dinamika 53
itgl0 ponaSaju se kao konstante pred m diferencijalom, diferen­ 1 jednaCine kretanja (13.1) sustini nisu neIineaine; su kovarijantno /inearne. Ped m mm podrazumevamo sve vektorske funkcije koje se linearnih transformacija, iIi inverznih, mogu svesti nekom ­ m l op8tem sistemu koordinata Iinearni oblik. U tom smislu i diferen­ cijalne jednacine kretanja (l3.l) su kovarijatno linearne bez o