Funktsiooni uurimine tuletise abil

Heldena Taperson

www.welovemath.ee

Meenuta

• Määramispiirkond X

• Muutumispiirkond Y

• Funktsiooni nullkohad f(x) = 0

• Funktsiooni positiivsuspiirkond f(x) > 0

• Funktsiooni negatiivsuspiirkond f(x) < 0

Skitseeri funktsiooni graafik ning leia X, Y, X0, X+, X-.

165 2 xxy

165 2 xxy

Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kasvavaks, kui x 2 > x 1 f(x2) > f(x1).

Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kasvamispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga

Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kahanevaks, kui x 2 > x 1 f(x2) < f(x1).

Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kahanemispiirkonnaks ja seda tähistatakse sümboliga

Pea meeles, et , kui X on funktsiooni määramispiirkond, siis

X

X

XX XX

Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkoht ja ekstreemumpunkt. Skitseeri graafik.

322 xxy

322 xxy

Kui funktsioon on diferentseeruv vahemikus (st. graafik omab puutujat selles punktis) ning

– tuletis on positiivne s.t. f′(x)>0, siis funktsioon on kasvav antud vahemikus;

– tuletis on negatiivne s.t. f′(x)<0, siis funktsioon on kahanev antud vahemikus;

– tuletis on null s.t. f′(x)=0, siis funktsioon on konstantne.

ba,

Näide 1

Kas funktsioon y = x3 - 12x on kohal x0=1 kasvav või kahanev?

Näide 2

Leia funktsiooni y = 2x3 - 54x kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

Näide 3 Leia funktsiooni y = (2x-6)3

kasvamisvahemikud.

-ühine nimetus funktsiooni maksimumile ja miinimumile• Ekstreemumkoht• Ekstreemum• Ekstreemumpunkt

(lad. k. äärmus)

Meenuta – ekstreemum

Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine (kahanemine) läheb x suurenedes kohal x0 üle kahanemiseks (kasvamiseks), siis on koht x0 selle funktsiooni maksimumkoht (miinimumkoht) ja arv f(x0) funktsiooni maksimum (miinimum). Punkt E(x0; f(x0)) on funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt).

Funktsiooni ekstreemumkohtadeks võivad olla ainult need argumendi väärtused, mille korral tuletis on null (puutuja on neil kohtadel paralleelne x-teljega) või puudub (puutujat joonestada ei saa – tegemist on katkevuskohaga).

Funktsiooni maksimumi ja miinimumi tunnustes on oluline, et tuletise märk muutub. Tingimusest, et tuletis on null ei piisa selleks et funktsioonil oleks ekstreemumväärtus.

Näiteks funktsioon y =x3

Antud funktsioonil ei ole tuletist kohal 0- tegemist on teravikpunktiga.

Graafikult on näha, et funktsioonil on kohal x=0 miinimum.

xy

Selleks, et leida funktsiooni y = f(x) maksimumi ja miinimumi tuleb toimida jargmiselt:

a) leia võrrandi y′ = 0 kõik reaalarvulised lahendid (argumendi nn. kriitilised väärtused);

b) uuri funktsiooni tuletise märki argumendi kriitiliste väärtuste ümbruses. Seega vaata kas kasvamine (+) läheb üle kahanemiseks (-), st. maksimumkoht või vastupidi kahanemine(-) läheb üle kasvamiseks (+),st. miinimumkoht;

c) vajaduse korral leia ka funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide ordinaadid, mida nimetatakse ekstreemumiteks

23 6xxy