0 Funkcije i njihovi grafici

1. Upariti jednake skupove:

A = (−∞,−2] ∪ (1,+∞) B = {x | x ≤ −2 ∨ x > 1} C = C{x | − 2 ≤ x < 1}

D = R \ (−2, 1) E = {x | x+ 2

x− 1≥ 0} F = R \ (−2, 1].

2. Zapisati skup R \ {−1, 1} na razliqite naqine.

3. Neka je A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} i B = {0, 2, 3} i funkcija f : A → B definisana naslede�i naqin: f(0) = 2, f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 0, f(4) = 2, f(5) = 0. Na kojoj odslede�ih slika je prikazan grafik funkcije f?

012345

023

ABf

0 1 2 3 4 5

123

x

yy=f(x)

0 1 2 3 4 5

123

x

yy=f(x)

4. Na kojoj od narednih slika je prikazan grafik neke funkcije?

x

y

x

y

x

y

x

y

5. Na slici desno prikazan je grafikfunkcije f . Odrediti da li jednaqinef(x) = 1, f(x) = 0 i f(x) = 3 imajurexenja i koja su rexenja tih jednaqina?Odrediti rexenja nejednaqina −1 ≤ f(x),1 ≥ f(x) i 0 ≤ f(x) ≤ 1/2. Odreditirexenja nejednaqine f(x) ≥ 2x− 1. 0 1 2 3 4 5

123

x

yy=f(x)

1212

6. Upariti naredne funkcije sa prikazanim graficima: log0,5 x, cosx, x3, 3√x, tg x,

3√x2, arctg x. Za koje funkcije nije prikazan grafik i za koje grafike nije data

funkcija?

1

7. Funkcija f : R→ R definisana je na slede�i naqin:

f(x) =

x2 + 1

x+ 1, 5 < x

ln(x+ 2), −1 < x ≤ 5

sin(5x), x ≤ −1

Koliko je f(0), f(7), f(5) i f(−1)?

8. U kom od narednih sluqajeva su funkcije f : R→ R i g : R→ R jednake:

a) f(x) =

x2 + 1

x+ 1, 1 < x

cosx, x ≤ 1i g(x) =

x2 + 1

x+ 1, 1 ≤ x

cosx, x < 1

b) f(x) =

π(2x− 1)

x2 + 3, 1 < x

arctg x, x ≤ 1i g(x) =

π(2x− 1)

x2 + 3, 1 ≤ x

arctg x, x < 1

9. Odrediti domen i dati analitiqkiizraz za funkciju qiji je grafikprikazan na slici desno.

2-3 -1 1

4

3

2

1

-10

y=g(x)

x

y

10. Xta je to kompozicija dve funkcije f i g? Ako je f : A → B i g : C → D,pri qemu su A,B,C,D ⊆ R, xta treba da bude ispunjeno da bi izraz f(g(x)) imaosmisla? Odrediti sve realne brojeve za koje je mogu�e definisati funkciju h(x) sa:

a)√x− 1 · x

x− 2; b)

x2 + x

x+ 1v)

√x2 − 4x+ 3

x− 2; g) log2 (x

2 − 1); d)√ln (cos(2π · x)).

Skup svih realnih brojeva za koje ima smisla definisati funkciju f pomo�u datogizraza obele�avamo sa Df . Drugim reqima, skup Df je ”najve�i” podskup skupa Rna kome se mo�e definisati funkcija f pomo�u datog izraza.

Zadaci za samostalnu ve�bu

1. Funkcija koja svakom elementu domena dodeljuje isti element kodomena naziva sekonstantna funkcija. Nacrtati grafik konstantne funkcije f : A→ R, definisanesa f(x) = 3, ukoliko je: a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; b) A = (−3, 2); v) A = [−3, 2].

2. Funkciju f : A → R nazivamo parna funkcija ukoliko je njen domen simetriqanu odnosu na nulu1 i pritom za svako x ∈ A va�i f(−x) = f(x). Funkciju f : A→ R

1Preciznije, ako za svako x ∈ R \ {0} va�i: x ∈ A ako i samo ako je −x ∈ A; nula mo�e, ali ne morapripadati skupu A. Recimo skupovi R, (−2, 2), (−1, 0) ∪ (0, 1) i Z su simetriqni u odnosu na nulu.

2

nazivamo neparna funkcija ako je njen domen simetriqan u odnosu na nulu i pritomza svako x ∈ A va�i f(−x) = −f(x). Na slici je prikazano nekoliko grafikafunkcija. Koji od ovih grafika odgovaraju parnim funkcijama, koji neparnimfunkcijama, a koji funkcijama koje nisu ni parne ni neparne?

Izvesti zakljuqak: kako izgledaju grafici parnih funkcija, a kako graficineparnih funkcija?

3. Na slici je prikazan grafik funkcijef(x). Na istoj slici nacrtati grafikefunkcija f(x)+2, f(x)−2, f(x+2), f(x−2)i |f(x)|.

2

4. Upariti naredne funkcije sa prikazanim graficima: arccosx, 2x, 4√x, lnx, sinx,

|x|, 3. Za koje funkcije nije prikazan grafik i za koje grafike nije data funkcija?

5. Na slici desno dat je grafikfunkcije f . Odrediti: koliko rexenjaima jednaqina f(x) = 2; za koji ceo broj zjednaqina f(x) = z ima najvixe rexenja;za koji ceo broj z jednaqina |f(x)| = zima najvixe rexenja; rexenja jednaqinef(x) = sinx.

1

6. Odrediti domen i dati analitiqkiizraz za funkciju qiji je grafikprikazan na slici desno. Zakrivljenideo na grafiku je polukrug sa centrom u(0, 1). (Obrati pa�nju: domen nije [−3, 2].)

2-3 -1 1

4

3

2

1

-10

y=g(x)

x

y

7. Odrediti Df ukoliko je:

a) f(x) = 1sinx ·

1cosx ·

1lnx ; b) f(x) = log x2−3x+2

x+2 ; v) f(x) = arccos 2xx2+1

;

g) f(x) = 2 arccosx− arcsin(2x√1− x2).

3

8.* Na jednom od iseqaka dole prikazan je deli� x-ose i grafika funkcije f(x) =x2 − 4x+ 4

x2 − 4x+ 3. Koji je to iseqak?

2 2 2 2

9.* Na slici desno prikazan je grafikfunkcije f(x) = ax4 + bx2 + c. Kakve znakeimaju koeficijenti a, b i c?

x

y 4 2y=ax +bx +c

10.* Grafike funkcija mo�emo da crtamo i za funkcije koje zavise od dva realnabroja (dve promenljive). Recimo, na slici je prikazan grafik funkcije f(x, y) =sin(x2+y2). Objasniti kako bi se crtali ovakvi grafici i kakve informacije mo�emoda dobijemo pomo�u njih (recimo, rexavanje jednaqina/nejednaqina, itd.).

f(x, y) = sin(x2 + y2)

4