Funzioni Pari e Dispari · Il punto di riferimento `e l’acqua pura a 25 gradiC, in cui si hanno 10−7 moli/l di ioni. Si parla di: • soluzioni acide, se la concentrazione di

Funzioni Pari e Dispari

Una funzione f : R → R si dice

• PARI: se f(−x) = f(x) ∀x ∈ R

In questo caso il grafico della funzione e simmetrico rispetto all’asse y

• DISPARI: se f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R

In questo caso il grafico della funzione e simmetrico rispetto all’origine O

• ESEMPI: f(x) = x2 , f(x) = x2n , f(x) = |x| funzioni pari

f(x) = x , f(x) = x2n+1 , f(x) =1

xfunzioni dispari

y

x

x

- f(x)

O

f(x)

-x

y = f(x)

x

y

y = f(x)

-x xO

f(x)

Matematica con Elementi di Statistica – a.a. 2014/15

Potenze con Esponente Intero Positivo

O x

y

y = f(x) = x2

f : R → R+ funzione pari

O

y

x

y = g(x) = x3

g : R → R funzione dispari

Il grafico di xn e qualitativamente simile a quello di x2 se n e pari o

a quello di x3 se n e dispari.


Radici

Consideriamo il problema dell’invertibilita della funzione potenza f(x) = xn conn ∈ N− {0}.

• Se n = 1, la funzione f(x) = x e l‘identita, con inversa uguale a se stessa.

• Se n = 2, f : R → R, f(x) = x2 non e invertibile, ma lo e da [0,+∞) in [0,+∞).

Chiamiamo radice quadrata la sua inversa:

f−1 : [0,+∞) → [0,+∞), f−1(x) =√x.

O

y

x

y =√x

In generale, se n e pari, la funzione f(x) = xn e invertibile da [0,+∞) in [0,+∞).

Chiamiamo l’inversa radice n-sima n√x definita da [0,+∞) in [0,+∞).


Radici

• Se n = 3, f : R → R, f(x) = x3 e invertibile.

Chiamiamo radice cubica la sua inversa:

f−1 : R → R, f−1(x) = 3√x.

O x

y

y = 3√x

In generale, se n e dispari, la funzione f(x) = xn e invertibile da R in R.

Chiamiamo radice n-sima n√x definita da R in R.


Funzioni Potenza

Potenze ad esponente intero:

• se n ∈ N, f(x) = xn e definita per ogni x ∈ R;

• se l’esponente e un intero negativo,

f(x) = x−n =1

xndefinita per ogni x 6= 0.

Potenze ad esponente razionale: per m ∈ Z e n ∈ N− {0}

f(x) = xmn =

n√xm definita per ogni x > 0.

Potenze ad esponente reale: per estensione si puo definire la

potenza ad esponente reale: b ∈ R

f(x) = xb definita per ogni x > 0 (resta indefinito 00 !!!)


Grafico di f(x) = xb con b ∈ R

O

y

x

1

1

0< b < 1

b>1

y = f(x) = xb per b > 0

f : (0,+∞) → (0,+∞)

y = f(x) = xb per b < 0

f : (0,+∞) → (0,+∞)


Ancora sulle Potenze

Polinomi: con operazioni di somma e prodotto si costruiscono i

polinomi, cioe le funzioni del tipo:

x 7→ Pn(x) = a0 + a1 x+ a2 x2 + · · ·+ an−1 x

n−1 + an xn.

Pn e detto polinomio di grado n.

Funzioni Razionali: facendo il quoziente di due polinomi P e Q si

ottengono le funzioni razionali, del tipo:

R(x) =P(x)

Q(x)definita su {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

Come caso particolare ritroviamo le funzioni potenza con esponente

intero:

f(x) = x−n =1

xndefinita su R− {0}.


Campo di Esistenza

Il campo di esistenza di una funzione f e il dominio piu grande su cui

ha significato la legge f .

Esercizio 1. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) =

9+ 2x.

Soluzione: R

Esercizio 2. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) =√x− 2+

√−x.

Soluzione: affinche le due radici abbiano significato, i radicandi de-

vono essere entrambi non negativi: x − 2 ≥ 0 e −x ≥ 0, cioe x ≥ 2 e

x ≤ 0.

Segue che la funzione non e definita per alcun valore di x.


Campo di Esistenza

Esercizio 3. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) =√

9− x2

x2 − 4.

Soluzione: il denominatore deve essere diverso da zero, cioe x 6= 2 e

x 6= −2. L’argomento della radice quadrata deve essere non negativo,

cioe 9− x2 ≥ 0 e quindi −3 ≤ x ≤ 3. Dunque il campo di esistenza e

[−3,−2) ∪ (−2,2) ∪ (2,3].

Esercizio 4. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) =

3

√

x2 − 1

x+3.

Soluzione: l’unica condizione da imporre e che il denominatore sia

diverso da 0. Quindi il campo di esistenza e R− {−3}.


Funzione Esponenziale

O

y

x

1

f : R → (0,+∞), f(x) = ax con a > 1

• a0 = 1, a1 = a

• ax > 0 ∀x ∈ R

• strettamente crescente:

x1 < x2 ⇒ ax1 < ax2

• se x tende a +∞, ax tende a +∞• se x tende a −∞, ax tende a 0

O

y

x

1

f : R → (0,+∞), f(x) = ax con 0 < a < 1

• a0 = 1, a1 = a

• ax > 0 ∀x ∈ R

• strettamente decrescente:x1 < x2 ⇒ ax1 > ax2

• se x tende a +∞, ax tende a 0• se x tende a −∞, ax tende a +∞

PROPRIETA DELL’ESPONENZIALE:

axay = ax+y (prodotto), (ax)y = axy (composizione), a−x =1

ax(reciproco).


Funzione Logaritmo

La funzione esponenziale f : R → (0,+∞), f(x) = ax e strettamente

monotona e suriettiva, quindi invertibile.

f−1 : (0,+∞) → R, f−1(x) = loga x logaritmo in base a di x

loga x = y ⇔ ay = x

O

y

x

1

y = loga x con a > 1

1 O x

y

y = loga x con 0 < a < 1


Proprieta del Logaritmo

Il logaritmo loga x e l’esponente a cui bisogna elevare la base a per

ottenere x.

• aloga x = x per ogni x > 0

• loga 1 = 0, loga a = 1

• loga(x1 · x2) = loga x1 + loga x2 per ogni x1, x2 > 0

• loga

(

x1

x2

)

= loga x1 − loga x2 per ogni x1, x2 > 0

• loga(xb) = b loga x per ogni x > 0 e b ∈ R

• cambio di base: logb x =loga x

loga bper ogni x > 0 e a, b > 0


Il pH

Acidi e sali in soluzioni acquose formano ioni di idrogeno. La con-

centrazione di questi ioni permette di quantificare il grado di acidita

o alcalinita della soluzione.

Il punto di riferimento e l’acqua pura a 25 gradi C, in cui si hanno

10−7 moli/l di ioni. Si parla di:

• soluzioni acide, se la concentrazione di ioni e maggiore di 10−7

• soluzioni basiche o alcaline, se la concentrazione di ioni e minore

di 10−7

• soluzioni neutre, se la concentrazione di ioni e pari a 10−7

Si definisce pH

pH = − log10H+

dove H+ e la concentrazione di ioni idrogeno.


Il pH – Esercizio

sostanza pH

acqua pura 7sangue 7.4pioggia 6.5

Il pH della pioggia e quello del sangue differiscono di poco; tuttavia,

H+pioggia = 10−6.5, H+

sangue = 10−7.4,

da cui

H+pioggia

H+sangue

= 100.9 ≃ 8,

cioe la concentrazione di ioni nella pioggia e circa 8 volte quella del

sangue.

Esercizio. Verificare che la concentrazione di ioni idrogeno nel san-

gue e circa il 40% di quella nell’acqua.


Esercizi

1. Sapendo che log10 2 ≃ 0,30103 e che log10 e ≃ 0,43429, calcolare

i valori di log10 4, log1015, ln 2.

Soluzione: basta notare che

log10 4 = log10 22 = 2 log10 2,

log1015 = log10

210 = log10 2− log10 10 = log10 2− 1,

ln 2 =log10 2

log10 e.

2. Determinare le costanti α e β in modo che il grafico della funzione

f(x) = α eβ x passi per i punti (0,5) e (4,15).

Soluzione: poiche f(0) = α, si ha immediatamente che α = 5.

Si ottiene quindi che f(4) = 5e4β = 15, da cui e4β = 3, cioe

β = 14 ln 3.


Esercizi

3. Determinare l’insieme dei valori di x per cui risulta log10(2x+3) <

1.

Soluzione: l’argomento del logaritmo deve essere positivo, cioe

2x+3 > 0. Inoltre, per la stretta monotonia dell’esponenziale la

condizione log10(2x+3) < 1 e equivalente a 2x+3 < 10.

Pertanto, l’insieme cercato e (−32,

72).

4. Determinare il campo di esistenza della funzione

f(x) = log10(x2 − 5x+6).


x2−5x+6 > 0, quindi il campo di esistenza e (−∞,2)∪ (3,+∞).


Esercizi

5. Determinare il campo di esistenza della funzione

f(x) =

√

log10(x2 − 5x+7).


x2 − 5x + 7 > 0. L’argomento della radice quadrata deve essere

non negativo, cioe log10(x2− 5x+7) ≥ 0, quindi x2− 5x+7 ≥ 1.

La seconda condizione contiene anche la prima. Quindi, il campo

di esistenza e (−∞,2] ∪ [3,+∞).

6. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) =√ex − 1.

Soluzione: l’argomento della radice quadrata deve essere non ne-

gativo, cioe ex − 1 ≥ 0 e quindi x ≥ 0. Il campo di esistenza e

[0,+∞).


Esercizi

1. Date le funzioni f(x) = ex e g(x) = ln(x− 2),

(a) dire quanto vale f ◦ g e qual e il suo insieme di definizione;

(b) dire quanto vale g ◦ f e qual e il suo insieme di definizione.

Soluzione: (f ◦ g)(x) = eln(x−2) = x− 2 definita per x > 2.

(g ◦ f)(x) = ln(ex − 2) definita per x > ln 2.

2. Date le funzioni f(x) = −x3 e g(x) = ln x,

(a) dire quanto vale f ◦ g e qual e il suo insieme di definizione;

(b) dire quanto vale g ◦ f e qual e il suo insieme di definizione.

Soluzione: (f ◦ g)(x) = −(ln x)3 definita per x > 0.

(g ◦ f)(x) = ln(−x3) definita per x < 0.


Esercizi

3. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni

f(x) =x2 − 5

3x− 5; f(x) = 4e

1x .

4. Date le funzioni

f(x) = ln(x− 1) , g(x) =√

1 + x ,

scrivere le espressioni di f ◦ g e g ◦ f , precisandone il dominio di

definizione.

5. Date le funzioni

f(x) = ln(x− 1) , g(x) = x2 ,

scrivere le espressioni di f ◦ g e g ◦ f , precisandone il dominio di

definizione.


Traslazioni

y

O x

f (x)

k > 0k < 0

f (x+k) f (x+k)

y

f (x)

f (x) + c

f (x) + cc > 0

c < 0

O x

Traslazioni verticali:

y = f(x) + c traslazione verticale verso l’alto se c > 0, verso il basso se c < 0

Traslazioni orizzontali:

y = f(x+ k) traslazione orizzontale verso sinistra se k > 0, verso destra se k < 0

Esercizio: disegnare il grafico delle funzioni y = 1+ ln x, y = |x| − 3, y = ex +1,

y = x2 − 1, y = ln(x− 1), y = |x+ 2|, y = ex+3


Riflessioni

y = f ( x )

y = −f ( x )

x

y

O

xO

yy = f (−x ) y = f ( x )

Riflessione rispetto all’asse x:

y = −f(x) i punti di intersezione con l’asse x restano invariati

Esercizio: disegnare il grafico di y = −|x| , y = −1

x, y = ln

1

x= − ln x

Riflessione rispetto all’asse y:

y = f(−x) i punti di intersezione con l’asse y restano invariati

Esercizio: disegnare il grafico di y = e−x , y =√−x


Dilatazioniy

O x

f (x)

c f (x)

c f (x)0 < c < 1

c > 1

xO

y

f (k x)f (x)f (k x)

k > 1

0 < k < 1

Cambio di scala sull’asse y:

y = c · f(x) compressione per 0 < c < 1, dilatazione per c > 1

Esercizio. Disegnare i seguenti grafici: y =1

2x2 , y = log x3 = 3 log x , y = 5ex

Cambio di scala sull’asse x:

y = f(k · x) dilatazione per 0 < k < 1, compressione per k > 1

Esercizio. Disegnare i seguenti grafici: y =1

3x , y =

√2x , y = e2x


Valore Assoluto

y = f ( x )y

O x

y

O x

y = | f ( x ) |

y = |f(x)| =

f(x) se f(x) ≥ 0,

−f(x) se f(x) < 0 (riflessione)

Nota: gli zeri della funzione restano invariati

Esercizio: disegnare il grafico di y = |2x+1| , y = |x3| , y = | log x|


Esercizi

1. Tracciare il grafico qualitativo della funzione

f(x) =

1− x2 per x ≤ 0,

|x− 1| per x > 0.

Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti

e relativi per x ∈ (−∞,4].


f(x) =

|x2 − 1| per x ≤ 1,

lnx per x > 1.


e relativi per x ∈ R.


Esercizi


f(x) =

2− |x| per x ≤ 2,

ln(12x) per x > 2.


e relativi per x ∈ [−3,+∞).


f(x) =

1− 4x2 per x ≤ 12,

ln(2x) per x > 12.




Esercizi


f(x) =

x2 − x per x ≤ 1,

− lnx per x > 1.




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