729G11 – ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET

Fuzzy Logic

Caroline Allmér, caral281

2011-09-19

Innehåll

Innehåll ....................................................................................................................................... 2

1. Inledning ................................................................................................................................. 3

2. Hur det fungerar ..................................................................................................................... 4

2.1 Crisp-set och fuzzy set ..................................................................................................... 4

2.2 Lingvistiska variabler ....................................................................................................... 5

2.3 Medlemsfunktioner .......................................................................................................... 5

2.4 Operationer ....................................................................................................................... 7

2.5 Modifierare ....................................................................................................................... 7

3. Fuzzy Logic kontrollsystem ................................................................................................... 8

3.1 Preprocessing ................................................................................................................... 9

3.2 Fuzzification ..................................................................................................................... 9

3.3 Rule Base .......................................................................................................................... 9

3.4 Inference Engine .............................................................................................................. 9

3.5 Defuzzification ............................................................................................................... 10

3.5.1 Centre of gravity (COG) : ....................................................................................... 11

3.5.2 Mean of Maxima (MOM): ...................................................................................... 11

3.5.3 Leftmost Maxima (LM) och Rightmost Maxima (RM) .......................................... 11

3.6 Postprocessing ................................................................................................................ 12

4. Diskussion ............................................................................................................................ 12

5. Referenser ............................................................................................................................. 13

3

1. Inledning

Detta arbete handlar om Fuzzy Logic. Arbetet går igenom grunderna hur Fuzzy Logic

fungerar och även hur ett Fuzzy Logic kontrollsystem är uppbyggt. Arbetet bygger helt på

artiklar och böcker som är skrivna inom ämnet, inget nytt tillförs alltså i detta arbete. Främst

är det artiklarna skrivna av Jantzen (1998 och 2006) som används, men även andra artiklar har

nyttjats (se referenslistan).

4

2. Hur det fungerar

Fuzzy logic, på svenska kan man säga ”oskarp logik”, är en alternativ logik som påbörjades

under 1960-talet av L.A Zadeh. Anledningen till att fuzzy logic utvecklades var att första

ordningens predikatlogik (FOPL) bara kan hantera två värden, oftast sant (som brukar tilldelas

värdet 1) och falskt (som brukar tilldelas värdet 0). Denna metod har fungerat bra för de flesta

predikat, men när predikat behandlar saker som inte endast kan uttryckas genom sant eller

falskt, som tillexempel om man vill beskriva någons längd, så räcker FOPL inte riktigt till. Då

människor delar in längder i fler delar än lång och kort, kan det uppfattas som begränsande att

säga att människor är antingen korta eller långa, mellanvärden är därför nödvändiga för att

skapa nyanser. Detta är ett problem som fuzzy logic behandlar, det inför en grad av

medlemskap istället för endast sant eller falskt, så kallade fuzzy sets. Fuzzy logic är ett sätt att

dra slutsatser ur oprecis och vag information och det arbetar efter en regelbas istället för efter

matematiska formler.

2.1 Crisp-set och fuzzy set

I fuzzy logic skiljer man mellan så kallade crips-sets och fuzzy-sets. Ett crips-set är ett set som

endast kan vara sant eller falskt, ett statiskt predikat, som används inom till exempel FOPL.

Ett fuzzy set är däremot är inte fast, utan det får istället ett medlemskap i en kategori som

benämner hur mycket medlem objektet är i den kategorin. För att fortsätta med längd-

exemplet; säg att om en person är 180 centimeter så definieras den som lång. I ett crips-set

skulle det betyda att så fort någon var 180 centimeter så är personen lång, medan en person

som är 179,3 centimeter lång faller utanför kategorin och värdet blir falsk trots den marginella

skillnaden. Ett fuzzy set, däremot skulle ge dessa längder grader av medlemskap i

kategorierna ”lång” och, till exempel ”medellång”. En person som är 179,3 cm lång skulle då

få ett tämligen högt medlemskap i kategorin lång, och lågt medlemskap i kategorin medellång

vilket är en bättre beskrivning på hur människor tolkar längder än vad crisp-set:en är. Figur 1

illustrerar detta.

Figur 1. En illustration av set:en "lång", ett i crisp-format och ett i fuzzy-format. Källa: Jantzen, 2006

5

2.2 Lingvistiska variabler

Skillnaden mellan fuzzy logic och övriga logiker är det att fuzzy logic tar ord som värden, så

kallade lingvistiska variabler, och inte tal. De lingvistiska variablerna innehåller olika

lingvistiska värden, så kallade term sets, och dessa värden är ett fuzzy set. Som exempel kan

man ta en lingvistisk variabel l som heter längd. Den har ett term-set, M, som innehåller de

olika fuzzy seten kort, medellång, lång. De olika fuzzy seten är definierade i Universumet, till

exempel i intervallet 1- 220 centimeter. Man kan skriva detta som:

( ) * +

För att ett fuzzy logic system ska kunna fungera måste man först definiera det så kallade

Universumet. Universumet innehåller alla objekt som kan förekomma i olika fuzzy sets.

2.3 Medlemsfunktioner

För att kunna avgöra om ett objekt är medlem i ett set så måste objekt x vara medlem i setet

X. Att ett objekt x tillhör setet X skrivs såhär:

och det måste vara sant för att man ska kunna bestämma medlemskapen, vilket görs enligt

följande medlemskapsfunktion:

, -

U är universumet som x finns i och är graden av medlemskap som x får och det ligger

mellan värdena 0 och 1.

Ett fuzzy set kan alltså skrivas såhär:

*( )+

X är ett fuzzy set, x är ett objekt i setet och är graden av medlemskap som x har i setet. För

att tilldela objekt grader av medlemskap så måste det definieras mellan vilka värden graderna

av medlemskapet ligger, vanligtvis är detta mellan 0 och 1, där 0 betyder att objektet x inte

alls är medlem i setet och 1 betyder att det definitivt är det. Allt däremellan anger till vilken

grad x är medlem i setet.

Om ett fuzzy set endast innehåller ett värde kallas det för fuzzy singleton. Det har en

medlemsfunktion som endast är sant (medlemskapet = 1) vid ett specifikt värde och falskt för

alla andra värden.

6

Det finns flera olika medlemskapsfunktioner som man kan använda sig av inom fuzzy logic.

De vanligaste är trapezodial- och triangelfunktionerna samt Gaussianfunktionen. Dessa kan

man använda för att rita upp ett fuzzy set och räkna ut vilken medlemsgrad olika

medlemmarna i setet har. Medlemsfunktionerna utvecklas ofta av personer som har

expertkunskap inom det område som funktionen ska fungera, då värdena på seten måste

definieras, till exempel att kort är man om man är mellan 70 och 130 centimeter. En

trapezoidal funktion kan man rita upp genom att använda följande funktion:

( )

{

}

x i funktionen är värdet för ett objekt i det fuzzy set som används. är de fyra

hållpunkterna för funktionen, där a är den nedre gränsen för funktionen (det första objektet

som är medlem i set:et, om man till exempel har ett fuzzy set ”kort” som är definierat mellan

70-130 centimeter så är 70 den nedre gränsen), b är det första värde som har det högsta

medlemsvärdet, c är det värde som får den sista högsta medlemsfunktionen och d är den sista

medlemmen i set:et.

En vanlig medlemsfunktion är triangular, och den ekvationen ser

likadan ut som den för trapezoidal-funktionen förutom att b=c (det

finns bara en topp).

En annan medlemsfunktion som används frekvent inom Fuzzy

Logic är Gaussian-funktionen som genererar en jämn och slät kurva, där den högsta punkten

kan vara 1. Ekvationen för den är:

( ) [ .

/

]

7

Där x står för medlemsfunktionen, x0 står för funktionens topp relativt mot universumet, och

är standard deviationen.

Ett objekt kan vara medlem i flera set, vanligtvis eftersträvas att varje objekt ska vara med i

två set, att de ska överlappa varandra med undantag för ändarna. Detta för att luckor mellan

två sets ska undvikas. Skulle det bli en lucka mellan seten så ökar risken för att värdena inte

plockas upp av systemet och det skickar tillbaka inkorrekt och oprecis information som resten

av systemet jobbar vidare med. Genom att med säkerhet veta att alla värden är representerade

så har systemet de bästa förutsättningarna att utföra sitt arbete.

2.4 Operationer

Det finns flera olika operationer som kan användas på fuzzy sets och de vanligaste är union

och intersection. Om vi har två fuzzy sets, X och Y så skrivs dessa operationer som följer:

( )

( )

betyder att man unifierar alla medlemmar som finns i X och Y, om X till exempel

innehåller {a,b,c,d} och Y innehåller {c,d,e,f} så unifieras dessa och blir {a,b,c,d,e,f}. Sedan

går operationen igenom alla element i unifieringen och återger det element som har högst

medlemsvärde.

betyder att de enda elementen som är kvar är de element som finns i både set X och i

set Y, vilket om man utgår ifrån exemplet ovan blir {c,d}. När operatorn har tagit reda på

vilka objekt som är medlemmar i både set X och set Y så går den igenom dessa medlemmar

och återger det element som har det minsta medlemsvärdet.

2.5 Modifierare

I fuzzy logic kan man också använda sig av så kallade modifierare. Modifierare är ord som

ändrar innebörden av ett fuzzy set vilket gör att man kan använda sig av modifierare istället

för att lägga till ett helt nytt fuzzy set, vilket utan modifierare lätt kan bli väldigt många.

Exempel på olika modifierare som finns är extremt, väldigt, ganska och lite. Om man sätter

dessa modifierare framför ett fuzzy set, till exempel så kanske man skriver väldigt kort, och

då uppdateras medlemskapen i fuzzy setet kort och representerar istället den lingvistiska

termen väldigt kort.

8

Det finns fasta operatorer för att räkna om fuzzy sets när de blir modifierade. För

modifieraren extremt så blir medlemsvärdena i fuzzy setsen tre gånger så stora, det vill säga

om kort är ett fuzzy set med medlemsvärdena {1; 0,7;0,4;0,1} så blir medlemsvärdena för

extremt kort {1;0,343, 0,064, 0,001)}

* ( ) | ( ) ( ) +

På samma sätt fungerar de andra modifierarna. För modifierare som ökar medlemskapsvärdet

i ett fuzzy set så kvadreras medlemsvärdet med ett lämpligt tal och för att beskriva minskande

medlemskap så tas kvadratroten ur medlemskapsvärdet. I följande ekvationer står k för ett

heltal, x är ett objekt med medlemsvärdet ( ) och X är universumet.

* ( ) | ( ) ( ) +

{ ( ) | ( )

( ) }

3. Fuzzy Logic kontrollsystem

Figur 2 visar ett schema för ett fuzzy logic kontrollsystem. Ett Fuzzy kontrollsystem används

bland annat i tekniska apparater, som till exempel luftkonditionering, tåg operationssystem

och kärnkraftskontroller. Skillnaden mellan ett Fuzzy kontrollsystem och ett ”vanligt”

kontrollsystem är att ett Fuzzy kontrollsystem är mer lik männskligt tänkande och

resonerande än ett vanligt matematiskt system. Det kan fånga upp det ungefärliga, det

inexakta som ofta existerar i den riktiga världen, men som ett matematiskt kontrollsystem inte

tar hänsyn till.

Figur 2. Ett Fuzzy Logic kontrollsystems uppbyggnad. Bilden är från Jantzen (2006).

9

3.1 Preprocessing

Den information som skickas in till systemet är ofta ett crisp-värde som maskinen själv har

fått fram, genom att till exempel mäta en längd eller ta en temperatur. Detta värde är inte alltid

helt korrekt och vissa korrigeringar görs så att systemet kan hantera det så korrekt som

möjligt. Till exempel kan preprocessing stadiet runda av inputvärdet så att det passar in i

universumet. Om universumet är definierat som U = (1,2,3,4) och inputvärdet är 3,5 så

avrundas det till 4 för att passa in på den närmaste nivån. Preprocessingen kan även försöka

reducera bort olika störningar genom filtrering så att värdet blir så korrekt som möjligt.

Preprocessing handlar om att normalisera input-data så att den kan användas av systemet.

3.2 Fuzzification

Under det här stadiet så gör systemet om input-värdet, som ofta är ett crisp-värde till ett

fuzzy-värde genom att göra om inputvärdet till grader av medlemskap. Detta görs genom att

titta igenom den eller de olika medlemskapsfunktionerna som finns och matcha inputvärdet

gentemot dem. Det kan generellt skrivas såhär:

( )

( )

där ( ) = 1 är medlemsvärdet för objekt x’ i ett fuzzy set (M i det här fallet) och den nya

inputen, x:s medlemsvärde i detta setet minskar ju längre ifrån x’ det är. På detta sätt kan man

avgöra hur mycket medlem en ny input är i ett set. När detta är avgjort så skickas

informationen vidare till inference engine.

3.3 Rule Base

Regelbasen innehåller systemets alla regler, oftast skrivna enligt OM X SÅ Y, där X och Y är

fuzzy sets. Dessa regler sparas vanligtvis i matriser vilket är ett mer kompakt sätt att

representera reglerna, för en ovan användare kan det dock vara svårare att förstå jämfört med

om de är utskrivna. Alla regler i regelbasen använder samma konnektiv, ofta and eller or men

de blandar aldrig.

3.4 Inference Engine

Inferencen är en väldigt viktigt del i ett Fuzzy Logic system. Den är direkt kopplad till

regelbasen och matchar inputen som den har fått från fuzzification-steget med reglerna som

10

finns i regelbasen för att generera en output som representerar den ändring som ska ske. Man

kan säga att inference engine besår utav tre steg; aggregering (som kan översättas till

sammanklumpning), aktivering och ackumulering (ansamling).

Det första steget är aggregation som är en operator som räknar ut graden av uppfyllande eller

firing strength, , för villkoret för en regel, r. Regeln kommer att generera ett fuzzy

medlemsvärde för detta villkor och om en regel består av två villkor, till exempel ”om X och

Y så Q” så genereras medlemsvärdet för båda villkoren.

Aggregation-outputen går sedan vidare till steg två i inference engine, nämligen aktivering

Aktiveringen av en regel är slutledningen av regeln, konsekvensen, vilket blir reducerat av

firing strength, alltså värdena som kommer från aggregation. Som aktiverings operator

används oftast min eller max, beroende på reglernas utformning. Om reglerna består av flera

premisser, till exempel ”om A och om B så…” så används min operatorn, men om reglerna är

”om A eller om B så…” så används max operatorn. Min operatorn ”klipper av”

konsekvensens fuzzy set så att det representerar en output som gäller för det minsta

medlemsvärdet för försatsen. Detta för att det inte är troligare att konsekvensen gäller än vad

det är troligt att försatsen uppfylls. Max operatorn däremot ”klipper av” konsekvenssetet så att

det representerar en output som gäller för det högsta medlemsvärdet. Detta för att om en av

försatsen villkor uppfylls så gäller även konsekvensen. För exempelregeln som skrevs ovan i

aggregation stycket, så betyder detta att fuzzy setet ståtlig ”klipps av” så att det gäller för

dessa specifika inputs.

Det sista steget i inference engine är ackumelering som samlar ihop alla aktiverade slutsatser,

och detta görs genom max operatorn (unifiering). Det leder till en graf som består av alla

slutsatser från reglerna som aktiverats. Denna graf skickas sedan vidare till defuzzification-

processen.

3.5 Defuzzification

För att en ändring ska göras så måste outputen vara ett fixerat, bestämt värde. Till exempel

går det inte att beordra en maskin att öka trycket lite, det vill säga outputen från ett fuzzy-

system måste vara ett fixt värde. För att få ett fixt värde så måste man defuzzifisiera det värdet

som skickades från inference engine. Det finns flera olika metoder för att göra detta och några

av de vanligaste är:

11

3.5.1 Centre of gravity (COG) :

Denna metod är vanlig att använda för defuzzification, dock är uträkningskomplexiteten

ganska hög. Den räknar ut arean under grafen från det fuzzy set som inference engine

skickade vidare. Ekvationer ser ut såhär:

∑ ( )

∑ ( )

Där är en flytpunkt i ett diskret universum och ( ) är den punktens medlemskapsvärde i

medlemskapsfunktionen. Alltså tas summan av alla element multiplicerade med sina

medlemskapsfunktioner, ( ) och divideras med summan av alla medlemskapsfunktioner.

Då får man ut grafens mittpunktsvärde, vilket är outputen man skickar vidare till

postprocessingen.

3.5.2 Mean of Maxima (MOM):

Den här metoden tar de högsta värdena för det fuzzy set som är outputen och skickar tillbaka

det värdet som har högsta medlemskapen. Om det finns flera värden i setet som har väldigt

hög medlemskap så räknar den istället ut medelvärdet för dessa värden, därav namnet på

funktionen.

∑* | ( ) ( ( ))+

Täljaren är summan av alla de objekten som har högst värde och m står för det totala antalet

objekt som är med i ekvationen.

3.5.3 Leftmost Maxima (LM) och Rightmost Maxima (RM)

Ytterligare defuzzification metoder är Leftmost Maxima och Rightmost Maxima, vilka

innebär att det värde som är längst till vänster respektive åt höger som har högst

medlemsvärde väljs. Dessa är användbara i till exempel robot-system, där en robot måste

välja att gå antingen åt höger eller åt vänster för att inte undvika hinder, och då vill man inte

att den ska välja ett medelvärde (då kommer roboten förmodligen gå in i hindret i alla fall)

utan den ska svänga tydligt åt höger eller vänster. Nedan visas formlernas funktioner.

Leftmost Maxima: { | ( ) ( ( ))}

Rightmost Maxima: { | ( ) ( ( ))}

är medlemsfunktionen och x är en flytpunkt i universumet.

12

3.6 Postprocessing

Postprocessing är det sista steget i ett Fuzzy kontoll system. Trots att defuzzification-steget

har skickat ut ett crisp-värde så är det inte säkert att det går att använda direkt. Ofta kan

crispvärdet man behöva göras om då det utgår ifrån de mått som universumet är satt till (ofta

mellan 0 och 1) och det kan behövas göras om till SI-enheter så att systemet kan göra korrekta

ändringar.

4. Diskussion

Fuzzy Logic är ett bra sätt att uttrycka saker som inte enbart kan vara sant eller falskt. Det ger

även en möjlighet för systemet att reglera sig och göra ändringar innan problem blir allvarliga.

Säg att ett avkylningssystem i till exempel en kärnkraftsanläggning använder sig av fuzzy

logic. Om den då märker att vattnets temperatur har ett medlemsvärde som är närmare varmt

än kallt och det ska vara kallt så kan den åtgärda det. Ett vanligt sant/falskt system skulle inte

göra några ändringar förrän vattentemperaturen har gått över gränsen och verkligen är varmt.

System som använder Fuzzy Logic kan i och med att de använder lingvistiska variabler och

på så vis är mer lika det sätt som människor tänker vara mer användarvänliga för människor

som inte jobbar med eller håller på mycket med datorer. Till exempel kan Fuzzy Logic

användas i luftkonditionerare, då kan man ställa in att man vill ha det ”svalt” i sitt rum och

behöver inte fundera på vilken exakt temperatur det är utan systemet ser hela tiden till att det

är en behaglig temperatur i rummet.

Kritik mot fuzzy logic är bland annat att den är oprecis och att det inte behövs, att man kan

uttrycka samma saker med första ordningens perdikatlogik eller probabilistisk logik, vilket

gör fuzzy logic överflödigt.

Personligen tycker jag att fuzzy logic är en tänkvärd logik, att man kan uttrycka saker som är

mitt emellan sant och falsk är bra. Även om det kan vara sant att man kan göra program som

kan lösa samma sorts uppgifter som fuzzy logic system så kan fuzzy logic vara bra att

använda då det är enklare att implementera.

13

5. Referenser

Artiklar

Dote, Y. Introduction To Fuzzy Logic Besökt 5/9 kl 10.00

http://ieeexplore.ieee.org.lt.ltag.bibl.liu.se/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=483332

Hellermann, M. Fuzzy Logic Introduction Besökt 5/9 kl 11.00

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.85.9757&rep=rep1&type=pdf

Jantzen, J. Tutorial on Fuzzy Logic. Besökt 5/9 kl 12.00

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.125.2096&rep=rep1&type=pdf

Jantzen, J. Design Of Fuzzy Controllers Besökt den 9/9 kl 10.00

http://site.iugaza.edu.ps/mahir/files/2010/02/design.pdf

Yong-Hua Song and Allan T. Johns: Applications of fuzzy logic in power systems Part 1

General introduction to fuzzy logic. Power Engineering Journal, 11 (5). Oct 1997 pp 219-222

6/9 http://ieeexplore.ieee.org.lt.ltag.bibl.liu.se/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=636809

Yong-Hua Song and Allan T. Johns: Applications of fuzzy logic in power systems Part 3

Besökt 7/9 kl. 10.00

http://ieeexplore.ieee.org.lt.ltag.bibl.liu.se/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=765695

Zadeh, LA. Fuzzy Logic Besökt 6/9 kl 10.00

http://www.geocities.ws/hhvillav/00000053.pdf

Böcker

Russell, S & Norvig, P. Artificial Intelligence, A Morden Approach, pp 550-551

Passino, K.M & Yurkovich, S. Fuzzy Control. 1998 Addison-Wesely Longman Inc .

http://www.google.se/url?sa=t&source=web&cd=6&ved=0CEwQFjAF&url=http%3A%2F%2Fciteseerx.ist.psu.

edu%2Fviewdoc%2Fdownload%3Fdoi%3D10.1.1.131.4494%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf&rct=j&q=Leftm

ost%20maxima%20fuzzy%20logic%20example&ei=ActxTqDmAYvU4QT82MyrCQ&usg=AFQjCNGVCmgv

UcdUc8lG9HCRIDYBEM5f5w&sig2=geRWv2A57t9DQSGctTJ1Nw