Kontinuerliga system vtt 2011

KONTINUERLIGA SYSTEM

Fysikaliska modeller

Kontinuitetesekvationen: qt +div j = k kommer från ökning + utflöde = nyproduktion. Härär q = densitet (mängd/m3), j = strömtäthet (mängd/m2s) och k = källtäthet (mängd/m3s)Diffusionsekvationen: qt − DDq = k fås ur kontinuitetsekvationen och Fick’s lagj = −D grad q. D kallas diffusionskonstanten.Värmeledningsekvationen: rcut − lDu = k fås på samma sätt som diffusionsekvationen.Energidensiteten q och temperaturen u kopplas ihop genom qt = rcut . Motsvarigheten tillFick’s lag är Fouriers lag j = −l grad u (l är värmeledningsförmågan).Vågekvationen: utt − c2Du = f /r, där f = kraftfördelning, r = massdensitet ochu = utböjningen. För ljudvågor är u = relativa tryckstörningen (= (p− p0)/p0).Laplaces ekvationDu = 0 och Poissons ekvationDu = f kan tolkas som stationär diffusion,stationär värmeledning, stationär svängning, stationär potentialströmning eller elektrostatiskpotential.Randvillkor kan vara av typ Dirichlet (u given), Neumann ( ∂u

∂n given) eller blandade.Homogena randvillkor innebär u = 0 eller ∂u

∂n = 0 eller au + b ∂u∂n = 0.

För värmeledning och diffusion gäller

j · n = −l grad u · n = −l∂u∂n

Ett Neumann-villkor betyder alltså att flödets normalkomponent är given.I en dimension har de homogena randvillkoren följande tolkningar.Värmeledning (diffusion)

u(a, t) = 0 temperaturen (koncentrationen) i a är 0∂u∂x

(a, t) = 0 inget utflöde i a, isolerad (sluten) ände

au(a, t) + b∂u∂x

(a, t) = 0 Newtons avsvalningslag gäller i a (omgivningens temp = 0)

Transversella och longitudinella svängningar.u(a, t) = 0 utböjningen i a är 0 fast ände∂u∂x

(a, t) = 0 kraften i a är 0 lös ände

au(a, t) + b∂u∂x

(a, t) = 0 fjäderkraft verkar i änden

Ljudvågoru(a, t) = 0 tryckstörningen i a är 0 öppen ände∂u∂x

(a, t) = 0 hastigheten i a är 0 sluten ände

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation

Problem: ut − auxx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena randvillkor och givnabegynnelsevillkor.

Sök först icke-triviala lösningar av typ u(x, t) = T (t)X (x) till

{ut − auxx = 0hom. randvillkor{

T ′X − aTX ′′ = 0hom. randvillkor

⇐⇒

1a

T ′

T=

X ′′

X= −l

hom. randvillkor⇐⇒

T ′ + alT = 0−X ′′ = lXhom. randvillkor

Differentialekvationerna för X resp T kan nu lösas var för sig. Ekvationen för X tillsammansmed randvillkoren ger diskreta värden på l, egenvärdena lk och tillhörande egenfunktionerXk(x) = fk(x). Totalt får man uk(x, t) = cke−alktfk(x).För homogena Dirichletvillkor är lk = k2p2/L2 och fk(x) = sin(kpx/L), k = 1, 2, . . .

För homogena Neumannvillkor är lk = k2p2/L2 och fk(x) = cos(kpx/L), k = 0, 1, . . .

Med superposition finner vi fler lösningar u(x, t) =∑

k cke−alktfk(x). Konstanterna ck be-stäms av begynnelsevillkoren. (Oftast med lämplig Fourierserieutveckling.)

Värmeledning i en begränsad stav med ansatsmetodDetta är en förkortad variant av föregående och används om man vet vilka egenfunktionernafk är.

Problem: ut − auxx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena Dirichlet- eller Neumannvill-kor och givna begynnelsevillkor. Ansätt då direkt

u =∞∑

k=1

uk(t) sin(kpx/L) (Dirichlet) eller u =∞∑

k=0

uk(t) cos(kpx/L) (Neumann)

Derivera termvis och sätt in i differentialekvationen. Detta leder till differentialekvationer-na u′k(t) + alkuk(t) = 0 med lösningarna uk(t) = cke−alkt . Koefficienterna ck bestäms avbegynnelsevillkoret.Kommentar: En fördel med denna metod är att den också fungerar för inhomogena diff-ekvationer (ut − auxx = f (x, t)). Skillnaden är att man får en inhomogen differentialekva-tion för uk(t), se nedan. Samma ansatser fungerar ockå för den endimensionella vågekvation(odämpad utt − c2uxx = f (x, t) eller dämpad utt − aut − c2uxx = f (x, t)) med homoge-na Dirichlet- eller Neumannvillkor, och för Laplace/Poissons ekvation (−Du = f ) på enrektangel med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor i x-led.

Diffusion och värmeledning med homogena randvillkor i operatorform.Detta är en vidarutveckling av föregående och kan användas på allmännare differentialekva-tioner med allmännare homogena randvillkor.

Med A = −D (eller en allmännare differentialoperator av Sturm-Liouvilletyp) och

DA = {u ∈ C2(W) | au + b∂u∂n

= 0} kan värmeledningsproblemet formuleras{ut + aAu = fu(x, 0) = g

Bestäm först egenfunktioner och egenvärden till A genom att lösa{Au = lu , u 6≡ 0

u ∈ DA

(Om problemet är välbekant och man redan vet vilka egenfunktionerna är behöver mannaturligtvis inte räkna ut dem.) Ansätt en lösning

u(x, t) =∑

k

uk(t)fk(x) .

2

Utveckla f och g i egenfunktioner till A. Här utnyttjas att dessa är en ortogonal bas i L2.

f (x, t) =∑

k

fkfk(x) , g(x) =∑

k

gkfk(x)

Koefficienterna fk och gk beräknas med projektionsformeln t ex fk = (fk | f )/(fk | fk). (Ifallet med sinus- eller cosinusserier är detta de vanliga formlerna för beräkning av Fourierko-efficienter.) Derivera u termvis (använd Afk = lkfk), sätt in i värmeledningsekvationen ochbegynnelsevillkoret. Detta leder till följande differentialekvation för uk(t)

u′k(t) + alkuk(t) = fk(t), uk(0) = gk .

Lösningen kan skrivas som summan av en partikulärlösning uk,part och allmänna homogenalösningen cke−alkt . Konstanterna ck bestäms av begynnelsevärdet (uk(0) = gk).

Alternativ om f inte beror på t. Låt ustat vara en stationär (= tidsoberoende) lösning till dif-

fekvationen och randvillkoren. v = u−ustat uppfyller då ekvationen

{v′t + aAv = 0v(x, 0) = g − ustat

.

Denna löses med ansatsen v(x, t) =∑

k vk(t)fk(x), och ger en homogen differentialekvationför vk. Totala lösningen är av formen u = ustat +

∑k cke−alktfk(x). Här ses att om alla lk > 0

så u → ustat, t →∞ (ungefär som e−al1t , där l1 är det minsta egenvärdet). I detta alternativetkan man alltså direkt utläsa den asymptotiska (= stationära) lösningen ustat. I lösningen till detförra alternativet kan man se den stationära lösningen i form av en serie.

Vågekvationen med homogena randvillkor, begränsat område

Med A = −D, DA = {u ∈ C2(W), homogena randvillkor} kan problemet formuleras{utt + c2Au = 0u(x, 0) = g(x) , ut(x, 0) = h(x)

Problemet löses analogt med värmeledningsekvationen. Starta med att bestämma egenfunk-tioner till A. Utveckla i dessa

u(x, t) =∑

k

uk(t)fk(x) , g(x) =∑

k

gkfk(x) , h(x) =∑

k

hkfk(x) .

Insättning i vågekvationen leder till

u′′k (t) + c2lkuk(t) = 0, uk(0) = gk, u′k(0) = hk

med lösningar av typ

uk(t) = ak cos c√lkt + bk sin c

√lkt om lk > 0 och uk(t) = a + bt om lk = 0 .

ak och bk bestäms av begynnelsevärdena. Lösningen blir en överlagring av stående vågor med

egenvinkelfrekvenserna wk = c√lk . Svängningen är odämpad och ’behåller sin form’.

Inhomogena randvillkor

Starta med att homogenisera randvillkoren genom att sätta v = u − u där u uppfyller rand-villkoren. Välj u så enkel som möjligt. Ofta går det bra med en konstant eller ett första- ellerandragradspolynom.

3

Dirichlets problem

Du = f i W , u = 0 på ∂W kan för vissa W lösas analogt med variabelseparation och egen-funktionsutveckling. För en rektangel separerar man i variablerna x och y. (Lösningsmetodenär mycket lik motsvarande för den endimensionella vågekvationen på ett begränsat intervall.)För icke-homogena Dirichletvillkor kan det vara bra att dela upp i delproblem och användasuperposition (se ex 3.9 i boken).För W = enhetscirkeln används polära koordinater variabelseparation (ex 3.17 i boken). Fördetta problem, med g(θ) = d(θ), går serien att summera och man kommer fram till Poissonsformel för enhetscirkeln (kap 5.2.2).

Hilbertrum, operatorer, egenfunktioner

Ett linjärt rum H är en mängd med addition och multiplikation med skalärer, som följer devanliga räknelagarna. Tex Rn och C2(W).(u | v) är skalärprodukt i H om

(u | l1v1 + l2v2) = l1(u | v1) + l2(u | v2)

(u | v) = (v | u)

(u | u) ≥ 0 med likhet ⇐⇒ u = 0

Speciellt gäller att (u | lv) = l(u | v) och (lu | v) = l(u | v).Normen av u är ‖u‖ =

√(u | u).

Linjära rum med skalärprodukt kallas preHilbertrum. Ett fullständigt preHilbertrum kallasHilbertrum.Ett viktigt exempel på Hilbertrum är L2(w,W) med skalärprodukten och normen

(u | v) =∫W

u(x)v(x)w(x) dx resp ‖u‖ =(∫

W

|u(x)|2w(x) dx)1/2

.

Funktionen w(x) > 0 kallas viktfunktion.I preHilbertrum gällerPythagoras sats: u ⊥ v =⇒ ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2

Schwarz olikhet: |(u | v)| ≤ ‖u‖·‖v‖ med likhet då och endast då u och v är proportionella.Triangelolikheten: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

Ortogonalitet: Funktionerna {fk}∞1 är parvis ortogonala i pre-Hilbertrummet H om(fk | fl ) = 0 då k 6= l . Om dessutom ‖fk‖2 = (fk | fk) = 1 är systemet ortonormerat.

Projektioner Låt f1, · · · ,fn vara parvis ortogonala och låt M = [f1, · · · ,fn] vara detlinjära höljet av f1, · · · ,fn. Projektionen på M av ett godtyckligt u ∈ H definieras av

PMu =n∑1

1rk

(fk | u)fk där rk = ‖fk‖2 = (fk | fk)

Minsta-kvadrat-metoden är en följd av projektionssatsen som säger att

infv∈M

‖u− v‖2 = ‖u− PMu‖2,

4

dvs att PMu är det element i M som bäst approximerar u om avvikelsen mäts i norm. Medhjälp av Pythagoras sats ses att avvikelsen ‖u − PMu‖2 = ‖u‖2 − ‖PMu‖2 = ‖u‖2 −

n∑k=1

|(fk | u)|2

rk.

Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess: Ur en linjärt oberoende följd skapas ett ortogo-nalt system som har samma linjära hölje som den ursprungliga följden.Om 1, x, x2, . . . ortogonaliseras med skalärprodukten i L2(w,W) fås olika ortogonalpoly-nom. Med viktsfunktionen w(x) = 1 och intervallet W = [−1, 1] fås LegendrepolynomenPn.

Konvergens i norm: un → u i H ⇐⇒ ‖un − u‖ → 0.Generaliserade Fourierserier Låt u vara ett element i ett pre-Hilbertrum H och {fk}∞1parvis ortogonala iH, då är ck = 1

rk(fk | u) de generaliserade Fourierkoefficienterna för u och∑∞

1 ckfk är den generaliserade Fourierserien för u. Det är inte säkert att serien konvergerarmot u.Om varje u ∈ H kan skrivas u =

∑∞1 ckuk (konvergens i norm), så säger man att {fk}∞1 är

en ortogonal bas för H.Exempel:

{eikpx}∞−∞ är en ortogonal bas i L2([−1, 1])

{sin kpx}∞1 är en ortogonal bas i L2([0, 1])

{cos kpx}∞0 är en ortogonal bas i L2([0, 1])

Legendrepolynomen {Pk(x)}∞0 är en ortogonal bas i L2([−1, 1])

{sin kpx sin jpy}∞j,k=1 är en ortogonal bas i L2(W), W : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1{Jn(an,kr) cos nθ, Jn(an,k) sin nθ

J0(a0,kr) , n, k = 1, 2, . . .

är en ortogonal bas i L2(r,W),W : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ < 2p

Parsvals formel: Om {fk}∞1 är en ortogonal bas för H och u =∑∞

1 ckfk så är ‖u‖2 =∑k|ck|2‖fk‖2.

En operatorA har egenfunktionen fmed egenvärdet l omAf = lf, f 6≡ 0 och f ∈ DA.En operator A är symmetrisk om (Au | v) = (u | Av) för alla u, v ∈ DA.En symmetrisk operator har reella egenvärden och egenfunktioner hörande till olika egen-värden är ortogonala.A är positivt semidefinit om (Au | u) ≥ 0 för alla u ∈ DA, då är alla egenvärden ≥ 0.

Sturm-Liouvilleoperatorerna Au =1w

(−(pu′)′ + qu) (w, p > 0, q ≥ 0) med homogena

randvillkor, av typ au + b∂u∂n

= 0 (a, b ≥ 0, ej båda = 0) på randen ∂W , är symmetriska

och positivt semidefinita. Dess egenfunktioner bildar en ortogonal bas i L2(w,W). (Observeraviktfunktionen.)

För att finna en ortogonal bas av egenfunktioner till en operator i flera variabler kan mangöra en variabelseparation och ett täthetsresonemang som visar att varje u ∈ L2(w,W) kanapproximeras godtyckligt bra med linjärkombinationer av de separerade egenfunktionerna.(Se ex H.27, S.4 och S.6 ( Ex 28 i kap H, Ex 3 och Ex 6 i kap S i gamla kompendiet)). Härviduppkommer några endimensionella differentialekvationer som man måste behärska.

5

Variabelseparation i −Du = lu i polära koordinater (2 dimensioner)Separationen u(r, θ) = R(r)J(θ) i −Du = lu ger upphov till (Se ex S4):J-ekvationen: J ′′ + cJ = 0.Har man 2p-periodiska randvillkor (J(p) = J(−p),J ′(p) = J ′(−p)) finns icketrivialalösningar om och endast om c = n2 där n = 0, 1, 2, . . . . Dessa är {cos nθ, sin nθ}∞0 eller{einθ}∞−∞. I detta fall är egenvärdena dubbla om n 6= 0. (Se ex H.25.)R-ekvationen:

R′′+1r

R′+ (l− n2

r2 )R = 0 ⇐⇒ R(r) =

aJn(r

√l) + bYn(r

√l) om l > 0

arn + br−n om l = 0, n 6= 0a ln r + b om n = l = 0 .

I Sturm-Liouvilleform kan R-ekvationen skrivas1r

(−(rR′)′ +n2

rR) = lR (obs w = r).

(För l 6= 0 finns lösningen på formelbladet. För l = 0 är diffekvationen Eulerhomogen ochkan i de flesta fall lösas med ansatsen R = rp. Fallet l = n = 0 behandlas speciellt, se lemmaS.1)

Variabelseparation i −Du = lu i sfäriska koordinater (3 dimensioner)Separationen u(r, s,f) = R(r)S(s)F(f), där s = cos θ i−Du = lu ger upphov till (se ex S.6):F-ekvationen: F′′ + dF = 0.S-ekvationen:

((1− s2)S′)′ + (`(` + 1)− m2

1− s2)S = 0 ⇐⇒

S(s) = aPm` (s) + bQm

` (s), ` = 0, 1, 2, . . . , m = 0 . . . `

Se formelbladet. ( I kvantmekaniken, där man använder exponentiell framställning av f-funktionerna används m = −` . . . `.)R-ekvationen:

R′′ +2r

R′ + (l− `(` + 1)r2 )R = 0 ⇐⇒

R(r) ={

ar` + br−`−1 om l = 0, ` = 0, 1, 2, . . .

aj`(r√l) + by`(r

√l) om l > 0, ` = 0, 1, 2, . . .

I Sturm-Liouvilleform kan R-ekvationen skrivas1r2 (−(r2R′)′+`(`+1)R) = lR (obs w = r2).

(För l 6= 0 finns lösningen på formelbladet. För l = 0 är differentialekvationen Eulerhomo-gen, pröva anatsen R = rp. I fallet ` = 0 kan ekvationen lösas med elementära metoder, se exS.5.)

Integraltransformer, intgralformler, Greenfunktioner

Värmeledning, diffusion på R.Kan lösas med Fouriertransform (eller Laplacetransform) i x-led.

För problemet {ut − auxx = 0 , x ∈ R , t > 0u(x, 0) = g(x)

6

kan lösningen direkt skrivas med formeln

u(x, t) =∫ ∞

−∞G(x − a, t)g(a) da = G ∗ g(x, t)

där G(x, t) = e−x2/4at/√

4pat (se formelblad) är Greenfunktionen för värmeledning.Lösningarna innehåller ofta erf(x) = 2√

p

∫ x0 e−y2

dy (spec är erf(∞) = 1), se formelblad. Alltså

är erf(x) en primitiv funktion till 2√p

e−x2och således är

∫ ba e−y2

dy =√p

2 (erf(b)− erf(a)).

Halvoändliga områden

Problem på halvoändliga områden (x ≥ 0) kan utvidgas till hela R med hjälp av speglingar.Gör en udda spegling om u(0, t) är given (Dirichletvillkor) och jämn spegling om ux(0, t) ärgiven (Neumannvillkor). För beräkning av derivator med avseende på x används (se avsnittD.11 i boken) (u−)xx = (uxx)− + 2u(0, t)d′ respektive (u+)xx = (uxx)+ + 2ux(0, t)d. Dessaregler blir speciellt enkla om randvillkoren vid x = 0 är homogena (u(0, t) = 0 resp ux(0, t) =0). För icke-homogena randvillkor är det därför ofta bra att först homogenisera.

För problem på ändliga intervall (0 ≤ x ≤ L) använder man vanligen egenfunktionsutveck-lingar, men vissa problem kan också lösas med upprepade speglingar.

Vågekvationen

Den homogena endimensionella vågekvationen utt − c2uxx = 0 har alltid den allmänna lös-ningen u(x, t) = f(x− ct) + y(x + ct). Svårigheten är att hitta lösningar som uppfyller givnabegynnelse- och randvillkor.

Vågekvationen på R kan lösas med Laplace- eller Fouriertransformation i x-led.

Till problemet utt − c2uxx = 0 , x ∈ R , t > 0u(x, 0) = g(x)u′t(x, 0) = h(x)

kan lösningen direkt skrivas med d’Alemberts formel (se formelblad).

u(x, t) =12

(g(x − ct) + g(x + ct)) +12c

∫ x+ct

x−cth(y) dy .

Problem på halvoändliga områden (x ≥ 0), t ex svängande halvoändlig sträng, kan utvidgastill hela R med hjälp av speglingar. Udda spegling om u(0, t) = 0 (fast inspänd ände) ochjämn spegling om ux(0, t) = 0 (lös ände).Lösningarna kan också (i enkla fall) konstrueras med geometriska resonemang, fortskridandevågor, reflektion i ändpunkter (speglingar).För problem på ändliga intervall (0 ≤ x ≤ L) använder man vanligen egenfunktionsutveck-lingar, men man kan också använda med upprepade speglingar.

7

Poissons/Laplaces ekvation −Du = f

Problem i ett halvplan (x ∈ R, y ≥ 0) kan lösas med Fourier(Laplace)transform i x-led.För Dirichlets problem i ett halvplan (med f = 0):{

uxx + uyy = 0 , x ∈ R , y > 0u(x, 0) = g(x)

kan lösningen direkt skrivas med Poissons integralformel,

u(x, y) =∫ ∞

−∞P(x − a, y)g(a) da = P ∗ g(x, y) ,

där P(x, y) = y/(p(x2 + y2)) är Poissonkärnan för halvplan (se formelblad).För motsvarande problem i enhetscirkeln (W : x2 + y2 < 1) är lösningen

u(r, θ) =∫ p

−pP(r, θ − a)g(a) da = P ∗ g(r, θ)

där P(r, θ) = (1− r2)/(2p(1 + r2 − 2r cos θ)) är Poissonkärnan för enhetscirkeln (se formel-blad).Liknande problem i kvartsplan eller halvcirkel (x > 0) kan utvidgas till halvplan respektivecirkel med hjälp av spegling (av g och u), udda om u(0, y) är given och jämn om ux(0, y) ärgiven.

För det allmännare problemet (Dirichlets problem för Laplaceoperatorn på W),{−Du = f i Wu = g på ∂W

kan lösningen skrivas (se formelblad) med hjälp av Greenfunktionen G(x; a) för Dirichletsproblem på W (definition se formelblad)

u(x) =∫W

G(x; a)f (a) da−∮

∂W

∂G∂na

(x; a)g(a) dSa.

Svårigheten är att bestämma Greenfunktionen G(x; a)Beräkning av Greenfunktionen G(x, a) för några enkla områden W .

1. FörW = Rn är Greenfunktionen G(x; a) = K (x−a), där K (x) är fundamentallösningtill Laplaceoperatorn (−DK = d). För W = R2 eller R3 finns fundamentallösningarnapå formelbladet.

2. För W = halvplan eller halvrum spegla udda och använd punkt 1. Greenfunktionen ärG(x; a) = K (x− a)− K (x− a), där a är spegelpunkt till a.

För kvartsplan spegla först i ena axeln sen i den andra (totalt 4 punkter).

3. Om W är cirkelskivan eller klotet |x| < r spegla udda i cirkeln och använd funda-mentallösningar. Greenfunktionen är G(x; a) = K (x − a) − K (C (x − a)), där a ärkonjugerad punkt (se boken kap 5.5) till a och konstanten C = |a|/r är vald så attG = 0 på randen ∂W .

Kommentarer: För begränsade områden kan Greenfunktioner bestämmas med egenfunktions-utvecklingar.För halvplan/halvrum med homogena Neumannvillkor kan man använda jämna speglingar.

8